1

1.Mechanik1.1. Kinematik

1.1.1. Modell der Punktmasse (PM) und

Koordinatensysteme (KS)

Def. PM: Volumen V = 0 Einheit: [V] = m³Masse m = endlich groß [m] = kgDichte ρ = m/V = [ρ] = kg/m3

Folgen: - Ort genau angebbar- Drehung um sich selbst nicht möglich!

2

Ortsangabe erfolgt in einem Koordinatensystem (KS):hier: Kartesisches KS (rechtwinklig)

Dimensionalität:a) 1-dim. (Gerade) x-, y-, oder z-Achse

x<0 0 x>0 x

0z<0

z>0z

xb) 2-dim. (Ebene) x-y oder x-z-Achse

c) 3-dim. (Raum) x-y-z-Achse

Ort des Punktes P(x,y,z) mit Koordinaten (x,y,z) durchOrtsvektor festgelegt:

),,( zyxkzjyixr i

j

k

kji

,,Einheitsvektoren:

mit 1 kji

und kji

0 kjkiji

222 zyxrr

mit Betrag (Länge)

(Wiederholung Vektorrechnung)

b)

a)

c)

zyx eee ,,oder

3

1.1.2. Definition Geschwindigkeit und Beschleunigung

1.1.2.1. Eindimensionale Bewegung der PM

Def.Geschwindigkeit:

tx

ttxxv

12

12

[v] = m/s

Momentangeschwindigkeit:

Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeitx1, x2 – Anfangs- u. Endort

xdtdx

txv

t

0lim Differenzialquotient

“1.Ableitung von x nach t“

v hängt oft von der Zeit ab: z.B.:

Anstieg “tan “ der

x-t-Kurve zum Zeitpunkt t1,

v(t1) ist Tangente an x(t) Kurve

bei t1

1txz.B.: =

Exp.: Geschw. Luftgewehrkugel

0

x

t1t

4

Def.Beschleunigung:

tv

ttvva

12

12

Momentanbeschleunigung:

Durchschnittsbeschleunigung: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeitv1, v2 – Anfangs- u.

Endgeschwindigkeit

xdt

xdvdtdv

tva

t

2

2

0lim

0

v

t1t

“1.Ableitung von v nach t“

“2.Ableitung von x nach t“

a hängt oft von der Zeit ab: z.B.:

Anstieg “tan “ der

v-t-Kurve zum Zeitpunkt t1a(t1) ist Tangente an v(t) Kurvebei t1

1tvz.B.: =

Exp.: 1-dim allg. Bewegung

[a] = m/s2

5

1.1.2.2. Dreidimensionale Bewegung der PM

tr

ttrrv

12

12

Momentangeschwindigkeit:

Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit– Anfangs- u. Endort

rdtrd

trv

t

0lim Differenzialquotient

21, rr

tv ist Vektortangente an

tr

6

tv

ttvva

12

12

Momentanbeschleunigung:

Durchschnittsbeschleunigung:t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit

– Anfangs- u. Endgeschwindigkeit

rdt

rdvdtvd

tva

t

2

2

0lim

21,vv

Differenzialquotient

ta ist Vektortangente an

tv

7

1.1.3.1. Gleichförmige, geradlinige (1-dim) Bewegung der PM

1.1.3. Beispiele

constvv 0 00 xtx Anfangsbedingung:

dtdxv 0

Separation der Variablen (x, t)dtvdx 0

Integration t

t

tx

xdtvdx

00

0

000 ttvxtx Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung

8

1.1.3.2. Gleichförmig beschleunigte, geradlinige (1-dim) Bewegung der PM

constaa 0 ,00 xtx Anfangsbedingung:

dtdva 0

Separation der Variablen (v, t) dtadv 0

Integration t

t

tv

vdtavd

00

0

000 ttavtv Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der gleichförmig, beschleunigten geradlinigen Bewegung

,00 vtv

9

dtdxv

Separation der Variablen (x, t) dttvdx

Integration

t

t

tx

xdttvdx

00

200000 21 ttattvxtx

Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmig, beschleunigetngeradlinigen Bewegung

t

tdtttavxtx

0

0000

10

Winkelgeschwindigkeit ist

Vektor entlang Drehachse:

1.1.3.2. Gleichförmige Kreisbewegung - 2-dim. Bewegung der PM

Ortsvektor:2-dim. Bewegung in x-y Ebene – KreisbahnDrehachse entlang z-Achse

,tr

tr

tv

t ts

tx

ty

x

y

PM

constrtr

Radius der Kreisbahn

PM bewegt sich auf Kreisbogen:

trts

Definition Winkelgeschwindigkeit:

rv

dtds

rdtrtsd

dtd

1/

[] = rad s-1 = s-1

v - Bahngeschwindigkeit,tangentielle Geschwindigkeit

11

gleichförmige Kreisbewegung: const

dtd Integration

t

t

tdtd

00 00

tt

trtx cos 0,, ztytxtr trty sinmit

0,sin,cos ttrtr

Exp.: Messung x(t), y(t) - Plattenspieler

0,cos,sin ttrdtrdtv

0,sin,cos2 ttrdtvdtaz

Bahngeschwindigkeit:

rr

rvrtaz

2

2

Zentripetalbe-schleunigung::

tr

tv

t ts

tx

ty

x

y

PM

taz

vrv ,

gleichförmige Kreisbewegung istbeschleunigte Bewegung

0za

rv

r

vadtvd

z

Vektorprodukt (rechte Handregel)

Exp.: Schleifscheibe und Vektorprodukt

,0,0

12

rv

Vektorprodukt (rechte Handregel)

Exp.: Schleifscheibe und Vektorprodukt

r

13

1.2. Dynamik - Kräfte

1.2.1. Kräfte als Vektoren

Kräfte sind Ursache für Geschwindigkeitsänderungen, d. h. Änderungen des Bewegungszustandes,einer PM

Kräfte sind Vektoren und addieren bzw. subtrahieren sich wie diese:

Kraft F [F] = kg m/s2

),,( zyxzyx FFFkFjFiFF

21 FFF

F

1F

2F

Kräfteparallelogramm

Bsp.: Segeln

0i

iF

Exp.: Kräftegleichgewicht mit Gewichten

0321 FFF

Gleichgewicht:

321 FFF

14

1.2.2. Newtonsche Axiome

Newtonsche Axiome sind Grundgleichungen der klassischen Mechanik

1. Axiom - Trägheitsgesetz

Exp.: rollende Kugel auf Ebene

Exp.: Flasche und Tischtuch

Eine PM verbleibt in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung,sofern auf sie keine äußeren Kräfte einwirken.

0 i

iges FF

0 va

Koordinatensysteme (KS) in denen das 1. Axiom gilt heißen Intertialsysteme

Intertialsysteme: KS ruht oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeitconstv

v

0

15

2. Axiom - Aktionsprinzip

Kraft ist Masse mal Beschleunigung:

amF

mit va

dt

vmdvmF

Impuls: vmp [p] = kg m /s

Die zeitliche Änderung des Impulses einer PM ist gleich der wirkenden Kraft:

dtpdF

(Charakterisiert Bewegungszustand einer PM)

16

3. Axiom - Reaktionsprinzip

Wenn zwei PM miteinander wechselwirken, dann besitzen die Kräfte, welche diePM aufeinander ausüben, den selben Betrag aber entgegengesetzte Richtungen:

BAAB

BAAB

FFFF

ABF

BAF

Kraft von PM A auf PM B

Kraft von PM B auf PM A

Exp.: Rollwaagen

A BABF

BAF

17

1.2.3. Spezielle Kräfte1.2.3.1. Gravitationskraft

Anziehende Kraft zwischen zwei PM m1 and m2

m1

12,GF

1r

m2

2r

12 rrr

Newtonsches Gravitationsgesetz:

rr

rmm

rrrr

rrmmFG

221

12

122

12

2112,

Gravitationskonstante:

= 6,67259 · 10-11 m3 kg-1 s-2

21,12, GG FF

Newton´s 3. Axiom:

12,GF

- Kraft von m1 auf m2

21,GF

- Kraft von m2 auf m1

Gravitationskraft wirkt entlang Verbindungsvektor zwischen m1 und m212 rrr

Gravitationskraft ist „Zentralkraft“

18

1.2.3.2. Schwerkraft - Gewichtskraft

- Spezialfall der Gravitationskraft- Gravitationskraft die Erde auf eine Masse m in der Nähe der Erdoberfläche ausübt

Erdmasse: m1 = ME 5,97 1024 kgErdradius: r = RE 6370 103 m

ME

ER

gFg

,

zem

z

zE

Eg e

zRmMF

2

mit 22

22 1 EE

EE RRzRzR

z << RE

zE

Eg em

RMF

2

gmegmF zg

mit Fallbeschleunigung: 2E

E

RMg

= 9,81 m/s2

19

Bestimmung von g mit Atwoodscher Fallmaschine Exp.: Atwoodsche Fallmaschine

gmF 11

gmF 22

T

T

aa

m1

m2

zT

- Zugspannung, Zugkraft im Seil

- m2 > m1

2. Newtonsches Axiom: m a = F

(I) Abwärtsbewegung: -m2 a = -m2 g + T(II) Aufwärtsbewegung: m1 a = T -m1 g

(II) – (I): m1 a + m2 a = -m1 g + m2 g

ammmmg

12

12

a < gFallbewegung kann mit einfachenMittel untersucht werden

- Vernachlässigen Reibung sowie Massen desSeils und der Rolle

20

1.2.3.3. Federkraft

- elastische Kraft die bei Dehnung oder Stauchung einer Feder (z. B. Spiralfeder) auftritt- kann zur Messung anderer Kräfte genutzt werden (Federkraftmesser)

z0 = 0

z = z

z = 2 z

z = 3 zz = 4 z

zgF

RF

RF

- Federkraft, rückstellende Kraft

Kräftegleichgewicht, 0i

iF

0 gR FF

gR FF

Hook´sche Gesetz:

zKFR

gR FF

zKFg

K - Federkonstante

[K] = kg/s2 = N/m

Messung der Gewichtskraftdurch Federkraftmesser

Exp.: Federkraftmesser

21

1.2.3.4. Zentripetalkraft

gleichförmige Kreisbewegung ist beschleunigte Bewegung mitZentripetalbeschleunigung rvaz

2. Newton´sches Axiom: amF

Zentripetalkraft wirkt in Richtung desZentrums der Kreisbahn

rmvmamF zz

tr

tv

x

y

PM

zz aF ,

Exp.: Federkraftmesser mit rotierender MassePapierscheibe und KreideKonisches Pendel

22

1.2.3.5. Reibungskräfte1.2.3.5.1. Haft- und Gleitreibung

GHF ,

RF

gmFn

xe

x

GHF ,

nF

- Reibungskraft (H – Haftreibung)(G – Gleitreibung)

-Normalkraft, senkrecht zurUnterlage

xnGHGH eFF ,,

nGHGH FF ,,

GH , - Reibungskoeffizienten(abhängig von Beschaffenheit der

Kontaktflächen)

GH es gilt im allgemeinen

Exp.: Holzblock auf Holz, Messung von Reibungskräften mit FederkraftmesserSchlaufe mit Gewicht auf schräger AchseAnkerspill

FH,G

23

1.2.3.5.2. Reibung in FluidenReibungskraft ist Funktion der Geschwindigkeit des Körpers F = f(v)

a) Stokes Reibung bei kleinen GeschwindigkeitenBedingung: laminare Strömung (auftretende Wirbel sind stationär)

vFS

vrFS

6Bsp. Kugel mit Radius r: Stoke´schesGesetz

- Viskosität des Fluids, [] = kg (ms)-1

b) Newton Reibung bei hohen GeschwindigkeitenBedingung: turbulente Strömung (auftretende Wirbel sind instationär)

2vFN

vvvAcF wN

2

2

- Dichte des Fluidscw - WertA - Querschnitt des Körpers

Exp.: laminare und turbulente Strömungen

24

1.2.3.6. Trägheitskräfte

-Trägheitskräfte treten auf, wenn Bewegung einer PM bzgl. eines beschleunigten KS (KS´)beschrieben wird

-Trägheitskräfte sind Scheinkräfte

KS´ bewegt sich mit Beschleunigung bzgl. Inertialsystem KSRa

PM mit Masse m in KS in KS´

Beschleunigung von m

Kraft auf m

a Raaa ´

amF ´´ amF

RT amF

TF

ist Trägheitskraft

RamFF ´

TFFF

´

25

Beispiel:beschleunigter Fahrstuhl

gF

Ra

KS

KS´

zTg FFF

´

zRz emaemgF ´

zR eagmF ´

zg emgF

RR aa ,0,0

freier Fall: gaR ,0,0

0´F

fallender Körper ist schwerelosExp.: Poggendorf Waage

Beispiel: gleichförmige Kreisbewegung

tr

tv

x

y

PM

zz aF ,

KS

KS´

KS´ rotiert mit PM 0´ Tz FFF

zT FF

rmrvmFF zfT

Zentrifugalkraft:

Anwendung: Zentrifuge mFzf

Trennung nach Masse

RT amF

rmvmFz

Zentripetalkraft:

26

rmFzf

sincos2 mgrm

gr2

tan

dxdy

gx

gr

22

tan

22

21 x

gxy

Flüssigkeitsoberflächeist Parabel

Steighöhe ist nicht von mabhängig

Exp.:

Exp.: rotierende Küvette

Kräftegleichgewicht effgeffzf FF ,,

Kräftegleichgewicht effgeffzf FF ,,

27

1.2.3. Bewegungsgleichung einer PM

allg. Bewegungsgleichung: rmF

zweifache Integration der Bewegungsgleichung nach der Zeit ergibt Weg-Zeit-Gesetzder PM

beruht auf 2. Newtonschen Axiom

11 cdtFm

tv

tr

212 ´1 cdtcdtdtFm

cdttvtr

Die Integrationskonstanten c1 und c2 sind durch die Anfangsbedingungen der Bewegung bestimmt.z. B.:

00

00

vttvrttr

28

1.2.3.1. Schiefe Ebene

x

xF x0

nF

gmFg

h

l

sinmgFx

cosmgFn Normalkraft:

Hangabtriebskraft:

x(t = t0) = x0, v(t = t0) = v0, t0 = 0Anfangsbedingungen:

1. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:

tt

tx

v

vdtgdtF

mdv

0sin1

00

tgvtv sin0

2. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:

t

t

x

xdttvdx

00

200 sin

21 tgtvxtx

tx

xdttgvdx

00 sin

0

gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung

keine Reibung, FR = 0a) keine Reibung, FH,G = 0

Exp.: Vergleich Impulsänderung undwirkende Kraft auf schiefer Ebene

29

x

xF x0

nF

gmFg

h

l

GF

b) mit Gleitreibung, FG

cosGnGG mgFF Gxgesx FFF ,

cossin, Ggesx mgmgF

1. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:

t

G

t

tgesx

v

vdtgdtF

mdv

0, cossin1

00

tgvtv G cossin0

2. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:

t

t

x

xdttvdx

00

200 cossin

21 tgtvxtx G

falls 0cossin G

d.h. Gx FF

G tan gleichförmige, geradlinige Bewegung

Exp.: schiefe Ebene mit Reibung

gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung

30

1.2.3.2. Wurfbewegung

z

xxmax

0v

z0

zmax

zgz emgFF

Bewegungsgleichung: rmF

zyxmFFF zyx ,,,,

zyxmmg ,,,0,0

vertikale (z) und horizontale (x) Bewegung sind unabhängig voneinander

Exp.: Unabhängigkeit der Bewegung

Lösung der Bewegungsgleichung für jede Komponente x, y, z durch zweifache Integration

nach der Zeit mit Anfangsbedingungen sin,0,cos 000 vvv

00 ,0,0 zr

200 2

1sin gttvztz tvtx cos0 0ty

Wurf in xz-Ebene

gleichförmig beschleunigte geradlinigeBewegung in z-Richtung

gleichförmig Bewegungin x-Richtung

31

Bahngleichung: tvtx cos0 cos0v

txt

einsetzen in 200 2

1sin gttvztz

22

0

2

0 cos2tan

vxgxzz

z

xxmax

0v

z0

zmaxWurfparabel

- Reichweite xmax für z0 = 0 aus z = 0:

22

0

maxmax22

0

2max

max cos2tan

cos2tan0

vxgx

vxgx

2sincossin2 202

0max gvv

gx

- Höhe zmax für z0 = 0 :

gvz

2sin22

0max

0

costan 22

0

vxg

dxdz

gvx cossin2

0

Extremwertaufgabe 0dxdz

maximale Reichweite für = 45°

Exp.: Simulation Wurfbewegung

32

Spezialfall: Vertikaler Wurf aus Höhe z0 = h:

200 2

1sin gttvztz z

z0

h 2

0 21 gttvhtz

= 90°

Spezialfall: Freier Fall aus Höhe z0 = h mit v0 = 0:

2

21 gthtz

Fallzeit tf: 2

210 fgth

ght f

2

Exp.: - Freier Fall, tf = f(h) zur Bestimmung von g- Darstellung tf

2 = 2h/g d.h. tf2 = m h ist Gerade mit Anstieg m = 2/g

Bestimmung von Anstieg m über lineare Regression undErmittlung von g aus Anstieg m und g =2/m

33

1.2.3.3. Freier Fall mit Stokes ReibungKugelfall in Fluid mit Viskosität

Bewegungsgleichung:

vRF

vrF

S

S

6Reibungskraft:(Stokes)

zmFF Sg

dtdvmRvmg

v

v

t

t vmRg

dvdt00 00

v

mgR

Rmt 1ln

tmR

eR

mgtv 1

t

t

x

xdttvdx

00 00

1

tmR

eRmt

Rmgtx

t

v r

mgR

mgtv6

gttv 0

Exp.: Kugelfall in Wasser

Anwendung: Kugelfallviskositätsmessung

(Vernachlässigung von Auftrieb)

34

1.2.3.4. Freier ungedämpfter harmonischer Oszillator

x

x = 0

-x

0xFR

xR eKxxF

Auslenkung der PM mit Masse merzeugt rückstellende Kraft:

KxxFR

xFxmF R Bewegungsgleichung: Kxdt

xdm 2

2

0202

2 x

dtxd

mK

0mit

wirkende Kraft oder Beschleunigung proportional undentgegengesetzt zur Verschiebung x der PM sind

harmonische Schwingung(harmon. Oszillator)

Bewegungsgln. des freien,ungedämpften harmon. Oszillators

02

2 Kx

dtxdm

35

0202

2 x

dtxd

Lösung von (homogene Differentialgleichung 2.Ordnung) :

000 sin txtx

x

t

000

21

T

0 = 0

0 = 90°x0

-x00 = -90°

x0 - Amplitude

- KreisfrequenzmK

0

2

00 - Frequenz

[0] = s-1

[0] = Hz = s-1

00 t - Phase der Schwingung mitPhasenkonstante 0

Km

T

2

10

0

- Schwingungsdauer

[T0] = s

da einsetzen von x(t) in Bew.-gln.

0sinsin 0020000

200 txtx

Exp.: Federschwinger, T0 m1/2

Anwendung: Molekülschwingungen,Gitterschwingungen

36

1.2.3.5. Mathematisches PendelRadialkraft spannt Faden mit Zugspannung TTmgFr cos

sinmgFt Tangentialkraft verursacht Beschleunigung

Bewegungsgleichung: 2

2

sindt

sdmmgFt

sin2

2

gdt

sd

mit Kreisbogen ls 0sin2

2

lg

dtd

Grenzfall kleine Auslenkung <<1: sin

0202

2

dtd

lg

0mitharmonische Schwingung(harmon. Oszillator)

Lösung: 000 sin tt glT

22

00 Schwingungsdauer:

0T ist unabhängig von m Exp.: math. Pendel, T0 m,T0 l1/2, T0 = f(g)

rF

tF

gF

T

l

tsm

ts - Kreisbogenbeschreibt Bahndes Pendelkörpers

37

1.2.3.6. Freier gedämpfter harmonischer Oszillator

freier harmonischer Oszillator mit Reibung (Stokes)

RvkxFxFxm SR Bewegungsgleichung:

mR

202 2

02

2 x

dtdx

dtxd

mK0mit

(homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)

und Dämpfungskonstante

Lösung für den Fall schwacher Dämpfung < 0:

tAetx t 'cos

gedämpfte Schwingung mit Frequenz

022

0'

xEinhüllende: tAe

Dämpfung

Exp.: Pendel in Wasserphysikalisches Pendel und Magnet

Anwendung: Spektroskopie im Zeitbereich(NMR – „Free Induction Decay – FID“,

Dämpfung = Relaxation)

vRFS

Reibungskraft:

38

1.2.3.7. Erzwungene Schwingunggedämpfter harmonischer Oszillator mit periodischer äußerer Kraftanregung

K x Bewegungsgleichung: tfxdtdx

dtxd

cos2 202

2

mit

(inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung)

Lösung für t , stationäre Lösung: txtx cos

22222

0 4

fx

220 2 r

xAmplitude ist von Erregerfrequenz abhängig:

x

Exp.: erzwungene Schwingung mitFederschwinger

Anwendung: WechselwirkungLicht – Materie

(Absorption, Dispersion)

max. Energieabsorption beir

mFf 0

tFtF cos0

xAmplitude hat Maximum bei derResonanzfrequenz:

0

dxdaus

39

x

txtx cos

22222

0 4

fx

220 2 r

220

2tan

0

frequenzabhängige Amplitude

frequenzabhängige Phasenverschiebungzwischen periodischer Kraftanregungund Oszillator

Exp.: Spiralfeder,Video Tacoma Bridge

40

1.3. Erhaltungssätze der Mechanik1.3.1. Energieerhaltung

1.3.1.1. Arbeit und Leistung

b

a

r

rab rdrFW

PM m wird durch Kraft um Weg verschobenF

r F

verrichtet Arbeit W an PM

rFW [W ] = kg m2 s-2 = Nm = J

Beachte: W ist SkalarproduktcosrFW

r

F

wenn constF

Verallgemeinerung:

iiirab rrFW

i

0lim

ar

- Anfangsort br

- Zielort

Arbeit:

Arbeit W >0, wenn Arbeitan PM verrichtet wird !

Arbeit wird immer gegen eine im System vorhandene Kraft (z. Bsp. Schwerkraft, Federkraft) verrichtet

41

Leistung:

Leistung P ist die pro Zeiteinheit an PM verrichtete Arbeit

dtdWP

Falls W zeitunabhängig:t

WP

[P] = Nm s-1

42

1.3.1.2. Kinetische EnergieErfahrung sagt:Um einen Körper zwischen und auf eineGeschwindigkeit v zu beschleunigen, muss mandie Arbeit W verrichten.

0r r

2

2vmEkin

Die Arbeit W ist in Form von kinetischer Energie in dem sich bewenden Körper gespeichert.

v

v

r

r

r

rdtv

dtvdmrdamrdrFW

000

v

vvmvdvm

0

2

2

kinetischer Energie: [Ekin] = Nm

43

1.3.1.3. Potentielle Energie

Idee: Kraft leistet Arbeit an PM

Arbeit wird in PM in Form von potentieller Energie gespeichert

PM kann diese potentielle Energie wiederum in Arbeit umwandeln, die PM selbst verrichtet

Definition: ab

r

rabpot WrdrFrrE

b

a

,Epot ist Maß für die im System (PM) gespeicherte Arbeit

Umkehrung:

zrE

yrE

xrE

rF potpotpot

,,

Konzept: Wenn die von der Kraft geleistete Arbeit Wab nicht vom Weg, sondern nur vom Anfangsort und Endort abhängt, dann heißt die Kraft “konservativ“ und wir können eine potentielle Energiedifferenz definieren.

ar

br

FF

abpot rrE , 0 rdF Keine Reibung!

44

1.3.1.4. Energieerhaltungssatz

Berechnen die Zeitableitung der potentiellen Energie:

dtdz

zE

dtdy

yE

dtdx

xE

dttrdE potpotpotpot

dtdE

dtrdmrrmrF kin

2

2

0dt

dEdt

dE potkin

constEEE

EEdtd

gespotkin

potkin

0Energieerhaltungssatz der Mechanik:(gilt bei Vernachlässigung der Reibungskräfte)

Die Gesamtenergie Eges eines abgeschlossenen Systems (keine Reibung !) ist konstant!

dtrdm

vmEkin

2

2

2

2

45

1.3.1.5. Energieerhaltungssatz - Beispielea) schiefe Ebene, keine Reibung

z

z = h

z = 0zg emgF

m

m

1

2

01 v

constEEEEE potkinpotkinges )2()2()1()1(

mghmgdzrdFEhz

z

r

rgpot

0

12

1

02

21 vmEkin

Ort 1:

02 potE 22

2vmEkin Ort 2:

constvmmhgEges 2

200

ghv 2

vv 2

Exp.: schiefe Ebene, v = f(h)

46

bei :

b) Federschwinger, harmonische Schwingung, keine Reibung (Dämpfung)

000 sin txtx

0xtx bei :

00

0

0

20

0 2

xx

x

xx

xR

xxpot

xKKxdxdxFE

21 02

xvmEkin

00 xxkinE

0xtx 2

200

xKE xxpot 00 xx

kinE

bei : 0tx 00 xpotE

220

20

20 0

221

2 xvmxmxKEges 000 xxv

Folgt auch für 0 = 0 aus:

00000 cos00

xtxtxtv

Gesamtenergie des harmonischen Oszillators:

mK

0

47

c) mathematisches Pendel, harmonische Schwingung, keine Reibung (Dämpfung)

mghEpot 0

00 kinE

00 potE

20

20

20

2 glmvmEkin constglmEges 2

02

Exp.: Nagelpendel

0

h

l

2!211cos1

22

0oo mglmglmgl

10

tt 00 sin

tldtld

dtdsv 000 cos

lgllv 0000

48

1.3.2.1. Impulserhaltungssatz

Exp.: Pendelstoß mit mehreren Kugeln

Modell „isoliertes System“: Summe aller Kräfte auf alle N Teilchen im System ist null, d. h.

keine Kraft wirkt von außerhalb auf System! 0N

iiF

0N

i

iN

i

iN

ii dt

pddt

vmdF

constpN

ii Gesamtimpuls der Teilchen in einem

abgeschlossenen System ist konstant!

1.3.2. Impulserhaltung

constpN

iix , constp

N

iiy , constp

N

iiz ,

In jeder Raumrichtung bleibt die Summe aller Impulse erhalten!

49

1.3.2.2. Schwerpunktsatz

Definition Schwerpunkt: isoliertes System

Schwerpunkt eines isolierten Systems ist der Massenmittelpunkt

M

rm

m

rmr

N

iii

N

ii

N

iii

S

constM

p

dtrdv

N

ii

SS

Geschwindigkeit des Schwerpunkts:

Schwerpunkt eines isolierten Systems ruht oderbewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit

Exp.: Impulserhaltung(Impulswagen, Wasserrad, Rakete)

constpvMpN

iiSS

Impuls des Schwerpunkts:Der Gesamtimpuls eines isolierten Systems entspricht dem Impuls des Schwerpunktes und ist konstant

50

1.3.2.3. Stoßprozesse1.3.2.3.1. Zentraler elastischer Stoß

m1 m2

1v 2v

x

Geschwindigkeiten vor Stoß:

Geschwindigkeiten nach Stoß:

0,0,11 vv 0,0,22 vv

0,0,11 uu 0,0,22 uu

Es gilt Impuls- und Energieerhaltung

Impulserhaltungssatz: 22112211 umumvmvm

Energieerhaltungssatz: 222

211

222

211 2

121

21

21 umumvmvm

Lösung für v2 = 0(m2 ruht im Laborkoordinatensystem) 1

21

211 v

mmmmu

121

12

2 vmm

mu

51

Beispiele zentraler elastischer Stoß: 121

211 v

mmmmu

121

12

2 vmm

mu

- m1 = m2, v2 = 0, v1 >0 u1 = 0, u2 = v1

Exp.: Pendelstöße mit m1 = m2

- m1 < m2, v2 = 0, v1 >0 u1 < 0, 0 < u2 < v1

Exp.: Pendelstöße mit m1 m2

- m1 > m2, v2 = 0, v1 >0 0 < u1 < v1, u2 > v1

- m2 = v2 = 0, v1 >0 u1 = -v1, u2 = 0

Exp.: Pendelstoß mit AmbossModell ideales Gas

Reflektion an Wand

Stoß von Gasmolekül mit Wand (Fläche A): Impulsänderung: px = m1u1,x - m1v1,x = -2 m1v1,x

tvm

tpF xx

x

,112führt zu Kraft auf Wand

Druck der Gasmoleküleauf Fläche A V

vNmAFN

p xxx2,11

N Moleküle im Volumen V produizeren Nx Stöße proZeit t auf Fläche A: V

tAvNN xx

,1

2

52

1.3.2.3.2. Zentraler unelastischer Stoß

Exp.: Kugelfall auf Stahl, Messing, Blei

Es gilt nur Impulserhaltung

Impulserhaltungssatz: 22112211 umumvmvm

Energieerhaltungssatz gilt nicht, da Teil der mechanischen Energie in Wärme- undDeformationsenergie umgewandelt wird: 2

22211

222

2112 vmvmumumE

Bei einem perfekten unelastischen Stoß gilt: 21

221121 mm

vmvmuuu

Exp.: unelastische Stöße mit SandsäckenCrash Test (Video)

constpN

ii

53

1.4. Drehbewegung und starrer Körper1.4.1. Spezielle physikalische Größen der Drehbewegung

tr

tv

t

PM

22

21 rmErot

rv

Bahngeschwindigkeit:

rvv ,

222 rv

Rotationsenergie entspricht kinetische Energie bei Drehbewegung:2

21 vmEE rotkin

1.4.1.1. Kinetische Energie bei Drehbewegung - Rotationsenergie

54

1.4.1.2. Drehmoment und Drehbewegung

Exp.: Drehmoment und Drehtisch

Drehmoment FrT

[T] = Nm

x

tr

tv

t

PM

F

Drehmoment als Maß für die Effektivität derangreifenden Kraft bzgl. der Drehbewegung

T

,FT

,rT

sinT

sinrFT

55

Allg. Bewegungsgleichungfür Drehbewegung

1.4.1.3. Drehimpuls und Drehimpulserhaltungssatz

dtpdrFrT

dtpdr

dtpdrpv

dtprd

aber

dt

prdT

dtLdT

prL Drehimpuls [L] = kg m2 s-1

0T

constL

Wenn das angreifende äußere Drehmomentnull ist, bleibt der Drehimpuls erhalten

Drehimpulserhaltungssatz:

Bsp.: Zentralkraft, rF || Gravitationskraft, Planetenbewegung

Coulombkraft, Elektron im H-Atom (Bohr‘s Atommodell)

rrmvmr

56

1.4.2. Mechanik des starren Körpers 1.4.2.1. Model starrer Körper

aufgebaut aus PM mi oder Massenelementen dm mitfesten Abständen untereinander constrr ji

x

y

z

ir imjr

kr

jm

km Modell:

und Gesamtmasse N

iimM

V

dVrM

r

V

- Dichte

-Volumen

bzw.

dVrdm mit

57

x

y

z

ir imjr

kr

jm

km

Sr

Schwerpunkt:M

rm

m

rmr

N

iii

N

ii

N

iii

S

bzw. für homogenen Körper:

VM

S dVrrM

dmrM

r

11

V

S dVrV

r 1

Bewegung des Schwerpunkts:

SSS pvM

dtrdM

GSS F

dtpd

dtrdM

2

2

Schwerpunkt bewegt sich wie PM mit Masse Munter Einfluss einer äußeren Gesamtkraft

(vgl. mit Schwerpunktsatz in 1.3.2.2.)

GF

Exp.: DrehmomentkörperDoppelkegel

Allg. Bewegung des starren Körpers setzt sich zusammen aus Translations-bewegung des Schwerpunkts und Rotationsbewegung um eine Achse durchden Schwerpunkt

VMconstr

dVrdm

58

1.4.2.2. Rotationsbewegung des starren Körpers

1.4.2.2.1. Drehmoment

- Verallgemeinerung der für die einzelne PM abgeleiten Gesetze für die Drehbewegung durchAufsummation für alle PM mi bzw. Massenelement dm des starren Körpers

Idee:

Drehmoment FrT

Exp.: folgsame Rollle

sinrFT

rT

F

- Rotationsachse geht durch Schwerpunkt entlang einer Symmetrieachse des starren Körpers

Gleichgewichtsbedingung 0i

iT

Summe aller angreifenden Drehmomente ist NullExp.: Schwerpunkt Besen

Hebel

59

Torque and Wrenches

wrench

torque is controlled bylength of wrench and forceyou are applying

torque wrench

torque is controlled ormeasured by internal mechanism(mechanical or electronic)

Exp.: Video Reifenwechsel

60

1.4.2.2.2. Rotationsenergie und Trägheitsmoment

22

21 rmErot

PM

Starrer Körper PM,Aufsummation aller PM bzw. Massenelemente

iiirot rmE 22

21

M

rot dmrE 22

21

mit Trägheitsmoment

IErot2

21

M

dmrI 2 [I] = kg m2

für alle mi, da starrer Körperconst

61

62

Anwendung: Zylinder auf schiefer Ebene

Zylindermantel:2

21 MRIV Vollzylinder:

z

z = h

z = 0

)(zvS

)0( zvS

R

2MRIM

Energieerhaltungssatz:

rotvkingeskinpotges EzEzEhzEES

00)( ,,

00)( , zEzEhzE rotvkinpot S

22

21

21

IMvMgh s

Rollen ohne Rutschen: RvS

2

22

21

21

RvIMvMgh s

s

2

2

RIM

MghvS

ZylindermantelVollzylinder

ghv VS 34

, ghv MS ,>Exp.: Zylinder auf schiefer Ebene

0 hzvs ss vzv 0

Ekin desSchwerpunkts

Erot des starrenKörpers

63

1.4.2.2.3. Drehimpuls

PM

Starrer Körper PM,Aufsummation aller PM bzw. Massenelemente

i

iirmL 2

M

dmrL 2

rrmvmrprL

IL

TdtLd

TdtdI

Bewegungsgleichung:

Drehimpulserhaltung:0T

constL

ILIErot 22

1 22

Exp.: Drehstuhl und Drehimpulserhaltung

64

65

1.4.2.2.4. Anwendung – Rotationsspektrum zweiatomiger Moleküle

a) Trägheitsmoment

Bsp.: CO, NO, H2, O2, …

Modell starrer Rotator: konstante Bindungslänge r0Rotationsachse durch Schwerpunkt

21

02

mmrm

m

rmr N

ii

N

iii

S

Schwerpunkt:

202

21 SS rrmrmI

C

r = r0

rr = 0

m1 m2O

r = rS

20

21

2120 r

mmmmrI

21

02

mmrmrS

reduzierte Masse:21

21

mmmm

= 15.74 10-47 kg m2

12C16Or0 = 0.115 nm

13C16O

= 0.115 nm

I = 15.05 10-47 kg m2

Bsp.:

Exp.: Rotation um freie Achsen(Quader, Zylinder)

66

b) Rotationsenergie

ILErot 2

2

Quantenmechanik:(Quantisierung des Drehimpulses)

122 JJL mit Drehimpulsquantenzahl J = 0, 1, 2, …

12

2

, JJI

E Jrot

JrotE ,

1E

2E

3E

0,0 0 EJI

EJ2

1,1

IEJ

2

23,2

IEJ

2

36,3

JJJ EEE 1

1212

2 JJJJ

I

12

JI

c) Rotationsspektrum:

Bestimmung von Iund r0

aus LinienabstandI

2

J = 0 1 2 3 4 5

I

2

I

2

I

2

I

2

E = h

äquidistante Linien

Frequenzbereich: = 2 GHz – 2 THz

20

21

2120 r

mmmmrI

mit

67

1.5. Wellen

Eine Welle ist eine periodische Änderung einer physikalischen Größe, z. Bsp. Auslenkungeiner PM gegenüber ihrer Gleichgewichtslage, in Zeit und Raum.

z

rt ,

Exp.: gekoppelter Oszillator

68

1.5.1. Longitudinale eindimensionale harmonische Welle

zkteAzt zz sin,

Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±z Richtung

Wellenfunktion:(Weg-Zeit-Gesetz)

t

21

T 0, zzt

z

zk

2

ztt ,0

A - Amplitude

- Wellenlänge

2

zk - WellenzahlExp.: longitudinale Welle auf Spiralfeder

zkt z - Phase der Welle

[] = m

[kz] = m-1

69

1.5.2. Transversale eindimensionale harmonische Welle

zkteAzt zyx sin, ,

Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±x oder ±y Richtung

Wellenfunktion:(Weg-Zeit-Gesetz)

t

21

T 0, zzt

z

zk

2

yxtt oder,0

0,,2

22

2

2

zztv

tzt

ph

Wellengleichung:(Bewegungsgleichung)

Exp.: transversale Wellen auf WellenmaschineWellenmodell

phv - Phasengeschwindigkeit

70

1.5.3. Phasengeschwindigkeit

Phasengeschwindigkeit – Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellegenauer, Geschwindigkeit mir der sich eine spezielle Phase, z. Bsp.ein Maximum der Wellenfunktion bewegt zkt z

constzkt z

0 zktdtd

z

Bedingung:

0dtdzkz phv

dtdz

mit

z

ph kvPhasengeschwindigkeit

Explizite Formel für Phasengeschwindigkeit hängt vom speziellen Typ der Welle und Mediumin dem sich die Welle ausbreitet ab!

0 phzvk

71

1.5.3. Beispiele für Wellentypen und Phasengeschwindigkeit

a) Seilwellen Transversalwellen

lmFvph

F – Zugkraft im Seil

m – Masse des Seils

l – Länge des Seils

b) Elastische Wellen in Festkörpern

Exp.: Seilwelle

LongitudinalwellenEvph

E – Elastizitätsmodul

– Dichte

TransversalwellenGvph

G – Schub- bzw. Torsionsmodul

Exp.: Simulation von Wellen im FestkörperPhasengeschwindigkeit einer Longitudinalwelle inAl-Stab

c) Schallwellen in Gasen

pvph

Longitudinalwellen p – Druck

– Dichte

– Adiabatenkoeffizient

Exp.: Simulation von Schallwelle

72

1.5.4. Überlagerung von Wellen1.5.4.1. Stehende von Wellen

Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz und Wellenzahl aber entgegengesetzterAusbreitungsrichtung

Welle in +z Richtung:

Welle in -z Richtung:

zktA z sin1

Superposition: zktzktA zz sinsin21

2

cos2

sin2sinsin

2sin

2cos2 tzkA z

- Phasenunterschied

Schwingung

2sin

t

2cos2 zkA zmit ortsabhängiger Amplitude

zktA zsin2

73

2sin

2cos2

tzkA z

Diskussion:

Schwingungsknoten: 02

cos

zkz 2

122

nzkz

12

422121 nn

kz

z

Schwingungsbäuche: 12

cos

zkz nzkz 2

nn

kz

z

242

1

Amplitude oszilliert zwischen-A und +A mit Schwingungsdauer

2

T

Anwendung: Resonatoren, LASER

74

Exp.: stehende WellenReflektion am freien und festen Ende (Simulation)SeilwelleWellenmaschinestehende Welle im Hörsaal

75

1.5.4.2. Interferenz von WellenSuperposition zweier Wellen gleicher Frequenz, gleicher Wellenzahl und gleicher Ausbreitungsrichtungaber konstanter Phasendifferenz = const

2sin1

zktA z

Superposition:

zktA z

sin2

cos2

2sin2

zktA z

21

2

cos2

sin2sinsin

Amplitude ist abhängig von Phasendifferenz

destruktive Interferenz:(Auslöschung)

konstruktive Interferenz:(Verstärkung)

0 02

cos 12 n

A2 12

cos n2

76

betrachte Phasendifferenz als Gangunterschied z = z2 –z1

z2z1 z

Quelle 1 Quelle 2 zkz

2

zGangunterschied:

destruktive Interferenz:(Auslöschung)

konstruktive Interferenz:(Verstärkung)

122

nz

nz

Exp.: Interferenz von Wasserwellen(Simulation)

Interferenz von Schallwellen

Anwendung: Lichtbeugung, Röntgenbeugung,Elektronen- undNeutronenbeugung

12 n

n2