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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
DISCIPLINA: VIBRAÇÕES MECÂNICAS
PROFESSOR: NEWTON SOEIRO
1º RELATÓRIO:
ANÁLISE DO SISTEMA MASSA-MOLA
DIEGO DE LEON BRITO CARVALHO – 07021001601
BELÉM, ABRIL / 11
SUMÁRIO
1- Introdução
2- Objetivos
2.1- Geral
2.2- Específicos
3- Materiais e Métodos
4- Análise e Discussão dos Resultados
5- Conclusões
6- Referências Bibliográficas
7- Anexos
1- Introdução
Praticamente qualquer parte feita de um material elástico possui alguma
“mola” dentro de si. Molas são projetadas para prover uma força de tração,
compressão ou um torque, ou principalmente guardar energia. Muitas
configurações de molas são possíveis, pois algumas vezes a tarefa requer uma
mola projetada segundo as necessidades do projeto.
Independente da configuração da mola, esta possui uma constante de
mola k, definida como a inclinação da sua curva força-deformação. Se a
inclinação for constante, a mola é linear e k pode ser definido como:
K= Fy
Equação 1
Onde F é a força aplicada e y a deflexão. Uma vez que a função
deformação pode ser sempre determinada para cada geometria conhecida e
carregamento, e porque a função de deformação expressa uma relação entre
força aplicada e deflexão, ela pode facilmente ser rearranjada algebricamente
para expressar k como escrito na equação acima.
A constante de mola pode ser um valor constante (mola linear) ou pode
variar com a deflexão (mola não-linear). Ambas têm suas aplicações, mas
frequentemente queremos uma mola linear para controlar o carregamento. A
equação para cálculo da constante da mola é:
K= Fy= d4G
8D3 Na Equação 2
Em geral um sistema vibratório inclui um meio para armazenar energia
potencial elástica (mola), um meio para armazenar energia cinética (massa) e
um meio de perda gradual de energia (amortecedor). No presente experimento
foram consideradas algumas hipóteses com o intuito de simplificar a análise
física do problema, das quais podemos destacar:
O sistema é discreto, pois se necessita de apenas uma coordenada (1
grau de liberdade) para descrevê-lo.
O sistema não é amortecido, isto é, não há dissipação de energia.
O sistema é linear, logo o seu movimento de translação é retilíneo.
2- Objetivos
2.1- Geral
Analisar a influência da massa da mola no comportamento dinâmico do
sistema.
2.2- Específicos
1- Calcular a rigidez da mola de forma analítica e comparar com o
resultado obtido através da tangente do gráfico (força x deformação)
2- Calcular a massa efetiva do sistema de forma analítica e comparar com
o resultado obtido através da tangente do gráfico (período x massa)
3- Calcular os períodos de acordo com a variação da massa dos discos
desconsiderando a massa da mola e, posteriormente, calculá-los
considerando a massa da mola. O erro resultante da comparação de
ambos os resultados será analisado.
4- Comparar os períodos obtidos experimentalmente com os resultados
analíticos, considerando a massa da mola.
5- Analisar e discutir os resultados experimentais e analíticos para
compará-los com a fundamentação teórica abordada em sala de aula.
3- Metodologia
Os dados do sistema utilizado para realização do experimento são
apresentados na tabela abaixo:
Tabela 1: valores fornecidos.
Peso da mola 0,162kg mef
Peso da haste 1,5kg ma
Peso do disco 0,4kg md
Diâmetro interno 0,0387m di
Diâmetro externo 0,0454m de
Diâmetro do fio 0,00335m d
Número de espira ativas 18 -
Os materiais utilizados são listados abaixo:
Bancada universal para testes de vibração.
Paquímetro utilizado para medição dos diâmetros externo, interno e do
fio da mola.
Cronômetro para medição dos períodos de oscilação.
Software Excel para realização dos cálculos analíticos e plotagem dos
gráficos para obtenção das curvas.
Figura 1: Esquema do sistema massa-mola empregado no experimento.
Figura 2: Bancada de testes utilizada para realização do experimento.
O experimento consistiu na verificação da influência da massa da mola
no comportamento dinâmico do sistema. Foram fornecidas as medidas
anteriormente apresentadas na Tab. 1.
Para iniciar a primeira etapa do experimento, ajustamos a régua da
bancada de testes (graduada em milímetros) à haste fixa de massa constante,
com o objetivo de posicionarmos o eixo de referência (ponto de equilíbrio
estático) para o movimento da mola. É importante destacar que no ponto de
equilíbrio temos a influência da massa da haste.
Figura 3: Régua da bancada de testes em detalhe.
Registramos a deformação correspondente na mola considerando
apenas a massa da haste. Acrescentamos o primeiro disco (massa constante)
à haste fixa e repetimos o mesmo procedimento. Novamente registramos a
deformação da mola, equivalente ao acréscimo do primeiro disco. Esse
processo se repetiu por mais quatro vezes, até que massa do disco alcançasse
2kg (5 discos), sendo que a cada acréscimo de disco eram registrados as
deformações correspondentes.
Figura 4: Disco e paquímetro utilizados nas etapas do experimento. Mola em detalhe.
Ainda na primeira etapa do experimento, repetimos o mesmo
procedimento. Desta vez a massa do disco iniciava com 2kg e a operação foi
realizada até que o sistema não apresentasse nenhum disco. Por meio da
variação da massa do disco e com a aceleração da gravidade, podemos
encontrar os valores de força que a mola ficou submetida.
De posse dos valores de deformação correspondentes a cada variação
de força, podemos plotar o seguinte gráfico:
Gráfico 1: Força x Deformação
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250
5
10
15
20
25
f(x) = 846.831261101244 x + 0.212579040852573R² = 0.998883532098452
Experimental
Linear (Experimental)Deformação (m)
Forç
a (N
)
Através do coeficiente angular da equação da reta, podemos obter o a
constante de rigidez da mola k. Esse valor experimental é comparado com o
valor de k calculado analiticamente através da Equação 2.
k=((78*10^9)*(0,00335^4))/(8*18*((0,0387+0,00335)^3))
k= 917,5 N/m
O erro comparativo entre a rigidez experimental e a rigidez analítica é:
Erro= 7,7%
Na segunda etapa do experimento deixamos novamente o sistema sem
a massa dos discos, considerando o ponto de partida apenas com a massa da
haste. Aplicamos um impulso para iniciarmos o deslocamento da mola e
aguardamos que a mesma completasse 20 ciclos, em movimento retilíneo de
vaivém. Após os 20 ciclos o período de deslocamento foi registrado.
Acrescentamos o primeiro disco (massa constante) à haste fixa e repetimos o
mesmo procedimento. Após os 20 ciclos completos, registramos novamente o
período equivalente. Esse processo se repetiu por mais quatro vezes, até que
massa do disco alcançasse 2kg, sendo que a cada 20 ciclos eram registrados
os períodos correspondentes.
De posse dos valores de período correspondentes a cada variação de
massa dos discos, podemos plotar o seguinte gráfico:
Gráfico 2: Período x Massa
1.5 2 2.5 3 3.50.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
f(x) = 0.0384453616071429 x + 0.0379081610386905R² = 0.962695477793308
Experimental
Linear (Experimental)
Massa do disco (kg)
Perí
odo
(s2)
Através da seguinte Equação 3 podemos calcular a mef de duas formas:
T 2=4 π2
SgM+ 4 π ²
Sgmef Equação 3
Se isolarmos mef na equação, podemos calculá-lo através dos períodos
armazenados. Obtemos então cinco valores para mef e tiramos uma média:
mef=0,36kg
Ou podemos calculá-lo igualando o segundo termo da equação com o
coeficiente linear do gráfico 2, obtemos então:
mef=0,81kg
A partir destes valores, podemos calcular o erro equivalente:
Erro= 55%
Para verificar a influência da massa da mola no comportamento do
sistema e considerando ainda a Equação 3, calculamos o período
analiticamente de duas formas.
A primeira maneira desconsidera a massa da mola, já a segunda leva
em consideração o acréscimo da massa da mola. Obtivemos para ambos os
casos vários valores de período correspondentes as variações da massa do
disco. Calculamos então o erro equivalente a essa comparação de dados (sem
a massa da mola x com a massa da mola). De posse desses dados, podemos
plotar o seguinte gráfico:
Gráfico 3: Erro x Massa do disco
0 0.4 0.8 1.2 1.6 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Massa do disco (kg)
Erro
(%)
Através dos dados do período registrados experimentalmente e o
período calculado analiticamente, podemos comparar o erro equivalente com a
variação da massa do disco.
Gráfico 4: Erro x Massa do disco (Experimental e Analítico)
1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Experimental
Analítico
Massa do disco (kg)
Erro
(%)
4- Análise e Discussão dos Resultados
No que diz a primeira etapa do experimento, verificamos que o erro
equivalente à comparação da rigidez experimental com a rigidez analítica foi de
7,7%. Percebemos então que o valor experimental encontrado está coerente
com o calculado analiticamente.
Com relação à segunda etapa, percebemos que o erro correspondente à
massa efetiva da mola, calculada analiticamente de duas maneiras distintas,
com o auxílio do gráfico 2, é de 55%. Este resultado não era esperado em
função da notória disparidade entre os dois valores.
Os valores encontrados para os períodos, primeiramente considerando a
massa da mola e, posteriormente, desconsiderando essa massa, foram
satisfatórios, visto que a média do erro (2,3%) apresentado foi muito pequena.
A comparação entre a variação do erro dos valores experimentais e
analíticos com a variação da massa do disco também apresentou resultados
satisfatórios, visto que pela análise do gráfico 4 podemos verificar um
comportamento semelhante entre os valores analíticos e os experimentais.
5- Conclusões
Os valores apresentados na primeira etapa do experimento estão de acordo
com a fundamentação teórica ministrada em sala de aula, pois através dos
resultados podemos compreender como é calculada a rigidez da mola num
sistema que apresenta comportamento dinâmico a partir da variação da massa
do elemento de inércia que o compõe. Neste caso verificamos a aplicabilidade
de um sistema massa-mola no que diz respeito à determinação de parâmetros
importantes, tais como a rigidez da mola.
Os resultados equivalentes à massa efetiva da mola não foram satisfatórios,
pois o erro apresentado foi muito superior ao previsto. Isso pode ser explicado
pelo fato de não termos total controle sobre as variáveis que influenciam na
veracidade das informações registradas no experimento. Isto é, a credibilidade
dos resultados é influenciada por parâmetros de experimento, os quais se
destacam:
O sistema não se comporta em movimento retilíneo, isto é, não
apresenta apenas 1 GL.
O sistema é amortecido, pois há dissipação de energia por meio do
contato da haste com o orifício da bancada de teste, o que gera atrito e
a conseqüente perda de energia.
Observamos que os erros na medição do período podem ser
determinantes para a veracidade dos resultados, visto que o mesmo era
realizado apenas a partir do contato visual do operador e de um
cronômetro sem calibragem para tal fim. Notamos que os erros humanos
durante a medição alteram completamente os valores obtidos.
No que diz respeito à análise dos períodos em função do acréscimo de
massa do disco, podemos afirmar que a massa da mola apresenta pouca
influência no comportamento dinâmico do sistema, visto que seu valor é
pequeno se comparado ao acréscimo de massa no corpo rígido. Isto pode ser
notado através do comportamento do erro, que decresce conforme o aumento
da massa do disco. Ou seja, o aumento da massa disco diminui
gradativamente a importância da massa da mola no experimento em questão.
As conclusões referentes à perda significativa da influência da massa da
mola com o aumento da massa do disco é comprovada por meio do gráfico 4,
onde notamos a concordância dos valores experimentais com os analíticos,
que nos leva a concluir que os resultados encontrados são coerentes e que
neste tipo de sistema massa-mola, a massa da mola pode ser desprezada para
efeitos de cálculos.
Notamos ainda que a determinação de parâmetros relacionados a
comportamentos de sistemas vibratórios exige aparato estrutural e
repetibilidade suficientes para que possam nos fornecer credibilidade no que
diz respeito aos valores registrados. As informações fornecidas pelos aparelhos
de medição devem ser constantemente questionadas se realmente
representam a realidade do experimento.
6- Referências Bibliográficas
Projeto de Engenharia Mecânica, Shigley.
Projeto de Máquinas – Uma abordagem Integrada, Norton.
Vibrações Mecânicas, Rao.
7- Anexos
Rotinas do Excel utilizadas nos cálculos.
Deformação(m) Força(N)0 =B3*E3=0,078-0,074 =B4*E3=0,078-0,069 =B5*E3=0,078-0,064 =B6*E3=0,078-0,06 =B7*E3=0,078-0,055 =B8*E3
Cálculo da rigidez Erro(%)=((78*10^9)*(0,00335^4))/(8*18*((0,0387+0,00335)^3))
=((F3-846,83)/F3)*100
Período(s) - média tempo exp. /20
Peso do disco (kg)
Período(s2)
=((6,74+6,21)/2)/20=1,5+0,054
=B3^2
=((6,75+6,23)/2)/20=1,9+0,054
=B4^2
=((7,35+6,89)/2)/20=2,3+0,054
=B5^2
=((7,65+7,36)/2)/20=2,7+0,054
=B6^2
=((8,32+7,94)/2)/20 =3,1+0 =B7
,054 ^2
=((8,49+8,18)/2)/20=3,5+0,054
=B8^2
Cálculo mef Cálculo de mef (k exp)=((846,83*D3)/(4*PI()^2))-C3 =(0,0379*846,83)/(4*(PI()^2))=((846,83*D4)/(4*PI()^2))-C4=((846,83*D5)/(4*PI()^2))-C5 Cálculo de mef (k teo)=((846,83*D6)/(4*PI()^2))-C6 =(0,0379*592,2)/(4*(PI()^2))=((846,83*D7)/(4*PI()^2))-C7=((846,83*D8)/(4*PI()^2))-C8=MÉDIA(G3:G8)
Cálculo de T2 (sem mola) Cálculo de T=((4*PI()^2)*(1,5+L3))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L3+0,054))/846,83=((4*PI()^2)*(1,5+L4))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L4+0,054))/846,83=((4*PI()^2)*(1,5+L5))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L5+0,054))/846,83=((4*PI()^2)*(1,5+L6))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L6+0,054))/846,83=((4*PI()^2)*(1,5+L7))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L7+0,054))/846,83=((4*PI()^2)*(1,5+L8))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L8+0,054))/846,83