1paola suria arnaldi esponenziali e logaritmi grafico canonico esponenziali e logaritmi equazioni...
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11Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
ESPONENZIALI E LOGARITMIESPONENZIALI E LOGARITMI
Grafico canonico Esponenzialie
Logaritmi
equazioni
disequazioni
Dal grafico di... al grafico di.... proprietà
logaritmi
22Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Proprietà delle potenzeProprietà delle potenze
33Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Grafico della funzione esponenzialeGrafico della funzione esponenzialecon a >1con a >1
f(x) = ex
-10
40
90
140
190
240
290
-10 -5 0 5 10
x
y
Leggiamo le proprietà sul grafico
• Domf R
• Imf R+
• Fz. monotona crescente
• Fz. Iniettiva
• Fz. Non suriettiva
• Fz. Non biiettiva
44Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Grafico della funzione esponenzialeGrafico della funzione esponenzialea a xx (con 0<a<1) (con 0<a<1)
f(x)=(1/e) x
f(x) = e -x
-10
40
90
140
190
240
290
-10 -5 0 5 10
x
y
Leggiamo le proprietà sul grafico
• Domf R
• Imf R+
• Fz. monotona decrescente
• Fz. Iniettiva
• Fz. Non suriettiva
• Fz. Non biiettiva
55Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Dall’esponenziale ai logaritmiDall’esponenziale ai logaritmi
•2x = 4 2x = 22 x = 2
•2x = 8 2x = 23 x = 3
•2x = 5 2x = 2? x = ??? x = log2 5
ax = b ↔ x = logab (con a >0 e b >0)
•2x = 4 ↔ x = log24 = 2
•2x = 6 ↔ x = log26
•log28 = x ↔ 2x = 8
•log510= x ↔ 5x = 10
Per defi.
66Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Proprietà dei logaritmiTeoremi dei logaritmi
•loga (m*n) = loga m + logan con a>0, m, n >0
•loga (m/n) = loga m - logan con a>0, m, n >0
•loga (mn) = n* loga m con a>0 m >0
•loga m = (logbm) / (logba) con a, b, m > 0
Convenzioni
log10a = Log a
logea= ln a, con e = 2,71828182818...
Ricorda
Ln o = non esiste!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
loga 1 = 0 , qualsiasi a
loga a = 1 , qualsiasi a
loga a2 = 2 , qualsiasi a
77Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Grafici logaritmici canoniciGrafici logaritmici canonici
f(x) = loga x a>1
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-2 0 2 4 6
x
y 1,38
Leggiamo le proprietà sul grafico
• Domf R+
• Imf R
• Fz. monotona crescente
• Fz. Iniettiva
• Fz. Suriettiva (Imf ≡ R)
• Fz. biiettiva
88Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Grafici logaritmici canoniciGrafici logaritmici canonici
f(x) = logax con 0<a<1
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1,38
Leggiamo le proprietà sul grafico
• Domf R+
• Imf R
• Fz. monotona decrescente
• Fz. Iniettiva (criterio rette orizzontali, oppure monotonia)
• Fz. Suriettiva (Imf ≡ R)
• Fz. biiettiva
99Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Equazioni esponenzialiEquazioni esponenziali• x 2 = 4 equazione di II° (la base della potenza è incognita, l’esponente è un
numero)
• 2 x = 4 equazione esponenziale (la base della potenza è un numero, l’esponente è incognito)
Partiamo dall’analisi di alcuni esempi e poi.... generalizziamo
•a x = k nessuna soluzione (qualunque a e con k appartenente ad R -)
•a x = k ↔ x = logak (qualunque a e con k appartenente ad R+)
•af(x) = ag(x) ↔ f(x) = g(x)
•af(x) = bf(x) ↔ f(x) = 0
•p a2x + q ax + k = 0 ↔ ax = t ; p t2 +q t + k = 0;.... t = .....; x = loga.....
1010Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
DisequazioniDisequazioni
aaf(x) f(x) > k, k > k, k єє R R - - UU {0} {0} ↔ qualsiasi x ↔ qualsiasi x єє R R
aaf(x) f(x) < k, k < k, k єє R R - - UU {0}{0} ↔ ↔ nessuna soluzionenessuna soluzione
aaf(x) f(x) > k, a > 1, k > k, a > 1, k єє R R + + ↔ f(x) > log↔ f(x) > logaa k..... k.....
aaf(x) f(x) < k, a > 1, k < k, a > 1, k єє R R + + ↔ f(x) < log↔ f(x) < logaa k..... k.....
aaf(x) f(x) > k, > k, 0<a<1, k 0<a<1, k єє R R ++ ↔ f(x) ↔ f(x) << log logaa k..... k.....
aaf(x) f(x) < k, a > 1, k < k, a > 1, k єє R R + + ↔ f(x) ↔ f(x) >> log logaa k..... k.....
1111Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Equazioni logaritmicheEquazioni logaritmiche
loglogaf(x)=k, con k єR ↔
loglogaf(x)=0 ↔ f(x) = 1
loglogaf(x)=1 ↔ f(x) = a
loglogaf(x)=logag(x) ↔
K*loglogaf(x)+ h*loglogag(x)= p*loglogar(x); loglogaf(x)k+ loglogag(x)h= logar(x)p; logaf(x)*g(x)=logar(x)p;....... con le condizioni di
esistenza
1212Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Disequazioni logaritmicheDisequazioni logaritmiche
1313Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI FUNZIONEFUNZIONE
• Domf: x2 – 1 > 0 ↔ |x| > 1 oppure x < -1 V x > 1; oppure (- ∞, -1) U (1, +∞);
• Zeri della funzione: f(x) = 0 ↔ ln (x2 – 1) = 0; (x2 – 1) = 1; x2 = 2; |x|=±√2;
• Segno della funzione: f(x) > 0 ↔ ln (x2 – 1) > 0; (x2 – 1) > 1; x2 > 2; |x|>√2 ovvero
x<- √2 V x > √2 ;
f(x) < 0 ↔ dove esiste, ma non è positiva!!! cioè altrove
-√2 -1 1 √2
1414Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI FUNZIONEFUNZIONE
Domf : R oppure (-∞, +∞)
Zeri: f(x) = 0 ↔ ex (x2 – 3x + 2); (legge annullamento prodotto) ex = 0 V x2 –3x +2=0 → poiché ex = 0 non ha soluzione, le soluzioni sono x = 1 e x = 2;
Segno di funzione: è un prodotto di due fattori, il primo dei quali è sempre positivo → il segno della funzione dipende dalla parentesi
f(x) > 0 ↔ (x2 – 3x + 2)>0; disequazione di II grado x<1 V x > 2
f(x) < 0 ↔ (x2 – 3x + 2) <0 1 < x < 2 1 2