Unit 2 Sequences and Series

2‐1  Arithmetic and Geometric SequencesIdentifying sequencesTerm values

2‐2  Arithmetic and Geometric SeriesPartial sumsConvergent geometric series

2‐3  Factorials and the Binomial FormulaSimplify factorialsBinomial series

2‐1 Sequences

Unit 2 Sequences and Series

Concepts and Objectives

Sequences (Obj. #6)Given the first few terms of a sequence, tell whether it is arithmetic, geometric, or neitherFind the nth term of a sequenceFind the index of a given term of a sequence

Sequences

A sequence is a function whose domain is the set of natural numbers ( ) (the term numbers), and whose range is the set of term values.

Examples:  Find a next term for the following:A.  3, 10, 17, 24, 31, …

B.  3, 6, 12, 24, 48, …

Sequences

A sequence is a function whose domain is the set of natural numbers ( ) (the term numbers), and whose range is the set of term values.

Examples:  Find a next term for the following:A.  3, 10, 17, 24, 31, …

38 (add 7)B.  3, 6, 12, 24, 48, …

96 (multiply by 2)

Sequences

An arithmetic sequence is a sequence in which one term equals a constant added to the preceding term.

The constant for an arithmetic sequence is called the common difference, d, because the difference between any two adjacent terms equals this constant.

A geometric sequence is a sequence in which each term equals a constant multiplied by the preceding term.

The constant for a geometric sequence is called the common ratio, r, because the ratio between any two adjacent terms equals this constant.

Sequences

Example:  Is the sequence 4, 7, 10, … arithmetic, geometric, or neither?

Sequences

Example:  Is the sequence 4, 7, 10, … arithmetic, geometric, or neither?

Solution: Check to see if adjacent terms have a common difference or a common ratio:7 – 4 = 3 10 – 7 = 3 common difference

no common ratio

The sequence is arithmetic.

10 77 4≠

Sequences

Formulas for calculating tn for arithmetic and geometric sequences can be found by linking the term number to the term value.Example:  The arithmetic sequence 3, 10, 17, 24, 31, …, has a first term t1 = 3, and common difference d = 7:

Sequences

Formulas for calculating tn for arithmetic and geometric sequences can be found by linking the term number to the term value.Example:  The arithmetic sequence 3, 10, 17, 24, 31, …, has a first term t1 = 3, and common difference d = 7:

1 3t =

2 3 7t = +

( )( )3 3 7 7 3 2 7t = + + = +

( )( )4 3 7 7 7 3 3 7t = + + + = +

( )( )3 1 7nt n= + −

Sequences

The nth term of an arithmetic sequence equals the first term plus (n – 1) common differences.  That is,

We can see that this is a linear function (where n is the independent variable), and if we compare this to the slope‐intercept form, we can see that the slope is d, and the y‐intercept would be t0, or t1 – d if zero were in the domain of the function (remember that our domain is ).

( )1 1nt t n d= + −

Sequences

Similarly, we can construct a geometric sequence:3, 6, 12, 24, 48, …

Sequences

Similarly, we can construct a geometric sequence:3, 6, 12, 24, 48, …

This sequence has t1 = 3 and common ratio r = 2.  Thus:

1 3t =

2 3 2t = i2

3 3 2 2 3 2t = =i i i3

4 3 2 2 2 3 2t = =i i i i13 2nnt−= i

Sequences

The nth term of a geometric sequence equals the first term multiplied by (n – 1) common ratios.  That is,

A geometric sequence is actually just an example of an exponential function.  The only difference is that the domain of a geometric sequence is  rather than all real numbers.

11

nnt t r −=

Sequences ‐ Examples

1. Calculate t100 for the arithmetic sequence17, 22, 27, 32, …

2. Calculate t100 for the geometric sequence with first term t1 = 35 and common ratio r = 1.05.

Sequences ‐ Examples

1. Calculate t100 for the arithmetic sequence17, 22, 27, 32, …

d = 5Therefore, 

2. Calculate t100 for the geometric sequence with first term t1 = 35 and common ratio r = 1.05.

( )( )100 17 100 1 5t = + −17 495 512= + =

( )( )100 1100 35 1.05t −=

( )( )9935 1.05 4383.375262= =

Sequences ‐ Examples

3. The number 68 is a term in the arithmetic sequence with t1 = 5 and d = 3.  Which term is it?

Sequences ‐ Examples

3. The number 68 is a term in the arithmetic sequence with t1 = 5 and d = 3.  Which term is it?

( )( )68 5 1 3n= + −

( )( )63 1 3n= −

21 1n= −22n =

Sequences ‐ Examples

4. A geometric sequence has t1 = 17 and r = 2.  If                  tn = 34816, find n.

Sequences ‐ Examples

4. A geometric sequence has t1 = 17 and r = 2.  If                  tn = 34816, find n.

To solve for n, we will take the log of each side:

( )( )134816 17 2n−=12048 2n−=

1log2048 log2n−=( )log2048 1 log2n= −

log2048 1log2

n= −

11 1n= −12n =