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EXAMEN FINAL CALCULO III PRIMERO 2016 Página 1

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS III

1. Determine los valores extremos de

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2𝑥𝑦 − 12𝑥 − 6𝑦 − 9𝑧

Buscamos las derivadas parciales

𝑓𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑦 − 12

𝑓𝑦 = 2𝑦 + 2𝑥 − 6

𝑓𝑧 = 2𝑧 − 9

Igualamos las derivadas a cero

0 = 3𝑥2 + 2𝑦 − 12

0 = 2𝑦 + 2𝑥 − 6

0 = 2𝑧 − 9

De la tercera ecuación, se tiene

𝑧 = 9

2

De la segunda

𝑦 = 3 − 𝑥

De la primera

0 = 3𝑥2 + 2(3 − 𝑥) − 12

0 = 3𝑥2 + 6 − 2𝑥 − 12


0 = 3𝑥2 − 2𝑥 − 6

Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene

𝑥 = −1.12 ; 𝑥 = 1.8

Si 𝑥 = −1.12, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 3— (−1.12) = 4.12

𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 ( −1.12, 4.12,9

2)

Si 𝑥 = 1.18, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 3— 1.18 = 1.82

𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 ( 1.18,1.82,9

2)

Buscamos las segundas derivadas y planteamos el hessiano

𝐻 = |6𝑥 2 02 2 00 0 2

|

Evaluamos el hessiano en el punto

𝐻( −1.12, 4.12,9

2) = |

6(−1.12) 2 02 2 00 0 2

|

𝐻( −1.12, 4.12,9

2) = |

−6.72 2 02 2 00 0 2

|

Evaluamos

𝐻1 = |−6.72| = −6.72

𝐻2 = |−6.72 2

2 2| = −13,44 − 4 = −17.44


𝐻3 = |−6.72 2 0

2 2 00 0 2

| = 2 |−6.72 2

2 2| = −34.88

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 ( −1.12, 4.12,9

2) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎

Evaluamos el hessiano en el punto

𝐻( 1.18, 1.82,9

2) = |

6(1.18) 2 02 2 00 0 2

|

𝐻( −1.12, 4.12,9

2) = |

7.08 2 02 2 00 0 2

|

Evaluamos

𝐻1 = |7.08| = 7.08

𝐻2 = |7.08 2

2 2| = 14.16 − 4 = 12.16

𝐻3 = |7.08 2 0

2 2 00 0 2

| = 2 |7.08 2

2 2| = 24.32


𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑠 ( 1.18,1.82,9

2) ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜

2. Determine por integración doble, el área encerrada entre las

curvas

𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4 ; ℎ(𝑥) = −2𝑥 + 6

Graficamos las curvas


𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥2𝑥+4

𝑥2

0.5

−1.24

+ ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥−2𝑥+6

𝑥2

1.65

0.5

𝐴 = ∫ 𝑦𝑥22𝑥+4𝑑𝑥

0.5

−1.24

+ ∫ 𝑦𝑥2−2𝑥+6𝑑𝑥

1.65

0.5

𝐴 = ∫ (2𝑥 + 4 − 𝑥2)𝑑𝑥0.5

−1.24

+ ∫ (−2𝑥 + 6 − 𝑥2)𝑑𝑥1.65

0.5

𝐴 = 𝑥2 + 4𝑥 −𝑥3

3|

−1.24

0.5

+ (−𝑥2 + 6𝑥 −𝑥3

3)|

0.5

1.65

𝐴 = 4,965 + 8,416 = 13,381

3. a) Determine el volumen del solido delimitado por los paraboloides

𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥2 − 𝑦2 ; 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2


Buscamos puntos de intersección

𝑥2 + 𝑦2 = 16 − 𝑥2 − 𝑦2

2𝑥2 + 2𝑦2 = 16

𝑥2 + 𝑦2 = 8

Límites de integración en coordenadas polares

𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥16−𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2

√8−𝑥2

−√8−𝑥2

2√2

−2√2

𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃16−𝑟2

𝑟2

2𝜋

0

2√2

0

0 ≤ 𝑟 ≤ 2√2

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋


𝑉 = ∫ ∫ 𝑧𝑟216−𝑟2

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃2𝜋

0

2

0

𝑉 = ∫ ∫ (16 − 2𝑟2)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃2𝜋

0

2

0

𝑉 = (∫ (16𝑟 − 2𝑟3)2√2

0

𝑑𝑟) (∫ 𝑑𝜃2𝜋

0

)

𝑉 = (8𝑟2 −𝑟2

2)

0

2√2

(𝜃)02𝜋

𝑉 = 64𝜋

b) Determine el volumen del solido delimitado por el plano 𝑧 = 4 y el

paraboloide 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2


Cuando 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 se tiene 𝑥2 + 𝑦2 = 4 circunferencia de radio 2

Buscamos los milites de integración en coordenadas polares

𝑧 = 4

0 ≤ 𝑟 ≤ 2

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝑓(𝑟, 𝜃) = 𝑟2


𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃4

𝑟2

2𝜋

0

2

0

𝑉 = ∫ ∫ 𝑧|𝑟24 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

2𝜋

0

2

0

𝑉 = ∫ ∫ (4 − 𝑟2)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃2𝜋

0

2

0

𝑉 = (∫ (4𝑟 − 𝑟3)𝑑𝑟2

0

) (∫ 𝑑𝜃2𝜋

0

)

𝑉 = (2𝑟2 −𝑟4

4)

0

2

(𝜃)02𝜋

𝑉 = 8𝜋

4.a) Determine los extremos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦2 sujetos a la

restricción 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 ≤ 4.

𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦2

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 − 4

Multiplicadores de LaGrange

2𝑥 = (2𝑥 − 2)𝜆


6𝑦 = 2𝑦𝜆

𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 − 4 = 0

De la segunda ecuación

6𝑦 − 2𝑦𝜆 = 0 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 2𝑦(3 − 𝜆) = 0

𝑦 = 0 ; 𝜆 = 3

Si 𝑦 = 0

𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 0

Tenemos los puntos

(−1.23 , 0) , (3.25 , 0)

Si 𝜆 = 3

2𝑥 = (2𝑥 − 2) ∗ 3

2𝑥 = 6𝑥 − 6 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 3

2

(3

2)

2

− 2 (3

2) + 𝑦2 − 4 = 0

𝑦2 =19

4 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 =

±√19

2

Tenemos los puntos

(3

2,√19

2) , (

3

2,−√19

2)

Evaluamos la función en los puntos críticos

(−1.23 , 0) , (3.25 , 0)


𝑓(−1.23,0) = (−1.23)2 = 1.51

𝑓(3.25,0) = (3.25)2 = 10.56

𝑓 (3

2,√19

2) = (

3

2)

2

+ 3 (√19

2)

2

=9

4+

57

4= 16.5

𝑓 (3

2,−√19

2) = (

3

2)

2

+ 3 (−√19

2)

2

=9

4+

57

4= 16.5

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 (−1.23 , 0 , 1.51)

𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 (3

2,√19

2,33

2) , (

3

2,−√19

2,33

2)

b) Determine la distancia mínima del origen a la superficie

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 1

𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜: 𝑑(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2

Aplicando multiplicadores de LaGrange

2𝑥

√𝑥2 + 𝑦2= 𝑦𝜆

2𝑦

√𝑥2 + 𝑦2= 𝑥𝜆


𝑥𝑦 − 1 = 0

2𝑥𝑦

√𝑥2 + 𝑦2= 𝑦2𝜆

2𝑦𝑥

√𝑥2 + 𝑦2= 𝑥2𝜆

𝑥𝑦 − 1 = 0

𝑥2𝜆 − 𝑦2𝜆 = 0

(𝑥2 − 𝑦2)𝜆 = 0

𝜆 = 0 ; 𝑥 = 𝑦

𝑠𝑖 𝜆 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑥 𝑥 = 0 , 𝑦 = 0

𝑥 = 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥2 − 1 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = ±1 ; 𝑦 = ±1

El punto ( 0,0) no esta en la superficie

𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 1

Para cualquier punto (±1 , ±1) la distancia es

𝑑 = √2

5) a) Aplique la regla de la cadena para determinar 𝑑𝑓

𝑑𝑟 ;

𝑑𝑓

𝑑𝑠 si

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 + 4𝑥𝑦 + 𝑒𝑥+𝑦


𝑥(𝑟, 𝑠) = 𝑟2𝐿𝑛𝑠 ; 𝑦(𝑟, 𝑠) = 𝑠2𝐿𝑛𝑟

𝑑𝑓

𝑑𝑟=

𝑑𝑓

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑟+

𝑑𝑓

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑟

𝑑𝑓

𝑑𝑟= (2𝑥𝑦3 + 4𝑦 + 𝑒𝑥+𝑦)2𝑟𝐿𝑛𝑠 + (3𝑥2𝑦2 + 4𝑥 + 𝑒𝑥+𝑦)

𝑠2

𝑟

𝑑𝑓

𝑑𝑠=

𝑑𝑓

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑠+

𝑑𝑓

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑑𝑓

𝑑𝑟= (2𝑥𝑦3 + 4𝑦 + 𝑒𝑥+𝑦)

𝑟2

𝑠+ (3𝑥2𝑦2 + 4𝑥 + 𝑒𝑥+𝑦)2𝑠𝐿𝑛𝑟

b) Determine la derivada implícita de

𝑆𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝐿𝑛(2𝑥2 + 3𝑦2) + 𝑒𝐿𝑛(𝑥3𝑦2) = 0

Reescribimos la función

𝑆𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝐿𝑛(2𝑥2 + 3𝑦2) + 𝑥3𝑦2 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑦𝐶𝑜𝑠(𝑥𝑦) +4𝑥

2𝑥2 + 3𝑦2 + 3𝑥2𝑦2

𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑥𝑦) +6𝑦

2𝑥2 + 3𝑦2 + 2𝑥3𝑦

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