2 3 4 5 6 m u -c x 2. -b x. u – b x – c x 2 = m x.... viento
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Autor: Mario A. Jordán
Fundamentos de Control Realimentado
NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2015 Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la
Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5
Clases 2 y 3 - Versión 1 - 2015
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Contenido básico:
Sistemas Dinámicos
Linealidad
Modelación de plantas según Leyes y Principios de comportamiento dinámico
2
Sistemas dinámicos según áreas de la Física
Identificación paramétrica de sistemas dinámicos
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Un sistema dinámico es lineal si obedece al:
Principio de Superposición
Linealidad
Si un sistema dinámico obedece al Principio de Superposición,
entonces es Lineal
SistemaDinámico
u1(t)u2(t)u1(t) + u2(t)
y(t) = y1(t) + y2(t)
y1(t)y2(t)y(t)
Ejemplo 1
3
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Linealidad
u(t)Sistema Dinámico
dy/dt = y(t) + u(t)
0
Ejemplo 2
dy1/dt = y1 + u1 (t) dy2/dt = y2 + u2 (t)
dy/dt = y + u1 + u2
dy/dt = y + dy1/dt - y1 + dy2/dt – y2
[dy/dt – dy1/dt – dy2/dt] – [y – y1 – y2]= 0
0
y = y1 + y2
y(t)
4
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Modelación según Leyes y Principios de comportamiento dinámico
Sistemas Mecánicos
Sistemas Eléctricos
Sistemas Electromagnéticos
Sistemas Térmicos
Sistemas Electromecánicos
5
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Sistemas Mecánicos
Leyes de Newton – Movimiento rectilíneo
f = m x..
Fuerza = masa x aceleración
o también
6
m
u
-c x2.
-b x.
u – b x – c x2 = m x. . ..
viento
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Sistemas Mecánicos
Sistema amortiguador
m1
m2
resorte
7
Amortiguador
amortiguador
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Sistemas MecánicosSistema multicuerpos: 2 masas
rueda
Chasis/4
elasti-cidad
resorte amortiguador
calle
cota de referencia
2) Cuerpo libre1) Diagrama en bloques
{3) Sistema de ODEs
{O bien
8
Empezamos el análisis con la masa
m2 y luego conla masa m1
Los pesos se contrarrestan con la reacción del suelo.
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Sistemas MecánicosResolución del sistema ODE
Encontrar x(t) e y(t) para un perfil de camino r(t) y CI determinadas
{{
Resolvemos el sistema de ODE (Numéricamente c/MATLAB)
O cambiamos de dominio: Reemplazamos s por d/dt
Y nos queda un sistema algebraico con dos incógnitas X e Y.
9
Cuando encontramos X(s) e Y(s), anti-transformamos en Laplace para hallar x(t) e y(t).
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Sistemas MecánicosResolución del sistema algebraico
٠Se despeja X(s) en la primera ecuación y se reemplaza en la segunda. Nos queda una ecuación en Y(s) solamente.٠Se despeja Y(s) en función de la única entrada R(s)
٠Y(s) expresa, en el dominio s, la oscilación que percibe el conductor del auto para un camino sinuoso R(s).
٠Y(s) debería ser más suave y menos intensa que R(s), por lo menos en la banda de frecuencias de las vibraciones. ٠La parte derecha de la función racional es un filtro pasa-bajos.
10
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Sistemas MecánicosSimulación en MATLAB/SIMULINK
Una vez construido el modelo (Y/R), se deben identificar los parámetros del mismo con experimentos sencillos sobre un amortiguador. De ahí surge el diseño:
11
m1=20 Kg
m2=300 Kg
kw=300 kg/0.03 m = 10.000 Kg/m
ks=0.1 kw= 1.000 Kg/m
b=100 Kg/0.2 m/sec = 500 Kg sec/m
Entrada Salida
Amortiguador
Entrada chirp de intervalo0,01 Hz hasta 2 Hz en 100 s.
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.050.05
-0.05
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.030.03
-0.03
Simulación – Amortiguador duro12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.1
-0.1
r(t) : Chirp de 0.01 Hz a 2 Hz
y(t) según diseño
y(t) con amortiguador duro
segundos
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 104
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.8
-0.8
0.051 2 3 4 5 6 7 8 9
13r(t) : Chirp de 0.01 Hz a 2 Hz
y(t) según diseño
0.03 Simulación – Rueda muy inflada
y(t) con rueda muy inflada
segundos
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.05
-0.05
0.03
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
-0.03
r(t) : Chirp de 0.01 Hz a 2 Hz
Simulación – Rueda desinflada14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 104
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.050.05
-0.05
y(t) con rueda desinflada
y(t) según diseño
segundos
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Sistemas MecánicosLey de Newton (rotacional): Sistema satélite
Fc d+MD=uFc d+MD=u
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Sistemas MecánicosSistemas varios: Engranajes
w2/w1 = k1 n1/n2 = k1
n: número de dientes
w3/w2 = k2 n2/n3 = k2
w3/w1 = n1/n3 = k1 k2
w: velocidad angularw1
w2
w3
Torque 2 / Torque 1 = n2/n1 = 1/k1
Torque 3 / Torque 2 = n3/n2 = 1/k2
Torque 3/Torque 1 = 1/ k1 k2
16
(es decir, el engranaje más pequeño gira más rápido)
(es decir, el engranaje más grande transmite mayor cuplaa su eje)
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Sistemas MecánicosSistemas varios: Engranajes
Relación cualitativa entre torque y velocidad en los cambios de un auto. (Engranaje del eje del auto a la derecha)
Torque 2 / Torque 1 = n2/n1 = 1/k
En la 1ra marcha, el torque aplicado al engranaje motriz de menor número de dientes es amplificado en el eje del engranaje conducido.
Sin embargo la velocidad angular se reduce en este último.
Relación = k : 1
17
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Sistemas MecánicosSistemas varios: Poleas
w2/w1 = k = R1/R2 Torque 2/Torque 1 = 1/k
w2w1
R2R1
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Sistemas MecánicosSistemas varios: Aparejos
Fuerza en el cabo P = peso Q / máximo número de cuerdas entre poleas
19
Fuerza en el cabo T = peso P / número de poleas móviles * 2
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Sistemas Mecánicos
Palanca
Pistones
Diafragma
Columna de agua
Fuerza = presión x Área
Fuerza 1 x L1 = Fuerza 2 x L2
Fuerza = presión x Área
Presión = densidad x g x h
Sistemas varios
Parlante
20
(fem)
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Sistemas ElectomecánicosSistema de disco rígido para lectura
Esquema de fuerzasI1
I2
1
Mc + MD
k(1-2)
k
b(1-2). .
2k(1-2)
b(1- 2). .
b
21
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Sistemas ElectomecánicosSistema de dos cuerpos rotacionales
Cuerpo libre
{Sistema ODE
Sistema Algebraico
Despreciando b y MD, queda un sistema oscilatorio:
22
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Sistema: disco rígido para lectura de datos
Sistemas Electomecánicos
Sistemas repartidos (allocated): A través de Mc se debe llevar a 2 a unareferencia 2 ref pasando por 1 con nexoselásticos (eje del motor)
Sistemas no-repartidos (non-allocated): A través de Mc se debe llevar a 2 a unareferencia 2 ref con un eje rígido del motor,
es decir 2=1 casi instantáneamente.
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Sistema: péndulo
Sistemas Mecánicos
Linealización
I=m l2I=m l2
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Sistema: péndulo
Sistemas Mecánicos
Sistema linealizado:
Transferencia del torque al movimiento de la masa en el puntal
Respuesta impulsiva del péndulo de reloj
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Sistema: Grúa pórtico
Sistemas Mecánicos26
Primero analizamosel carro
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Llegando a 2 ecuaciones linealizadas de los 2 cuerpos interactuando
Reemplazamos las fuerzas N y P
Sistema: Grúa pórtico
{Función de Transferencia de la Planta
Analicemos elsegundo cuerpo
Fuerzas en la dirección de x..
Sistemas Mecánicos27
Pseudo fuerza de Coriolis en la dirección tangencial{ 2da. Ley de Newton
rotacional
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Sistema: Péndulo invertidoSistemas Mecánicos
{
28
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Sistema: Brazo Robótico flexibleSistemas Electromecánicos
29
1er.
mod
o
2do.
mod
o
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Sistema: Brazo Robótico flexibleSistemas Electromecánicos30
Una onda transversal se propaga a lo largo de la barra.
En donde la función deformación de laonda para la posición x y el instante t es:
Su descripción es a través de una Ecuación de Ondas:
y su expresión es:
y
y y
1er Modo de oscilación
2do Modo de oscilación La deformación de la barra obedece a la Teoría de Propagación de Ondas.
y = f(x,t)
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Sistema: Motor DC
Sistemas Electromecánico31
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Sistema: Motor DCSistemas Electromecánicos
Electromagnetismo: Ley de Faraday
Mecánica: 2o Ley de Newton:
Electricidad: Ley de Kirchoff:
32
Torque
Fuerza electromotriz(fem)
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Sistema: Motor DC
Sistemas Electromecánicos
Definición de entrada y salida según el objetivo de control
Entrada: ua Salida: qm
Función de transferencia para control de posición de un motor DC
Modelo de tercer ordencon un integrador
33
Se aplica el operador deLaplace s
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Sistema: Motor DC
Sistemas Electromecánico
Definición de entrada y salida según objetivo de control
Entrada: ua Salida: Wm
La dia /dt + Ra ia = ua – Ke Wm
Jm dWm /dt + b Wm = Kt ia
Modelo simplificado para control de velocidad de un motor DC
con Wm = qm .
Además, si La=0, el modelo es de 1er orden
El modelo resultará de 2do orden
34
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Sistema: Puente T (redes de Zobel)Sistemas Electrónicos
Circuito de red cuya característica es que tiene una impedancia de entrada específica independiente de la función de transferencia entrada-salida
Tiene dos elementos acumulativos de energía (2 capacitores), por tanto sus 2 ODEs poseen dos variables de estado.
Aplicando la ley de Kirchoff de corriente en nodos que involucran a ambos capacitores, se tiene:
35
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Sistema: Puente T, Ecuación de Estado
Sistemas Electrónicos
Ecuación del sistema
Ecuación de salida
Vector de estados
Matrices del sistema y de entrada
Matriz de salida
ODE vectorial de1er orden
36
J = 0Matriz de transferencia directa
Entradavi
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Transmisión de Calor por Conducción: Resistencia térmica
Sistemas Térmicos
R q = T1-T2
R: resistencia térmicaq: flujo de calorT1: Temperatura altaT2: Temperatura bajaT2T1
T1>T2
l
k: Conductividad térmica
37
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Transmisión de Calor por Convección Transferencia térmica entre masas líquidas
Sistemas Térmicos
q = w cv (T1-T2)
w: caudal de masa líquida
cv: calor específico a V=cte
T1: Temperatura alta
T2: Temperatura baja
q: flujo de calorT1
T2
q
w
38
T1>T2
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Ecuaciones básicas: Capacidad térmica
Sistemas Térmicos
q = C dT/dtC: capacidad térmicaq: flujo de calordT/dt: variación de temperatura en un punto
Recinto cerrado conuna fuente de calor
m: masa del aire (fluido)cv: calor específico a V=cte
T q
39
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Sistema: Recinto cerradoSistemas Térmicos
q = C dTi/dt
q = q1 + q2
q1 =1/R1 (Ti-To)
q2 =1/R2 (Ti-To)
dTi/dt =1/C (1/R1+1/R2) (Ti-To)Ecuación del Sistema:
Ti
To
q2
q q1
R1
R2
C
40
aislado
aisl
ado
aislado
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Sistema: Caldera
Sistemas Térmicos41
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Sistema: Intercambiador de calor
Sistemas Térmicos42
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Sistema: IntercambiadorSistemas Térmicos
El vapor transfiere calor a la cámara:
El agua absorbe calor en parte por conducción:
El calor del vapor entregado en la cámara reduce su temperatura:
Válvula de control
Termómetro
43
Ks es el factor de flujo
Cámara El agua absorbe también calor porconvección forzada y aumenta sutemperatura
qw w w
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Sistema: Intercambiador
Sistemas Térmicos
La temperatura del vapor obedece a:
La temperatura del agua obedece a :
El termómetro del agua marca:
44
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Sistema: IntercambiadorSistemas Térmicos
Válvula de control
Termómetro Objetivo de Control
Sistema de ODEs
Matrices de las Ecuaciones de Estado
45
X=Ts
Tw
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Identificación de Sistemas46
Sea:
Sistema Dinámico
u (t) y (t)
Se conoce de él que:1) Es lineal alrededor de un punto de operación de interés
2) Puede excitarse en un intervalo pequeño alrededor del punto el operación de interés midiendo la salida
sensor
PC
3) Puede o no conocerse la estructura de la ecuación diferencial ordinaria ODE
ym (t)
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Identificación de Sistemas47
a) Si se conoce la estructura de la ecuación diferencial,por ejemplo:
b) Si, por el contrario, la estructura de la ODE no es conocida:
Se puede emplear un método frecuencial por ejemplo para determinar los órdenes de los polinomios numerador y denominador de la ODE y luego estimar sus coeficientes.
d3y/dt3 = – a1 d2y/dt2 – a2 dy/dt – a3y + b0 du/dt + b1 u
entonces sólo los coeficientes a1 , a2 , a3, b0 y b1 y b0 son desconocidos y deberán ser determinados.
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Identificación Paramétrica48
Se trata de determinar los coeficientes de la ODE
Frecuenciales: Determinar contantes de tiempo de la
respuesta frecuencial
Métodos
TemporalesDeterminar características singulares de la respuesta al escalón
Métodos estadísticosExcitando al sistema con señales aleatorias o pseudo-aleatorias
La mayoría de las veces se conoce su estructura.
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Sistema Dinámico Lineal
u (t) y (t)
Identificación en dominio frecuencial49
Determinar la estructura y los parámetros del sistema dinámico
u, y
t
1
0
0o
-90o
-180o
-270o
-60db
0db
-20db
-40db
20db
-40dB/dec
-20dB/decM()
()1/2
1/1
(1 s+1) (2 s+1)G(s)=
K
1
Salida en estadoestacionario
Entradasenoidal