2-4=lógica de predicados

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Inteligencia Artificial I

UNIDAD II.- REPRESENTACIÓN DEL CONOCIMIENTO

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LECCIÓN 2.4.- LÓGICA DE PREDICADOS

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2.4.1- Lógica

• Platón y Aristóteles pensaron que el razonamiento humano podría representarse como

una serie de cálculos realizados dentro de “sistemas formales”.

• La lógica es es estudio del pensamiento correcto.

• Tipos de Lógica: Lógica Proposicional y Lógica de Predicados

2.4.2.- Lógica Proposicional

Sintaxis

• Los símbolos usados en la lógica proposicional son:

◦ Las constantes lógicas Verdadero y Falso.

◦ Los símbolos de proposiciones tales como P y Q.

◦

Los conectivos lógicos∧,∨,→

y↔

y paréntesis ().◦ Todas las sentencias se forman combinando los símbolos anteriores mediante

ciertas reglas.

• Las constantes lógicas Verdadero y Falso constituyen sentencias en sí mismas

• Un proposición como P o Q es una sentencia en sí misma.

• Encerrar entre paréntesis una sentencia produce también una sentencia, por ejemplo

(P→ Q).

• Conectivas Lógicas:

• Conjunción (Λ) (y). A la sentencia cuyo conector principal es ∧ (y) se le llama

conjunción, y a sus partes se les llama coyuntos.

• Disyunción (V) (o). A la sentencia cuyo conector principal es ∨ (o) se le llama

Rafael Rivera López1




disyunción, y a sus partes se les llama disyuntos.

• Implicación (→). Una sentencia como P → R se conoce como implicación (o

condicional), su premisa o antecedente es P y su conclusión o consecuente es

Q. A las implicaciones también se les llama reglas “si-entonces”.

• Equivalencia (↔). Una sentencia como P ↔ R se conoce como equivalencia.

También se conoce como regla “si y solo si”.

• Negación ¬ (no). A una oración como ¬P se le llama negación de P. ¬ es el

único de los conectores que funcionan como una sola sentencia.

• Sentencias Atómicas. Verdadero, falso, P, Q, R, S

• Sentencias Compuestas: Un conjunto de sentencias atómicas unidad por conectivos

lógicos.

Semántica:

• Las sentencias atómicas pueden ser verdaderas o falsas.

• Tablas de verdad para conectivas lógicas

P Q ¬P P ∧ Q P ∨ Q P→ Q P↔ QV V F V V V V

V F F F V F F

F V V F V V F

F F V F F V V





Las sentencias compuestas se pueden evaluar usando las tablas de verdad:

P H P ∨ H (P ∨ H) ∧ ¬P ((P ∨ H) ∧ ¬P)→ P

V V V F V

V F V V V

F V V F V

F F F F V

• Validez ó Tautología: Si en la tabla de verdad se obtiene todas VERDAD (■)

• Contradicción: Si en la tabla de verdad se obtiene todas FALSE (□)

• Satisfactibilidad: Si en la tabla de verdad se obtiene al menos una VERDAD

• Contingencia : Si no se tiene suficiente información para llegar a una conclusión

• Equivalencias: Dos fórmulas F y G son equivalentes, denotado por F → G, si y solo

si los valores de verdad de F y G son los mismos bajo cualquier interpretación de F

y G.

• Equivalencias más importantes:

1. Implicación P→Q ↔ ¬P∨Q

2. Doble negación ¬¬P ↔ P

3. De Morgan ¬(P∨Q) ↔ ¬P∧¬Q

¬(P∧Q) ↔ ¬P∨¬Q

4. Conmutativas P∨Q ↔ Q∨P

P∧Q ↔ Q∧P

5. Asociativas P∨(Q∨R) ↔ (P∨Q)∨R

P∧(Q∧R) ↔ (Q∧P)∧R

6. Distributivas P∨(Q∧R) ↔ (P∨Q)∧(P∨R)

P∧(Q∨R) ↔ (P∧Q)∨(P∧R)





7. Idempotencia P∨P ↔ P

P∧P ↔ P

8. Identidad P∨□ ↔ P

P∧■ ↔ P

9. Complemento P∨¬P ↔ ■

P∧¬P ↔ □

10.Dominación P∨■ ↔ ■

P∧□ ↔ □

11.Absorción P∨(P∧Q) ↔ P

P∧(P∨Q) ↔ P

2.4.3.- Lógica de Predicados

• Las proposiciones se pueden analizar en sus elementos internos (objetos y relaciones)

• Representa el mundo en términos de objetos y predicados entre esos objetos . Los

predicados representan propiedades de los objetos o relaciones entre objetos .

Sintaxis:

• Términos: Es una expresión con la que se nombra o designa un único objeto

(constante) o a un grupo de ellos (variable).

• Predicados: Dice algo de un objeto o indica una relación entre varios objetos.

• Cuantificadores: Al usar variables como términos, se pueden evaluar en conjunto o

individualmente. Los cuantificadores dan la idea de agrupación. Existen dos

cuantificadores: Universal (∀) y Existencial (∃).





Términos:

Nombres, frases o descriptores de un individuo u objeto.

Los términos describen completamente a un objeto

María está ausente

Juan va despacio

Este libro es rojo

Dos es menor que tres

Predicados:

Juan es nadadorMaría canta

Susana está triste

José corre deprisa

Representación el Lógica de Predicados:

• Predicados como acciones

María está ausente está_ausente(María) ausente(María)

Juan va despacio va_despacio(Juan)

Este libro es rojo es_rojo(este_libro) rojo(este_libro)

Dos es menor que tres es_menor_que(2,3) menor_que(2,3) <(2,3)

Juan es nadador es_nadador (Juan) nadador (Juan)

María canta canta(María)

Susana está triste esta_triste(Susana) triste(Susana)

José corre deprisa corre_deprisa(José)





• Nombres comunes como predicados:

Chicago es una ciudad ciudad(Chicago)

Marte es un planeta planeta(Marte)

Socrates es un hombre hombre(Socrates)

Conectivas Lógicas

Si Tomás es elegido, entonces Jorge será nombrado

es_elegido(Tomás) → será_nombrado(Jorge)

Catalina se ha retrasado o Rosa se ha adelantado

Juan ganará si y solo si se entrena cada día

Creta es una isla y Jamaica es una isla

Variables

x es un número par es_par(x)

Él es un hombre x es un hombre hombre(x)

Éste es un libro

Fórmula atómica

El Sr. López es el padre de Luis

padre_de_Luis(Sr. López) padre(Sr. López, Luis)

Con variables padre(x,y)

Conectivas Lógicas

Si Miguel Angel fue un artista del Renacimiento, entonces Leonardo Da Vinci fue un

artista del Renacimiento

Términos : Miguel Angel y Leonardo Da Vinci

Predicado: Fue un artista del Renacimiento

Con variables: artista_Renacimiento(x)





artista_Renacimiento(Miguel_Angel) → artista_Renacimiento(Leonardo_Da_Vinci)

Antonio ayuda a Juan y es ayudado por José

Si x es mayor que dos y dos es mayor que z, entonces x es mayor que z

Cuantificadores

• ¿Cuál es la evaluación de es_alto(x)? ¿verdadero o falso?

◦ Solamente dando valor a la variable se puede determinar su valor de verdad.

◦ En general, se puede cuantificar una variable para evaluarla

• Cuantificador Universal (∀): Expresa que el predicado se aplica para todos los

posibles valores de la variable.• Cuantificador Existencial (∃): Expresa que el predicado se aplica a uno o varios de los

posibles valores de la variable

Cuantificador Universal: Significa:

Para cada x

Cada

Para todo xTodo

Cualquiera

Para ningún

Ninguno

Nadie

Nada

No





Ninguno quiere comida con picante

No todas las cosas son bonitas

Todo el mundo no tiene dos buenos ojos

Cada hombre es un animal

No toda mujer tiene el pelo largo

¿Qué significa (∀x)(arbol(x) → planta(x)?


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