2 algebra boole

Departamento de IngenieraElectrnica y Automtica. ULPGC

Electrnica Digital

Electrnica IndustrialJuan Manuel SOSA 1

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lgebra de Boole


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El sistema matemtico de lgica binaria esconocido como lgebra de Boole o de conmutacin.

Se usa normalmente para describir las complejasredes de operaciones de circuitos digitales.

Los diseadores de circuitos digitales usan ellgebra de Boole, para transformar diagramas decircuitos a expresiones algebraicas y viceversa.

lgebra de Boole


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El lgebra Booleana como cualquier sistema dematemtica deductiva, se puede definir con:

Un conjunto de variables Un conjunto de operadores Un nmero de axiomas o postulados

Por qu se usa el lgebra de Boole?Debido a la capacidad del anlisis de la lgicamatemtica, para el estudio de los sistemas digitales.

lgebra de Boole


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lgebra de Boole

Trabaja con: 0 y 1.

Existen dos convenciones:1. Lgica positiva: L o nivel bajo equivale a 0 y H o

nivel alto equivale a 1

2. Lgica negativa: L o nivel bajo equivale a 1 (pocoutilizada) H o nivel alto equivale a 0

En el lgebra de Boole, las seales se nombran convariables: (p.ej. X, Y, Z, CK, RST, etc,)


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lgebra de Boole Conceptos bsicos:

Variable booleana: Solo puede tomar dos valores: 0 10 0V 1 5V

Operaciones bsicas:

Negacin: Complemento: 0 = 1; 1 = 0

Adicin booleana: A B L0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 1 = 11 + 0 = 1

Multiplicacin booleana: A B L0 0 = 00 1 = 01 1 = 11 0 = 0

_ _


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lgebra de Boole

Propiedades de la suma

Conmutativa: A+B = B+AAsociativa: A+(B+C) = (A+B) + C = A+B+CElemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A

Propiedades del producto

Conmutativa: AB = BAAsociativa: A(BC) = (AB)C = ABCElemento Neutro: A1 = 1A = A


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lgebra de Boole Otras propiedades:

Distributivas: A(B+C) = AB + ACA + BC = (A+B)(A+C)

Ley de idempotencia: A + A = AAA = A

Ley de involucin: A = A

Ley de absorcin: A + AB = AA(A+B) = A

Otras: A + AB = A + B (demostracin en sig. transparencia.)A A = 0A + 1 = 1A 0 = 0A + A = 1( A + B ) ( A + C ) = A +BC (demostracin en sig. transp.)

=

__

_


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lgebra de Boole

Demostracin: A + AB = A + B_

A + AB = (A + AB) + AB Ley de absorcin= A + (A + A)B= A +1B= A + B

_ __

Demostracin: (A + B)(A + C) = A + BC

(A + B) (A + C) = AA + AC + AB + BC (siendo AA = A)= A + AC + AB + BC (siendo A + AB = A)= A + BC


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lgebra de Boole Otras propiedades:

Leyes de Morgan:

La negacin del producto de n variables, es igual a la suma de las n variables negadas individualmente.

A B C = A + B + C + 1 Ley de Morgan_ _ _

La negacin de la suma de n variables, es igual al producto de las nvariables negadas individualmente.

A + B + C + = A B C 2 Ley de Morgan_ _ _


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lgebra de Boole

Leyes de Morgan: Demostracin A B = A + B

A B AB AB A B A+B0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 0

___ _ _ _ _

___ _ _

Leyes de Morgan: Demostracin A + B = A B

A B A+B A+B A B AB0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

___ _ _ _ _

____ _ _


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lgebra de Boole

Tablas de verdad

Muestran el resultado de una operacin lgica para cada una de las combinaciones de entradas posibles

A A

0 1

1 0

A B AB0 0

0 1

1 0

1 1

0

0

0

1

A B A+B0 0

0 1

1 0

1 1

0

1

1

1

Complemento Suma Producto


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Funciones lgicas elementales.Puertas lgicas bsicas: Definen funciones booleanas bsicas. Su funcin bsica es la formulacin grfica de una funcin digital o booleana.

A A_ A

BF=A+B F=A BA

B

Funcin NOT Funcin OR (suma) Funcin AND (mult.)

A A

0 1

1 0

A B F0 0

0 1

1 0

1 1

0

0

0

1

A B F0 0

0 1

1 0

1 1

0

1

1

1


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Funciones lgicas elementales.Puertas lgicas: Otras funciones.

Funcin NOR

A B F0 0

0 1

1 0

1 1

1

0

0

0

AB

F=A+B

Funcin NAND

A B F0 0

0 1

1 0

1 1

1

1

1

0

F=A BAB

Funcin XOR

A B F0 0

0 1

1 0

1 1

0

1

1

0

AB

F=A + B

NOTA: El nmero de variables de entrada no esta limitado a dos.ABC

F=A+B+C F=ABCD ABCD


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Funciones lgicas elementales.Puertas lgicas: Equivalencias con puertas NAND.

FNegacin (NOT) A

FA1

Suma (OR)FA

B

Producto (AND)FA

B

F


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Funciones lgicas elementales.Puertas lgicas: Equivalencias con puertas NOR.

FNegacin (NOT) AA0

Suma (OR)

Producto (AND)

F

AB

F

FAB

F


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Funciones lgicas elementales.Problema: Completar el cronograma que representa el funcionamiento del siguiente circuito.

F

A

B

C

A

B

C

F

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1


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F

A

B

C

A

B

C

F

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1


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F

A

B

C

A

B

C

F


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F

A

B

C

A

B

C

F

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1


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Circuitos comerciales con puertas lgicas.(Serie 74xxx)


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Circuitos comerciales con puertas lgicas.


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Funciones lgicas y tabla de verdad.

Existe alguna forma normalizada de expresar funciones lgicas ?

Es posible sistematizar de alguna forma la representacin defunciones lgicas ?

Es posible simplificar las funciones lgicas ?


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Los circuitos digitales pueden venir representados por:

Funcin lgica: Es la ecuacin que da respuesta al problema.

Tabla de verdad: Tabla donde se representan todos las posibles combinaciones de entrada y cual es la salida del sistema.

Circuito elctrico-electrnicodiseado con puertas lgicas o contactos elctricos y que da respuesta al problema.

A B C F0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1


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A B C F0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

A partir de la funcin lgica se puede obtener latabla de la verdad y viceversa.La funcin lgica puede ser simplificada opuede venir dada de forma especial:Formas cannicas.

Minitrminos: Esunasumadeproductosdetodoslostrminosquedan1enlatabladeverdad.(lasvariablesseponennormal)

Maxitrminos: Esunproductodetodaslasumasquedanceroenlatabladeverdad.(Lasvariablesseponennegadas)


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Simplificacin de funciones.

LasfuncionessepuedensimplificarEmpleandoelalgebradeBooleUtilizandolaspropiedadesyteoremasvistosanteriormente(Mascomplicadoymenospreciso)

Utilizandolosmapas(tablas)deKarnaugh.(Massencilloyaseguralamximasimplificacin)


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Simplificacin de funciones.Problema: Empleando el lgebra de Boole, simplificar la siguiente funcin lgica y representarla con puertas lgicas. (1/2)

Elementoneutro

( , , ) F A B C A B C A B C A B C A B C

( ) ( ) F A B C C A C B B

1 1 F A B A C

F A B A C

Empleando la Propiedad Distributiva, agrupamos trminos en parejascon el mayor nmero posible de variables iguales.

Ley del complementario


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Simplificacin de funciones.Problema: Empleando el lgebra de Boole, simplificar la siguiente funcin lgica y representarla con puertas lgicas. (2/2)

( , , ) F A B C A B C A B C A B C A B C

F A B A C(Original)

(Simplificada)

F

A

B

C

Representacin:


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Qu es un Mapa de Karnaugh (MdK)?

Los MdK son una herramienta muy utilizada para la simplificacin de circuitos lgicos.Cuando se tiene una funcin lgica con su tabla de verdad y se desea implementar esafuncin de la manera ms econmica posible, se utiliza este mtodo.

Los MdK reducen la necesidad de hacer clculos extensos para la simplificacin deexpresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humano para elreconocimiento de patrones.

El MdK consiste en una representacin bidimensional de la tabla de verdad de lafuncin a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una funcin de N variables posee2N filas, el mapa correspondiente debe poseer tambin 2N cuadrados. Las variables dela expresin son ordenadas en funcin de su peso y siguiendo el cdigo Gray, demanera que slo una de las variables vara entre celdas adyacentes. La transferenciade los trminos de la tabla de verdad al mapa se realiza de forma directa, albergandoun 0 un 1, dependiendo del valor que toma la funcin en cada fila.

Simplificacin de funciones. Mapa de Karnaugh.


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La tabla de verdad de una funcin lgica, expresa lo que ocurre en lasalida del sistema digital en funcin de los valores de las variables deentrada.

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Las variables de entrada (3 en este ejemplo)se colocan a la izquierda (A, B, C, unacolumna para cada variable).

La salida se coloca a la derecha y tendrtantas columnas como variables de salidaexistan (F).

En el caso de circuitos con ms de una salida (F1, F2, ) se denominancircuitos multifuncin.

Las tablas de verdad son nicas y slo existe una tabla de verdad paracada funcin.


E n t r a d a s Salid

a


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A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

De la tabla de verdad se puede extraer la expresin algebraica en forma cannica (suma o producto) que permite establecer una relacin directa y biunvoca con la tabla de verdad de la funcin.

Expresin en minitrminos (suma de productos):


Las ecuaciones booleanas pueden simplificarse aplicando los teoremasy leyes fundamentales del lgebra de Boole, pero puede ser insuficiente.

E n t r a d a s Salid

a


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La simplificacin de funciones empleando el MdK es eficiente para sistemasde hasta 5 variables.

En la siguientes figuras se muestran mapas de 2 a 5 variables. Observarcomo los valores asignados a estas, tanto en filas, como en columnasadyacentes varan en un bit.

AB 00 01

0

1

ABC 00 01 11 10

0

1

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

ABCDE 000 001 011 010 110 111 101 100

00

01

11

10



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Proceso a seguir:

1 Obtener la Tabla de Verdad de la funcin a simplificar. Habr un MdK para cada funcin de salida.

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Para representar una funcin en MdKpartimos de la expresin en minitrminos(productos de variables) poniendo un 1 en lascuadrculas correspondientes donde lafuncin se hace 1 y 0 donde la funcin tomeel valor 0

ABC 00 01 11 10

0 0 1 0 1

1 1 0 0 1



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Proceso a seguir:

2 Agrupar los 1 adyacentes en grupos de 2N,(2,4,8,..). Cuanto mayor sea el agrupamiento de 1 mejor. Los 1 que pertenezcan a un grupo pueden ser utilizados para otro grupo si hace falta.

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

ABC 00 01 11 10

0 0 1 0 1

1 1 0 0 1



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Proceso a seguir:

3 Obtener la expresin de la funcin. Para ello: De cada agrupacin se deduce un trmino de producto. De ese trmino de producto se elimina la variable que ha cambiado de

estado. La expresin lgica simplificada se compone de la suma de todos los

trminos.

ABC 00 01 11 10

0 0 1 0 1

1 1 0 0 1


(original)

(simplificada)


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Trminos irrelevantes o indiferentes:

Existen funciones en las cuales ciertas combinaciones de sus trminos no seconsideran, porque no se van a presentar nunca.

A este tipo de funciones se denominan incompletas y a esas combinacionesirrelevantes o indiferentes.

En las tablas de verdad y en los MdK se representan por X y puedenutilizarse para la agrupacin de 1 si nos interesa.

Ejemplo: Si se est trabajando con cdigo BCD, los trminos del diez(inclusive) en adelante no tienen sentido, ya que nunca se van a presentar enla entrada; sin embargo constituyen combinaciones vlidas desde el punto devista de la simplificacin.


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AB 00 01

0 0 1

1 0 1

Problema: Simplificar la siguiente funcin.

( , )F A B A

( , )F A B A B A B

Simplificacin de funciones. Mapa de Karnaugh (2 variables).

Hacer la simplificacin, empleando el lgebra de Boole.


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ABC 00 01 11 10

0 0 1 0 0

1 1 1 1 1

( , , )F A B C A B C

Problema: Simplificar la siguiente funcin e implementar el circuito resultante con puertas. Implementar tambin empleando solo puertas NAND. (1/3).


A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

( , , )F A B C A B C A B C A B C A B C A B C


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( , , )F A B C A B C

( , , )F A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C

AB_

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

( , , )F ABC

Simplificacin de funciones. Mapa de Karnaugh (3 variables).Problema: Simplificar la siguiente funcin e implementar el circuito resultante con puertas. Implementar tambin empleando solo puertas NAND. (2/3).


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( , , )F A B C A B C

AB

C

AB_

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

( , , )F ABC


( , , )F A B C A B C A B C A B C A B C A B C



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Para implementar solo con puertas NAND, negamos la funcin dos veces y aplicamos la 2 ley de Morgan a la funcin:


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ABCD 00 01 11 10

00 1 0 0 1

01 1 0 1 1

11 1 0 1 1

10 1 0 0 1

( , , , )F A B C D A D B


A B C D F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1



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DCBA 00 01 11 10

00 1 1 1 1

01 1 1 1 1

11 0 0 1 1

10 0 0 0 0

( , , , )F A B C D A D B

A B C D F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1



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A B C D F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

A B C D

AD

( , , , )F A B C D



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Para implementar solo con puertas NAND, negamos la funcin dos veces y aplicamos la 2 ley de Morgan a la funcin:


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ABCD 00 01 11 10

00 1 1 0 0

01 1 1 0 0

11 0 1 1 0

10 0 0 1 1

( , , , )F ABC D A C B C D A C D

A B C D F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

Observar que los agrupamientos amarillo y verde se desechan, ya que sus 1 forman parte de otros agrupamientos.

Problema: Simplificar la siguiente funcin y obtener el circuito resultante (1/2).



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( , , , )F ABC D A C B C D A C D

A B C D F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

A B C D

AC_

BCD

ACD_

_

Problema: Simplificar la siguiente funcin y obtener el circuito resultante (2/2).



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Ejemplo: MdK de 4 variables, con indeterminados (x).

ABCD 00 01 11 10

00 0 0 X 0

01 1 1 X 1

11 1 1 0 0

10 0 X 0 0

( , , , )F ABC D A D B C D

ABCD 00 01 11 10

00 0 0 X 0

01 1 1 X 1

11 1 1 0 0

10 0 X 0 0

( , , , )F ABC D A D C D

No se usan los indeterminados Se usa un indeterminado

( menos trminos ! )( circuito mas sencillo ! )


2 algebra boole

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