2- complemento de schur

Aula 1 - Complemento de Schur, Transformacoes de Congruencia, LMIs e Estabilidade

IA892 Analise e Controle de Sistemas Lineares

por Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs)Aula 1: Complemento de Schur, Transformacoes de Congruencia, LMIs e

Estabilidade

Pedro L. D. Peres & Ricardo C. L. F. Oliveira

Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUniversidade Estadual de Campinas

2o Semestre 2013

P. L. D. Peres & R. C. L. F. Oliveira IA892 - Analise e Controle de Sistemas Lineares por LMIs - Aula 1 1/35

Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes

Topicos

1 Schur

2 Congruencia

3 LMIs

4 Estabilidade

5 Finsler

6 Lema da Projecao

7 Regioes



Complemento de Schur

Considere a matriz quadrada simetrica X particionada

X =

[A BB C

]com A= A. Se det(A) 6= 0, a matriz C B A1B e o complemento de Schur deX em relacao a A.

Note por exemplo que

X =

[A BB C

]=

[I 0

B A1 I

][A 00 C B A1B

][I A1B0 I

]e portanto det(X ) = det(A)det(C B A1B).

Analogamente, se det(C) 6= 0, ABC1B e o complemento de Schur de X emrelacao a C e

X =

[A BB C

]=

[I BC1

0 I

][ABC1B 0

0 C

][I 0

C1B I

]



Caracterizacao da positividade de X

Considere a matriz quadrada simetrica X particionada

X =

[A BB C

]

X > 0 se e somente se A> 0 e C B A1B > 0

X > 0 se e somente se C > 0 e ABC1B > 0

Se A> 0, X 0 se e somente se C B A1B 0

Se C > 0, X 0 se e somente se ABC1B 0



Complemento de Schur

X =

[A BB C

]=

[I 0

B A1 I

]

T

[A 00 C B A1B

][I A1B0 I

]

T

Como T e uma matriz nao singular:[A BB C

]> 0

[A 00 C B A1B

]> 0

Analogamente,

X =

[A BB C

]=

[I BC1

0 I

][ABC1B 0

0 C

][I 0

C1B I

]

[A BB C

]> 0

[ABC1B 0

0 C

]> 0



Transformacao de Congruencia

Q = T RT Rnn , T Rnn nao singular

Duas matrizes simetricas Q ,R Rnn sao congruentes se existir T Rnn naosingular tal que Q = T RT . Se Q e R sao congruentes, entao Q > 0 se e somentese R > 0.Prova: R > 0x 6= 0, x Rx > 0. Definindo y = T1x , tem-sex Rx = y T RTy = y Qy > 0, y 6= 0 Q > 0.

Note que para R = R Rnn e T Rnm, T RT Rmm. Neste caso,

R > 0 T RT 0 , R > 0 e rank(T ) =m T RT > 0

pois rank(T RT ) = rank(T ) e, se rank(T ) =m, nao existe x 6= 0 tal que Tx = 0

Note que para R = R Rnn e T Rnm

T RT > 0 6 R > 0 ! Por exemplo,[1 0

][1 00 1

][10

]= 1> 0



Funcionais afins

Um funcional f () = f () e afim se, para matrizes quaisquer X ,Y e escalares1,2 R,

f (1X +2Y ) = 1f (X )+2f (Y )

Funcionais afins definem conjuntos convexos

{X : f (X ) 0

};{X : f (X )> 0

};{X : f (X ) 0

};{X : f (X )< 0

}

f (X ) 0, f (X ) 0, f (X )> 0 e f (X )< 0 sao desigualdades matriciais lineares,ou Linear Matrix Inequalities LMIs

Exemplos: para A e Q dadas,

AX +XA+Q 0 ; AXAX +Q < 0 ;

[X AXXA X

]> 0



Desigualdades Matriciais Lineares LMIs

Convexidade

Existem programas computacionais especializados (algorimos convergem emtempo polinomial) na resolucao de LMIs: LMI Control Toolbox (Matlab), Lmitool(Matlab e Scilab), SeDuMi, LMI Solver

Inumeros problemas de controle podem ser formulados como LMIs

Outras aplicacoes (mecanica, otimizacao, etc.)

Formular um problema em termos de LMIs equivale a resolver o problema!

Lyapunov, 1890. A equacao diferencial x = Ax e estavel (trajetorias iniciandoem qualquer ponto convergem para x = 0) se e somente se existir P = P tal que

P > 0 ; AP+PA< 0




Empilhando as variaveis de decisao (incognitas) em um unico vetor x Rm,pode-se re-escrever uma LMI na forma

F (x), F0+x1F1+ +xmFm > 0

com Fi Rnn, i = 0, . . . ,m matrizes contantes simetricas. Note que F (x)> 0

significa que F (x) deve ser definida positiva para todo x , ou seja, y F (x)y > 0para todo vetor y 6= 0.

A LMI F (x)> 0 e equivalente a um conjunto de n desigualdades polinomiaisem x , obtidas impondo-se que os menores principais lderes de F (x) devem sertodos positivos.

A LMI F (x)> 0 e uma restricao convexa, isto e, o conjunto{x : F (x)> 0

}e um conjunto convexo.




Exemplo

X =

[x1 x2x2 x3

]=

[1 00 0

]

F1

x1+

[0 11 0

]

F2

x2+

[0 00 1

]

F3

x3 > 0

AX +XA= (AF1+F1A)x1+(AF2+F2A)x2+(A

F3+F3A)x3 < 0

Note que X > 0 equivale a`s restricoes x1 > 0, x3 > 0 e x1x3 > x22 (nao-linear!)

X > 0 pode tambem ser expressa como um numero infinito de restricoes linearesdo tipo aix bi , pois X > 0 z

Xz > 0, z Rn. Escolhendo por exemplo

z1 =

[10

]; z2 =

[01

]; z3 =

[11

]e impondo z iXzi > 0, chegam-se respectivamente a`s restricoes

x1 > 0 ; x3 > 0 ; x1+2x2+x3 > 0




Desigualdades convexas podem ser convertidas em LMIs por meio docomplemento de Schur.

[Q(X ) S(X )S(X ) R(X )

]> 0 R(X )> 0 , Q(X )S(X )R(X )1S(X ) > 0

Exemplo: A restricao sobre a norma da matriz M(X ) < 1 (maximo valorsingular), com M(X ) Rpq dependendo de maneira afim em X , pode ser escritacomo a LMI [

Ip M(X )M(X ) Iq

]> 0

pois M< 1 equivale a IpMM > 0. O caso q = 1 reduz-se a umadesigualdade quadratica convencional em x .

Exemplo: A restricao c(X )P(X )1c(X )< 1, P(X )> 0, com c(X ) Rn eP(X ) = P(X ) Rnn dependendo de maneira afim em X , pode ser expressa emtermos da LMI [

P(X ) c(X )c(X ) 1

]> 0



Definicoes de estabilidade

O sistema linear contnuo no tempo descrito por x = Ax , com A Rnn, eassintoticamente estavel se qualquer uma das condicoes abaixo for verificada:

limt

x(t) 0, para condicao inicial x(0) arbitraria

maxi

Re{i (A)}< 0, i = 1, . . . ,n

A estabilidade de x = Ax (ou simplesmente a estabilidade de A) pode sertambem investigada por meio de uma funcao de Lyapunov v(x). Para que osistema seja assintoticamente estavel, duas condicoes devem ser verificadas:

v(x)> 0 x 6= 0

v(x)< 0 x 6= 0 solucao de x = Ax



Teorema de Lyapunov

Escolhendo como candidata a` funcao de Lyapunov uma funcao quadraticav(x) = x Px , com P = P a determinar, tem-se

v(x) = x Px > 0, x 6= 0 P > 0

v(x) = x Px+x Px = x (AP+PA)x < 0 AP+PA< 0

Portanto, para determinar se A e estavel, basta procurar uma solucao factvelP = P Rnn para o problema (LMIs):

P > 0 ; AP+PA< 0

Teorema 1 (Lyapunov)

Os autovalores de A tem parte real negativa se e somente se para qualquer matrizsimetrica definida positiva Q a equacao de Lyapunov

AP+PA=Q

tiver uma unica solucao P = P > 0



Sistema de equacoes

Resolvendo a equacao de Lyapunov AP+PA+Q = 0

Matlab: [P]=lyap(A,Q)

Ou: Definindo o produto de Kronecker de duas matrizes A Rmn, B Rpq

AB =

a11B a1nB...

. . ....

am1B amnB

Rmpnq

e a operacao vec (A), A Rmn, como

vec A=[a11 am1 a12 am2 a1n amn

]pode-se reescrever a equacao de Lyapunov AP+PA=Q como

[InA

+A In]vec (P) =vec (Q) sistema de equacoes lineares

Como P e Q sao simetricas, e tambem a equacao de Lyapunov e simetrica,pode-se reduzir o sistema de n2 equacoes lineares acima a n(n+1)/2 equacoescom n(n+1)/2 incognitas.



Solucao por LMIs

Usando LMIs, programe

min Tr(P)

P > 0 ; AP+PA+Q < 0

A minimizacao do traco leva a solucao P para a igualdade

Solucao P = P > 0 existe sempre que A for estavel;



Condicoes equivalentes

Existe P = P > 0 tal queAP+PA< 0

se e somente se existir W =W > 0 tal que

AW +WA < 0

Se P satisfaz a primeira LMI, entao W = P1 satisfaz a segunda e vice-versa

W1(AW +WA)W1 = AW1+W1A

P1(AP+PA)P1 = AP1+P1A

Autovalores de A e A sao os mesmos

A e estavel se e somente se A tambem o for

Homogeneidade:P = P > 0 : AP+PA< 0 P = P > 0 : AP+PA


Estabilidade: caso discreto

O sistema linear discreto no tempo descrito por x(k+1) = Ax(k), com A Rnn

e assintoticamente estavel se qualquer uma das condicoes abaixo for verificada:

limk

x(k) 0, condicao inicial x(0) arbitraria

maxi

|i (A)|< 1, i = 1, . . . ,n

A estabilidade de x(k+1) = Ax(k) (ou simplesmente a estabilidade de A)pode ser tambem investigada por meio de uma funcao de Lyapunov v(x). Paraque o sistema seja assintoticamente estavel, duas condicoes devem ser verificadas:

v(x)> 0 x 6= 0

v(x(k+1))v(x(k)) < 0 x 6= 0 solucao de x(k+1) = Ax(k)



Teorema de Lyapunov

Funcao de Lyapunov v(x) = x Px

v(x) = x Px > 0, x 6= 0 P > 0

v(x(k+1))v(x(k)) = x(k+1)Px(k+1)x(k)Px(k) =

= x(k)(APAP)x(k)< 0 APAP < 0

Portanto, para determinar se A e estavel, basta procurar uma solucao factvelP = P Rnn para o problema (LMIs):

P > 0 ; APAP < 0

Teorema 2 (Lyapunov)

Os autovalores de A tem valor absoluto menor do que 1 se e somente se paraqualquer matriz simetrica definida positiva Q a equacao discreta de Lyapunov

APAP =Q

tiver uma unica solucao P = P > 0



Sistema de Equacoes

Resolvendo a equacao de Lyapunov APAP+Q = 0

Matlab: [P]=dlyap(A,Q)

A equacao de Lyapunov APAP =Q pode ser reescrita como

[AA

]vec (P) = vec (P)vec (Q) sistema de equacoes lineares

Pode ser reduzido a um sistema de n(n+1)/2 equacoes e n(n+1)/2 incognitas.

Usando LMI solversmin Tr(P)

P > 0 ; APAP+Q < 0

Usando complemento de Schur

minP > 0

Tr(P)

[P PAAP PQ

]> 0 APP1PAP+Q < 0

[PQ APPA P

]> 0



Condicoes equivalentes

Existe P = P > 0 tal queAPAP < 0

se e somente se existir W =W > 0 tal que

AWAW < 0

[P APPA P

]> 0

[P1 00 P1

][P APPA P

][P1 00 P1

]=

[P1 P1A

AP1 P1

]> 0

Note ainda que

[0 I

I 0

][P APPA P

][0 I

I 0

]=

[P PAAP P

]

Autovalores de A e A sao os mesmos

A e estavel se e somente se A tambem o for

Homogeneidade:P = P > 0 : APAP < 0 P = P > 0 : APAP


Lema de Finsler

Teorema 3 (Finsler)

Considere w Rn, Q Rnn e B Rmn com rank (B)< n e B uma basepara o espaco nulo de B (isto e, BB = 0).

Entao, as seguintes condicoes sao equivalentes:

w Qw < 0, w 6= 0 : Bw = 0 BQB < 0 R : QBB < 0 X Rnm : Q+X B+BX < 0



Prova

[ ] Todo w tal que Bw = 0 pode ser escrito como w = By . Portanto,

w Qw < 0 w 6=0 : Bw =0 = y BQB

y < 0 y 6=0 = BQB

< 0

[ ]

B

QB< 0 = y B

QB

y < 0 y 6=0 = w Qw < 0 w 6=0 : Bw =0

[ ], [ ] Multiplicando a` esquerda por B e a` direita por B,recupera-se B

QB < 0

[ ] A matriz B pode ser escrita como B = BLBR com BL, BR de rankcompleto. Entao, defina D = BR (BRB

R )

1(BLBL)1/2 e note que

[D

B

](QBB)

[D B

]=

[DQD I D QB

BQD B

QB

]



Comentarios

Como por hipotese e verificado, BQB < 0, e portanto existe R tal que[D QD I D QB

BQD B

QB

]< 0

Consequentemente, existe R tal que QBB < 0

[ ] Se e verificado X =2

B satisfaz a condicao

Comentarios

o Lema de Finsler pode ser utilizado para expressar condicoes de estabilidade(como as condicoes de Lyapunov) em termos de desigualdades matriciais

Introduz novas variaveis (, X ) em condicoes que envolvem apenas Q, B eB

Novos graus de liberdade na analise de sistemas incertos, possibilidade deeliminacao de variaveis e de nao linearidades, possibilidade de estender condicoesde analise para a sntese de controladores e filtros



Condicoes equivalentes (sistemas contnuos)

w =

[xx

]; B =

[A I

]; B =

[I

A

]; Q =

[0 PP 0

]

P = P > 0 tal que[xx

] [0 PP 0

][xx

]< 0 x , x 6= 0 :

[A I

][ xx

]= 0

P = P > 0 tal que[

I

A

] [0 PP 0

][I

A

]= AP+PA< 0

R,P = P > 0 tais que[0 PP 0

]

[A I

] [A I

]=

[AA A+PA+P I

]< 0

X R2nn,P = P > 0 tais que[0 PP 0

]+X

[A I

]+

[A

I

]X

< 0



Condicoes equivalentes (sistemas discretos):

w =

[x(k)

x(k+1)

]; B =

[A I

]; B =

[I

A

]; Q =

[P 00 P

]

P = P > 0 : w [P 00 P

]w < 0 w 6= 0 :

[A I

]w = 0

P = P > 0 :[

I

A

] [P 00 P

][I

A

]= APAP < 0

R,P = P > 0:

[P 00 P

]

[A

I

][A I

]=

[AAP A

A I+P

]< 0

X R2nn,P = P > 0 :[P 00 P

]+X

[A I

]+

[A

I

]X

< 0



Particionando os multiplicadores

Definindo as particoes X1 Rnn, X2 R

nn em X

X =

[X1X2

]

a condicao pode ser reescrita como X1 Rnn, X2 Rnn e P = P > 0 taisque

[X1A+A

X 1 PX1+AX 2

P+X2AX1 X2X

2

]< 0 (caso contnuo)

[P+X1A+A

X 1 X1+AX 2

X2AX1 PX2X

2

]< 0 (caso discreto)

Note que, no caso discreto, com a escolha X1 = 0, X2 = X2 = P recupera-se a

forma de Schur de APAP < 0



Abordagem descritora

Sistemas equivalentes

x = Ax ,

[I 00 0

][xy

]=

[0 IA I

][xy

], y = x

Ao sistema , pode-se associar a seguinte funcao de Lyapunov (aumentada):

v(x) = [P 00 0

] = x Px

Como [P 00 0

]=

[P F0 G

][I 00 0

]=

[I 00 0

][P 0F G

]tem-se que

v(x) = [P F0 G

][I 00 0

] =

[I 00 0

][P 0F G

]

e assim (o smbolo representa um bloco simetrico na LMI)

v(x) = [P F0 G

][0 IA I

] +

[0 A

I I

][P 0F G

] =

[AF +FA PF +AG

G G

]



Lema da Projecao

Dados Q = Q Rnn, A Rmn e B Rrn, existe X Rrm tal que

Q+A X B+BX A < 0

se e somente se

AQA < 0 e B

QB < 0 com A A = 0 , BB = 0

Note que, no caso particular B = I, obtem-se a equivalencia do Lema deFinsler.

Lema da Projecao Recproca

Dados P = P > 0, P Rnn e Q = Q Rnn, tem-se

Q+S+S < 0

se e somente se existir W Rnn tal que[Q+P (W +W ) S +W

S+W P

]< 0



Lema da Projecao: prova

Prova: usando o Lema da Projecao, com X =W e

A =[I I

]; A =

[I

I

]; B =

[I 0

]; B =

[0

I

]; Q =

[Q+P S

S P

]tem-se [

Q+P S

S P

]+

[II

]W

[I 0

]+

[I

0

]W

[I I

]< 0

se e somente se

[I I

][Q+P S S P

][I

I

]=Q+S+S < 0 e

[0 I

][Q+P S S P

][0

I

]=P < 0



Aplicacao: Condicoes Equivalentes de Estabilidade

maxi

Re{i (A)}< 0, i = 1, . . . ,nse e somente se existir P = P Rnn tal que

AP+PA< 0 , P > 0

ou, equivalentemente, se e somente se existir Y = Y Rnn tal que

AY +YA < 0 , Y > 0

Escolhendo Q = 0, S = AY e S =YA no Lema da Projecao Recproca, tem-se ascondicoes equivalentes[

PW W AY +W

YA+W P

]< 0

[WT 00 Y 1

][PW W AY +W

YA+W P

][WT 00 Y 1

]< 0

com WT = (W1).



Fazendo as mudancas de variaveis V =W1, X = Y1 , tem-se[V PV V V V A+X

AV +X XPX

]< 0

aplicando Schur no termo V PV , tem-seV V V A+X V AV +X XPX 0

V 0 P1

< 0

impondo P = X1, tem-seV V V A+X V AV +X X 0

V 0 X

< 0

Note que na ultima expressao a matriz de Lyapunov X nao multiplica a matriz A.



Regioes no plano complexo

O estudo da estabilidade de uma matriz A Rnn resume-se a` identificar umaregiao no plano complexo na qual estao os autovalores i , i = 1, . . . ,n da matriz.

Im

Re

Re{i (A)}< 0 , i = 1, . . . ,n

m

P = P > 0 : AP+PA< 0

Im

Re

1

|i (A)|< 1 , i = 1, . . . ,n

m

P = P > 0 : APAP < 0




Estabilidade em relacao ao semiplano esquerdo deslocado e em relacao aocrculo de raio centrado na origem

Im

Re

Re{i (A+ I)}< 0 , i = 1, . . . ,n

m

P=P > 0 : (A+ I)P+P(A+ I)< 0

Im

Re

1

|i (A/)|< 1 , i = 1, . . . ,n

m

P = P > 0 : APA2P < 0




Estabilidade em relacao a um crculo de raio centrado em ( ,0), distanted do eixo imaginario

Im

Re

d

i{A+ I

}< 1 P = P > 0 : (A+ I)P(A+ I)2P < 0 P = P > 0 :

1

(A+dI)P(A+dI)+(A+dI)P+P(A+dI)< 0



D-estabilidade

Uma regiao D no plano complexo pode ser descrita como

D ={z C : R11+R12z+R

12z

+R22zz < 0

}com R11 = R

11 R

dd , R22 = R22 R

dd submatrizes de R R2d2d dada por

R =

[R11 R12R 12 R22

]sendo que d e a ordem da regiao. Assumindo-se R22 0, tem-se que Drepresenta regioes convexas simetricas em relacao ao eixo real.

i (A)D P =P > 0 : R11P+R12(PA)+R 12(AP)+R22APA< 0

Exemplos (d = 1): Rcont. =

[0 11 0

]; Rdisc. =

[1 00 1

]

RC =

[2d+d2/ 1+d/1+d/ 1/

]crculo de raio centrado em (d,0)


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2- complemento de schur

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