DERET FOURIER

Simon Patabang, ST., MT.

Jurusan Teknik Elektro

Univ. Atmajaya Makassar

Fungsi Periodik

• Suatu fungsi dapat diekspansi ke dalam deret Fourier

maka fungsi tersebut harus periodik.

• Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi periodik dengan

periode T jika untuk setiap x berlaku :

f(x + T) = f(x)

• Contoh 1 :

Fungsi f(x) = sin(x) mempunyai periode T = 2π; 4π; 6π;

sebab :

sin(x) = sin(x + 2 ) = sin(x + 4 ) = sin(x + 6 ) = ….sin(x) = sin(x + 2 π) = sin(x + 4 π) = sin(x + 6 π) = ….

• Nilai T yang paling kecil yang dianggap sebagai periode

suatu fungsi. Dalam contoh ini, fungsi f(x) = sin(x)mempunyai periode 2π.

Contoh.2.

Fungsi f(x) = sin nx, dimana n suatu bilangan bulat positip

merupakan fungsi periodik dengan periode 2π/n , sebab

Ilustrasi untuk n = 2 dapat dilihat pada gambar.

Grak fungsi f(x) = sin 2x dan periodanya

Periodisasi fungsi

Kita dapat membuat fungsi yang didenisikan pada suatu

interval menjadi fungsi periodik dengan cara copy-paste.

Artinya, fungsi y = f(x) dimana x ∈ [a, b] diperluas menjadi y

= b f(x) dimana x ∈ R yaitu

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f(x), x ∈ R dikatakan :

i. Fungsi ganjil jika f( -x) = -f(x) untuk setiap x ∈R;

ii. Fungsi genap jika f(-x) = f(x) untuk setiap x ∈ R:

Contoh fungsi genap dan fungsi ganjil :

a. Fungsi f(x) = cos x merupakan fungsi genap, sebab cos(-x)

= cos x.

b. Fungsi f(x) = sin x merupakan fungsi ganjil, sebab sin(-x) =

-sinx.

c. Fungsi f(x) = x³ merupakan fungsi ganjil, sebab (-x)³ = -x³.

d. Fungsi f(x) = x² merupakan fungsi genap, sebab (-x)²= x².

e. Fungsi f(x) = eˣ bukan merupakan fungsi genap maupun

fungsi ganjil, sebab e-ˣ ≠ eˣ dan eˣ ≠ -eˣ.

Grafik fungsi f(x) = x² (genap) dan f(x) = x³ (ganjil)

Periodisasi fungsi f(x) = x², x ∈ [0, 1].

Deret Fourier fungsi periodik

Misalkan fungsi f(x) periodik dengan periode 2L. Jika fungsi

ini terdefinisi pada interval (c, c + 2L) dimana c suatu

konstanta maka fungsi ini dapat didefinisikan dalam bentuk

deret :

dimana :

Secara khusus, jika fungsi f didenisikan pada interval (-L,L)

yaitu bersesuaian dimana c = -L maka koefisien deret

Fourier di atas menjadi :

Misalkan f : [-L,L] → R.

Jika f genap maka :

Jika f ganjil maka :

• Buktikan kasus f ganjil.

Karena f ganjil maka f(-x) = -f(x).

dan

• Contoh : Carilah deret Fourier untuk fungsi

dan diluar interval ini [-5,5] dilakukan periodisasi

dengan periode = 10.dengan periode = 10.

Penyelesaian.

Diperhatikan bahwa fungsi ini adalah ganjil dimana 2L

= 10, lihat gambar.

Gambar : Grafik fungsi f

• Karena itu, berdasarkan Teorema bahwa fungsi ganjil

nilai an = 0 dan

• Jadi deret Fourier untuk fungsi ini adalah

Untuk melihat bagaimana deret Fourier ini

mengaproksimasi fungsi f(x), kita ambil jumlah parsial

N sukunya seperti terlihat pada Gambar berikut.

Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier untuk n= 3, 8, dan 30

Diperhatikan bahwa semakin dekat dengan titik diskontinu

x = 0 maka aproksimasinya semakin jelek. Fakta ini sesuai

dengan sifat kekonvergenan deret Fourier, yaitu :

dimana f(x+) dan f(x-) menyatakan limit kanan dan limit

kiri. Kode MAT-LAB yang dapat digunakan untuk

mendenisikan N suku pertama deret Fourier diberikan

sebagai berikut

function y = fourier1(x,N)

%N suku pertama deret Fourier contoh 5.1.4

a0=0; y=a0/2;

for n=1:N

an=0; bn=-2/(n*pi)*(cos(n*pi)-1);an=0; bn=-2/(n*pi)*(cos(n*pi)-1);

y1= an*cos(n*pi*x/L)+bn*sin(n*pi*x/L);

y=y+y1;

end

Contoh :

Ekspansikanlah fungsi f(x) = x² pada interval (0,2π) dalamderet Fourier jika fungsi tersebut diperiodisasi denganperiode 2π.

Penyelesaian. Penyelesaian.

Dalam soal ini kita mempunyai L = π . Dengan mengambilc = 0 maka dengan menggunakan teknik integral parsialdiperoleh

Catatan :

Rumus dari integral parsial :

Jika Integral berbentuk:

∫ f(x).g(x) dx = ....?

Misalkan : f(x) = U dan g(x) dx = dV

Maka bentuknya menjadi :

∫ U dV = UV − ∫ V dU

Karena f(x) = x² kontinu didalam interval (0,2π) maka untuk

setiap x ∈ (0, 2π) berlaku :

Deret Fourier jangkauan setengah

• Misalkan suatu fungsi f(x) didenisikan pada interval (0,L),

maka fungsi f(x) dapat diekspansikan kedalam deret

Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada interval

(-L,L).

• Jadi diperlukan pendenisian fungsi pada interval (-L, 0).

• Ada dua cara yang dapat dilakukan, yaitu fungsi f

dikembangkan menjadi fungsi ganjil atau menjadi fungsi

genap.

• Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut.

• Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan

didapat deret :

dimana :

Gambar. Pengembangan menjadi fungsi ganjil

• Sedangkan untuk pengembangan menjadi fungsi genapmaka akan didapat deret

dimana :dimana :

Contoh :

1. Ekspansikanlah fungsi f(x) = cos x, x ∈ [0,π ] dalambentuk deret sinus.

Penyelesaian.

Pertama-tama kita perluas fungsi f(x) = cos x yang semula

didenisikan pada [0,π] menjadi fungsi genap yangdidenisikan pada [-π,π ]

Karena L = π maka berdasarkan deret fungsi ganjildiperoleh an = 0:

untuk n = 1, dengan melihat langkah kedua penjabaran

diatas, diperoleh b1 = 0. Jadi deret sinus untuk fungsi

cosinus adalah

2. Ekspansikanlah fungsi berikut ke dalam

(a) deret sinus

(b) deret cosinus.(b) deret cosinus.

a. Ekspansi deret Sinus :

Penyelesaian

Untuk ekspansi kedalam deret sinus, fungsi f perlu

diperluas menjadi fungsi ganjil seperti terlihat pada

gambar berikut.

Gambar : Aproksimasi fungsi dengan deret Fourier

Karena L = 8 maka diperoleh :

• Dengan menerapkan integral parsial, kemudian

memasukkan batas-batasnya maka akhirnya diperoleh

b. Ekspansi deret Cosinus

Dapat diselesaikan dengan prinsip yang sama dengan

(a). Buat sebagai latihan soal

Sekian