2. el Ángulo geométrico_mod
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Matemática, ángulo geométricoTRANSCRIPT
Un conjunto de puntos Q se denomina convexo, cuando todo segmento determinado por dos puntos cualesquiera del conjunto, está contenido en este conjunto.
Definición
CONJUNTO CONVEXO DE PUNTOS
Se establece que un conjunto de puntos se llama conjunto no convexo si se encuentra que al menos un par de puntos de éste no satisface la condición de convexidad.
Si {M, N} Ì Q Ù Ì Q ® Q es convexo.
MN
Conjunto Convexo Conjunto No Convexo
ÁNGULO GEOMÉTRICO
De acuerdo con esta definición, los rayos que sirven de lados a un ángulo no deben estar en una misma recta, es decir, los rayos no son colineales.
Por lo anterior, el ángulo también se define como la figura formada por dos rayos no alineados de origen común.
DEFINICIÓN
Dados tres puntos A, O y B no alineados, se denomina ángulo geométrico AOB, denotado por AOB o BOA, a la figura formada por la reunión de los rayos OA y OB, llamados lados, cuyo origen común O se llama vértice del ángulo.
[Geometría, E. Moise, Harvard University]
Todo ángulo particiona al plano que lo contiene en tres conjuntos de puntos: el conjunto de puntos del ángulo y dos conjuntos llamados región interior y región exterior del ángulo.
[Fundamentos de Geometría, Hilbert, Alianza Editorial, 1967]
Se denomina partición de un conjunto P, a una colección de subconjuntos de P, ninguno de los cuales es vacío y tales que cada elemento de P pertenece a uno de los subconjuntos de P.
PARTICIÓN DE UN CONJUNTO
Si P es un plano y AOB un ángulo geométrico contenido en dicho plano, entonces se cumple que:
AXIOMA DE PARTICIÓN
YP = R1ÈR2 È{AOB}
Donde R1 es un conjunto convexo y R2 es un conjunto no convexo
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Es la característica de un ángulo referida a la forma en que están dispuestos sus lados y que define su separación.
Todas las unidades de medición angular se han establecido dividiendo a la circunferencia, o arco de ella, en partes iguales.
A) Abertura
Se define la medida de un ángulo como la medida de su abertura.
B) Medida de un ángulo
C) Unidad de medida angular
Medir un ángulo es establecer una comparación entre su abertura con la abertura de otro ángulo tomado como unidad de medida.
En adelante, la abertura de un ángulo se constituye en el objeto de medición.
DEFINICIONES BÁSICAS
11º<> circunferencia
360
1º1'= ó 1º=60'
60
1'1''= ó 1'=60''
60
El transportador
1º = 3600’’
1 circunf. = 360º
Es la unidad de medida de los ángulos geométricos que se define como la 360 ava parte de una circunferencia.
a) El grado
Se define como la 60 ava parte de un grado
b) El Minuto ( ´ )
Se define como la 60 ava parte de un minuto
c) El Segundo ( ´´ )
0º < q < 180º
Si q es la medida del ángulo AOB, entonces según este postulado se cumple que:
Ejemplo.- ¿Cuántos ángulos geométricos se pueden identificar en la figura mostrada?
POSTULADO DE LA MEDIDA DE UN ÁNGULO GEOMÉTRICO
El valor de la medida de un ángulo geométrico AOB, denotado por m AOB, es un número real comprendido entre 0 y 180.
[Geometría Elemental, PhD. Pogorélov, Ed. Mir, Moscú, 1974]
Sólo dos: AOB y BOC
Rpta:
Nota.- Si un ángulo geométrico midiera 0º ó 180º no tendría definidas su región interior ni región exterior.
Ejemplo 1.- Expresemos la medidas de los siguientes ángulos en minutos y segundos:
Ejemplo 2.- Convertir a grados: g = 30º 15’ 18’’
a) a = 30º® a = 30(60’) = 1800’
b) b = 12,5º ® b = 12,5º(60’) = 750’
® g = 30º + 15’ + 18’’® g = 30º + 0,25º + 0,005º® g = 30º,255º
® a = 1800’(60’’) = 21600’’
® b = 750(60’’) = 45000’’
1º
15'=15' =0,25º60'
1º18'' 18 '' 0,005º
3600 ''
I. SEGÚN SU MEDIDA
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS GEOMÉTRICOS
Ángulo Agudo
Ángulo Recto
Ángulo Obtuso
II. SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS
Adyacentes Par lineal ConsecutivosOpuestos por el vértice
III. SEGÚN LA RELACIÓN ENTRE SUS MEDIDAS
ÁngulosComplementarios
ÁngulosSuplementarios
+ a b = 90º + a b = 180º
Nota.- El par lineal formado por dos ángulos adyacentes tiene además la característica de que estos son suplementarios
El complemento de a se denota como:
Ca = 90º - a
El suplemento de a se denota como:
Sa = 180º - a
a) Decimos que a es el complemento de b y viceversa.
b) Decimos que a es el suplemento de b y viceversa.
Prob. 01 (LIBRO)Determinar la medida de un ángulo, si la suma del suplemento y el complemento de dicho ángulo es igual a 160º.
Sea a la medida del ángulo que nos piden, entonces:
Sa = 180 - a Ca = 90 – (1)ay
270º - 2a = 160º
Según el enunciado:
Sa+ Ca = 160º (2)
Reemplazando (1) en (2):(180º - a) + (90º - a) = 160º
\ a = 55º
CONGRUENCIA DE ÁNGULOS
Dos ángulos AOB y PQR, son congruentes, denotado por AOB PQR , cuando sus medidas son iguales.
Ejemplo 1.- En la figura se verifica que: m AOB=m PQR
Luego podemos afirmar que: AOB m PQR
Ejemplo 2.- Sabiendo que:AOB MPRSe pide calcular el valor de “x”.Por definición de congruencia de ángulos geométricos se tiene:
MPR m® x + 13º = 68º \ x = 55º
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Dado un ángulo AOB y un punto P de su región interior, el rayo OP es bisectriz del AOB, si y sólo si los ángulos AOP y POB son congruentes.
Graficamos y asumimos que:
m QOP = x
Prob. 04 (LIBRO)Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; OP: bisectriz del AOB; OQ: bisectriz del COD. Si: m AOC + m BOD = 140º, se pide calcular m QOP.
Por ángulos consecutivos: x = + + b q a . . . (1)
Por dato: m AOC + m BOD = 140° …(*)
Pero: m AOC = 2a + q y m BOD = q + 2b
Reemplazando en (*): (2a + q) + (q + 2b) = 140°Simplificando: + + a q b = 70
... (2)Reemplazando (2) en (1):
x = 70°
® 2a + 2q + 2b = 140°
RECTAS PARALELAS
Dos rectas se llaman paralelas si no se intersectan por más que se prolonguen.
5TO POSTULADO DE EUCLIDES
“Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una paralela a ésta”.
Si la recta AB es paralela a la recta CD se denota como:
P
A B
ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE
Si L1 y L2 son dos rectas paralelas intersectadas por una
tercera recta L3, llamada secante, entonces se verifica que entre todas determinan ocho ángulos congruentes dos a dos.
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES
c @ g
d @ h
b @ f
a @ e
m a=m g
m b=m hÁNGULOS ALTERNOS
EXTERNOS
m c=m e
m d=m fÁNGULOS ALTERNOS
INTERNOS
m a+m h=180º
m b+m g=180ºÁNGULOS CONJUGADOS
EXTERNOS
m d+m e=180º
m c+m f=180ºÁNGULOS CONJUGADOS
INTERNOS
Se dice que dos rectas son perpendiculares, o bien una de ellas es normal a la otra, cuando se cortan en ángulo recto.
RECTAS PERPENDICULARES
Definición
PostuladoPor un punto exterior a una recta pasa una y sola una perpendicular a la primera.
Dos segmentos son perpendiculares si las rectas que los contienen son perpendiculares.
Si la recta AB es perpendicular a la recta CD se denota como: AB^CD
L1
L2
P
\ x = 80º
x = + a b . . . . (1)
Reemplazando (2) y (3) en (1): x = 50º + 30º
Prob. 18 (LIBRO)En la figura mostrada las rectas L1 y
L2 son paralelas, calcular x.
a = 50º . . . . (2)
Se traza L3||L1||L2, de este modo se puede reconocer que:
b = 30º . . . . (3)
Entre L1 y L3, reconocemos que a y 50º son alternos internos, luego:
Entre L2 y L3 por alternos internos, luego:
Propiedad.-Del problema anterior:
x = + a b
Prob. 19En la figura mostrada las rectas L1 y
L2 son paralelas. Se pide calcular x.
A continuación empleamos la propiedad del problema anterior entre L1 y L3:
\ x = 30º
Utilizando la propiedad de ángulos alternos internos se determinan los ángulos comprendidos entre las secantes y las paralelas adicionales.
® x = 10º + 20º
Propiedad.- En este tipo de casos se cumple que:
x + y = + + a b g
Se trazan L3 y L4 paralelas a L1
y L2.