2° incontro - unipr
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2° INCONTROALGEBRA E SISTEMI LINEARI
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Insiemi numerici
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I numeri reali ℝ
L’insieme dei numeri reali soddisfa:
- L’assioma di Dedekind (o assioma di completezza)
- Tutti gli assiomi dei numeri razionali
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I numeri razionali ℚ
Sono tutti i numeri nella forma 𝑎
𝑏con 𝑎 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ∈ ℤ − 0 e sono
definite le seguenti operazioni:
+ : ℚ x ℚ→ ℚ Proprietà associativa
Proprietà commutativa
Esistenza dell’elemento neutro (0)
Esistenza dell’opposto. Che forma ha l’opposto?
∙ : ℚ x ℚ→ ℚ Proprietà associativa
Proprietà commutativa
Esistenza dell’elemento neutro (1)
Esistenza dell’inverso. Che forma ha l’inverso?
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Proprietà distributiva e di ordine totale
𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 = 𝑧(𝑥 + 𝑦)
Ordine totale
𝑥 < 𝑦 𝑎𝑢𝑡 𝑥 = 𝑦 𝑎𝑢𝑡 𝑥 > 𝑦
𝑥 ≤ 𝑦 se e solo se 0 ≤ 𝑦 − 𝑥 ∀𝑥, 𝑦𝜖ℚ
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Assiomi relativi all’ordine
𝒙 ≤ 𝒚 ∧ 𝒛 ∈ ℚ ⇒ 𝒙 + 𝒛 ≤ 𝒚 + 𝒛
𝒙 ≤ 𝒚 ∧ 𝒛 ≥ 𝟎 ⇒ 𝒙 ∙ 𝒛 ≤ 𝒚 ∙ 𝒛
Oss: 0 è l’elemento assorbente in ℚ
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Risolvere le equazioni in ℚ
Si procede usando gli assiomi appena visti
𝑥 + 𝑎 = 𝑏 sse 𝑥 + 𝑎 + −𝑎 = 𝑏 + (−𝑎) sse 𝑥 = 𝑏 − 𝑎 ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℚ
𝑥 ∙ 𝑎 = 𝑏 sse 𝑥 ∙ 𝑎 ∙1
𝑎= 𝑏 ∙ (
1
𝑎) sse 𝑥 =
𝑏
𝑎𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0
Oss: nel primo caso non servono hp. Nel secondo caso è necessario che
𝑎 ≠ 0
Oss: 𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 ≤ 𝑎 ∧ 𝑥 ≥ 𝑎
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Legge di annullamento del prodotto
𝑎 ∙ 𝑏 = 0 𝑠𝑠𝑒 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0
che è equivalente a:
𝑎 ∙ 𝑏 ≠ 0 𝑠𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑏 ≠ 0
in forma più generale:
𝑨 𝒙 ∙ 𝑩 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝑨 𝒙 = 𝟎 ∨ 𝑩(𝒙) = 𝟎
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Proprietà delle potenze
(𝑨𝒎)𝒑 = 𝑨𝒎𝒑
𝑨𝒎𝑨𝒑 = 𝑨𝒎+𝒑
𝑨𝒎𝑩𝒎 = (𝑨𝑩)𝒎 ∀𝐴, 𝐵 > 0 ∀𝑚 ∈ ℝ
∀𝐴 > 0 ∀𝑚, 𝑝 ∈ ℝ
∀𝐴 > 0 ∀𝑚, 𝑝 ∈ ℝ
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Teorema fondamentale dell’algebra
Dato 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
con 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛 ∈ ℂ
∃𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ ℂ 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑐ℎ𝑒 𝑃 𝑥𝑖 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
Oss: non è detto che le n radici siano tutte distinte (concetto molteplicità algebrica)
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Teorema di Ruffini
Dato un polinomio 𝑃(𝑥) di grado n
Se 𝑃 𝑎 = 0 allora ∃𝑄 𝑥 di grado n-1 tale che
𝑃 𝑥 = 𝑄(𝑥)(𝑥 − 𝑎)
N.B.: per calcolare il polinomio Q(x) nel teorema di Ruffini, si deve dividere P(x) per il binomio (x-a), dove P(a)=0
Oss: non confondere teorema di Ruffini con regola di Ruffini
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Esempio con richiamo di divisione polinomi
Si prenda 𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 8. Si osserva che:
I divisori di 8 sono: ±1;±2;±4;±8
Si nota che 𝑃 2 = 23 − 8 = 0. Dunque sfruttando Th. Ruffini, si ha che:
𝑥 − 2 divide (𝑥3− 8)
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Richiamo divisione tra polinomi
𝑥3 0 0 − 8 𝑥 − 2
𝑥2−𝑥3+2𝑥2
0 + 2𝑥2 0 − 8+2𝑥
−2𝑥2+4𝑥
0 + 4𝑥 − 8
+4
+4𝑥 + 8
0
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Esempio
Per quali valori di 𝑎, 𝑏𝜖ℝ
1
𝑎+1
𝑏=
1
𝑎 + 𝑏?
Affinchè abbia senso l’identità, è necessario che:
𝑎 ≠ 0 𝑏 ≠ 0 𝑎 + 𝑏 ≠ 0
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Sotto queste ipotesi si ha che l’identità inziale equivale a:
𝑎 + 𝑏
𝑎𝑏=
1
𝑎 + 𝑏
Moltiplichiamo entrambi i membri per 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 ottengo:
(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎𝑏
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 0
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Divido tutto per 𝑏2:
𝑎
𝑏
2
+𝑎
𝑏+ 1 = 0
Pongo x =𝑎
𝑏e riscrivo l’equazione:
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0
Che non ha soluzioni reali, in quanto il determinante è minore di 0.
Pertanto, ∄𝑎, 𝑏 ∈ ℝ che soddisfano l’identità inziale.
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Esercizio 2.2
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Esercizio 2.3
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Esercizio 2.4a
Risolvere la seguente equazione:
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Esercizio 2.4b
Risolvere la seguente equazione:
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Esercizio 2.4c
Risolvere la seguente equazione:
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Esercizio 2.4d
Risolvere la seguente equazione:
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Esercizio 2.5
Risolvere la seguente equazione:
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Esercizio 2.7
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Esercizio 2.8
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Esercizio 2.9
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Esercizio 2.10
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Esercizio 2.16
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Appendice: radici razionali di un polinomio a coefficienti interi
Teorema:
Sia 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 un polinomio a coefficienti interi, cioè 𝑎𝑖 ∈ ℤ con i=0,1,…,n
Se 𝑃𝑝
𝑞= 0 con
𝑝
𝑞∈ ℚ, allora p divide 𝑎0 e q divide 𝑎𝑛
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EsempioScomporre il seguente polinomio:
2𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 4
Devo cercare i divisori di:𝑎0 = 8 → 1, 2, 4𝑎3 = 2 → 1, 2
Quindi i possibili tentativi che posso effettuare sono:
𝑎 = ±1; ±1
2;±2; ±4
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Si nota che 𝑃 −4 = 0
Quindi si procede con la divisione di 𝑃 𝑥 per 𝑥 + 4
Si ottiene 𝑄 𝑥 = 2𝑥2 + 1
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Osservazione sul teorema e corollario
Ne consegue che le radici razionali, se esistono, sono legate ai divisori di 𝑎0 e 𝑎𝑛
Corollario: 2 ∉ ℚ
Opero una dimostrazione per assurdo. Se per assurdo 2 ∈ ℚ, allora:
∃𝑥 ∈ ℚ: 𝑥2 = 2, ovvero 𝑥2 − 2 = 0
In questa equazione 𝑎0 = −2 e 𝑎𝑛 = 𝑎2 = 1
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I divisori di
𝑎2 sono ±1
𝑎0 sono ±1, ±2
e dunque le possibili soluzioni razionali sono: ±1, ±1
2e nessuno di
questi 4 numeri soddisfa l’equazione iniziale.
Pertanto l’ipotesi ( 2 ∈ ℚ) è assurda, e quindi 2 ∉ ℚ
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Sistemi lineari
Cosa vuol dire risolvere un sistema?
Cercare una soluzione comune a più equazioni
Cercare ҧ𝑥 soluzione di ቐ𝑓1 𝑥 = 0
…𝑓𝑛 𝑥 = 0
⇔ cercare ҧ𝑥 ∈ 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩⋯∩ 𝐴𝑛
Dove 𝐴1 = 𝑥 ∶ 𝑓1 𝑥 = 0 … 𝐴𝑛 = 𝑥 ∶ 𝑓𝑛 𝑥 = 0
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Esercizio 2.6a
Risolvere il seguente sistema di equazioni
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Esercizio 2.6b
Risolvere il seguente sistema di equazioni
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Esercizio 2.6c
Risolvere il seguente sistema di equazioni
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Esercizio 2.6d
Risolvere il seguente sistema di equazioni
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Sistemi lineari nelle variabili x,y
Un sistema lineare nelle variabili x,y:
ቊ𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 = 0𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 = 0
Ha come soluzioni, se ne esistono, le coppie (x,y) che sono soluzioni simultaneamente di entrambe le equazioni.
Le due equazioni A e B, rappresentano rette nel piano cartesiano.
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Interpretazione grafica
Noi sappiamo che le rette possono essere:
- Parallele
- Incidenti
- Coincidenti
Nessuna soluzione. Sistema impossibile.
1 sola soluzione.
∞ soluzioni.
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Sistema di 3 equazioni in 2 incognite
Possono presentarsi diversi casi:
1) Le rette sono distinte tra loro → Sistema impossibile
3) Due rette coincidono e incidono una terza → Una sola soluzione
2) Due rette coincidono e sono parallele alla terza → Sistema impossibile
4) Le tre rette coincidono → Infinite soluzioni
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Come determino soluzioni sistema?
1) Per sostituzione
1) Per riduzione
oppure
Geometricamente
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Esercizio 2.14a
Risolvere il seguente sistema di equazioni nelle due variabili x,y:
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Esercizio 2.14b
Risolvere il seguente sistema di equazioni nelle due variabili x,y:
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Esercizio 2.14c
Risolvere il seguente sistema di equazioni nelle due variabili x,y:
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Esercizio 2.14d
Risolvere il seguente sistema di equazioni nelle due variabili x,y,z:
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Esercizio 2.15b
Disegnare nel piano cartesiano l’insieme soluzione di ciascuna riga del sistema, risolvere poi il sistema:
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Esercizio 2.15c
Disegnare nel piano cartesiano l’insieme soluzione di ciascuna riga del sistema, risolvere poi il sistema: