2. linearna algebra - ic geoss

LINEARNA ALGEBRA(MATRIKE, SISTEM LINEARNIH ENAČB)

1

SISTEM LINEARNIH ENAČB

Reševanje sistema dveh enačb z dvema neznankama

LINEARNA ALGEBRA LINEARNA ENAČBA

Sistem dveh enačb z dvema neznankama rešujemo tako, da iz poljubno izbrane enačbe izrazimo eno neznanko. Nato izraženo vstavimo namesto te neznanke v preostalo enačbo.Zakaj? Tako se znebimo izražene neznanke. Dobimo eno enačbo z eno neznanko, ki je ni težko rešiti. Nato le še izračunamo manjkajočo neznanko. 2

SISTEM LINEARNIH ENAČBReševanje sistema dveh enačb z dvema neznankama


Primer 1: Reši sistem enačb:

Rešitev: 1.način – primerjalni način

3

SISTEM LINEARNIH ENAČBReševanje sistema dveh enačb z dvema neznankama


Rešitev: 2.način - metoda nasprotnih koeficientov

4


Reševanje sistema dveh enačb z dvema neznankama


Primer 2: Reši sistem enačb:

Rešitev: uporabimo metodo nasprotnih koeficientov

5


Reševanje sistema treh enačb s tremi neznankami

Če imamo sistem treh enačb s tremi neznankami (glej sliko zgoraj), se najprej znebimo ene enačbe in ene neznanke. Tako dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama. Nato se spet znebimo ene enačbe in ene neznanke. Tako nam ostane le še ena enačba z eno neznanko, ki pa je ni težko rešiti. Če bi imeli npr. sistem 100 enačb s 100 neznankami, bi se najprej znebili ene enačbe in ene neznanke. Dobili bi sistem 99 enačb in 99 neznank. Nato bi se spet znebili ene enačbe in ene neznanke. Dobili bi sistem 98 enačb z 98 neznankami. Po naslednjem koraku bi dobili sistem 97 enačb s 97 neznankami. Tako bi nadaljevali, dokler ne bi dobili le ene same enačbe, ki pa je ni težko rešiti. Tako velike sisteme rešujemo z računalniki.


6

LINEARNA ALGEBRA MATRIKA

Matrike so uporabne za zapis podatkov, ki so odvisni od dveh kategorij ter za proučevanje koeficientov sistemov linearnih enačb in linearnih transformacij.

7

https://sl.wikipedia.org/wiki/Podatek

https://sl.wikipedia.org/wiki/Koeficient

https://sl.wikipedia.org/wiki/Sistem_linearnih_ena%C4%8Db

https://sl.wikipedia.org/wiki/Linearna_ena%C4%8Dba

https://sl.wikipedia.org/wiki/Linearna_transformacija

LINEARNA ALGEBRA

MATEMATIKA 1 8

MATRIKA

Slike baznih elementov L(vi) zapišemo kot linearne kombinacije elementov baze W:

1 1 2 2( , 1, 2,...,) =i i i mi mL v a w a w a w i n+ + + =

11 12 1

21 22 2

1 2

,Tako dobljena števila zložimo v tabelo ki ji pravimo .matrika

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

1 1 2 2

1 1 2 2

1 11 1 1 2 12 1 2 1 1

11 1 12 2 1 1 1 1 2 2

,( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ... ( )( ... ) ... ( ... )

Če je jen n

n n

m m m m n n mn m

n n m m mn n m

x x v x v x vL v x L v x L v x L v

x a w a w x a w a w x a w a wa x a x a x w a x a x a x w

= + + += + + += + + + + + + + + += + + + + + + + +

1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ).Koordinata pri vektorju je skalarni produkt te vrstice z terico j j j jn nw j a a a n x x x− −

8


MATRIKA – OSNOVNI POJMI

ali krajše



Primer 1:

Rešitev:

Primer 2:


Primer 3:


Primer 4:


LINEARNA ALGEBRA

17

MATRIKA

Funkciji KXL ustreza matrika, sestavljena iz stolpcev, ki predstavljajo K(L(vi)).

11 12 1 11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2 21 22 2

1 2 1 2 1 2

=

m n m

m n m

l l lm m m mn l l lm

b b b a a a c c cb b b a a a c c c

b b b a a a c c c

⋅

cij je skalarni produkt i-te vrstice prve matrike z j-tim stolpcem druge matrike

PRODUKT MATRIK

1 2 11 0 2 1 0 1 1 1 5 30 1 2 0 1 2 2 2 5 3

0 1 0

− − − = − − − −

Produktna matrika ima enako vrstic kot prvi in enako stolpcev kot drugi faktor.

Množenje dveh matrik

17

LINEARNA ALGEBRA MATRIKAMnoženje dveh matrikPrimer 5:


Množenje dveh matrik


Uporaba Excela za računanje z matrikami


DETERMINANTA


Lastnosti determinant


RAČUNANJE DETERMINANT

Primer 6: Izračunaj vrednost determinante:



Determinante 3.reda:


Primer 7: Po Sarrusovem pravilu izračunaj vrednost determinante:


Skalarni produkt elementov neke vrstice ali stolpca s pripadajočimi koeficientiimenujemo razvoj determinante po elementih neke vrstice ali stolpca.



Determinanta reda n:

Determinanta, ki pripada kvadratni matriki reda n, je enaka skalarnemu produktu neke vrstice ali stolpca v matriki z vrsto pripadajočih faktorjev.

Razvoj po i-ti vrstici:


RAČUNANJE DETERMINANTE

Kot primer pokažimo razvoj determinante po prvi vrstici.

In nadaljujemo z razvojem tako, da izračunamo vrednosti sumandov, kar pa že znamo.

Primer 8: Določimo vrednost naslednje determinante z razvojem.



Primer 9a: Določimo vrednost naslednje determinante 4x4 z razvojem a) po 3.vrstici in b) po 2. stolpcu.

Pri izračunu determinante matrike je najboljše izbrati stolpec ali vrstico, ki vsebuje največ ničel – izračun je krajši!



Primer 9b: Določimo vrednost naslednje determinante 4x4 z razvojem.



Vrednost dobljene determinante lahko izračunamo po Sarrusovem pravilu ali z razvojem po prvem stolpcu.

Po Sarrusovem pravilu:



Primer 9b: Določimo vrednost naslednje determinante 4x4 z razvojem.

Zaradi preglednejšega zapisa bomo izpuščali zapisovanje matrik in pisali samo determinante.


RANG MATRIKE

Rang matrike predstavlja število neničelnih vrstic v vrstični kanonični oblikimatrike; število neničelnih vrstic predstavlja število linearno neodvisnih enačb in jeenako številu pivotnih elementov. Rang matrike je torej enak številu linearnoneodvisnih vrstic matrike. Transponiranje matrike njenega ranga ne spremeni,zato je rang matrike enak tudi številu linearno neodvisnih stolpcev matrike.

Če velja r = rang(A) = rang([A|b]), potem rešitev obstaja (rečemo tudi, da je sistem konsistenten).Konsistenten sistem ima:• natanko eno rešitev, ko je število neznank n enako rangu r in• neskončno mnogo rešitev, ko je rang r manjši od števila neznank n (rešitev je odvisna od n−r parametrov).


RANG MATRIKE

Primer 10: Določite rang (B) naslednje matrike

Zamenjamo prvo in drugo vrstico in matriko preuredimo kot:

Podelimo drugo vrstico s 3 in dobimo naslednjo obliko:


RANG MATRIKE

Primer 10:

rang (B) = 3


RANG MATRIKE

Primer 10b:


Cramerjevo pravilo


Primer 11:


Primer 11


Inverzna (obratna) matrika


Primer 12:


Postopek:

1 1A adjAA

− = ⋅

Izračun determinante matrike A: det A = 153

Izračun inverzne (obratne) matrike preko matrike kofaktorjev


“Adjungirana” matrika je transponirana matrika kofaktorjev. Kofaktorji elementov vrste po elementih prve, druge in tretje vrste so:

Matrika kofaktorjev dane matrike je:

Inverzna matrika je:

rešitev sistema je:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

1 111

1 212

1 313

2 121

2 222

2 323

4 11 4 2 1 7 8 7 15

7 2

5 11 1 5 2 1 8 18

8 2

5 41 5 7 4 8 3

8 7

5 61 5 2 6 7 52

7 2

3 61 3 2 6 8 42

8 2

3 51 3 7 5 8 61

8 7

A

A

A

A

A

A

+

+

+

+

+

+

−= − ⋅ = ⋅ − − ⋅ = + =

−= − ⋅ = − ⋅ ⋅ − − ⋅ = −

= − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

−= − ⋅ = − − ⋅ − ⋅ =

= − ⋅ = ⋅ − ⋅ = −

−= − ⋅ = − ⋅ − − ⋅ = −

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

3 131

3 232

3 333

5 61 5 1 6 4 19

4 1

3 61 3 3 1 6 5 33

5 1

3 51 3 4 5 5 37

5 4

A

A

A

+

+

+

−= − ⋅ = − ⋅ − − ⋅ = −

−

= − ⋅ = − ⋅ ⋅ − − ⋅ =−

−= − ⋅ = ⋅ − − ⋅ =


Primer 13 A - iz Primera 11


Primer 13 B - iz Primera 11


Primer 13 C - INV. MATRIKA – METODA KOFAKTORJEV - iz Primera 11


Dane so matrike:

Primer 1:


Rešitev: 1a - EXCEL


Primer 2:


Primer 3:

lesstoli L1 L2

S1 0,075 0,02S2 0,02 0,05

46 26

Določite načrt proizvodnje, da se bo za njihovo proizvodnjo porabila vsa zaloga lesa!


Rešitev: Primer 3:


Rešitev: Primer 3 – uporaba EXCEL-a:


Primer 4:

Količina prevoza betona/vozilo

Gradbišče K1 K2G1 15 10 2500G2 13 10 2400

a) Določite načrt razvoza za vozili K1 in K2 tako, da se bo dostavila vsa zahtevana količina betona!

b) Koliko betona bosta razvozila posamezna kamiona K1 in K2 (v m3)?


Rešitev_Primer 4:


Rešitev_Primer 4:

Odg:

a)Za popolno oskrbo s surovino (betona) za obe gradbišči (G1 in G2) je potrebno zagotoviti 50 voženj s kamionom K1 in 175 voženj s kamionom K2.


Rešitev_Primer 4:

Količina prevoza betona/vozilo

Gradbišče K1 K2S1 15 10 2500S2 13 10 2400

1400 3500 4900

b) Kamion K1 bo razvozil 15*50 m3 = 750 m3 na gradbišče G1, ter 13*50m3=650m3 na gradbišče G2,Kamion K2 bo razvozil 10*175 m3 = 1750 m3 na gradbišče G1, ter 10*175=1750m3 na gradbišče G2.Skupaj bosta pripeljala 750 + 650 + 1750 +1750 = 1400 + 3500 = 4900 m3.


Rešitev_Primer 4 (Excel):


Primer 5: Reši sistem enačb

Rešitev: Uporabimo Cramerjev izrek 4x4

LINEARNA ALGEBRA

MATEMATIKA 1 79

MATRIKA

Matriko poenostavimo z Gaussovim eliminacijskim postopkom:

10

20

10 12 VDoloči tokove v električnem krogu:

I1 I2 I3

Označimo tokove in napišemo Kirchhoffove enačbe za razvejišča I1= I2+ I3 in kroge 10 I1+20 I2 = 12 (padec napetosti v levem krogu)

10 I1+10 I3 = 12 (padec napetosti v zunanjem krogu)20 I2- 10 I3 = 0 (desni krog – enačba je odvečna, ker sledi iz prejšnjih dveh)

1 2 3

1 2

1 3

I I I 010 I 20 I 1210 I 10 I 12

− − = + = + =

1 1 110 20 010 0

0121210

− −

1 0 00 1 00 0

0.720.240.41 8

1 1 1I 0.72A, I 0.24A, I 0.48A= = =

Primer 6:

79

LINEARNA ALGEBRA

MATEMATIKA 1 80

MATRIKA

Primer 6: GJ metoda na klasičen 1. način: PIVOT TABELA

80

LINEARNA ALGEBRA

MATEMATIKA 1 81

MATRIKA

Primer 6: GJ metoda na klasičen 1.način: PIVOT TABELA EXCEL FORMULE

81


REŠITEV:

Primer 7:


Primer 8:


Rešitev _ Primer 8 (Excel):


Rešitev _ Primer 8 (Excel): Metoda kofaktorjevINV_Matrika_GJ_33_kofaktorji.xlsx


Primer 9:


Primer 10:


REŠITEV:

Primer 11:


Primer 12:


Naj število a pomeni število izdelanih izdelkov A in b število izdelanih izdelkov B. Postavimo sistem enačb:

Odg a:Program proizvodnje po podanih pogojih predvideva proizvodnjo 8 enot izdelka A in 4 enote izdelka B.


Dobiček:


Primer 13:

Tehnični koeficienti proizvodnje nam povedo, potrebno porabo kapacitet po enoti proizvodnje. Za en kos izdelka P1 je potrebno 12/100 ure prvega in 16/200 ure drugega stroja, za kos izdelka P2 so ti kazalniki uporabe 12/80 ur prvega stroja in 16/50 drugega stroja.

Naj xi (i=1,2) pomeni število proizvedenih izdelkov P1 in P2.

Sistem enačb je naslednji:1 2

1 2

1 2

1 2

12 12 12 0,875100 8016 16 16 0,85200 500,12 0,15 10,50,008 0,32 13,6

x x

x x

x xx x

+ = ⋅

+ = ⋅

+ =+ =


Primer 13:


Primer 14:


Primer 15:

1 2

1 3

2 3

1 1 17,5

1 1 16

1 1 110

x x

x x

x x

+ =

+ =

+ =

Kjer so x1, x2 in x3 spremenljivke, ki pomenijo število dni vkaterem skupine G1, G2 in G3 opravijo delo samostojno.


1 1A adjAA

− = ⋅


1 1 1 1 510 30 15

xx

+ + = ⇒ = Enačba za odgovor pod b): Vse skupine skupaj bi delo opravile v 5 dneh

2. linearna algebra - ic geoss

Documents