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MATEMÁTICA P/ DETRAN-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima – Aula 01

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AULA 01: MATEMÁTICA

SUMÁRIO PÁGINA

1. Teoria 01

2. Resolução de questões 40

3. Questões apresentadas na aula 76

4. Gabarito 92

Olá!

Hoje temos a nossa primeira aula deste curso de Matemática para o

DETRAN/SP. Trabalharemos os seguintes tópicos do seu edital:

Operações com números reais. Sistemas de medidas usuais.

Introduziremos ainda a regra de três simples, para que você consiga resolver

alguns exercícios. Tenha uma boa aula, e fique à vontade para me procurar através

do fórum disponível na área do aluno!

1. Teoria

1.1 Operações com números reais

As tabelas abaixo resumem o que há de mais importante nessa parte

matéria, e talvez seja suficiente para você relembrar os conceitos básicos.

TABELA 01. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Nome do

conjunto

(e símbolo)

Definição Exemplos Observações

Números

Naturais (N)

Números

positivos

construídos com

os algarismos

N = {0, 1, 2, 3 …}

Subconjunto dos números

positivos:

N* = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11...}




de 0 a 9, sem

casas decimais

Lembrar que o zero não é

positivo nem negativo,

mas está incluído aqui.

Números

Inteiros (Z)

Números

naturais

positivos e

negativos

Z = {... -3, -2, -1, 0,

1, 2, 3...}

Subconjuntos:

Não negativos: {0, 1, 2...}

Não positivos: {..., -2, -1, 0}

Positivos: {1, 2, 3...}

Negativos: { …-3, -2, -1}

Números

Racionais (Q)

Podem ser

representados

pela divisão de

2 números

inteiros

Frações: , ;

Números decimais

de representação

finita. Ex.:

1,25 (igual a )

As dízimas periódicas são

números racionais. Ex.:

0,333333... ou ou

Números

Irracionais (I)

Não podem ser

representados

pela divisão de

2 números

inteiros

Número “pi”:

Não citados no edital, mas

fazem parte dos Números

Reais

Números

Reais (R)

Números

Racionais e

Irracionais

juntos

Todos acima

R Q Z N

e

R I

TABELA 02. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS N ATURAIS

Elem.

Neutro Comut. Assoc. Fecham.

Distributiva

Adição zero Sim Sim Sim Não:




( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + +

Multiplicação 1 Sim Sim Sim Sim:

( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + ×

Subtração Zero Não Não

Não. Ex.:

5 – 7 = -2

Não:

( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + −

Divisão 1 Não Não

Não. Ex.:

10,5

2=

Não:

( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷

TABELA 03. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS I NTEIROS

Elem.


Distributiva


( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + +


( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + ×

Subtração Zero Não Não Sim

Não:

( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + −

Divisão 1 Não Não

Não. Ex.:

10,5

2=

Não:

( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷

TABELA 04. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS R ACIONAIS

E REAIS

Elem.


Distributiva


( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + +


( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + ×




Subtração Zero Não Não Sim

Não:

( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + −

Divisão 1 Não Não Sim Não:

( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷

Vamos às explicações detalhadas a respeito de cada conjunto numérico.

1.1.1 NÚMEROS NATURAIS

Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de

“contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O

símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre

chaves:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22…}

As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem

infinitos números naturais.

Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural

propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se

o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero.

Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…}

Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais:

a) Sucessor : é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o

sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”.

b) Antecessor : é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o

antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”.

Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro

número desse conjunto.

c) Números consecutivos : são números em sequência. Assim, {2,3,4} são

números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números

consecutivos.




d) Números naturais pares : {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido

por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par.

e) Números naturais ímpares : {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam

resto 1.

Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que:

- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18;

12 – 6 = 6.

- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18;

13 – 5 = 8.

- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.:

12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7.

- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24.

- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15.

- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 =

6.

1.1.1.1 REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS NA RETA

Veja abaixo como os números naturais podem ser representados

graficamente, isto é, na reta numérica:

Este é o padrão adotado: os números naturais crescem da esquerda para a

direita. A seta à direita significa que o conjunto dos números naturais é infinito. O

mesmo não acontece à esquerda, pois não há nenhum número natural abaixo de

zero. O ponto à esquerda é também chamado de ponto de origem.

Observando a reta, vemos claramente que apenas o zero não possui

antecessor, e que todos os números naturais possuem sucessores.

1.1.2 NÚMEROS INTEIROS

Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos

(negativos). Isto é,




Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

12...}

Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem

todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de

números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou

ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre

N e Z:

Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números.

Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos:

a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais.

b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz

parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo.

c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte.

d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte.

1.1.2.1 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA

Veja abaixo como os números inteiros podem ser representados na reta

numérica:

Aqui seguimos o mesmo padrão: os números inteiros crescem da esquerda

para a direita. As setas à direita e à esquerda significam que o conjunto dos




números inteiros é infinito para ambos os lados. Temos ainda o ponto de origem,

isto é, o zero.

Observando a reta, vemos claramente que todos os números inteiros

possuem antecessor e sucessor. Dizemos ainda que o conjunto dos números

inteiros é simétrico em relação à origem (temos duas metades “iguais”, com o zero

no meio).

Para finalizar esse tópico, devemos ainda conhecer o operador módulo. O

módulo de um número inteiro é a sua distância até o ponto de origem, isto é, o zero.

Também é conhecido pelo nome valor absoluto. Veja na reta numérica que tanto o

número 5 (positivo) quanto o número -5 (negativo) possuem a mesma distância até

o zero. Utilizando o símbolo |A| para representar o módulo do número A, podemos

dizer então que:

|5| = |-5| = 5 unidades, ou simplesmente 5.

Generalizando, podemos dizer que:

|A| = |-A| = A

Também é possível dizer que o módulo de um número A é o maior entre dois

valores: A e –A. Em termos matemáticos, podemos escrever:

|A| = max{A,-A} = valor absoluto de A

1.1.3 NÚMEROS RACIONAIS

Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma

da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser

escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos:

é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4.

é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9,

ou a divisão de 15 por -9.

73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo

número 1.




Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural

é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto

porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo

ser representado na forma (A dividido por 1, onde A é um número inteiro

qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e

Racionais, faz sentido para você:

O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma

, concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma , o

denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número

por zero é impossível (exceto 00

, cujo valor é indeterminado).

No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números:

a) Frações. Ex.: , , etc.

b) Números decimais. Ex.: 1,25

Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número

definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na

forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como , ou mesmo

simplificá-lo para .

c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o

algarismo 3 repete-se indefinidamente).

As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também

podem ser escritas na forma . O número deste exemplo poderia ser escrito




na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual fração é

equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima

periódica: 1,352525252... ou .

Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a

dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou simplesmente 0,3.

Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é igual a 1

3. Existem métodos

que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até a fração que deu

origem a ela.

Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é

o caso em:

0,333...

0,353535...

0,215215215...

Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da

repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo:

0,1333...

0,04353535...

0,327215215215...

Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo

após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números

entre a vírgula e o início da repetição.

� Casos onde a repetição começa logo após a vírgula:

Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração que dá

origem a esta dízima. Ou seja,

X = 0,333...




Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta

dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número

da repetição:

10X = 10 x 0,333... = 3,333...

Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração:

10X – X = 3,333... – 0,333...

Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas casas

decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é:

9X = 3

3 1

9 3X = =

Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 1

3X = .

Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima

0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa

separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da

dízima, temos:

X = 0,216216216...

Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula,

precisamos multiplicar X por 1000:

1000X = 216,216216216...

Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz:

1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216...

999X = 216

216 24

999 111X = =

Assim, a geratriz de 0,216 é a fração 24

111.




� Casos onde existem números entre a vírgula e o iníc io da repetição:

Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Veja

que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da

repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz,

temos:

X = 1,327215215215...

Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os

termos que se repetem:

1000X = 1327,215215215...

E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira repetição

“215” para o lado esquerdo da vírgula:

1000000X = 1327215,215215215...

Assim, podemos efetuar a seguinte subtração:

1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215...

999000X = 1327215 – 1327

999000X = 1325888

1325888

999000X =

Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Poderíamos

ainda simplificá-la, se quiséssemos.

1.1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são:

adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas.

Os conceitos vistos aqui também valem para os demais conjuntos numéricos, com

as devidas ressalvas que farei ao longo da explicação.

a) Adição:

A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a

adição de 15 e 6 é:




15 + 6 = 21

Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos

exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes

números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades):

728

+46

A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6

obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado

e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma:

1

728

+46

4

Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar

também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos

colocar este número no resultado:

728

+46

74

Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o

segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar

este 7 para o resultado, obtendo:

728

+46

774

Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima

operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição.




- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais possui a

propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 +

46 é igual a 46 + 728.

- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, podemos

primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que

obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.:

2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14.

- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer

número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45.

- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números

racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma dos números racionais

2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7).

b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles,

o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4

unidades:

9 – 5 = 4

Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de

números racionais (veja que, por simplicidade, estamos usando números inteiros

nos exemplos, que não deixam de ser também racionais). Vamos efetuar a

operação 365 – 97:

365

- 97

Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro,

alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da

casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 – 7.

Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando




este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam

a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado:

365

- 97

8

Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e

não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é

menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da casa das centenas de

365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado:

365

- 97

68

Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3

na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação

anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o

resultado:

365

- 97

268

E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é

menor que 365, devemos:

- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97;

- colocar o sinal negativo (-) no resultado.

Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da

operação de subtração.

- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais NÃO

possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado.

Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268.




- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) –

C pode ser diferente de (C – B) – A

- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero

de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2.

- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui essa

propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro

número racional. Entretanto, repare que esta propriedade não se aplica aos

números naturais! Isto porque a subtração entre dois números naturais pode gerar

um número negativo, que não faz parte do conjunto dos naturais.

- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu oposto, com

sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc.

Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado

a A, resulta em zero:

A + (-A) = 0

c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por

exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 +

15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como

efetuar uma multiplicação:

57

x 13

Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os

números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no

resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação:

2

57

x 13

1




Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3)

pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este

valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 =

17. Assim, temos:

57

x 13

171

Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1)

pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este

número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo

das dezenas do segundo número (1). Veja:

57

x 13

171

7

A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número

(1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos:

57

x 13

171

57

Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo:

57

x 13

171

570

741

Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57,

transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da

multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo

das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante.




É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números.

Você deve se lembrar que:

- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo.

Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25.

- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo.

Ex.: 5x(-5) = -25.

Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13),

deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter

741.

Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação:

- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é

igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15).

- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C

é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x

3) x 2 = 24.

- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao

multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 =

5.

- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a

multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 5 x 7 =

35, que é racional).

- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta

propriedade nos permite dizer que:

Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)

Exemplificando:

5x(3+7) = 5x(10) = 50




ou, usando a propriedade:

5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50

d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes

de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos

dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5÷ = . Vamos relembrar como

efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18:

715 |18

Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de

divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18),

devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja

que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos:

715 |18

3

Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir

efetuar a subtração:

715 |18

-54 3

17

Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5):

715 |18

-54 3

175

Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado,

à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para

efetuarmos a subtração:

715 |18

-54 39

175




-162

13

Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto,

encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13.

Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto.

Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo

quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é:

715 = 18 x 39 + 13

Como regra, podemos dizer que:

Dividendo = Divisor x Quociente + Resto

As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas

da multiplicação:

- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo.

- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.

Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2),

deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5.

Vejamos as principais propriedades da operação de divisão:

- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode

ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.

- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C

pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2.

- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir

qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5.




- propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a divisão de

números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é

racional). Entretanto, utilizando este mesmo exemplo vemos que a propriedade do

fechamento NÃO está presente na divisão de números inteiros e também de

números naturais.

Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo sobre as

propriedades das operações com números racionais:

Elem.


Distributiva


( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + ≠ + + +


( ) ( ) ( )A B C A B A C× + ≠ × + ×

Subtração zero Não Não Sim

Não:

( ) ( ) ( )A B C A B A C− + ≠ − + −

Divisão 1 Não Não Sim Não:

( ) ( ) ( )A B C A B A C÷ + ≠ ÷ + ÷

1.1.3.2 Operações com frações

Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com

frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever

2

5 é equivalente a

escrever 2 5÷ . As frações estão constantemente presentes na resolução de

exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação

com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão.

a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo

denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é,

simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais.

Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico.

Vamos entender isto com o exemplo abaixo:




1 3

6 8+

Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24).

Para trocar o denominador da fração 1

6 para 24, é preciso multiplicar o

denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4,

para manter a fração. Portanto, 1 4

6 24= .

Já para trocar o denominador da fração 3

8 para 24, é preciso multiplicar o

denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3,

para manter a fração. Portanto, 3 9

8 24= .

Agora sim podemos efetuar a soma:

1 3 4 9 4 9 13

6 8 24 24 24 24

++ = + = =

b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador

da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo:

1 3 1 3 3

6 8 6 8 48

×× = =×

c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja

isso em nosso exemplo:

11 3 1 8 86

3 6 8 6 3 188

= ÷ = × =

*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente podemos

substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como:

- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 1

10003

× !

- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 2

257

× .




- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600)

presentes em um evento? Simplesmente 1

(700 600)4

× + .

- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é

dada pela expressão 5

( )9

X Y× − .

Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos

exercícios!

1.1.3.3 Operações com números decimais

Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não-

exata de dois números inteiros. São os números que possuem “casas após a

vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões,

motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los,

elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas

operações em detalhes.

a) Adição de números decimais:

A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum.

Isto é:

- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo

abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra

- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a

esquerda.

- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a

próxima adição (das casas logo à esquerda).

Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números

um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas

correspondentes em uma mesma vertical:

13,47

+ 2,9




Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da

casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro

número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por

diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0.

Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da

direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 =

13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso,

temos:

13,47

+ 2,9

16,37

b) Subtração de números decimais:

Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a

vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir

devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos:

13,47

- 2,9

10,57

Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi

preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la”

em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 – 9, obtendo o resultado 5.

A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do

“3” já havia sido utilizada.

c) Multiplicação de números decimais:

Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas

observações:

- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração,

isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro.

- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas

decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a

vírgula.




Vejamos o nosso exemplo:

13,47

x 2,9

12123

+ 26940

39,063

Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47

por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há

um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma

das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos

números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas

decimais no resultado, o que leva ao número 39,063.

d) Divisão de números decimais:

Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar

ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000,

10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só

efetuar a operação normalmente.

Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que

possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim,

devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas

decimais:

3,5 x 100 = 350

0,25 x 100 = 25

Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo

como resultado o número 14.

0. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto

aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida.

a) 2,25 + 1,7

b) 2,25 – 1,7




c) 2,25 x 1,7

d) 2,25 / 1,5

e) 0,898 + 1,12

f) 0,898 – 1,12

g) 0,898 x 1,12

h) 0,898 / 0,01

Respostas:

a) 3,95

b) 0,55

c) 3,825

d) 1,5

e) 2,018

f) -0,222

g) 1,00576

h) 89,8

1.1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA

Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os números

racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para

ambos os lados:

É possível localizar a posição exata de um número racional na reta numérica,

ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número 34

, ou 0,75

(na forma decimal). Na reta numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e 1 em

quatro partes, e colocar o número 34

ao final da terceira delas:




1.1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS

Atenção: o edital não cobra explicitamente o conjunto dos Números

Irracionais, entretanto é fundamental conhecê-los (superficialmente) para entender

os Números Reais.

Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não

podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na

forma (onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são

formados por uma seqüência infinita de algarismos.

Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com

um número irracional:

(as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos)

Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na

trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma

dízima periódica, o que faz dele um número irracional:

Não entraremos no estudo das propriedades dos números irracionais, uma

vez que eles não foram citados no edital. Entretanto, devo fazer uma observação a

respeito da representação desses números na reta numérica:

- não é possível localizar precisamente um número irracional na reta numérica. Isto

porque esses números tem infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo

possível escrevê-los na forma AB

e usar o mesmo método que vimos para localizar

os números racionais.

Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa

precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 mede

exatamente 2 , que é um número irracional. Portanto, basta desenhar esse

quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a distância

entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número 2 .




1.1.5 NÚMEROS REAIS

O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais

e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que:

(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no

dos Racionais, que está contido no dos Reais)

E, além disso,

(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais)

Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora

temos:

No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos

Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos

Números Irracionais e Reais.

1.1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS

As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas

para os racionais.

1.1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA

Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e

irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser posicionados




precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser localizados

exatamente (os irracionais).

1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Marque certo (C) ou errado (E) nas afirmações

abaixo:

( ) Todo número racional é real, porém nem todo número real é racional

( ) Todo número natural é também inteiro, e todo número irracional não é inteiro

( ) -1520 é um número natural, inteiro, racional e real

( ) 72 é um número natural, inteiro, racional e real


( ) 6 é um número irracional e real

( ) 0,789789789... é um número irracional e real

( ) 56

é um número racional, porém não é inteiro nem natural

( ) 126

é um número natural e inteiro

( ) A multiplicação de dois números naturais resulta sempre em um número natural

( ) A subtração entre dois números naturais resulta sempre em um número natural

( ) O elemento neutro da multiplicação e divisão é o número 1, enquanto o da

adição e subtração é o 0

( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto à adição quanto à multiplicação

( ) A propriedade associativa está presente na adição e na multiplicação, porém

não é válida na subtração e na divisão

( ) A soma de um número racional com um número irracional tem como resultado

um número irracional

( ) É possível localizar o número 11 exatamente na reta numérica

( ) O módulo de um número é igual ao módulo de seu oposto

( ) Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor

( ) Todo número natural positivo tem um sucessor e um antecessor

( ) O conjunto dos números inteiros não negativos é equivalente ao conjunto dos

números naturais positivos

( ) Os números decimais, desde que representados com um número finito de casas

decimais, fazem parte do conjunto dos números racionais




( ) 53,2% é um número racional, porém não é um número inteiro

( ) Sabendo que o número de Euler é e = 2,718281828459045235360287..., ele

deve ser um número real

( ) Nos conjuntos dos números inteiros e racionais, a adição e a subtração

possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo não ocorre no conjunto

dos números naturais

( ) A divisão de números inteiros sempre gera um número racional, porém não

necessariamente inteiro.

RESOLUÇÃO: Vamos examinar cada alternativa rapidamente. Se tiver dúvidas,

sugiro que você volte no tópico de teoria específico.


Certo. Q está contido em R, porém há números reais que não são racionais

(ex.: números irracionais).


Certo. Sobre a segunda parte, veja que todo número irracional possui infinitas

casas decimais, logo não pode ser inteiro.


Errado. –1520 é negativo, logo não pode ser natural (porém é inteiro, racional

e real).


Certo.


Certo, pois 4 = 2, que é natural.


Certo, pois 6 não é exata, sendo formada por infinitas casas decimais.





Errado, pois trata-se de uma dízima periódica, sendo portanto um número

racional.

( ) 56


Certo.

( ) 126


Certo, pois 126

= 2, que é natural e inteiro.


Certo. Essa é a propriedade do fechamento na multiplicação de números

naturais.


Errado. Ex.: 5 – 7 = -2 (negativo, portanto não natural)



Certo.


Errado. Somente à multiplicação.



Certo.






Certo. Um número irracional tem uma quantidade infinita de casas decimais

(que não se repetem numa ordem definida). Ao somar com um número racional, o

resultado terá também um número infinito de casas decimais, sendo impossível

escrevê-lo na forma AB

(pois não será uma dízima periódica). Veja um exemplo:

3

22

1,5 1,41421356...

2,91421356...

+ =

+ =


Errado. Trata-se de um número irracional.


Certo. |A| = |-A|


Certo.


Certo. No conjunto dos números naturais, todos tem um sucessor, e apenas

o zero não tem antecessor. Entretanto, como o item mencionou apenas os números

naturais positivos, podemos excluir o caso do zero.



Errado. A diferença é a presença ou não do zero. Veja:

- números inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

- números naturais positivos = {1, 2, 3, 4, 5...}



Certo. Veja no material teórico os 3 tipos de números racionais (fracionários,

decimais e dízimas periódicas).





Certo. 53,2% escrito na forma decimal corresponde a 0,532. Portanto, possui

número finito de casas decimais, sendo racional, porém não inteiro.



Certo. Trata-se de um número irracional, que também pertence ao conjunto

dos números reais.




Certo.



Certo, pois a própria definição dos números racionais diz que todos os

números na forma AB

, onde A e B são inteiros, faz parte daquele conjunto.

Entretanto, a divisão AB

pode resultar em um número inteiro (ex.: 6

32

= ) ou não

(ex.: 5

2,52

= ).

1.2 Sistemas de medidas usuais

Uma unidade de medida é uma quantidade de uma grandeza física que é

usada como um “padrão” para a medida de outras quantidades da mesma

grandeza. Por exemplo, o “metro” é uma quantidade específica da grandeza física

“comprimento”, sendo utilizado para medir o comprimento de outros corpos. Para

cada grandeza física, é definida uma unidade padrão de medida.

Para lidar com comprimento, área, volume, massa, tempo e dinheiro, você

precisa conhecer:




- qual a unidade padrão de medida daquela grandeza;

- quais os principais múltiplos e submúltiplos da unidade padrão de medida;

- como converter uma medida de um múltiplo para outro.

1.2.1 Medidas de comprimento

A unidade padrão de medida de comprimento é o metro, representado pela

letra m. Um metro é dividido em 10 decímetros, que por sua vez é dividido em 10

centímetros, que por sua vez é dividido em 10 milímetros. Assim, podemos dizer

que 1 metro é dividido em 100centímetros (10x10), ou em 1000milímetros. Por outro

lado, podemos dizer que 1 decímetro é igual a 1

10 metro (0,1 metro), 1 centímetro é

igual a 1

100 metro (0,01 metro), e 1 milímetro é equivalente a 0,001 metro.

Por sua vez, 10 metros equivalem a 1 decâmetro. 10 decâmetros equivalem

a 1 hectômetro, e 10 hectômetros equivalem a 1 quilômetro. Veja isso na tabela

abaixo:

Milímetro

(mm)

Centímetro

(cm)

Decímetro

(dm)

Metro

(m)

Decâmetro

(dam)

Hectômetro

(hm)

Quilômetro

(km)

1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km

Portanto, se tivermos o valor de um comprimento em qualquer dessas

unidades, vejamos como obtê-lo em outra unidade. Pela tabela acima, repare que

para “andar” para a direita, basta dividir o número por 10 (por ex.: 10dm/10 = 1m). E,

para “andar” para a esquerda, basta multiplicar por 10 (por ex.: 0,001km x 10 =

0,01hm).

Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros na unidade hectômetros.

Veja que precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por dm, m, dam e

chegando em hm). Portanto, precisamos dividir por 10 quatro vezes em sequência:

15cm / 10 = 1,5dm

1,5dm / 10 = 0,15m




0,15m / 10 = 0,015dam

0,015dam / 10 = 0,0015hm

Portanto, 15 centímetros equivalem a míseros 0,0015 hectômetros. Da

mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros em centímetros,

precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o

número 15 por 10 quatro vezes seguidas, obtendo a quantia de 150000cm.

1.2.2 Medidas de área

A unidade padrão de medida de área é o metro quadrado, representado pelo

símbolo 2m . Veja a tabela de conversão do metro quadrado em seus múltiplos e

submúltiplos:

Milímetro

quadrado

(mm 2)

Centímetro

quadrado

(cm 2)

Decímetro

quadrado

(dm 2)

Metro

quadrado

(m2)

Decâmetro

quadrado

(dam 2)

Hectômetro

quadrado

(hm 2)

Quilômetro

quadrado

(km 2)

1.000.000mm2 10.000cm2 100dm2 1m2 0,01dam2 0,0001hm2 0,000001km2

Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por

100, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 100, para

garantir que obtenhamos a conversão correta.

Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros quadrados na unidade

hectômetros quadrados. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por

dm2, m2, dam2 e chegando em hm2). Portanto, precisamos dividir por 100 quatro

vezes em sequência:

15cm2 / 100 = 0,15dm2

0,15 dm2 / 100 = 0,0015m2

0,0015m2 / 100 = 0,000015dam2

0,000015dam2 / 100 = 0,00000015hm2




Portanto, 15 centímetros quadrados equivalem a apenas 0,00000015

hectômetros quadrados. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15

hectômetros quadrados em centímetros quadrados, precisaríamos andar 4 casas

para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 100 quatro

vezes seguidas, o que equivale a escrever o número 15 seguido de 8 zeros (4 x 2),

obtendo a quantia de 1500000000cm2.

1.2.3 Medidas de volume

Já a unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, representado

pelo símbolo 3m . Veja a tabela de conversão do metro cúbico em seus múltiplos e

submúltiplos:

Milímetro

cúbico (mm 3)

Centím etro

cúbico

(cm 3)

Decímetro

cúbico

(dm 3)

Metro

cúbico

(m3)

Decâmetro

cúbico

(dam 3)

Hectômetro

cúbico

(hm 3)

Quilômetro

cúbico (km 3)

1000000000mm3 1000000cm3 1000dm3 1m3 0,001dam3 0,000001hm3 0,000000001km3

Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por

1000, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 1000, para

obter a conversão correta.

Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros cúbicos na unidade

hectômetros cúbicos. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por dm3,

m3, dam3 e chegando em hm3). Portanto, precisamos dividir por 1000 quatro vezes

em sequência:

15cm3 / 1000 = 0,015dm3

0,015dm3 / 1000 = 0,000015m3

0,000015m3 / 1000 = 0,000000015dam3

0,000000015dam3 / 1000 = 0,000000000015hm3

Portanto, 15 centímetros cúbicos equivalem a apenas 0,000000000015

hectômetros cúbicos. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros




cúbicos em centímetros cúbicos, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda,

portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 1000 quatro vezes seguidas, o

que equivale a escrever o número 15 seguido de 12 zeros (4 x 3), obtendo a quantia

de 15.000.000.000.000cm3 (quinze trilhões de centímetros cúbicos).

Para finalizar o estudo de unidades de volume, é importante você conhecer

outra unidade muito utilizada: o litro. Sabendo que 1 litro é igual a 1dm3 (decímetro

cúbico), você consegue descobrir outros valores facilmente. Veja que, como

1000dm3 = 1 m3, podemos dizer que 1000 litros = 1m3.

1.2.4 Medidas de tempo

A unidade padrão de medida de tempo é o segundo, representado pelo

símbolo s. Aqui não trabalharemos da mesma forma que as demais unidades de

medida, pois normalmente não contamos o tempo em múltiplos de 10. De qualquer

forma, é importante você conhecer o milissegundo (ms): 1 segundo corresponde a

1000ms.

As principais unidades de tempo que utilizamos, além do segundo, são o

minuto, a hora e o dia. Veja-os na tabela abaixo

Milissegundo

(ms)

Segundo

(s)

Minuto

(min) Hora (h) Dia

1.000ms = 1s 1s 1 min = 60s 1 h = 60 min 1 dia = 24 h

Note que 1 hora equivale a 3600 segundos (60 x 60). E 1 dia corresponde a

1440 minutos (24 x 60). Para exercitar-nos, vamos escrever 2 horas na unidade

segundos. Para isso, podemos utilizar algumas regras de três:

1 hora ------------------------------- 60 minutos

2 horas ----------------------------- X minutos

1 2 60

120minutos

X

X

× = ×=

Continuando, temos:




1 minuto ---------------------- 60 segundos

120 minutos------------------ Y segundos

1 120 60

7200segundos

Y

Y

× = ×=

1.2.5 Medidas de massa

A unidade padrão de medida de massa é o grama (e não o quilograma!),

representado pelo símbolo g. Veja a tabela de conversão do grama em seus

múltiplos e submúltiplos:

Miligrama

(mg)

Centigrama

(cg)

Decigrama

(dg)

Grama

(g)

Decagrama

(dag)

Hectograma

(hg)

Quilograma

(kg)

1.000mg 100cg 10dg 1g 0,1dag 0,01hg 0,001kg

Assim como no caso das medidas de comprimento, ao andar uma casa para

a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos

multiplicar por 10, para obter a conversão correta.

Sabendo disso, observe que 15 centigramas corresponderão a 0,0015

hectogramas (basta dividir por 10 quatro vezes seguidas). Da mesma forma, 15

hectogramas corresponderão a 150.000 centigramas (multiplique por 10 quatro

vezes seguidas, ou coloque 4 zeros após o 15).

Você já deve ter ouvido falar na tonelada métrica, ou simplesmente tonelada

(ton). Uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas. Portanto, para obter o valor de 1

tonelada em gramas, basta multiplicar 1.000 por 10 três vezes seguidas (de kg para

hg, de hg para dag, e de dag para g), chegando a 1.000.000 gramas.

2. Exercício de fixação – Unidades) Efetue as conversões de unidades solicitadas:

a) 5litros para m3

b) 10dam em cm

c) 40hm2 em km2

d) 2 dias em minutos




e) 36 horas em dias

f) 150 milissegundos em segundos

g) 20 cm3 em m3

h) 15dag em hg

Respostas:

a) 0,005m3

b) 10000cm

c) 0,40km2

d) 2880minutos

e) 1,5dias

f) 0,150s

g) 0,000020 cm3

h) 1,5hg

1.3 Regra de três simples

A regra de três simples é uma ferramenta essencial na resolução de várias

questões. Apesar de a aula 03 ser dedicada ao estudo da proporcionalidade, vamos

neste momento relembrar os conceitos mais básicos para já começar a resolver

exercícios requeiram este assunto.

Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente

proporcional ao tempo de serviço. Isso quer dizer que, à medida que o tempo de

serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta, e vice-versa. Esse

crescimento ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma

razão entre o salário e o tempo trabalhado. Assim, se S1 é o salário de um

empregado e T1 é o tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 é o salário de outro

empregado que já trabalhou pelo período T2.

Neste caso, podemos montar uma regra de três simples para relacionar

essas grandezas:

Tempo...........................................Salário




T1 S1

T2 S2

As setas apontadas no mesmo sentido indicam que as duas grandezas

aumentam (ou diminuem) juntas, ou seja, são diretamente proporcionais. Uma vez

montada essa regra de três, basta usar a “multiplicação cruzada”, isto é, multiplicar

os termos das diagonais para obter a seguinte igualdade:

1 2 2 1T S T S× = ×

Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa

onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos

de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês,

há quanto tempo ele trabalha nesta empresa?

Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salário). Para encontrar

o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), montamos a seguinte regra

de três:

Tempo (anos)...........................................Salário (reais)

5 1000

T 1500

Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à

multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000):

5 1500 1000

7500 1000

75007,5

1000

T

T

T

× = ×= ×

= =

Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos.

Depois de tanta teoria, vejamos uma bateria de exercícios para ajudar na

fixação dos temas tratados nesta aula.




2. Resolução de questões

3. FGV – BESC – 2004) Quantos mililitros há em um milímetro cúbico?

(A) 103

(B) 1

(C) 10−3

(D) 10−6

(E) 10−9

RESOLUÇÃO:

Aqui devemos começar nos lembrando que 1 litro equivale a 1 decímetro

cúbico:

1 litro -------------------------- 1dm3

Sabemos também que 1 litro equivale a 1000 mililitros (1000ml). Fazendo

essa substituição na relação acima, temos:

1000ml -------------------------- 1dm3

Por outro lado, 1dm3 equivale a 1000cm3, que equivale a 1.000.000mm3.

Fazendo essa substituição na relação acima, temos:

1000ml -------------------------- 1000000mm3

ou melhor,

103ml ---------------------106mm3

Igualando essas duas grandezas, temos:

103ml = 106mm3

Como o enunciado pede o equivalente a 1mm3, podemos dividir ambos os

lados da equação acima por 106. Veja: 3 6 3

3 63

6 6

3 3

10 10

10 1010 1010 1

ml mm

ml mm

ml mm−

=

=

=

Portanto, 1mm3 equivale a 10-3ml.




Resposta: C

4. FCC – PREF. SÃO GONÇALO – 2011 Adaptada) Uma caixa d’água tem 2,4m3

de volume. A caixa está vazia, e uma torneira começa a enchê-la a uma razão

constante de 15 litros por minuto. O tempo em que a torneira deve ficar aberta para

que a caixa fique cheia é de:

a) 2 horas

b) 2 horas e 20 minutos

c) 2 horas e 40 minutos

d) 3 horas

e) 3 horas e 30 minutos

RESOLUÇÃO:

Veja que o volume da caixa está em metros cúbicos, enquanto a vazão

(quantidade de água que jorra da torneira por minuto) está em litros. Devemos

trabalhar com apenas 1 unidade. Neste caso, vamos transformar 2,4m3 em litros.

Veja:

1m3------------------------------------------1000 litros

2,4m3-------------------------------------------X litros

1 2,4 1000

2400

X

X litros

× = ×=

Agora sim, observe que a torneira é capaz de encher 15 litros em 1 minuto.

Para calcular o tempo que ela leva para encher 2400 litros, usamos a regra de três

abaixo:

15 litros ---------------------------------------- 1 minuto

2400 litros ------------------------------------ T minutos

15 2400 1

2400160min.

15

T

T

× = ×

= =

Portanto, a torneira leva 160 minutos para encher a caixa. Entretanto, as

respostas estão em horas e minutos. Sabemos que 60 minutos correspondem a 1

hora, 120 minutos a 2 horas, e 180 minutos a 3 horas. Portanto, temos 2 horas e




mais 40 minutos (letra C). Você poderia ter usado regras de três, se preferisse.

Veja:

1 hora ------------------------------ 60 minutos

X horas-----------------------------160 minutos

160 120 40 402

60 60 60X

+= = = + horas

Agora basta separar a parte inteira (2 horas) e fazer a seguinte regra de três

com a parte fracionária:

1 hora------------------------------- 60 minutos

4060

horas--------------------------- M minutos

4060 40min.

60M = × =

Portanto, temos 2 horas e 40 minutos.

Resposta: C

5. FCC – TRT/9ª – 2010 – Adaptada) Simplifique a expressão abaixo:

−−

−

13

13

13

3

RESOLUÇÃO:

Acompanhe os passos abaixo:

− = − = − =− − −−−

− = − = − = − =−− × −

−− × = − = =

1 1 13 3 3

1 1 13 3 3

1 9 1 83

3 3 3

1 1 1 13 3 3 3

3 3 24 3 213 1 3

8 8 8 8

8 8 63 8 553 1 3

21 21 21 21




Resposta: 55/21

6. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) De um trajeto, percorri um terço de

skate, três oitavos de bicicleta, um quarto de patins e os últimos 100 metros a pé. O

trajeto todo percorrido tem

(A) 2 km.

(B) 2,1 km.

(C) 2,2 km.

(D) 2,3 km.

(E) 2,4 km.

RESOLUÇÃO:

Chamemos de T o tamanho do trajeto. Um terço de T, ou seja, 1

3T foram

percorridos de skate. Da mesma forma, 3

8T foram percorridos de bicicleta,

1

4T

foram percorridos de patins. Até aqui temos:

1 3 1

3 8 4T T T+ +

Para efetuarmos esta soma, precisamos calcular um denominador comum,

que deve ser um múltiplo de 3, 8 e 4. Veja que 24 é um múltiplo desses três

números. Assim, temos:

1 3 1

3 8 4

8 9 6

24 24 24

8 9 6

24

23

24

T T T

T T T

T

T

+ + =

+ + =

+ + =

Veja que foram percorridos 23

24T até aqui. Para completar T, falta:

23 24 23 1

24 24 24 24T T T T T− = − =




Repare que este restante (1

24T ) corresponde aos 100 metros finais.

Portanto,

1100

24T m=

24 100 2400T m m= × =

T = 2,4km

Resposta: E

7. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) As temperaturas da semana passada,

em Roma, foram anotadas na tabela a seguir.

A maior oscilação de temperatura ocorreu de

(A) segunda para terça-feira.

(B) terça para quarta-feira.

(C) quarta para quinta-feira.

(D) quinta para sexta-feira.

(E) sexta para sábado.

RESOLUÇÃO:

Para calcularmos a oscilação de temperatura de um dia para o outro, basta

subtrairmos uma temperatura da outra. Veja:

Dias da semana Oscilação de temperatura

Segunda para terça 8 – (-3) = 8 + 3 = 11

Terça para quarta -7 – (-3) = -7 + 3 = -4

Quarta para quinta 1 – (-7) = 1 + 7 = 8

Quinta para sexta 5 – 1 = 4

Sexta para sábado 0 – 5 = -5




Portanto, veja que a maior oscilação ocorreu de segunda para terça feira,

quando a temperatura caiu 11 graus (de 8 para -3).

Resposta: A

8. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) O saldo de gols de uma equipe de

futebol na 10.ª rodada era de – 6 gols. Na 11.ª rodada, essa equipe ganhou de 3 x

1, na 12.ª rodada, ela perdeu por 4 x 0 e na 13.ª rodada, ganhou de 2 x 1. Ao final

da 13.ª rodada, o saldo de gols* dessa equipe era de:

* Saldo de gols é a diferença entre os gols marcados e sofridos por uma equipe.

(A) – 6 gols.

(B) – 7 gols.

(C) – 8 gols.

(D) – 9 gols.

(E) – 10 gols.

RESOLUÇÃO:

Como foi dito, a equipe tinha um saldo de – 6 gols. Na 11.ª rodada, essa

equipe ganhou de 3 x 1. Assim, o número de gols marcados pela equipe aumentou

em 3 (o que aumenta o saldo em 3 gols), mas o número de gols sofridos aumentou

em 1 (o que diminui o saldo em 1 gol). Após esta rodada, o saldo passou a ser de:

-6 + 3 – 1 = -4 gols

Na 12.ª rodada, ela perdeu por 4 x 0 e na 13.ª rodada, ganhou de 2 x 1.

Somando essas duas rodadas, a equipe marcou 2 gols (na vitória da 13ª rodada), o

que aumenta o saldo, e sofreu 5 gols (4 na 12ª e 1 na 13ª rodadas), o que reduz o

saldo. Assim, o saldo de gols passou a ser:

-4 + 2 – 5 = -7 gols

Assim, ao final da 13.ª rodada, o saldo de gols dessa equipe era de -7 gols.

Resposta: B




9. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) Ao caminhar, cada passo de João tem

80cm, e os de seu filho Jonas, 60 cm. Caminhando juntos, após percorrerem 2,4

km, o número de passos que Jonas deu a mais que seu pai João foi

(A) 100.

(B) 400.

(C) 800.

(D) 1 000.

(E) 1 200.

RESOLUÇÃO:

Primeiramente, podemos escrever os tamanhos dos passos em metros, bem

como a distância total. É essencial trabalhar sempre com uma única unidade de

comprimento!

Os passos de João e Jonas medem, respectivamente, 0,80m e 0,60m. E a

distância total vale 2400m. Portanto, o número de passos de João é:

Passos de João = 2400 / 0,80 = 24000 / 8 = 3000 passos

E o de Jonas é:

Passos de Jonas = 2400 / 0,60 = 24000 / 6 = 4000 passos

Portanto, Jonas deu 4000 – 3000 = 1000 passos a mais do que seu pai.

Resposta: D

10. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Dona Marta fez 1 litro de suco com 12 laranjas.

Deu 250 mL de suco para sua filha e o restante guardou na geladeira. Pode-se

afirmar que o suco guardado na geladeira corresponde a

(A) 3 laranjas.

(B) 5 laranjas.

(C) 7 laranjas.

(D) 9 laranjas.

(E) 11 laranjas.

RESOLUÇÃO:

Veja que 250mL correspondem a 0,25 litro. Portanto, após dar esta

quantidade de suco para a filha, Marta guardou na geladeira:

1 – 0,25 = 0,75 litro de suco




Sabemos que 12 laranjas correspondem a 1 litro de suco. Podemos fazer

uma regra de três simples para saber quantas laranjas (L) correspondem a 0,75

litro:

1 litro ---------------------- 12 laranjas

0,75 litro------------------- L laranjas

Efetuando a multiplicação cruzada, temos:

1xL = 0,75 x 12

L = 9 laranjas

Resposta: D

11. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Valdomiro cronometrou as voltas que correu em

uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.

Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em segundos, de

(A) 80.

(B) 82.

(C) 84.

(D) 86.

(E) 88.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que 1 minuto corresponde a 60 segundos. Assim, os tempos das

voltas foram 60+15, 60+18, 60+23 e 60+24 segundos, isto é, 75s, 78s, 83s e 84s.

O tempo médio de uma volta é dado pela soma do tempo das 4 voltas,

dividido pelo número de voltas (4):

75 78 83 84 32080

4 4Média s

+ + += = =

Resposta: A




12. VUNESP – SAP/SP – 2012) Uma nova penitenciária foi projetada para

acomodar 400 detentos em duas alas, sendo que a capacidade da ala maior

corresponde a 5/3 da capacidade da ala menor. A ala maior foi projetada para

acomodar

(A) 150 detentos.

(B) 180 detentos.

(C) 240 detentos.

(D) 250 detentos.

(E) 280 detentos.

RESOLUÇÃO:

Seja m a quantidade de detentos da ala menor, e M a da ala maior. Como a

capacidade da ala maior corresponde a 5/3 da capacidade da ala menor, podemos

dizer que:

Ala maior = 5/3 da ala menor

5

3M m=

Como o total de detentos é igual a 400, podemos dizer que:

M + m = 400

Como já vimos que M é igual a 5

3m, podemos efetuar esta substituição na

equação acima:

5400

3

5 3400

3 3

8400

3

3400 150detentos

8

m m

m m

m

m

+ =

+ =

=

= × =

Sabendo isso, podemos calcular o número de detentos da ala maior:

M + m = 400

M + 150 = 400

M = 400 – 150 = 250 detentos




Resposta: D

13. VUNESP – SAP/SP – 2012) Quatro agentes penitenciários fizeram um

determinado número total de horas extras no último mês. Sabe-se que Luís fez 1/5

desse total, que Mário fez o triplo de Luís, que João fez 1/3 do que Luís fez e que

Otávio fez 5 horas extras. Pode-se concluir, então, que o número de horas extras

que Mário fez

nesse mês foi

(A) 2,5.

(B) 7,5.

(C) 15,5.

(D) 22,5.

(E) 37,5.

RESOLUÇÃO:

Seja H o total de horas extras efetuadas. Assim, Luis fez 1

5H . Mário fez o

triplo de Luis, ou seja, 1

35

H× . João fez 1/3 do que Luis fez, ou seja, João fez

1 1

3 5H× . Até aqui temos:

1 1 1 13

5 5 3 5

1 3 1

5 5 15

3 9 1

15 15 15

3 9 1

15

13

15

H H H

H H H

H H H

H

H

+ × + × =

+ + =

+ + =

+ + =

Faltam ainda:

13 15 13 2

15 15 15 15H H H H H− = − =

Este restante é justamente o número de horas extras de Otávio, ou seja,




25

15

155 37,5

2

H

H

=

= × =

Mário fez 1

35

H× , ou seja:

Horas extras de Mário = 1

3 37,5 22,55

horas× × =

Resposta: D

14. VUNESP – Pref. São José dos Campos – 2012) Um produto de beleza é

vendido em 3 tipos de frascos: 20 mL, 100 mL e 250 mL. Em três dias, foram

vendidos um

total de 45 frascos, totalizando 5 400 mL. Alguns dados dessa venda estão

registrados na tabela seguinte:

Os números que faltam nessa tabela, em relação aos frascos de 100 mL e 250 mL,

respectivamente, são

(A) 6 e 6.

(B) 5 e 7.

(C) 4 e 8.

(D) 3 e 9.

(E) 2 e 10.

RESOLUÇÃO:

Sejam X o número de frascos de 100mL vendidos na quarta-feira, e Y o

número de frascos de 250mL vendidos na segunda-feira.




Considerando apenas os números apresentados na tabela, sabemos que

foram vendidos 5+5+5 = 15 frascos de 20mL, 10+2 = 12 frascos de 100mL e 4+2 =

6 frascos de 250mL.

Assim, ao todo temos:

15 + 12 + 6 = 33 frascos

Como o total é de 45 frascos, então faltam 12 frascos. Logo,

X + Y = 12 frascos

ou seja,

Y = 12 – X

O volume total dos frascos que aparecem na tabela é dado pela multiplicação

das quantidades (15, 12 e 6 frascos) pelos volumes de cada tipo de frasco (20, 100

e 250mL). Assim,

Volume total = 15 x 20 + 12 x 100 + 6 x 250 = 3000mL

Como o total vendido foi de 5400mL, faltam 2400mL. Logo, o volume dos

frascos X e Y somam 2400mL:

2400 = X x 100 + Y x 250

Como Y é igual a 12 – X, podemos efetuar esta substituição na equação

acima:

2400 = 100X + 250Y

2400 = 100X + 250 x (12 – X)

2400 = 100X + 3000 – 250X

250X – 100X = 3000 – 2400

150X = 600

X = 600 / 150 = 4 frascos

Portanto, Y = 12 – X = 12 – 4 = 8 frascos.

Resposta: C

15. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012 – Adaptada) São necessários 50 litros de

água para irrigar um gramado retangular de 8 metros de largura por 10 metros de




comprimento. Sabendo que a área do retângulo é dada pela multiplicação entre

largura e comprimento, para que outro gramado, também retangular, de 4 metros de

largura por 20 metros de comprimento, tenha uma irrigação na mesma proporção,

serão necessários

(A) 24 litros.

(B) 36 litros.

(C) 42 litros.

(D) 50 litros.

(E) 56 litros.

RESOLUÇÃO:

O primeiro gramado tem área de 8 x 10 = 80m2 (veja que o resultado é dado

em metros quadrados, uma vez que tanto a largura quanto o comprimento são

dados em metros).

Já o segundo gramado tem área de 4 x 20 = 80m2. Repare que ambos os

quadrados possuem a mesma área, logo vão exigir a mesma quantidade de água:

50 litros.

Resposta: D

16. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A cada 40 minutos, decola de São Paulo

um avião para a Europa. O primeiro decolou às 12 horas, o sétimo avião irá decolar

para a Europa às

(A) 15 h.

(B) 15 h e 20 min.

(C) 15 h e 40 min.

(D) 16 h.

(E) 16 h e 40 min.

RESOLUÇÃO:

Repare que entre o 1º avião e o 7º, teremos 6 intervalos de 40 minutos cada,

totalizando 6 x 40 = 240 minutos de intervalo. Como 1 hora corresponde a 60

minutos, temos que 240 minutos correspondem a:

1 hora ------------------- 60 minutos

T horas ----------------- 240 minutos

T x 60 = 1 x 240




T = 240 / 60 = 4 horas

Portanto, o 7º avião decolará 4 horas após o primeiro, ou seja, às 12 + 4 = 16

horas.

Resposta: D

17. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Uma telha de barro custa R$ 1,50 se

comprada por unidade (avulsa). Na compra de um milheiro (mil telhas), o preço é de

R$1.250,00. Na compra de um milheiro dessa telha, cada unidade custa mais barato

do que a comprada por unidade (avulsa)

(A) R$ 0,05.

(B) R$ 0,10.

(C) R$ 0,15.

(D) R$ 0,20.

(E) R$ 0,25.

RESOLUÇÃO:

Se 1000 telhas custam 1250 reais, vejamos quanto custa 1 telha:

1000 telhas ------------------ 1250 reais

1 telha ------------------------- T

T x 1000 = 1 x 1250

T = 1,25 real

Portanto, ao comprar o milheiro temos que o preço de cada telha é de

apenas R$1,25, enquanto ao comprar a telha avulsa o preço seria de R$1,50. Logo,

a economia é de R$1,50 – R$1,25 = R$0,25 em cada telha.

Resposta: E

18. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Em uma sala de aula, um quarto dos alunos

são homens. Sendo o número de mulheres 33, o número de homens é

(A) 9.

(B) 11.

(C) 13.

(D) 15.




(E) 17.

RESOLUÇÃO:

Como ¼ dos alunos são homens, as mulheres correspondem ao restante, ou

seja,

1 – ¼ = ¾

Assim, como ¾ correspondem a 33 mulheres, podemos rapidamente obter a

quantidade de homens que correspondem a ¼ do total:

¾ ------------------------ 33

¼ ------------------------ H

H x ¾ = 33 x ¼

H x 3 = 33 x 1

H = 33 / 3 = 11

Portanto, temos 11 homens na sala.

Resposta: B

19. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Um ciclista percorreu, de um determinado

trajeto, um quarto no asfalto, um terço na pista e os últimos 600 metros do trajeto

em terreno acidentado. O total desse trajeto, em km, é

(A) 1,22.

(B) 1,33.

(C) 1,44.

(D) 1,55.

(E) 1,66.

RESOLUÇÃO:

Seja T o comprimento total do trajeto. Sabemos que ao somar o trecho

percorrido no asfalto (1

4T ) com o trecho percorrido na pista (

1

3T ) e com o trecho

percorrido no terreno acidentado (600m) temos o total, ou seja, T. Assim:

1 1600

4 3T T T+ + =




Ao invés de escrever todas as frações com mesmo denominador, usemos um

outro artifício: vamos multiplicar ambos os lados desta igualdade por 12. Veja o que

acontece:

1 112 600 12

4 3T T T

× + + =

3 4 7200 12T T T+ + =

7200 = 12T – 3T – 4T

7200 = 5T

T = 1440m = 1,44km

Resposta: C

20. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Devido a um erro de cálculo, um aluno

recebeu média anual 6,0 em matemática. Suas notas estão na tabela a seguir.

O erro no cálculo foi de

(A) 0,2.

(B) 0,3.

(C) 0,4.

(D) 0,5.

(E) 0,6.

RESOLUÇÃO:

Para obter a média, devemos somar as notas e dividir pelo total de notas (5,

pois devemos considerar também o exame final). Assim,

4,5 5 7,5 5,5 6 28,55,7

5 5Média

+ + + += = =

Portanto, o erro de cálculo foi de 6 – 5,7 = 0,3.

Resposta: B




21. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) São necessárias cinco peças iguais de

cerâmica para pavimentar 3/20 de uma sala. Para pavimentar três salas iguais a

essa, o número mínimo necessário dessas peças de cerâmica, sendo que não

ocorreu perda, pois os retalhos foram utilizados, será

(A) 80.

(B) 85.

(C) 90.

(D) 95.

(E) 100.

RESOLUÇÃO:

Veja que são necessárias 5 peças para cobrir (3/20)S, onde S é a área da

sala. Para sabermos quantas peças são necessárias para cobrir 3S (área de 3

salas), podemos usar a regra de três abaixo:

5 peças ----------------------------- (3/20)S

N peças ----------------------------- 3S

Logo,

5x3S = N x (3/20)S

15 = N x (3/20)

15 x 20/3 = N

N =100 peças

Resposta: E

22. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A tabela mostra o tempo de duração de

cada etapa do treinamento de um atleta.




O tempo de duração de cada etapa é sempre maior do que a anterior. Mantendo-se

sempre a sequência lógica de aumento, na 7.ª etapa, o número de minutos que ele

deverá correr é

(A) 27.

(B) 28.

(C) 29.

(D) 30.

(E) 31.

RESOLUÇÃO:

Observe a sequência de tempos de corrida a cada etapa:

{3, 5, 8, 12, 17, 23, X}

Repare que, da primeira para a segunda etapa, temos um aumento de 2

minutos. Da segunda para a terceira, o aumento é de 3 minutos. Da terceira para a

quarta, 4 minutos, e assim por diante. Como da quinta para a sexta etapa o

aumento é de 6 minutos, isto nos indica que da sexta para a sétima o aumento deve

ser de 7 minutos.

Portanto, X = 23 + 7 = 30 minutos.

Resposta: D

23. VUNESP – UNESP – 2012) Érica é três anos mais velha que Gabriel, que é oito

anos mais novo que Lara. Sabendo-se que a idade de Lara é, pelo menos, 22 anos,

e, no máximo, 27 anos, pode-se afirmar que a soma das possíveis idades de Érica é

(A) 39.

(B) 73.




(C) 84.

(D) 117.

(E) 147.

RESOLUÇÃO:

Note que Érica é 3 anos mais velha que Gabriel, e Lara é 8 anos mais velha

que ele. Assim, a diferença de idade entre Érica e Lara é de 5 anos, sendo Lara a

mais velha. As idades possíveis para Lara são 22, 23, 24, 25, 26 ou 27 anos. Logo,

as idades possíveis para Érica são sempre 5 anos a menos, ou seja:

Idades possíveis p/ Érica = {17, 18, 19, 20, 21 ou 22 anos}

Somando as idades possíveis p/ Érica, temos 117.

Resposta: D

24. VUNESP – UNESP – 2012) Cinco pesos etiquetados de A a E são tais que:

• os pesos A e B pesam o mesmo que os pesos C e E;

• A pesa mais que B;

• B e D pesam mais que B e C;

• B pesa mais que D.

Dessa forma, o mais leve e o mais pesado desses pesos são, respectivamente,

(A) C e A.

(B) C e E.

(C) D e A.

(D) D e B.

(E) D e E.

RESOLUÇÃO:

Vamos interpretar as informações do enunciado. Para facilitar, vamos chamar

de a, b, c, d, e os valores dos pesos A, B, C, D, E.


Observe que “A e B” tem sentido de adição, assim como “C e E”. Portanto,

esta informação nos diz que a + b = c + e.


Esta informação nos diz que a > b (o peso A é maior que o peso B).





Aqui vemos que b + d > b + c, ou seja, d > c (podemos cancelar os valores

“b” em cada lado).


Aqui temos que b > d.

Observe que, como b é maior que d (b > d) e, por sua vez, d é maior que c (d

> c), podemos dizer que b > d > c.

Sabemos ainda que a > b. Logo, podemos dizer que a > b > d > c.

Falta apenas posicionar o valor “e”. Sabemos que a + b = c + e. Como b é

maior do que c, só há uma forma desta igualdade acontecer: é preciso que “e” seja

maior do que “a”, para compensar o fato de b ser maior que c. Portanto, temos:

e > a > b > d > c

Assim, o peso mais leve é C, e o mais pesado é E.

Resposta: B

25. VUNESP – TJ/SP – 2004) Em uma loja, o metro de corda é vendido por R$

3,00, e o rolo com 60 metros de corda, por R$ 150,00. Três amigos compraram

juntos um rolo de corda, ficando o primeiro com 1/4 do rolo, o segundo com 1/12 e o

terceiro com o restante. Se a divisão dos gastos foi proporcional à quantidade de

corda que cada um recebeu, aquele que comprou a maior quantidade de corda

economizou,

em relação à compra da mesma quantidade de corda por metro, o total de

(A) R$ 18,00.

(B) R$ 19,00.

(C) R$ 20,00.

(D) R$ 21,00.

(E) R$ 22,00.

RESOLUÇÃO:




Se um amigo ficou com 1/4 do rolo e o outro com 1/12, o terceiro amigo ficou

com o restante para completar 1 unidade do rolo. Chamando de X a proporção do

rolo que ficou para o terceiro amigo, temos:

1/4 + 1/12 + X = 1

Multiplicando todos os membros desta equação por 12, temos:

3 + 1 + 12X = 12

12X = 12 – 3 – 1

X = 8 / 12 = 2/3

Observe que o terceiro amigo ficou com a maior proporção do rolo: 2/3 (que é

maior que 1/4 e também que 1/12). Como o rolo tem 60 metros de corda, e ele ficou

com 2/3, a quantidade de corda que ele ficou é:

2/3 x 60 = 40 metros

E como o rolo custou 150 reais, ele pagou 2/3 deste valor:

2/3 x 150 = 100 reais

Portanto, o terceiro amigo adquiriu 40 metros de rolo por 100 reais. Se ele

tivesse comprado os mesmos 40 metros de rolo isoladamente, pagando 3 reais por

metro, ele teria gasto:

40 x 3 = 120 reais

Portanto, ao comprar junto com os demais amigos, o terceiro amigo

economizou 120 – 100 = 20 reais.

Resposta: C

26. VUNESP – TJ/SP – 2006) Na maquete de uma praça pública construída na

escala 1:75, o edifício da prefeitura, de 13,5 m de altura, está representado com

uma altura de

(A) 16 cm.

(B) 18 cm.

(C) 20 cm.

(D) 22 cm.




(E) 24 cm.

RESOLUÇÃO:

A escala 1:75 significa que 1 unidade na maquete corresponde a 75 unidades

no mundo real. Assim, podemos fazer uma regra de três para saber quanto 13,5m

na vida real (altura do edifício) correspondem na maquete:

75 unidades no mundo real ---------------------------- 1 unidade na maquete

13,5m no mundo real -------------------------------------- X unidades na maquete

75X = 1 x 13,5

X = 13,5 / 75 = 0,18m = 18cm

Assim, a representação do prédio na maquete terá 18cm de altura.

Resposta: B

27. VUNESP – TJ/SP – 2006) Ricardo participou de uma prova de atletismo e, no

final, observou que, do número total de atletas participantes, 1/4 havia terminado a

prova na sua frente, e 2/3 haviam chegado depois dele. Considerando-se que todos

os participantes completaram a prova, e que nenhum atleta cruzou a linha de

chegada no mesmo tempo que outro, pode-se concluir que, pela ordem de chegada

nessa prova, Ricardo foi o

(A) 3.º colocado.

(B) 4.º colocado.

(C) 5.º colocado.

(D) 6.º colocado.

(E) 8.º colocado.

RESOLUÇÃO:

Seja N o total de atletas na prova. Observe que se somarmos os que

chegaram antes de Ricardo (1/4 de N) com Ricardo (1 pessoa) e com os que

chegaram após Ricardo (2/3 de N) obtemos o total de participantes (N). Isto é:

1 21

4 3N N N+ + =




Usando novamente o artifício de multiplicar todos os membros da equação

por 12, temos:

3N + 12 + 8N = 12N

12 = 12N – 11N

12 = N

Portanto, ao todo temos 12 atletas participantes. Os que chegaram à frente

de Ricardo são:

¼ x N = ¼ x 12 = 3 atletas

Portanto, Ricardo foi o 4º colocado.

Resposta: B

28. VUNESP – TJ/SP – 2008) Um estagiário de um escritório de advocacia

aproveitou o mês de férias na faculdade para fazer várias horas extras. Do valor

total líquido recebido nesse mês, 3/4 correspondem ao seu salário fixo. Do valor

restante, 3/5 correspondem às horas extras trabalhadas, e o saldo, de R$ 140,00,

corresponde a uma bonificação recebida. Pelas horas extras trabalhadas, nesse

mês, o estagiário recebeu

(A) R$ 210,00.

(B) R$ 217,00.

(C) R$ 250,00.

(D) R$ 336,00.

(E) R$ 364,00.

RESOLUÇÃO:

Seja S o salário do estagiário. Sabemos que ¾ x S corresponde ao salário

líquido, restando ainda ¼ x S.

Deste valor restante (¼ x S), 3/5 correspondem às horas extras. Assim,

3 1 3

5 4 20Horas Extras S S= × =

O valor restante são os 140 reais da bonificação recebida. Assim, podemos

dizer que:

Salário = salário líquido + horas extras + bonificação




3 3140

4 20S S S= + +

Multiplicando todos os membros por 20, podemos eliminar as frações:

20S = 15S + 3S + 2800

2S = 2800

S = 1400

Sendo o salário igual a 1400 reais, as horas extras foram:

3 3 1400 210

20 20Horas Extras S reais= = =

Resposta: A

29. VUNESP – TJ/SP – 2011) Do valor total recebido por um trabalho executado,

Pedro ficou com 2/5 e João ficou com o restante. Da parte que lhe coube, João

emprestou R$800,00 a Pedro, para que ele pudesse comprar uma televisão e,

assim, Pedro ficou com o quádruplo da quantia que restou a João. Após o

empréstimo, Pedro ficou com:

a) R$2000,00

b) R$1800,00

c) R$1700,00

d) R$1600,00

e) R$1400,00

RESOLUÇÃO:

Seja T o total recebido. Pedro ficou com (2/5)T e João com o restante, ou

seja, (3/5)T. João emprestou 800 reais a Pedro. Assim, João ficou com:

João = (3/5)T – 800

E Pedro ficou com 800 reais a mais:

Pedro = (2/5)T + 800

Essa quantia nas mãos de Pedro é o quádruplo da quantia restante com

João. Ou seja,

Pedro = 4 x João




(2/5T) + 800 = 4 x (3/5)T – 4 x 800

800 + 4 x 800 = 4 x (3/5)T –(2/5T)

4000 = (4x3 – 2)T/5

4000 x 5 = 10T

T = 2000 reais

Portanto, após o empréstimo Pedro ficou com:

Pedro = (2/5)T + 800 = (2/5)x2000 + 800 = 1600 reais

Resposta: D

30. VUNESP – TJ/SP – 2011) Um recipiente, com paredes de espessura

desprezível, tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo, medindo 15cm de

comprimento por 10cm de largura, e contém uma quantidade de água que ocupa a

metade da sua capacidade total. Se retirarmos 2/5 da água, o volume da água

restante no recipiente será igual a 360cm3. Conclui-se, então, que a medida da

altura deste recipiente, em centímetros, é igual a (obs.: o volume de um

paralelepípedo é dado pela multiplicação da largura, altura e comprimento do

mesmo):

a) 14

b) 12

c) 10

d) 9

e) 8

RESOLUÇÃO:

Seja V o volume total de água inicialmente encontrado no recipiente.

Retirando-se 2/5 de V, sobram 360cm3, ou seja:

V – (2/5)V = 360

(3/5)V = 360

V = 360x5/3 = 600cm3

Como só temos água na metade do paralelepípedo, então o seu volume total

é o dobro do volume de água. Ou seja, o volume total do paralelepípedo é de 2 x

600 = 1200cm3. Como este volume é dado pela multiplicação da altura,

comprimento (15cm) e largura (10cm), temos:




V = altura x comprimento x largura

1200 = altura x 15 x 10

altura = 1200 / 150 = 8cm

Resposta: E

31. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de dez reais por

moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja receber moedas de todos

esses valores, então o número mínimo de moedas a receber em troca será de

(A) 40.

(B) 41.

(C) 42.

(D) 43.

(E) 44.

RESOLUÇÃO:

Para ter o menor número possível de moedas, devemos pegar o máximo

possível de moedas de maior valor, e o mínimo possível de moedas de baixo valor.

Pegando R$19,50 em moedas de 50 centavos, são necessárias 39 moedas

deste valor.

Para chegar aos 20 reais (duas notas de 10), são necessárias ainda 1 moeda

de 25 centavos, 2 de 10 centavos e 1 de 5 centavos. Ao todo, são necessárias pelo

menos:

39 + 1 + 2 + 1 = 43 moedas

Resposta: D

32. VUNESP – TJ/MT – 2008) Se uma indústria farmacêutica produziu um volume

de 2800 litros de certo medicamento, que devem ser acondicionados em ampolas

de 40 cm3 cada uma, então será produzido um número de ampolas desse

medicamento na ordem de

(A) 70.

(B) 700.

(C) 7 000.

(D) 70 000.

(E) 700 000.

RESOLUÇÃO:




Sabemos que 1 litro corresponde a 1dm3, portanto 2800 litros equivalem a

2800dm3. Por sua vez, 2800dm3 correspondem a 2800000cm3.

Portanto, temos 2800000cm3 para distribuir por ampolas de 40cm3 cada. O

total de ampolas que precisaremos é:

Número de ampolas = 2800000 / 40 = 70000

Resposta: D

33. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pequena doceira bem sucedida comprou 1 800

embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens, inicialmente 1/6 foi

utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os beijinhos. Sabendo que para os

cajuzinhos seriam necessárias ½ do total das embalagens compradas, a doceira

observou que iriam faltar ___ embalagens. Assinale a alternativa que completa

corretamente a lacuna do texto.

(A) 120

(B) 110

(C) 100

(D) 90

(E) 80

RESOLUÇÃO:

Para embalar os brigadeiros foram utilizadas:

Embalagens p/ brigadeiros = (1/6) x 1800 = 300

Para embalar os beijinhos foram utilizadas:

Embalagens p/ beijinhos = (2/5) x 1800 = 720

Para embalar os cajuzinhos seriam necessárias:

Embalagens p/ cajuzinhos = (1/2) x 1800 = 900

Portanto, ao todo seriam necessárias 300 + 720 + 900 = 1920 embalagens.

Como foram compradas apenas 1800, faltaram 120 embalagens.

Resposta: A

34. VUNESP – TJ/SP – 2013) Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos

alunos de certa escola chegaram atrasados, sendo que ¼ dos atrasados tiveram




mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos chegaram no

horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de

alunos que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e o número de alunos que

chegaram no horário, nessa ordem, foi de

(A) 2:3.

(B) 1:3.

(C) 1:6.

(D) 3:4.

(E) 2:5.

RESOLUÇÃO:

Se 2/5 atrasaram, então 3/5 chegaram no horário. Sabemos ainda que ¼ dos

2/5 que atrasaram chegaram com mais de 30 minutos de atraso. Ou seja,

Mais de 30 min. = 1 2 1 2 1 1 1

de 4 5 4 5 2 5 10

= × = × =

Assim, a razão entre os que atrasaram mais de 30 minutos e os que

chegaram no horário é:

1atrasaram mais de 30 1 5 1 1 1103chegaram no horário 10 3 2 3 6

5

Razão= = = × = × =

Resposta: C

35. VUNESP – TJ/SP – 2012) Usando, inicialmente, somente gasolina e, depois,

somente álcool, um carro com motor flex rodou um total de 2 600 km na pista de

testes de uma montadora, consumindo, nesse percurso, 248 litros de combustível.

Sabe-se que nesse teste ele percorreu, em média, 11,5 quilômetros com um litro de

gasolina e 8,5 quilômetros com um litro de álcool. Desse modo, é correto afirmar

que a diferença entre a quantidade utilizada de cada combustível nesse teste foi, em

litros, igual a

(A) 84.

(B) 60.

(C) 90.

(D) 80.

(E) 68.




RESOLUÇÃO:

Seja G a quantidade de gasolina utilizada, e A a quantidade de álcool.

Sabemos que o total é de 248 litros, ou seja,

G + A = 248

A = 248 – G

A distância percorrida com gasolina é dada pela multiplicação do número de

quilômetros percorridos com um litro (11,5) pela quantidade de litros (G).

Analogamente, a distância percorrida com álcool é dada pela multiplicação do

número de quilômetros percorridos com um litro (8,5) pela quantidade de litros (A).

Ou seja,

2600 = G x 11,5 + A x 8,5

Substituindo A por 248 – G na equação acima, temos:

2600 = 11,5G + (248 – G) x 8,5

2600 = 11,5G + 2108 – 8,5G

2600 – 2108 = 3G

G = 164 litros

Logo,

A = 248 – G = 248 – 164 = 84 litros

Desse modo, a diferença entre a quantidade utilizada de cada combustível

nesse teste foi igual a:

G – A = 164 – 84 = 80 litros

Resposta: D

36. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Sendo a, um número natural maior do que 4

e menor do que 11 e b, um número natural maior do que 15 e menor do que 32, o

maior valor que b/a pode assumir é:

a) 11/31

b) 31/11

c) 5

d) 6




e) 31/5

RESOLUÇÃO:

Para que b/a seja o maior valor possível, é preciso que o denominador “a”

seja o menor número possível (a = 5, pois 4 < a < 11) e o numerador “b” seja o

maior número possível (b = 31, pois 15 < b < 32). Assim,

b/a = 31/5

Resposta: E

37. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Os livros de uma série foram publicados em

intervalos de 5 anos. Quando o quinto livro foi publicado, a soma dos anos de

publicação dos cinco livros era de 9 915. O ano em que o primeiro livro foi publicado

ocorreu em

(A) 1962.

(B) 1972.

(C) 1973.

(D) 1982.

(E) 1983.

RESOLUÇÃO:

Chamando de N o ano de publicação do primeiro livro, os próximos 4 livros

foram publicados nos anos N + 5, N + 10, N + 15 e N + 20. Somando estes 5 anos,

temos:

Soma = 9915 = N + N + 5 + N + 10 + N + 15 + N + 20

9915 = 5N + 50

N = 1973

Resposta: C

38. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Ao fazer o percurso de casa para o trabalho

de bicicleta e do trabalho para casa a pé, um homem leva 40 minutos. Quando faz o

percurso de ida e volta de bicicleta ele leva 18 minutos, logo ao fazer o percurso de

ida e volta a pé ele levará

(A) 1h 2min.

(B) 1h 8min.

(C) 1h 12min.

(D) 1h 15min.




(E) 1h 20min.

RESOLUÇÃO:

Seja P o tempo gasto, a pé, no trecho casa-trabalho. E seja B o tempo gasto,

de bicicleta, no mesmo trecho. Indo de bicicleta e voltando a pé, gasta-se 40

minutos. Ou seja:

40 = P + B

P = 40 – B

Indo e voltando de bicicleta, gasta-se 18 minutos. Isto é:

18 = B + B

18 = 2B

B = 9 minutos

Portanto, P = 40 – 9 = 31 minutos.

Assim, indo e voltando a pé, o tempo gasto é:

P + P = 31 + 31 = 62 minutos = 1h 2min

Resposta: A

39. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Trinta e uma moedas, algumas de 50

centavos e as outras de 25 centavos somam juntas R$ 12,00. A diferença entre o

número de moedas de 50 centavos e de 25 centavos é

(A) 0.

(B) 1.

(C) 2.

(D) 3.

(E) 4.

RESOLUÇÃO:

Seja G o número de moedas grandes (50 centavos) e P o número de moedas

pequenas (25 centavos). Ao todo temos 31 moedas:

31 = P + G

P = 31 – G

O valor dessas moedas soma 12 reais:




12 = 0,50 x G + 0,25 x P

Multiplicando os membros da última equação por 4:

48 = 2G + P

48 = 2G + (31 – G)

G = 17 moedas

Assim,

P = 31 – 17 = 14 moedas

Portanto, temos 3 moedas de 50 centavos a mais do que de 25 centavos.

Resposta: D

40. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Um antigo problema hindu afirma: “De uma

quantidade de puras flores de lótus, uma terça parte, um quinto e um sexto foram

oferecidas aos deuses Siva, Vishnu e Sol. Um quarto da quantidade original foi

ofertada a Bhavani. Os seis lótus restantes foram dados ao venerável preceptor”.

Resolvendo esse problema, conclui-se que a quantidade original de flores é

(A) 60.

(B) 120.

(C) 240.

(D) 320.

(E) 360.

RESOLUÇÃO:

Sendo F a quantidade inicial de flores, o enunciado nos disse que:

Siva � Si = (1/3)F

Vishnu � V = (1/5)F

Sol � So = (1/6)F

Bhavani � B = (1/4)F

Preceptor � P = 6

Assim,

1 1 1 16

3 5 6 4F F F F F= + + + +




60 20 12 10 156

60 60F F

+ + += +

36

60F =

606 120

3F flores= × =

Resposta: B

41. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Tanto a diferença como a divisão entre dois

números vale 5. A soma desses números vale

(A) 5.

(B) 5,5.

(C) 6.

(D) 7,5.

(E) 9.

RESOLUÇÃO:

Sejam M e N os dois números. Assim,

M – N = 5

e

M / N = 5

Da primeira equação, temos que M = N + 5. Substituindo na segunda, temos:

(N + 5) / N = 5

N + 5 = 5N

N = 1,25

M = 1,25 + 5 = 6,25

Logo, M + N = 7,5.

Resposta: D

42. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Um comerciante comprou um relógio por

R$20,00 para revendê-lo por R$ 80,00. Uma pessoa comprou esse relógio pagando

com uma nota de R$ 100,00. O comerciante, após dar o troco à pessoa, percebeu




que a nota de R$ 100,00 era falsa. O prejuízo total que o comerciante teve com

esse relógio foi de

(A) R$ 20,00.

(B) R$ 40,00.

(C) R$ 80,00.

(D) R$ 100,00.

(E) R$ 120,00.

RESOLUÇÃO:

O comerciante teve prejuízo em 2 momentos:

- ao entregar o relógio que lhe custou 20 reais, sem receber nada por isso (afinal a

nota era falsa);

- ao dar um troco de 20 reais (100 – 80), que não era devido;

Somando os prejuízos, temos 20 + 20 = 40 reais.

Resposta: B

43. VUNESP – TJM/SP – 2011) Em um parquinho de diversões, três amigos –

A(triângulo), B(círculo) e C(quadrado) – brincaram de tiro ao alvo. Cada um atirou

três dardos. O total de pontos obtidos pelos três amigos juntos foi de:

a) -12

b) -14

c) -16

d) -18

e) -20

RESOLUÇÃO:




Aqui basta somarmos os pontos obtidos, seguindo a escala mostrada na

figura. Quanto mais próximo ao centro, maior é a pontuação. E nos aros mais

externos, a pontuação é negativa.

Assim, temos a tabela:

Pontuação da região

acertada

Número de acertos Pontuação nesta região

-9 2 -18

-6 1 -6

-4 1 -4

-2 1 -2

0 2 0

3 1 3

7 1 7

10 0 0

Somando os pontos na coluna da direita, temos -20.

Resposta: E

44. VUNESP – TJM/SP – 2011) Três pessoas distribuíram, em um bairro, 1430

panfletos de propaganda eleitoral. Alfredo foi o que mais distribuiu. Bruno distribuiu

a metade do número de panfletos que Alfredo distribuiu e Charles distribuiu dois

terços do número de panfletos que Alfredo distribuiu. O número de panfletos que

Charles distribuiu a mais do que Bruno foi:

a) 100

b) 110

c) 130

d) 150

e) 170

RESOLUÇÃO:

Sendo A o número de panfletos que Alfredo distribuiu, o enunciado nos diz

que Bruno distribuiu B = A/2, e Charles distribuiu C = 2A/3. Como o total é de 1430

panfletos, então

1430 = A + A/2 + 2A/3




Multiplicando todos os membros por 6, temos:

8580 = 6A + 3A + 4A

A = 660 panfletos

B = A/2 = 330

C = 2A/3 = 440

Assim, Charles distribuiu 110 panfletos a mais que Bruno.

Resposta: B

***************************

Pessoal, por hoje, é só!!

Vemo-nos na aula 02. Abraço,

Prof. Arthur Lima




3. Questões apresentadas na aula

0. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto

aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida.

a) 2,25 + 1,7

b) 2,25 – 1,7

c) 2,25 x 1,7

d) 2,25 / 1,5

e) 0,898 + 1,12

f) 0,898 – 1,12

g) 0,898 x 1,12

h) 0,898 / 0,01

1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Marque certo (C) ou errado (E) nas afirmações

abaixo:








( ) 56


( ) 126






























2. Exercício de fixação – Unidades) Efetue as conversões de unidades solicitadas:

a) 5litros para m3

b) 10dam em cm

c) 40hm2 em km2

d) 2 dias em minutos

e) 36 horas em dias

f) 150 milissegundos em segundos

g) 20 cm3 em m3

h) 15dag em hg

3. FGV – BESC – 2004) Quantos mililitros há em um milímetro cúbico?

(A) 103




(B) 1

(C) 10−3

(D) 10−6

(E) 10−9

4. FCC – PREF. SÃO GONÇALO – 2011 Adaptada) Uma caixa d’água tem 2,4m3

de volume. A caixa está vazia, e uma torneira começa a enchê-la a uma razão

constante de 15 litros por minuto. O tempo em que a torneira deve ficar aberta para

que a caixa fique cheia é de:

a) 2 horas

b) 2 horas e 20 minutos

c) 2 horas e 40 minutos

d) 3 horas

e) 3 horas e 30 minutos

5. FCC – TRT/9ª – 2010 – Adaptada) Simplifique a expressão abaixo:

−−

−

13

13

13

3

6. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) De um trajeto, percorri um terço de

skate, três oitavos de bicicleta, um quarto de patins e os últimos 100 metros a pé. O

trajeto todo percorrido tem

(A) 2 km.

(B) 2,1 km.

(C) 2,2 km.

(D) 2,3 km.

(E) 2,4 km.

7. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) As temperaturas da semana passada,

em Roma, foram anotadas na tabela a seguir.




A maior oscilação de temperatura ocorreu de

(A) segunda para terça-feira.

(B) terça para quarta-feira.

(C) quarta para quinta-feira.

(D) quinta para sexta-feira.

(E) sexta para sábado.

8. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) O saldo de gols de uma equipe de

futebol na 10.ª rodada era de – 6 gols. Na 11.ª rodada, essa equipe ganhou de 3 x

1, na 12.ª rodada, ela perdeu por 4 x 0 e na 13.ª rodada, ganhou de 2 x 1. Ao final

da 13.ª rodada, o saldo de gols* dessa equipe era de:

* Saldo de gols é a diferença entre os gols marcados e sofridos por uma equipe.

(A) – 6 gols.

(B) – 7 gols.

(C) – 8 gols.

(D) – 9 gols.

(E) – 10 gols.

9. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) Ao caminhar, cada passo de João tem

80cm, e os de seu filho Jonas, 60 cm. Caminhando juntos, após percorrerem 2,4

km, o número de passos que Jonas deu a mais que seu pai João foi

(A) 100.

(B) 400.

(C) 800.

(D) 1 000.




(E) 1 200.

10. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Dona Marta fez 1 litro de suco com 12 laranjas.

Deu 250 mL de suco para sua filha e o restante guardou na geladeira. Pode-se

afirmar que o suco guardado na geladeira corresponde a

(A) 3 laranjas.

(B) 5 laranjas.

(C) 7 laranjas.

(D) 9 laranjas.

(E) 11 laranjas.

11. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Valdomiro cronometrou as voltas que correu em

uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.

Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em segundos, de

(A) 80.

(B) 82.

(C) 84.

(D) 86.

(E) 88.

12. VUNESP – SAP/SP – 2012) Uma nova penitenciária foi projetada para

acomodar 400 detentos em duas alas, sendo que a capacidade da ala maior

corresponde a 5/3 da capacidade da ala menor. A ala maior foi projetada para

acomodar

(A) 150 detentos.

(B) 180 detentos.

(C) 240 detentos.

(D) 250 detentos.

(E) 280 detentos.




13. VUNESP – SAP/SP – 2012) Quatro agentes penitenciários fizeram um

determinado número total de horas extras no último mês. Sabe-se que Luís fez 1/5

desse total, que Mário fez o triplo de Luís, que João fez 1/3 do que Luís fez e que

Otávio fez 5 horas extras. Pode-se concluir, então, que o número de horas extras

que Mário fez

nesse mês foi

(A) 2,5.

(B) 7,5.

(C) 15,5.

(D) 22,5.

(E) 37,5.

14. VUNESP – Pref. São José dos Campos – 2012) Um produto de beleza é

vendido em 3 tipos de frascos: 20 mL, 100 mL e 250 mL. Em três dias, foram

vendidos um

total de 45 frascos, totalizando 5 400 mL. Alguns dados dessa venda estão

registrados na tabela seguinte:

Os números que faltam nessa tabela, em relação aos frascos de 100 mL e 250 mL,

respectivamente, são

(A) 6 e 6.

(B) 5 e 7.

(C) 4 e 8.

(D) 3 e 9.

(E) 2 e 10.




15. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012 – Adaptada) São necessários 50 litros de

água para irrigar um gramado retangular de 8 metros de largura por 10 metros de

comprimento. Sabendo que a área do retângulo é dada pela multiplicação entre

largura e comprimento, para que outro gramado, também retangular, de 4 metros de

largura por 20 metros de comprimento, tenha uma irrigação na mesma proporção,

serão necessários

(A) 24 litros.

(B) 36 litros.

(C) 42 litros.

(D) 50 litros.

(E) 56 litros.

16. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A cada 40 minutos, decola de São Paulo

um avião para a Europa. O primeiro decolou às 12 horas, o sétimo avião irá decolar

para a Europa às

(A) 15 h.

(B) 15 h e 20 min.

(C) 15 h e 40 min.

(D) 16 h.

(E) 16 h e 40 min.

17. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Uma telha de barro custa R$ 1,50 se

comprada por unidade (avulsa). Na compra de um milheiro (mil telhas), o preço é de

R$1.250,00. Na compra de um milheiro dessa telha, cada unidade custa mais barato

do que a comprada por unidade (avulsa)

(A) R$ 0,05.

(B) R$ 0,10.

(C) R$ 0,15.

(D) R$ 0,20.

(E) R$ 0,25.

18. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Em uma sala de aula, um quarto dos alunos

são homens. Sendo o número de mulheres 33, o número de homens é

(A) 9.




(B) 11.

(C) 13.

(D) 15.

(E) 17.

19. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Um ciclista percorreu, de um determinado

trajeto, um quarto no asfalto, um terço na pista e os últimos 600 metros do trajeto

em terreno acidentado. O total desse trajeto, em km, é

(A) 1,22.

(B) 1,33.

(C) 1,44.

(D) 1,55.

(E) 1,66.

20. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Devido a um erro de cálculo, um aluno

recebeu média anual 6,0 em matemática. Suas notas estão na tabela a seguir.

O erro no cálculo foi de

(A) 0,2.

(B) 0,3.

(C) 0,4.

(D) 0,5.

(E) 0,6.

21. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) São necessárias cinco peças iguais de

cerâmica para pavimentar 3/20 de uma sala. Para pavimentar três salas iguais a

essa, o número mínimo necessário dessas peças de cerâmica, sendo que não

ocorreu perda, pois os retalhos foram utilizados, será




(A) 80.

(B) 85.

(C) 90.

(D) 95.

(E) 100.

22. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A tabela mostra o tempo de duração de

cada etapa do treinamento de um atleta.

O tempo de duração de cada etapa é sempre maior do que a anterior. Mantendo-se

sempre a sequência lógica de aumento, na 7.ª etapa, o número de minutos que ele

deverá correr é

(A) 27.

(B) 28.

(C) 29.

(D) 30.

(E) 31.

23. VUNESP – UNESP – 2012) Érica é três anos mais velha que Gabriel, que é oito

anos mais novo que Lara. Sabendo-se que a idade de Lara é, pelo menos, 22 anos,

e, no máximo, 27 anos, pode-se afirmar que a soma das possíveis idades de Érica é

(A) 39.

(B) 73.

(C) 84.

(D) 117.

(E) 147.




24. VUNESP – UNESP – 2012) Cinco pesos etiquetados de A a E são tais que:





Dessa forma, o mais leve e o mais pesado desses pesos são, respectivamente,

(A) C e A.

(B) C e E.

(C) D e A.

(D) D e B.

(E) D e E.

25. VUNESP – TJ/SP – 2004) Em uma loja, o metro de corda é vendido por R$

3,00, e o rolo com 60 metros de corda, por R$ 150,00. Três amigos compraram

juntos um rolo de corda, ficando o primeiro com 1/4 do rolo, o segundo com 1/12 e o

terceiro com o restante. Se a divisão dos gastos foi proporcional à quantidade de

corda que cada um recebeu, aquele que comprou a maior quantidade de corda

economizou,

em relação à compra da mesma quantidade de corda por metro, o total de

(A) R$ 18,00.

(B) R$ 19,00.

(C) R$ 20,00.

(D) R$ 21,00.

(E) R$ 22,00.

26. VUNESP – TJ/SP – 2006) Na maquete de uma praça pública construída na

escala 1:75, o edifício da prefeitura, de 13,5 m de altura, está representado com

uma altura de

(A) 16 cm.

(B) 18 cm.

(C) 20 cm.

(D) 22 cm.

(E) 24 cm.




27. VUNESP – TJ/SP – 2006) Ricardo participou de uma prova de atletismo e, no

final, observou que, do número total de atletas participantes, 1/4 havia terminado a

prova na sua frente, e 2/3 haviam chegado depois dele. Considerando-se que todos

os participantes completaram a prova, e que nenhum atleta cruzou a linha de

chegada no mesmo tempo que outro, pode-se concluir que, pela ordem de chegada

nessa prova, Ricardo foi o

(A) 3.º colocado.

(B) 4.º colocado.

(C) 5.º colocado.

(D) 6.º colocado.

(E) 8.º colocado.

28. VUNESP – TJ/SP – 2008) Um estagiário de um escritório de advocacia

aproveitou o mês de férias na faculdade para fazer várias horas extras. Do valor

total líquido recebido nesse mês, 3/4 correspondem ao seu salário fixo. Do valor

restante, 3/5 correspondem às horas extras trabalhadas, e o saldo, de R$ 140,00,

corresponde a uma bonificação recebida. Pelas horas extras trabalhadas, nesse

mês, o estagiário recebeu

(A) R$ 210,00.

(B) R$ 217,00.

(C) R$ 250,00.

(D) R$ 336,00.

(E) R$ 364,00.

29. VUNESP – TJ/SP – 2011) Do valor total recebido por um trabalho executado,

Pedro ficou com 2/5 e João ficou com o restante. Da parte que lhe coube, João

emprestou R$800,00 a Pedro, para que ele pudesse comprar uma televisão e,

assim, Pedro ficou com o quádruplo da quantia que restou a João. Após o

empréstimo, Pedro ficou com:

a) R$2000,00

b) R$1800,00

c) R$1700,00

d) R$1600,00




e) R$1400,00

30. VUNESP – TJ/SP – 2011) Um recipiente, com paredes de espessura

desprezível, tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo, medindo 15cm de

comprimento por 10cm de largura, e contém uma quantidade de água que ocupa a

metade da sua capacidade total. Se retirarmos 2/5 da água, o volume da água

restante no recipiente será igual a 360cm3. Conclui-se, então, que a medida da

altura deste recipiente, em centímetros, é igual a (obs.: o volume de um

paralelepípedo é dado pela multiplicação da largura, altura e comprimento do

mesmo):

a) 14

b) 12

c) 10

d) 9

e) 8

31. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de dez reais por

moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja receber moedas de todos

esses valores, então o número mínimo de moedas a receber em troca será de

(A) 40.

(B) 41.

(C) 42.

(D) 43.

(E) 44.

32. VUNESP – TJ/MT – 2008) Se uma indústria farmacêutica produziu um volume

de 2800 litros de certo medicamento, que devem ser acondicionados em ampolas

de 40 cm3 cada uma, então será produzido um número de ampolas desse

medicamento na ordem de

(A) 70.

(B) 700.

(C) 7 000.

(D) 70 000.

(E) 700 000.




33. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pequena doceira bem sucedida comprou 1 800

embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens, inicialmente 1/6 foi

utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os beijinhos. Sabendo que para os

cajuzinhos seriam necessárias ½ do total das embalagens compradas, a doceira

observou que iriam faltar ___ embalagens. Assinale a alternativa que completa

corretamente a lacuna do texto.

(A) 120

(B) 110

(C) 100

(D) 90

(E) 80

34. VUNESP – TJ/SP – 2013) Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos

alunos de certa escola chegaram atrasados, sendo que ¼ dos atrasados tiveram

mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos chegaram no

horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de

alunos que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e o número de alunos que

chegaram no horário, nessa ordem, foi de

(A) 2:3.

(B) 1:3.

(C) 1:6.

(D) 3:4.

(E) 2:5.

35. VUNESP – TJ/SP – 2012) Usando, inicialmente, somente gasolina e, depois,

somente álcool, um carro com motor flex rodou um total de 2 600 km na pista de

testes de uma montadora, consumindo, nesse percurso, 248 litros de combustível.

Sabe-se que nesse teste ele percorreu, em média, 11,5 quilômetros com um litro de

gasolina e 8,5 quilômetros com um litro de álcool. Desse modo, é correto afirmar

que a diferença entre a quantidade utilizada de cada combustível nesse teste foi, em

litros, igual a

(A) 84.

(B) 60.




(C) 90.

(D) 80.

(E) 68.

36. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Sendo a, um número natural maior do que 4

e menor do que 11 e b, um número natural maior do que 15 e menor do que 32, o

maior valor que b/a pode assumir é:

a) 11/31

b) 31/11

c) 5

d) 6

e) 31/5

37. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Os livros de uma série foram publicados em

intervalos de 5 anos. Quando o quinto livro foi publicado, a soma dos anos de

publicação dos cinco livros era de 9 915. O ano em que o primeiro livro foi publicado

ocorreu em

(A) 1962.

(B) 1972.

(C) 1973.

(D) 1982.

(E) 1983.

38. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Ao fazer o percurso de casa para o trabalho

de bicicleta e do trabalho para casa a pé, um homem leva 40 minutos. Quando faz o

percurso de ida e volta de bicicleta ele leva 18 minutos, logo ao fazer o percurso de

ida e volta a pé ele levará

(A) 1h 2min.

(B) 1h 8min.

(C) 1h 12min.

(D) 1h 15min.

(E) 1h 20min.




39. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Trinta e uma moedas, algumas de 50

centavos e as outras de 25 centavos somam juntas R$ 12,00. A diferença entre o

número de moedas de 50 centavos e de 25 centavos é

(A) 0.

(B) 1.

(C) 2.

(D) 3.

(E) 4.

40. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Um antigo problema hindu afirma: “De uma

quantidade de puras flores de lótus, uma terça parte, um quinto e um sexto foram

oferecidas aos deuses Siva, Vishnu e Sol. Um quarto da quantidade original foi

ofertada a Bhavani. Os seis lótus restantes foram dados ao venerável preceptor”.

Resolvendo esse problema, conclui-se que a quantidade original de flores é

(A) 60.

(B) 120.

(C) 240.

(D) 320.

(E) 360.

41. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Tanto a diferença como a divisão entre dois

números vale 5. A soma desses números vale

(A) 5.

(B) 5,5.

(C) 6.

(D) 7,5.

(E) 9.

42. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Um comerciante comprou um relógio por

R$20,00 para revendê-lo por R$ 80,00. Uma pessoa comprou esse relógio pagando

com uma nota de R$ 100,00. O comerciante, após dar o troco à pessoa, percebeu

que a nota de R$ 100,00 era falsa. O prejuízo total que o comerciante teve com

esse relógio foi de

(A) R$ 20,00.




(B) R$ 40,00.

(C) R$ 80,00.

(D) R$ 100,00.

(E) R$ 120,00.

43. VUNESP – TJM/SP – 2011) Em um parquinho de diversões, três amigos –

A(triângulo), B(círculo) e C(quadrado) – brincaram de tiro ao alvo. Cada um atirou

três dardos. O total de pontos obtidos pelos três amigos juntos foi de:

a) -12

b) -14

c) -16

d) -18

e) -20

44. VUNESP – TJM/SP – 2011) Três pessoas distribuíram, em um bairro, 1430

panfletos de propaganda eleitoral. Alfredo foi o que mais distribuiu. Bruno distribuiu

a metade do número de panfletos que Alfredo distribuiu e Charles distribuiu dois

terços do número de panfletos que Alfredo distribuiu. O número de panfletos que

Charles distribuiu a mais do que Bruno foi:

a) 100

b) 110

c) 130

d) 150

e) 170




4. Gabarito

Ex. de fixação 03 C 04 C 05 55/21 06 E 07 A

08 B 09 D 10 D 11 A 12 D 13 D 14 C

15 D 16 D 17 E 18 B 19 C 20 B 21 E

22 D 23 D 24 B 25 C 26 B 27 B 28 A

29 D 30 E 31 D 32 D 33 A 34 C 35 D

36 E 37 C 38 A 39 D 40 B 41 D 42 B

43 E 44 B

2 matematica p detransp todos os cargos aula 01 aula 01 detransp 29059

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