2. Osilator Harmonik

2. Osilator Harmonik

Pada mekanika klasik, salah satu bentuk osilator harmonik adalah sistem pegas massa, yaitu suatu beban bermassa m yang terikat pada salah satu ujung pegas dengan konstanta pegas k. Persamaan gerak beban adalah

= (1)

=

=

=

(2)

dengan adalah frekuensi anguler osilasi

Persamaan (2) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah

( ) = sin + cos (3)

dan energi potensial sistem adalah

( ) =

( ) =

1

2

1 (4)

2

Lalu bagaimana tinjauan osilator harmonik dalam mekanika kuantum?Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang dari osilator harmonik diperoleh dengan

memecahkan persamaan Schrdinger dengan potensial ( ) berbentuk

1

( ) =

2

Oleh karena ( ) tidak bergantung waktu, maka kita dapat menggunakan

persamaan Schrdinger tak bergantung waktu bentuk satu dimensi, yaitu

"( )

+ ( )"( ) = # "( )

2

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

"( )

+ 1 "( ) = # "( ) (5)

2 2

( )

Gambar 1. Potensial osilator harmonik

Untuk menyelesaikan persamaan (5), kita gunakan metode aljabar, bentuk persamaan (5) dapat ditulis menjadi

1

%'

"( ) +

1 "( ) = # "( )

2 & 2

1

(%'

+ ) "( ) = # "( ) (6)

2 &

dengan menggunakan sifat aljabar bahwa

+ + = ( &+)( + &+)

maka ruas kiri persamaan (6) kita nyatakan dalam bentuk perkalian dua faktor,

yaitu

1

(%'

+ ) "( ) 1 %

& ' %

+ & ' "( )

2 &

2 &

&

11

%

2

&

& ' %

2

&

+ & ' "( )

. / "( )

dengan . dan / adalah suatu operator yang didefinisikan sebagai berikut

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

1

. %

2

&

& '(7)

1

/ %

2

&

+ & '(8)

. dan / adalah operator, dan bukan bilangan biasa. Pada umumnya operator tidak bersifat komut (aopbop bopaop) sehingga perlu dicek produk dari . / jika bekerja pada suatu fungsi, misalnya 3( ).

1

1

. /3( ) = %

2

&

& ' %

2

&

+ & ' 3( )

1

= %

& ' 4

3( )

+ & 3( )5

2 & &

1 2 23( )

7 3( )8

3( )

= 6% '

2 &

2

+

+ ( )23( )9

1 2 23( )

3( )

3( )

= 6% '

2 &

2

+ 3( ) +

+ ( )23( ):

1 2 23( )

= 6% '

2 &

2

+ ( )23( ) + 3( )9

1

=6%

2

2

'

&

+ ( )2 + 9 3( )

dengan mengeliminasi 3( ) maka didapatkan produk dari . /, yaitu

1 2

24

. / = 2 6% & '

+ ( ) 9 +

(9)

2

1

2 6% & '

+ ( )

9 = +

(10)

2

dengan mensubstitusikan persamaan (9) ke persamaan (6), didapatkan bentuk

persamaan Schrdinger baru, yaitu

% . /

' "( ) = # "( ) (11)

2

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

. /"( ) = %# +

' "( ) (12)

2

Persamaan (11) dapat dituliskan dengan

=>? "( ) = #"( ) (13)

dengan =>? = . /

@ , adalah bentuk satu dari operator Hamiltonian untuk

osilator harmonik. Persamaan (13) merupakan persamaan nilai eigen, dengan

"( ) adalah fungsi eigen (yaitu solusi dari persamaan Schrdinger) dan nilai eigennya #.

Perhatikan kembali uraian untuk mendapatkan produk dari . /! Dengan cara

serupa, akan didapatkan produk dari / ., yaitu

1

4

/ . = 2 6% & '

+ ( ) 9

(14)

2

1

2 6% & '

+ ( )

9 = + +

(15)

2

dengan mensubstitusi persamaan (15) ke persamaan (6), diperoleh bentuk

persamaan Schrdinger lain, yaitu

% / . +

' "( ) = # "( ) (16)

2

/ ."( ) = %#

' "( ) (17)

2

Persamaan (16) dapat dituliskan dengan

=>? "( ) = #"( ) (18)

dengan =>? = / . +

osilator harmonik

@, adalah bentuk dua dari operator Hamiltonian untuk

Selanjutnya kita lihat bagaimana sifat dari operator . jika bekerja pada fungsi

eigen "( ). Misalkan suatu fungsi, A( ) ."( ) maka jika =>? = . /

bekerja pada A( ), menghasilkan

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

=>? A( ) = =>? ."( )

= % . /

' ."( )

2

= . / ."( )

."( )

2

dengan mensubstitusikan persamaan (17), diperoleh

= . %#

' "( )

2

."( )

2

= %#

2 ' ."( )

2 ."( )

= %#

2

2 ' ."( )

= (# )A( ) (19)

Bandingkan persamaan (19) dengan persamaan (13)! Persamaan (19) adalah juga

persamaan nilai eigen. Jika fungsi eigen "( ) adalah solusi bagi persamaan Schrodinger dengan nilai eigen # maka fungsi eigen A( ) juga merupakan solusi dari persamaan Schrdinger dengan nilai eigen # . Namun, nilai eigen dari A( ) turun sebesar dibandingkan dengan nilai eigen dari "( ). Hal ini menunjukkan bahwa operator . menurunkan energi sebesar . Demikian juga jika operator . . bekerja pada "( ) maka akan menurunkan energi sebesar

2 , dan seterusnya.

Jika

( ) = "( )

= D "( )

maka

=>? ( ) = (# D )( ) (20)

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

Lalu bagaimana sifat dari operator / jika bekerja pada fungsi eigen "( )?

Misalkan suatu fungsi, A( ) /"( ) maka jika =>? = / . +

A( ), menghasilkan

=>? A( ) = =>? /"( )

bekerja pada

= % / . +

' /"( )

2

= / . /"( ) +

/"( )

2

dengan mensubstitusikan persamaan (12), menghasilkan

=>? A( ) = / %# +

' "( ) +

2

/"( )

2

= %# +

2

+ 2 ' /"( )

= (# + )A( ) (21)

Terlihat bahwa A( ) memiliki nilai eigen # + . Hal ini menunjukkan bahwa

operator / bersifat menaikkan energi sebesar . Demikian juga jika operator

/ / bekerja pada "( ) maka akan menaikkan energi sebesar 2 , begitu

seterusnya.

Sehingga jika

( ) = + + + +"( )

= E "( )

maka

=>? ( ) = (# + D )( ) (22)

Sampai saat ini, kita belum memperoleh bentuk spesifik dari "( ). Untuk itu, kita

perhatikan kembali persamaan (19). Jika kita operasikan . berkali-kali pada

"( ) maka suatu saat akan dicapai suatu keadaan dengan energi terendah.

Keadaan dengan energi terendah biasa disebut dengan keadaan dasar (ground

state). Misalkan "F( ) adalah solusi untuk keadaan dasar maka pengoperasian

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

operator . pada "F( ) akan menghasilkan nol karena tidak ada lagi keadaan

dengan energi yang lebih rendah.

."F( ) = 0

1

%

2

&

& ' "F( ) = 0

1 "F( )

4

& "F( )5 = 0

2 &

"0( ) = & "

( )

&0

"0( ) = "0( )

"0( ) =

"0( )

"0( )

G " ( ) =

G

ln " ( ) = 4 2 + I

F 2

"F( ) = J. 2 +I

"F( ) = F J. 2

(23)

Persamaan (23) merupakan fungsi gelombang dari osilator harmonik pada keadaan dasar yang belum ternormalisasi. Setelah fungsi gelombang untuk keadaan dasar diperoleh maka kita dapat menentukan fungsi gelombang pada

keadaan tereksitasi ke n, "E ( ) dengan bantuan operator /, yaitu

"E ( ) = ( /)E "F( )

"E ( ) = ( /)E K E J. 2 L

"E ( ) = E ( /)E J. 2

(24)

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

Selanjutnya kita cari berapa energi osilator harmonik pada keadaan dasar. Caranya adalah dengan memecahkan persamaan Schrdinger pada persamaan

(16) untuk "( ) sama dengan "F( ).

% / . +

' "F( ) = #F "F( )

2

/ ."F( ) +

"F( ) = #F "F( )

2

oleh karena ."F( ) = 0 maka

2 "0( ) = #0 "0( )

#F =

(25)

2

Ternyata energi pada keadaan dasar dari osilator harmonik juga tidak nol sama seperti kasus partikel dalam sumur potensial tak hingga. Kemudian untuk

mendapatkan energi pada keadaan tereksitasi ke n, #E kita diturunkan dari

persamaan (22), diperoleh

#E = #F + D

#E = D + 2

1

#E = %D + 2' (26)

Akhirnya kita peroleh solusi umum dari persamaan Schrdinger yang bergantung

waktu, yaitu

V

( , ) = O PE "E ( ) J.QRS T/

EWX

V

4 2 1

( , ) = O PE E ( /)E J. 2

.QKE+ L T/

2

EWX

Contoh 1

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

Tentukan fungsi gelombang ternormalisasi bentuk tak bergantung waktu dari osilator harmonik yang berada pada keadan dasar!

Solusi

Fungsi gelombang tak bergantung waktu dari osilator harmonik yang berada pada keadan dasar adalah

"F( ) = F J. 2

Syarat normalisasi adalah

V

G |"F( )| = 1

.V

V

G "F( ) "F( ) = 1

.V

V 4 2

4 2

G F J. 2 FJ. 2 = 1

.V

V 4 2

F GJ. = 1

.V

V 4 2

F 2 G J. = 1

F

1

F 2 [

\ ]

^ = 1

2

X/_

F = K ] L

Dengan demikian, fungsi gelombang ternormalisasinya adalah

X/_

. 2

"F( ) = K ] L

J 2

Contoh 2

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

Tentukan fungsi gelombang tak bergantung waktu dari osilator harmonik pada keadaan tereksitasi pertama, kemudian lakukan normalisasi terhadap fungsi gelombang tersebut!

Solusi

Fungsi gelombang tak bergantung waktu untuk keadaan tereksitasi ke n adalah

"E ( ) = E ( /)E J. 2

maka untuk keadaan tereksitasi pertama, n =1 sehingga

"X( ) = X /J. 2

1

= X %

+ & ' J. 2

2

&

X

= %

J. 2

+ & J. 2 '

2

X

&

4 2

4 2

= % K

2 &

J. 2 L + & J. 2 '

X 4 2

4 2

= K& J. 2

2

+ & J. 2 L

2& X

=

2

K J. 2 L

= & X2 J. 2

= I J. 2 , dengan I & X2

Melakukan normalisasi terhadap "X( )

V

G |"X( )| = 1

.V

V

G "X( ) "X( ) = 1

.V

V 4 2

4 2

GKI J. 2 L I J. 2 = 1

.V

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

V 4 2

I G 2J.

.V

= 1

V 4 2 V ]

I (2 G 2J.

) = 1G 2J. 2 = 1

F

I d2

4

\ ]

e = 1

F4

]f

I \ %' = 1

4

I = \4 K L

]

4

I = g

]

f X/_

KL h

Dengan demikian, "X( ) ternormalisasinya adalah

4 "X( ) = g] K L

f X/_

h

. 2

J 2

Wayan Suana, M.Si. Pendidikan Fisika Universitas Lampung

2

2

/

0

4 2

4 2

4 2

4 2

J

4 2

4 2

4 2

4 2

4 2

4 2

4 2

4 2

4 2

f