2 rappresentazione dei dati

Rappresentazione di dati numerici

2© Piero Demichelis

Sistemi numerici

• Si suddividono in:

Non posizionali : quali ad esempio il sistema di numerazione romano (i cui simboli sono: I, II, III, IV, V, X, L, C, D, M) oppure quello egiziano

Posizionali : quali ad esempio il sistema arabo (decimale) e il sistema maya (ventesimale).

• Nei sistemi posizionali le operazioni aritmetiche risultano molto agevoli mentre in quelli non posizionali sono alquanto complicate.


Sistema posizionale a base fissa

• Nei sistemi numerici a base fissa, un numero N può essere rappresentato in uno del seguenti modi:

N = dn-1; dn-2 ........ d1; d0; d-1 ........ d-m

N = dn-1· rn-1 + ..... + d0· r0 + d-1· r-1 + ..... + d-m· r-m

1ni

ii m

N d r


Sistemi numerici

• Proprietà di un sistema numerico a base fissa

è a rango illimitato : ogni numero intero vi può essere rappresentato;

è a rappresentazione unica : ad ogni numero intero corrisponde un solo insieme ordinato di cifre;

è irridondante : ad ogni insieme ordinato di cifre corrisponde un solo numero non rappresentato da altri insiemi ordinati.


Sistema decimale

• r = 10

• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Esempio:

10110 = 1 × 102 + 0 × 101 + 1 × 100

= 100 + 0 + 1= 10110


Sistema binario

• r = 2

• cifre: { 0, 1 }

Esempio:

1012= 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20

= 4 + 0 + 1 = 510


Sistema ottale

• r = 8

• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

Esempio:

1018= 1 × 82 + 0 × 81 + 1 × 80

= 64 + 0 + 1 = 6510

• molto utile per scrivere in modo compatto i numeri binari (ad ogni 3 cifre binarie corrisponde una cifra ottale)

( 1 1 0 1 1 0 0 0 1) 2 = ( 6 6 1 ) 8


Sistema esadecimale

• r = 16

• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }

Esempio:

101H = 1 × 162 + 0 × 161 + 1 × 160

= 256 + 0 + 1 = 25710

• anch’esso utile per scrivere in modo compatto i numeri binari (ad ogni 4 cifre binarie corrisponde 1 cifra esadecimale)

( 1 1 0 1 1 0 0 0 1) 2 = ( 1 B 1 ) 16


Sistema base 5

• r = 5

• cifre: { 0, 1, 2, 3, 4 }

Esempio:

1015= 1 × 52 + 0 × 51 + 1 × 50

= 25 + 0 + 1 = 2610


Sistema binario

• Caratteristiche su n cifre si rappresentano 2n numeri; ad esempio su 4

cifre:

Prime 16 potenze del 2:

0 ... 0 1000 ... 81 ... 1 1001 ... 910 ... 2 1010 ... 1011 ... 3 1011 ... 11100 ... 4 1100 ... 12101 ... 5 1101 ... 13110 ... 6 1110 ... 14111 ... 7 1111 ... 15

0 ... 0 1000 ... 81 ... 1 1001 ... 910 ... 2 1010 ... 1011 ... 3 1011 ... 11100 ... 4 1100 ... 12101 ... 5 1101 ... 13110 ... 6 1110 ... 14111 ... 7 1111 ... 15

20 ... 1 29 ... 512 21 ... 2 210 ... 1024 22 ... 4 211 ... 2048 23 ... 8 212 ... 4096 24 ... 16 213 ... 8192 25 ... 32 214 ... 16384 26 ... 64 215 ... 32768 27 ... 128 216 ... 65536 28 ... 256

20 ... 1 29 ... 512 21 ... 2 210 ... 1024 22 ... 4 211 ... 2048 23 ... 8 212 ... 4096 24 ... 16 213 ... 8192 25 ... 32 214 ... 16384 26 ... 64 215 ... 32768 27 ... 128 216 ... 65536 28 ... 256


Sistema binario

• La cifra binaria è detta bit

parola che deriva dall’unione di due elisioni:

binary digit

• I bit estremi di un numero binario si chiamano:

1 0 1 1 1 0 0 1 0 0

MSB(Most Significant Bit)

LSB(Least Significant

Bit)


Limiti del sistema binario

• Poiché su n bit si rappresentano 2n numeri, per rappresentare la stessa grandezza occorrono molte più cifre rispetto al sistema numerico decimale.

bit simboli val. minimoval. massimo

416 0 158256 0 25516 65,536 0 65,53532 4,294,967,296 0 4,294,967,295


Conversione da binario a decimale

• Si applica direttamente la definizione effettuando la somma pesata delle cifre binarie:

1012 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20

= 4 + 0 + 1 = 5

1101.12 = 1 23 + 1 22 + 0 21 + 1 20 + 1 2-1

= 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 = 13.510


Conversione da decimale a binario

N = dn-1· rn-1 + ..... + d0· r0 + d-1· r-1 + ..... + d-m· r-m

• Consideriamo la sola parte intera e riscriviamo il numero binario nel modo seguente:

N = d0 + 2 · (d1 + 2 · (d2 + ...... + dn-1))

• Si può osservare che dividendo N per la base 2, si ottiene un

quoziente (d1 + r · (d2 + ...... + dn-1)) e un resto d0, che costituisce proprio la cifra meno significativa del numero nella base 2.

• Dividendo successivamente il quoziente per la base 2 si trova ancora un quoziente e un resto d1, che è la cifra di peso uno cercata, e così via.


Esempio

• Esempio:

13 6 3 1 0 quozienti1 0 1 1 restid0 d1 d2 d3

1310 = 11012


Conversione da decimale a binario

• Dato un numero frazionario:

N = a-1 2-1 + a-2 2-2 + ...... + a-m 2-m

• moltiplicando N per la base 2, si ricava come parte intera la cifra a-1, cioè la prima cifra binaria.

• Eliminata questa parte intera, moltiplicando quanto resta ancora per 2, si ricava come parte intera a-2, ecc.

• Le parti intere, scritte nel medesimo ordine con cui sono state ricavate, rappresentano il numero frazionario binario cercato.


Esempio

• Regola: si moltiplica per due la parte frazionaria e si prende la cifra intera prodotta dal risultato proseguendo fino alla precisione richiesta.

Esempio: 0.34 x 2

0.68 x 0.3410 = 0.01012

2 1.36 x 2 0.72 x 2

1.44 ecc. 13.3410 = 1101.01012


Conversioni tra sistemi in base qualsiasi

• E’ ovvio che le regole di conversione decimale-binario sono del tutto generali e valgono qualsiasi siano i sistemi numerici coinvolti.

• Ad esempio per convertire il numero decimale 365 in base 7 si divide per 7:

365 52 7 1 0 1 3 0 1

36510 = 10317


Operazioni aritmetiche

• Le operazioni aritmetiche in un qualsiasi sistema numerico si possono eseguire nello stesso identico modo che conosciamo così bene per il sistema numerico decimale.

• L’avvertenza è solo quella di costruire la “tabellina” opportuna per quel particolare sistema numerico: si ricordi che la tabellina per il sistema numerico decimale ce la siamo studiata a memoria sin dall’infanzia!!!!

• Il nostro interesse è però particolarmente concentrato sul sistema numerico binario e sono proprio le operazioni aritmetiche in binario che affronteremo ora.


Somma in binario

• Regole base:0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 0 con riporto (carry) di 1

• Si effettuano le somme parziali tra i bit dello stesso peso, propagando gli eventuali riporti:

1 10 1 1 0 + 6 +

0 1 1 1 = 7 =1 1 0 1 13


Somma completa

• La somma completa (full addition) tiene conto del riporto per cui si sommano due bit ed un carry ottenendo come risultato un bit di somma e un bit di riporto

A B Carry S Rip

0 0 0 0 0

0 1 0 1 0

1 0 0 1 0

1 1 0 0 1

0 0 1 1 0

0 1 1 0 1

1 0 1 0 1

1 1 1 1 1


Sottrazione in binario

• Regole base:0 – 0 = 00 – 1 = 1 con prestito (borrow) di 1 1 – 0 = 11 – 1 = 0

• Si eseguono le sottrazioni bit a bit tenendo conto dei prestiti:

11 1 0 0 - 12 -

1 0 1 0 = 10 =0 0 1 0 2


Sottrazione completa

• Analogamente alla somma, è possibile definire la sottrazione completa (sottrazione tra due bit ed un borrow )

A B Borrow

SPrest

0 0 0 0 0

0 1 0 1 1

1 0 0 1 0

1 1 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 1 0 1

1 0 1 0 0

1 1 1 1 1


Moltiplicazione in binario

• Il prodotto tra due numeri binari si può calcolare con la tecnica già nota per i numeri in base 10, detta della somma e scorrimento.

Esempio: 1 0 1 1 x 11 x 1 0 1 = 5 = 1 0 1 1 55 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

• Nella pratica si usano accorgimenti particolari basati sull’operazione di scorrimento (shift ).


Divisione in binario

• Come per le altre operazioni applichiamo le stesse regole che usiamo col sistema decimale:

Esempio:1 0 1 0 1 1 10 0 0 1 1 1 21 / 3 = 71 0 10 1 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1 1 1 0 0


L’operazione di shift

• Equivale ad una moltiplicazione o divisione per la base.

• Consiste nel “far scorrere ” i bit (a sinistra o a destra) inserendo opportuni valori nei posti lasciati liberi.

• In decimale equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o dividere (shift a destra) per 10.

• In binario equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o dividere (shift a destra) per 2.


Shift a sinistra

• Si inserisce come LSB un bit a zero

• Equivale ad una moltiplicazione per due

0011 « 1 = 0110 ( 3 2 = 6 )0011 « 2 = 1100 ( 3 22 = 12 )0011 « 3 = 11000 ( 3 23 = 24 )

0 0 1 1

0 1 1 0

« 1 (shift a sinistra di 1 posizione)

0


Shift a destra

• Si inserisce come MSB un bit a zero

• Equivale ad una divisione per due

0110 » 1 = 0011 ( 6 : 2 = 3 )0110 » 2 = 0001 ( 6 : 4 = 1 ) troncamento!

0 1 1 0

0 1 1 0

» 1 (shift a destra di 1 posizione)

0


Moltiplicazioni

• Una qualsiasi moltiplicazione tra due numeri può essere trasformata in una serie di shift e di somme, operazioni che vengono eseguite molto velocemente dai microprocessori.

• Ad esempio il prodotto 14 x 13 diventa:14 · 13 = 14 · (8 + 4 + 1) = 14 · 8 + 14 · 4 + 14 · 11410 = 11102 1 1 1 1

1110000 +1110 « 3 + 1110 « 2 + 1110 111000 +

1110 = 10110110


Limiti della rappresentazione

• Quando scriviamo sulla carta non ci preoccupiamo quasi mai della grandezza dei numeri (a meno di particolari necessità).

• Nelle macchine numeriche un numero deve essere rappresentato in un particolare dispositivo elettronico interno che si chiama registro ed è paragonabile ad una cella di memoria.

• Caratteristica fondamentale di questo dispositivo è la sua dimensione (numero di bit) stabilita in sede di progetto: ovvero in un elaboratore potremo rappresentare solo una quantità limitata di numeri.


Limiti della rappresentazione

• Ad esempio se il nostro contenitore (registro) è lungo 5 bit:

potremo rappresentare solamente i numeri binari compresi tra 0

0 0 0 0 0 e 31 1 1 1 1 1

• Inoltre dovremo in qualche modo introdurre il segno dei numeri!


I numeri con segno

• Oltre al problema relativo al valore del numero bisogna trovare il modo di rappresentare il segno.

• Il segno dei numeri può essere solo di due tipi:positivo ( + )negativo ( - )

• Sembrerebbe quindi facile rappresentarlo in binario, tuttavia la soluzione più semplice (1 bit riservato al segno) non è sempre conveniente.

• Per tener conto del segno anziché il sistema numerico binario si utilizzano dei codici binari che hanno tuttavia come base, ovviamente, il sistema numerico binario.


Modulo e segno

• Su N bit, un bit è destinato al segno (in binario 0 = +,1 = -) e N-1 bit al valore assoluto (anche detto modulo)

S modulo

• E’ un codice che ricorda molto il nostro modo di rappresentare i numeri sulla carta.

• Presenta però gravi svantaggi dovuti alla doppia rappresentazione dello zero (esistono e sono leciti infatti sia + 0, che - 0) e alla complessità delle operazioni aritmetiche.


Modulo e segno

• Esempi - usando una codifica su quattro bit: + 310 0011MS

310 1011MS

• Si ha una doppia rappresentazione dello zero: 0000MS + 010

1000MS 010

• In generale su N bit sono rappresentabili i valori:

- ( 2N-1 - 1 ) x + ( 2N-1 - 1 )

8 bit => [ -127 ÷ +127 ]16 bit => [ -32.767 ÷ +32.767 ]


Complemento a 1

• Considerando numeri binari di n bit, si definisce complemento a uno di un numero A la quantità:

A = 2n - 1 – A

• Viene anche detto semplicemente complemento.

• Regola pratica:il complemento a uno di un numero binario A si ottiene

cambiando il valore di tutti i suoi bit (complementando ogni bit)

Esempio:

A = 1011 A 0100


Complemento a 2

• Considerando numeri binari di n bit, si definisce complemento a due di un numero A la quantità:

A = 2n – A

Regola pratica:il complemento a due di un numero binario A si ottiene

sommando uno al suo complemento (a uno)

Esempio:

A = 1011 A = 0100 A0101


Complemento a 2

• E’ usato per rappresentare numeri relativi:

( A 0 ) 0 A2 (= AMS)

( A < 0 ) complemento a 2 di A

• In questo modo l’MSB indica il segno: 0 = +, 1 = -

• Regola alternativa per la determimazione del complemento a due: si parte da destra, si lasciano inalterati tutti gli zeri fino al primo uno che si lascia inalterato, si complementano tutti gli altri bit

• Esempio:A = 001101001000; A = 110010111000


Complemento a 2

• Esempio - usando una codifica su 4 bit:

+ 310 0 ( 32 ) 0011CA2

- 310 - 0011 1100 + 1 1101CA2

• In generale su N bit sono rappresentabili i valori:

- ( 2N-1 ) x + ( 2N-1 - 1 )

8 bit => [ -128 ÷ +127 ]16 bit => [ -32.768 ÷ +32.767 ]


Somma e sottrazione in complemento a 2

• La somma si effettua direttamente, senza badare ai segni degli operandi, come fossero due normali numeri binari.

• La sottrazione si effettua sommando al minuendo il complemento a 2 del sottraendo:

A – B A + (- B) ovvero: A + B

• Esempio: 0 1 0 1 0 + 10 + 1 0 1 0 0 = - 12 = 1 1 1 1 0 - 2


Overflow

• Si usa il termine overflow per indicare l’errore che si verifica in un sistema di calcolo automatico quando il risultato di un’operazione non è rappresentabile con la medesima codifica e numero di bit degli operandi.

• Nella somma in binario puro si ha overflow quando si opera con un numero fisso di bit e si genera un riporto (carry) sul bit più significativo (MSB, quello più a sinistra).

Esempio: somma tra numeri di 4 bit in binario puro

0 1 0 1 +1 1 1 0 =

overflow! 1 0 0 1 1


Overflow in complemento a 2

1. Operandi con segno discorde: non si può mai verificare overflow!!!!!

2. Operandi con segno concorde: c’è overflow quando il risultato ha segno discorde da

quello dei due operandi

3. In ogni caso, si trascura sempre il carry (riporto) oltre il MSB

Esempi:0 1 0 1 + 1 1 1 0 +0 1 0 0 = 1 1 0 1 =1 0 0 1 1 1 0 1 1 = overflow! carry, risultato OK


Fixed-point

• Si usa un numero fisso di bit per la parte intera e per quella frazionaria (e non si rappresenta la virgola!)

• Ad esempio (4 + 4 bit, binario puro):

15.9375 = 111111110.0625 = 00000001

virgola sottintesa


Fixed-point

• Vantaggi: gli operandi sono allineati per cui le operazioni aritmetiche

risultano facili ed immediate; la precisione assoluta è fissa

• Svantaggi: l’intervallo di valori rappresentati è assai modesto la precisione dei numeri frazionari rappresentati molto

scarsa

• Utilizzo tipico: DSP (Digital Signal Processor) Sistemi digitali per applicazioni specifiche (special-purpose) Numeri interi nei calcolatori


Rappresentazione di numeri interi

• A causa dell’estrema semplicità che presentano le operazioni aritmetiche in complemento a 2, in tutte le macchine numeriche i numeri interi vengono rappresentati in questo codice.

• Il numero di bit utilizzati dipende dalla macchina: si tratta generalmente di 16 bit (interi corti) o 32 bit (interi lunghi).

• La rappresentazione è nota col nome di fixed-point e il punto frazionario è supposto all’estrema destra della sequenza di bit (parte frazionaria nulla).


Rappresentazione di numeri reali

• Le rappresentazioni fin qui considerate hanno il pregio di rappresentare esattamente i numeri (almeno quelli interi) ma richiedono un numero di bit esorbitante quando il numero da rappresentare ha valore elevato.

• La rappresentazione dei numeri frazionari che deriva dai codici precedenti, ovvero in fixed point, a causa delle forti approssimazioni che impone è usata raramente.

• Generalmente viene utilizzato un apposito codice noto come floating point che consente di rappresentare in un numero limitato di bit grandezze di qualsiasi valore anche se condizionate da approssimazioni più o meno elevate.


Floating-point

• E’ basata sul formato esponenziale (notazione scientifica)

N = mantissa base esponente

Ricorda le notazioni:

standard 3.5 × 104 3.5E+4scientifico 0.35 × 105 0.35E+5

• Nei sistemi di elaborazione Base = 2 Mantissa ed esponente sono rappresentati in binario


Floating-point

• Vantaggi: grande intervallo di valori rappresentabili errore relativo fisso

• Svantaggi: operandi non allineati per cui le operazioni aritmetiche

risultano molto complesse errore assoluto variabile e dipendente dal valore del

numero

• E’ la rappresentazione utilizzata da tutti i calcolatori elettronici per rappresentare i numeri frazionari ed è stata standardizzata dall’IEEE.


Formato IEEE-P754

• Standard IEEE per il floating-point: Rappresentazione binaria di

mantissaesponente segno

• Singola precisione: 32 bit (float)

• Doppia precisione: 64 bit (double)

23 bit8 bit

esponentesegno mantissa

1 bit

52 bit11 bit

esponentesegno mantissa

1 bit

precisione: circa 7 cifre decimali

precisione: circa 17 cifre decimali


Overflow e Underflow

• A causa della precisione variabile è possibile avere errori di rappresentazione: numeri troppo grandi: overflow numeri troppo piccoli: underflow

Esempio: IEEE P754

0-1038 -10-38 10-38 1038

overflow

underflow


Rappresentazioni di dati non numerici

• Qualunque insieme finito di oggetti può essere codificato tramite valori numerici associando ad ogni oggetto un codice (ad esempio un numero intero).

• Nel sistema numerico binario per rappresentare K oggetti distinti occorre un numero minimo di bit pari a:

N = log2 K


Caratteri

• E’ sicuramente il tipo di informazione più scambiata: occorre pertanto una codifica standard.

la più usata fa riferimento al codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

in passato era molto diffuso il codice EBCDIC (Extended BCD Interchange Code)

codice UNICODE


Codice ASCII

• E’ usato anche nelle telecomunicazioni.

• Usa 8 bit per rappresentare: i 52 caratteri alfabetici (a ÷ z , A ÷ Z) le 10 cifre (0 ÷ 9) i segni di interpunzione (,;:!?&%=+-/ ecc.) un gruppo di caratteri di controllo tra cui:

CR ( 13 ) Carriage ReturnLF,NL ( 10 ) New Line, Line FeedFF,NP ( 12 ) New Page, Form FeedHT ( 9 ) Horizontal TabVT ( 11 ) Vertical Tab

NUL ( 0 ) NullBEL ( 7 ) BellEOT ( 4 ) End-Of-Transmission


Codice ASCII

• Ad esempio per rappresentare il messaggio “Auguri a tutti!” è necessaria la seguente sequenza:

01000001 A 00100000 spazio01110101 u 01110100 t01100111 g 01110101 u01110101 u 01110100 t01110010 r 01110100 t01101001 i 01101001 i00100000 spazio 00100001 !01100001 a

2 rappresentazione dei dati

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