2. RETTE PARALLELE

A cura di Mimmo CORRADO

2RETTE PARALLELE

Definizione

Due rette parallele sono due rette distinte di uno stesso piano che non hanno alcun punto in comune.

3

r

s

t

3 4

5 6

3 e 6 alterni interni

4 e 5 alterni interni

RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE

Definizione

Due rette r ed s formano con una terza retta t, chiamata trasversale, otto angoli.

4

r

s

t

1 2

7 8

1 e 8 alterni esterni

2 e 7 alterni esterni

RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE

Definizione

Due rette r ed s formano con una terza retta t, chiamata trasversale, otto angoli.

5

r

s

t

3 4

5 6

3 e 5 coniugati interni

4 e 6 coniugati interni

RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE

Definizione

Due rette r ed s formano con una terza retta t, chiamata trasversale, otto angoli.

6

r

s

t

1 2

87

1 e 7 coniugati esterni

2 e 8 coniugati esterni

RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE

Definizione

Due rette r ed s formano con una terza retta t, chiamata trasversale, otto angoli.

7

r

s

t

1 2

7 8

1 e 5 corrispondenti3 4

5 6

2 e 6 corrispondenti

3 e 7 corrispondenti

4 e 8 corrispondenti

RETTE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE

Definizione

Due rette r ed s formano con una terza retta t, chiamata trasversale, otto angoli.

8

r

s

t

3 4

5 6

⇒Se due rette r ed s tagliate da una terzaretta trasversale t formano con essacoppie di angoli alterni interni congruenti

Le rette r ed ssono parallele

RETTE PARALLELE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE

Teorema

9

r

s

t

3 4

5 6

⇒

RETTE PARALLELE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE

Teorema

Se due rette parallele red s tagliano un’altraretta trasversale t

Le due rette r ed s formano conla trasversale t coppie di angolialterni interni congruenti

10

⇔

Se due rette r ed s tagliate da una terza rettatrasversale t formano con essa coppie di angoli:alterni interni congruenti, oalterni esterni congruenti, oangoli corrispondenti congruenti, oangoli coniugati interni supplementari, oangoli coniugati esterni supplementari

Le rette r ed ssono parallele

r

s

t

3 4

5 6

1 2

7 8

CRITERI DI PARALLELISMO

11

r

s

t

⇒

RETTE PERPENDICOLARI

Teorema

Se due rette r ed ssono parallele

ogni retta perpendicolare alla retta rè perpendicolare anche alla retta s.

Dimostrazione

Indichiamo con P il punto in cui la retta t incontra la retta r .

Indichiamo con Q il punto in cui la retta t incontra la retta s .

Gli angoli RPQ e SQP sono alterni interni e quindi congruenti.

P

Q

R

S

Essendo, per ipotesi, l’angolo RPQ retto anche l’angolo SQP è retto, e quindi la retta t è perpendicolare anche alla retta s.

12

A

B

C

E

D

α

' α

β

β

TRIANGOLO

Teorema

Ogni angolo esterno di un triangolo è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti.

Dimostrazione

Conduciamo da un vertice del triangolo la retta parallela al lato opposto.

Gli angoli ACB ≅ CBE perché alterni interni.

Gli angoli BAC ≅ DBE perché corrispondenti.

Pertanto:

13TRIANGOLO

A

B

C

Teorema

La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a un angolo piatto.Dimostrazione

Conduciamo da un vertice del triangolo la retta parallela al lato opposto.

Gli angoli BAC ≅ PCA perché alterni interni.

Gli angoli ABC ≅ BCQ perché alterni interni.

Pertanto:

P

Q

14

La somma degli angoli interni di un poligono è equivalente a n-2angoli piatti.

D

C

A B

E

O

ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO

Teorema

180°

180° 180°

180°

180°

360°

15

D

C

A B

E

Dimostrazione

Si osserva che la sommadi un qualunque angoloesterno e dell’angolointerno adiacente è unangolo piatto.

Si deduce che la sommadegli angoli interni edesterni è congruente ad nangoli piatti.

Poiché la somma degliangoli interni ècongruente a n-2 angolipiatti, quella degli angoliesterni è congruente a 2angoli piatti, cioè unangolo giro.

ANGOLI ESTERNI DI UN POLIGONO

Teorema

La somma degli angoli esterni di un poligono è equivalente a unangolo giro.

16

BA

C

I CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

Dimostrazione

I due triangoli sono congruenti per il I° criterio di congruenza.

Infatti hanno due cateti congruenti e l’angolo compreso congruente (angolo retto).

B’A’

C’

Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno i catetirispettivamente congruenti.

17II CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno l’ipotenusa eun angolo acuto rispettivamente congruenti.

BA

C

Dimostrazione

Gli angoli B e B’ sono congruenti per ipotesi. Gli angoli A e A’ congruenti perché retti. Pertanto, essendo la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi uguale a un angolo piatto, si ha che anche gli angoli C e C’ sono congruenti. Inoltre essendo BC ≅ B’C’ , per il II criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.

B’A’

C’

18III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto el’angolo acuto adiacente od opposto rispettivamentecongruenti.

BA

C

Dimostrazione 1

La dimostrazione si effettua utilizzando il II criterio di congruenza dei triangoli.

B’A’

C’

19

Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto el’angolo acuto adiacente od opposto rispettivamentecongruenti.

BA

C

Dimostrazione 2

Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi uguale a un angolo piatto, si hache anche gli angoli C e C’ sono congruenti. Pertanto per il II criterio di congruenza i triangolisono congruenti.

B’A’

C’

III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

20IV CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto el’ipotenusa rispettivamente congruenti.

BA

CDimostrazione

Prolunghiamo il cateto A’C’ di un segmento A’D ≅ AC .

B’A’

C’

D

Il triangolo A’B’D è congruente al triangolo ABC, perché:

A ≅ A’ AB ≅ A’B’ AC ≅ A’D (I Criterio congruenza)

Si deduce quindi che B’D ≅ BC . Ma BC ≅ B’C’ .

Pertanto B’D ≅ B’C’ ⇔ che il triangolo B’C’D è isoscele.

Ma se il triangolo B’C’D è isoscele l’altezza A’B’ è anchemediana. Ma ciò vuol dire che A’C’ ≅ A’D .

A questo si può concludere che i triangoli ABC e A’B’C’sono congruenti per il III criterio di congruenza deitriangoli, perché hanno i tre lati ordinatamentecongruenti.

21MEDIANA RELATIVA ALL’IPOTENUSA

Teorema

Pertanto gli angoli β ≅ γ .

⇒In un triangolo rettangolo

La mediana relativa all’ipotenusa è la metà dell’ipotenusa.

A

B

CM

Prolunghiamo BM di un segmento MD ≅ BM

I triangoli BMC ≅ AMD per il I° C.C.T.

Quindi ABD è un triangolo rettangolo.

Dimostrazione

Infatti: AD ≅ BC e AB in comune.

Pertanto, BD ≅ AC

D

αGli angoli α e γ sono complementari.

γ

β

Pertanto anche α e β sono complementari.

I triangoli ABD ≅ ABC per il I° C.C.T.R.

Ma BM ≅ ½ BD ⇒ BM ≅ ½ AC .

X X

22

La distanza di un punto P da una retta r è il segmento diperpendicolare PH condotto dal punto P alla retta r.

P

s

H r

DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA

Definizione

23

Se PH è la distanza del punto P dalla retta r, ogni segmento PQ, con Qappartenente a r e Q≠H, si dice segmento obliquo e QH proiezioneortogonale di PQ su r.

P

s

H rQ

DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA

Definizione