2 、由韦恩 venn 图可知 a=
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剖析高考考点 把握复习重点. 1. 集合 与常用逻辑用语. D. 解： 1 、验证法：（ A ）显然不对，如果（ B ） 正确，则元素 7 应该在集合 B 或 B 的补集中出现， 显然不对，同理（ C ）不对，故选（ D ）. 2 、由韦恩 Venn 图可知 A=. 解：. D. 要注意不含量词的命题的否定、含一个量词的命题的否定与一个命题的否命题三者之间的联系和区别。. A. 解：用分类讨论的数学思想方法. 2. 复数. A. D. 3. 函数与导数. 方法 1 ：解析法. 方法 2 ：抽象函数法. 方法 3 图像法. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
（1） 已知 A，B均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集，且 A∩ B={3},
UC B∩ A={9},则 A=
（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}
D
2 、由韦恩 Venn 图可知 A= 3,9
解： 1 、验证法：（ A ）显然不对，如果（ B ）
正确，则元素 7 应该在集合 B或 B 的补集中出现，
显然不对，同理（ C ）不对，故选（ D ）
剖析高考考点 把握复习重点
1. 集合与常用逻辑用语
（理科）（1） 已知集合 {1,2,3,4,5}A , {( , ) , , }B x y x A y A x y A ；,
则 B中所含元素的个数为（ ）
( )A 3 ( )B 6 ( )C ( )D
解：
D
要注意不含量词的命题的否定、含一个量词的命题的否定与一个命题的否命题三者之间的联系和区别。
解：对含一个量词命题的否定，就是把全称量词
和存在量词互相改变，然后把结论否定。
2011广东理科 8. 设 S是整数集 Z的非空子集，如果 , ,a b S
有 ab S ，则称 S关于数的乘法是封闭的. 若 T,V是 Z的两个
不相交的非空子集， ,T U Z 且 , , ,a b c T 有 ; , , ,abc T x y z V
有 xyz V ，则下列结论恒成立的是
A. ,T V中至少有一个关于乘法是封闭的
B. ,T V中至多有一个关于乘法是封闭的
C. ,T V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. ,T V中每一个关于乘法都是封闭的
A
设 1c T ， , ,a b c T ，有 1ab T ，所以T中至少
有一个关于乘法是封闭的
设T为非负整数数集，V为负整数数集，显然T关于
数的乘法是封闭的.但 , , 0x y V xy V ，所以D错误。
设T为偶数集，V为奇数集，显然 ,T V符合题意且
关于数的乘法是封闭的. 所以 ,B C错误；
2006全国一（12） 设集合 1,2,3,4,5I 。选择 I 的两个非空子集 A
和 B，要使 B中最小的数大于 A中最大的数，则不同的选择方法共有
A．50种 B．49种 C． 48种 D．47种
若集合 A中最大的数是 1，集合 B的选择方法： 42 1 =15种
若集合 A中最大的数是 2，则集合 A有 2种，
集合 B的选择方法： 32 1 =7种，
解：用分类讨论的数学思想方法
若集合 A中最大的数是 3，则集合 A有 4种，
集合 B的选择方法： 22 1 =3种
若集合 A中最大的数是 4，则集合 A有 8种，
集合 B的选择方法：1种。
故共有：15 2 7 4 3 8 1 49
（理科）（3）下面是关于复数 2
1z
i
的四个命题：其中的真命题为
1 : 2p z 22 : 2p z i 3 :p z的共轭复数为1 i 4 :p z的虚部为 1
( )A 2 3,p p ( )B 1 2,p p ( )C ,p p ( )D ,p p
【解析】： 2 2( 1 )1
1 ( 1 )( 1 )
iz i
i i i
1 : 2p z ， 22 : 2p z i ， 3 :p z的共轭复数为 1 i ， 4 :p z的虚部为 1
选C
2. 复数
2011上海理（19）．已知复数 1z 满足 1( 2)(1 ) 1z i i （ i为虚数单位），
复数 2z 的虚部为 2，且 1 2z z 是实数，求 2z ．
解： 1( 2)(1 ) 1z i i 1 2z i
设 2 2 ,z a i a R ， 则 1 2 (2 )( 2 ) (2 2) (4 )z z i a i a a i
∵ 1 2z z R ， ∴ 2 4 2z i
2011湖北理 1.i为虚数单位，则
2011
1
1
i
i
A. i B. 1 C.i D.1
解：因为 i
i
i
i
i
2
2
1
1
1
1 ， iiiii
i
3350242011
2011
1
1
A
2010理科(2)已知复数2
3
(1 3 )
iz
i
， z是 z的共轭复数，则 z z =
A. 1
4 B.1
2 C.1 D.2
由 2z z z ，
22 2
33 3 2
4(1 3 ) (1 3 ) (1 3 )
ii iz z
i i i
所以 21 1( )2 4
z z
2010 浙江理科（5）对任意复数 iRyxyixz ),,( 为虚数单位，则下
列结论正确的是
（A） yzz 2|| （B） 222 yxz （C） xzz 2|| （D） |||||| yxz D
3. 函数与导数
命题趋势：
函数概念，定义域，求解析式，最大值，最小值，分段函数，
函数图像，证明不等式，恒成立问题中求参数的取值范围，
考查分类讨论数学思想，难度稳中有升。
3
3
8 0
8 0
x xf x
x x
0 4x x 或
方法 1 ：解析法
082
,02
082
,020)2(
33 x
x
x
xxf 或
例：（2010全国 8题，5分）.设偶函数 ( )f x 满足 3( ) 8( 0)f x x x ，则
{ | ( 2) 0}x f x
(A) { | 2 4}x x x 或 (B) { | 0 4}x x x 或
(C) { | 0 6}x x x 或 (D) { | 2 2}x x x 或
解：这是一个分段函数的不等式问题，很容易想到求出函数 ( )f x 的表
达式，再求其解，但这样比较繁琐，如果考虑偶函数的性质或数形结
合的方法则比较简单。
方法 3 图像法
0 4x x 或
方法 2 ：抽象函数法
利用数形结合的数学思想方法是解决函数问题重要方法
（文科）(11) 当 0<x≤12时，4x<logax，则 a的取值范围是
（A）(0，2
2 ) （B）(2
2 ，1) （C）(1， 2) （D）( 2，2)
（理科）（10） 已知函数 1( )
ln( 1)f x
x x
；则 ( )y f x 的图像大致为
B
当 X>-1 时， x>ln(x+1), 所以 f(x)<0
理科（12）设点 P在曲线 1
2xy e 上，点Q在曲线 ln(2 )y x 上，
则 PQ最小值为（ ）
( )A 1 ln 2 ( )B 2(1 ln 2) ( )C 1 ln 2 ( )D 2(1 ln 2)
例：（2009辽宁卷 12题，5分）
若 1x满足 2x+2x 5 , 2x 满足 22 2log 1 5x x , 1x + 2x ＝
（A） 5
2 (B)3 (C) 7
2 (D)4
解：直接解方程求出 1 2,x x 不可能，故只可能用数形结合
或其它方法求其解。
解：由题意2
52 1 xx , ,
2
51log 2 xx
12 xy
1log 2 xy
2
5 xy
C
如图，曲线 12 xy 和 1log 2 xy 与直线 5
2y x 的交点 A、B关于直
线 5
2y x 与 1y x 的交点 7 3
,4 4
C
中心对称，所以 1 2
7
2x x
【解析】 2
2 2
2 1 sin 2 sin1
1 1
x x x x xf x
x x
例：（2012北京东城二模）设函数 1 sin
1
x xf x
x
的最大值为M，
最小值为m，则M m ____
（文科）(13) 曲线 y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________
(3) 曲线2
xy
x
在点（-1，-1）处的切线方程为
（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2
/
2
22
2y k
x
2 1y x
解：1.点 1,1P 为切点， / 2 /3 , 1 3f x x f
2. 点 1,1P 不是切点，设切点坐标为 0 0,P x y
30 0 0
200
00
1
21
3 11
8
y x x
yx
yx
解：
所以 1 0k ，故 3
4
/2
4 41( 1 0 )
1( 1) 2
xx
xx
x
ey e x
e ee
即 时，等号成立
求导后，只知道判断 0k ，不会用基本不等式求出 1k
是导致丢分的主要原因。
例：（2010辽宁 10题，5分）已知点 P在曲线 y=4
1xe 上，
为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是
(A) [0,4
) (B) [ , )
4 2
(C)
3( , ]
2 4
(D)
3[ , )
4
（9）由曲线 y x ，直线 2y x 及 y轴所围成的图形的面积为
（A）10
3 （B）4 （C）16
3 （D）6
4 2
0
42 3 1 162 2
03 2 2 3x x dx x x
例 15： 2011 全国理科
解：由4
22
xy x
yy x
求定积分的关键是求出被积函数的原函数，涉及平面图形面积问题，要注意定积分和被积函数的几何意义
2011浙江理科（16）．设 ,x y为实数，若 2 24 1,x y xy 则 2x y 的最大
值是 ．。
设 2x y t ，则 2y t x ，代人 2 24 1,x y xy
整理得： 2 26 3 1 0,x tx t
关于 x的方程有根，
因此 2 2 2 10 2 103 4 6 1 0
5 5t t t
所以 2x y 的最大值是 2 10
5
2011理科（16）在 ABC 中， 60 , 3B AC ，则 2AB BC 的最大值为 。
0
32sin , 2sin
sin sin sin 60
c ac C a A
C A
02 2 sin 2sin 120 2 7 sin( )AB BC C C C
解：由正弦定理
由余弦定理得： 2 2 2 2 cosb a c ac B 2 23 a c ac
设 2c a t ，则 2c t a ，代人 2 23 a c ac 整理得
2 27 5 3 0a ta t ，因为方程有实根，
所以 2 225 4 7 3 0 2 7t t t
例：（2012全国理科 21题）已知函数 ( )f x
满足满足 1 21( ) (1) (0)
2xf x f e f x x ；
（1）求 ( )f x 的解析式及单调区间；
（2）若 21( )
2f x x ax b ，求 ( 1)a b 的最大值。
令 1x 得： (0) 1f
1(0) (1) 1 (1)f f e f e
解：（ 1） 1 21( ) (1) (0)
2xf x f e f x x
1( ) (1) (0)xf x f e f x
1 21( ) (1)
2xf x f e x x
( ) ( ) 1xg x f x e x
且单调递增区间为 (0, ) ，单调递减区间为 ( ,0)
当 x e 时， max( )2
eF x
当 1,a e b e 时， ( 1)a b 的最大值为2
e
例 2：某时钟的秒针端点 A到中心点 O的距离为 5cm，秒针均匀地绕
点O旋转，当时间 t=0时，点 A与钟面上标 12的点 B重合，将 A，B
两点的距离 d（cm）表示成 t（s）的函数，则 d= ，
其中 t∈[0，60]。
解法 1：如图，圆O半径为 5，A,B在圆O上，设 ( 0, )AOB
2007 江苏 16 题
4. 三角函数命题趋势：
三角函数概念，化简求值；三角函数恒等变换；函数 siny A wx
图像变换及性质；解三角形的应用；与数列轮流命制大题。
由垂经分弦定理知， 2 5 sin 10sin2 2
d
由30 : :t 得：30
t ，
, 0,3030
2 , 30,6030
t t
t t
10sin , 0,3060
10sin( ), 30,6060
tt
dtt
又10sin60
t 10sin( )
60
t
所以 10sin , 0,6060
td t
.
解法 2：由60 : 2 :t 得：30
t ，所以
30
tAOB
所以 10sin60
td
在三角形 AOB中，由余弦定理得：
2 2 2 2 cosd OA OB OA OB
2 2 2 25 5 2 5 5 cos 50(1 cos ) 100(sin )30 30 60
t t td
（文科）（9） 已知 ω>0，0<φ<π，直线 x=π4和 x=
5π4是函数
f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则 φ=
（A）π4 （B）
π3 （C）
π2 （D）
3π4
例 4：已知 0 ，函数 ( ) sin( )4
f x x 在 ( , )
2
上单调递减.则的取
值范围是（ ）
( )A1 5
[ , ]2 4
( )B 1 3[ , ]2 4
( )C 1(0, ]
2 ( )D (0,2]
3( ) [ , ] [ , ]
4 2 4 4 2 2x
解法 1： 5 92 ( ) [ , ]
4 4 4x
不合题意 排除 ( )D
3 51 ( ) [ , ]
4 4 4x
合题意 排除 ( )( )B C
解法 2： ( ) 22
，
3 1 5,
2 4 2 4 2 2 4
sin 2 sin 212 3 4
17 2sin 2 cos cos 2 sin
3 4 3 4 50
解析: Q为锐角， 4cos
6 5
06 6 4 12
，
4cos
6 5
Q 3sin
6 5
24cos
6 6sin 2 2sin
253
72( ) , cos 2
3 6 2 6 25
Q
，
例 2：设为锐角，若 4cos
6 5
，则 sin 212
=（ ）．
在三角形 ABD中，由余弦定理: 6AB
在三角形 ACD中，由余弦定理: 6 3 1AC
在三角形 ABC中，由余弦定理: 060BAC
(16)在△ ABC中，D为边 BC上一点，BD=1
2DC，ADB=120° ，AD=2，
若△ ADC的面积为3 3 ，则BAC=_______
2011 年全国理科
（文理）（17）已知 , ,a b c分别为 ABC 三个内角 , ,A B C的对边，
cos 3 sin 0a C a C b c
（1）求 A （2）若 2a ， ABC 的面积为 3；求 ,b c。
5sin cos 5sin cos 3sin( )A B B A A B
5sin cos 5sin cos 3sin cos 3sin cosA B B A A B B A
2sin cos 8sin cosA B B A tan4
tan
A
B
方法 2： 0 3 1sin sin sin sin 120 sin ( cos sin )
2 2A B A A A A A
23 1 3 1sin cos sin sin 2 (1 cos 2 )
2 2 4 4A A A A A
3 1 1 1 1 1sin 2 cos 2 sin 2
4 4 4 2 4 4A A A
所以 4 3 sin sin 3ABCS A B
方法 1： 4 2 3sin
cc
C
22 2 02 3 2 cos120 12 3 4a b ab ab ab
所以 33
4ABCS ab
【解析】：因为所有样本点都在直线上，说明相关性很强，相关系数
达到最大值 1。选 D
（人教社 A版 92页，相关系数的强与弱）
5. 概率统计排列组合二项式定理
命题趋势：
统计的有关内容，离散随机变量分布列，数学期望方差，独立事件、对立事件的概率，
正态分布；线性回归，条件概率，茎叶图，树状图等。紧扣教材，稳中有降。
答案：
2011陕西理 9．设（ 1x ， 1y ），（ 2x ， 2y …）， ，（ nx ， ny ）是变量 x和 y
的 n个样本点，直线 l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线
性回归直线（如图），以下结论中正确的是
A． x和 y的相关系数为直线 l的斜率
B． x和 y的相关系数在 0到 1之间
C．当 n为偶数时，分布在 l两侧的样本点的个数一定相同
D．直线 l过点 ( , )x y
选项 具体分析 结论
A 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾
斜程度；它们的计算公式也不相同 不正确
B 相关系数的值有正有负，还可以是 0；当相关系数在 0到 1之间时，两个
变量为正相关，在 1 到 0之间时，两个变量负相关 不正确
C l两侧的样本点的个数分布与 n的奇偶性无关，也不一定是平均分布 不正确
D
回归直线 l 一定过样本点中心 ( , )x y ；由回归直线方程的计算公式
a y bx 可知直线 l必过点 ( , )x y
正确
（理科）（2）将 2名教师， 4名学生分成 2个小组，分别安排到甲、
乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和 2名学生组成，不
同的安排方案共有（ ）
( )A 12种 ( )B 10种 ( )C 种 ( )D 种
【解析】 甲地由1名教师和 2名学生： 1 22 4 12C C 种选 A
2 24 2
22
3C C
A
4 名学生分 2 组：
2 组学生分给 2 名教师：
2 个小组分到甲乙两地：
22 2A
22 2A
不同的安排方案： 322=12
令 1 1x a ，5
12x
x
展开式的通项公式 5 5 21 5 1 2
rr r rrT C x
令5 2 1 2r r ，5
12x
x
展开式中 x的系数 22 5 25 1 2 80C
令5 2 1 3r r ，5
12x
x
展开式中 1
x的系数 32 5 3
5 1 2 40C
所以5
1 12x x
x x
展开式中常数项：80 40 40 D
2011理科（8）5
12
ax x
x x
的展开式中各项系数的和为 2，则该展
开式中常数项为
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
（2011年浙江有 5本不同的书，其中语文书 2本，数学书 2本，
物理书 1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同
一科目的书都不相邻的概率
A． 1
5 B． 2
5 C． 3
5 D 4
5
2 22 42 48A A
48÷2=24
2 1 1 12 2 2 3 24A A A A
则同一科目的书都不相邻的概率55
24 24 2
5p
A
5 本书的全排列：55A
其中语文书相邻的排法有：2 42 4A A
其中数学书相邻的排法有： 2 42 4A A
2 2 32 2 3A A A语文数学各自相邻：
故所求概率： 5 2 4 2 4 2 2 35 2 4 2 4 2 2 3
55
( ) 2
5
A A A A A A A A
A
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2(1000,50 )N 得：三个电子元
件的使用寿命超过 1000小时的概率为 1
2p
超过 1000小时时元件 1或元件 2正常工作的概率 21
31 (1 )
4P p
那么该部件的使用寿命超过 1000小时的概率为 2 1
3
8p p p
另解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2(1000,50 )N
得：三个电子元件的使用寿命超过 1000小时的概率为 1
2p
该部件的使用寿命超过 1000小时的概率为 P A
1 2 3 1 2 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
P A PP P PP P PP P
解（ 1 ）厨余垃圾投放正确的概率
400 2
400 100 100 3
（ 2 ）生活垃圾投放正确的概率
生活垃圾投放错误的概率约为
400 240 600.7
1000P A
1 0.7 0.3P A
当 2600, 0,a b c s 取得最大值。
因为 1( ) 200
3x a b c
所以 2 2 22 1600 200 0 200 0 200 80000
3s
（ 3）
（2012陕西 20题）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所
需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间
统计结果如下：
从第一个顾客开始办理业务时计时.
（Ⅰ ）估计第三个顾客恰好等待 4分钟开始办理业务的概率；
（Ⅱ ） X表示至第 2分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X的分布列
及数学期望.
解：设用 Y表示顾客办理业务所需时间，用频率估计概率，
得 Y的分布列如下：
A “表示事件 第三个顾客恰好等待 4分钟开始办理业务”，
则事件 A对应三种情形：
① 第一个顾客办理业务所需的时间为 1分钟，且第二个顾客
办理业务所需的时间为 3分钟；
② 第一个顾客办理业务所需的时间为 3分钟，且第二个顾客
办理业务所需的时间为 1分钟；
③第一个顾客和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2分钟.
1 3 3 1 2 2P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y
0.1 0.3 0.3 0.1 0.4 0.4 0.22
（Ⅱ ）解 X所有可能取值为0,1,2
0X 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2分钟，
0 2 0.5P X P Y
1X 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1分钟
且第二个顾客办理业务所需的时间超过 1分钟，或
第一个顾客办理业务所需的时间为 2分钟。
1 1 1 2 0.49P X P Y P Y P Y
2X 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1分钟.
2 1 1 0.1 0.1 0.01P X P Y P Y
1 1 0 2 0.49P X P X P X
0 0.5 1 0.49 2 0.01 0.51EX
X 0 1 2P 0. 5 0. 49 0. 01
或
2012江苏 22．设 ξ 为随机变量．从棱长为 1的正方体的 12条棱中
任取两条，当两条棱相交时，ξ ＝0；当两条棱平行时，ξ 的值为两
条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ ＝1.
(1)求概率 P(ξ ＝0)；
(2)求 ξ 的分布列，并求其数学期望 E(ξ )．
（文理）（6）、如果执行右边的程序框图，输入正整数 ( 2)N N 和实
数 1 2, ,..., na a a ，输出 ,A B，则（ ）
( )A A B 为 1 2, ,..., na a a 的和
( )B2
A B 为 1 2, ,..., na a a 的算术平均数
( )C A和 B分别是 1 2, ,..., na a a 中最大的数和最小的数
( )D A和 B分别是 1 2, ,..., na a a 中最小的数和最大的数
6. 算法初步
[2012· 陕西卷] 图1－3是用模拟方法估计圆周率π 值的程序框图，
P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )
A．P＝N
1000 B．P＝
4N1000
C．P＝M
1000 D．P＝
4M1000
[解析] 本题主要考查循环结构的程序框图的应用，同
时要兼顾考查学习概率的模拟方法中圆周率 π 的模
拟，通过阅读题目和所给数据可知试验了 1000 次，M
代表落在圆内的点的个数，根据几何概型，π4＝
M1000，
对应的圆周率 π 为 P＝4M
1 000.
例：（13）设 ( )y f x 为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0 ( ) 1f x ，可
以用随机模拟方法近似计算积分 1
0( )f x dx ，先产生两组（每组 N个）
区间 [0,1]上的均匀随机数 1 2, , Nx x x… 和 1 2, , Ny y y… ，由此得到 N个点
1 1( , )( 1,2, )x y i N …, ，再数出其中满足 1 1( )( 1,2, )y f x i N …, 的点数 1N，那
么由随机模拟方案可得积分 1
0( )f x dx 的近似值为 。
1
10 1 1
0
( )( )
1 1
f x dx N Nf x dx
N N
7. 立体几何
命题趋势：
三视图，线线、线面、面面关系，异面直线所成的角，线面角，
二面角，点到面的距离，体积，图形翻折，球的内接多面体问题。
2011文理．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，
则相应的侧视图可以为
D
2011理科（15）已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4的球O的球面上，
且 6, 2 3AB BC ,则棱锥O ABCD 的体积为 。
底面积= 6 2 3 12 3
底面对角线= 36 12 4 3 ，
棱锥的高= 16 12 2
所以棱锥的体积为8 3
（理科）（11） 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O的求面上，
ABC 是边长为1的正三角形， SB为球O的直径，且 2SB ；则此棱锥
的体积为（ ）
( )A2
6 ( )B 3
6 ( )C 2
3 ( )D
2
2
A
【解析】选 A
因为0
1 32
sin 60 3r r ，所以 ABC 的外接圆的半径 3
3r ，
点O到面 ABC的距离 2 2 6
3d R r
SB为球O的直径点 S到面 ABC
的距离为 2 62
3d
此棱锥的体积为 1 1 3 2 6 22
3 3 4 3 6ABCV S d
（理科）（19） 如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，
1
1
2AC BC AA ，
D是棱 1AA的中点， BDDC 1
（1）证明： BCDC 1
（2）求二面角 11 CBDA 的大小。
【解析】（1）在 Rt DAC 中， AD AC
得： 45ADC
同理： 1 1 145 90ADC CDC
得： 1 1 1,DC DC DC BD DC 面 1BCD DC BC
(2010 全国 18 题)如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，
ABCD,ACBD，垂足为 H，PH是四棱锥的高 ，E为 AD中点
(1)证明：PEBC
(2)若APB=ADB=60° ，求直线 PA与平面 PEH所成角的正弦值
P EAH A EPHV V 1 1
3 3AHE PEHS PH S AN
1 3 3 1 3 3 33
3 4 3 2 2AN AN
2sin
4
ANAPN
AP
2011湖南文 15．已知圆 2 2: 12,C x y 直线 : 4 3 25.l x y
（1）圆C的圆心到直线 l的距离为 ．
（2）圆C上任意一点 A到直线 l的距离小于 2的概率
为 ．
（1）由点到直线的距离公式可得2 2
255
4 3d
；
（2）由（1）可知圆心到直线的距离为 5，要使圆上点到直线的距离
小于 2，即 1 : 4 3 15l x y 与圆相交所得劣弧上，由半径为 2 3，圆心到
直线的距离为 3可知劣弧所对圆心角为3
，故所求概率为 132 6
P
.
8. 直线和圆
江苏 14.设集合 },,)2(2
|),{( 222 Ryxmyxm
yxA ,
},,122|),{( RyxmyxmyxB , 若 , BA
则实数 m的取值范围是________.
解析：当 0m 时，集合 A是以（2，0）为圆心，以 m为半径的圆，
集合 B是在两条平行线之间，（2，0）在直线的上方
2 2 1 2(1 2) 0
22
mm m
d r
此时无解；
当 0m 时，集合 A是以（2，0）为圆心，以2
m和m
为半径的圆环，集合 B是在两条平行线之间，
必有当 12 1 2,
2m m 时,只要, 2 2 1 2 1
12 22
mm m
当 2 2, 1m m 时, 只要, 2 21 2 2
2
mm m
当 12 2,2 1 2 1
2m m m 时,一定符合 ,A B
又因为 A , 2m 1, 2 2
2 2m m
9. 圆锥曲线
命题趋势：
求动点的轨迹方程，求参数的取值范围，对称点问题，三点共线问题，
定值问题等。运算量有所减少，难度没有增加。
小题考方法，大题考思想。
（文理科）（4） 设 F1、F2是椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦
点，P为直线 x=3a2上一点，△ F1PF2是底角为 30°的等腰三角形，则
E的离心率为（ ）
（A）12 （B）
23 （C）
34 （D）
45
【解析】：
2 1F PF是底角为30的等腰三角形
2 2 1
3 32( ) 2
2 4
cPF F F a c c e
a
选C
（理科）（8）（文科）（10） 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在 x轴
上，C与抛物线 xy 162 的准线交于 ,A B两点， 4 3AB ；则C的实轴
长为（ ）
( )A 2 ( )B 2 2 ( )C ( )D
【解析】选C
设 2 2 2: ( 0)C x y a a 交 xy 162 的准线
: 4l x 于 ( 4,2 3)A ( 4, 2 3)B
得： 2 2 2( 4) (2 3) 4 2 2 4a a a
例 5.如图，F1,F2分别是双曲线 C：2 2
2 21
x y
a b （a,b＞0）的左、右焦
点，B是虚轴的端点，直线 F1B与 C的两条渐近线分别交于 P,Q两点，
线段 PQ的垂直平分线与 x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2| ,则 C的离心率
是
A. 2 3
3 B。 6
2
C. 2 D. 3
【解析】由题意知直线 BF1 的方程为： bxc
by ，
联立方程组
0
,
b
y
a
x
bxc
by
得点 Q ),(ac
bc
ac
ac
，
联立方程组
0
,
b
y
a
x
bxc
by
得点 P ),(ac
bc
ac
ac
，所以 PQ 的中点坐标为
),(2
2
2
b
c
b
ca ，所以 PQ的垂直平分线方程为： )(2
22
b
cax
b
c
b
cy ，令 0y ，
得 )1(2
2
b
acx ，所以 c
b
ac 3)1(
2
2
，所以 2222 222 acba ，即 22 23 ca ，
所以2
6e 。
所以 PQ的中点坐标为 ),(2
2
2
b
c
b
ca ，
2 2 2 2 2 2b x a y a b
2 2 2 2 2 21 1
2 2 2 2 2 22 2
1
2
b x a y a b
b x a y a b
两式相减得 2 21 2 1 2 1 2 1 2b x x x x a y y y y
2 21 2 1 2
2 21 2 1 2
24
30AB
y y x xb bk
x x a y y a
0 151
3 12NF ABk k
2 2
14 5
x y
1 12 4 4PF PF a PF PF
PF PA = 1 4PF PA
PF PA 的最小值为 1 4 5 4 9AF
例 1.以知 F是双曲线2 2
14 12
x y 的左焦点， (1,4),A P是双曲线
右支上的动点 PF PA 的最小值
2012 北京海淀二模（14）曲线C是平面内到定点 (1,0)A 的距离与到定
直线 1x=- 的距离之和为 3 的动点 P的轨迹. 则曲线C与 y轴交点的
坐标是 ；又已知点 ( ,1)B a （ a为常数），那么 PB PA+ 的最小值
( )d a = . (0, 3)±
2
2
32 , ( 1)
2
310 , ( 1)
2
y x x
y x x
解：设 ( , )P x y ，由题意得：
( ) ( )2 21 1 3x y x- + + - - =
2 2 2, 1.4 1,
4, 1.4 1,
2 , 1 1.
a a a a
a a
a a
ìï - + £ - ³ïïïï + - < £ -íïï - - < <ïïïî
或
；
例 2.过抛物线 2 2y x 的焦点 F作直线交抛物线于 ,A B两点，
若 25, ,
12AB AF BF 则 AF = .
【解析】抛物线 2 2y x 的焦点坐标为 )0,2
1( ，准线方程为
2
1x ，
设 A,B的坐标分别为的 ),(),,( 2211 yxyx ，
则4
1
4
2
21 p
xx ，设 nBFmAF , ，
则2
1,
2
121 nxmx ，所以有
12
254
1)
2
1)(
2
1(
nm
nm，
解得6
5m 或
4
5n ，所以
6
5AF .
解：设 AF=m,作 AH⊥DB于H，AH⊥EF于G，
则Δ AGF∽Δ AHB，所以
1 525 25 6212 12
AF GF m mm
AB HB m
1 1 2
AF BF p 1 1 2 5
25 1 612
mm m
21 2 2
1
4x x p
a
方法一（常规方法）： 设P ),( 211 axx ， ),( 2
22 axxQ ,
焦点 F(0,a4
1 ), 准线 l : a
y4
1 。由抛物线定义可知：
21axp +
a4
1 , 22axq +
a4
1 ，
又 P、Q、F三点共线，所以 ax1x2 = a4
1
2
22
21
22
21
2
22
21
16
1)(
4
12
1)(
11
axxxxa
axxa
pq
qp
qp
a
axx
a
axxa
4
16
1)(
4
1
16
12
1)(
222
212
22
21
.故选（C）
rnm
211
PIF PHQ
mn
mr
nm
m
ra
nqmp 2
1,,
aqp
2
1 a
qp4
11
1,
4p q
a
aqp
411
思考：椭圆、双曲线是否也具有类似的性质？
当 PQ与 y轴重合时，
例：(2012安徽文科 14) 过抛物线 2 4y x 的焦点F的直线交该
抛物线于 ,A B两点，若 | | 3AF ，则 | |BF =______。
解：设 (0 )AFx 及 BF m ；
则点 A到准线 : 1l x 的距离为3
13 2 3cos cos
3
2 32 cos( )
1 cos 2m m m
（2010年新课标 20题） 设 1 2,F F 分别是椭圆2 2
2 2: 1( 0)x y
E a ba b
的左、右焦点，过 1F斜率为 1 的直线 l与 E相交于 ,A B两点，且
2 2, ,AF AB BF 成等差数列。
（1）求 E的离心率；
（2） 设点 (0, 1)p 满足 PA PB ，求E的方程
（I）由椭圆定义知 2 2 4AF BF AB a ，
又 2 22 AB AF BF ， 得 4
3AB a
l的方程为 y x c ，其中 2 2c a b 。设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
则 A、B两点坐标满足方程组 2 2
2 21
y x c
x y
a b
化简的 2 2 2 2 2 2 22 0a b x a cx a c b
则 2 2 22
1 2 1 22 2 2 2
2,
a c ba cx x x x
a b a b
因为直线 AB斜率为 1，所以 AB 2
2 1 1 2 1 22 2 4x x x x x x
得2
2 2
4 4,
3
aba
a b
故 2 22a b ，所以 E的离心率
2 2 2
2
c a be
a a
2 2
1 2 2 2 2 2
2 42 2 ( ) ,
c a c abAB a e x x a
a a b a b
过焦点的弦长可用焦半径公式
（文理）（20）设抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点为 F，准线为 l，A C ，
已知以 F为圆心， FA为半径的圆 F交 l于 ,B D两点；
（1）若 090BFD ， ABD 的面积为 24 ；求 p的值及圆 F的方
程；
（2）若 , ,A B F三点在同一直线m上，直线 n与m平行，且 n与C只
有一个公共点，求坐标原点到 ,m n距离的比值。
【解析】（1）由对称性知： BFD 是等腰直角，
斜边 2BD p 点 A到准线 l的距离
2d FA FB p
14 2 4 2 2
2ABDS BD d p
圆 F的方程为 2 2( 1) 8x y
例 4.（2007武汉大学自主招生：）如图，过抛物线 C： xy 82 上一定
点 P 4,2 作倾斜角互补的两条直线分别交
抛物线于 A（ x y1 1, ），B（ x y2 2, ）两点。
（I）求直线 AB的斜率
（I I）如果 A、B两点均在抛物线
C： xy 82 0y 上求 PAB 面积的最大值。
y
P
O x
A
B
10. 数列命题趋势：
等差等比通项求和，裂项法，错位相减法，累加法，
累乘法，递推数列，数学归纳法（理科）以及可以转
化为等差等比的数列，难度有所降低。
（文科）(14) 等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S3+3S2=0，
则公比 q=_______
【解析】选C
S3+3S2=0 21 2 34 4 0 4 4 4 0 2a a a q q q
（理科）（5） 已知 na 为等比数列， 4 7 2a a ， 5 6 8a a ，则 1 10a a
( )A 7 ( )B 5 ( )C ( )D
【解析】选D
4 7 2a a ， 5 6 4 7 4 78 4, 2a a a a a a 或 4 72, 4a a
4 7 1 10 1 104, 2 8, 1 7a a a a a a
4 7 10 1 1 102, 4 8, 1 7a a a a a a
（理科）16（文科）12 数列{ }na 满足 1 ( 1) 2 1nn na a n ，
则{ }na 的前60项和为
2011理科：等比数列 na 的各项均为正数，且 21 2 3 2 62 3 1, 9 .a a a a a
求数列 na 的通项公式.
设 3 1 3 2 3log log ...... log ,n nb a a a 求数列 1
nb
的前项和.
（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由 23 2 69a a a
得 3 23 49a a 所以 2 1
9q 。有条件可知 0na ,故 1
3q 。
由 1 22 3 1a a 得 1 22 3 1a a q ，所以 1
1
3a 。
故数列{an}的通项式为 an=1
3n。
（Ⅱ ） 3 1 3 2 3log log ... logn nb a a a
1 2 1 12( )
( 1) 1nb n n n n
1 2
1 1 1...
1 1 1 1 1 22((1 ) ( ) ... ( ))
2 2 3 1 1
nb b b
n
n n n
所以数列 1{ }
nb的前 n项和为 2
1
n
n
例 2：.已知{ na }是等差数列，其前 n项和为 nS ，{ nb }是等比数列,
且 1a = 1=2b ， 4 4+ =27a b ， 4 4 =10S b .
(Ⅰ )求数列{ na }与{ nb }的通项公式；
Ⅱ（ ）记 1 1 2 2 3 3n n nT a b a b a b a b ，证明 1 18 , , 2n n nT a b n N n
解：设{ na }的公差为 d，{ nb }的公比为 q，又 1a = 1=2b 得：
34 4 42 3 , 2 , 8 6a d b q S d
3
3
2 3 2 27 3
28 6 2 10
d q d
qd q
所以 3 1, 2 ,nn na n b n N
Ⅱ（ ）由(Ⅰ )得:
2 3 12 2 5 2 8 2 3 4 2 3 1 2 (1)n nnT n n
2 3 4 12 2 2 5 2 8 2 3 4 2 3 1 2 (2)n nnT n n
由 1 2 得：
2 3 12 2 3 2 3 2 3 2 3 1 2n nT n
1 16 1 2
3 1 2 2 3 4 2 81 2
n
n nn n
18 3 4 2nnT n
因为： 11 1 3 4 2 , , 2n
n na b n n N n
所以： 1 18 , , 2n n nT a b n N n
解：（I）设 221 ,,, nlll 构成等比数列，其中 ,100,1 21 ntt 则
,2121 nnn ttttT ①， ,1221 ttttT nnn ②
①×②并利用 得),21(1022131 nitttt nin
2 2( 2)1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 10 ,n
n n n n nT t t t t t t t t
lg 2, 1.n na T n n
例：(2011安徽 18）在数 1和 100之间插入 n个实数，使得这 2n 个数
构成递增的等比数列，将这 2n 个数的乘积记作 nT ，再令 ,lgn na T 1n≥ .
Ⅰ（ ）求数列{ }na 的通项公式；
Ⅱ（ ）设 1tan tan ,n n nb a a 求数列{ }nb 的前 n项和 nS .
（II）由题意和（I）中计算结果，知:
.1),3tan()2tan( nnnbn
tan( 1) tantan1 tan(( 1) ) ,
1 tan( 1) tan
k kk k
k k
2
31
tan)1tan(n
k
n
kkn kkbS
2
3
tan( 1) tan tan( 3) tan3( 1)
tan1 tan1
n
k
k k nn
模型 1： 1n na pa q （ P为常数， 0,1 qP ），求通项 na
方法：用待定系数将其转化为等比数列。
1 1 ( )n n n na pa q a x p a x 其中 1
qx
p
例：数列 na 满足 1 13 4, 1n na a a ，求数列的通项公式
解：因为 1 3 4,n na a 所以 1 3( ) 2n na x a x x
所以 2na 是以 3为首项，3为公比的等比数列，
所以 2 3 3 2n nn na a
例 3：已知数列 na 中， 1 1
11, n
n
a a ca .
Ⅰ（ ）设 5 1,
2 2nn
c ba
，求数列 nb 的通项公式；
Ⅱ（ ）求使不等式 1 3n na a 成立的c的取值范围
1 1
2 24 2 4( )
3 3n n n nb b b b
12 4
3 3
n
nb
解 :
1
21
2 2n
n n
a
a a
2 4 4
2n
n
a
a
42
2na
例：（2012 广东 19 题，14 分） 设数列 { }na 的前 n项和为 nS ，满足
112 2 1n
n nS a ，
*n N ，且 1 2 3, 5,a a a 成等差数列．
（1）求 1a的值；
（2）求数列{ }na 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 n，有1 2
1 1 1 3
2na a a ．
解：（1）在 112 2 1n
n nS a 中
令 1n 得： 21 22 2 1S a ，令 2n 得： 3
2 32 2 1S a
解得： 2 12 3a a ， 3 16 13a a
又 2 1 32 5a a a ，解得 1 1a
（2）由 112 2 1n
n nS a 递推得得： 2
1 22 2 1nn nS a
两式相减得：1
1 2 12 2nn n na a a ，整理得：
12 13 2nn na a
又 1 21, 5a a 也满足 12 13 2a a
所以 1 3 2nn na a n N 对 ①
设①可写成 11 2 3( 2 )n n
n na a ，
化简得： 1 3 2nn na a ②
比较①、②得 1 ，
∴ 11+2 3 2n n
n na a
故 2nna 是以 3为首项，3为公比的等比数列
∴ 2 3n nna ，∴ 3 2n n
na
次等比数列
11. 不等式、线性规划
解：由 clnb≥a＋ clnc 得： clnb-clnc ≥a
lna
cb a be
c c c
ac
a b3 + ≥5
c ca b
+ ≤4c cb
≥ec
a b令 :x= ,y=
c c
x
3x+y≥5
x+y≤4
y≥e
x>0,y>0
题目转化为：已知x,y满足 y求 的取值范围
x
原不等式可转化为：
例 1：2012江苏 14．已知正数 a b c，，满足：
4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b ≤ ≤ ≥， ，则 b
a的取值范围是 ．
作出 所在的平面区域（如右图） ,x y
的导数：xy e / xy e
设切点坐标为： 0 0x ,y
0
0
x0
0x 0
00
y =ey =e 1 7
⇒ ;C ,ye = x =1 2 2
x
y所以 的取值范围为 e,7
x
b y
a x
a bx= ,y=
c c
22 2
2 2 2 2 2 42
a ba b a b a b
1 4
2 2 2 2 2 (2 2 ) 2 2 12 2 1 3
a b c a b c a b c ca b
所以 的最大值是 22 log 3
2011 重庆理（7）已知 a＞0，b＞0，a+b=2，则 y=1 4
a b 的最小值是
（A） 7
2 （B）4 (C) 9
2 (D) 5
1 4
a b 1 1 4 1 4 9
1 42 2 2
b aa b
a b a b
2011重庆文(15)若实数 , ,满足 ,
，则 的最大值是 .
/ /( ) 2 4 ( ) 2g x f x x g x f x
所以 g x 是 R上的增函数，又 1 ( 1) 2 4 0g f
所以 0 1 1g x g x g x
辽宁文 11．函数 )(xf 的定义域为R， 2)1( f ，对任意 Rx ，
2)( xf ，则 42)( xxf 的解集为
A．（ 1 ，1） B．（ 1 ，+） C．（ ， 1 ）D．（ ，+）
（理科）(13)（文科）(15) 已知向量 a,b夹角为 45° ，且|a|=1，
|2a－b|= 10，则|b|=
12. 向量
2012 安徽（8）在平面直角坐标系中， (0,0), (6,8)O P ，将向量OP++++++++++++++按逆
时针旋转 3
4
后，得向量OQ++++++++++++++则点Q的坐标是（ ）
( )A ( 7 2, 2) ( )B ( 7 2, 2) ( )C ( 4 6, 2) ( )D ( 4 6,2)
（2012湖南 15.） 如图 4，在平行四边形 ABCD中 ，AP⊥BD，垂
足为 P， 3AP 且 AP AC,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
= .
【解析】设 AC BD O ，
则 2( )AC AB BO ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
， AP AC,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
= 2( )AP AB BO ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
2 2AP AB AP BO,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
2
2 2 ( ) 2AP AB AP AP PB AP ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
18 .
2 2 1 21 ( ) ( ) 2 1 cos 0,
2 3a b a b a b
2011理（10）已知 a与 b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命
题
1
2: 1 0,
3P a b
2
2: 1 ,
3P a b
3 : 1 0,3
P a b 4 : 1 ,
3P a b
其中的真命题是
（A） 1 4,P P （B） 1 3,P P （C） 2 3,P P （D） 2 4,P P
2 22 2 2cos 1
12 2cos 1 cos ,
2 3
a b a a b b
A
由题意可知 A,B,C,D在一条直线上，因为 ,AC AB AD AB ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
若 C是线段 AB的中点，则 1
2 ，与
1 12
矛盾
若 C，D同时在线段 AB上， , 0,1 1 12
若 C，D同时在 AB线段延长线上， , 均大于 1，1 1
2 ，
A
例：（2012高考广东理 8）对任意两个非零的平面向量++++++++++++++和
++++++++++++++，
定义
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++ ．若平面向量 ,a b 满足 0a b
， a
与b
的夹角
)4
,0( ，且 ba
和 ab 都在集合 }|
2{ Znn
中，则 ba
=
A． 1
2 B.1 C. 3
2 D. 5
2
解:因为2
2coscos
||
||
b
a
bb
baba
，
1coscos||
||
a
b
aa
abab
且 ba
和 ab 都在集合 }|2
{ Znn
中，
所以2
1cos
||
||
a
bab
，
cos2
1
||
||
a
b ，
所以 2cos2cos||
|| 2 b
aba
，
因为 )4
,0( ，所以 21 ba ，
故有2
3ba
．
13. 推理与证明
【解析】由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,… ,的一个通项公式为
( 1)
2n
n na
，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,
发现其中能被 5整除的为 10,15,45,55,105,110,
故 1 4 2 5 3 9 4 10 5 14 6 15, , , , ,b a b a b a b a b a b a .
从而由上述规律可猜想： 2 5
5 (5 1)
2k k
k kb a
（ k为正整数），
2 1 5 1
(5 1)(5 1 1) 5 (5 1)
2 2k k
k k k kb a
故 2012 2 1006 5 1006 5030b a a a ,即 2012b 是数列{ }na 中的第 5030项.
解:（1） ( )y f x cos( )x ，当6
，
点 P的坐标为（0， 3 3
2）时, 3 3
cos , 36 2
；
例 5:函数 f（x）=sin ( x )的导函数 ( )y f x 的部分图像如图所示，
其中，P为图像与 y轴的交点，A,C为图像与 x
轴的两个交点，B为图像的最低点.
（1）若6
，点 P的坐标为（0， 3 3
2），
则 ;
（2）若在曲线段 ABC与 x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在
△ ABC内的概率为 .
（2）由图知2
2 2
TAC
，
1
2 2ABCS AC
设 ,A B的横坐标分别为 ,a b .设曲线段 ABC与 x轴
所围成的区域的面积为 S则
2 ( ) 2 ( ) 2 sin( ) sin( ) 2b b
aaS f x dx f x a b
△由几何概型知该点在 ABC内的概率为
22 4
ABCSP
S
.
2012福建 15题 对于实数 ba, “，定义运算 ”：
baabb
baababa
,
,2
2
，
设 )1()12()( xxxf ，且关于 x的方程为 )()( Rmmxf 恰有三个互不
相等的实数根 321 ,, xxx ，则 321 xxx 的取值范围是_______________。
解：由已知得： 2
2
2 , 0
, 0
x x xf x
x x x
如图可知 10
4m
设 (1 1 8 )h m m m
/ 1 8 4(1 1 8 ) 1 1 8 0
2 1 8 1 8
mh m m m m
m m
所以 h m 单调递减
故 1 2 3x x x 的取值范围是 1 3,0
16
于是 1 2 3
(1 1 8 )
4
m mx x x
1 ．为什么高考复习要重点抓好“三基”的落实
2013 年高考数学备考建议
（一）、回归教材，夯实基础，确保高考的基本分数。
例如解析几何的复习如何回归教材？
问题 1 ：推导椭圆双曲线标准方程
1. 为什么用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆？
题目：（2012华约 7）．在底面半径为 6的圆柱内，
有两个半径为 6的球面，两球的球心距为 13。若作一
平面与两球都相切，且与圆柱相交成一椭圆，则椭圆
的长轴长为
A．5 B。12， C。13 D15
, ,EA EG FG FB FH FD
13EF EG GF EA FB FD FB BD
解：因为
例：(2008湖北卷 10，5分) “ ”如图所示， 嫦娥一号 探月卫星沿地月转移轨道飞
向月球，在月球附近一点 P轨进入以月球球心 F 为一个焦
Ⅰ点的椭圆轨道 绕月飞行，之后卫星在 P点第二次变轨进
入仍以 F Ⅱ为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行，最终卫星在
P点第三次变轨进入以 F Ⅲ为圆心的圆形轨道 绕月飞行，
若用 12c 和 22c Ⅰ Ⅱ分别表示椭轨道 和 的焦距，用 12a 和 22a
Ⅰ Ⅱ分别表示椭圆轨道 和 的长轴的长，给出下列式子：
① 1 1 2 2a c a c ; ② 1 1 2 2a c a c ; ③ 1 2 1 2c a a c ; ④ 1
1
c
a＜ 2
2
c
a.
其中正确式子的序号是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
解：因为 P、F不变，所以 1 1 2 2a c a c ；
又因为离心率2 2
21 ( )c a b b
ea a a
所以，离心率越大，椭圆越扁，由图像可知， 1 2
2 1
c c
a a 。故选 B
抓住椭圆的一个焦点 F Ⅰ Ⅱ和一个顶点不变，以及由 到 椭圆由扁变圆，
即离心率由大变小是解决问题关键。
椭圆的离心率可以形象的理解为 , 在椭圆长轴不变的前提下，两焦点离开中心的程度
题目:（P47面）已知椭圆2 2
125 9
x y ，直线 : 4 5 40 0l x y 。
椭圆上是存在否一点，它到直线的距离最小？最小值是多少？
解： 2 2
2 2125 8 225 025 9
4 5 0
x yx kx k
x y k
0 25k
min
1541
41d
5
3sin
x cos
y
2 2
4 5cos 5 3sin 40
4 5d
min2 2
5 5sin( ) 4 1541
414 5d d
另解：设椭圆方程
椭圆上的点到直线距离：
例：（2012北约 5）．已知 2,0 , 0,2A B ，若点 C是圆
2 22 0x x y 上的动点，求三角形 ABC面积的最小值。
解：圆心到直线 AB的距离为 3 2
2，
三角形 AB边上的高为 3 21
2 ，
2 2 3 2ABCAB S
解:(Ⅰ )设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c， ，由已知得
1, 4, 3
7
a ca c
a c
解得 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以椭圆C的标准方程为2 2
116 7
x y
Ⅱ（ ）设 ( , )M x y ，则 27( , 16 )
16P x x
其中 4,4x 。由已知2
22
OP
OM
及点P在椭圆C上可得2
22 2
9 112
16( )
x
x y
。
整理得 2 2 2 2(16 9) 16 112x y ，其中 4,4x 。
（i） 3
4 时。化简得 29 112y 所以点M的轨迹方程为
4 7( 4 4)
3y x ，轨迹是两条平行于 x轴的线段。
当 30
4 时，点M的轨迹为中心在原点、
实轴在 y轴上的双曲线满足 4 4x 的部分。
当 31
4 时，点M的轨迹为中心在原点、长
轴在 x轴上的椭圆满足 4 4x 的部分；
当 1 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在 x轴上的椭圆；
（i i） 3
4 时，方程变形为
2 2
2 2
1112 112
16 9 16
x y
，其中 4,4x
习题：（P50面 B组 4题）如图，矩形 ABCD中， 2 , 2 . , , ,AB a BC b E F G H 分
别是矩形四条边的中点， , ,R S T是OF的四等分点， / / /, ,R S T 是 CF的四等分
点，证明直线 / / /. , . , .ERGR ES GS ET GT 的交点 L、M、N在同一椭圆上。
证明：由已知得：
/ / /3 3,0 , ,0 , ,0 , , , , , 0, ,
4 2 4 4 2 4
a a a b b bR S T F a S a T
4: ;ER
bl y x b
a / : ;
4GR
bl y x b
a
8 15,
17 17x a y b
8 15( , )17 17
L a b4 3
( , )5 5
M a b24 7
( , )25 25
N a b
联立这两个方程，得：
设椭圆的方程2 2
2 21( 0, 0)
x ym n
m n ①
把点 ,L M ①的坐标代人方程 ，解得：2 2
1 1
m a ，
2 2
1 1
n b
所以经过 ,L M 的椭圆方程为2 2
2 21
x y
a b
把点 N的坐标代人2 2
2 21
x y
a b ，得 2 2
2 2
1 24 1 7( ) ( ) 1
25 25
a b
a b
所以点N在椭圆2 2
2 21
x y
a b 上。所以点 , ,L M N在同一椭圆上
题目：（2003全国卷 21题）已知常数 0a ，在矩形 ABCD中， 4AB ， aBC 4 ，
O为 AB的中点，点 E、F、G分别在 BC、CD、DA
上移动，且 BE CF DG
BC CD DA ，P为 GE与OF的交点（如
图），问是否存在两个定点，使 P到这两点的距离
的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定
值；若不存在，请说明理由。
解：根据题设条件，首先求出点 P坐标满足的方程，据此再判断
是否存在的两定点，使得点 P到两点距离的和为定值.
按题意有 A（－2，0），B（2，0），C（2， 4a），D（－2， 4a）
设 (0 1)BE CF DG
kBC CD DA
由此有 E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）
直线OF的方程为： 0)12(2 ykax ①
直线GE的方程为： 02)12( ayxka ②
① ②从 ， 消去参数 k，得点 P（x,y）坐标满足方程
022 222 ayyxa
整理得 :1
)(
2
1 2
22
a
ayx
当2
12 a 时，点 P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当2
12 a 时，点 P轨迹为椭圆的一部分，
点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。
当2
12 a 时，点 P到椭圆两个焦点
（ ),2
1(),,
2
1 22 aaaa 的距离之和为定值 2。
当2
12 a 时，点 P 到椭圆两个焦点
2 21 1(0, ), (0, )
2 2a a a a 的距离之和为定值 2a .
问题 2：为什么 by x
a 是双曲线
2 2
2 21
x y
a b 的渐近线
问题 3：过抛物线 2 2y px 焦点 ,02
pF
的直线交抛物线
1 1,A x y 、 2 2,B x y 两点，证明:
①2
21 2 1 2,
4
py y p x x ②， 1 2AB x x p ③， 1 1 2
AF BF p
例题：（P70面例 5）过抛物线焦点F的直线交抛物线 A、B两点，
通过点 A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于D，
求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
已知抛物线方程 2 2 ( 0)y px p 过焦点的直线交抛物线与 A、 B 两点
过 B 点作 X 轴的直线 BC 交抛物线的准线于 C ，
求证： A、 O、 C 三点共线
21 2y y p
1
1OA
yk
x 2
2
OC
yk
p
OA OCk k
1
1
y
x 1 2
21
22
y ypy
p
2
2
yp
21 2y y p
1 1 2 2 2, , , , ,2
pA x y B x y C y
连结AC与KF交于点N，
由抛物线定义可知 ,AF AD BF BC
所以 AD BF AF BCKN NF
AB AB
则 ,KN CN BF NF AF
AD CA AB BC AB
Ⅰ（ ）证明：设： : 1 0l x my m 代入 2: 4C y x 得： 2 4 4 0y my
1 2 1 24 , 4y y m y y
1 22 2
2 1
:BD
y yl y y x x
x x
令 0 1y x
所以点 F在直线 BD上
要证 , ,B F D三点共线，
需证 2 1 2
2 1 2
0
1
y y y
x x x
需证 2 1 22 2 2
2 1 2
4( ) 4
4
y y y
y y y
需证 2 222 2 1 22
2 1 2
14
4
yy y y y
y y y
1 2 4y y ，所以上式显然成立
设圆心坐标 ,0 1 1t t ，则：
3 1 3 1 1 2,
5 4 9 3
t tt r
2
21 4
9 9x y
: 3 7 3 0BDl x y
: 3 4 3 0l x y
: 3 4 3 0KDl x y
21 2 1 24 2, 1x x m x x （Ⅱ）
练习：已知椭圆2 2
: 14 3
x yC 的焦点为 F，过点 4,0 的直线 l与C相
交于 A、B两点，点 A关于 x轴的对称点为 D .证明：点 F在直线
BD上
习题（P73第 6题）如图，直线与抛物线 2 2 0y px p 相交于 A、B两点，
且OA OB ，OD AB 交 AB于点D，点D的坐标为 2,1 ,求 p的值
解： 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，
因为OA OB ，
所以 21 21 2
1 2
1 4y y
y y px x
由题意可得 1: , : 2 5
2OD ABl y x l y x
2
2
2 54 2 10 25 0
2
y xx p x
y px
所以 1 2 1 2
10 25,
2 4
px x x x
1 2 1 2 1 2 1 22 5 2 5 4 10( ) 25y y x x x x x x
所以 21 2
55 4
4y y p p p
2 、 怎样抓“三基”的落实
“ ”第一，要充分挖掘综合题中所蕴涵的 三基 内容，提高对落实
“ ”三基 重要性的认识。
分析：由 xf 是定义在R上的偶函数
轴对称图象关于yxfxf
由图象关于直线 1x 对称
xfxf
xfxf
2
11 ；
要证明 xf 周期函数，只需证明 ： xfTxf
1 1
2
f x f x
f x f x
f x f x
xfxfxf 2
所以 T=2
nf
nnfT
2
1
2
122
nnfan 2
12
1 1 1 1 1 11 ( ) ( )
2 2 2 2 2 2f f
n n n n n n
2 1
21 1 1 1
2 2 2 2
n n n
nf f f a f an n n n
nnfan 2
12
1. 剖析概念内涵，增强思维的深刻性 .
例 1：（2009上海 14）.将函数 264 2 xxy )60( ，x 的图像绕坐标原点
逆时针方向旋转角 )0( ，得到曲线C .若对于每一个旋转角，曲线C都
是一个函数的图像，则的最大值为__________
1323264 222 yxxxy
则的最大值为 2arctan
3
分析
例 2：（2009年湖北 9）设球的半径为时间 t的函数 R t 。若球的体积以均匀速
度 c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A. 成正比，比例系数为 C B. 成正比，比例系数为 2C
C. 成反比，比例系数为 C D. 成反比，比例系数为 2C
由题意可知球的体积为 34( ) ( )
3V t R t ，
则 ' 2 '( ) 4 ( ) ( )c V t R t R t ，由此可得'
4 ( )( ) ( )
cR t
R t R t ，
2( ) 4 ( )S t R t ' 2 / /( ) (4 ( )) 8 ( ) ( )S t R t R t R t / ' ' '
'
2 28 ( ) ( ) 2 4 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
c cS R t R t R t R t R t
R t R t R t
,( )
V
R t
/
( ) 0lim
( )R t
VV c
R t
(1). 分析命题意图，优选解题方案
3.深入研究考题，积累解题经验
解题思路：求 的值，实际上就是求向量OA++++++++++++++在向量 / /
++++++++++++++O A 上的
投影的。按照向量数量积的定义 cosa b a b
，
则有向量 a在向量 b
的投影为： cos
a ba
b
0 0 1 0 0
2 20 1
, ,P P P P x x y y A Bd
P P A B
++++++++++++++ ,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,
0 0 0 0
2 2 2 2
Ax By Ax By Ax By C
A B A B
已知点 0 0 0( , )P x y ，直线 : 0l Ax By C 。求 0P点到直线 l的距离
l的方向向量 ,B A ，
m的方向向量 ,A B
例 2、如图，在三棱锥 A－BCD中，侧面 ABD、ACD是全等的直角三角形，
AD是公共的斜边，且 AD＝ 3，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
（1） 求证：ADBC
（2） 求二面角 B－AC－D的大小
（3） 在直线 AC上是否存在一点 E，使 ED与面 BCD成 30角？若存在确
定 E的位置；若不存在，说明理由。
(2).追溯试题来源，打开思维通道
（1） 设 E是所求的点，作 EFCH于 F，连 FD。则 EFAH，
EF面 BCD，EDF就是 ED与面 BCD所成的角，
则EDF＝30。设 EF＝x，易得 AH＝HC＝1，
则 CF＝x，FD＝ 21 x＋ ，
tanEDF＝EF
FD＝
2
x
1 x＋＝
3
3
解得 x＝2
2，则 CE＝ 2 x＝1
故线段 AC上存在 E点，且 CE＝1时，
ED与面 BCD成 30角。
(3). 分析错误原因，修补知识网络。
未注意到由关系式形成的隐蔽条件 .
x
y=logax(x>1)
Y=(3a-1)x+4a(x<1)
X=1
ox1 x2
y1
y2
y
m1
m2
m3
0a1
3a－10 （ 3a－ 1 ） × 1 ＋ 4a
0
解得
( , ) a
例 2：（ 2006北京卷）已知函数
上的减函数，那么 的取值范围是（ ）在 ( , ) 在
y1m1
对于任意的 X1
＜X2 ，都有 y1﹥y2
m1 所处位置不符合单调递减函数的定义
1 1
7 3x
例．设定义域为 R的函数 lg 1 ,( )
0,
xf x
1
1
x
x
，
则关于 x的方程 2 ( ) ( ) 0f x bf x c 有 7个不同
实数解的充要条件是 ( )
A． 0b 且 0c B． 0b 且 0c
C． 0b 且 0c D． 0b 且 0c
(1)、作图功能
4. 练好基本功能，提高解题能力
由图形可知：
当 f x 的值为正数时，关于 f x 的一元二次方程
2 ( ) ( ) 0f x bf x c
有四个不同的实数根 1 2 3 4x x x x、 、 、
当 f x 的值为零时，关于 f x 的一元二次方程
2 ( ) ( ) 0f x bf x c 有三个不同的实数根 5 6 7x x x、 、
2009重庆 10．已知以 4T 为周期的函数21 , ( 1,1]
( )1 2 , (1,3]
m x xf x
x x
，
其中 0m 。若方程3 ( )f x x 恰有 5个实数解，则m的取值范围为（ ）
A． 15 8( , )
3 3 B． 15
( , 7)3
C． 4 8( , )3 3
D． 4( , 7)3
13 ( ) ( )
3f x x f x x . 3 ( )f x x 恰有 5个实数解等价于
2 11 4
3m x x 有两个实数根且 2 1
1 83
m x x 没有实数根。
由判别式可知： 73
15 m
(2). 计算能力
突出多想，少算、心算、巧算、不算
多想少算 :
例：2002年（文）（21）题，已知点 P到两个定点M ,0,1 N 0,1
的距离的比为 2，点N到直线 PM的距离为 1。求直线 PN的
方程。
在直角三角形 AMN中，AM=1，MN=2，
030AMN 由正弦定理：
2sin
sin
PMN
PNM
PN
PM ， 0135PNM
所以过直线 PN的倾斜角为4
或 4
3。
例：2011山东理科 22．
已知动直线 l与椭圆 C: 2 2
13 2
x y 交于 P 1 1,x y 、Q 2 2,x y 两不
△同点，且 OPQ的面积 OPQS = 6
2,其中 O为坐标原点.
（Ⅰ）证明 2 21 2x x 和 2 2
1 2y y 均为定值;
（Ⅱ）设线段 PQ的中点为 M，求 | | | |OM PQ 的最大值；
（Ⅲ）椭圆 C上是否存在点 D,E,G，使得 6
2ODE ODG OEGS S S ?
△若存在，判断 DEG的形状；若不存在，请说明理由.
多想巧算：
（I）解：（1）当直线 l的斜率不存在时，P，Q两点关于 x轴对称，
所以 2 1 2 1, .x x y y 因为 1 1( , )P x y 在椭圆上，
因此2 21 1 13 2
x y ① 又因为 6
,2OPQS
所以 1 1
6| | | | .
2x y ②
由①、②得 1 1
6| | ,| | 1.
2x y
此时 2 2 2 21 2 1 23, 2,x x y y
（2）当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 ,y kx m
由题意知 m 0 ，将其代入2 2
13 2
x y ，得
2 2 2(2 3 ) 6 3( 2) 0k x kmx m ，
其中 2 2 2 236 12(2 3 )( 2) 0,k m k m
即 2 23 2k m … … … … （*）
又2
1 2 1 22 2
6 3( 2), ,
2 3 2 3
km mx x x x
k k
所以2 2
2 2 21 2 1 2 2
2 6 3 2| | 1 ( ) 4 1 ,
2 3
k mPQ k x x x x k
k
因为点 O到直线 l的距离为2
| |
1 ,
md
k
所以 1| |
2OPQS PQ d 2 2
22 2
1 2 6 3 2 | |1
2 2 3 1
k m mk
k k
2 2
2
6 | | 3 2
2 3
m k m
k
又 6
,2OPQS
整理得 2 23 2 2 ,k m 且符合（*）式，
此时2
2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 2
6 3( 2)( ) 2 ( ) 2 3,
2 3 2 3
km mx x x x x x
k k
2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2
2 2 2(3 ) (3 ) 4 ( ) 2.
3 3 3y y x x x x
综上所述， 2 2 2 21 2 1 23; 2,x x y y 结论成立。
1 1 2 2, 3 cos , 2 sin , , 3 cos , 2 sinP x y P x y
1 2 2 1
1 13 cos 2 sin 3 cos 2 sin
2 2
6 6sin
2 2
OPQS x y x y
sin 12
k
所以 2 2 2 21 2 1 23, 2,x x y y
公式 1 2 2 1
1
2OPQS x y x y 的推导 2
2 22
: 0OQ
yl y x y x x y
x
点 1 1,P x y 到直线OQ的距离 2 1 2 1
2 22 2
y x x yd
y x
，
2 22 2OQ x y 1 2 2 1
1 1
2 2OPQS OQ d x y x y
（2）当直线 l的斜率存在时，由（I）知 1 2 3,
2 2
x x k
m
2 2 21 2 1 2
2 22 2 21 2 1 2
2 2 2 2
2 2 22 2
2 2 2 2
3 3 2( ) ,
2 2 2 2
9 1 6 2 1 1| | ( ) ( ) (3 ),
2 2 4 4 2
24(3 2 ) 2(2 1) 1| | (1 ) 2(2 ),
(2 3 )
y y x x k k mk m m
m m m
x x y y k mOM
m m m m
k m mPQ k
k m m
所以 2 22 2
1 1 1| | | | (3 ) 2 (2 )
2OM PQ
m m
2 2
22 2
1 13 21 1 25
(3 )(2 ) ( ) .2 4
m mm m
所以 5| | | |
2OM PQ ，当且仅当
2 2
1 13 2 , 2m
m m 即 时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|· |PQ|的最大值为 5.
2
（III）椭圆 C上不存在三点 D，E，G，使得 6.
2ODE ODG OEGS S S
证明：假设存在 1 1 2 2
6( , ), ( , ), ( , )
2ODE ODG OEGD u v E x y G x y S S S 满足
由（I）得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2
3, 3, 3; 2, 2, 2,
3; 1.
2
5, , , , , 1 ,
2
u x u x x x v y v y y y
u x x v y y
u x x v y y
解得
因此 只能从 中选取 只能从 中选取
因此 D，E，G只能在 6( , 1)
2 这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与 6
2ODE ODG OEGS S S 矛盾，
所以椭圆 C上不存在满足条件的三点 D，E，G.
2010全国大纲卷（12）已知在半径为 2的球面上有 A、B、C、D四
点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD的体积的最大值为
(A) 2 3
3 (B) 4 3
3 (C) 2 3 (D) 8 3
3
多想心算：
多想不算：
2002年（北京卷）（2）题：在平面直角坐标系中，
已知两点 0000 20sin,20cos,80sin,80cos BA
求 AB的距离
AOB 构成边长为 1的等边三角形
例:已知 P为双曲线 2 2
2 21 0, 0
x ya b
a b 上的一动点， 1 2,F F 分
别为左右焦点，过 1F作 1 2FPF 的平分线 PM的垂线 1FM，交 PM
于M，求M点的轨迹方程。
“ ”解析：受数学的 对称美 的启发，
延长 2PF到 A，使得 1PA PF ，
1 2 22PF PF a F A ，
又因为 1 2PF F 的平分线 PM 1FM，
如右图，所以OM为三角形 1 2F F A的
中位线，所以 2
1
2OM AF a ，
所以, M点的轨迹方程为： 2 2 2x y a （ 0y ）
例 2：2002年全国题（22题）
Ⅰ（ ）给出两块相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥
模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面
积相等。设计一种剪拼方法。
Ⅱ（ ）比较所剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。
Ⅲ（ ）（附加题）如果给出的一块任意三角形的纸片，要求剪拼成一个直三棱
柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法。
“ ”高一数学上册（人教版实验修订本） 函数的应用举例 第 92面练习第 2题
（有一块边长为a的正方形铁皮，将四个角截去一个边长为 x的小正方形，然
后折成一个无盖盒子，写出体积V以 x为自变量的函数式，并讨论这个函数的
定义域。）
Ⅱ数学第三册（选修 ）第 132面（人教版实验修订本）函数的最大与最小值
思考题：将任意三角形剪拼为一正三棱柱。
