1

20. Integrálszámítás

I. Elméleti összefoglaló Az előző fejezetben sokszögek és a kör részeinek területével foglalkoztunk. Ebben a fejezetben olyan korlátos síkidomok területét is meghatározzuk, amelyeket egyenes szakaszok és függvénygörbék zárnak közre. Az alkalmazott módszerek alkalmazási területe ennél lényegesen szélesebb. Erre is látunk példát: kiszámoljuk forgástestek térfogatát, valamint fizikai problémákat oldunk meg.

Legyen 푓: [푎; 푏] ⟶ ℝ függvény folytonos és minden 푥 ∈ [푎; 푏] esetén legyen 0)( xf . Keressük az )(xfy görbe, az 푥 tengely, az 푥 = 푎 és az 푥 = 푏 egyenesek által bezárt (korlátos) síkidom területét. Osszuk fel az [푎; 푏] intervallumot n részre; az osztópontok: 푎 = 푥 < 푥 < 푥 < ⋯ < 푥 < 푥 =푏. Mivel f zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, ezért (Weierstass tétele szerint) minden [푥 ; 푥 ] intervallumban van a függvénynek maximuma (푀 ), illetve minimuma (푚 ). Képezzük a beírt téglalapok területösszegét, az úgy nevezett alsó közelítő összeget:

n

iiiinnnn xxmxxmxxmxxms

111122011 ... ,

és a körülírt téglalapok területösszegét, a felső közelítő összeget:

n

iiiinnnn xxMxxMxxMxxMS

111122011 ... .

Mivel ii Mm minden i-re, ezért nn Ss . (Az alábbi ábrákon az 푓:ℝ ⟶ ℝ; 푓(푥) = 푥 , 푎 = 2, 푏 = 5. Az [푎; 푏] intervallumot 푛 = 10, illetve 푛 = 40 egyenlő részre osztottuk.)

A síkidomba beírt és körülírt sokszögek területével közelítettük meg a síkidom területét. Ha csak egy olyan szám van, amely az összes beírt téglalap területösszegénél nagyobb vagy egyenlő és az összes

2

körülírt téglalap területösszegénél kisebb vagy egyenlő, akkor ezt a számot tekintjük a síkidom területének.

A határozott integrál

A 퐻 ⊆ ℝ felülről korlátos (nem üres) számhalmaz legkisebb felső korlátját, a számhalmaz felső határának, vagy szuprémumának nevezzük. Bizonyítható, hogy ez létezik. A 퐻 ⊆ ℝ alulról korlátos (nem üres) számhalmaz legnagyobb alsó korlátját, a számhalmaz alsó határának, vagy infimumának nevezzük. Bizonyítható, hogy ez létezik. (Korlátos függvény felső, illetve alsó határa, értékkészletének felső, illetve alsó határa.) Legyen f az [푎; 푏] intervallumon értelmezett korlátos függvény. Osszuk fel az [푎; 푏] intervallumot n (nem feltétlenül egyenlő) részre az 푥 , 푥 , 푥 , … , 푥 , 푥 pontokkal, ahol 푎 = 푥 < 푥 < 푥 < ⋯ <푥 < 푥 = 푏. Ehhez a felosztáshoz tartozó alsó közelítő összegnek nevezzük az

n

iiiinnnn xxmxxmxxmxxms

111122011 ... összeget, felső közelítő

összegnek pedig az

n

iiiinnnn xxMxxMxxMxxMS

111122011 ...

összeget, ahol im , illetve iM az f függvény alsó, illetve felső határa az [푥 ; 푥 ] intervallumon. Nyilván adott felosztáshoz tartozó alsó közelítő összeg nem nagyobb a felső közelítő összegnél: 푠 ≤ 푆 .

Tétel: Minden korlátos 푓: [푎; 푏] ⟶ ℝ függvény esetén bármely alsó közelítő összeg legfeljebb akkora, mint bármely felső közelítő összeg.

Az [풂; 풃] intervallumon értelmezett korlátos 풇 függvényt integrálhatónak nevezzük, ha egyetlen olyan szám van, amely az 푓 függvény egyetlen alsó közelítő összegénél sem kisebb és egyetlen felső közelítő összegénél sem nagyobb. Ezt a számot az f függvény [풂; 풃] intervallumon vett (Riemann-féle) határozott integráljának nevezzük.

Jelölése: b

a

b

afdxxf illetve,)( . Kiolvasása: integrál a-tól b-ig f(x) dx, illetve integrál a-tól b-ig f.

Elnevezések: a és b az integrál alsó és felső határa.

Tétel: Az [푎; 푏] intervallumon értelmezett korlátos függvény akkor és csak akkor integrálható, ha tetszőleges 휀 pozitív számhoz van az [푎; 푏] intervallumnak olyan felosztása, amelyre 푆 − 푠 < 휀.

Tétel: Ha az f függvény az [푎; 푏] intervallumon folytonos, akkor ezen az intervallumon integrálható.

Tétel: Ha az f függvény az [푎; 푏] intervallumon monoton, akkor ezen az intervallumon integrálható.

3

Megjegyzés:

Ha az [푎; 푏] intervallumon értelmezett 푓 függvény folytonos és 푓(푥) ≥ 0, akkor b

adxxf )( az 푥

tengely [푎; 푏] intervalluma, az 푥 = 푎, az 푥 = 푏 egyenesek és az푓 grafikonja által közrezárt korlátos síkidom területét adja meg.

Ha az [푎; 푏] intervallumon értelmezett 푓 függvény folytonos és 푓(푥) ≤ 0, akkor az 푥 tengely [푎; 푏] intervalluma, az 푥 = 푎, az 푥 = 푏 egyenesek és az푓 grafikonja által közrezárt korlátos síkidom

területe: b

adxxf )( .

A határozott integrál tulajdonságai: Ha az f függvény az [푎; 푏] intervallumon integrálható és 푎 < 푐 < 푏, akkor

푓(푥)푑푥 = 푓(푥)푑푥 + 푓(푥)푑푥.

Ha az f függvény az [푎; 푏] intervallumon integrálható és c tetszőleges valós szám, akkor cf függvény is integrálható és

푐푓(푥)푑푥 = 푐 푓(푥)푑푥.

Ha az f és a g függvény az [푎; 푏] intervallumon integrálható, akkor 푓 + 푔 és 푓 − 푔 függvények is integrálhatók és

(푓 + 푔)(푥)푑푥 = 푓(푥)푑푥 + 푔(푥)푑푥 és (푓 − 푔)(푥)푑푥 = 푓(푥)푑푥 − 푔(푥)푑푥.

Ha az f és a g függvény [푎; 푏] intervallumon integrálható és 푓(푥) ≥ 푔(푥) az [푎; 푏] intervallum minden x elemére, akkor

푓(푥)푑푥 ≥ 푔(푥)푑푥.

Ha az f függvény az [푎; 푏] intervallumon integrálható és az [푎; 푏] intervallum minden x elemére 푘 ≤ 푓(푥) ≤ 퐾, akkor van olyan m szám, amelyre

푘 ≤ 푚 ≤ 퐾és 푓(푥)푑푥 = 푚(푏 − 푎).

Megállapodunk abban, hogy 0)( a

adxxf , és

a

b

b

adxxfdxxf )()( .

Tudjuk, hogy az [푎; 푏]intervallumon értelmezett f folytonos függvény integrálható. Értelmezhető a

következő függvény: 퐹: [푎; 푏] ⟶ ℝ; 퐹(푥) = x

adxxf )( . Az F függvényt az f függvény (푎 ponthoz

tartozó) integrálfüggvényének nevezzük.

4

A differenciálszámítás és az integrálás közötti kapcsolatra világít rá a következő tétel.

Tétel:

Ha f az [푎; 푏]-n értelmezett folytonos függvény, akkor az 퐹: [푎; 푏] ⟶ ℝ; 퐹(푥) = x

adxxf )(

integrálfüggvény is folytonos az [푎; 푏]- n, differenciálható ]푎; 푏[- n és deriváltja 퐹 (푥) = 푓(푥).

A határozatlan integrál

Legyen az f függvény az [푎; 푏]intervallumon értelmezve. Ha létezik olyan F függvény, amely az ]푎; 푏[ intervallumon differenciálható és ]푎; 푏[ minden x elemére 퐹 (푥) = 푓(푥), akkor az F függvényt az f függvény [푎; 푏]intervallumhoz tartozó primitív függvényének nevezzük.

Tétel: Ha az 푓 függvény az [푎; 푏]intervallumon folytonos, akkor ezen az intervallumon van primitív függvénye.

Tétel: Ha az 퐹 függvény az 푓 függvény [푎; 푏]intervallumhoz tartozó primitív függvénye, akkor az 푓függvény összes primitív függvénye 퐹(푥) + 퐶 alakú, ahol 퐶 tetszőleges valós szám.

Az 푓 függvény primitív függvényeinek halmazát 풇 határozatlan integráljának nevezzük és így jelöljük: ∫ 푓(푥)푑푥 vagy ∫푓. Tehát ha 퐹 (푥) = 푓(푥), akkor ∫푓(푥)푑푥 = 퐹(푥) + 퐶.

Tétel (Newton–Leibniz-formula): Ha az 푓 függvény folytonos az [푎; 푏] intervallumon, és az 퐹 függvény az 푓 függvény egyik primitív függvénye [푎; 푏]-n, akkor

푓(푥)푑푥 = 퐹(푏) − 퐹(푎).

Néhány tanult függvény határozatlan integrálja:

∫ 푘푑푥 = 푘푥 + 퐶

∫ 푥 푑푥 = + 퐶(푛 ∈ ℤ\{−1})

∫ 푥 푑푥 = + 퐶(훼 ∈ ℝ\{−1}, 푥 ∈ ℝ )

∫ 푑푥 = 푙푛|푥| + 퐶(푥 ∈ ℝ\{0})

∫ sin푥 푑푥 = −cos 푥 + 퐶

∫ cos 푥 푑푥 = sin 푥 + 퐶

∫ 푑푥 = −ctg푥 + 퐶(푥 ∈ ]푘휋; (푘 + 1)휋[; 푘 ∈ ℤ)

5

∫ 푑푥 = tg푥 + 퐶 푥 ∈ ( ) ; ( ) ; 푘 ∈ ℤ

∫ 푒 푑 푥 = 푒 + 퐶

∫푎 푑 푥 = + 퐶(푎 > 0, 푎 ≠ 1)

A határozatlan integrál tulajdonságai:

Ha az 푓 függvénynek van határozatlan integrálja valamely I intervallumon, akkor 푘푓 függvénynek is van határozatlan integrálja I-n (ahol k tetszőleges valós szám), és ∫ 푘푓(푥)푑푥 = 푘 ∫ 푓 (푥)푑푥.

Ha 푓és 푔 függvénynek van határozatlan integrálja valamely I intervallumon, akkor 푓 + 푔 függvénynek is van határozatlan integrálja I-n, és ∫(푓 + 푔)푑푥 =∫ 푓(푥)푑푥 + ∫푔(푥)푑푥.

Az összetett függvények deriválási szabálya („láncszabály”) alapján: Ha az [푎; 푏] intervallumon értelmezett 푓 ∘ 푔 függvény folytonos, valamint 푔 függvény az ]푎; 푏[ intervallumon deriválható és az 푓függvény egyik primitív függvénye az 퐹 függvény, azaz 퐹 (푥) = 푓(푥), akkor

푓 푔(푥) ∙ 푔 (푥)푑푥 = 퐹 푔(푥) + 퐶.

o speciálisan, ha 푔(푥) = 푎푥 + 푏: ∫푓(푎푥 + 푏)푑푥 = ( )+ 퐶(ha푎 ≠ 0)

o speciálisan, ha 푓(푥) = 푥 : ∫푔 (푥) ∙ 푔 (푥)푑푥 = ( ) + 퐶(ha푛 ≠ −1)

o speciálisan, ha 푓(푥) = 푥 : ∫푔(푥) ∙ 푔 (푥)푑푥 = ( )+ 퐶

o speciálisan, ha 푓(푥) = : ∫( )( ) 푑푥 = 푙푛|푔(푥)| + 퐶

Alkalmazások:

Folytonos függvénygörbe alatti terület:

Az [푎; 푏] intervallumon folytonos f függvény grafikonja, az 푥 tengely, az 푥 = 푎 és az 푥 = 푏 egyenesesek által közrezárt (korlátos) síkidom területét úgy határozzuk meg, hogy

o 푓 zérushelyei segítségével az [푎; 푏] intervallumot részekre bontjuk, o meghatározzuk az egyes részintervallumokon a függvény határozott integrálját, o majd a kapott integrálok abszolút értékét összeadjuk.

Forgástestek térfogata:

Legyen 푓 az [푎; 푏]intervallumon értelmezett folytonos függvény. Az 푓 függvény grafikonjának az x tengely körüli megforgatásával kapott test térfogata:

푉 = 휋 푓 (푥)푑푥.

6

Munka

Ha egy pontszerű test, állandó 푭 erő hatására elmozdul 퐴 pontból 퐵 pontba, és az elmozdulás vektora 풔 = 퐴퐵⃗, akkor az 푭 erő 푊 = 푭 ∙ 풔 = |푭| ∙ |풔| ∙ cos 휑 munkát végez, ahol az erő és az elmozdulás vektorának szöge 휑. Ha 휑 = 0°, azaz az erő és az elmozdulás iránya megegyezik, akkor a munka 푊 = 퐹 ∙ 푠, ahol 퐹 = |푭| és a test által megtett út 푠.

A továbbiakban azzal az esettel foglalkozunk, amikor a test egyenes vonalú mozgást végez a ráható erő irányában. A pálya egyenesét feleltessük meg az 푥 tengelynek. Legyen a testre ható erő a pálya tetszőleges 푥 pontjában az 퐹(푥) folytonos függvény. Ekkor az 퐹 erő által végzett munka, míg a test az 푥 = 푎 pontból az 푥 = 푏 pontba jut:

푊 = 퐹(푥)푑푥.

Mozgó tömegpont elmozdulás—idő függvényének meghatározása:

Egyenes vonalú pályán mozgó pont elmozdulás—idő függvényét 푠(푡), sebesség—idő függvényét 푣(푡), gyorsulás—idő függvényét 푎(푡)-vel jelöljük. Tudjuk, hogy a mozgásokat leíró függvények folytonosak és deriválhatók (értelmezési tartományukban): 푠 (푡) = 푣(푡), valamint 푣 (푡) = 푎(푡). Ez alapján a 푣(푡) függvény egyik primitív függvénye az 푠(푡) függvény. A konkrét függvény meghatározásához a sebesség—idő függvényen kívül ismerni kell, hogy egy adott időpontban hol van a tömegpont, például adott 푠(0) értéke. (Hasonlóan kapható meg a sebesség—idő függvény, a gyorsulás—idő függvény és a sebesség egy adott pillanatbeli értékének ismeretében.) Másként: Ha a 푣(푡) sebesség—idő függvény folytonos, akkor a [푡 ; 푡 ] időintervallumban a test elmozdulása:

푠(푡 ) − 푠(푡 ) = 푣(푡).

(A fentiek általánosíthatók nem egyenes vonalú mozgásokra.)

II. Kidolgozott feladatok

1. Számítsuk ki az 푓: [0; 푎] ⟶ ℝ; 푓(푥) = 푥 függvénynek a) a [0; 푎] intervallum 4 egyenlő részre osztásával kapott alsó és felső közelítő összegét;

b) a [0; 푎] intervallum 푛 egyenlő részre osztásával kapott alsó és felső közelítő összegét;

c) A b) feladat megoldását felhasználva adjuk meg a függvénygörbe alatti területet!

7

Megoldás:

a)

A beírt téglalapok x tengellyel párhuzamos oldala , y tengellyel párhuzamos oldalai , ,

egység hosszúak. Az alsó közelítő összeg, a beírt téglalapok területének összege:

푠 =푎4∙

푎4

+2푎4

+3푎4

=푎4

∙ (1 + 2 + 3 ) =1464

∙ 푎 .

A körülírt téglalapok x tengellyel párhuzamos oldala , y tengellyel párhuzamos oldalai ,

, és 푎 egység hosszúak. A felső közelítő összeg, a körülírt téglalapok területének

összege: 푆 = ∙ + + + = ∙ (1 + 2 + 3 + 4 ) = ∙ 푎 .

b)

8

Az alsó közelítő összeg:

푠 =푎푛∙

푎푛

+2푎푛

+⋯+(푛 − 1)푎

푛 =

푎푛

∙ (1 + 2 + ⋯+ (푛 − 1) )

=푎푛

∙(푛 − 1) ∙ 푛 ∙ (2푛 − 1)

6=푎6

1 −1푛

∙ 2 −1푛.

A felső közelítő összeg:

푆 =푎푛∙

푎푛

+2푎푛

+ ⋯+푛푎푛

=푎푛

∙ (1 + 2 + ⋯+ 푛 )

=푎푛

∙푛 ∙ (푛 + 1) ∙ (2푛 + 1)

6=푎6

1 +1푛

∙ 2 +1푛.

c) Jelöljük a görbe alatti területet 푇-vel! (Az alábbiakból következik, hogy ez létezik.) Minden

푛-re 푠 < 푇 < 푆 és lim→

(푆 − 푠 ) = lim→

= 0

Ezért tetszőleges 휀 pozitív számhoz van a [0; 푎] intervallumnak olyan felosztása, amelyre

푆 − 푠 < 휀. (푛 > egyenlő részre osztás.)

A görbe alatti terület a beírt és köré írt téglalapok területösszegének közös határértéke:

푇 = lim→

푎푛

∙(푛 − 1) ∙ 푛 ∙ (2푛 − 1)

6= lim

→

푎6∙ 1 −

1푛

∙ 2 −1푛

=푎3

= lim→

∙ ∙( )∙( ) = lim→

∙ 1 + ∙ 2 + = .

2. Adjuk meg az alábbi határozatlan integrálokat!

푎) (푥 − 5푥 + 6) 푑푥 푏) 푥 푑푥 푐)푥 − 4푥 + 7푥 − 1

√푥푑푥

푑) (4푥 − 1) 푑푥 푒) √7푥 + 6푑푥 푓) (3푥 + 4푥 ) ∙ (21푥 + 8푥)푑푥

푔) sin 푥 ∙ cos 푥 푑푥 ℎ) sin 푥 ∙ sin2푥푑푥 푖)2푥 − 4

푥 − 4푥 + 6푑푥

Megoldás:

푎) (푥 − 5푥 + 6) 푑푥 =푥4− 5

푥2+ 6푥 + 퐶

푏) 푥 푑푥 = 푥 푑푥 =푥94+ 퐶 =

49∙ 푥 + 퐶 =

49

푥 + 퐶

푐)푥 − 4푥 + 7푥 − 1

√푥푑푥

= 푥 − 4푥 + 7푥 − 푥 푑푥 =311

푥 −32푥 +

215푥 −

32푥 + 퐶

푑) (4푥 − 1) 푑푥 = (16푥 − 8푥 + 1)푑푥 =163푥 − 4푥 + 푥 + 퐶

9

másként (4푥 − 1) 푑푥 =(4푥 − 1)3 ∙ 4

+ 퐶

=64푥 − 48푥 + 12푥 − 1

12+C'=

163푥 − 4푥 + 푥 −

112

+C'

푒) √7푥 + 6푑푥= (7푥 + 6) 푑푥 =(7푥 + 6)43 ∙ 7

+ 퐶 =328

(7푥 + 6) + 퐶

푓) (3푥 + 4푥 ) ∙ (21푥 + 8푥)푑푥=(3푥 + 4푥 )

2+C

Felhasználtuk, hogy 푔(푥) ∙ 푔′(푥)푑푥 =푔 (푥)2

+ 퐶

푔) sin 푥 ∙ cos 푥 푑푥 = sin 푥 ∙ (sin 푥)′ 푑푥 =sin 푥2

+ 퐶

másként: sin푥 ∙ cos 푥 푑푥 =12∙ sin 2푥푑푥 = −

14cos 2푥 + 퐶 .

Megjegyzés: A két megoldás különbözőnek tűnik. Mivel

sin 푥2

− −14cos 2푥 =

sin 푥2

+cos2푥 − sin 푥

4=14,

tehát konstans, mindkét függvény 푓(푥) = sin 푥 ∙ cos 푥 primitív függvénye, így bármelyikkel meg lehet adni a határozatlan integrált.

ℎ) sin 푥 ∙ sin 2x 푑푥 = 2 ∙ sin 푥 ∙ cos 푥 푑푥 =27sin 푥 + 퐶

푖)2푥 − 4

푥 − 4푥 + 6푑푥 = ln|푥 − 4푥 + 6| + 퐶 = ln(푥 − 4푥 + 6) + 퐶

3. Adjuk meg az 푓(푥) = 7푥 − 3 függvénynek azt a primitív függvényét, amelynek a grafikonja átmegy a P(2;3) ponton!

Megoldás:

f primitív függvényei 퐹(푥) = ∫(7푥 − 3) 푑푥 = − 3푥 + 퐶 alakúak. A feltétel szerint 퐹(2) = 3,

azaz 14 − 6 + 퐶 = 3, 퐶 = −5. A keresett primitív függvény: 퐹(푥) = − 3푥 − 5.

4. A Newton–Leibniz-formula segítségével számítsuk ki az alábbi integrálokat!

푎) (푥 − 2푥 )푑푥 푏)푥 − 362푥 − 12

푑푥 푐)2푥푑푥 푑) sin 푥 푑푥

Megoldás:

푎) (푥 − 2푥 )푑푥 =푥2− 2

푥4

= [2 − 8 − (4,5 − 40,5)] = 30.

10

푏)푥 − 362푥 − 12

푑푥 =(푥 − 6)(푥 + 6)

2(푥 − 6)푑푥 =

12

(푥 + 6)푑푥 =12푥2+ 6푥 =

=12812+ 54 −

492+ 42 = 14.

푐)2푥푑푥 = 2 ∙

푥−4

=푥−2

= −1512

−1−2

=255512

≈ 0,498.

푑)∫ sin 푥 푑푥 = [−cos 푥] = −cos − −cos − = − + √ = √ ≈ 0,207.

5. Legyen 푓(푥) = − + + − 푎 , ahol 푎 pozitív valós szám és 푥 ∈ ℝ.. Igazolja, hogy

푓(푥)푑푥 = −푎 + 푎.

(Emelt szintű érettségi feladat (első része) 2010. május.)

Megoldás:

−4푥푎

+3푥푎

+2푥푎− 푎 = −

4푥4푎

+3푥3푎

+2푥2푎

− 푎푥 = −푎푎+푎푎+푎푎− 푎 − 0 =

= −푎 + 푎 + 푎 − 푎 = −푎 + 푎.

6. Határozzuk meg az 푦 = 4푥 − 푥 parabola alatti területet az 푥 = 1 és 푥 = 6 határok között!

Megoldás:

A függvény folytonos, és az [1; 6] intervallumon pozitív értékeket vesz fel. A görbe alatti terület meghatározásához a Newton-Leibniz formulát alkalmazzuk:

11

푇 = 4푥 −12푥 푑푥 = 2푥 −

푥6

= 72 − 36 − 2 −16

= 3416≈ 34,17(területegység).

7. Számítsuk ki az 푓(푥) = cos 푥 függvénygörbe és az x tengely közötti területet az 푥 = 0 és az

푥 = 2휋 határok között!

Megoldás:

Első ötletként kiszámítjuk a következő határozott integrál értékét:

cos 푥 푑푥 = [sin 푥] = sin 2휋 − sin 0 = 0

Biztosan nem 0 a keresett terület. Mi az oka annak, hogy 0-t kaptunk? Vázoljuk fel a függvény grafikonját!

A függvény grafikonja a vizsgált intervallumban két helyen is metszi az x tengelyt. és között a függvény negatív értékeket vesz fel, ezért

cos 푥 푑푥 < 0.

A keresett területet megkapjuk, ha külön-külön kiszámítjuk az integrál értékét 0 és , és ,

valamint és 2휋 között, majd a kapott értékek abszolút értékét összeadjuk. A jelen esetben felhasználhatjuk a grafikon tengelyes és középpontos szimmetriáját:

푇 = 4 ∙ cos 푥 푑푥 = 4 ∙ [sin푥] = 4 ∙ sin휋2 − sin 0 = 4.

8. Számítsuk ki az 푓(푥) = (푥 − 4) ∙ (푥 + 2) ∙ (푥 − 1) függvénygörbe és az x tengely közötti területet az 푥 = −3 és az 푥 = 3 határok között!

12

Megoldás: Az adott függvény folytonos, grafikonja felvázolható.

A szorzatalakból kiolvasható, hogy a görbe az x tengelyt a −2, az 1 és a 4 pontokban metszi. A keresett síkidom területe három síkidom területének összege. Az előjeleket is figyelembe véve:

푇 = 푓(푥)푑 푥 + 푓(푥)푑 푥 + 푓(푥)푑 푥 .

A határozatlan integrál előállításához megkeressük a függvény polinomalakját. A szorzás elvégzése után kapjuk: 푓(푥) = 푥 − 푥 − 푥 + 2 . A síkidomok területe:

푇 = 푓(푥)푑 푥 =푥16

−푥4−3푥4

+ 2푥 = 1 + 2 − 3 − 4 −8116

+274−274− 6

=4916,

푇 = 푓(푥)푑 푥 =푥16

−푥4−3푥4

+ 2푥 =116

−14−34+ 2 − (1 + 2 − 3 − 4) =

8116,

푇 = 푓(푥)푑 푥 =푥16

−푥4−3푥4

+ 2푥 =8116

−274−274+ 6 −

116

−14−34+ 2 =

72.

A keresett terület: 푇 = 푇 + 푇 + 푇 = = 11,625(területegység).

13

9. a) Mekkora területet fognak közre az푦 = 2푥 − 10푥 + 16 és az 푦 = 3푥 − 12푥 + 13 egyenletű parabolák?

b) Határozzuk meg az 푓(푥) = 2푥 − 10푥 + 10 és a 푔(푥) = 3푥 − 12푥 + 7 függvénygörbék által bezárt síkidom területét!

Megoldás:

a) Ábrázoljuk a két parabolát egy koordinátarendszerben. Ehhez teljes négyzetté egészítjük ki a másodfokú kifejezéseket:

2푥 − 10푥 + 16 = 2(푥 − 5푥) + 16 = 2[(푥 − 2,5) − 6,25] + 16 = 2(푥 − 2,5) + 3,5;

3푥 − 12푥 + 13 = 3(푥 − 4푥) + 13 = 3[(푥 − 2) − 4] + 13 = 3(푥 − 2) + 1.

A két parabola metszi egymást. A metszéspontok első koordinátái a 2푥 − 10푥 + 16 = 3푥 − 12푥 + 13 egyenlet gyökei. Egy oldalra rendezünk, majd megoldjuk a kapott másodfokú egyenletet. Az 푥 − 2푥 − 3 = 0 egyenlet gyökei:−1 és 3. A két görbe közötti területet megkapjuk, ha kiszámítjuk a két görbe alatti terület különbségét a [−1; 3] intervallumon.

푇 = (2푥 − 10푥 + 16) 푑푥 =23푥 − 5푥 + 16푥 = 18 − 45 + 48 − −

23− 5 − 16 = 42

23

푇 = (3푥 − 12푥 + 13)푑푥 = [푥 − 6푥 + 13푥] = 27 − 54 + 39 − (−1 − 6 − 13) = 32.

Tehát a keresett terület: 10 területegység.

b) Az előző feladat mintájára teljes négyzetté kiegészítés után ábrázoljuk a függvényeket:

14

2푥 − 10푥 + 10 = 2(푥 − 2,5) − 2,5 és 3푥 − 12푥 + 7 = 3(푥 − 2) − 5.

Első ránézésre az előzőnél nehezebbnek tűnik a terület meghatározása, mert a két görbe metszi az x tengelyt. Vegyük észre, hogy a b) feladatban szereplő parabolák az a) feladatbeliekkel egybevágók, azok (0;−6) vektorral való eltolásával kaphatók meg. Ebből következik, hogy az általuk bezárt síkidomok is egybevágók, területük egyenlő: 10 (területegység).

Megjegyzés:

Ha két függvénygörbe által közrezárt síkidom területét kell meghatározni, előfordulhat, hogy a síkidom részben vagy egészben nem az x tengely felett helyezkedik el. Ebben az esetben mindig van olyan y tengellyel párhuzamos alkalmas vektor, amellyel eltolva a két függvénygörbét, azok a vizsgált intervallumban a x tengely fölött lesznek. Tegyük fel, hogy f és g folytonos függvények grafikonja közötti síkidom területét kell meghatározni. A grafikonok közös pontjának első koordinátáját az 푓(푥) = 푔(푥) egyenlet megoldásával kapjuk meg. Ezután már csak a legkisebb és legnagyobb gyök közötti intervallumban vizsgáljuk a függvényeket. Ismert, hogy zárt intervallumon folytonos függvénynek van minimuma (Weierstrass-tétel), ezért van olyan d szám amelyre minden 푥 ∈ 퐷 ∩ 퐷 esetén 푓∗(푥) = 푓(푥) + 푑 ≥ 0 és 푔∗(푥) = 푔(푥) + 푑 ≥ 0 teljesül. Ha a görbék két szomszédos metszéspontjának első koordinátája a, és b, akkor a görbék e két pont közötti területét az alábbi kifejezés adja meg:

푓∗(푥)푑푥 − 푔∗(푥)푑푥 = 푓∗(푥) − 푔∗(푥) 푑푥 = 푓(푥) − 푔(푥) 푑푥 .

Tehát először megoldjuk az 푓(푥) = 푔(푥) egyenletet. Ha az egyenlet gyökei 푥 < 푥 <⋯ < 푥 , akkor

a szomszédos gyökök által megadott 푛 − 1 intervallumon kiszámítjuk a két függvény különbségének határozott integrálját, majd ezek abszolút értékét összeadjuk.

15

A fentiek szerint nem kell megvizsgálni sem azt, hogy két metszéspont között melyik függvény vesz fel nagyobb értéket, sem azt, hogy a grafikonok az 푥 tengelyhez képest hogy helyezkednek el, azaz nem feltétlenül kell ábrázolni a két függvényt.

10. Számítsuk ki annak a síkidomnak a területét, amelyet az 푦 = 푥 + 7 parabola, a parabola 2 abszcisszájú 푃 pontjára illeszkedő érintő és az y tengely bezár!

Megoldás:

A parabola 푃 pontjának második koordinátája: 11. A 푃 pontbeli érintő iránytangense az 푓(푥) =푥 + 7 függvény 2 helyen vett differenciálhányadosa. 푓 (푥) = 2푥, 푓 (2) = 4. Az érintő egyenlete: 푦 − 11 = 4(푥 − 2), azaz 푦 = 4푥 + 3.

A kérdéses síkidom területét megkapjuk, ha az 푓 függvény [0; 2] intervallumon számított határozott integráljából kivonjuk az érintő alatti területet ugyanezen határok között. Ez utóbbi síkidom olyan derékszögű trapéz, amelynek párhuzamos oldalai 3 és 11 egység, magassága 2 egység, területe 14 területegység. A parabola alatti terület 푥 = 0 és 푥 = 2 között:

(푥 + 7)푑푥 =푥3+ 7푥 =

83+ 14.

A parabola, a (2; 11) pontbeli érintője és az y tengely által határolt síkidom területe ≈ 2,67 területegység.

11. Az푥 = 2푦 egyenletű parabola az 푥 + 푦 ≤ 8 egyenletű körlapot két részre vágja. Mekkora a konvex rész területe? Számolása során ne használja a 휋 közelítő értékét! (Emelt szintű érettségi 2010. október)

16

Megoldás:

A parabola tengelye az y tengely, tengelypontja az origó. A kör középpontja az origó, sugara √8 = 2√2 egység. A két görbe metszéspontjainak második koordinátája az 푦 + 2푦 − 8 = 0 egyenlet gyökei (−4és2) közül a pozitív, a 2. A két metszéspont 퐴(2; 2) és 퐵(−2; 2).

A parabola és a kör által meghatározott síkidomok közül a pirossal színezett a konvex. Ennek területét megkapjuk, ha a 2√2 sugarú félkör területéből kivonjuk a parabola alatti területet −2 és 2 határok között, valamint a szimmetriát felhasználva, az 퐴퐴’ húr által határolt kisebbik (kékkel színezett) körszelet területét.

12푥 푑푥 = 2 ∙

12푥 푑푥 =2 ∙

16푥 = 2 ∙

43=83.

Az 퐴퐷퐶∡ = 45°, mivel 퐴퐶 = 퐷퐶 = 2, ezért 퐴퐷퐴 ∡ = 90°, a körszelet területe: 8휋4− 4 = 2휋 − 4.

A két görbe által meghatározott konvex síkidom területe: 8휋2−83− (2휋 − 4) = 2휋 +

43≈ 7,62(területegység).

Megjegyzés: A vizsgált síkidom területe úgy is megkapható, ha az 퐴퐷퐵 körcikk területéhez hozzáadjuk a parabola és az 푦 = 푥 egyenesek által közrezárt parabolaszelet területének kétszeresét. A parabolaszelet területe a [0; 2]intervallumon számított parabola alatti terület és az 퐴퐷퐶 derékszögű háromszög területének különbsége.

12. Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszéspontja a C(0;7) pont, a szárak hossza √53 egység. A háromszög másik két csúcsa (A és B) illeszkedik az 푦 = − 푥 + 1 egyenletű parabolára.

a) Számítsa ki az A és a B pont koordinátáit!

b) Mekkora területű részekre bontja az ABC háromszöget a parabola íve?

(Emelt szintű érettségi feladat (részlet) 2009. október)

17

Megoldás:

a) A lefelé nyitott parabola szimmetrikus az y tengelyre, tengelypontja a (0; 1) pont. Az egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai a C csúcstól √53 egység távolságra vannak, ezért illeszkednek a C középpontú √53 egység sugarú körre. A és B pont a kör és a

parabola metszéspontjai: �푥 + (푦 − 7) = 53푦 = − 푥 + 1

A második egyenletből kifejezzük 푥 -et és behelyettesítjük az első egyenletbe:

−4푦 + 4 + 푦 − 14푦 + 49 = 53

푦 − 18푦 = 0.

A másodfokú egyenlet gyökei: 0 és 18. Ezek közül csak a 0 jó, mert a parabolának nincs olyan pontja, amelynek második koordinátája 1-nél nagyobb lenne. A metszéspontok első koordinátái az 0 = − 푥 + 1 egyenlet gyökei: −2 és 2. Tehát a háromszög hiányzó csúcsai 퐴(−2; 0) és 퐵(2; 0).

b) A parabola az 푥 tengelyt az A és B pontokban metszi. A parabola és az x tengely által bezárt síkidom területe:

푇 = −14푥 + 1 푑푥 = −

푥12

+ 푥 = 2 ∙ −푥12

+ 푥 = 2 ∙ −23+ 2 − 0 =

83

≈ 2,67(területegység).

A másik síkidom területét megkapjuk, ha ezt a területet a háromszög területéből kivonjuk.

푇 =4 ∙ 72

−83=343≈ 11,33(területegység).

18

13. Igazoljuk az r sugarú gömb térfogatképletét az integrálszámítás segítségével!

Megoldás:

Gömböt kapunk, ha egy félkört megforgatunk az átmérője körül. Helyezzük el a félkört a koordináta-rendszer I. és II. síknegyedébe úgy, hogy középpontja az origó legyen.

Az origó középpontú푟 sugarú kör egyenletéből fejezzük ki 푦-t! (Most 푦 ≥ 0.)

푥 + 푦 = 푟 ⟹ 푦 = 푟 − 푥 .

A megfelelő függvény: 푓: [−푟; 푟] ⟶ ℝ; 푓(푥) = √푟 − 푥 . A gömb térfogata:

푉 = 휋 푟 − 푥 푑푥 =

= 2휋 (푟 − 푥 )푑푥 = 2휋 푟 푥 −푥3

= 2휋 푟 −푟3− 0 =

43푟 휋.

14. Határozzuk meg annak a testnek a térfogatát, amelyet az 푓(푥) = 2푥 + 4 függvény görbéje, valamint az 퐴(−1; 6) és a 퐵(3; 22) pontokon átmenő egyenes által határolt síkidom x tengely körüli forgatásával nyerünk!

Megoldás:

Behelyettesítéssel megállapíthatjuk, hogy a két pont illeszkedik a parabolára. Az adott másodfokú függvény konvex, ezért az AB szakasz az AB parabolaív felett van. A forgástest térfogatát megkapjuk, ha az AB szakasz x tengely körüli megforgatásával nyert csonkakúp térfogatából kivonjuk a parabola, az x tengely, valamint az 푥 = −1 és 푥 = 3 egyenesek által közrezárt síkidom megforgatásával kapott test térfogatát. A csonkakúp sugarai 6 és 22 egység, magassága 4 egység, ezért térfogata:

푉 =43휋(36 + 132 + 484) =

26083

휋.

A parabola ívvel határolt síkidom x tengely körüli forgatásakor keletkező forgástest térfogata:

19

푉 = 휋 (2푥 + 4) 푑푥 = 휋 (4푥 + 16푥 + 16)푑푥 = 휋4푥5

+16푥3

+ 16푥

= 휋9725

+ 144 + 48 − −45−163− 16 = 휋 208 +

300815

=612815

휋.

A keresett térfogat:

1304015

휋 −612815

휋 =691215

휋 = 460,8휋(térfogategység) ≈ 1447,6(térfogategység).

15. Egy tömegpont egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgást végez. Gyorsulása푎 = 4 ,

kezdősebessége 푣 = 40 .

a) Írjuk fel a mozgás sebesség-idő függvényét!

b) Írjuk fel a mozgás út-idő függvényét, ha a test 푡 = 6푠 pillanatban a kezdőponttól 656 m távolságra van!

Megoldás:

a) A sebességfüggvény a gyorsulásfüggvény integrálja. A Newton–Leibniz-formula szerint:

푎(푡)푑푡 = 푣(푡) − 푣(0).

푣(푡) − 푣(0) = 4푑푡 = [4푡] = 4푡.

Innen 푣(푡) = 푣(0) + 4푡 = 40 + 4푡 .

20

b)

Amegtettút 푣(푡)푑푡 = 푠(푡) − 푠(0), tehát

푠(푡) − 푠(0) = (40 + 4푡) = [40푡 + 2푡 ] =40푡 + 2푡 , így푠(푡) = 푠(0) + 40푡 + 2푡 .

Tudjuk, hogy 푠(6) = 푠(0) + 240 + 72, azaz 656 = 푠(0) + 312, 푠(0) = 344. Az út-idő függvény: 푠(푡) = 344 + 40푡 + 2푡 (m).

III. Ajánlott feladatok 1. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat!

푎)4푥 − 5푥 + 6푥 − 7

2푥푑푥(푥 ∈ ℝ ) 푏) 5 ∙ 3 − √푥 푑푥 푐) cos(8 − 9푥)푑푥

푑) 푥 ∙ 푥 ∙ √푥 푑푥(푥 ∈ ℝ ) 푒) (2푥 + 7) ∙ 2푥 푑푥 푓) sin 푥푑푥

푔)3 ∙ cos 2푥

sin 푥 + cos 푥푑푥 푥 ∈ 0;

휋2

ℎ) sin6푥 ∙ cos 2푥푑푥 푖) sin 푥푑푥

푗) ctg 푥푑푥(푥 ∈ ]0; 휋[) 푘) tg푥푑푥 푥 ∈ 0;휋2

푙)3 sin2푥

sin 푥 + 10푑푥

2. Írjuk fel az 푓:ℝ ⟶ ℝ, 푓(푥) = 7푥 − 8 függvénynek azt a primitív függvényét, amelynek egyik zérushelye a −2!

3. Számítsuk ki az 푦 = 푥 − 5푥 − 14 parabola és az x tengely közötti területet az 푥 = −1 és az 푥 = 8 határok között!

4. Válasszuk meg a k számot úgy, hogy az 푦 = 푥 + 3푥 + 4푘 és az 푦 = 푘푥 + 3푥 + 4 egyenletű parabolák által közrefogott síkidom területe 16 egység legyen!

5. Adjuk meg a 푝 számot úgy, hogy az 푦 = 푝 − 25푥 és az 푦 = 1 − egyenletű parabolák

közül az egyik négyszer akkora területű síkidomot fogjon közre az x tengellyel, mint a másik!

6. Számítsuk ki annak a korlátos, zárt síkidomnak a területét, amelyet az 푓(푥) = √푥 − 1, a 푔(푥) = √2푥 − 2 és a ℎ(푥) = 푥 − 1 függvények grafikonjai határolnak!

7. Az 푦 = − 푥 + 푥 + 12 egyenletű parabola −2 abszcisszájú 푃 pontjához tartozó érintő és az푥 tengely két síkidomot fog közre. Számítsuk ki mindkét síkidom területét!

8. a) Igazoljuk, hogy az 푓(푥) = −푥 + 2푥 + 26 és a 푔(푥) = −푥 + 2푥 + 7푥 − 2 valós számok halmazán értelmezett függvények grafikonjára illeszkedik a (4;−6) pont!

b) Határozzuk meg azt a 4-nél kisebb 푝 számot, amelyre az 푓 és a 푔 függvény grafikonja, valamint az 푥 = 푝egyenes 3,5 egység területű síkidomot határol!

21

9. Mekkora térfogatú forgástest keletkezik, ha az 푥 tengely körül megforgatjuk az 푦 = sin 2푥 görbe, valamint az 푥 = 0, az 푥 = 휋 és az 푦 = 0 egyenesek által határolt síkidomot?

10. Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, amely az 푓:ℝ ⟶ ℝ,푓(푥) = √2푥 függvény grafikonja, az x tengely és a görbe P(8;4) pontbeli érintője által határolt zárt síkidomnak az x tengely körüli forgatásakor keletkezik!

11. Egy pontszerű test harmonikus rezgőmozgást végez, sebességfüggvénye

푣(푡) = 0,05 ∙ cos 6푡 + . A test a megfigyelés kezdetekor a nyugalmi állapoton haladt át, azaz 푠(0) = 0(m). Határozzuk meg a kitérés-idő függvényt!

12. Egy rugó hossza megfeszítetlen állapotban 30 cm, a rugóállandó 퐷 = 0,5 . Mennyi munkával lehet a rugót 35 cm-ről 40 cm-re nyújtani? (A rugalmas erő퐹 = −퐷푥.)

Az ajánlott feladatok megoldásai 1. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat!

푎)4푥 − 5푥 + 6푥 − 7

2푥푑푥(푥 ∈ ℝ ) 푏) 5 ∙ 3 − √푥 푑푥 푐) cos(8 − 9푥)푑푥

푑) 푥 ∙ 푥 ∙ √푥 푑푥(푥 ∈ ℝ ) 푒) (2푥 + 7) ∙ 2푥 푑푥 푓) sin 푥푑푥

푔)3 ∙ cos 2푥

sin 푥 + cos 푥푑푥 푥 ∈ 0;

휋2

ℎ) sin6푥 ∙ cos 2푥푑푥 푖) sin 푥푑푥

푗) ctg 푥푑푥(푥 ∈ ]0; 휋[) 푘) tg푥푑푥 푥 ∈ 0;휋2

푙)3 sin2푥

sin 푥 + 10푑푥

Megoldás:

푎)4푥 − 5푥 + 6푥 − 7

2푥푑푥 = 2푥 −

52+ 3 ∙ 푥 −

72∙ 푥 푑푥 =

= 푥 −52푥 + 3 ∙ ln푥 +

72∙ 푥 .

푏) 5 ∙ 3 − √푥 푑푥 =5

ln3∙ 3 −

34

푥 + 퐶.

푐) cos(8 − 9푥)푑푥 = −19sin(8 − 9푥) + 퐶.

푑) 푥 ∙ 푥 ∙ √푥 푑푥 = 푥 ∙ 푥 ∙ 푥 푑푥 = 푥 푑푥 =1223

∙ 푥 + 퐶 =1223

∙ 푥 + 퐶.

푒) (2푥 + 7) ∙ 2푥 푑푥 =13∙ (2푥 + 7) ∙ 6푥 푑푥 =

13∙(2푥 + 7)

5+ 퐶 =

(2푥 + 7)15

+ 퐶.

푓) sin 푥푑푥 =1 − cos 2푥

2푑푥 =

푥2−sin2푥4

+ 퐶.

22

푔)3 ∙ cos 2푥

sin 푥 + cos 푥푑푥 = 3

cos 푥 − sin 푥sin푥 + cos 푥

푑푥 = 3 (cos 푥 − sin 푥)푑푥 = 3(sin 푥 + cos 푥) + 퐶.

ℎ) sin 6푥 ∙ cos 2푥푑푥 =12

(sin 8푥 + sin4푥)푑푥 = −cos 8푥16

−cos 4푥8

+ 퐶.

푖) sin 푥푑푥 = sin 푥 ∙ sin 푥푑푥 = (1 − cos 푥) ∙ sin 푥 푑푥 =

= sin 푥 푑푥 + cos 푥 ∙ (− sin 푥)푑푥 = −cos 푥 +cos 푥3

+ 퐶.

푗) ctg 푥푑푥 =cos 푥sin 푥

푑푥 =1 − sin2푥sin 푥

푑푥 = −ctg푥 − 푥 + 퐶.

푘) tg푥푑푥 =sin 푥cos 푥

푑푥 = −−sin푥cos 푥

푑푥 = −cos′ 푥cos 푥

푑푥 = −ln cos 푥 + 퐶.

푙)3 sin 2푥

sin 푥 + 10푑푥 = 3

2 sin푥 ∙ cos 푥sin 푥 + 10

푑푥 = 3(sin 푥 + 10)′sin 푥 + 10

푑푥 = 3 ∙ ln(sin 푥 + 10) + 퐶.

2. Írjuk fel az 푓:ℝ ⟶ ℝ, 푓(푥) = 7푥 − 8 függvénynek azt a primitív függvényét, amelynek egyik zérushelye a −2!

Megoldás:

Az 푓 függvény primitív függvényét 퐹(푥) = ∫(7푥 − 8)푑푥 = 푥 − 8푥 + 퐶 alakban keressük. A feltétel szerint 퐹(−2) = 0. Behelyettesítés után 14 + 16 + 퐶 = 0, tehát 퐶 = −30. A keresett függvény 퐹(푥) = 푥 − 8푥 − 30.

3. Számítsuk ki az 푦 = 푥 − 5푥 − 14 parabola és az x tengely közötti területet az 푥 = −1 és az 푥 = 8 határok között!

Megoldás:

23

Először meghatározzuk a görbének az x tengellyel való metszéspontjait. Ehhez megoldjuk az 푥 − 5푥 − 14 = 0 egyenletet. Az egyenlet gyökei: −2 és 7. A [−1; 8] intervallumban a görbe az 푥 = 7 pontban metszi az x tengelyt. A keresett terület két síkidom területének összege:

푇 = (푥 − 5푥 − 14)dx + (푥 − 5푥 − 14)dx

(푥 − 5푥 − 14)dx =13푥 −

52푥 − 14푥 =

3433

−2452

− 98 − −13−52+ 14 = −

3523

(푥 − 5푥 − 14)dx =13푥 −

52푥 − 14푥 =

5123

− 160 − 112 −3433

−2452

− 98 =296

푇 =3523

+296=7336

= 12216(területegység).

4. Válasszuk meg a k számot úgy, hogy az 푦 = 푥 + 3푥 + 4푘 és az 푦 = 푘푥 + 3푥 + 4 egyenletű parabolák által közrefogott síkidom területe 16 egység legyen!

Megoldás:

Elsőször meghatározzuk a két parabola metszéspontjait.

푥 + 3푥 + 4푘 = 푘푥 + 3푥 + 4

푥 (1 − 푘) − 4(1 − 푘) = 0

(1 − 푘)(푥 − 4) = 0.

Ha 푘 = 1, akkor a két parabola egybeesik. A feladat szempontjából a 푘 ≠ 1 eset érdekes. A metszéspontok első koordinátája −2, illetve 2. Visszahelyettesítéssel megkapjuk a második koordinátákat. A metszéspontok: (−2; 4푘 − 2), (2; 4푘 + 10). A két parabola által meghatározott síkidom területe:

푇 = 푥 (1 − 푘) − 4(1 − 푘) 푑푥 = (1 − 푘) ∙푥3− 4푥

= (1 − 푘) ∙83− 8 − −

83+ 8 =

323∙ |푘 − 1|.

A feltétel szerint ∙ |푘 − 1| = 16, azaz |푘 − 1| = . Innen 푘 = , illetve 푘 = − . (Ezekre teljesülnek a feltételek.)

5. Adjuk meg a 푝 számot úgy, hogy az 푦 = 푝 − 25푥 és az 푦 = 1 − egyenletű parabolák

közül az egyik négyszer akkora területű síkidomot fogjon közre az x tengellyel, mint a másik!

Megoldás:

A tört miatt 푝 ≠ 0. Feltehetjük, hogy p pozitív. A parabolák x tengellyel való metszéspontjai a

24

푝 − 25푥 = 0, illetve az 1 − = 0 egyenlet gyökei. A két görbe azonos pontokban metszi az

x tengelyt a – ; 0 , valamint a ; 0 pontokban. Kiszámítjuk a parabolák és az x tengely által közrezárt síkidom területét. A síkidomok szimmetrikusak az y tengelyre.

푇 = 2 (푝 − 25푥 ) 푑푥 = 2 푝 푥 −25푥3

= 2푝5−푝15

=4푝15

;

푇 = 2 1 −25푥푝

푑푥 = 2 푥 −25푥3푝

= 2푝5−푝15

=4푝15.

Két eset lehetséges: 푇 = 4푇 esetén, 4푝 = 16푝 (푝 ≠ 0), 푝 = 4; 푇 = 4푇 esetén, 4푝 = 16푝 , amiből 푝 = adódik.

6. Számítsuk ki annak a korlátos, zárt síkidomnak a területét, amelyet az 푓(푥) = √푥 − 1, a 푔(푥) = √2푥 − 2 és a ℎ(푥) = 푥 − 1 függvények grafikonjai határolnak!

Megoldás:

Meghatározzuk a görbék páronként vett metszéspontjait:

푓(푥) = 푔(푥):√푥 − 1 = √2√푥 − 1 ⟺ 푥 = 1;

푓(푥) = ℎ(푥):√푥 − 1 = 푥 − 1 ⟺√푥 − 1 1 − √푥 − 1 = 0 ⟺ 푥 = 1vagy푥 = 2;

푔(푥) = ℎ(푥):√2푥 − 2 = 푥 − 1 ⟺√푥 − 1 √2 − √푥 − 1 = 0 ⟺ 푥 = 1vagy푥 = 3.

Az ábra jelölései szerint az ABC síkidom területét keressük. Ezt megkapjuk, ha ∫ 푔(푥)푑푥

határozott integrál értékéből kivonjuk a DECB trapéz területének és a ∫ 푓(푥)푑푥 határozott integrálnak az összegét.

25

√2푥 − 2푑푥 = √2 ∙23∙ (푥 − 1) =

2√23

√8 − 0 =83;

√푥 − 1푑푥 =23∙ (푥 − 1) =

23(1 − 0) =

23;

a trapéz területe: . A vizsgált síkidom területe: 푇 = − − = (területegység).

7. Az 푦 = − 푥 + 푥 + 12 egyenletű parabola −2 abszcisszájú 푃 pontjához tartozó érintő és az 푥 tengely két síkidomot fog közre. Számítsuk ki mindkét síkidom területét!

Megoldás:

Az 푓(푥) = − 푥 + 푥 + 12 függvény zérushelyei az − 푥 + 푥 + 12 = 0 egyenlet gyökei: −4 és

6. P pont második koordinátája 푓(−2) = − ∙ 4 − 2 + 12 = 8. A parabola 푃 pontjához tartozó érintő meredeksége, a függvény −2 pontbeli deriváltja. 푓 (푥) = −푥 + 1; 푓 (−2) = 3. A 푃 pontbeli érintő egyenlete: 푦 − 8 = 3(푥 + 2); 푦 = 3푥 + 14. Az érintő az x tengelyt a − pontban metszi.

Az ábrán pirossal jelölt síkidom területe egy derékszögű háromszög és egy parabolikus háromszög

területének a különbsége. A háromszög befogói −2 − − = és 8, területe . A parabola alatti terület a másodfokú függvény határozott integrálja a −4 és 2 határok között:

(−12푥 + 푥 + 12)푑푥 = −

16푥 +

12푥 + 12푥 =

43+ 2 − 24 −

323+ 8 − 48 =

263.

푃

26

푇 =323−263= 2(területegység).

A kékkel jelölt síkidom területét megkapjuk, ha a parabola és az 푥 tengely által bezárt területhez hozzáadjuk a 푇 területet.

(−12푥 + 푥 + 12)푑푥 = −

16푥 +

12푥 + 12푥 = −36 + 18 + 72 −

323+ 8 − 48 =

2503.

푇 =2503

+63=2563

≈ 85,33(területegység).

8. a) Igazoljuk, hogy az 푓(푥) = −푥 + 2푥 + 26 és a 푔(푥) = −푥 + 2푥 + 7푥 − 2 valós számok halmazán értelmezett függvények grafikonjára illeszkedik a (4;−6) pont!

b) Határozzuk meg azt a 4-nél kisebb 푝 számot, amelyre az 푓 és a 푔 függvény grafikonja, valamint az 푥 = 푝egyenes 3,5 egység területű síkidomot határol!

Megoldás:

a) 푓(4) = −64 + 32 + 26 = −6, 푔(4) = −64 + 32 + 28 − 2 = −6.

b) Vizsgáljuk meg hogy van-e a két függvény görbéjének más közös pontja! Ehhez megoldjuk az 푓(푥) = 푔(푥) egyenletet. – 푥 + 2푥 + 26 = −푥 + 2푥 + 7푥 − 2, ha 26 = 7푥 − 2. Ebből 푥 = 4. Tehát a két görbének egyetlen közös pontja a (4; −6) pont. Az is megállapítható, hogy 푥 < 4 esetén 푓(푥) > 푔(푥). Így a síkidom területe:

푓(푥) − 푔(푥) 푑푥 = (−7푥 + 28) 푑푥.

A feltétel szerint:

−7푥2+ 28푥 = 3,5,azaz

−56 + 112 + 7푝2− 28푝 = 3,5

7푝 − 56푝 + 105 = 0,

푝 − 8푝 + 15 = 0.

A másodfokú egyenlet két gyöke 3 és 5 közül a 푝 < 4 feltételnek csak a 3 felel meg, tehát 푝 = 3.

9. Mekkora térfogatú forgástest keletkezik, ha az 푥 tengely körül megforgatjuk az 푦 = sin 2푥 görbe, valamint az 푥 = 0, az 푥 = 휋, és az 푦 = 0 egyenesek által határolt síkidomot?

Megoldás:

푉 = 휋 (sin 2푥)푑푥 = 휋1 − cos 4푥

2푑푥 =

휋2푥 −

sin4푥4

=휋2(휋 − 0 − 0) =

=휋2(térfogategség).

27

10. Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, amely az 푓:ℝ ⟶ ℝ,푓(푥) = √2푥 függvény grafikonja, az x tengely és a görbe 푃(8; 4) pontbeli érintője által határolt zárt síkidomnak az x tengely körüli forgatásakor keletkezik!

Megoldás:

Először meghatározzuk az érintő meredekségét. Ez a függvény deriváltjának a 8 helyen vett

helyettesítési értéke. 푓 (푥) = ∙ (2푥) ∙ 2 =√

, 푚 = 푓 (8) = . Az érintő egyenlete:

푦 − 4 = (푥 − 8), azaz 푦 = 푥 + 2. Az érintő az 푥 tengelyt a (−8; 0) pontban metszi. Az érintő (−8; 0) és (8; 4) szakaszának 푥 tengely körüli forgatáskor egy forgáskúpot ír le. A forgáskúp

sugara 4 egység, magassága 16 egység, térfogata: 푉 = ∙ ∙ = (térfogategység). A parabola (0; 0), (8; 4) ívének 푥 tengely körüli forgatásakor keletkező test térfogata:

푉 = 휋 2푥푑푥 = 휋[푥 ] = 64휋(térfogategység).

A vizsgált test térfogata: 푉 − 푉 = 휋 − 휋 = 휋 ≈ 67,02(térfogategység).

11. Egy pontszerű test harmonikus rezgőmozgást végez, sebességfüggvénye

푣(푡) = 0,05 cos 6푡 + . A test a megfigyelés kezdetekor a nyugalmi állapoton haladt át, azaz 푠(0) = 0(m). Határozzuk meg a kitérés-idő függvényt!

Megoldás:

푠(푡) = 0,05 cos 6푡 +휋6

=5600

∙ sin 6푡 +휋6

+ 퐶.

Ide behelyettesítjük 푠(0) = 0-t, 0 = ∙ sin + 퐶. Ebből 퐶 = − , és a kitérés-idő függvény:

푠(푡) =5600

∙ sin 6푡 +휋6

−1240

(m).

12. Egy rugó hossza megfeszítetlen állapotban 30 cm, a rugóállandó 퐷 = 0,5 . Mennyi munkával lehet a rugót 35 cm-ről 40 cm-re nyújtani? (A rugalmas erő퐹 = −퐷푥.)

Megoldás:

Ha a rugó hossza 35 cm, akkor az eredeti hosszához képest푥 = 5cm-rel, ha 40 cm, akkor 푥 = 10cm-rel nyújtottuk meg. A mértékegységek figyelembe vételével (푥 = 0,05m,푥 =0,1m) a megnyújtás közben végzett munka:

28

푊 = 0,5푥푑푥 =푥4 ,

,

=

,

,

14(0,01 − 0,0025) = 0,001875.

tehát 1,875 ∙ 10 J munkával lehet a rugót 35cm-ről 40 cm-re nyújtani.

Megjegyzés: A munka az 퐹(푥) erőfüggvény 푥 = 5cm = 0,05m, 푥 = 10cm = 0,1m határokkal számolt görbe alatti területével egyenlő.

IV. Ellenőrző feladatok 1. Írja fel az 푓:ℝ ⟶ ℝ, 푓(푥) = 3푥 + 4푥 + 13 függvénynek azt a primitív függvényét, amelynek

grafikonja illeszkedik a (−3;−20) pontra!

2. Adja meg a következő függvények határozatlan integrálját az értelmezési tartományukon!

푎)푎(푥) = 5푥 −12푥 + 2; 푥 ∈ ℝ\{0} 푏)푏(푥) =

푥 + 2√푥푥

; 푥 ∈ ℝ

푐)푐(푥) = 5cos 푥 +5

cos 푥; 푥 ∈ 0;

휋2

푑)푑(푥) = 3푥 ∙ sin(푥 ); 푥 ∈ ℝ

3. Számítsa ki a 푝 valós számot, ha

(2푥 − 푥)푑푥 = (2푥 − 1)푑푥 .

4. Számítsa ki annak, az ábrán színessel jelölt síkidomnak a területét, amelyet az 푦 = 1 − sin푥 görbe, valamint az 푦 = 2 és az 푥 = egyenletű egyenesek határolnak!

29

5. Mekkora területet vág le az 푦 = 푥 − 4 egyenletű parabolából a (−1;−3)ponton átmenő 2 iránytangensű egyenes?

6. Számítsa ki az 푦 = 푥 és az 푦 = −2푥 + 15푥 egyenletű görbék által közrezárt síkidom területét!

7. Határozza meg annak a korlátos síkidomnak a területét, amelyet az 푓(푥) = 2√푥 + 1 függvény grafikonja, az푥 tengely valamint az 푦 = 2푥 − 2 egyenes határolnak!

8. Vezesse le az integrálszámítás segítségével a (forgás) csonkakúp térfogatképletét!

9. Számítsa ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet az 푦 = 푥 egyenletű parabola, a parabola 8 ordinátájú pontjaira illeszkedő érintői és az 푥 tengely által határolt síkrész, 푥 tengely körüli forgatásakor kapunk!

Az ellenőrző feladatok megoldásai 1. Írja fel az 푓:ℝ ⟶ ℝ, 푓(푥) = 3푥 + 4푥 + 13 függvénynek azt a primitív függvényét, amelynek

grafikonja illeszkedik a (−3;−20) pontra!

Megoldás:

A függvény primitív függvényei 퐹(푥) = 푥 + 2푥 + 13푥 + 퐶 alakúak. 퐹(−3) = −20, így −27 + 18 − 39 + 퐶 = −20. Ebből 퐶 = 28, a primitív függvény 퐹(푥) = 푥 + 2푥 + 13푥 + 28.

2. Adja meg a következő függvények határozatlan integrálját az értelmezési tartományukon!

푎)푎(푥) = 5푥 −12푥 + 2; 푥 ∈ ℝ\{0} 푏)푏(푥) =

푥 + 2√푥푥

; 푥 ∈ ℝ

푐)푐(푥) = 5cos 푥 +5

cos 푥; 푥 ∈ 0;

휋2

푑)푑(푥) = 3푥 ∙ sin(푥 ); 푥 ∈ ℝ

Megoldás:

푎) 5푥 −12푥 + 2 푑푥 = 푥 +

18푥 + 2푥 + 퐶

푏)푥 + 2√푥

푥푑푥 = 푥 + 2푥 푑푥 = −

12푥

−3

4√푥+ 퐶

푐) 5cos 푥 +5

cos 푥푑푥 = 5

1 + cos 2푥2

푑푥 + 5tg푥 + 퐶 =52푥 +

54sin2푥 +5tg푥 + 퐶

푑) (3푥 ∙ sin(푥 ))푑푥 =32

sin(푥 ) ∙ 2푥푑푥 = −32cos(푥 ) + 퐶

3. Számítsa ki a 푝 valós számot, ha

(2푥 − 푥)푑푥 = (2푥 − 1)푑푥 .

30

Megoldás:

(2푥 − 푥)푑푥 =2푥3

−푥2

=2푝3

−푝2,

(2푥 − 1)푑푥 =2푥3

− 푥 =2푝3

− 푝 −23− 1 =

2푝3

− 푝 +13.

Meghatározandó az a 푝 valós szám, amelyre

2푝3

−푝2=2푝3

− 푝 +13, azaz3푝 − 6푝 + 2 = 0fennáll.

Az egyenlet gyökei 푝 = 1 + √ és 푝 = 1 − √ . (Mindkét számra teljesül az egyenlőség.)

4. Számítsa ki annak, az ábrán színessel jelölt síkidomnak a területét, amelyet az 푦 = 1 − sin푥 görbe, valamint az 푦 = 2 és az 푥 = egyenletű egyenesek határolnak!

I. Megoldás:

A síkidom területét megkapjuk, ha a 휋 egység és 2 egység oldalú téglalap területéből kivonjuk a

− ; intervallumon számított görbe alatti területet.

푇 = 2휋 − (1 − sin푥)푑푥 = 2휋 − [푥 + cos푥] = 2휋 −휋2+ 0 − −

휋2+ 0 = 휋.

Tehát a síkidom területe 휋 területegység.

II. Megoldás:

A – ; 0 , ; 0 , ; 2 , − ; 2 csúcsú téglalap és a görbe is középpontosan szimmetrikus a (0; 1) pontra, ezért a színessel jelölt síkidom területe a téglalap területének a fele, 휋 területegység.

31

5. Mekkora területet vág le az 푦 = 푥 − 4 egyenletű parabolából a (−1;−3) ponton átmenő 2 iránytangensű egyenes?

Megoldás:

Az egyenes egyenlete: 푦 + 3 = 2(푥 + 1), azaz 푦 = 2푥 − 1. Meghatározzuk az egyenes és a parabola metszéspontjait:

푥 − 4 = 2푥 − 1

푥 − 2푥 − 3 = 0

푥 = −1;푥 = 3.

A metszéspontok 퐴(−1;−3),퐵(3; 5).

A 9. kidolgozott feladathoz fűzött megjegyzést figyelembe véve, a vizsgált síkidom területe:

푇 = {푥 − 4 − (2푥 − 1)}푑푥 = (푥 − 2푥 − 3)푑푥 =푥3− 푥 − 3푥 =

= 9− 9 − 9 − −13− 1 + 3 =

323≈ 10,67(területegység).

6. Számítsa ki az 푦 = 푥 és az 푦 = −2푥 + 15푥 egyenletű görbék által közrezárt síkidom területét!

Megoldás:

A két görbe metszéspontjait az 푥 = −2푥 + 15푥 egyenlet megoldásával határozzuk meg.

푥 + 2푥 − 15푥 = 0

푥(푥 + 2푥 − 15) = 0

푥(푥 + 5)(푥 − 3) = 0

A metszéspontok első koordinátái az egyenlet gyökei: −5, 0, 3. (A metszéspontok (−5;−125), (0; 0), és (3; 27). )

32

A görbék két síkidomot fognak közre. Területük:

푇 = (푥 + 2푥 − 15푥)푑푥 =푥4+2푥3

−15푥2

= 0 −6254

−2503

−3752

= 114712

=137512

.

푇 = (푥 + 2푥 − 15푥)푑푥 =푥4+2푥3

−15푥2

=814+ 18 −

1352

− 0 = 29,25.

A két görbe által közrefogott síkidom területe: területegység ≈ 143,83 területegység.

7. Határozza meg annak a korlátos síkidomnak a területét, amelyet az 푓(푥) = 2√푥 + 1 függvény grafikonja, az푥 tengely valamint az 푦 = 2푥 − 2 egyenes határolnak!

33

Megoldás:

Az egyenes és a félparabola A metszéspontjának első koordinátája a 2√푥 + 1 = 2푥 − 2 egyenlet gyöke. Mivel a baloldal nem vehet fel negatív értéket, ezért x legalább 1. Négyzetre emelés és rendezés után kapjuk:

푥 + 1 = 푥 − 2푥 + 1, 푥 − 3푥 = 0.

A feltételt figyelembe véve csak 푥 = 3 lehetséges. Az A pont második koordinátája 4. 2√푥 + 1 = 0 ⟺ 푥 = −1; 2푥 − 2 = 0 ⟺ 푥 = 1. Tehát az x tengelyt a parabola a −1 pontban, az egyenes a +1 pontban metszi. Az AB parabolaív, a BD szakasz, valamint a DA szakasz által meghatározott területet megkapjuk, ha a [−1; 3] intervallumban kiszámítjuk az f függvény határozott integrálját, majd ebből kivonjuk a DCA derékszögű háromszög területét.

푇 = 2√푥 + 1푑푥 −2 ∙ 42

= 2 ∙23

(푥 + 1) − 4 =43∙ (8 − 0) − 4 =

323− 4

A vizsgált síkidom területe (≈ 6,67)területegység.

8. Vezesse le az integrálszámítás segítségével a (forgás) csonkakúp térfogatképletét!

34

Megoldás:

Helyezzük el a koordináta-rendszerben az 푚 magasságú 푟 és 푅 alapú derékszögű trapézt az ábra szerint, majd forgassuk meg az 푥 tengely körül! A trapéz (푥 tengelyre nem illeszkedő)

száregyenesének meredeksége , egyenlete 푦 = 푥 + 푟.

A csonkakúp térfogata:

푉 = 휋푅 − 푟푚

푥 + 푟 푑푥 = 휋푅 − 푟푚

푥 + 2 ∙푅 − 푟푚

∙ 푟 ∙ 푥 + 푟 푑푥 =

= 휋푅 − 푟푚

푥3+푅 − 푟푚

푟푥 + 푟 x =휋3[(푅 − 푟) 푚 + 3(푅 − 푟)푟푚 + 3푟 푚] =

=휋3푚[푅 − 2푅푟 + 푟 + 3푅푟 − 3푟 + 3푟 ] =

휋푚3[푅 + 푅푟 + 푟 ].

9. Számítsa ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet az 푦 = 푥 egyenletű parabola, a parabola 8 ordinátájú pontjaira illeszkedő érintői és az 푥 tengely által határolt síkrész 푥 tengely körüli forgatásakor kapunk!

Megoldás:

Az érintési pontok első koordinátái az 푥 = 8 egyenlet gyökei 4 és −4. A két érintési pont 푃(4; 8) és 푃’(−4; 8). Az ábra az 푦 tengelyre szimmetrikus, ezért a forgástest térfogata az első síknegyedbeli síkidom forgatásával kapott test térfogatának kétszerese. A P pontbeli érintő iránytangense 푚 = 푓’(4) = 4, (ahol 푓(푥) = 푥 ). Az érintő egyenlete: 푦 − 8 = 4(푥 − 4),azaz 푦 = 4푥 − 8. Az érintő az 푥 tengelyt a (2;0) pontban metszi.

35

A forgástest térfogatát megkapjuk, ha a [0;4] intervallumhoz tartozó parabolaív alatti APC síkidom 푥tengely körüli forgatásakor keletkező test térfogatából kivonjuk a BCP derékszögű háromszög megforgatásakor keletkező forgáskúp térfogatát.

푉 = 휋 ∙12푥 푑푥 =

휋4∙ 푥 푑푥 =

휋4∙푥5

=휋4∙10245

=2565

휋;

푉 =64휋 ∙ 23

=1283

휋.

A két érintő, az x tengely és a 푃′퐴푃parabolaív által közrezárt síkidom forgatásával keletkező test térfogata:

푉 = 2 푉 − 푉 =25615

휋(≈ 53,62)térfogategység.