20. soal soal vektor
TRANSCRIPT
www.matematika-sma.com - 1
20. SOAL-SOAL VEKTOR
UN2004
1. Jika vektor a = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
321
; b = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−145
dan c =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−11
4
maka vector a + 2b - 3 c = ….
A. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 8116
B. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 8137
C. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
212
1 D.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
213
1 E.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
8126
Jawab:
a + 2b - 3c = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
321
+ 2 ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−145
- 3 ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−11
4
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
321
+ ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 28
10 -
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−33
12
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−+
−+
323)3(82
12101=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
213
1
Jawabannya adalah D EBTANAS2001 2. Diketahui | a | = 3 , | b | = 1 dan | a - b | = 1. Panjang vektor a + b = …. A. 3 B. 5 C. 7 D. 2 2 E. 3 Jawab:
.| a + b | = 222 ||)(2 baba −−+ .| a + b | 2 = 2(a 2 +b 2 ) - | a - b | 2 = 2 (( 3 ) 2 + 1 2 ) - 1 2 = 2 (4) – 1 = 7 .| a + b | = 7 Jawabannya adalah C
UMPTN1989 3. Ditentukan titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T pada ruas garis PQ dan PT:QT = 2 : 1 maka vektor posisi titik T adalah … A. (3, -1, 11) C. (2, 0, 11) E. (11, -13, 32) B. (2, -1, 12) D. (3, 1, 12) Jawab: • • • P 2 T 1 Q
PT:QT = 2 : 1 QTPT =
12
PT = 2 QT t - p = 2 ( t - q )
t - p = 2 t -2 q
2 q - p = 2 t - t
t = 2 q - p = 2 (5,-4,17). - (-1,5,2) = (10, - 8, 34) – (-1,5,2) = (11, -13, 32 ) Jawabannya adalah E EBTANAS1998 4. Diketahui titik A(3,1.-4), B(3,-4,6) dan C(-1,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3 : 2, maka vektor yang diwakili oleh CP adalah ….
A. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
634
B. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
634
C. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
274
D. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
27
4 E.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
274
Jawab: • • • A 3 P B
AP:PB = 3 : 2 PBAP =
23
2 AP = 3 PB 2 ( p - a ) = 3 (b - p )
2 p - 2 a = 3b - 3 p
3 p + 2 p = 3b + 2 a
5 p = 3 b + 2 a
www.matematika-sma.com - 2
p = 5
23 ab +
p = 5
413
264
33
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
=5
1010
15
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−22
3
CP = p - c = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−22
3 -
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
451
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
27
4
Jawabannya adalah D EBTANAS2000 5. Diketahui | a | = 6 , ( a - b ). ( a + b )= 0 dan a . ( a - b ) = 3. Besar sudut antara vector a dan b adalah ….
A. 6π B.
4π C.
3π D.
2π E.
32 π
Jawab: ( a - b ). ( a + b )= 0 ⇒ a . a - b . b = 0 ⇒ 6 - | b | 2 = 0 | b | 2 = 6 | b | = 6 a . ( a - b ) = 3 a . a - a . b . Cos α = 3 a . b . Cos α = a . a - 3
Cos α = ba
aa.
3. −
= 6
36 − = 21 `
α = 60 0 = 3
1800
= 3π
Jawabannya adalah C
EBTANAS2000 6. Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1) dan C (7, p-1, -5) segaris untuk nilai p = ........ A. 13 B. 11 C. 5 D. -11 E. -13 Jawab: • • • A B C Titik A, B, C segaris maka kriteria yang harus dipenuhi: 1. AB = k.AC 2. AB = k. BC 2. AC = k. AB 3. AC = k. BC 4 BC = k .AB 5. BC = k. AC Kita ambil kriteria 1 : Kriteria 1 : AB = k.AC b - a = k (c - a )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−12
1 -
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−123
= k ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
123
51
7p
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
242
= k ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−43
4p
-2 = 4.k
k = - 21
-4 = - 21 .p +
23
21 .p =
23 + 4
21 .p =
211 p = 11
Jawabannya adalah B
www.matematika-sma.com - 3
EBTANAS2001 7. Diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik sudut P(1,5,8), Q(-2,1,3) dan R(1,-6,0), PQ wakil dari u dan
QR wakil dari v , maka u . v adalah… A. 34 B. 36 C. 38 D. 40 E. 42 jawab :
PQ = u = q - p = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
312
- ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
851
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
543
QR = v = r - q = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−06
1 -
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
312
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
37
3
u . v = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
543
. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
37
3 = -3 . 3 + (-4 . -7) + (-5. -3)
= -9 +28 + 15 = 45 – 9 = 36 Jawabannya adalah B UAN2006 8. Diketahui vektor-vektor a = 2 i + 4 j + k ,
b = -3 i + m j + 2 k dan c = i + 2 j - k .
Vektor a tegak lurus b , maka (b - c ) adalah… A. -4 i + j + 3 k C. -4 i - 4 j + 3 k E. -4 i + 3 k B. -4 i - j + 3 k D. -4 i + j + 3 k Jawab: . a . b = | a | |b | cosα karena vektor a tegak lurus b maka α = 90 0 sehingga cosα = cos 90 0 = 0 maka . a . b = | a | |b | cosα a . b = | a | |b | . 0 a . b = 0
a = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
142
; b = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
2
3m ; c=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−121
a . b = 0
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
142
. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
2
3m = 0
= 2. -3 + 4m + 2 = 0 = -4 + 4m = 0 4m = 4 m = 1
maka (b - c ) = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
213
- ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−121
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
314
-4 i - j + 3 k Jawabannya adalah B UAN2007 9. Diketahui segitiga ABC, dengan A (0, 0,0 ), B(2,2,0) dan C (0,2,2). Proyeksi ortogonal AB pada AC adalah….
A. j + k C. . - i + k E. -21 i - j
B. i + k D. i + j -21 k
Jawab : proyeksi orthogonal a pada b :
| c | = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2||
.b
ba . b
AB = b - a = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
022
- ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
000
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
022
AC = c - a = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
220
www.matematika-sma.com - 4
| c | = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2||
.b
ba . b
= 222 )22(
220
022
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
220
= 84
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
220
= 21
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
220
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
110
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
110
= 0 i + j + k = j + k
Jawabannya adalah A EBTANAS1999
10. Diketahui panjang proyeksi vektor a = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
482
pada vektor b = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
4
0p adalah 8. Nilai p=…
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 E. 6 Jawab: Panjang proyeksi vector a pada vector b :
| c | = ||
.bba
Diketahui : ||
.bba = 8
16
4
0
482
2 +
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
p
p
= 8 ⇒ 16
1682 +
+
pp = 8
8p + 16 = 8 162 +p p + 2 = 162 +p
(p + 2) 2 = ( 162 +p ) 2 p 2 +4p + 4 = p 2 + 16 p 2 - p 2 + 4p = 16 – 4 4p = 12 p = 3 jawabannya adalah C