2000 nctm números y operaciones
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
1/38
HatriunenV,
eL
Nrneros y
Cp
eracianes
El
Estndar
de Nmeros
y
operaciones
describe
el conocimiento
y
la
competencia
bsicos
relativos
a
contar,
a
los nmeros
y
a
la
aritmti-
ca,
as
como
una
forma
de
comprender
los
conjuntos
numricos
y
sus
estructuras.
Incluye
los conceptos
y
algoritrnos
de
la aritrntica
elem
tal y las
caractersticas
de las
clases
de
nmeros
que
inten'ienen
en
los
inicios
de
la teora de
nmeros.
El
punto central
de
este Estndar
es el
desarrollo del
sentido
numrico:
la
habilidad
para
descomponer
nme-
ros
de
forma
natural, utilizar
ciertos
nmeros
como
100
o 112
como
referentes, usar las relaciones
entre
las
operaciones
aritrnticas
para
resolver problemas,
comprender
el
sistema
decimal
de
numeracin,
estimar,
dar sentido
a
los
nmeros
y
reconocer
las
magnitudes
relativa
y
absoluta de los nmeros
(Sowder
1992).
Histricamente,
el nmero
ha
sido la
piedra
angular
del currculo
de
matemticas,
tanto internacionalmente
como
en Estados
Unidos y
Canad
(Reys
y Nohda 1994).
Todas las
matemticas
propuestas,
desde
Prekindergarten.al
nivel
12, estn
fuertemente
basadas
en
el
nmero.
Los
principios
que
rigen la resolucin
de
ecuaciones
en
lgebra coinci-
den con
las propiedades
estructrales
de los
conjuntos
numricos. En
Geometra
y
medida,
los atributos
se describen
con nmeros.
El rea
de
A.ulisis
de datos
conlleva
dar
sentido
a
los nrneros.
A travs
de
la
resolucin
de
problemas,
los
esrudiantes
pueden
explorar
y
consolidar
sus
conocimientos
sobre los
nmeros.
El razonamiento
matemtico
de
los
ms
pequeos
es
ms probable
que
se
d
sobre
siruaciones
numri-
cas,
y sus
primeras
representaciones
probablemente
sean de
nmeros.
Las investigaciones
han
demostrado
que el
aprendizaje
relativo
a
nmeros
y operaciones
es un
proceso
complejo
para
los
nios
(p.e,
Fuson
ll992l).
En
esros Estndares,
la comprensin
del
nmero
y
las
operaciones,
el desarrollo del
sentido
numrico
y
conseguir
fluidez
de
clculo
aritmtico,
constituyen
el
ncleo
de
la educacin
matemtica
Principios
y
Estndares para
la Educacin
Matemtica
flfaero
ha
sio
ln
piera
ongular
d,el euyr{cttlo
de
ffiaten'lt,icas
lt
..
j:--;,:-,
.ii.
..
..;..
-::.rr r-{ll,\;.
j
hl
j'..,i1j
; i,i
,,1;
rr,
Los programas
de
ensean-
za
de
todas
las
etapas
deberan
capacitar
a
todos
los
estudian-
tes para:
.
comprender
los
nmeros,
las
diferentes formas
de
representarlos,
las
rela-
ciones
entre
ellos
y
los
con-
juntos
numricos;
.
comprender
los
significa-
dos
de
las
operaciones
y
cmo
se
relacionan
unas
con
otras;
.
calcular
con fluidez
y
hacer
estimaciones
razonables.
34
en
los niveles
elementales.
Segn
van
avartzando
desde
Prekindergarten
al
ltimo
nivel, los
estudiantes
deberan
elcanzar
una
rica comprensin
de los
nmeros:
lo que
son; cmo
pueden
representarse
con ob"tor,
numerales
o rectas
numricas;
cmo
se
relacionan
unos
con
otros;
cmo
estn inmersos
en
sistemas
que
poseen
estrucflras
y
propiedades,
y
cmo
utilizar
nmeros
y
operaciones
para
resolver
problmas.
Es
fundamenral
conocer
las
combinaciones
bsical
de nmeros:
la
adicin
y multiplicacin
con pares
de
nmeros
de un
solo
dgito
e,
igualmente,
respecro
a
la
sustraccin
y
la
divisin.
Asimismol
es esen-
cial la
fluidez
de
clculo,
esto
es,
tener
y urilizar
mtodos
eficaces
y
seguros
para
calcular.
Esta
fluidez
tiene
que
ponerse
de manifiesto
al
usar
estrategias
mentales
y
anotaciones
sbr
papel
o
un
algoritmo
con
papel
y
lpiz,
particularmente
con
nmeros
grandes,
en
la produccin
rpida
de
resultados
examos.
Independientemenre
del
mtdo
uriliza-
do, los
alumnos
deberan
ser
capaces
de explicar
cul
han
empleado,
entender
que
existen
distintos
mtodos
y ver
la
utilidad
de
mtodos
que
sean eficaces,
seguros
y
generales.
Thmbin
necesitan
ser
capaces
de
estimar
y
juzgar
lo
razonable
de los
resultados.
La fluidez
.trll
.l-
culo
debera
desarrollarse
conjuntamente
con la
comprensin
del papel
y
significado
de las
operaciones
arirmticas
en
los
sistemas
numricos
(l{iebert
etal.,
L997; Thornton
I990).
-
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2/38
I:
:rerminadas
ocasiones,
debera disponerse
de calculadoras,
en
--n*r-:--r:--r:
cuando
se
necesitan
muchos o incmodos
clculos para
fo,r,--
problemas.
Sin
embargo,
cuando los profesores
estn
trabajan-
JltuI,
;:c.
=-:s
alumnos
en el
desarrollo de
los
algoritrnos
de clculo,
debe-
:rmum
is=charse.
La calcuiadora
es
hoy una
herramienta de clculo
,,mmrrr-ente
usada
fuera del aula; el ambiente
en
sta debera reflejar
sdxr
ltri-*au'
i,rnrender
los
nmeros,
las diferentes
formas de
flm'"sentarlos,
las relaciones
entre
ellos
y
los
,mnl*
rl-llios
nu
mricos
-,1
--,lprensin
de
los nmeros
se
desarrolla,
desde
ru*,,rn:=:gaften
al
nivel
2, cuando los
nos
cuentan
y
aprenden
a
rilnurr*:.:
"cuntos
hay"
en colecciones
de
objetos'
Una idea
clave es
ltiltrulh'
tL
--nero
puede ser
descompuesto
y
pensado
de
varias formas.
il'rpmrrl
como
1
diez,
constituye
un primer
paso importante
en
la
lrlnNrmnr,r=.:n
de
la estructura del
sistema
decimal de
numeracin
fr.4i,,r,uurn
o ;\leatley
1988).
En
los niveles elementales,
los alumnos
pue-
mrunt
m-=:ler
sobre los tipos
de
nmeros
y sus
caractersticas;
por
1lt1illtfi|m[nirr]lLi:.
:u
nmeros
son
impares,
pares,
primos, compuestos
o
cua-
,llflMl|fllJs-
"p,iis'r--
ii
de comprender los
nmeros nanrrales, se
puede
animar
a
iirlllrru
mr:
para
que
entiendan
y
representen fracciones
usadas
en con-
rmly,r:n-
i;-iliares,
tales como
l/2
de
una galleta
o
i/8
de
ana pizza, y
$fifnlmlliiii
r=
-as
fracciones
como
partes de una unidad entera o
de una
rrulilluffi::-.
Los
profesores deberan ayudar
a
los alumnos
a
desarrollar
rtxui,ru{fir:
de fraccin
como
divisin de
nmeros.
Y,
en los niveles
mru:s"
,f,
parte
como una
base
para el estudio de la proporcionalidad,
ilrxflrli
irr-er
necesitan dar solidez
a
su
conocimiento de las
fracciones
Inmtrrru
-r:leros.
El conocimiento
y uso de los decimales debera
asegu-
:Hlilflir
: :--i
antes
de llegar
a los niveles superiores.
Con
un conocimien-
m
mnuur:,
,iel
nmero,
los alumnos
de estos
niveles
pueden
uttlizar
r {m'muuir-,.
oue
representen
nmeros,
para
hacer manipulaciones
simbli-
;mm
.:l
S--i
cativas.
-;
r::rresentacin
de
nmeros
con
diversos materiales fsicos
debe-
'l,tu
tm;:uir
una
parte principal de
la
instmccin
matemtica
en los
mriiltler
=,:mentales.
En estos
niveles, los alumnos deberan
llegar a
lxmmmr:-der
que los nmeros pueden representarse de
diversas
mane-
:rrllfllilti;
r::-
:re,
por
ejemplo, I/4,25% y A,25
son
diferentes formas
de
lffiflilrssll:
ei
mismo
nmero. La
comprensin
y
la
habilidad
para
razorrzr
lu|rml
:=':iendo
a
medida
que
vayan
i"pr"r.rrtrrrdo
fracciones
y
decima-
uJllil:i
:1r
:lateriales
fisicos
y
sobre la
reita
numrica,
y
aprendiendo
a
Pmtri:
:tpresentaciones
equivalentes de fracciones y decimales.
"-
::urpo
que los estudiantes
llegan
a
comprender
los nmeros y
rJ$Irlft,*
r:lresentarlos,
adquieren
una fundamentacin para
entender las
'llw;H'.l:::s
entre
ellos. En los niveles 3-5, pueden aprender
a comparar
'$ruil:x:':s,.mediante
referencias
familiarei, ,o o i/2.Y, a
medida
que
'nw
im-=olla
su
sentido
numrico,
deberan
ser
capaces de razonar
iffi1,r-::rrineros;
por
ejemplo, explicar
qlu'e
L/2
+
3/8
tiene
que
ser
frmin:a:es
para
las
Matemiicas
escolares
t'
)
i,'
i
i.
:
. ;(
i,i ,,:,'
::,,t
::)'.'1.
)i)
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'j';i,iii,)
i:
:.':
t
,,,,
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''
'
,.,
:
i,.),:-i:
::,
'
35
-
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3/38
71'
L;
?'t,: i'
;
:
i.i
f
i.l
:
'i i
'i'
t :-" i i,t
i.
. I
i'
|
i
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ir-
'-
:"
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i
{i
i . i:
i"i
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i'
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i
i
.
,r i; ::i
i:
'
i.
;
7'
i t: :i. ii e;'
::
: ; i:
;:
::,
36
menos
que
1,
porqe
uno de
los sumandos es
1/2 y
el
otro es
menor
qc'e
l/2.
En
los
niveles
6-8, es importante
que
sepan
desenvolverse
bi.n
.on
fracciones
equivalentes,
decimales
y
porcentajes,
y de
ordenar
y
comparar
nmeros
racionales
utilizando
diversas
esrategias.
Al
pasar
de los
naturales
a
los
enteros,
las innriciones
de
los alumnos
de
los
niveles medios sobre
orden
y magnitud sern
ms
fiables,
y tendrn
una
visin
de
cmo
funcionan
estos conjuntos
de
nmeros.
En la
etapa
9-12,
se
pueden
usar
variables
y funciones
para
representar
relaciones
.ntr"
.oo;.trrtos
de nmeros
y
para
ver
las
propiedades
de
las
distintas
clases
de
nmeros.
Aunque
en
los
niveles
superiores
se
da ms
importancia
a
oras
reas
que
a
la de
nmeros,
los alumnos
deberan
ver los
9onjunt91
numricos
desde
una
perspecriva
ms
global.
Deberan
aprender
las
diferencias
entre
ellos
y qu
propiedades
se
conservan
y
cules
no
al
pasar de
un
conjunto
a
otro.
Comprender
los significados
de
las
operaciones
y
cmo
se
relacionan
unas con
otras
Durante
los
primeros
niveles,
los estudiantes
deberan
enfrentarse
con
una
variedad
amplia
de
significados
para
la
adicin y
la
sustraccin
de
nmeros
naflrrales.
Investigadores
y
profesores
han llegado
a saber
cmo
entienden
los
nios las
operaciones,
a travs
de
cmo abordan
sencillos
problemas
aritrnticos como
el que sigue:
Bob
compr
2
galletas.
Ahora tiene 5
galletas.
Cuntas
galletas
tena
antes?
Para
resolver
este problema, los
nios podran
usar
la
adicin
y
con-
tar
a
partir de
2,
llevando
la cuenta
con los
dedos, hasta llegar
a
5.
O
bien,leconocer
en
este problema
una
situacin
sustractiva
y
utilizar
el
hecho de
que
5
-2
=
3.
Explorar
estrategias
de pensamiento como
stas
o
darse
cuenta
de que 7
+
8 es
lo
mismo que 7
+
7
+
I,
ayudar
a_
los alumnos
a
comprender ei significado
de
las
operaciones.
Estas
exploraciones
ay,rdan
tambin
al
profesorado
a
averiguar
lo
que
pien-
san
sus
alumnos.
La
multiplicacin y
la divisin
pueden empez
r
^
tener
sentido
para los nios de la etapa
Pre-K-Z,
al resolver
problemas
que surjan
de su
entorno; por ejemplo, cmo
repartir
por
igual
una
bolsa de
pasas entre cuatro personas.
En los
niveles
3-5, la
enseanza
debera
orientarse
a
ayudar
a
desarro-
llar
el significado
de
la multiplicacin
y de
la divisin con
nmeros natu-
rales. Al crear
y tabajar
con
representaciones
(diagramas
u
objetos
con-
cretos,
por
ejemplo)
de situaciones
de
multiplicar y
de
dividir,
los
estu-
diantes
pueden
ilegar
a
dar
sentido
a las relaciones
entre
las
operaciones.
Deberan
ser
capaces de
decidir
si deben sumar,
restar,
multiplicar
o divi-
dil para resolver
un problema determinado.
Para hacerlo, tienen
que
darse
cuenta
de
que una misma operacin
puede
apcarse
a
problemas
que parecen totlmente diferentes,
saber
cmo
se
relacionan
unas
opera-
ciones
con otras,
y tener una
idea de qu
dase
de
resulado deben
esperar-
En
los niveles
6-8,
debera
darse
la
mayor
importancia
a
las
opera-
ciones con
nmeros
racionales. Las
intuiciones
de los eshrdiantes
sobre
las
operaciones,
deben
adaptarse
cuando
trabajan
con
una
estmctura
numrica
ampliad
(Graeber
y
Campbell
1993).
Por
ejempio, al
multi-
plicar
un
nmero
natural
por
una
fraccin
comprendida
entre 0 y 1
Principios
y
Estndares
para
la Educacin
Matemtica
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
4/38
dp.e.,
8
x I/2),
el
resultado
es menor
que
dicho nmero natural.
Esto
nuadice
la
experiencia
previa
(con
nmeros
naturales) de los
alum-
ms,
segn
la
cual,
al multiplicar resulta
siempre un
nmero
mayor.
IJn
centro
de atencin
principal
en
estos
Estndares
es trabajar
con
es
en
los niveles medios.
Los
alumnos deberan
llegar
a ser
ntes en
la
generacin
de razones
numricas para hacer compa-
en
situaciones
que
se
refieran
a parejas
de nmeros, como
en
ente
problema:
Si
con
tres
paquetes de cacao pueden hacerse quince
tazas
de chocolate
cliente,
cuntos
paquetes
se
necesitan
para hacer
sesenta
tazas?
Ea
los
niveles
medios, los alumnos necesitan tambin aprender a
con
nmeros
enteros. En la etapa
9-12,
cuando aprendan a
inar
aritrnticamente
vectores
y
maffices, experimentarn con
clases
de
conjuntos
en los que
aparecen nmeros
con propiedades
nes nuevos.
lar
con
fluidez
y
hacer
estimaciones
razonables
ftsarollar
fluidez requiere equilibrio
)'conexin
entre
la
compren-
aly la competencia
de clculo. Por
un
lado,
los
mtoclos
de
que
se
practican
repetidmente sin comprenderlos, con frecuen-
olvidan o
se
recuerdan incorrectamente
(iliebert
1999;Kam1i,
y
Lingston
1993; Hiebert y
Lindquist
1990). Por otro,
compren-
no tener la
fluidez necesaria
para
calcular, puede
inhibir
el
pro-
resolucin
de
problemas
(Thornton
1990).
A
medida
que los
de
los
niveles
Pre-K-2
van
comprendiendo
el significado
de
los
nahrrales
y
de las
operaciones
de
adicin
y
sustraccin, la
ense-
debera
centrarse
sobre estrategias
de
clculo
que
desarrollen
la
y Ia
fludez. Los
alumnos generarn
una
serie de estrategias
y
tiles
para
resolver
problemas
de
clculo,
que
deberan
irse
y
discutirse. Al
final
del nivel 2,
deberan conocer
las
combi-
bsicas
de adicin y
sustraccin,
y
tener
destreza
al
sumar
y
res-
de dos
cifias.
En
los
niveles
3-5,
segn
van
desarrollando
las
iones
numricas
bsicas respecto
a
la
multiplicacin
y la
divi-
an
tambin
que
desarroliar
algoritrnos
fiables para
resolver
arinticos
con eficacia
y
seguridad.
Estos
mtodos
deberan
a nmeros
mayores,
y
practicarse
para
adquirir
soltura.
igadores
y
profesores
con experiencia
coinciden
en que cuan-
ima
a
los
alumnos
de los
niveles
elementales
a
desarrollar,
,
explicar
y
criticar
las estrategias de
resolucin
de problemas
,
tiene
lugar un
nmero
importante
de
tipos
de aprendizaje
pq
Hiebert
[1999];
Kamii,
Lewis
y
Livingston
[1993];
Hiebert
et
).
Debe
discutirse la
eficacia de
las
diversas
estrategias.
E
te
respecto
a
la generalizacin:
Funcionar
esto con
nmeros
nquiera
o
slo con los dos
que intervienen
en este
caso?
Y
la expe-
e
ensea
que
en las
clases
centradas
en el
desarrollo
y discusin
e$rategias,
surgen naruralmente
varios
algoritrnos
"estndar"
o
ser
introducidos
oportunamente
por
el
profesor. El hecho
es
alumnos
han
de llegar
a
tener
solrura con los clculos
aritmti-
mtodos
eficaces
y
precisos
que se apoyen
en
la comprensin
de
y las
operaciones.
Los algoritrnos
"estndar"
del
clculo
son
un
medio
para
alcanzar
esta
fluidez.
t.-
i:r
::,:
ii':
::
i, 1':i'
;t'
i
"
{.
'-}iilii'i':i'i
':i.i'
: :t't':
t't:
i,''i.i':
I
l
para
las
Matemticas
escolares
37
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
5/38
38
Principios
y
Estndares para
la
Educacin
Matemtic
El
desarrollo de
los conceptos
de
nmero
racional es un
obietivo
fundamental
en
la
etapa
3-5, lo que
debera conducir
a'intodos infor
males
de clculo con
fracciones.
For
ejemplo,
un
problema
ral como
calcular
1/4
+ l/2
se resolvera
mentalmenre
con
facilidad, porque
los
alumnos
pueden
imaginar
I/2
y l/4,
o
pueden utizar
estategias
de
descomposicin,
tal
como
L/4
+
L/2
=
I/4
+
(L/4 +
l/4).
En
estos
nive
les,
habra
que desarrollar
y
aplicar
los
mtodos de
clculo con
decim
les,
y
en
la etapa 6-8
los
estudiantes
deberan
adquirir
solnrra
operand
con nmeros
racionales,
tanto.en
forma
de fraccin
como
en
forma
decimal.
Cuando, en
una evaluacin
nacional,
se
pidi
estimar
l2/I3
7
/8,
s6lo
un
24Yo
de alumnos
de
13 aos, dijeron
que la respuesta
era
prxima
a 2
(Carpenter
et al. 1981).
Lamayora
contest
que
estaba
cerca
de
1,
de
19
o de
2lr
lo que refleja
los errores
comunes
en
la
sum
de fracciones
y
sugiere
una
falta
de
comprensin
de la
operacin reali
zada.
Si los estudiantes
entienden
la adicin
de
fracciones
y
han
desa-
rrollado
el
sentido
numrico,
esros errores no
tienen
por
qu
darse.
A
medida
que desarrollan
la
comprensin
del
significado
y
la represenra
cin
de
los nmeros
enteros, deberan
tambin desarrollar
mtodos
para
calcular con
ellos.
En
la ltima
etap\.9-12,
deberan
operar con
fluidez
con
nmeros
reales,
y tener cierta
competencia
bsica
con
vec
tores
y matrices
para resolver
problemas, utilizando
la
tecnologra
cua
do
sea
apropiado.
Parte
de la capacidad
de calcular
con fluidez
radica
en
decidir
inte
gentemente
qu
herramientas
usar
y cundo
usarlas.
Los
alumnos
deberan
tener
experiencias
que
les
ayuden
a
aprender
a elegir
entre
'
clculo
mental,
estrategias
de lpiz
y
papel,
estimacin
y
uso
de
la cal
culadora.
El contexto,
ia pregunta
y
los
nmeros
que intervengan
desempean
papeles
importantes
en esas
decisiones.
Permiten
los
nmeros
un
clculo
mental?
Pide
el conrexto
una
estimacin?
El
problema requiere
clculos repetidos
y
tediosos?
Los
alumnos debera
considerar
los
contextos
de los
problemas
para
determinar
si
es necesa
rio
un resultado
estimado
o exacto, usar
provechosamente
su
sentido
numrico
y
ser
capaces
de dar
racionalidad
a
sus
decisiones.
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
6/38
e
Etapa
En
la
etapa
Pre-K-2,
todos
los
estudiantes
deberan:
Los
programas
de enseanza
de
todas
lns
etaPa.s
deberan
capacitnr
n
todos
los
esnt'diantes
Para:
.'..
:l
ii
T' T
'a
/r.-\ ir^.
1*\,
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
7/38
ecs
y Operacicrles
rraeptos
y
destrezas
relativos
a los
nmeros
y las
operaciones
srrima
imporancia
en
esta
primera
etapa
de
la
enseanza.
*e
perodo,
el pequeo
nio
quq
levania
dos dedos
para
e la
pregunta
"cuntos
son
dos?'i,
crece
y
llesa
a
,"rtloo
a
la
pregunta
"cuntos
son
dos?',,
crece
y
llega
a
resolver,
en
el
roblemas
complicados,
urilizando
estrategias
de
clculo
cn
de
vaias
cifras.
En
estos
aos,
la
co-prensin
de
los
nmeros
se
lsignificativamente.
Los
nios
liegan
a
la
escuela
con
un
rico
y
mocimiento
informal
del
nmero
@arody
1992;
Fuson
lggg;
f99+)
Durante
los
primeros
aos,
los
profesores
tienen
que
einensificar
el
sentido
numrico,
avanzando
desde
las
iniciales
dcas
de contar,
a
conocimientos
ms
complejos
sobre
el
loo
nmeros,
las
relaciones
numricas,
los prones,
las
y
el
valor
posicional.
con
nmeros
debera conectarse
a
su trabajo con
otros
ticos.
Por
ejemplo,
la
fluidez
en el clculo
(tener
y
utili-
precisos
y
eficaces
para
calcular)
puede facilitar
la investi-
datos
y
ser facilitada
por
sta; un
conocimiento
de patro-
el
desarrollo
de
contar
a
saltos
y
el
pensamiento
algebrai-
iencias
con
figuras,
con
el
espacio
y
con los nmeros,
desarrollo
de la
habilidad
para
estimar
canridades
y
ramaos.
U"
qo.
trabajan
con nmeros,
deberan
desarrollar
estrategias
'recisas
que
comprendan,
tanto
si
estn aprendiendo
las
bsicas
de adicin
y
sustraccin,
como si estn
calculan-
de
varias
cifras.
Deberan
explorar
nmeros del
orden
lo
que los
ms
pequeos
son capaces
de aprender
sobre
C-on
frecuencia,
los
nios
son
sorprendentemente
expertos
encuentran
con
nmeros,
incluso grandes,
en contextos
de
Por
Ento,
los
profesores
deberan
animarlos
regularmente
tren
y
profundicen
su
conocimiento
de los nmeros
y
resolviendo
problemas
interesantes
y
contextualizados
las
representaciones
y
estrategias
que emplean.
los
nmeros,
las
formas
de representarlos,
entre ellos
y los conjuntos
numricos
es
Ia
base
de
los
primeros
trabajos
con nmeros.
Los
nios
se
mnundo
cualquier
cosa,
desde
las
goiosinas
que comen
a los
s
que
saltan
y,
a
navs
de
sus
repetidas
experiencias
con
el
proce-
aprenden
muchos
conceptos
numricos
fundamentales.
mciar
nombres
de
nmeros
con
pequeas
colecciones
de
obje-
te, aprender
a
contar
y llevar
la
cuenta
de
objetos
en
.
Pueden
establecer
correspondencias
uno
a
uno,
al
F"ty
sealar
objetos, mientras
dicen
los
nombres
de
los
nme-
aprender
que contar
objetos
en diferente orden
no altera
P,
ypoeden
darse
cuenta de
que
el
prximo nmero
en la
de
contar
es
uno
ms que
el
que
".rb*
de
nombrar.
Y
tambin,
ftimo
nmero
nombradt
."pr"r"rrt"
el
ltimo
objeto
y
el
nmero
ns,
y
resolver
problemas
con
particular
nfasis
en
los
de
dos
cifras.
Aunque hay
que
tener
buen
juicio
sobre
con
qu
mrhajar
a
ciertas
edades,
los
profesores
deberan
cuidar
el
no
para
la
Etapa
Pre-K-2:
Nmeros y
Operaciones
83
Los
pnofeso?"es
lxo
deberan
srbestirnar"
la
qr, .e
pr,Lederx
6,pr.ewder, .as
rrcls
pequeos.
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
8/38
La
fiexi{tiliCad
p$T.il
7.zo?e6,r
sobre
rcrnaeros...
es ?,fi,t,
iradicedor.
de
la
calided
de su.
sentido
,.
't'z?,t???,e7'xc0.
B4
total de
objetos
de la coleccin.
Frecuenremenre,
resuelven
problenras
ds
suma
y resta contando
objetos
concretos,
y muchos
nios
inventan
esta_
tegias
de resolucin
de
problemas
basadas
en las
estrategias
para
contar
(Ginsburg,
Klein y
Starkey 1998;
Siegler
1996).
Durante
los primeros
aos,los
profesores
deberan
dar
regularmente
opornrnidades
a
sus
alumnos para desarrollaq
usar
y
practicar
el
conteo
a
medida
que cuantifican
colecciones
de
objetos,
miden
los
atributos
de
las
figuras,
identifican
lugares
y
resuelven
problemas.
Los
profesores
de
Prekindergarten
y
Kindergarten,
por ejempio,
deberan
udliz1.
de
modo
natural
las
opornrnidades
que se
presenten
para
ayudar
a
los
alumnos
a
desarrollar
conceptos numricos,
proponindoles
cuestiones
comol
crrntos
lpices se necesitan
en esta
mesa?,
contamos
cuntos
pasos
hay
hasu el patio
de
recreo?,
quin
es
el
rercero
en la
fila?
Los alumnos
usan
frecuentemente
diferentes
enfoques
segn
traten
con
nmeros
ms
pequeos
o
con
nmeros mayores.
Pueden
mirar
un
pequeo
nmero
de
objetos
(seis
o
menos)
y decir
"cuantos
hay'',
pero si
son
diez
o
doce,
pueden necesitar contarlos
para saber
el
total. La
habilidad
para recono-
cer
de,un vistazo pequeos
grrpos
de
objetos
dentro
de
un
g.opo
mayo
contribuye
al desarrollo
de la
visualizacin
de conjuntos
de objetos
como
una
estrategia
p^ra
estimar
cantidades.
En
estos
primeros
aos,
los
nios
desarrollan
la capacidad
para
tra-
tar mentalmente
con
nmeros,
y para
pensar
^cerca
de
ellos
sin tener
un modelo
fisico
(steffe
y
cobb
1988).
Algunos
la desarrollan
anres
de
entrar
a
la escuela;
otros
la adquieren
durante
los primeros
aos
de
escolaridad.
Supngase
esta
situacin
en
una
clase
del
nivel
1:
De un
nmero
conocido
de
bloques,
por
ejemplo,
siete,
se
ha escondido
una
parte'
por
ejemplo,
tres.
Se pregunta
a
los
nios
cuntos
bloques
se han
escondido.
Algunos
observarn
que
hay cuatro
bloques
a
la
vista
y,
entonces,
contando
desde
cuatro
hasta
siete, contestarn
que
Ios blo-
ques
escondidos
son tres.
Otros,
no
sern
capaces
de
contestar
correc-
tamente
sin tener
a
la
vista
todos
los
bloques;
necesitan
dejar
al
descu-
bierto
los
escondidos
y, sealndolos
o
tocndolos,
contarios.
cuando
los esnrdiantes
trabajan
con
nmeros,
desarrollan
gradual-
mente
Ia
flexibilidad
para
razona
sobre
ellos,
1o
que
constiruye
un
indicador
de
la calidad
de
su
sentido
numrico.
por
ejempto,
pueden
modelizar
aeinticinco
con
granos
yvainas
o con
dos moneias
de
10
cen-
tawos
de
drar
y
una
de
5 centavos
de
dlar;
o pueden
decir
que
es dos
dieces
y cinco,nos,
cinco
ms
que
veinte,
que
est
a la
mita
entre
veinte
y
treinta,
etc.
El
sentido
numrico
se desarrolla
cuando
los
estu-
diantes
comprenden
el tamao de los nmeros; piensan sobre
ellos,
y
los
representan
de diferentes
maneras;
utilizan
nmeros
como referen-
tes
y desarrollan
percepciones
acertadas
sobre
los
efectos
de
las opera-
ciones
con
nmeros (sowder
rggz)-
Estos
jvenes
alumnos
prreden
usar
el
sentido
numrico
para
razonar
de
manera
compleja
sobre
los
nmeros.
Por
ejemplo,
estimar
el
nmero
de
cubos
que
pueden
sosre-
ner
en una
mano,
tomando
como
referencia
los
que
puede
sostener
su
profesor.
o
bien,
si se les
pregunta
si cuatro
ms
tres
es
ms
o
menos
que diez,
pueden
darse
cuenta
de
que
la
suma
es menor
que diez,
ya
que ambos
nmeros
son menores
que cinco,
I
cinco
ms
cinco
da
diez.
Los
modelos
concretos
pueden
arudar
en la
representacin
de
nme-
r9s
y en
el
desarrolio
del
sentido
numrico;
pueden
tambin
ser de
ucili-
dad
para
dar
sentido
al uso
de
smbolos
escritos
y en
la construccin
de
los
conceptos
referentes
al valor
posicional.
Pero
usar
materiales,
especial-
Principios
y
Estndares para
la
Educacin
Matemtica
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
9/38
_onre
de
forma
rutinaria,
no
asegufa
la
comprensin.
Los profesores
rb
ratar
de
descubrir
lo
que
piensan
y
cmo
razonan sus
alumnos
;;;
estn
trabaiando
con
materiales
concretos,
meante
preguntas
ffird"r.
De
1-ta
manera'
Pueden
controlar
srr
conceptos
errneos,
I*
".,rrro considerar
las
2
decenas
y 3
unidades
de
la
figura 4.1c simple-
r..o*o
cinco
objetos.
Deberan
tambin
proponer
tareas
interesn-
il-qu"
hagan
pensar
v:"i""*,'
:Titi1T:lt^:""1
facilita
su
compren-
fi^t"i"r""ri-eros
y
de
las
relaciones
ene
ellos.
E
la
n
.-,o
II
LJ
-_,=
:lt
L_
f,u-,
uu'uu
u
n
(a)
23
unidades
n
n
n
(b)
(c)
1
decenay
13
unidades
2
decenasy
3
unidades
Es
absolutamente
frndamenal
que
los
alurnnos
desarrollen
una
com-
nmrsin
slida
de
los
conceptos
de
sistema
decimal
de
numeracin
y
de
5ffi;:ffi;,
;;;;iL*.,4
2. Los
nios
necesitan
muchas
erpe-
nnsiasdocentesparadesarrollarsucomprensindelsistema'incluyendo
oLno
se
escriben
los
nmeros'
Deberan
comprender'
pongamos'
por
caso'
qnlos
mltiplos
d".10:;;;
d';;;t":
d
'"t"
1p'''
38'
3e'40'47)v
G
*10"
es
una
u-o"
;;;;il;;""
ja
sistema
decimal' Deberan
k:H:
i;^i;;
;
;'
c
m
a
puede
rePresentar
una'nidad
ni
ca
W
.r)
y,
i
r^
u
ri
diez
unidacl"-i
::p"'3-d3
(
1
9
T?']:I
3T.
::ti:'3"::.'
l-
H'f;i?.t;J'iiJ""1ffi
#bff
i;t-if
wr'""'r"vrqg
j'1*odemateria-
hconcretos
puede
t";;;t"
"pttd"t
"
agrupary:tP'".-,pot
decenas'
h
ejempio,
p*r"
""pr*
i23"
-o
23
uns
(unid-ades)'
1
decena
y
13
re
o 2
decenas
y
I
"t"t
t".t
nS'
a'fl'
Claro
que
los
estudiantes
deberan
mbi;
"Joerti,
qoe
las
formas
t
ot-
materiales
t:i::-"^t-t:,1::?
Tf"
lErttr
un nmero
difiere
del
empleo
de
la
notacin
convenclonal'
rur
{anplo,cuandor."r.}l-i-""lt"t"1.ryecorrespond:*":1t::::T"u;
.{.J
ar
noa't
er
i
ale
s,,
esp
eciahroente
de
forrua
rettin,et'ifr1'txo
segt't"tr6'
cornpr"ercsin.
tHHf
ffh:*:ffi;;i'
i"q"i"'e"
del
que
representa
las
*nidades'
l"t.t.;;;;;o, **io
,"
utilizan
bloques
de
base
diez
o
cubos conecta-
tq
la
colocacin
de
los
bloques
no
afecta
al
valor'
a
tecnologa po"a"
"yoa-"r
al
desarrollo
del
sentido
numrico'
espe-
hente
a arumnos.."ir"."ries
especiares.
por
ejemplo,los
alumnos
[F
no
se
sienten
cmodos
interactuando
con
$]s
compaeros
o
que
no
mfisicamente
""p"..i1"
opr"r",t*
nmeros
mediante
los
smbolos
mrespondientes,
pueden
oaili"",
programas
de
ordenador'
Ei
ordenador
mcia
simultrr."-.rrl-i"r
;;";r
d"e
lo,
estudiantes
con
los
smbolos'
f,,aando
se
cambia
b;d;*in
Jel
btoqoe,
el
nrimero
exhibido
cambia
'rorrticamente.
Como
con
los
t"bo'
co"ctados'
los
alumnos
p"+"1
'
ccionar
err rrnid"desilbif;t
base
diez
o
formar
decenas
usando
el
@ador.
Los
conceptos
sobre
valor posicional
pueden
tratarse
y
consoli-
d**;;;;;;d;l*plo,
p"eden
observar
los
valores
que
apa-
Fig.
a.1.
Diferentes
formas
de
representar
23'
Egndares
para
la
Etapa
Pre-K-2:
Nmeros
y
Operaciones
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
10/38
Las
alu.rronos
tarnbist,
desart'ollan la,
corrrprer?sin
del
a rlor
posicional
a traus
de les
estrntegias
que
inaentsn
pota,
cnlc'ular'.
86
recen
en
la
pantalla
y
centrarse en los
dgitos
que cambian. Sumando
repe-
ndamente
una
unidad,
los alumnos pueden
ver
que la
cifia
de las
ruridad-es
cambia
cadavez,
pero
la
de las decenas
lo hace con
menos frecuencia.
Mantener
conversaciones
en clase sobre
tales
actividades y
Patrones,
con-
tribuye
a que
los nios
fijen
la
atencin sobre
ideas
importantes
referenres
al
valor
posicional.
En
Ia
figura
4.2 se
muestra otro
ejemplo: una actividad
estimulante
para
alumnos
del
nivel
2 enla
que
la calculadora se utza-para
reforzar
el
concepto
de
valor
posicional.
En
ella, ios
alumnos
empiezan
en
unnmero,
y
$rman
o restan
hasta
alcazar
otro
nmero
propuesto.
Dado
que
no
se
les
limita
1o
que pueden aadir o
sustraer,
las
actividades
como
sta
permiten
diferentes
enfoques para
obtener
el nmero
deseado.
Pue-
den
decidir
si sumar
o
restar
unos o mltiplos
de
10,
o cmo
utilizar
varios
pasos
para
llegar
al
nmero objetivo.
Al compartir
y
discutir
las
diferentes
estrategias
empleadas
por
los
miembros
de
la
clase,
el profesor
ticne
oca-
sin
de destacar
las
formas en
que usan
los conceptos
de valor
posicional.
Obtn
un nuevo nmero
Los alumnos
desarrollan tambin la comprensin
del
valor
posicional
a
travs
de las estrategras
que
inventan
para calcular
@uson
et
al.
1997).
Por
consigiriente,
no es
necesario
esperar a que los
estudiantes
desarrollen
por
completo
las
estruchrras conceptuales relativas
al
valor
posicional,
para
darles oportunidades
de
resolver
problemas con nmeros
de dos
y
tres
cifras.
Cuando
estos
problemas
surgen
en
contextos interesantes,
descu-
bren con
frecuencia
formas
de resolverlos
que
incorporan
zu
conocimiento
del
valor posicional y profundizan en
1,
en
especial
si
se
les
da
oportuni-
dad
de discutir y explicar
las estrategias
y los enfoques empleados.
Los
profesores
enfatizan la idea de
valor
posicional
haciendo
preguntas
apro-
piadas, y
proponiendo
problemas
como,
por
ejemplo,
encontrar un
nme-
ro
que contenga diez unidades
ms,
o
menos,
que
un nmero
dado,
y
ayu-
dndoles
a contrastar
las
respuestas
con
este
nmero.
Como
resultado
de
las
experiencias regulares con problemas
que desarrollen las
nociones
de
valor posicional,
los
alumnos
del
nivel
2
podran
contar
hasa
las centenas'
descubrir
patrones
en el
sistema
de
numeracin
relativos
al valor posicio-
nal, componer
(formar
a travs
de combinaciones diferentes) y descompo-
ner
(separar
de maneras distintas)
nmeros
de
dos
y
tres cifras.
Adems
de
trabajar con nmeros naturales, los
nios
de
esta etapa
deberan tener tambin
alguna experiencia
con fracciones sencills
rela-
cionadas
con situaciones
de la da
diaria
y
con problemas tiles, empe-
Principios
y
Estndares para
la Educacin
Matemtica
Fi9.4.2.
Una actividad
con calculadora para
ay,rdar
a
comprender
el concepto de
valor
posicional. Qu
nmeros
sumaste o restaste?
IJsa
una
calculadora
Empieza con 78
No
pulses
onzr
Obtn
el
prximo
nmero:
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
11/38
n
las
fracciones
comunes
expresadas
en
el
lenguaje
que
traen
a
fr
r
"l
"*p1",
"mitad".
A
este
respett:,,
"t
rTtr,t1ryiT::::1:t
;d;".o.rro
de
cundo
las
cosas
estn
divididas
en
gryes
igua-
Irror."
en
la
notacin
de
fraccin.
Los
del
nivel2,
deberan
ser
:
identifi.ar
tres
partes
entre
'ntro
Partes
iguales'
o
tres
cuar-
p'p.i
a"li"do
qry
han
sido
**bf'1:::f
::f:1'::::"::T
il;;"J,
igurles
de
un
todo.
Aunque
las fracciones
no
un
tema
de
imporancia
principal
en
Ia etapa
Pre-K-2,
las
is
informales
q,'
se
rcngan
en
ella
arudarn
a
crear una
base
ryenzaje
ms
profi:ndo
en
niveles
Postenores'
er
los significados
de
las
operaciones
y
se
relacionan
unas
con
otras
que
los
alumnos
de
los
primeros
niveles
trabajan
con ta-
,s-
en
diversos
contextos,
tambin
construyen
la
compren-
e
ptr"ciones
numricas.
Los
contextos
apropiados
pueden
dc
r.ti"ld"des
iniciadas
por
los nios,
de
historias
inventadas
por
trory
de
otras muchas
formas.
Cuando
aqullos
explican
sus
frr
estos,
las
soluciones
y
los
procesos
mentales,
los profesores
una
informacin
ms
profunda
sobre
su
pensamiento'
(Una
ms general
de
estos
echos
y
ms
ejemplos
referentes
al
[o
de
la
comprensin
del
nmero
y
las operaciones'
se
encuen-
h seccin "Comunicacin"
de
este
captulo).
lc
generarse
una
interpretacin
de
la
adicitt
y
d9
la
sustraccin
lddo*ttos
resuelven
problemas
de
"juntar"
y
de separar,
directamente
Ia
situacin
o usando
estrategias
de
conteo
hacia
delante
o
hacia
atrs
(Carpenter y
Moser
1984)'
Se
L
omprensin
de
la
adicin
al resolver
problemas
del
tipo
d
sumando
que falta",
que
pueden
plantearse
a partir
de histo-
r."l"s.
En
cuanto
a
la sustraccin, pueden sugerirse
foterpretaciones
mediante
situaciones
en
las
que se
necesita
dos colecciones
o hacer
una
coleccin
con
un
tamao
determi-
F6o,
Ia
seccin
"Representacin"
de
este
mismo
captulo).
ldesarrollar
el
significado
de las
operaciones,
los
profesores
debe-ran
Algunos
problemas
pueden
aymdar
a ver
la relacin
ene
la
suma
oq
pot
.j.*plo,
"Carlos
tena
tres
galletas-
Mara
le
regal
algu-
y
ahora tiene ocho.
Cuntas
le
dio
Mara?".
Al
tiempo
que
3n
una
interpretacin
de
estas operaciones
con
nmeros
natu-
desarrollan
tambin
un repertorio
de
representaciones.
er'
al
r que
sus
alumnos
encuentren,
repetidamente,
situaciones
en
las
mismos
nmeros
aparezcan
en contextos
distintos.
Por
ejemplo,
reros
3,
4
y
7 pueden
aparecer
en situaciones
de
resolucin
de
pro-
representables
por 4
+3,3
+
4,7
-3
o7
-4.
Aunque
inicialmente
ras
de
pensar d
los
alumnos
respecto
a
la
resolucin
de
problemas
ser
completamente
diferentes,
los
profesores
deberan
ayudarles
a
cnenta
de que resolver
una
clase
de
problemas
tiene
relacin
con
erlos
de
otra
clase.
Ver
la
relacin
inversa
entre
la
suma
y la resta
permitirles
ser
reflexivos
al
usar estrategias
para
resolver
problemas.
**pio,
supngase
que
un
nio
resuelve
el problema
27
+
A
=
36
hrdo
de
27-y
cntarro
hacia
delante
hasa
3,
mientras
va
llevando
Ia
del
nmero
de
veces
(9)
que
dice
un nmero.
Despus,
si se
le
pide
para
la Etapa
Pre-K-2:
Nmeros
y
Operaciones
B7
Los
prafesores
deb
er"atz
6y'Lrdr
a
sus
d.arse cu,entg.
v'es\h)er
u,??,a.
a.h,rrcrtos
a.
de
rpte
clase
de
prablenaas
tiene
relacin
cT?x
?"esThJer
los
de
otta clase.
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
12/38
IlJo
todos
los
alurnrl'os
roecesitan
el
neisnoo
tiempo
BB
Principios
y
Estndares
para
la
Educacin
Matem
que
resuelva
3
-
9
=
[
,
puede-
que
rnmediatamente
diga
"77"
'Y
si se
te
il.d;;Jto.t'";"bii"pod'i'regon$er:"Plruue-i-o-,c.1t::"'..^d:"
hacer."
Este
estudtante
entiende
qte27-y
9
son
nmeros
por
$
rilsmos'
;;il;;;d';;-;;'
q:'."
i.o-pl"t""
el
todo'
36'
rambin
entiende
oue
la
sustracoon
ttiJ"p"*in
invrsa
de
la
adicin
(Steffe
y
Cobb
T;.
; ";;d;;,
ile
no
utitice
la
retacin
ene
ambas
operaciones,
podra
tratar
de
,",oi"-""J
problema
contando hacia
atrs 9
unidades
desde
3,
que
es
''*"t'o#gia
mucho
ms
diffcil
de
aplicar
correctamenE'
-""e*f"
.)
q*
"dq;;;;rs
significados
de
ia
adicin
y de
ia
sustrec-
cin
con
nmeros;;t;ltt
po'"t
tambin
abordar
propiedades
como
la
conmuta#Jrd,
'asociatividad
de
la
adicin'
Aunque
algu-
nos
descubr"n
y
"iii"""
ptopi"d"des
operadvas
espontneamente'
los
Drofesores
pueden
;Ji;
^'
l^
lo"
media"te
-
s"
di
scusi
n
""
t]it-::
I
:t
:i4,
;'.-;;
i'"'olt"
ms
fcil
calculando
6
+
4
+ 9'
que
permrte
sumar
6
y
4,
que
";
10'
t
10
y
9'
que
fa
19'
Los
nios
observan
que
aadir
y
resmr
"f
*'*o
"'i*"to
eU"i{-e-a:::::
9:l:,:;l"Sll?nrr,
xtT'iJil'',:
;b'i
=".
.;
e
d3n
cuenta
de
que
las
cantidades
;;i"";,
po"d""
'o'tl*i" '
8
+
7
=
8
+
2
+
5
porque
J
=2
+ 5'
Thmbin
pueden
"tt"
q""
"adir
el
mismo
nmro
a
los
trminos
de
una
susrfaccin
no
"la"
el
resultado;
por
ejemplo:
50;
10
=
40
y tam-
bin
150
-
110
=
40.
El
uso
de
estas
propiead"i
pone
de
manifiesto
;;'.t;
d"r"rro11t'dose
el
sentido
numZ'ico'
Sin
embargo'
no
todos
los
nios
necesltan
e[
mismo
tiempo
P-ara
asimilar
estas
propiedades;
lo
;";i#";;
,f*"a""
en
un
ao'
les
lleva
dos
o
ms
a
otros'
Durante
.t
p",,oo
Pre-K-2,
ios
estudiantes
podran
tambin
ini-
ciarse
en
los
.orr."piJ,
a"
moldp[.".in
y
disin.
Tiatando
situacio-
nes
que
se
refieran
;"g*is'llt'.dt"t'f
de
una
coleccin'
pueden
asociar
la
multiplic"tiO"^to"
ia
adicin
repetida
d:
ryqo.t.de
igual
tamao.
D"
^"ot'";;;;;;'
pueden
investigar
ladivisin
mediante
la
distribucin
de.b;;;;;;;"1'"".p"'tes
iguales'
a
travs de
problemas
que
entraerr.rr"rr,o,'
Las
estrategias
osadl
en
tales
situaciones
(la
suma
de
grupos
,g"ri;,
yi"p"rtiJir,
de
un
srupo
en
subgnrpos
igrra-
les),
llegan
a
asociarse
"'o"th'-tnte
con
tolsignificados
de
la
multi-
plicaci"n
y
de
la
divisin,
respectivamente'
Calcular
con
soltura
y hacer
estimaciones
razonables
Con
frecuencia,
los
nios
empiezan
a
calcular
conando
objetos;
no
obstante,los
profesor.r"U"tt
"iim"lo',
a
Io
largo
de
la
etapa
Pre-K-Z'
;"
p"il;
rlrolrr.,
muchos
problemas
de
clculo
mentalmente
o
con
il;;;p;i
D"b"r"r,
des"rrollar
estrategias
para
conocer
combinacio-
nes
bsicas
de
nmeros
(adicin
y
'o'o""ti"
"
p"t"t
de.
nmeros
de
u
solo
dgto)
que
se.ot"it'y*
reflexionando
y
to-p'""$ien$o
su
signif
cado.
La
fluidez
.on
i,
iin
y
la
sustraccin
de
combinaciones
bsicas
f-;rfu;;t
es
un
objetiv
o
a
al^n'^r
en
estos
aos'
Y
entendemos
por
";;;,;;;los
"stod"ntes
sean
capaces
de
realtzar
esras
operaciones
co
li"t"r"l
"
una
cifra,
ton efiti""tia
y
seguridad'
Para
ayr-rdarles
a
incre
mentarco.o-pr",t'iL"
y
dt't'""'
al'respecto'
los
profesores
deben
pro
ponerles
tareas
q"",;;'i
,r*:il=rttoll"i
las
ielaciones
entre
las
d
oneraciones;b)suscitento"t"'haciadelanteparalladicin'ycontar
ffi;,#;;;;;;"ccin
y
los
casos
de
sumando
desconocido.
---
s"
debe
tambin
estimular
a
ros
nios
para
que
compartan
sus
es
tegias de
clculo
.,t
'
"'tes
en
clase'
De
esta
manera pueden
des
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
13/38
lr
y
perfeccionar
estrategias
a mgdi_da
que
escuchan
las
descripcio-
d".o*p"R"ros
acerca
de
su modo
de pensar
sobre
las
combinacio-
de
nr'-eros.
Por
ejemplo,
una
alumna
podra
calcular
8
+
7
contan-
epartir
de
8: "...
9,
10, 1L,
L2,
t3,
14,
15-"
Pero,
durante
una
discu-
,
br"
este
problema,
puede
or
que
otro
alumno
emplea
su
cono-
ieto
del
10
y
procede
as:
8
y
2
hacet
10,
y
5 ms
son
15.
Aqulla
de
entonces
aplicar
esta
estrategia
ms tarde
para
calcular,
por
28
+
7,
ciendo
"28y2
son
30,
y
5
ms
son 35".
Lm
alumnos,
cuando
rezuelven
probiemas
en contextos
interesantes y
inulantes,
aprenden
combinaciones
bsicas
de nmeros
y
desarrollan
Ctasde
clcr:lo
que
tienen
sentido
para
ellos. A
travs
de
las
discu-
n
chse,
puederi
comparar
estas estateg"t
y
determinar
cules son
ciles
de
usar
y de
explicar.
En
algunos casos,
sus
estrategias
estarn
arca
de
los
algoritrnos
convencionales;
en otros'
sern
totalmente.
Muchas
veces,
los
enfoques
ideados
por
los
alumnos
se basa
profunda
comprensin
de
los nmeros
y
las operaciones
y' con
.i",
r.
usan
con
eficacia
y precisin.
La
figura 4.3
muestra
algunas
formas en que estudiantes
del
segundo
nivel calculaton?S
+
37.
dos
primeros
rePresentaron
ampliamente
su
pensamiento;
uno coII
bras
y el otro
con
palotes.
Ambos
demuestran
conocer
el significado
nmeros
que intervienen.
Los estudiantes
3
y 4 unbzaron
un
pro-
que
les
proporcion
una
respesta
acertada,
pero
el
pensamiento
nte
no
aparece
en
sus
informes.
Por
ltimo,
los
alumnos
5
y
6
un
error
comn:
tratan
los dgitos sin
considerar
su
valor
posicio-
Io
que
conduce
a
un resultado
no razonable.
+LL*t
t
?.5
Wlivo.,ao
se
Jwet'e..{cr
-i
:1J**J.=
c'
rc'-^-e'*-*c"
6
c,,.'.".^f[;:*
2s
+37
lz
qL4*G
s
&
f
gt%.
oo
c,
@./
-/'
(DO
@
o.g.-O
o
e
lJ
a2
.
L
'3+
j5s
esL
*t
y
2r
s
=
5+7
42
I
co7t,
Itnro
ol
Fne la-
5Lo''+'
J-
5+4e2
tz
2+3/,1il
+tstLltttt
l
I
,l
Sua
eLi
ueL?
jltn{ca
qlE
e$
-+
y
?^
bo
lo
?ue
enc(.rrLa_
deL
4.
t
4.e=6-?ag"
deQo
ei
6
T
6
Ym(
25
{-
3f.
53
5f
------J
=
25
-L2-l
b^
o,iof,.'
42 +
J-t4
5r--
e'VL*k
6.
Fig.4.3.
Las soluciones
de 25 + 37
de seis
alumnos.
eL*t
z
2s
z
+37
W&ffiuuu
para
la
Etapa
Pre-K-2:
Nmeros
y
Operaciones
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
14/38
D*rante
un
debate
en
clase,
otros
alumno-s-emplearon
esffategi*
d.
i
composicin
y
descomposicin
de
nmeros.
IJ_no-descompuso
2.;
il
-
La
inaestigacin
des,rxzestsa
que
f.as
estudiant
es
c arcft
an mts
e??
sas
pTopias
estrategias
de
clculo.
+3
+2
yresolvi
el
problema
as:37
+20
=
57,57
+
3
=
60y0
+2
=
2.
otro,
utilizando
con
flexibilidad
tales
tcnicas,
lo convir
en;
problema
ms
fcil,
procediendo
como
sigue:
separ
,rnidades
de
zs
y
las
agreg
a
37;
luego
sum
22
y
40
paobterier
2.
cuando
los
nios
trabajan
con
nmros
grandes,
sus
estrategias
de
clculo
juegar
un
imporante
papel
al
enrazlr
el
conocimiento
menos
fgrmal
con
el pensamiento
matemtico
ms
complejo.
La
investigacin
lemega
que
los
esrudiantes
confian
en
sus
pr.pi";
esrategias
de
clcu_
lo
(cobb
et
al.
1991).
Thles
descubrimie.rtor
otttribuyen
a
i
d.rrrrollo
matemtico
(Gravemeijer
1994;
steffe
lgg+).
por
otra
parre,los
alumno,
que
solan
inventar
estrategias
antes
de
aprender
los
algoritrnos
ordina_
rios
demuestran
un
mejor
conocimiento
de
ros
.orr""pio,
elativos
a
la
base
diez,
y-pueden
extenderlo
a
sit'aciones
nuevas,
como
hallar
cunto
nos
queda
de
4
dlares
si hemos
hecho
una
compra
de
l,g6
dlares
(carpenter
etal.1998,
p.
9),
De
esra
manera,
.rr"rrdo
los
alumnos
calcu-
lan
utilizando
estrategias
que
inventan
o
eligen
porque
son
significativas,
su
aprendizaje tiende
a
ser
ms
slido, rotr
p".",
"
,".ordi
y
apcar
sus
conocimientos.
Los
nios
con
minusvalai
especficas
de
,pi.rndir4.
py"d".l
descubrir
y
transferir
esrrategias,
si
se les
han
propo"rro
or"r,
bien
diseadas
y
apropiadas
para
su Jesarro[o
(Barooy
rgpgl
,
Los
profesores
pueden
contribuir
notablemente
a
qrr.lo,
,riRo,
adquieran
facilidad
de,clculo.
Si
les
permiten
trabajar
de
formas
que
tegan
sentido
para
ellos,
los
profesoies
pueden
haerse
una
idea
e
,
cmo
se
desarrolla
la
comprensin
de
los
aiumnos
y
les
permitir
orientarlos.
Para
hacer
esto
bien,
necesitan
llegar
a'famiiiarizarse
con
sus
distintas
formas
de.
pensar
respecto
a
los
nim.ros
y
de trabajar
con
ellos
para
resolver
problemas.
considrese
la
siguienr
rrrr""
hipot-
tica,
en
la
un profesor
propone
un
problerna
a
una
clase
de
2o
niver:
Tenemos
153
estudiantes
en
nuestra
escuela.
otra
escuela
que
est
en
la
misma
la
calle,
aene
273.
cuntos
esrudiantes
hay
en
las
io,
escuelas?
como
sera
de
esperar,
en
la
mayora
de las
crases
ros
nios
dan una
variedad
{e
respuesas
que ilustran
una
gama
de
conocimientos.
por
ejemplo,
Randy
qodg]iz1
el
problema
*r,
grarro,
que
la clase
ha
re'nido
con
anterioridad.
utiliza
racimos
d-,e
rrrinas
para
las
centenas,
vainas
para
las
decenas
y
granos
suerros.
Moderiza
r
nmeros,
pero
no
acierta
ai registrar
los resultados.
Irace
un
dibujo
y
da
nombie
a
las
partes:
tt3
racimos'r
r
r,12
decenas',
r,r6
granosr,
(n
i
+i.
n*
ffi
W
qfrnH6
ffi&ffiffi,#dffi
12
J,'*"
3
ra
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
15/38
,{na
suna
primeramente
las
centenas,
registrando
300
como
un
resultado
intermedio;
luego
aade las
decenas
y conserva
en
la
menroria
la
suma;
obtiene la suma de
las
unidades
y,
finalmente,
s6ra
todos
los
resultados
parciales y escribe
la
respuesta.
Su
regis-
o
por
escrito
se muestra
en la
figura 4.5.
Algunos
alumnos
emplean
el
algoritrno
convencional
acertadamente,
pro
offos
escrjben
3726
camo resultado,
lo
que demuestra
una
falta
-,k.o*pr.ttsin
que el profesor
ha de advertirles. Becky
calcula
mentalmente
y no
escribe nada excepto la respuesta y, cuando
se
pide
que
la
justifique,
dice:
"Bien,
2
centenas y 1
centena
son
3
cen-
rrnas;
5
decenas
y
5
decenas
son
10 decenas
u
otra
centena,
por
1o
anto,4
centenas.
H:ay todavta
2
decenas
que
sobran.
Tambin,
3
midades
y 3
rinidades, es decir,
.
fu
que
el resultado
es
426".
163477
3oo
1-l
Fig.4.5.
Un regisro
escrito del clculo
de
153
+
273, con
los resultados
parciales.
5Je
.er,-,
o;>
+
c*^^t
r^n
\ze*i.J**,
Es
necesaria
una
prctica
significativa
para desarrollar
fluidez
de cl-
en
las
combinaciones
de
nmeros
bsicos
y
al
utilizar estrategias
nmeros
de varias cifras.
El ejemplo anterior nos
ensea
que
los
pueden aprender sobre la
forma
de
comprensin
de
sus
y, al mismo tiempo, obtener
informacin
que
les permita
gra-
la
necesidad
de atencin
y trabajo
adicionales.
Si
se
quiere que
los
desarrollen
soltura en
el clculo,
tanto
mental como con materia-
rrnipulativos
o con lpizy papel, la prctica debe
ser
motivadora y
tica. Puede realizarse en el
contexto
de otras actividades;
por
:
juegos
que
requieran
clculos como parte
de
la tarea de ano-
k puntuaciones,
cuestiones
que
surjan de
la literatura infantil
hciones
en el
aula
o
actividades que
formen parte de
otras
explora-
hes
matemticas.
Debera
tener por propsito
el
desarrollo
de
estra-
Es
stecesariA
trtna
fo
de
pensamiento
y centrase
en
ellas y
en
el conocimiento
de
las
p
r
t cti ca s
i
gnifi
catiu
a
es
numricas,
ms
que en
ejercitar hechos aislados.
fs
responsabidad
de
los
profesores
llegar
a tener
una
perspectiva
de
p{r?ra
desan'ollar
la
piensan'sus
alumnos respecto a diversos
problemas,
animndoles a
lo
que
hacen
con los
nmeros
(Carpenter
et
al.
1989).
Thmbin
fluid,ez
de
clnlo.
que
decidir
con
qu nuevas tareas
estimularn a los alumnos y
les
irn
a
consnrrir
estrtegias eficaces, precisas
y que puedan
generali-
Las
discusiones
en clase y los trabajos
interesantes ayudan a los
nios
ir
directamente
sobre su
propio conocimiento
y
destrezas,
alavez
roporcionan
opornrnidades para inventar, practicar y desarrollar
ximientos
ms
profirndos.
Las explicaciones
de los alumnos acerca de
iones
de los
problemas propuestos,
permiten
a los profesores
eva-
eI
desarrollo
dellentido
numco.
Como
en el
ejemplo anterior,
pue-
rerse
distintos
niveles
de
complejidad
en
la
comprensin
de
las
rela-
nes
entre
nmeros
en las respuesas dadas
por
alumnos
del segundo
d
d
siguiente
problem a
1fi,g.
+.A.
Obsrvese
que todos los ahirnnos
el
procedimiento
de
contar
de
cinco
en
cinco
en sus soluciones.
H"y
q
alumnos
para
ir
al
circo.
Pueden llevarse
cinco
de
ellos
en
cada
oche.
Cuntos
coches se necesitan?
Is
estudiantes
pueden aprender
a
calcular
con precisin
y
eficacia
mvs
de
experimentar
regularmente
con
procedimientos significati-
Ellos
se
benefician
de
l
ense"rrr"
qo.
.ombina
la ftuidei con
los
tos
y
la
comprensin
de los conceptos
(Ginsburg,
Klein
y
para
la
Etapa
Pre-K-2:
Nmeros
y
Operaciones
91
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
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starkey
1998;
Hieb
ert
1999)-
Esro
es
cierro
para
todos
los
arumnos,
in-cluyendo
aqullos
que
denen
rr...ri]d.,
educarivas
especiares.
Muchos
nios
con
dihcurtades
r"pr.rlrq"il;;"i#er,
si
reci_
ben'na
instruccin
de
calidad,
.";;;;;r;rir;;;;#ir.
lrr
rr.r_
enciones
educativas
especiares
p"r"
l,
qo.
lrr
rr"..r-it
-rr]1.'..r.o*
frecuentemente
en
h
aquisiciol
.l1"ro.r"r,
en
Iugar
de
ofrecer una
:li::11"_1
equilibrada
y
gtobat,
que
aproveche
t"s
fr"itf;J"",
de los
nrnos
para
compensar
sns
pnntoJ
dbir.r
y proporcionar
meiores
resul-
tados
a
larso plazo (Baroov
1eloj.
d"-*a;;iffi;:
ri'."*."o,r,
roblemas.que
implican
crculos
i..**
t;;;;;;,
i.i.
i"a.rr.-
es
que
utilicen
la
calcuradora,
fui"
ir.i"r"
a
los
alumnos
ms
lentos
calculando,
no
se
les.privar
de
d.-t;;;r*
prr,,.r"1"*
irobr"*r,
atem
ticos
compr
ej
os,
desarrorl^ar
la
comprensin
de
o tros'aspectos
numricos
y profundizar
en
ella.
Fig.4.6.
.
Las
estrategias
de
clculo
de
los
alumnos
muesffan
diferentes
niveles
de
complejidad.
Principios
y
Estndares
para
la
Educacin
Matemilica
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
17/38
N-mers
y
peracaomes
#ffire
[e
Etapa
Los programas
d.e
enseanza
de
todas
las
eta.pas
deberan
capacita.r
a
todos
los
estudiantes
para:
ffixpffim-smtrvmm
En
la
etapa
3-5,
todos
los
estudiantes
deberan:
Comprender
los
nmeros,
las
for-
ms
de
representarlos,
las
relacio-
nes
entre
ellos
y
los
conjuntos
numricos
'
comprender
la
estructura
del
valor posicional
en
el
sistema
decimal
de
numeracin,
y
ser
capaces
de
representar
y
comparar
nmeros
naturales
y
decimales;
'
reconocer
representaciones.equivalentes
del
mismo
nmero,
y generarlas
mediante
la
composicin
y
descomposicin
de
nmeros;
'
desarrollar
la
comprensin
de
las
fracciones
como
pades
de
la
unidad
'
entera'
cgTg partes
de.una
coreccin,
como puntos
en
ra
recta
numrica
y
como
divisiones
de
nmeros
naturales;
'
utilizar
modelos,
referencias
y
formas
equivalentes
para
juzgar
er
tamao
de
una
fraccin;
'
reconocer
y generar
formas
equivalentes
de
las
fracciones,
decimales
y
porcentajes
ms
comunes;
'
explorar nmeros menores
que 0,
ampriando la
recta
numrica y
a
travs
de
aplicaciones
familiares;
'
describir
las
clases
de
nmeros
segn
caractersticas
como
la
naturaleza
de
los
factores.
Comprender
los
significados
de
las
operaciones
y cmo
se relacionan
unas
con
oas
comprender
diversos
significados
de
ra
murtipricacin
y
divisin;
comprender
los
efectos
de
multipricar
y
dividir
nmeros
naturares;
identificar
y
utilizar
las
relaciones
entre
operaciones
-la
divisin
como
operacin
inversa
de la
murtipricacin,
pr
ejempro-
p.
,""ru"iprot"*"r;
::^Ttl",lq:,
y
utilizar
propiedades
de
tas
operaciones;
por
ejempto,
ta
drstnbutividad
de
fa
multiplicacin
respecto
a
la
adicin.
Calcular
con
fluidez
y
hacer
estimaciones
razonables
'
desarrollar
fluidez
con
ras
combinaciones
bsicas
de
nmeros
en
ra
multiplicacin
y
la
divisin,
y
utilizarlas
para
efectuar
mentalmente
clculos
relacionados
con
ellas;
poiejemplo,
rnlltipli""r,
so por
sl
-
-
'
desarrollar
fluidez
en
las
cuatro
operaciones
bsicas
con
nmeros
naturales;
'
desarrollar
y
utilizar
estrategias
para
estimar
los
resultados
de los
clculos
con
nmeros
naturales
y
juzgar
lo
razonable
de
estos
resultados;
'
desarollar
y
utilizar
estrategias
para
estimar
los
resultados
de clculos
con
fracciones
y
decimares,
en
situaciones
rerevantes
;;;p"rncia
de
los
alumnos;
'
utilizar
modelos
visuales,
refere.ncias
y
formas
equivalentes
para
sumar
y
restar
fracciones
y
decimales
de
uso
comn;
'
seleccionar y
usar
mtodos
y
herramientas
apropiados
(crcuro
mentar,
estimacin,
calculadoras,
lapiz
y
papel)
para'cal'cular
con
nmeros
naturales,
segn
el
contexto
y
r
naiuraleza
delclculo
"n
"r""iin,
152
-
7/24/2019 2000 NCTM Nmeros y Operaciones
18/38
eros
y
Operaciones
ffimlos
niveles
3--5,
debera
continuar el
desarrollo del sentido
numri
lo,s
alumnos,
centrndolo
en la multiplicacin y
la divisin. Su
com-
in
del
significado
de estas operaciones debera
aumentar
y
ser
ms
a medida que se
enfrentan
a una gran variedad
de
representa-
y
problemas,
aprenden sobre
las
propiedades
de
tales operaciones
y
rrollan
fluidez
con el
clculo
con
nmeros
naturales. El
conocimiento
iqem
de
numeracin
de base
diez
debera
mpliarse
a travs
de
un
fro
mntinuado
con nmeros
grandes
y
con
decimaies.
Mediante
el
de
diferentes significados
y modelos
de fracciones
-cmo
se
rela-
les
fracciones unas
con
oas y con la unidad, y
cmo
se
represen-
hs
estudiantes
pueden adquirir
destreza
en la comparacin de frac-
r*-
milizando
a
menudo referentes como
I/2
o
1.
Thmbin
deberari
Los
estudiarxtes
que
conxprenden
la
estruct?,Lv'a
de los
mrner"os
y
sus
relaciones
pueden,
trabajar con
ellos
ffierar
nmeros
menores
que
cero, a ffavs de
modelos
familiares
el termmetro o la
recta
numrica.
fflhndonar
el nivel
5,
los alumnos deberan
ser
capaces de
resolver
de
clculo con nmeros naturales,
y deberan
reconocer que
in les aytdar
a
resolver
muchos tipos diferentes
de
proble-
Ileberan
ser capaces de resolver
mentalmente muchos
problemas,
-
estimacin
razonable
del resultado de un problema,
recordar
u
eficientemente
las
combinaciones
numricas
bsicas
para
cada
de
forma
flexible.
iiq
y calcular
con fluidez con nmeros naturales
de varias cifra