2007 marin alfaro.conescapanxxvi

Sintonización de controladores porubicación de polos y ceros

Leonardo J. Marín, Víctor M. AlfaroDepartamento de Automática, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica

Apartado postal 2-10, 2060 UCR, San José, Costa Rica{leomarin, valfaro}@eie.ucr.ac.cr

Resumen—Se presenta el método de sintonización por ubica-ción de polos y ceros, el cual permite calcular los parámetrosde los controladores PI y PID para procesos de primer ysegundo orden, de manera de logar una respuesta del servocontrol con las características dinámicas deseadas. La efectividaddel procedimiento propuesto se compara con la del métodotradicional de ubicación de polos, utilizando varios ejemplos.

Index Terms—ubicación de polos, sintonización, controladoresPID

I. I NTRODUCCIÓN

Un procedimiento utilizado en la sintonización de los con-troladores PID para procesos simples, consiste en la localiza-ción de los polos de lazo cerrado en una posición especifica,procedimiento que se conoce normalmente comométodo deubicación de polosde Persson [1] y popularizado por Aströmy Hägglund [2].

Si bien los parámetros del controlador determinados coneste procedimiento, garantizan lograr la ubicación deseada delos polos de lazo cerrado, esta no puede asociarse directamentecon las características dinámicas de la respuesta del sistema decontrol, por no tomar en consideración la posición resultantede los ceros del controlador.

Se supondrá en adelante el lazo de control mostrado enla Fig. 1, en dondeGp(s) es la función de transferencia delproceso controlado yGc(s) la del controlador. En este sistemalas entradas son el valor deseador(s) y la perturbaciónz(s),y la salida la variable controladay(s).

Se presentará más adelante un procedimiento sistemáticopara la sintonización de los controladores PI y PID para elcontrol de procesos de primer y segundo orden, que contemplala influencia de los ceros del controlador sobre la respuestadel sistema de control, denominadométodo de sintonizaciónde controladores por ubicación de polos y ceros, el cual tienecomo base el procedimiento desarrollado por Marín [3].

II. M ÉTODO DE UBICACIÓN DE POLOS

A continuación se presentan en forma resumida las ecua-ciones para la determinación de los parámetros de los con-troladores PI y PID, necesarios para ubicar los polos de lazocerrado en una posición determinada.

II-A. Proceso de primer orden, controlador PI

Si un proceso de primer orden dado por la función detransferencia

Gp(s) =kp

τs + 1(1)

Figura 1. Sistema de control realimentado

se controla con un controlador PI

Gc(s) = Kc

(

1 +1

Tis

)

(2)

la función de transferencia de lazo cerrado del servo controlestá dada por la expresión

Myr(s) =y(s)

r(s)=

Kckp(Tis + 1)

Tiτs2 + Ti(1 + Kckp)s + Kckp(3)

siendo el polinomio característico del sistema de control

p(s) = s2 +

(

1 + Kckp

τ

)

s +Kckp

Tiτ(4)

Si se desea que este sea de la forma general

p(s) = s2 + 2ζωns + ω2

n (5)

de manera que los polos de lazo cerrado se encuentrenlocalizados en

λ1,2 = −ζωn ± jωn

√

1 − ζ2 (6)

igualando (4) y (5), se obtiene que los parámetros requeridosdel controlador son

Kc=2ζωnτ − 1

kp(7)

Ti=2ζωnτ − 1

ω2nτ

(8)

Con estos parámetros en el controlador, la función de trans-ferencia de lazo cerrado resultantes es

Myr(s) =(2ζωn − 1/τ)s + ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

(9)

El sistema de control obtenido tiene los polos en la posiciónespecificada y un cero ens = −ω2

n/(2ζωn − 1/τ).

IEEE CONESCAPAN XXVI, 12-14 setiembre, 2007, San José, Cost a Rica

II-B. Proceso de segundo orden, controlador PID

Si un proceso de segundo orden dado por la función detransferencia

Gp(s) =kp

(τ1s + 1)(τ2s + 1)=

kp

(τs + 1)(aτs + 1)(10)

donde τ1 > τ2, τ = τ1 y a = τ2/τ1, se controla con uncontrolador PID

Gc(s) = Kc

(

1 +1

Tis+ Tds

)

(11)

el polinomio característico del sistema de control sería enestecaso

p(s) = s3+

(

τ1 + τ2 + KckpTd

τ1τ2

)

s2+

(

1 + Kckp

τ1τ2

)

s+Kckp

τ1τ2Ti(12)

Si se desea que este tenga la forma general

p(s) = (s + αωn)(s2 + 2ζωns + ω2

n) (13)

de manera que los polos de lazo cerrado se encuentrenlocalizados en

λ1,2=−ζωn ± jωn

√

1 − ζ2 (14)

λ3=−αωn (15)

igualando (12) y (13), se obtiene que los parámetros reque-ridos del controlador son:

Kc=τ1τ2ω

2

n(1 + 2αζ) − 1

kp(16)

Ti=τ1τ2ω

2

n(1 + 2αζ) − 1

τ1τ2αω3n

(17)

Td=τ1τ2ωn(α + 2ζ) − τ1 − τ2

τ1τ2ω2n(1 + 2αζ) − 1

(18)

La función de transferencia de lazo cerrado del servo controltendrá ahora tres polos y dos ceros.

III. M ÉTODO DE UBICACIÓN DE POLOS Y CEROS

Es práctica usual asociar la ubicación de los polos domi-nantes del sistema de control con las características dinámicasde la respuesta a un cambio escalón en el valor deseado,suponiendo que esta es similar a la de un sistema de segundoorden subamortiguado con ganancia unitaria de la forma

Myro(s) =ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

(19)

En este caso el sobrepaso máximo de la respuesta

Mp = e−πζ/√

1−ζ2

(20)

depende solamente de la razón de amortiguamientoζ y eltiempo de asentamiento al 2 %

ta2 ≈4

ζωn(21)

de la constante de amortiguamientoζωn.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2

0

2

4

6

8

10

12

ω* = τ ωn

Dcp

ζ = 0,40

ζ = 0,45

ζ = 0,50

ζ = 0,55

ζ = 0,60

ζ = 0,65

ζ = 0,70

ζ = 0,75

ζ = 0,80

ζ = 0,85

ζ = 0,90

ζ = 0,95mínimocero

ζ=0,40

ζ=0,95

ζ=0,60

Figura 2. Distancia entre el cero y el polo vrsω∗

III-A. Proceso de primer orden, controlador PI

Para lograr que la respuesta del servo control (3) sea similara la del sistema de segundo orden (19), la influencia del cerodel controlador sobre la respuesta del sistema debe ser mínima.Esto es cierto solo si este cero se encuentra muy alejado haciala izquierda de los polos dominantes en el plano complejo.

Se utilizará la constante de tiempo del procesoτ paranormalizar la escala de tiempo del sistema y se emplearánen adelante los siguientes parámetros normalizados:

ω∗ = ωnτ (22)

Kcn = Kckp = 2ζω∗ − 1 (23)

Tin =Ti

τ=

2ζω∗ − 1

ω∗2(24)

III-A1. Distancia entre el cero y los polos:La distanciaentre el cero del controlador y la parte real de los polos delazo cerrado, está dada por la expresión

Dcp =1

Tin− ζω∗ =

ω∗2 − ζω∗ (2ζω∗ − 1)

2ζω∗ − 1(25)

De (25) se puede obtener que la distancia entre el cero ylos polos crece cuando2ζω∗ → 1 y la influencia del cerodisminuye. Como se observa en la Fig. 2, el cero se encuentraalejado solo para valores bajos deω∗, por lo que en generalno es posible suponer que su influencia es despreciable.

III-A2. Características de desempeño del sistema de con-trol de lazo cerrado:Para evaluar la influencia del cero delcontrolador sobre las características dinámicas del sistemade control realimentado, se determinó el sobrepaso máximoMp, el tiempo al que este ocurre o tiempo al picotp, y eltiempo de asentamiento al 2 %ta2, para0, 5 ≤ ω∗ ≤ 10, 0 y0, 40 ≤ ζ ≤ 0, 95.

En la Fig. 3 se muestra la variación del sobrepaso máximoMp, el cual, como se aprecia, depende de la razón de amorti-guamientoζ y de la frecuencia naturalω∗. Además, se puedeobservar que la influencia deω∗ es mayor cuando esta tienevalores bajos.

2


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 100

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

22.5

25

27.5

30

32.5

35

ω* = τ ωn

Mp

ζ = 0,40

ζ = 0,45

ζ = 0,50

ζ = 0,55

ζ = 0,60

ζ = 0,65

ζ = 0,70

ζ = 0,75

ζ = 0,80

ζ = 0,85

ζ = 0,90

ζ = 0,95límite

ζ=0,40

ζ=0,60

ζ=0,95

Figura 3. Sobrepaso máximo vrsω∗

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

22.5

25

27.5

30

32.5

35

ta2n

= ta2

/ τ

Mp

ζ = 0,40ζ = 0,45ζ = 0,50ζ = 0,55ζ = 0,60ζ = 0,65ζ = 0,70ζ = 0,75ζ = 0,80ζ = 0,85ζ = 0,90ζ = 0,95

ζ=0,40

ζ=0,60

ζ=0,95

Figura 4. Sobrepaso máximo vrs tiempo de asentamiento

En la Fig. 4 se muestra como se relaciona el sobrepasomáximoMp con el tiempo de asentamiento normalizadotan,y en la Fig. 5 la relación de este con el tiempo al piconormalizadotpn.

Las Fig. 3 a 5 se pueden emplear como parte de unprocedimiento de diseño de controladores, para lograr unsistema de control con, por ejemplo, un sobrepaso máximoy un tiempo de asentamiento deseados.

III-B. Proceso de segundo orden, controlador PID

Como se indicó anteriormente, en este caso el sistema decontrol de lazo cerrado tiene dos ceros y tres polos. Si seescoge en (13)α = τ1/(τ2ω∗) se logra que un cero delcontrolador cancele el polo real, reduciéndose la función detransferencia de lazo cerrado del control PID de la planta desegundo orden a (9).

Los parámetros requeridos del controlador PID son:

Kcn = Kckp = 2ζω∗ − 1 + ω∗2a (26)

Tin =Ti

τ=

2ζω∗ − 1 + ω∗2a

ω∗2(27)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

20

22.5

25

27.5

30

32.5

35

tpn

= tp/τ

Mp

ζ = 0,40ζ = 0,45ζ = 0,50ζ = 0,55ζ = 0,60ζ = 0,65ζ = 0,70ζ = 0,75ζ = 0,80ζ = 0,85ζ = 0,90ζ = 0,95

ζ=0,40

ζ=0,60

ζ=0,95

Figura 5. Sobrepaso máximo vrs tiempo al pico

Tdn =Td

τ=

2ζω∗a − a

2ζω∗ − 1 + ω∗2a(28)

IV. PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO

A continuación se presentan los pasos a seguir para diseñarlos sistemas de control para logar el comportamiento dinámicodeseado utilizando el método de ubicación de polos y ceros.

IV-A. Proceso de primer orden, controlador PI

1. Determinar la gananciakp y la constante de tiempoτdel proceso controlado

2. Establecer las especificaciones de diseño: sobrepasomáximoMp y tiempo de asentamientota2 o sobrepasomáximo y tiempo al picotp.

3. Utilizar las especificaciones de diseño con la Fig. 4 o laFig. 5 según corresponda, para determinar la razón deamortiguamientoζ

4. EmplearMp y ζ con la Fig. 3 para obtener la frecuencianatural normalizadaω∗

5. Calcular los parámetros del controlador PI (Kc, Ti), con(23) y (24)

6. Verificar el cumplimiento de las especificaciones dediseño a partir de la respuesta del sistema de controlcon los parámetros determinados.

IV-B. Proceso de segundo orden, controlador PID

1. Determinar la gananciakp y las constante de tiempoτ1

y τ2 del proceso controlado (conτ1 > τ2)2. Hacerτ = τ1 y a = τ2/τ1

3. Establecer las especificaciones de diseño: sobrepasomáximoMp y tiempo de asentamientota2 o sobrepasomáximo y tiempo al picotp.

4. Utilizar las especificaciones de diseño con la Fig. 4 o laFig. 5 según corresponda, para determinar la razón deamortiguamientoζ

5. EmplearMp y ζ con la Fig. 3 para obtener la frecuencianatural normalizadaω∗

6. Calcular los parámetros del controlador PID (Kc, Ti,Td), con (26) a (28)

3


7. Verificar el cumplimiento de las especificaciones dediseño a partir de la respuesta del sistema de controlcon los parámetros determinados.

V. EJEMPLOS

En los siguientes ejemplos, se muestra como es posiblelograr el desempeño dinámico deseado del sistema de controlcon el procedimiento de ubicación de polos y ceros propuestoy la diferencia entre la respuesta lograda con este y la que seobtendría con el método de ubicación de polos tradicional.

Ejemplo V.1. Considérese un proceso controlado con lafunción de transferencia

Gp(s) =1, 25

0, 80s + 1

Se desean determinar los parámetros de un controlador PI demanera que la respuesta del sistema de control a un cambioescalón en el valor deseado tenga un sobrepaso máximoMp =20% y un tiempo de asentamientota2 = 3 segundos.

Método de ubicación de polosUtilizando (20) y (21) se obtiene que la razón de amorti-guamiento debería serζ = 0, 456 y la frecuencia naturalωn = 1, 645.Empleando(7) y (8) los parámetros del controladorserían

Kc1 = 0, 16 Ti1 = 0, 092

y la función de transferencia de lazo cerrado resultantees

Myr1(s) =2, 71(0, 092s + 1)

s2 + 1, 50s + 2, 71

Esta muestra que el cero del controlador está alejado delos polos de lazo cerrado, por lo que se espera que suinfluencia en la respuesta del sistema sea despreciable.Método de ubicación de polos y cerosEl tiempo de asentamiento normalizado estan =3/0, 80 = 3, 75. Si se emplea la Fig. 4 conMp = 20 ytan = 3, 75, se selecciona una razón de amortiguamientoζ = 0, 50. Con esta y el sobrepaso máximo, de la Fig.3 se obtiene que la frecuencia natural normalizada debeser ω∗ = 2, 25.Utilizando (23) y (24), se determina que los parámetrosnormalizados son

Kcn = 1, 25 Tin = 0, 25

de donde se obtienen los parámetros requeridos para lasintonización del controlador

Kc2 = 1, 0 Ti2 = 0, 20

La función de transferencia de lazo cerrado resultante es

Myr2(s) =1, 98(0, 20s + 1)

s2 + 2, 81s + 1, 98

En la Fig. 6 se muestran las curvas de respuesta de los dossistemas.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo (s)

y(t)

y

1

y2

Figura 6. Respuestas del ejemplo 1

En este caso, el sobrepaso máximo y el tiempo de asen-tamiento obtenidos con el método de ubicación de polosfueron Mp = 20, 33% y ta2 = 3, 09s, y con el controladordeterminado mediante la técnica de ubicación de polos y cerosMp = 19, 63% y ta2 = 2, 73s. En ambos casos se logranrespuestas con las característcas deseadas.

Ejemplo V.2. Considérese ahora un proceso diez veces máslento dado por la función de transferencia

Gp(s) =1, 25

8s + 1

Se desea que la respuesta del sistema de control a un cambioescalón en el valor deseado tenga un sobrepaso máximoMp =10% y un tiempo de asentamientota2 = 12 segundos.

Método de ubicación de polosDe (20) y (21) se obtiene queζ = 0, 59 y ωn = 0, 565 ycon (7) y (8) los parámetros

Kc1 = 3, 47 Ti1 = 1, 70

La función de transferencia de lazo cerrado resultante es

Myr1(s) =0, 32(1, 70s + 1)

s2 + 0, 67s + 0, 32

En este caso el cero del controlador se encuentra relati-vamente cerca de los polos de lazo cerrado, por lo quese puede esperar que influya sobre las características dela respuesta del sistema.Método de ubicación de polos y cerosPara este caso el tiempo de asentamiento normalizadoes tan = 1, 55. Si se emplea la Fig. 4 con este tiempoy Mp = 10 se puede seleccionarζ = 0, 80. Con esta yMp = 10 de la Fig. 3 se obtieneω∗ = 3, 20.Utilizando (23) y (24), se obtiene que los parámetros delcontrolador son

Kcn = 4, 12 Tin = 0, 40

yKc2 = 3, 30 Ti2 = 3, 22

4


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo (s)

y(t)

y

1

y2


En este caso la función de transferencia de lazo cerradoresultante es

Myr2(s) =0, 16(3, 22s + 1)

s2 + 0, 64s + 0, 16


Ahora, el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamien-to obtenidos con el método de ubicación de polos fueronMp = 19, 35% y ta2 = 8, 66s, y con el controladordeterminado mediante la técnica de ubicación de polos y cerosMp = 10, 02% y ta2 = 12, 51s.

En este caso, solo la respuesta obtenida con el procedi-miento de diseño propuesto, cumple con las especificacionesde diseño.

Ejemplo V.3. Se empelará ahora un controlador PID paracontrolar un proceso cuya función de transferencia es

Gp(s) =1

(5s + 1)(s + 1)

Se desea que la respuesta del sistema de control a un cambioescalón en el valor deseado tenga un sobrepaso máximoMp =15% y un tiempo de asentamientota2 = 10 segundos.

Método de ubicación de polosDe (20) y (21) se obtiene que los polos dominantes debentener una razón de amortiguamientoζ = 0, 517 y unafrecuencia naturalωn = 0, 774.Para la ubicación del polo real se seleccionaα = 1.Entre mayor seaα, menor será la influencia de estetercer polo, sin embargo como se ve en(16) la gananciadel controlador aumenta y por lo tanto también el cambioen la salida del controlador cuando se varíe el valordeseado.Empleando(16) a (18) se obtienen los parámetros re-queridos del controlador

Kc1 = 5, 09 Ti1 = 2, 20 Td1 = 0, 37

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo (s)

y(t)

y1y2


y la función de transferencia de lazo cerrado resultantees

Myr1(s) =4, 11s2 + 11, 18s + 5, 09

10, 98s3 + 17, 29s2 + 13, 38s + 5, 09

Método de ubicación de polos y cerosPara este caso el tiempo de asentamiento normalizadoes tan = 2, 0. Si se emplea la Fig. 4 con este tiempo yMp = 15% se puede seleccionarζ = 0, 65. Con estarazón de amortiguamiento yMp = 15% de la Fig. 3 seobtieneω∗ = 3, 0.Utilizando (26) a (28), se obtiene que los parámetros delcontrolador deben ser

Kcn = 4, 70 Tin = 0, 52 Tdn = 0, 12

y

Kc2 = 4, 70 Ti2 = 2, 61 Td2 = 0, 62

En este caso la función de transferencia de lazo cerradoresultante es

Myr2(s) =7, 57s212,27s + 4, 70

13, 06s3 + 23, 24s2 + 14, 88s + 4, 70


Con el método de ubicación de ceros y polos se obtieneuna respuesta con un sobrepasoMp = 14, 4% y un tiempode asentamientota2 = 8, 37s cumpliéndose con las especifi-caciones, mientras que con el método de ubicación de polostradicional la respuesta tiene un sobrepasoMp = 24, 0%, elcual excede el valor especificado en un9%, y un tiempo deasentamientota2 = 10s.

Si en el método de ubicación de polos se trata de disminuirla influencia del polo real, utilizando por ejemploα = 2, 6, elvalor de la ganancia del controlador se eleva aKc1 = 10, 04con lo que se duplicaría el cambio escalón que se produce en

5


la señal de salida del controlador cuando se cambie el valordeseado, pudiendo llevarse el elemento final de control a unaposición extrema.

VI. CONCLUSIONES

El método tradicional de sintonización de controladores porubicación de los polos del sistema de control de lazo cerrado,permite localizarlos en la posición deseada. Sin embargo, estaposición no puede asociarse directamente con las característi-cas dinámicas de la respuesta del sistema, ya que no considerala influencia de los ceros del controlador.

El método de ubicación de polos y ceros propuesto, al tomaren cuenta la influencia de los ceros del controlador, relacionala ubicación requerida de los polos y ceros del sistema decontrol con las características dinámicas de su respuesta.

El nuevo procedimiento determina los parámetros requeri-dos de los controladores PI y PID, para controlar procesos deprimer y segundo orden, de manera de lograr que la respuestadel sistema de control a un cambio escalón en el valor deseado(servo control) cumpla con las especificaciones de diseño.

La distancia ente el cero y los polos de lazo cerradomostrada en la Fig. 2, es una indicación de su influencia sobrela respuesta. Cuando esta distancia es grande, la influenciadel cero es baja y el método de ubicación de polos tradicionalpermite obtener resultados satisfactorios. Sin embargo, cuandoesta es pequeña, la influencia del cero es grande y no puededespreciarse. Por esta razón el procedimiento de ubicacióndepolos no permite obtener una respuesta con las característicasdeseadas.

En el procedimiento de sintonización propuesto, las Fig. 3 a5 muestran la relación de las especificaciones de diseño (Mp,Ta2 y Tp) con la ubicación requerida de los polos y ceros delsistema (ωn, ζ).

Los ejemplos presentados ilustran claramente las ventajasde utilizar el procedimiento de ubicación de polos y cerosde lazo cerrado propuesto, en vez del método tradicional quesolamente ubica los polos.

Nota: Copias ampliadas de las curvas para el diseño me-diante el procedimiento de ubicación de polos y ceros (Fig. 3a 5), se pueden obtener directamente de los autores.

REFERENCIAS

[1] P. Persson, “Towards autonomous pid control,” Ph.D. dissertation, De-partment of Automatic Control, Lund Institute of Technology,1992.

[2] K. J. Aström and T. Hägglund,PID Controllers - Theory, Design andTuning. Instrumentation Society of America, 1995.

[3] L. J. Marín,Método de ubicación de polos y ceros para la sintonizaciónde controladores PID. Proyecto Eléctrico (Bachillerato), Escuela deIngeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica, 2005.

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