PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan NasionaliKhazanahMatematika 3Rosihan Ari Y.Indriyastutiuntuk Kelas XII SMA dan MAProgram Ilmu Pengetahuan SosialiiPenulis : Rosihan Ari Y.IndriyastutiPerancang kulit : Agung WibawantoPerancang tata letak isi : Agung WibawantoPenata letak isi : BonawanIlustrator : KusdirgoPreliminary : viHalaman isi : 240 hlm.Ukuran buku : 17,6 x 25 cmKhazanahMatematikauntuk Kelas XII SMA dan MAProgram Ilmu Pengetahuan Sosial3HakCipta Pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undang510.07 ROSROSIHAN Ari Y k Khazanah Matematika 3 : untuk Kelas XII SMA / MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial / penulis, Rosihan Ari Y, Indriyastuti; ilustrator, Kusdirgo. --Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2009. vi, 240 hlm, : ilus. ; 25 cm Bibliografi : hlm. 226-227 Indeks ISBN 978-979-068-858-2 (No. Jil. Lengkap) ISBN 978-979-068-862-9 1. Matematika-Studi dan PengajaranI. Judul II.IndriyastutiIII. Kusdirgo Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit Wangsa Jatra Lestari, PTDiterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan NasionalTahun2009Diperbanyakoleh ....http://belajaronlinegratis.combukubse@belajaronlinegratis.comiiiSambutaniiiPujisyukurkamipanjatkankehadirat AllahSWT,berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2009, telah membeli hak cipta bukutekspelajaraninidaripenulis/penerbituntukdisebarluas-kan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar NasionalPendidikandantelahditetapkansebagaibukuteks pelajaranyangmemenuhisyaratkelayakanuntukdigunakan dalamprosespembelajaranmelaluiPeraturanMenteriPendidi-kan Nasional Nomor 81 Tahun 2008 tanggal 11 Desember 2008.Kamimenyampaikanpenghargaanyangsetinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan men-galihkanhakciptakaryanyakepadaDepartemenPendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.Buku-bukutekspelajaranyangtelahdialihkanhak ciptanyakepadaDepartemenPendidikanNasionalini,dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopiolehmasyarakat.Namun,untukpenggandaanyang bersifatkomersialhargapenjualannyaharusmemenuhiketen-tuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan gurudiseluruhIndonesiamaupunsekolahIndonesiayang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kamiberharap,semuapihakdapatmendukungkebi-jakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa bukuinimasihperluditingkatkanmutunya.Olehkarenaitu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juni 2009Kepala Pusat PerbukuaniiiPrakataPenulis mengucapkan selamat kepada kalian yang telah naikke kelas XII Program Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS). Tentu kaliansangat bangga. Semoga kalian terpacu untuk lebih semangat lagidalambelajar. Teruslahrajinbelajar,gigih,pantangmenyerah,danjanganlupaberdoakepadaTuhanagarcita-citakaliantercapai.Ingat,sebentarlagikalianakanmenghadapiujiannasional. Apalagi bagi kalian yang akan melanjutkan ke jenjangpendidikan yang lebih tinggi. Kalian akan menghadapi ujian yangdiadakan perguruan tinggi tersebut. Kalian harus lebih giat lagidalambelajarsehinggamenjadiorangyangsuksesdanmembanggakan.Buku Khazanah Matematika ini akan membantu kalian dalammempelajarimatematika.Bukuinidisusundenganurutanpenyajian sedemikian rupa sehingga kalian akan merasa senanguntukmendalaminya.Bukuiniakanmembantukaliandalambelajar. Dalam pembelajarannya, buku ini menuntut kalian untukaktif dan bertindak sebagai subjek pembelajaran. Kalian dituntutuntukmengobservasi,mengonstruksi,mengeksplorasi,danmenemukan sendiri konsep-konsep matematika sehingga kalianakan menjadi orang yang dapat berpikir kritis, kreatif, dan inovatif.DikelasXIIProgramIPSini,kalianakanmempelajarimateri-materi berikut:s Integrals Program Linears Matrikss Barisan dan DeretPenulisberharapsemogabukuinidapatmembantukaliandalammempelajarikonsep-konsepmatematika.Akhirnya,semoga kalian sukses.Solo, Februari 2008PenulisivDaftar IsiPrakata iiiSambutaniiiDaftar Isi ivBab II Program LinearA. Sistem Pertidaksamaan Linear53B. NilaiOptimumSuatuFungsiObjektif63Rangkuman72Tes Kemampuan BabII73Semester 1Bab I IntegralA. Pengertian Integral3B. Integral Tak Tentu4C. Integral Tertentu10D. Pengintegralan dengan Substitusi20E. Integral Parsial25F. Penggunaan Integral Tertentu30Rangkuman44Tes Kemampuan Bab I45Bab III MatriksA. Pengertian,Notasi,danOrdoMatriks81B. Kesamaan Dua Matriks90C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks93D. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks100vBab IV Barisan dan DeretA. Barisan dan Deret 155B. Barisan dan Deret Aritmetika 159C. Barisan dan Deret Geometri 169D. PenerapanKonsepBarisandanDeret184E. Notasi Sigma 188F. Deret dalam Hitung Keuangan 197Rangkuman 213Tes Kemampuan Bab IV 214Latihan Ujian Nasional 220Semester 2E. Perkalian Matriks105F. Invers Suatu Matriks112G. Penyelesaian Sistem Persamaan Lineardengan Matriks128Rangkuman138Tes Kemampuan BabIII139Latihan Ulangan Umum Semester 1145Daftar Pustaka 226Lampiran 228Glosarium 236Indeks Subjek 239Kunci Soal-Soal Terpilih 240vi1 IntegralSumber: www.cycling.co.crIntegralI BabTujuan PembelajaranSetelahmempelajaribabini, diharapkan kalian dapat1. merancang aturan inte-gral tak tentu dari aturanturunan;2. menghitungintegraltaktentudarifungsialjabar;3. menjelaskanintegraltentusebagailuasdaerahpadabidangdatar;4. menghitungintegraltentu dengan menggu-nakan integral tak ten-tu;5. menghitungintegraldengan rumus integralsubstitusi;6. menggambarkan suatudaerahyangdibatasioleh beberapa kurva;7. merumuskanintegraltentu untuk luas suatudaerah;8. menghitungintegralyang menyatakan luassuatu daerah.MotivasiPernahkah kalian memerhatikan bentuk kawat-kawat bajayang menggantung pada jembatan gantung? Perhatikan gambarjembatan Ampera yang melintasi Sungai Musi di atas. Jika kalianperhatikan, lengkungan yang terbentuk menyerupai lengkungan(kurva) parabola. Jika kita mengetahui persamaan lengkungantersebut, kita akan dapat dengan mudah menentukan luas daerahyangdibatasiolehkurvaitudanbadanjalanbahkankitajugadapat menentukan panjang lengkungan itu. Ilmu hitung integraldapat digunakan untuk menyelesaikan kasus-kasus semacam itu.2 Khaz Matematika SMA 3 IPS batas atas integral Riemann kurva batas bawah integral tak tentu luas bidang diferensial integral tentu mengelilingi gradien interval sumbu putar integrable interval tertutup volume benda putar integral konstantamempelajariIntegralIntegral TentuIntegral Tak TentuRumus DasarIntegralSubstitusi ParsialdiselesaikandenganLuasVolume BendaPutarFungsi AljabaruntukmenentukanKata KunciPeta Konsep3 IntegralHitungintegralsangateratkaitannyadengankalkulusdiferensial atau turunan suatu fungsi. Sebenarnya hitung integralditemukan terlebih dahulu baru kemudian ditemukan diferensialatauturunan.Namundemikian,hitungintegralakandapatdimengerti dan dipahami dengan mudah melalui turunan suatufungsi. Materi tentang turunan telah kalian pelajari di kelas XI.Tentu kalian masih ingat, bukan? Namun, ada baiknya sebelummembahasintegral,cobakalianingatkembalikonsepturunandengan cara mengerjakan soal-soal berikut.Setelah kalian mampu mengerjakan soal-soal di atas, marikita lanjutkan ke materi berikut.A. Pengertian IntegralSetiaphari,tentulahkitamelakukanaktivitas,sepertimenghirupudaradanmelepaskanudara.Melepasudaramerupakanoperasikebalikan(invers)darimenghirupudara.Dalammatematika,kitajugamengenaloperasikebalikan(invers), contohnya pengurangan dengan penjumlahan, perkaliandenganpembagian,pemangkatandenganpenarikanakar,dansebagainya. Pada subbab ini kita akan mempelajari invers daridiferensial, yaitu integral.Kita telah mempelajari arti diferensial atau turunan di kelasXI. Jika kita mempunyai f(x) = x2 + 4, turunannya adalah f'(x) = 2x.Dari contoh fungsi tersebut, kita dapat menentukan suatu fungsiyangturunannyaf'(x)=2x,yangdisebutsebagaiantiturunanatauantidiferensialataupengintegralan.Jadi,pengintegralanmerupakan operasi kebalikan dari pendiferensialan.Misalnyadiketahuif'(x)=2x,fungsiinimerupakanturunan dari f(x) = x2 + 10, f(x) = x2 log 3, atau f(x) =x22 5 + .PrasyaratKerjakan di bukutugas1. Tentukan turunan pertama dari fungsi y = 3x4 5x2 + 1dan y = x3.2. Tentukan gradien garis singgung pada kurvay = (4x + 5)(2x + 4) di x = 1. Tentukan pula gradiennyadi x = 2.3. Suatu home industry memproduksi kotak tanpa tutup yangterbuatdaritripleksdenganvolume36.000cm3.Jikaukuran panjang kotak dua kali lebarnya, tentukan ukurankotak itu agar bahan yang digunakan seminimum mung-kin.4 Khaz Matematika SMA 3 IPSTerlihatfungsi-fungsiinihanyaberbedakonstantanyasaja.Secara umum, dapat dituliskan bahwa f(x) = x2 + c merupakanantiturunandarif'(x)=2x,dengancadalahbilanganrealsembarang.Dari uraian di atas dapat didefinisikan sembagai berikut.Fungsi F(x) disebut antiturunan dari f(x) pada suatu domainjikaddxF x ( ) [ ] = f(x).B. Integral Tak TentuMisalkan diberikan fungsi-fungsi berikut.y = x2 + 2x + 5y = x2 + 2x 2Kedua fungsi itu memiliki turunan yang sama, yaitu dydx = 2x + 2.Sekarang,tinjaubalik.Misalkandiberikan dydx=2x+2.Jikadicari integralnya, akan diperoleh fungsi-fungsiy = x2 + 2x + 5,y = x2 + 2x 2,bahkany = x2 + 2x + 10,y = x2 + 2x log 3,dan sebagainya.Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan dydx = 2x + 2bukansajaduafungsidiatas,tetapibanyaksekali.Walaupundemikian,fungsi-fungsiituhanyaberbedadalamhalbilangantetapsaja(seperti5,2,10,log3,danseterusnya).Bilangan-bilangan ini dapat disimbolkan dengan c. Karena nilai c itulahhasil integral ini disebut integral tak tentu.1. Notasi Integral Tak TentuPerhatikan kembali definisi integral tak tentu di atas. Secaraumum,jikaF(x)menyatakanfungsidalamvariabelx,denganf(x) turunan dari F(x) dan c konstanta bilangan real maka inte-gral tak tentu dari f(x) dapat dituliskan dalam bentukf x dx F x c ( ) ( )j= +dibaca integral fungsi f(x) ke x sama dengan F(x) + c.5 IntegralKeterangan:jdx x f ) (= notasi integral tak tentuF(x) + c = fungsi antiturunanf(x) = fungsi yang diintegralkan (integran)c = konstantadx = diferensial (turunan) dari x2. Rumus Dasar Integral Tak TentuPada subbab ini, akan dibahas integral fungsi aljabar saja.Oleh karena itu, kalian harus ingat kembali turunan fungsi aljabaryang telah kalian pelajari di kelas XI.Padapembahasankalkulusdiferensialatauturunan,diketahui bahwa turunan dari xn+1 + c ke x adalahddx[xn + 1 + c] = (n + 1) x(n + 1) 1 = (n + 1)xn.Denganmengalikan 11 n +,untukn=1padakeduaruas,diperoleh11 n +ddx[xn + 1 + c] = 11 n + (n + 1) xn = xn.Jadi, ddx[11 n + xn + 1 + c] = xn ............................................... (1)Jika persamaan (1) dituliskan dalam bentuk integral, kalian akanmemperolehx dxn j = 111nx cn+++; n=1Bagaimana jika n = 0? Apa yang kalian peroleh? Tentu saja untukn = 0, persamaan di atas menjadi jdx = x + c.Padamateridiferensial,kaliantelahmengetahuijikay=F(x) + G(x) maka turunannya adalah dydx = f(x) + g(x), denganf(x) turunan dari F(x) dan g(x) turunan dari G(x).Dengan demikian, dapat dinyatakan bahwa[ ( ) ( )] ( ) ( ) . f x g x dx f x dx g x dx + = + j j j

Kuis Kerjakan di buku tugas( )133xj~dx = ....a.122x 3 + cb.122x 3x + cc. 122x 3x + cd. 3x + ce.122x + cUMPTN 19896 Khaz Matematika SMA 3 IPSHal ini juga berlaku untuk operasi pengurangan.Dariuraiandiatas,kitadapatmenuliskanrumus-rumusdasarintegral tak tentu sebagai berikut.1)j+ = c ax dx a2)dx x f a dx x f a ) ( ) (j j=3)x dxncn n j=+++111x; n=14) ax dxanx cn n j=+++11; n=15) j j j+ = + dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( )] ( ) ( [6)j j j~ = ~ dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( )] ( ) ( [Contoh 1:Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut.a.jdx 5b.jdx x 45c. 23x dxjJawab:a.jdx 5 = 5 jdx = 5x + cb.jdx x 45= 4 dx x5j= 1 54+ x5 + 1 + c= 64x6 + c = c x +632c. 23x dxj= 2x dxj13= 2113+ 131 +x+ c= 64c x +34= 323x x c +7 IntegralContoh 2:Selesaikan setiap pengintegralan berikut.a. x x dx4 jb.j+ dx x ) 3 (2Jawab:a. x x dx4 j=x x dx412j =x dx412j = 14 1124 112+++ x c= 211112x c +b.j+ dx x ) 3 (2= j+ + dx x x ) 9 6 (2= 133 93 2x x x c + + +Soal Kompetensi 1 Kerjakan di buku tugasTentukan hasil pengintegralan berikut.1.j+ dx x ) 3 (222.j+ + dx x x ) 3 2 4 (5 83.jdxx410 4. ( ) 52x x dxj~5.j+ dx x ) 5 (26.j~ + dx x x ) 4 )( 3 (7.dx x x ) 2 (2 2~j8.j~dxxx x ) 3 ( 2 29.j~ ~~dx x x x x ) 1 2 )( (2 3 310. x( ) x dx ~j311.x xxdx22j12.6 4 422x x xxdx( )( ) ~ +~ j13. 52 3x x dxj 14. x4j(x2 + 4x 3) dx15. ( ) x ~j1 (x + 1)(x 2) dx16. x x x xj~ + ( ) 23 dx17. 6 4 43t t t ( )( ) ~ +j dt18.5 2103x xx( ) ~j dx19.s s ss~j333 ds20.2 3 42 33m mm~~~j( ) dm8 Khaz Matematika SMA 3 IPS3. Menentukan Persamaan KurvaDi kelas XI, kalian telah mempelajari gradien dan persamaangaris singgung kurva di suatu titik. Jika y = f(x), gradien garissinggung kurva di sembarang titik pada kurva adalah y' = dxdy =f'(x).Olehkarenaitu,jikagradiengarissinggungnyasudahdiketahuimakapersamaankurvanyadapatditentukandengancara berikut.y =jdx x f ) ( ' = f(x) + cJikasalahsatutitikyangmelaluikurvadiketahui,nilaicdapat diketahui sehingga persamaan kurvanya dapat ditentukan.Contoh 1:Diketahui turunan dari y = f(x) adalah dydx = f '(x) = 2x + 3.Jikakurvay=f(x)melaluititik(1,6),tentukanpersamaankurva tersebut.Jawab:Diketahui f '(x) = 2x + 3.Dengan demikian, y = f(x) = j+ dx x ) 3 2 ( = x2 + 3x + c.Kurva melalui titik (1, 6), berarti f(1) = 6 sehingga dapat kitatentukan nilai c, yaitu 1 + 3 + c = 6= c = 2.Jadi, persamaan kurva yang dimaksud adalah y = f(x) = x2 + 3x + 2.Contoh 2:Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) adalah 2x 7. Jikakurvatersebutmelaluititik(4,2),tentukanlahpersamaankurvanya.Jawab:Gradien garis singgung adalah f '(x) = dydx = 2x 7 sehinggay = f(x) = j~ dx x ) 7 2 ( = x2 7x + c.Karena kurva melalui titik (4, 2) makaf(4) = 2 = 42 7(4) + c = 2= 12 + c = 2= c = 10Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y = x2 7x + 10.9 IntegralSoal Kompetensi 2 Kerjakan di buku tugas1. Gradien garis singgung kurva y = f(x) di sembarang titik(x, y) adalah dxdy = 4x + 3. Jika kurva melalui titik (0, 5),tentukanlah persamaan kurvanya.2. Tentukan f(x) jika diketahui sebagai berikut.a. f'(x) = 2x + 5 dan f(2) = 6b. f'(x) = 6x2 + 6 dan f(2) = 20c. f'(x) = 3x2 + 6x + 6 dan f(1) = 5d. f'(x) = ax + b; f(1) = 0 dan f(1) = 4, dan f(3) = 8.e. f'(x) = ax; f(0) f(1) = 3 dan f(1) f(0) = 53. Suatu kurva memiliki titik (3, 0) dan (2, 4). Gradien disetiap titik pada kurva dapat ditentukan dengan persamaanm = 3x2 4x 5.Tentukan persamaan kurva itu.4. Biaya marginal (MC) merupakan biaya tambahan akibatadanya tambahan produksi satu unit. Secara matematika,biaya ini merupakan turunan (diferensial) dari biaya total(C)terhadapxunitproduksi.Misalkandiketahuibiayamarginal per unit MC(x) = 600 + 2x dan biaya total bulananRp6.000.000,00. Ketika x = 100 unit produksi per bulan.Tentukanfungsibiayatotaldalammemproduksixunitbarang per bulan.ProblemSolvingBiaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 4Q23Q+5,denganQ=banyakunitdanbiayatetap k=3, kadalah konstanta integral. Tentukan persamaan biaya total (C).Jawab:Fungsi biaya marginal MC = 4Q2 3Q + 5.MC = dCdQ dengan kata lain dC = MC dQC =M dQC j =(j4Q2 3Q + 5) dQ= 43323Q ~Q2 + 5Q + kOleh karena itu, C = 43323Q ~ Q2 + 5Q + 3.Kuis Kerjakan di buku tugasBiayamarginalsuatuper-usahaanditunjukkanolehfungsiMC=3Q26Q+4,denganQ=quantitydanbiayatetapk=4,kadalahkonstantaintegral.Fungsibiaya total adalah ....a. Q3 3Q2 + 4Q + 4b. Q3 3Q + 4Q + 4c. Q 3Q + 4Q + 4d. Q 3Q2 + 4Q + 4e. Q3 3Q2 + 4QUN 200710 Khaz Matematika SMA 3 IPS5. Diberikan fungsi dCdxx = ~ 8 5 sebagai fungsi biaya mar-ginal.Biayauntukmemproduksi10unitbarangadalahRp80.000,00.Bagaimanakahbentukfungsibiayatotalnya?6. Suatu pabrik memproduksi barang sebanyak x unit denganbiaya marginal dirumuskan dengan dCdxx = ~ 64 0 025 ,(C adalah fungsi biaya).Untukmembuat1unitbarang,diperlukanbiayaRp6.500,00.Berapabiayatotaluntukmembuatbarangsebanyak 350 unit?7. Diketahui sebuah pabrik memproduksi barang sebanyakt unit dengan biaya marginal dirumuskan dengan C' = 300,5t.(Cadalahfungsibiaya).Untukmembuat1unitbarang diperlukan biaya Rp3.500,00. Berapa biaya totaluntuk membuat barang sebanyak 500 unit?8. Diberikan dCdx = 16x 10 sebagai fungsi biaya marginal.Biayauntukmemproduksi5unitbarangadalahRp100.000,00. Tentukan bentuk fungsi biaya totalnya.C. Integral Tertentu1. Pengertian Integral sebagai Luas Suatu Bidang DatarKalianpastisudahpernahmempelajariperhitunganluasbangun datar. Bangun datar apa saja yang sudah kalian kenal?Bangun datar yang kalian kenal pasti merupakan bangun datarberaturan,misalnyasegitiga,segiempat,lingkaran,dansebagainya.Perhatikan Gambar 1.1. Apakah gambar daerah yang diarsirtersebutmerupakanbangundataryangsudahkaliankenal?Termasukbangunapakahgambardaerahtersebut?Dapatkahkalian menentukan luas bangun datar tersebut dengan rumus yangsudah kalian kenal? Tentu saja tidak.DaerahataubangundatarpadaGambar1.1merupakanbangun datar yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, serta garis x = adan y = b.Untukmemahamipengertianintegralsebagailuassuatubidang datar, perhatikan Gambar 1.1. Daerah yang diarsir adalahsuatudaerahyangdibatasikurvay=f(x)dansumbuXdariasampaib.Dimisalkanfungsiy=f(x)terdefinisipadaintervaltertutup [a, b].OYX a by = f(x)Gambar 1.111 IntegralBagilah interval tertutup tersebut menjadi n buah subintervalyang sama lebar sehingga terdapat n buah titik tengah, yaitu x1,x2, x3, ..., xn, dengan x1 = 21(t0 + t1), x2 = 21(t1 + t2), ..., xn = 21(tn1 + tn)(perhatikan Gambar 1.2). Dimisalkan ujung paling kiri intervaladalah t0 = a dan ujung paling kanan adalah tn = b dengana < t1 < t2 ... < tn1 < b.Misalkan panjang tiap subinterval adalah ti ti1 = Ax. Padatiap subinterval [ti1, ti], tempatkan sebuah titik x (tidak harus ditengah, boleh sama dengan titik ujungnya).Domain fungsi y = f(x) dibagi menjadi n buah subintervaldenganalasAxdantinggif(xi)sehinggamembentukpias-piaspersegi panjang. Luas masing-masing persegi panjang adalah f(xi)Ax. Jika semua luas persegi panjang dijumlahkan maka diperolehJ =f(x1) x A + f(x2) x A + f(x3) x A + ... +f(xn) x A .=(f(x1) + f(x2) + f(x3) + ... + f(xn)) x A= f x xirn( )A=_1dengan_ merupakan notasi jumlah yang berurutan. J disebutdenganjumlahanRiemann.Notasiinipertamakalidigunakanoleh Bernhard Riemann.Jikabanyakpiasnmendekatitakberhingga(n- ),jumlahan Riemann itu mendekati luas daerah dari Gambar 1.1.Oleh sebab itu, luas L dapat ditulis dalam bentuk L = - nlim ( f x xiin)A=_1............................................. (1)Jika n- maka Ax- 0.Integral tertentu f dari a sampai b dinyatakan dengan jbax f ) (dxdan oleh Riemann nilainya didefinisikan sebagaijbax f ) ( dx = lim ( )AAxiinf x x-=_01 ....................................... (2)Dari definisi integral tertentu di atas dapat dikatakan jbax f ) (dxmenyatakan luas daerah yang dibatasi oleh garis x = a, garis x = b,kurva y = f(x), dan sumbu X.OYXt0t1t2tn-1tnf(xn)y = f(x)....x1x2x3xnGambar 1.2a b OYXLy = f(x)Gambar 1.312 Khaz Matematika SMA 3 IPSPerhatikan bahwa substitusi (1) dan (2) menghasilkanL = jbax f ) (dx ........................................................... (3)Sekarang kita misalkan j) (x fdx = F(x) + c. Luas L di atasmerupakan fungsi dari x dengan x [a, b] berbentukL(x) = f xax( )j dx = F(x) + cJika nilai t ada pada interval [a, b], yaitu {x | asxsb} kitadapat mendefinisikan luas L sebagai fungsi dari t berbentukL(t) = jtax f ) ( dx = F(t) + cAkibat dari pemisalan di atas, akan diperolehL(a) = jaax f ) ( dx = F(a) + c = 0.Sebab luas daerah dari x = a hingga x = a berbentuk ruas garissehinggaluasnyasamadengannol.KarenaL(a)=0makadiperolehF(a) + c = 0 atau c = F(a) ..................... (4)Akibat lain dari pemisalan itu, akan diperolehL(b) = jbax f ) ( dx = F(b) + c ................... (5)Hasil substitusi dari persamaan (4) ke (5), diperolehL(b) = jbax f ) ( dx = F(b) F(a)Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa jika L adalahluas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = adan garis x = b makaL = jbax f ) ( dx = F(b) F(a)22 Of(x) = xYXGambar 1.42. Pengertian Integral TertentuKalian tahu bahwajbax f ) ( dx = F(b) F(a)13 Integralmenyatakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbuX, garis x = a, dan garis x = b.Misalkan f kontinu pada interval tertutup [a, b] atau a sx sb.Jika F suatu fungsi sedemikian rupa sehingga F'(x) = f(x) untuksemua x pada [a, b], berlakujbax f ) ( dx =f xab( )[ ] = F(b) F(a)F(x) adalah antiturunan dari f(x) pada asxsb.Menggambar Daerah yang Dibatasi oleh KurvaTentukalianmasihingatbagaimanamenggambargrafikfungsi linear, fungsi kuadrat, maupun fungsi trigonometri. Grafikfungsi-fungsi tersebut banyak dibahas di sini, berkaitan denganpencarian luas daerah yang batasi oleh kurva. Bagaimana caramenggambarkandaerahitu?Misalkankitaakanmenggambardaerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x dari x = 0 sampai x = 2,sumbu X, dan garis x = 2.Langkahpertamaadalahmenggambargrafikf(x)=x.Kemudian,tarikgarisbatasnya,yaitudari x=0sampai x=2hinggamemotongkurva.Arsirdaerahyangberadadibawahkurvaf(x)=xdarix=0sampaix=2dandiatassumbuX.Hasilnya tampak seperti gambar di samping.Bagaimanajikadaerahyangakandigambardibatasiolehdua kurva? Pada dasarnya sama dengan cara di atas. Misalkankita akan menggambar daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) = xdan g(x) = 2x dari x = 0 sampai x = 2 dan garis x = 2.Terlebihdahulu,kitagambarf(x)=xdang(x)=2xpadabidangkoordinat.Tarikgarisbatasnya,yaitux=0danx=2hinggamemotongkeduagrafik.Kemudian,arsirdaerahyangdibatasi oleh grafik itu dari x = 0 sampai x = 2. Hasilnya tampakseperti gambar di samping.Cobalahkaliangambardaerahyangdibatasiolehkurva-kurvaberikut.1. f(x) = x2 dan sumbu X2. f(x) = x2 dan g(x) = x3. f(x) = x2 dan g(x) = x322 Of(x) = xYX4f(x) = 2xGambar 1.514 Khaz Matematika SMA 3 IPSContoh 1:OYX96 4 2f(x) = 6x x2(a) (b)Gambar 1.6Tentukan integral tertentu untuk menghitung luas daerah yangdiarsir pada gambar-gambar berikut.Jawab:a. Gambar 1.6 (a) merupakan grafik garis lurus yang melaluititik (0, 3) dan (3, 0) maka persamaan garisnya adalah x + y= 3 atau y = 3 x. Untuk batas kiri adalah sumbu Y, berartix = 0 dan batas kanan adalah x = 3. Jadi, luas daerahnyadapat dinyatakan dengan( ) 303~jx dx.b. Gambar 1.6 (b) merupakan suatu daerah yang dibatasioleh sumbu X dan kurva y = f(x). Karena kurva memotongsumbu X di titik (0, 0) dan (6, 0) maka y = 6x x2. Untukbatas kiri adalah garis x = 2 dan batas kanan adalah x = 4.Jadi,luasdaerahnyadapatdinyatakandenganj~422) 6 ( dx x x .OYX33Tugas: Inkuiri Kerjakan di buku tugasDalamperhitunganluassuatu daerah dengan meng-gunakanrumusintegral,terlebih dahulu kalian harusdapatmenggambarsketsagrafiknya. Jelaskan langkah-langkah untuk menggambargrafikfungsilineardanfungsi kuadrat. Berilah satucontohuntukmenggambargrafik fungsi tersebut.Contoh 2:Gambarkandaerah-daerahyangluasnyadinyatakandenganintegral berikut.a.j+42) 2 ( dx xb.j~202) 4 ( dx x15 IntegralJawab:a. Grafik y = f(x) = x + 2 mempunyai titik potong (0, 2) dan(2, 0) sehingga j+42) 2 ( dx xdapat digambarkan sepertipada Gambar 1.7.b.( ) 42~jx dx02Diketahuif(x)=4x2denganbatasbawahx=0danbatas atas x = 2. Kurva f(x) = 4 x2 merupakan paraboladengan titik potong (2, 0) dan (2, 0) yang membuka kebawah.Dengandemikian,daerahtersebutdapatdigambarkan seperti pada Gambar 1.8.OYX6 4 2x = 4f(x) = x + 2-22Gambar 1.7Gambar 1.8OYX2f(x) = 4 x2-24Contoh 3: Tentukan nilai-nilai integral berikut.a.j~+11) 3 ( dx xb.j~423) ( dx x xJawab:a.j~+11) 3 ( dx x= 112321~||||||+ x x= 121 3 1121 3 12 2( ) ( ) ( ) ( ) +||||||~ ~ + ~||||||= 6b.j~423) ( dx x x= 422 42141||||||~ x x= (41(4)4 21(4)2) (41(2)4 21(2)2)= 54Kuis Kerjakan di buku tugasNilai dari5 1601x x ( ) ~jdx = ....a.7556b.1056c.556d.~756e.~1056UAS 20073. Sifat-Sifat Integral TertentuIntegral sebenarnya dapat ditentukan dengan mudah. Untukmempermudah perhitungan integral, kalian dapat memanfaatkansifat-sifat integral. Agar kalian menemukan sifat-sifat integral,perhatikan contoh-contoh berikut.16 Khaz Matematika SMA 3 IPSContoh 1:Hitunglah nilai integral dari fungsi berikut.a.2 422x dx + ( )jb.3 4202x x dx +( )jc.3 4220x x dx +( )jd. Apa yang dapat kalian simpulkan dari hasil b dan c?Jawab:a.2 402x dx + ( )j=x x2224 +[ ]=2 4 22+[ ]( ) 2 4 22+[ ]( )= (4 + 8) (4 + 8) = 12 12 = 0b.3 4202x x dx +( )j=x x3 2222 +[ ]=2 2 22 2+[ ]( )0 2 03 2+[ ]( )= (8 + 8) (0 + 0) = 16c.3 4220x x dx +( )j=x x3 2202 +[ ]=0 2 03 2+[ ]( )2 2 23 2+[ ]( )= 0 (8 + 8) = 16d. Dari hasil perhitungan b dan c tampak bahwa3 4202x x dx +( )j = 3 4220x x dx +( )jContoh 2:Tentukan nilai-nilai integral berikut.a.6212x dxjb. 6x dx212j17 Integralc.5 2423x x dx +( )jd.5 242323x dx x dx +j je. Dari nilai integral pada bagian a sampai dengan d tersebut,apa yang dapat kalian simpulkan dari hubungan tersebut?Jawab:a. 6212x dxj =3312x[ ] =3 23( )[ ]3 13( )[ ] = 16 2 = 14b. 6 x dx212j= 613312x|||||| = 61321313 3( ) ( )|||||| ~ ||||||||||= 68313~|||| = 673[\) = 14c. 5 2423x x dx +( )j=x x5 223+[ ]= (35 + 32) (25 + 22)= (243 + 9) (32 + 4= 252 36 = 216d. 1) 5423x dxj =x523[ ] = 35 25 = 243 32 = 2112) 223x dxj =x223[ ] = 32 22 = 9 4 = 5Jadi,5 242323x dx x dxj j+= 211 + 5 = 216.e. Tampakdarikeempatnilaidiatasdiperolehhubungansebagai berikut.1) 6212x dxj = 6 x dx212j2) 5 2423x x dx +( )j =5 242323x dx x dx +j j18 Khaz Matematika SMA 3 IPSContoh 3:a.j=aadx x f 0 ) (b.jbadx x f c ) ( =c jbadx x f ) (, dengan c = konstantac. f x dxab( ) j = j~abdx x f ) (d.jbadx x g x f )] ( ) ( [ = j jbabadx x g dx x f ) ( ) (e.jcadx x f ) ( + jbcdx x f ) ( = jbadx x f ) (, dengan a s c s bJawab:a. 4314x dxj =x414[ ] = 44 14 = 256 1 = 255b. 4 43 32412x dx x dx +j j =x x412424[ ]+ [ ]= (24 14) + (44 24)= (16 1) + (256 16)= 15 + 240 = 255c. Tampak dari hasil a dan b bahwa4314x dxj =4 4312324x dx x dxj j+Dari contoh-contoh di atas maka dapat dituliskan sifat-sifatintegral sebagai berikut.Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi kontinu pada [a, b],berlaku sebagai berikut.Tentukan nilai-nilai integral berikut.a.4314x dxjb.4 4312324x dx x dxj j+c. Darihasiladanb,apakesimpulan kalian?Tugas: Inkuiri Kerjakan di buku tugasDengan menggunakan dasar-dasarintegralyangtelahkalianpelajari,cobabukti-kansifat-sifatintegralter-tentu di samping.19 IntegralJendela InformasiInformasi lebih lanjutGeorge Friedrich BernhardRiemannTokohyanghidupantaratahun18261866iniadalahilmuwanpemberi definisi modern tentang in-tegral tertentu. Melalui teori fungsikompleks,diamemprakarsaito-pologi dan geometri yang 50 tahunkemudianmemuncakdalamteorirelativitasEinstein.Salahsatukaryanyadalambidangkalkulusadalah integral Riemann.Sumber: www.myscienceblog.comBernhardRiemann(18261866)Sumber: www.cygo.comSoal Kompetensi 3 Kerjakan di buku tugas1. Hitunglah nilai dari integral berikut.a.j+312) 3 5 ( dx xd.j~~3135)1 ( dxxxb.j~323 dx x x e.j+ ~50) 2 3 )( 1 2 ( dx x xc.j~224xdxf.j~402 2) 2 ( dx x x2. Tentukan nilai a dari integral berikut.a.j= ~adx x x048 ) 2 3 (b.dxxa=j24c.j~~adt t1) 2 3 (+ j~4) 2 3 (adt t= 153. Jika x = 2 3y, tentukan nilai-nilai integral berikut.a. x dy02jc.y dx~j22b. ( ) x x dy +~j212d. ( ) y y dx204~j 20 Khaz Matematika SMA 3 IPS4. Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut.(a) (b)D. Pengintegralan dengan SubstitusiYO X23YO X93y = 9 x2Gambar 1.9Gambar 1.10-24O XYy = x2 + 4x + 45. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x2 + 4x + 4dan sumbu X dari x = 2 sampai x = 0 (perhatikan Gambar1.10).6. Keluarga Pak Dedi ingin membeli sebidang tanah denganbentuk seperti bidang yang dibatasi oleh f(x) =x , x = 16dan sumbu X (dalam satuan m). Jika harga tanah tersebutRp400.000,00/m2,beraparupiahkahuangyangharusdibayarkan Pak Dedi untuk pembelian tanah itu?7. Sebidangtanahberbentuksepertibidangyangdibatasif(x)= x + 2,x=2,dansumbuX(dalamsatuanm).Tentukan berapa harga tanah tersebut jika harga per meterperseginya adalah Rp450.000,00.8. Diberikanfungsi dCdx=10x+7sebagaifungsibiayamarginal.TentukanberapabiayatotalC(x)yangdiperlukanuntukmemproduksibarangantara10unitsampai 20 unit.Salah satu cara untuk menyelesaikan hitung integral adalahdengansubstitusi.Beberapabentukintegralyangdapatdiselesaikandenganmelakukansubstitusitertentukedalamfungsi yang diintegralkan, misalnya bentuku dun. jBagaimana cara menyelesaikannya? Untuk itu, perhatikan uraianberikut.Pada pembahasan sebelumnya, diperolehxnx cn n=++j+111.Olehkarenaitu,untukmenyelesaikanintegralbentuk( ( )) f xnjd(x)makakitadapatmenggunakan21 IntegralContoh 1:substitusi u = f(x) sehingga integral tersebut berbentuku dunj.Dengandemikian,diperoleh u dunnj=+11un+1+c.Olehkarena itu, dapat dituliskan sebagai berikut.( ( )) ( ( )) f d f x u du u cnnnxn 11= =++j j+1dengan u = f(x) dan n=1.Tentukan hasil integral berikut.a.j+ + + dx x x x ) 3 6 )( 6 2 (7 2b.j~ + ~ dx x x x 4) 1)( 8 (2Jawab:a.j+ + + dx x x x ) 3 6 )( 6 2 (7 2 = j+ + + dx x x x ) 6 2 ( ) 3 6 (7 2Cara 1:Misalkan u = x2 + 6x + 3 = dxdu = 2x + 6= du = (2x + 6) dx.Oleh karena itu,( ) ) x x x dx2 76 3 2 6 + + +j ( = jdu u7= 81u8 + c= 81(x2 + 6x + 3)8 + cCara 2:j+ + + dx x x x ) 3 6 )( 6 2 (7 2= j+ +7 2) 3 6 ( x xd(x2 + 6x + 3)= 18(x2 + 6x + 3)8 + cb.j~ + ~ dx x x x 4) 1)( 8 (2Cara 1:Misalkan u = x2 8x + 1.dxdu = 2x 8= 21du = (x 4) dx22 Khaz Matematika SMA 3 IPSOleh karena itu,j~ + ~ dx x x x 4) 1)( 8 (2=u. du12j = du u 21j= 12(12u2) + c = 14u2 + c= 14(x2 8x + 1)2 + cCara 2:j~ + ~ dx x x x 4) 1)( 8 (2= ( ( x x d x x2 2~ + ~ +j 8 1) 12 8 1)= 122 2( ( x xd x x ~ + ~ +j 8 1)8 1)= 12(12(x2 8x + 1)2) + c= 14(x2 8x + 1)2 + cTantanganInkuiri Kerjakan di buku tugasCobakamujelaskanlang-kah-langkah menyelesaikanintegral berikut.a. j (3x2 + 2x)6(3x + 1) dxb.( ) xxdx+j2414Jikaadacaralain,cobakamu tunjukkan cara itu.Contoh 2:Tentukan integral berikut.a. x x dx21 ~j b.32 123xxdx+j Jawab:a. x x dx21 ~j Misalkan u = x2 1 = du = 2x dx sehingga x dx = 12 dux x dx21 ~j=u du12j= 1212u duj23 Integral= 1211412112+||||||++c= 122332u c||||||+= 13u u c += 131 12 2( ) u u c ~ ~ +b.32 123xxdx+j Misalkan u = 2x3 + 1 = du = 6x2dx sehingga 3x2dx = 12du.32 123xxdx+j = 12duuj= 1212u du~j= 121112112~ +||||||+~ +u c= 12212( ) u c +=u c += 2 13x c + +Bagaimana jika integral yang akan ditentukan adalah integraltertentu? Caranya sama saja dengan integral tak tentu. Hanya,yang perlu diperhatikan adalah batas integrasinya. Batas integrasidapatdigunakanvariabelsebelumsubstitusimaupunvariabelsubstitusi. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.Contoh 3:Tentukan nilai darix x dx0121j~ .Jawab:Misalkan u = x2 =du = 2x sehingga 12du = xdx.24 Khaz Matematika SMA 3 IPSPenentuan batas integrasiBatas bawah: Untuk x = 0 maka u = 02 1 = 1.Batas atas: Untuk x = 1 maka u = 12 1 = 0.x x dx0121j~ = u du1210~j= 121210u du~j= 12111211012+||||||+~u= 121321032u||||||~= 133210u[ ]~= 0 (1)= 1Jika kalian menggunakan variabel sebelum substitusi, yaitu xmakaterlebihdahuludicariintegralnya.Setelahitu,substitusikannilaixitu.Jadi,setelahdiperolehhasilx x dx xj~= ~2 1 213132( ),substitusikanbatas-batasx.13120132( ) x ~||||||Kalian akan memperoleh hasil yang sama. Coba kalian uji.Soal Kompetensi 4 Kerjakan di buku tugasTentukan integral berikut.1. ( ) 2 54x dx ~j2. ( ) 1 32 3~jx dx3. ( ( ) ) 1 22 3~ ~jx dx4.( )( ) 312102 3 2 5x x x x dx ~ ~ +j5. x x dx 52~j6. x x dx2 32 3 ~j25 Integral7.43 12xxdx~j8.35 423xxdx+j9.3923 5xxdx( ) +j10. ( ) x xdx + +j3 1Untuk soal nomor 1115,tentukan nilai integral berikut.11.( ) 8 1501x dx +j12.( ) 1212~jx xdx13.( ) 3 1 12 301x x x dx ~ ~ +j14.( ) x x dx + +j2 11215.46 223 411xxdx( ) + ~jTentukan integral berikut.a. ( )( ) 2 1 3 3 12 4x x x dx + + +jb.42 123xxdx+jTantanganKreativitas Kerjakan di buku tugasE. Integral ParsialKadang-kadang,bentukintegral jdv u ,denganudanvmerupakanfungsi-fungsidalamvariabelx,sangatsulitdikerjakan, sedangkan jdu v lebih mudah dikerjakan. Jika kitamenjumpaibentuksepertiitumakakitaperlumengetahuihubunganantarakeduaintegraltersebutuntukmemperolehpenyelesaian jdv u .Misalnyay=uvdengany=y(x),u=u(x),danv=v(x)merupakan fungsi diferensiabel. Jika fungsi y diturunkan makadiperolehdxdy = udxdv + vdxdu= dy = u dv + v du= d(uv) = u dv + v du26 Khaz Matematika SMA 3 IPSJika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan maka diperolehj) (uv d = j j+ v du u dv= uv = j j+ v du u dvDengan demikian, diperoleh suatu rumus sebagai berikut.jdv u =uv jv duDari rumus di atas terlihat bahwa integral dipisah menjadi2 bagian, yaitu u dan dv (yang mengandung dx) sehingga disebutsebagaiintegralparsial.Untukmenggunakanrumusintegralparsial, perlu diperhatikan bahwa bagian yang dipilih sebagaidv harus dapat diintegralkan dan jv du harus lebih sederhana(lebih mudah dikerjakan) daripada jdv u . Agar lebih memahamiintegral parsial, perhatikan contoh berikut.Contoh 1:Tentukanx x dxj.Jawab:Berdasarkanrumusintegralparsialmakaintegraltersebutdibagi menjadi dua bagian, yaitu u dan dv. Untuk menentukanbagianudandvadabeberapakemungkinansehinggaharusdipilih yang paling tepat sesuai dengan kaidah di atas.Kemungkinan yang dapat terjadi untuk memilih u dan dv adalahsebagai berikut.a. Misalkan u =x xdan dv = dx.Oleh karena itu, du =x xx 2dx dan v = x sehinggax x dx x x x x xxxj j= ~ ~ ( ) ( )2 dxDari integral di atas terlihat bahwa bentuk tersebut sulituntuk ditentukan penyelesaiannya. Oleh karena itu, untukpemisalan u dan dv di atas ditolak.b. Misalkan u =xdan dv = x dx.Dengandemi ki an, di perol ehdu= 12 xdxdanv= x dxx =j12227 Integralsehinggax x dx x x xxj j= ~ 1212122 2 dx= 12 422x xxx~j dxDari bentuk integral di atas maka terlihat bahwa bentuktersebut juga sulit ditentukan penyelesaiannya. Jadi, untukpemisalan u dan dv di atas ditolak.c. Misalkan u = x dan dv = x dx.Untuk u = x= du = dxUntuk dv = x dx = jdv =x dxj= v = 2332xOleh karena itu,x x dx x x x dxj j= ~23233232= 2323115232321x x c ~+||||||++= 234155252x x c ~ += 61552x c += 252x x c +Contoh 2:Tentukanx x dx 1+j.Jawab:Misalkan u = x= du = dx.dv = 1+ x dx= jdv =( ) 112+jx dx= v = 23) 1 (32x +28 Khaz Matematika SMA 3 IPSContoh 3:Didiferensialkan Diintegralkanx2+ (x + 2)42x 32) (31~+ ~ x2 +2) 2 (61~+ x0 1) 2 (61~+ ~ xOleh karena itu,x x dx 1+j = x x23132( ) +[\) 23132( ) +jxdx= 23132x x ( ) + 415152( ) + + x cAda suatu metode yang mempermudah pengerjaan integralparsialyangdisebutdenganaturanTanzalin. AturanTanzalindigunakan untuk menyelesaikan ju dv apabila turunan ke-k darifungsi u(x) bernilai nol dan integral ke-k dari fungsi v = v(x) ada.Perhatikan contoh-contoh berikut.Tentukan hasil integral 8224xxdx( ) + .Jawab:8224xxdx( ) + =8 22 4x x dx ( ) +~j Untukintegraldiatas,bagianyanglebihmudahdidiferen-sialkan adalah x2. Jadi, u = x2 dan dv = (x + 2)4 dx. Kita gunakanaturan Tanzalin untuk mengerjakan integral tersebut.Tugas: Eksplorasi Kerjakan di buku tugasGunakanaturanintegralparsialuntukmengerjakankembali contoh di samping.Bandingkanhasilnya.Me-nurut kalian, cara mana yanglebihmudah?Apaalasan-kalian?29 Integral8224xx dx( ) +j=81322 3x x ( ( ) ) ~ +|||~ 2x (61(x + 2)2 ) +2(61~ (x + 2)1)] + c=~ + ~ + ~+~ ~832832822 3 2x x x xx( ) ( )3( ) + cSoal Kompetensi 5 Kerjakan di buku tugas1. Hitunglah integral-integral berikut.a.j~ dx x x ) 2 (4d. ( ) 112~~jx dxb.j+dx x x 3) 3 5 ( 10e. 10 42 1x x dx ( ) ~~jc.42 5xx dx+jf. x x dx ( ) 53~~j2. Dengan menggunakan lebih dari satu kali rumus integralparsial, tentukan nilai-nilai integral berikut.a. x xdx25 +jd. x x dx2 29 ~j b. x xdx31 ~je. 2 13 2x x dx ~jc. x x dx21 2 +j 3. GunakanaturanTanzalinuntukmenentukannilaiinte-gral berikut.a. 23x x dxjd. 2 3 (x x dx ~j)2 3b. x x dx31 ( ~j)e.52232xxdx( ) +j c. x xdx53 +j4. Tentukan nilai integral berikut.a.x x dx253j+b.xx xdx4054 4 ( ) + +j 5. Tentukan hasil dari integral-integral berikut.a.x x dx2 31 ~j01 c.( ) x x dx ~ ~j1 1301 b.x x dx3 43 5 +j01 30 Khaz Matematika SMA 3 IPSPada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari teori-teori yang berhubungan dengan integral tertentu. Sekarang kitaakan mempelajari beberapa penggunaan integral tertentu, yaituuntukmenentukanluassuatudaerahdanvolumebendaputarjika suatu daerah diputar mengelilingi sumbu tertentu.F. Penggunaan Integral Tertentu1. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva y = f(x), Sumbu X, Garisx = a, dan Garis x = ba. Untuk f(x) ~ 0 pada Interval a s x s bMisalkan L adalah luas daerah pada bidang Cartesiusyang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dangarisx=bsepertigambardisamping.LuasdaerahLditentukan oleh rumus berikut.L = jbadx x f ) (OYXy = f(x)b aGambar 1.11OYX3 2 1y = x 121Gambar 1.12Contoh:Suatu daerah dibatasi oleh kurva y = x 1, x = 1, x = 3, dansumbu X.Lukislahkurvatersebutdanarsirdaerahyangdimaksud,kemudian tentukan luasnya.Jawab:Kurva daerah yang dimaksud seperti Gambar 1.12.L = j~31) 1 ( dx x=31221||||||~ x x= ||||||~ ~||||||~ 1 ) 1 (213 ) 3 (212 2=923121 ~[\) ~ ~[\)=21

23+=231 IntegralContoh:b. Kurva f(x)s0 pada Interval asxsbMisalkan L adalah luas daerah pada bidang Cartesius yangdibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = bseperti Gambar 1.13.Darigambardisamping,nilaiintegraltertentu jba dx x f ) (akan bernilai negatif. Padahal luas suatu daerah harus bernilaipositif sehingga rumus untuk menghitung luas daerah di bawahsumbu X sebagai berikut.L =~jf xdxab( )= f xdxba( )jOYXy = f(x)baGambar 1.13Tentukan luas daerah yang dibatasi oleha. y = f(x) = 3, sumbu X, garis x = 1 dan x = 5;b. y = f(x) = 1 x2, sumbu X, garis x = 1, dan x = 2.Jawab:a. y = f(x) = 3 dapat digambarkan seperti Gambar 1.14.Karena daerah yang dimaksud berada di bawah sumbu XmakaL =j~ba dx x f ) (=j~ ~513 dx= j513 dx= [ ]513x= 3(5) 3(1) =12b. Kurva y = 1 x2 tampak seperti Gambar 1.15.Karena daerah yang akan dicari luasnya berada di bawahsumbu X maka luasnya adalahL =~jf x ( )12=( ) 1221~jxdx=x x ~||||||13321=1131 21323 3~||||||~ ~||||||( ) ( )=j)|\[~ ~32 32 =311OYX5-31OYX2 1 11Gambar 1.14Gambar 1.15TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugasMisalnyadiberikansuatufungsi turunan dydx = 2x + 2.Fungsi y = f(x) melalui titik(3,12).Bagaimanacaramenentukan luas daerah yangdibatasi oleh kurva y = f(x),sumbu X, sumbu Y, dan garisx = 2? Berapakah luas daerahyang dimaksud?32 Khaz Matematika SMA 3 IPSContoh:c. Untuk f(x)~0 pada Interval asxsc dan f(x)s0 padaInterval csxsbMisalkan L luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu X,garis x = a, dan garis x = b seperti gambar di samping.LuasdaerahLtidakdapatdihitungmenggunakanrumusjba dx x f ) (karena luas daerah L terbagi menjadi dua bagian, yaitudi atas dan di bawah sumbu X sehingga akan memberikan hasilyangsalah.CaramenghitungluasdaerahLadalahdenganmembagiluasdaerahLmenjadiduabagian,yaituL1sebagailuasdaerahyangberadadiatassumbuXdanL2sebagailuasdaerahyangberadadibawahsumbuX.Olehkarenaitu,luasseluruh bagian yang diarsir adalahL = f xdx f xdxcbac( ) ( ) ~j j=j j+cbcadx x f dx x f ) ( ) (OYX3 1y = x2 4x + 313Gambar 1.16OYXa b cy= f(x)Gambar 1.17L1L2Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 4x + 3,sumbu X, sumbu Y, dan x = 3.Jawab:Gambar kurva y = x2 4x + 3 tampak di samping.Grafik memotong sumbu X sehingga diperoleh titik potong (1, 0)dan (3, 0). Daerah yang dimaksud adalah daerah yang diarsir.Kita bagi daerah tersebut menjadi dua bagian yaitu L1 dan L2.Karena L2 terletak di bawah sumbu X (bernilai negatif), L2 diberitandanegatif(agarmenjadipositif).Olehkarenaitu,luasdaerah yang dicari adalah sebagai berikut.Luas = L1 + L2=j10) (dx x f j31) (dx x f=j+ ~102) 3 4 (dx x x+( ) x x dx2314 3 ~ +j =132 33 201x x x ~ +|||||| + 132 33 231x x x ~ +||||||= |||31(1)3 2(1)2 + 3(1) 0||| + |||31(1)3 2(1)2 + 3(1)|||33 IntegralContoh:Misalkan L adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1 =f(x) dan y2 = g(x), dengan f(x) > g(x), x = a, dan x = b seperti padaGambar 1.18. Luas daerah tersebut dapat dihitung dengan caraberikut.Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y =x + 2.Jawab:Batas-batasxdiperolehde-nganmenentukantitik-titikpotong kedua kurva, yaitu x2 = x + 2= x2 x 2 = 0= (x + 1)(x 2) = 0= x = 1 atau x = 2Untuk x = 1 maka nilai y = 1.Untuk x = 2 maka nilai y = 4.Jadi,titikpotongkeduakurva,yaitux=1danx=2merupakan batas pengintegralan.Gambar 1.18OYXy1 = f(x)SPa bT UQRy2 = g(x)OYXy = x + 21 2 2y = x2Gambar 1.19|||31(3)3 2(3)2 + 3(3)|||=311+ 311= 322satuan luas2. Luas Daerah antara Dua KurvaL = Luas TURS Luas TUQP= jba dx x f ) ( jbadx x g ) (= j~ba dx x g x f )} ( ) ( {= j~badx y y ) (2 1Jadi, luas daerah antara dua kurva y1 = f(x), y2 = g(x), x = a, danx = b adalah sebagai berikut.Kuis Kerjakan di buku tugasTitik-titikA(a,b),B(b,1),danC(c,4)terletakpadakurva y2 = 12x. Luas daerahAABC = .... satuan luasa.1014d. 10512b.1113e. 11710c.9215Kompetisi MatematikaDKI, 200034 Khaz Matematika SMA 3 IPSL = j~~212 1) ( dx y y= j~~ +212) 2 (dx x x= 213 231221~||||||~ + x x x= (2 + 4 38) (21 2 + 31)= 627 = 92 satuan luasMariBerdiskusiInovatifSuatu daerah yang dibatasi oleh dua kurva (linear-kuadrat ataukuadrat-kuadrat) dapat ditentukan luasnya dengan cara berikut.Misalnya D menyatakan diskriminan dari persamaan kuadratgabungan yang berbentuk, ax2 + bx + c = 0.luas = D Da 62Persamaan kuadrat gabungan diperoleh dari y1 y2 = 0, asalkany1> y2. Tugaskalianbersamateman-temankalianberkreasidenganrumusyangtelahkalianpahamiuntukmencaridarimana rumus itu diperoleh.ProblemSolvingTentukan luas daerah yang dibatasi parabola y = x2 dan garis2x y + 3 = 0.Jawab:y1 = x2 dan 2x y + 3 = 0 = y2 = 2x + 3.y1 y2 = 0x2 (2x + 3) = 0x2 2x 3 = 0 = a = 1, b = 1, dan c = 3.D = (2)2 4 1 (3)= 4 + 12= 16Luas = D Da 616 166 116 463232 2===satuan luas.(Coba kalian tunjukkan daerah yang dimaksud dengan meng-gambarkannya pada bidang koordinat.)35 Integral2. Dengan membuat sketsa gambar terlebih dahulu, tentukanluas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini.a. y = 2x + 6, garis x = 2, garis x = 3, dan sumbu X.b. y = 4 x2, garis x = 1, garis x = 1, dan sumbu X.c. y = x, garis x = 0, garis x = 2, dan sumbu X.d. y = x 4, garis x = 3, sumbu Y, dan sumbu X.e. y = x2 x 6, garis x = 1, garis x = 2, dan sumbu X.3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut.a. y = 3x dan y = 5 c. y = x2 x dan y = x + 8b. y = x2 dan y = 4x x2d. y = 12x dan y =x(a) (b)OYX 1 44OYX 1 2 5 6x = 2 x = 6y = x2 3x 4OYX 2 2y = x24OYX 2y = x2 2xy = 2x x2(d) (c)Gambar 1.20MariBerdiskusiInkuiriBuatlahsembarang3persamaangarisluruspadabidangCartesius.Dariketigagarisyangkalianbuat,dapatkahditentukan sebuah bidang datar? Dapatkah ditentukan luasnyadengan menggunakan integral?Soal Kompetensi 6 Kerjakan di buku tugas1. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut.Kuis Kerjakan di buku tugasLuaspersegipanjangter-besaryangdapatdibuatdalam daerah yang dibatasikurva y x =162dany=4adalah ....a. 8 satuanb. 32 satuanc. 8 2satuand. 32 2satuane.323 satuanKompetisi MatematikaDKI, 200036 Khaz Matematika SMA 3 IPS4. Diketahui luas bidang yang dibatasi oleh garis y = 32x, y =500 x, dan sumbu X antara x = a dan x = b menyatakanbanyaknya karyawan suatu pabrik yang berpenghasilanantara a ribu rupiah dan b ribu rupiah. Jika a = 200 danb=400makatentukanbanyaknyakaryawanyangberpenghasilan di atas 400 ribu rupiah.5. Diketahui grafik fungsi f '(x) = 2x + 5. Grafik fungsi f(x)melalui titik (1, 10). Tentukan luas daerah yang dibatasikurva y = f(x), sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 4 dan x = 0.6. Pak Sanjaya memiliki tanah yang letaknya di tepi sungai.Tanah Pak Sanjaya menyerupai bentuk suatu bidang yangdibatasi oleh kurva y = x2, y = 0, x = 0, dan x = 8. PakSanjaya menghendaki keuntungan dari penjualan per m2-nyasebesarRp60.000,00.Jikakeinginanitutercapai,berapa keuntungan total yang diperoleh Pak Sanjaya?7. PakFerymemilikisebuahperkebunankaretyangbentuknyasepertibagiandiarsirpadaGambar1.21.Berapakah luas perkebunan karet milik Pak Fery itu?8. Sebuah karton memiliki bentuk seperti Gambar 1.22 yangdiarsir.Bentuk karton itu berupa bangun datar yang dibatasi olehkurva y = 4x 4x2 dan y = x x2 dari x = 0 sampai denganx=1.(Setiap1satuanmewakili1dm).Tentukanluaskarton itu.42 18 32YXy = 4x x2OYXy = x x2y = 4x 4x20,5 OGambar 1.21Gambar 1.2237 Integral9. Pak Ketut memiliki sebidang tanah yang terletak di tepisungai.Bentukpermukaan(daerah)daritanahitumenyerupai daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbuX, garis x = 0, dan garis x = 10 (satuan dalam m). Pak Ketutingin menjual tanah itu. Pak Ketut mengharap keuntunganRp50.000,00perm2.BerapakahtotalkeuntunganyangdapatdiperolehPakKetutjikatanahituterjualseluruhnya?10. Suatu perusahaan produsen mesin-mesin canggih merakitxunitmesinperbulan.Keuntunganmarginalbulanan(dalam ratusan ribu) dinyatakan oleh fungsiM(x) = 165 110x, untuk (0 s x < 4.000)Padasaatini,perusahaanitumerakit1.500unitmesinperbulan,tetapiberencanameningkatkanproduksinya.Berapakahperubahantotalkeuntunganperbulanjikaproduksiditingkatkanhingga1.600unit?Petunjuk:PerubahantotalkeuntungandapatditentukandenganM(1.600) M(1.500).YXObYXOab(a) (b)(c) (d)segitigakerucutsetengah lingkaranbolaaGambar 1.23Benda yangterbentukBenda yangterbentuk3. Volume Benda Putar (Pengayaan)Benda putar adalah suatu benda yang terbentuk dari suatudaerah tertutup pada bidang Cartesius dan diputar mengelilingisumbu X atau sumbu Y dengan satu putaran penuh (360o).Misalnya:38 Khaz Matematika SMA 3 IPSa. Daerah Dibatasi Kurva y = f(x), Sumbu X atau Sumbu Y,Garis x = a, dan Garis x = b1) Perputaran Mengelilingi Sumbu XMisalkan suatu daerah dibatasi kurva y = f(x), sumbu X,garisx = a, dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu Xseperti pada Gambar 1.24 (a).(a) (b)YX Oabxy}xyGambar 1.24TantanganKreativitas Kerjakan di buku tugasAndaikan alas sebuah bendapejalberupabidangdatardanterletakdikuadranIyang dibatasi olehyx= ~ 142,sumbuX,dansumbuY.Anggaplah penampang yangtegakluruspadasumbuXberbentukpersegi.Berapa-kah volume benda ini?Jikabendaputartersebutdipotongdengantebalpotongan setebalx Adari interval asx sb, akan terbentukn buah keping. Keping tersebut berupa silinder dengan jari-jari y = f(xi) dan tinggi (tebalnya)x A . Perhatikan Gambar1.24 (b).Volumekepingke-iadalahVi= yi2Ax ,sedangkanvolume semua benda adalah jumlah volume keping sebanyakn buah, yaituV = y xiin21A=_Jika n- makax A - 0 sehingga diperolehV = - nlim2y xiiA=_1n = jbadx y2Dengan demikian, dapat kita simpulkan sebagai berikut.Volume benda putar yang terjadi dari daerah yang dibatasioleh y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b diputarmengelilingi sumbu X sejauh 360o, volumenya adalahV = jbadx y239 IntegralContoh:Contoh:Tentukan volume benda putar yang terjadi jika bidang dataryang dibatasi oleh kurva y = x, sumbu X, dan garis x = 3 diputarmengelilingi sumbu X sejauh 360o.Jawab:V = jbadx y2= j302 dx x= 30331|||||| x= ||||||~ 0 ) 3 (313= 9satuan volumeYO X33y = x3Gambar 1.25YX Ocydx = f(y)Gambar 1.26Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yangdibatasi oleh sumbu Y, kurva y = x2, garis y = 2, dan garis y = 5diputar mengelilingi sumbu Y.Jawab:V = x dycd2 j= ( ) y dy225 j2) Perputaran Mengelilingi Sumbu YMisalkan suatu daerah dibatasi kurva y = f(x), sumbu Y, garisy = c, dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o,akan membentuk benda putar seperti gambar di samping.Caramenentukanvolumebendaputardaridaerahyangdiputar mengelilingi sumbu Y sama seperti menentukan volu-me benda putar yang mengelilingi sumbu X.Jika daerah yang dibatasi oleh x = f(y), sumbu Y, garis y = c,dan garis y = d diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o,volume benda putarnya adalahV = x dycd2 j40 Khaz Matematika SMA 3 IPS= j52 dy y= 52221|||||| y= ||||||~ 2 2) 2 (21 ) 5 (21= 221satuan volumeYX O25y = x2ataux =yGambar 1.27YXO ay1 = f(x)EAD Cy2 = g(x)bFBGambar 1.28b. Volume Benda Putar Daerah di antara Dua Kurva1) Perputaran Mengelilingi Sumbu XDimisalkanAadalahdaerahtertutupyangdibatasiolehkurva-kurvay1=f(x)dany2 = g(x) dengan | f(x) | ~| g(x) | pada intervalasxsb. Daerah yang terbentuk diputarmengelilingi sumbu X sejauh 360o sehinggaterbentuk suatu benda putar yang tengahnyakosong. Perhatikan gambar di samping.Volumebendayangterbentukdaridaerahyang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), y2 = g(x),garis x = a dan x = b adalahV =jbadx x f )) ( (2 jbadx x g )) ( (2= (( ( )) (( ( )) ) f x g x dxab2 2~j=j~ ba dx y y ) (2221Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), kurva y2 = g(x),garis x = a, dan garis x = b, dengan | f(x) |~| g(x) | diputarmengelilingi sumbu X sejauh 360o maka volume benda putaryang terjadi adalahV = j~ ba dx y y ) (2221 atau V = j~ ba dx x g x f ] )) ( ( )) ( [(2 241 IntegralContoh:Tentukan volume benda putar yang terjadi, jika daerah yangdibatasi oleh kurva y = 6x x2 dan y = x diputar mengelilingisumbu X sejauh 360oJawab:Perpotongan antara kurva y = 6x x2 dan y = x adalah sebagaiberikut. y1 = y2= 6x x2 = x= 5x x2 = 0= x(5 x) = 0= x = 0 atau x = 5Nilai x = 0 dan x = 5 digunakan sebagai batas-batas integrasivolume benda putarnya. Dengan demikian, diperolehV =j~ badx y y ) (2221=j~ ~ 502 2 2] ) 6 [(dx x x x=j+ ~ 502 3 4) 35 12 (dx x x x=503 4 5335 351||||||+ ~ x x x =31208 satuan volume2) Perputaran Mengelilingi Sumbu YMisalkan A adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva x1 = f(y) dan x2 = g(y) dengan |f(y)|~|g(y)| pada intervalcsysd.Carayangsamadapatditerapkanuntukmencarivolumebenda putar yang dibatasi dua kurva x1 = f(y), x2 = g(y), garisy = c dan y = d seperti saat kita menentukan volume bendaputar jika diputar mengelilingi sumbu X.Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa volume bendaputar itu adalah sebagai berikut.Jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva x1 = f(y),kurva x2 = g(y), garis y = c, dan garis y = d dengan |f(y)|~|g(y)| diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o, volu-me benda putar yang terjadi adalahV = j~ dc dy x x ) (2221 atau dy y g y fdcj~ ) )) ( ( )) ( ((2 2YXOy1 = 6x x295 6y2 = xYX OcdGambar 1.29Gambar 1.3042 Khaz Matematika SMA 3 IPSContoh:Hitunglah volume benda putar yangterjadi jika daerah yang dibatasi olehkurvay=x2,y=3x2,dany=3dikuadranpertamadiputarme-ngelilingi sumbu Y sejauh 360o.Jawab:Kurva y = x2= x1 =y = x12 = yKurva y = 3x2= x2 = 13y = x22 = 13yDengan demikian, volume benda putarnya adalahV =j~ dc dy x x ) (2221=j~ 30)31(dy y y=j30 32dy y=||||||13203y= ~||||||1331302( ) ( )= 3 satuan volumeYX O3y = 3x2y = x2y = 3Gambar 1.31Soal Kompetensi 7 Kerjakan di buku tugas(a)(b)Gambar 1.321. Tentukanvolumebendaputardaridaerahyangdiarsirberikut jika diputar mengelilingia. sumbu X sejauh 360o;YX O2x = 2y = x2YX O3y = x43 Integralb. sumbu Y sejauh 360o.(a) (b)YX O44YX Oy = x2522. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah-daerahyang dibatasi oleh kurva-kurva berikut diputar mengelilingisumbu X sejauh 360o.a. y = 2x + 1, sumbu Y, dan sumbu Xb. y = 9x x2 dan sumbu Xc. y = x2 dan y = x + 2d. y = x + 1 dan y = 3e. y = x2 6 dan y = 2 x2f. y = x dan y = x23. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah-daerahyang dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu Y sejauh360o.a. y = x 2, sumbu Y, y = 3, dan sumbu Xb. y = x, sumbu Y, dan garis y = 3c. y = x + 6, garis y = 2, dan garis y = 6d. y = 2x2, y = 3 x, dan sumbu Y(Petunjuk: bagilah daerah luasan menjadi dua bagian)e. y = x2, garis x = 3, dan sumbu Xf. y2 = x dan y = 2 xg. x = y2 dan y = x2h. x = 92~ y dan x = 3 y4. Kalian tentu tahu bahwa volume sebuah tabung adalah V =r t2, dengan r = jari-jari alas tabung dan t tinggi tabung.Coba kalian tunjukkan dengan menggunakan konsep bendaputar. (Petunjuk: ambillah permisalan fungsi konstan)5. Di kelas X, bahkan SMP dan SD, kalian telah diperkenalkandengan volume kerucut, yaitu V = 132r t .Dengan menggunakan konsep benda putar, coba tunjukkankebenaran rumus itu. (Petunjuk: ambillah permisalan fungsilinear).Gambar 1.3344 Khaz Matematika SMA 3 IPS6. Misalkan diberikan persamaan lingkaran x2 + y2 = r2, r darijari-jari lingkaran. Dengan menggunakan persamaan ini danterapan konsep benda putar, tunjukkan bahwa volume bolaadalah V = 433r , dengan r adalah jari-jari bola.7. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yangdibatasiolehparabolay=x2dany=2xx2yangdiputarmengelilingi sumbu X sebesar 360o. (UAN 2005)8. Tentukan volume benda putar yang terjadi jikaa. daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 1 dan garis y = 3diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o;b. daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x dan parabolay = x2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o.9. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah antarakurva y = x2 + 1 dan y = x + 3 diputar mengelilingi sumbu Xsejauh 360o. (UAN 2006)10. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yangdibatasiolehsumbuXdankurvay=2 192~xdiputarmengelilingi sumbu X sejauh 360o.1. Bentukintegral j dx x f ) (=F(x)+cdinamakan integral tak tentu.2. Rumus-rumus integral tak tentu adalahsebagai berikut.a.jdx = x + cb.ja dx = ax + c, a konstantac.jdx xn = 111nxn++ + c, n = 13. JikaFantiturunandarifmakarumusuntuk integral tertentu yang dinyatakansebagailuasdaerahyangdibatasiolehkurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dangaris x = b adalahjbadx x f ) ( = [ ]bax F ) (= F(b) F(a)4. Sifat-sifat integral tertentu adalaha.0 ) ( =jaadx x fb.dx x f c dx x cfbaba) ( ) (j j=c.jba dx x f ) ( = jabdx x f ) (djba dx x f ) (= jba dt t f ) (e.dx x f dx x fbcca) ( ) (j j+ = jbadx x f ) (dengan a < c < bf. [ ( )( )]f x g x dxabj =jbadx x f ) (jbadx x g ) (Rangkuman45 Integral1. 2 92 5x x dx ( ) ~j = ....a.1592 5( ) x c ~ +b.1692 5( ) x c ~ +c.1692 6( ) x c ~ +d.1692 4( ) x c ~ +e.1592 6( ) x c ~ +2.xxdx++j64 = ....a.124 61( ) ( ) x x c ~ + +~b. x ln |x + 6| + cc. x + ln |x + 6| + cd. x ln |x + 4| + ce. x + ln |x + 4| + c3.4 325( ) xx dx~j = ....a. 4(x 3)x5 + cb. 4(x 3)x4 + cc. 2x2 + 8x3 9x4 + cd. 2x2 + 8x3 + ce. 4x5 + c5. Luasdaerahyangdibatasiolehduakurva y1 = f(x), y2 = g(x), garis x = a, dangaris x = b dengan |f(x)|~|g(x)| adalahL = j~bay y ) (2 1 dx .6. Volume benda putar (Pengayaan)a. Jika daerah dibatasi kurva y = f(x),sumbu X, garis x = a, dan garis x = bdiputarmengelilingisumbuXsejauh 360o, volume benda putarnyaadalahV = jbadx x f )) ( (2 = jbadx y2b. Jika daerah yang dibatasi oleh kurvax= f(y), sumbuY,garisy=c,dangarisy=ddiputarmengelilingisumbu Y sejauh 360o, volume bendaputarnya adalahV = jdcdy y f )) ( (2 = jdcdy x2RefleksiApayangmenurutkalianmenarikdarimateriini? Adakahhalbaruyangkalianperoleh?Apakahsetiapfungsidapatdiintegralkan? Jika ada fungsi yang tidakdapat diintegralkan, fungsi seperti apakahitu? Jelaskan.Tes Kemampuan Bab I Kerjakan di buku tugasA. Pilihlahjawabanyangtepatdenganmemberitandasilang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.46 Khaz Matematika SMA 3 IPS4. (j15x4 6x2 + 4x 3) dx = .... (Ebtanas1991)a. 20x5 12x3 + 4x2 3x + cb. 20x5 12x3 + 4x2 + cc. 5x5 6x3 + 4x2 3x + cd. x5 2x3 + 2x2 + 3x + ce. 3x5 2x3 + 2x2 3x + c5. Diketahuif '(x)=2ax+(a1).Jikaf(1) = 3 dan f(2) = 0, nilai a adalah ....a. 1 d.~12b. 2 e.12c. 16. Gradien garis singgung kurva y = f(x) disembarang titik (x, y) adalah f '(x) = 4x 3.Jikakurvaf(x)melaluititik(1,12),persamaan kurva f(x) = ....a. x3 + 4x2 5b. x2 4x 5c. 2x2 3x + 6d. x2 3x + 6e. 2x2 3x + 77 Nilai j~~022) 4 (dx x= ....a. 0 d.~163b. 4 e.163c. 88. Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) =x2 + 4, x = 2, dan x = 0 adalah ... satuanluas.a.89d.815b.316e.713c.7159. Luasdaerahyangdibatasiolehkurvay2 = x + 2 dan garis x = 2 adalah ... satuanluas.a. 12b. 513c. 223d. 8e. 102310. Misalkan diketahui 123102 30x dxm=j danj~nx0) 3 2 (dx = 4, dengan m, n > 0. Nilai(m + n)2 = ....a. 10b. 15c. 20d. 25e. 3011. Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = 2x + 3 dan y = x2 4x 8 adalah ...satuan luas.a. 813b. 835c. 10d. 1023e. 103512. Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = x3 dan y =xadalah .... (UN 2004)a.14 satuan luasb.512 satuan luasc.56 satuan luasd.1112 satuan luase.54 satuan luas47 Integral13. Persamaan kurva fungsi yang memenuhisyarat dydxx x = ~ + 3 12 92dannilaiminimum 0 adalah ....a. y = x3 6x2 + 9x 4b. y = x3 6x2 + 9x + 4c. y = x3 6x2 9x 4d. y = x3 + 6x2 + 9x 4e. y = x3 + 6x2 + 9x + 414. Diketahuipersamaangarissinggungpadasuatukurvadititik(1,0)adalahdydxx = ~ 6 6 . Andaikan di titik (x, y) padakurvaberlaku d ydx22=12x210,persamaan kurva itu adalah ....a. y = x4 5x2 4b. y = x4 5x2 + 4c. y = x4 + 5x2 + 4d. y = x4 + 5x2 4e. y = x4 4x2 515. Diketahui biaya marginal yang dikeluar-kansuatuperusahaandirumuskandengan C'(Q) = 6Q 2 (dalam juta ru-piah).Biayatotaluntukmemproduksi100 unit barang yang sama adalah 29,805juta rupiah. Fungsi biaya totalnya C(Q)= ....a. 2Q3 2Q + 5b. 2Q3 + 2Q + 5c. 3Q2 2Q + 5d. 3Q2 2Q 5e. 3Q2 + 2Q 516. DiketahuiF'(x)=6x2+2x4danF(2) = 0 maka F(x) = .... (Ebtanas 1995)a. 2x3 + x2 4x + 28b. 2x3 + x2 4x 8c. 2x3 + x2 4x 12d. 3x3 + x2 2x 24e. 3x3 + x2 2x + 2417. Akar-akar persamaan x2 10x + 24 = 0adalahpdanq,denganpsq.Nilai( ) x x xpq~ ~j2 42dx = .... (UAN 2003)a.4 3b.8 3c.16 3d.24 3e.32 318. Misalkanf '(x)turunandarif(x).Jikaf '(x)=6x24x+1danf(2)=4 makafungsi f(x) = ....a. 2x3 2x2 + x 6b. 2x3 2x2 + x 3c. 2x3 2x2 + x + 6d. 2x3 2x2 + x 1e. 2x3 2x2 + x19. Nilai dari(~j133x2 4x 1) dx adalah ....(Ebtanas 1993)a. 56b. 42c. 40d. 24e. 2020. Pada tiap titik (x, y) sebuah kurva y = f(x)berlaku dydx = 8x 3. Kurva melalui titik(1, 10). Persamaan kurva itu adalah ....(Ebtanas 1993)a. y = 4x2 + 9x + 9b. y = 4x2 2x + 4c. y = 4x2 x + 7d. y = 4x2 + 2x + 8e. y = 4x2 3x + 348 Khaz Matematika SMA 3 IPS21. Perhatikan gambar berikut. a. 24b.1823c. 18d.1713e. 1725. Jika f(x) = (x 2)2 4 dan g(x) = f(x)makaluasdaerahyangdibatasiolehkurvafdangadalah....satuanluas(UAN 2003)a.1023d. 4223sb.2113e.4613c. 222326. Gradiengarissinggungsuatukurvadisembarang titik P(x, y) dirumuskan dengandydxx = 3 2 . Jika kurva melalui titik (2, 3)maka persamaan kurva adalah .... (UN2004)a. f(x) = 2x 2x 3b. f(x) = 2x 2x 5c. f(x) = 2x 2x 5d. f(x) = 2x 2x 13e. f(x) = 2x 2x 2927. Volumebendaputaryangterjadijikasuatu daerah yang dibatasi kurva y = 2x2,sumbu X, x = 0, dan garis x = 5 diputarmengelilingi sumbu Y adalah ....a.6252 d.6523 b. 625 e.6257 c.625Luasdaerahyangdiarsirpadagambardi atas adalah .... satuan luas (UN 2006)a.23d. 623b. 3 e. 9c.51322. Hasildarix x2116 ( ) ~~jdx=....(UAN2002)a. 4 d.12b.~12e.412c. 023. Luas daerah yang dibatasi parabola y =8 x2 dan garis y = 2x adalah .... (UAN2002)a. 36 satuan luasb.4113 satuan luasc.4123 satuan luasd. 46 satuan luase.4623 satuan luas24. x x63 222j~dx = ... (UAN 2002)49 Integral28. Diketahui3231x xpj+ ( ) dx=78.Nilai(2p) = .... (UN 2007/Paket 14)a. 8 d. 4b. 4 e. 8c. 029. Luas daerah tertutup yang dibatasi olehy = x2 dan y = 5x 4 adalah ....(UN 2007/Paket 14)a.116 satuan luasb.83 satuan luasc.92 satuan luasd.112 satuan luase.152 satuan luas30. Diketahui( ) 3 6 221t tpj+ ~dt = 14. Nilai 4p =.... (UN 2007/Paket 14)a. 6b. 8c. 16d. 24e. 32B. Jawablahpertanyaan-pertanyaanberikutdenganbenar.1. Tentukan integral berikut.a.j+ ~dx x x ) ) 2 ( 2 (3 2b. (~ + ~j325 4923 3x x x )( )2dxc.x x x (44)222~ +~jx xdxd. x x x22 1 1 ~ + ~j( )dxe.6 422~jxxdx2. Tentukan nilai a dan b yang memenuhidf xdx( ) = ax + b, f(0) = 3 + f(1),dan f(1) f(0) = 5.3. Tentukan persamaan kurva y = f(x) jikagradiennya m = dydx = (x 1)3 dan kurvamelalui titik A(3, 0).4. Tentukan luas daerah yang dibatasi olehkurva y = x2 3x + 2 dari x = 0 sampaidengan x = 2.5. Misalkan daerah D adalah daerah yangdibatasi kurva y = x2, y = 4x2, dan garisy = 4. Daerah D terletak di kuadran I.JikadaerahDdiputarmengelilingisumbu Y, tentukan volume benda putaryang terjadi.6. Suatudaerahmemilikiangkapertum-buhanpendudukyangmengikutipoladpdtt = + 1015P dalam ribuan dan t dalam tahun. Jikatahun ini populasinya ada 30 ribu pendu-duk,tuliskanpolaangkapertumbuhanpenduduknya.7. Tentukanvolumebendaputaryangterjadi jikaa. daerah yang dibatasi oleh kurva y =x2+1dangarisy=3diputarmengelilingi sumbu Y sejauh 360o.b. daerahyangdibatasiolehgarisy=2xdanparabola y = x2 diputarmengelilingi sumbu X sejauh 360o.50 Khaz Matematika SMA 3 IPSKata Bijak8. DiketahuigarisgmelaluititikA(2,a)pada kurva y = 3 + 2x x2 dan memotongsumbu Y di titik B(0, 5). Tentukan luasdaerahyangdibatasiolehkurvadangaris g.9. Diketahuiparabolay=x2+2.TitikP(2,6)danQ(1,3)padaparabola.Garis g adalah garis singgung paraboladititikPdanhadalahgarissinggungparabola di titik Q.a. Tentukan persamaan garis g dan h.b. Nyatakan luas daerah tertutup yangdibatasibusurPQpadaparabola,garisg,dangarishdalambentukintegral,kemudianhitungluasdaerah tersebut.10. Garis g menyinggung kurva y = sin x dititik( 2,0).Jikadaerahyangdibatasioleh garis g, garis x 12 , dan y = sin xdiputar mengelilingi sumbu X, tentukanvolume benda putar yang terjadi.Dalam suka, hitunglah kesyukuranmu. Dalam senang, awasikealpaanmu.51 Program LinearProgram LinearII BabTujuan PembelajaranSetelahmempelajaribabini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskansistempertidaksamaanlinearduavariabeldanpe-nyelesaiannya;2. menentukanfungsitujuan (fungsi objektif)besertakendalayangharusdipenuhidalammasalah program linear;3. menggambarkanken-dalasebagaidaerahpada bidang yang me-menuhisistemper-tidaksamaan linear;4. menentukannilaiop-timum dari fungsi tujuansebagaipenyelesaiandari program linear;5. menafsirkan nilai opti-mumyangdiperolehsebagaipenyelesaianmasalah program linear.MotivasiParapedagangataupengusahatentuinginmemperolehkeuntungan maksimum. Sebelum melakukan transaksi ataupunpengambilan keputusan dalam usahanya, mereka pasti membuatperhitunganyangmatangtentanglangkahapayangharusdilakukan. Oleh karena itu, diperlukan metode yang tepat dalampengambilan keputusan pedagang atau pengusaha tersebut untukmemperolehkeuntunganmaksimumdanmeminimumkankerugian yang mungkin terjadi.Sumber: Dokumen Penerbit52 Khaz Matematika SMA 3 IPSmembahasProgram LinearPertidaksamaan Linear bahasa matematika model matematika pertidaksamaan linear garis selidik nilai objektif pertidaksamaan kendala optimasi program linear maksimum optimum sistem pertidaksamaan minimum pembatas uji titik sudutMetodeGaris SelidikUji Titik SudutSistemPertidaksamaan LinearBahasaSehari-hariModelMatematikaNilaiOptimumditerjemahkandalamditentukanmelaluiKata KunciPeta Konsep53 Program LinearPadapokokbahasankaliini,kitaakanmembahassuatumetodeuntukmengoptimalkan(memaksimumkan/memini-mumkan) keuntungan atau biaya, yaitu program linear. Programlinear banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnyadalam bidang ekonomi, perdagangan, dan pertanian.Untuk mempelajari program linear, mari kita ingat kembalitentang cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaanlinear dua variabel.Sebelum kalian mempelajari lebih jauh tentang materi ini,untukmengingatkankaliantentangpersamaandanpertidaksamaan linear, jawablah pertanyaan berikut.Setelahmempelajaribabini,diharapkankaliandapatmerumuskan masalah nyata ke dalam model matematika sistempertidaksamaanlinear,menyelesaikan,danmenafsirkanhasilyang diperoleh.A. Sistem Pertidaksamaan Linear1. Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPada pembahasan kali ini, kita akan menentukan penyelesaiansistempertidaksamaanlineardenganduavariabelmenggunakanmetode grafik. Metode grafik dimaksudkan untuk melihat secaravisual gambaran tentang daerah penyelesaian dari pertidaksamaanlinearyangberbentukaljabar.Karenasecaraumumgrafikpertidaksamaan linear seperti ax + by ~ c, ax + by > c, ax + by< c, dan ax + by s c berupa daerah yang dibatasi oleh garis ax + by= c maka langkah-langkah dalam mengambar grafik pertidaksamaanlinear adalah:a. menggambar grafik garis ax + by = c sebagai batas daerah-nya;b. menyelidikidaerahpenyelesaianyangdimaksudapakahberada di sebelah kiri, sebelah kanan, di atas, atau di bawahgaris batas yang telah dilukis.PrasyaratKerjakan di bukutugas1. Apa yang kalian ketahui tentang persamaan linear, sistempersamaanlinear,pertidaksamaanlinear,dansistempertidaksamaan linear?2. Gambarlah grafik fungsi 2x + 3y = 6. Kemudian arsirlahhimpunan penyelesaian dari 2x +3y ~ 6.54 Khaz Matematika SMA 3 IPSx 0 ...y ... 0(x, y) (0, ...) (..., 0)Suatuhalyangharusdiingatdalammenggambargrafiksebuah garis adalah menentukan dua titik sembarang pada garisitu kemudian menghubungkannya dengan sebuah garis lurus,sedangkanduatitiksembarangyangmudahperhitungannyaadalah titik potong garis ax + by = c dengan sumbu X dan titikpotong garis dengan sumbu Y. Titik potong dengan sumbu Xmempunyai bentuk (..., 0), yakni dicapai saat nilai y = 0, dantitik potong dengan sumbu Y mempunyai bentuk (0, ...), yaknidicapai saat nilai x = 0.Dari alasan-alasan di atas maka untuk menggambar daerahpenyelesaian pertidaksamaan linear adalah sebagai berikut.a. Gambar grafik garis lurus pembatasnya dengan mengisi for-matb. Menyelidiki daerah yang merupakan penyelesaian denganmengambil salah satu titik yang mudah, yaitu (0, 0).Perhatikan contoh-contoh berikut.Contoh 1:Gambarlah daerah himpunan penyelesaian linear berikut padabidang Cartesius.a. 3x + 2y~6, dengan x, y Rb. 2x + y > 4, dengan x, y RJawab:a. 3x + 2y~6, dengan x, y RUntuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaanlineardiatas,langkah-langkahpengerjaannyaadalahsebagai berikut.1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnyaa) Titik potong dengan sumbu X, berarti y = 0. Kita ubahpertidaksamaanmenjadipersamaan3x+2y=6sehingga 3x + 2(0) = 6= 3x = 6= x = 2.Jadi,titikpotonggrafikdengansumbuXadalah(2, 0).b) Titik potong dengan sumbu Y, berarti x = 0. Kita ubahpersamaan menjadi3x + 2y = 6= 3(0) + 2y = 6= 2y = 6= y = 3.Jadi, koordinat titik potong grafik dengan sumbu Yadalah (0, 3).PerhatianPada buku ini, kita tetapkanbahwadaerahhimpunanpenyelesaian pertidaksama-anadalahdaerahyangdiarsir,sedangkandaerahyangtidakdiarsirbukandaerah penyelesaian pertidak-samaan.55 Program LinearHal tersebut dapat disajikan dengan tabel berikut.Grafik 3x + 2y = 6 dapat diperoleh dengan membuatgarisyangmenghubungkankoordinat(0,3)dan(2, 0) seperti pada Gambar 2.1 (a).2) Menyelidiki daerah penyelesaianGambar2.1(a)merupakangrafikhimpunanpenyelesaianuntukpersamaan3x+2y=6.Tampakbahwa garis 3x + 2y = 6 membagibidangCartesiusmenjadiduadaerah,yaituatas(kanan)garisdanbawah(kiri)garis.Untukmenentukandaerahhimpunan penyelesaian 3x + 2y ~6, ambil sembarangtitik,misalnya(0,0)dansubstitusikankedalampertidaksamaan linear 3x + 2y ~6 sehingga diperoleh3(0) + 2(0)~6= 0~6 (pernyataan salah)Karena titik (0, 0) terletak di bawah (kiri) garis dansetelahkitasubstitusikankepertidaksamaanitu,diperoleh pernyataan yang salah maka titik (0, 0) tidakberadapadadaerahpenyelesaian.Jadi,daerahpenyelesaiannyaadalahdaerahyangdiberiarsiran,seperti pada Gambar 2.1 (b).b. 2x + y > 4, x, y RLangkah-langkah untuk menentukan daerah penyelesaianadalah sebagai berikut.1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnyaDengan cara seperti di atas, diperoleh sebagai berikut.Untuk x = 0 maka 2(0) + y = 4= y = 4.Untuk y = 0 maka 2x + 0 = 4= x = 2x 0 2y 3 0(x, y) (0, 3) (2, 0)YX O32YX O32(a)(b)3x + 2y ~ 63x + 2y = 6Gambar 2.1Jadi,titikpotongdengansumbukoordinatadalah(0, 4) dan (2, 0). Gambarnya terlihat pada Gambar2.2 (a).x 0 2y 4 0(x, y) (0, 4) (2, 0)56 Khaz Matematika SMA 3 IPS2) Menyelidiki daerah penyelesaianUntuk menentukan daerah himpunan penyelesaian per-tidaksamaan, kita ambil titik (0, 0). Dengan menyubsti-tusikan titik (0, 0) pada pertidaksamaan maka diperoleh2(0) + 0 > 4= 0 > 4.Terlihat bahwa pernyataan 0 > 4 benar. Berarti, titik(0, 0) berada pada daerah penyelesaian, sedangkan garis2x + y = 4 tidak memenuhi pertidaksamaan sehinggadigambar putus-putus. Oleh karena titik (0, 0) berada diatas garis 2x + y = 4 maka daerah di atas garis diberiarsiran. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerahyang diarsir, seperti pada Gambar 2.2 (b).Grafiknya dapat ditampilkan sebagai berikut.(a) (b)YX O 242x + y = 4YX O2x + y > 442Gambar 2.2Kuis Kerjakan di buku tugasDaerahyangdiarsirpadagambar berikut adalah him-punan penyelesaian dari....O242 1 3 XYa. x ~ 0; 4x + y ~ 4;x + y s 2b. x ~ 0; 4x + y s 4;x + y ~ 2c. x ~ 0; 4x + y > 4;x + y < 2d. x ~ 0; x + 4y > 4;x + y < 2e. x ~ 0; x + 4y s 4;x + y ~ 2Ebtanas 1997Contoh 2: Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhisistem pertidaksamaan berikut.a. x~0; y~0; 2x + ys4; x, y Rb. x~0; y~0; xs3; x + ys5; x, y RJawab:a. x~0; y~0; 2x + ys41) Kitacarititikpotong2x+y=4dengansumbukoordinat Cartesius.x 0 2y 4 0(x, y) (0, 4) (2, 0)Untuk x = 0- 2(0) + y = 4= y = 4.Untuk y = 0- 2x + 0 = 4= 2x = 4= x = 2.Jadi, diperoleh titik potong (0, 4) dan (2, 0).57 Program LinearYX O42(0, 4)(2, 0)Gambar 2.32) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut tampakpada gambar di samping.Pada grafik di samping,a) penyelesaianx~ 0tersebutberadadisebelahkanansumbuYmakayangkitaarsiradalahdaerah tersebut;b) penyelesaian y ~0 terletak di sebelah atas sumbuX maka kita arsir daerah tersebut;c) untuk menyelidiki daerah himpunan penyelesaiandari pertidaksamaan 2x + ys4 maka ambil titik(0,0),kemudiansubstitusikanke2x+ys 4sehingga diperoleh 2(0) + 0s4= 0s4.Terlihatpernyataandiatasbenar.Jadi,titik(0,0)berada di dalam daerah penyelesaian sehingga daerahdi mana titik (0, 0) berada, yaitu di bawah garis 2x + y= 4 kita arsir.Dari ketiga himpunan penyelesaian yang diperoleh,dapat disimpulkan bahwa daerah penyelesaian dari sistempertidaksamaan linear itu adalah irisan atau interseksi dariketigahimpunanpenyelesaianpertidaksamaantersebut.Jadi, daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian darisistempertidaksamaanlinear,sepertiterlihatpadaGambar 2.3.b. x~0; y~0; xs3; x + ys5; x, y R1) Kitacarititikpotongx+y=5dengansumbukoordinat Cartesius.x 0 5y 5 0(x, y) (0, 5) (5, 0)Untuk x = 0- 0 + y = 5= y = 5Untuk y = 0- x + 0 = 5= x = 5Jadi, diperoleh titik potong (0, 5) dan (5, 0)2) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut adalahsebagai berikut.Dari Gambar 2.4, tampaka) penyelesaianx~ 0adalahdaerahdisebelahkanan sumbu Y (daerah arsiran);b) penyelesaian y ~0 terletak di sebelah atas sumbuX (daerah arsiran);58 Khaz Matematika SMA 3 IPSc) penyelesaian xs3 adalah daerah di sebelah kirigaris x = 3;d) penyelesaian pertidaksamaan x + ys5 adalahdaerah di sebelah kiri (bawah garis x + y = 5);e) titikpotonggarisx=3danx+y=5denganmenyubstitusikan x = 3 ke persamaan x + y = 5sehingga diperoleh y = 2. Jadi, titik potongnyaadalah (3, 2).Dengandemikian,himpunanpenyelesaiandarisistem pertidaksamaan x~0, y~0, xs3, dan x + ys5denganx,yRadalahdaerahsegiempatOABCyangdiarsir, seperti terlihat pada Gambar 2.4.2. Model MatematikaProgramlinearadalahsalahsatubagiandarimatematikaterapan yang berisikan pembuatan program untuk memecahkanberbagaipersoalansehari-hari.Persoalan-persoalanitumengandung kendala atau batasan yang dapat diterjemahkan kedalam model matematika. Model matematika adalah suatu hasilpenerjemahan dari bahasa sehari-hari menjadi bentuk matematikaberupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.Jadi,programlineartersusunatassistempertidaksamaanlinear.Penyelesaiandaripertidaksamaanlinearberupadaerahhimpunan penyelesaian. Di antara penyelesaian tersebut, terdapatpenyelesaianterbaikyangdisebutpenyelesaianoptimum.Penyelesaian optimum dapat berupa nilai maksimum atau nilaiminimumdarisuatufungsiyangdinamakanfungsiobjektif,fungsi sasaran atau fungsi tujuan. Untuk memahami lebih lanjuttentangprogramlineardanmodelmatematika,perhatikanAktivitas berikut.YX Ox = 35C(0, 5)A(3, 0)B(3, 2)5x + y = 5Gambar 2.4AktivitasTujuan : Menentukanmodelmatematikadariperistiwakehidupansehari-harisertamenyelesaikannya.Permasalahan : Bagaimanacaramerumuskandalambahasa matematika dan menyelesaikannyajika permasalahan disajikan dalam bentukperistiwa sehari-hari?59 Program LinearKegiatan : Simaklah persoalan berikut.Suatuperusahaanprodusenmebelmemproduksi dua jenis produk, yaitu mejamakandanlemari.MejamakandijualdenganhargaRp650.000,00danlemaridijualdenganhargaRp1.100.000,00.Perusahaan itu memiliki target sebanyak500unitmebelproduknyaharusterjualdalamperiodeitu.Untukmemproduksisatu unit meja makan, diperlukan waktu2hari,sedangkanuntukmemproduksisatu unit lemari, diperlukan waktu 5 hari.Waktu yang disediakan 150 hari. Berapabanyak meja makan dan lemari yang harusdiproduksiolehperusahaanituagarpendapatannya maksimum?1. Misalkanbanyakmejamakandanlemariyangdiproduksidalamsuatuvariabel.Misalnya,banyakmejamakan = x dan banyak lemari = y.2. Susunlah pertidaksamaan-pertidaksama-an yang sesuai dengan kasus di atas.a. Susunpertidaksamaanyangmemuat banyak unit mebel yangdiproduksi perusahaan itu.b. Susunpertidaksamaanyangmemuatwaktudalamprosesproduksinya.c. Susunsyaratbahwabanyakunitadalah bilangan cacah.3. Susunlahsuatufungsiyangakandimaksimumkan nilainya.4. Dari pertidaksamaan-pertidaksamaanyangkalianperoleh,membentuksistempertidaksamaan.Gambarkandalam bentuk grafik. Arsirlah daerahyangmemenuhisistempertidak-samaan.5. Bentukapakahdaerahhimpunanpenyelesaiannya (dalam grafik)?6. Selidiki titik-titik sudutnya, dengan caramenyubstitusikan titik-titik itu ke dalamfungsi yang akan dimaksimumkan.7. Darilangkah6,berapakahjawabandari permasalahan ini?Kesimpulan : Apa yang dapat kalian simpulkan?TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugasMisalkan seorang pedagangsepatumemilikimodalRp8.000.000,00.Diaakanmerencanakan membeli duajenissepatu,yaitusepatujenisIdanjenisII.Hargabeli sepatu jenis I Rp20.000,00per pasang dan sepatu jenisII Rp16.000,00 per pasang.KeuntungandaripenjualansepatujenisIdanjenisIIberturut-turutadalahRp9.000,00 dan Rp8.500,00perpasang.Mengingatkapasitaskiosnya,iaakanmembelimaksimal450pasangsepatusaja.Bagai-manamodelmatematikaprogramlineardarikasusini?60 Khaz Matematika SMA 3 IPSSetelahmelakukanAktivitasdiatas,tentukaliandapatmembayangkanpermasalahansehari-harikedalambahasamatematika.Agarkalianlebihjelas,pelajaricontoh-contohberikut.Contoh 1: Linda membeli 3 kue A dan 2 kue B di supermarket. Oleh karenaitu,LindaharusmembayarRp3.400,00,sedangkanWatimembeli2kueAdan3kueBsehinggaiaharusmembayarRp3.100,00. Jika harga sebuah kue Adan sebuah kue B masing-masing x rupiah dan y rupiah, buatlah model matematika darimasalah tersebut.Jawab:Misalkan harga sebuah kue Aadalah x dan harga sebuah kueB adalah y.Untuk memudahkan pembuatan model matematika, kita buattabel seperti tabel berikut.Nama Kue A Kue B HargaLinda 3 2 3.400Wati 2 3 3.100BerdasarkanjumlahuangyangdibayarkanLindamakadiperoleh3x+2y=3.400,sedangkanberdasarkanjumlahuang yang dibayarkan Wati, diperoleh 2x + 3y = 3.100. Karenax dan y menunjukkan harga barang maka nilai x dan y harusberupa bilangan real non-negatif sehingga x~0, y~0; x, y R.Jadi, model matematika dari masalah di atas adalah3x + 2y = 3.4002x + 3y = 3.100x~0, y~0x, y RContoh 2:Luas lahan parkir 360 m2. Luas rata-rata untuk sebuah mobil 6 m2danuntuksebuahbus24m2.Lahanparkiritutidakdapatmemuat lebih dari 25 kendaraan. Buatlah model matematikadari masalah tersebut.Jawab:Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y.Masalah tersebut dapat disajikan dalam tabel berikut.61 Program LinearDari tabel tersebut, diperoleh hubungan sebagai berikut.6x + 24y s 360 x + y s25Karena x dan y menunjukkan banyaknya mobil dan bus makax dan y harus berupa bilangan cacah.Jadi, model matematika dari masalah tersebut adalah6 24 360250x yx yx yx y C+ s+ s~||||||,,Jumlah Mobil (x) Bus (y) PersediaanLuas Lahan 6 24 360Daya Tampung 1 1 25Tugas: Observasi Kerjakan di buku tugasBuatlahsuatuhimpunanpenyelesaianyangdibatasioleh 7 buah garis. Tentukansistempertidaksamaanli-near yang membatasi daerahtersebut.Dapatkahkalianmembuatdaerahhimpunanpenyelesaianyangyangdibatasilebihdari7buahgaris?Jikaya,buatlahcontohnya.Soal Kompetensi 1 Kerjakan di buku tugas1. Gambarlahhimpunanpenyelesaianpertidaksamaanberikut.a. xs5 d. 3x 4ys18b. y > 3 e. 4x 7y~42c. x + ys4 f. 8x 5y < 402. Gambarlahhimpunanpenyelesaiansistempertidak-samaan linear berikut pada bidang Cartesius.a. x~0 c. y~0y~0 x y~05x + 3y < 15 x + y~6b. x, y~0 d. x + y 10s0x~2 6x + 3ys18xs5 2 < xs7x y~0 y~03. Gambarlahhimpunanpenyelesaiansistempertidak-samaan linear berikut pada bidang kartesius.a. x + 2y 10s 10x + y 7s 0x~ 0, y~ 0x, y Rb. 3x + y~ 95x + 4ys 20x~ 0y~ 0x, y Rc. x + ys 6x~ 2y~ 0x, y Rd. 2x + ys2x + 2y~ 2x, y~ 0x, y R62 Khaz Matematika SMA 3 IPS4. Togar membeli 3 buku tulis dan 8 pensil. Ia diharuskanmembayar Rp8.200,00. Ucok membeli 4 buku tulis dan 5pensildanharusmembayarRp7.800,00.Jikaxdanymasing-masing harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil,buatlah model matematika dari masalah tersebut.5. Seorang petani ingin menanami lahannya dengan pohonjeruk dan pohon mangga. Luas lahan yang tersedia 160m2.Luasrata-ratauntuksebuahpohonjerukdanpohonmangga masing-masing 1 m2 dan 1,5 m2. Lahan itu dapatmemuat sebanyak-banyaknya 70 pohon. Buatlah modelmatematikanya.6. BuNinamembuatduajeniskue,yaitukuejenis Ayangmemerlukan25gtepungdan10ggula,sedangkankuejenisBmemerlukan20gtepungdan15ggula.Jumlahtepung dan gula yang ia miliki masing-masing 1.000 g dan800 g. Bu Nina ingin membuat kue sebanyak-banyaknya.Buatlah model matematikanya.7. Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobakmenjual mangga dan apel. Harga pembelian mangga danapelRp750.000,00.Muatangerobaknyatidakdapatmelebihi 4 kuintal. Jika keuntungan tiap kilogram mangga3kalikeuntungantiap4kgapeldanpenjajaituinginmendapatkeuntungansebanyak-banyaknya,buatlahmodel matematikanya.8. Pak Hendra mempunyai 120 m bahan wol dan 80 m bahankatun.Bahan-bahanituakandibuatduamodelpakaian.Setiap pakaian model I memerlukan 3 m bahan wol dan 1 mbahankatun.SetiappakaianmodelIImemerlukan2mbahanwoldan2mbahankatun.Misalkanbanyaknyapakaian model I x buah dan banyakan pakaian model IIadalah y buah. Buatlah model matematikanya.9. Seorang pengusaha sepeda ingin membeli sepeda balapdan sepeda gunung sebanyak 30 buah untuk persediaan.Harga sebuah sepeda balap Rp1.500.000,00 dan sepedagunungRp1.750.000,00.Tentukanmodelmatematikauntuk permasalahan di atas.10. Sebuahpabrikobatberencanamembuat2jenisobatsuplemen, yaitu obat I dan obat II, yang masing-masingmengandung vitamin A, B, dan C. Persediaan vitamin A,vitaminB,danvitaminCyangdimilikipabriktersebutmasing-masing 10 gram, 5 gram, dan 15 gram. Jika obat Imemerlukan75mgvitaminA,150mgvitaminB,dan200 vitamin C, sedangkan obat II memerlukan vitamin A,B,danCmasing-masing100mg,125mg,dan225mgmakatentukanmodelmatematikadaripermasalahandiatas.TantanganEksplorasi Kerjakan di buku tugasMisalkan P adalah himpun-antitikyangdibatasiolehgaris g : 2x + y = 2; h : y =x + 1; dan sumbu Y positif.Tentukanprogramlinearyang memenuhi P.SPMB 200563 Program LinearB. Nilai Optimum Suatu Fungsi ObjektifSeperti yang telah disebutkan di depan, suatu permasalahandapat dituliskan dalam bahasa matematika. Suatu permasalahantentu mempunyai bentuk penyelesaian yang optimum.Jendela InformasiInformasi lebih lanjutGeorge Bernard DantzigMasalahpengambilankeputusanbiasanyamencakupfaktor-faktorpentingyangtidakberwujuddantidakdapatditerjemahkansecaralangsung ke bentuk model matematis. Dalam halini, kehadiran manusia sangat menentukan hampirdisetiaplingkungankeputusan.Darihasilpenelitiandilaporkanbahwaperilakumanusiabegitumemengaruhimasalahpengambilankeputusansehinggapemecahanyangdiperolehdari model matematis dipandang tidak praktis.Secara umum, tahap-tahap yang harus dilakukandalammodelisasidanoptimasisolusisuatumasalahadalahmeliputi:(1)pendefinisianmasalah, (2) merumuskan model, (3) memecahkanmodel,(4)pengujiankeabsahanmodel,dan(5)implementasi hasil akhir.George BernardDantzigPermasalahandiataserathubungannyadenganpemrogramanlinear.Permasalahanmengenaikasus-kasuspemrogramanlineardapatdiselesaikandenganmenggunakanmetodesimpleks,yangmerupakansalahsatucarauntukmenyelesaikankasus-kasuspemrogramanlinear.Kendalanya adalah penyelesaian dengan cara ini jika dikerjakan secaramanual, memerlukan waktu yang cukup lama. Sekarang metode ini sudahdikembangkandalamsuatuprogram,yaituQSB.Metodesimpleksditemukan oleh George Bernard Dantzig. Carilah informasi tentang pro-gram ini. Apakah metode simpleks dalam program ini cukup efektif untukpenyelesaian program linear?Sumber: www.mate-mati-kaku.comSumber: news-service.stanford.edu1. Fungsi Objektif z = ax + byFungsitujuandalampembuatanmodelmatematikadinyatakan dalam bentuk z = ax + by. Bentuk z = ax + by yangakandioptimumkan(dimaksimumkanataudiminimumkan)tersebut disebut juga fungsi objektif. Jadi, fungsi objektif dariprogramlinearadalahfungsiz=ax+byyangakanditentukan nilai optimumnya. Misalnya sebagai berikut.64 Khaz Matematika SMA 3 IPSa. Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + yKendala: 5x + 4ys20x + 2ys24x, y~0, dengan x, y Cb. Fungsi objektif: meminimumkan z = 2x + 3yKendala: x + ys5004x + 2ys200x, y~0x, y CDari uraian yang telah diberikan, kita dapat mengetahui tujuanutamadariprogramlinear,yaitumenentukannilaioptimum(maksimum/minimum)darisuatufungsiobjektif.Untukmenyelesaikan masalah program linear yang berhubungan dengannilaioptimum,langkah-langkahpemecahannyaadalahsebagaiberikut.a. Merumuskan permasalahan ke dalam model matematika.b. Membentuk sistem pertidaksamaan linear yang sesuai.c. Menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang Cartesiusyang memenuhi sistem pertidaksamaan linear.d. Menentukannilaioptimum(maksimum/minimum)darifungsi objektif.e. Menafsirkan/menjawab permasalahan.Berkaitan dengan hal tersebut, ada dua metode yang dapatdigunakan untuk menentukan nilai optimum dari program linear,yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik.a. Metode Uji Titik SudutMetodeujititiksudutadalahsuatumetodeuntukmenentukannilaioptimumdaribentukobjektifz=ax+bydengan cara menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titiksudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian pertidak-samaan linear dua variabel, kemudian membandingkan nilai-nilaiyang telah diperoleh. Nilai yang paling besar merupakan nilaimaksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecilmerupakan nilai minimum dari z = ax + by.2. Menentukan Nilai Optimum Fungsi ObjektifContoh 1:Tentukan nilai optimum dari model matematika berikut.Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + yKendala: 3x + 2ys12x, y~0x, y R65 Program LinearYX OA(4, 0)B(0, 6)3x + 2y = 12Gambar 2.5x 0 4y 6 0(x, y) (0, 6) (4, 0)Jawab:Titikpotonggaris3x+2y=12dengansumbukoordinatdisajikan dalam tabel berikut.Jadi, diperoleh titik potong koordinat (0, 6) dan (4, 0).Kemudian,kitalukispadabidangkoordinatdankitahubungkan dengan sebuah garis lurus. Setelah itu, tentukandaerah penyelesaian dari kendala-kendala yang tersedia.Dari Gambar 2.5, terlihat daerah penyelesaian dari kendala-kendala adalah daerah segitiga OAB, sehingga diperoleh titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah O(0, 0), A(4, 0),dan B(0, 6).Selanjutnya,selidikinilaibentukobjektifz=x+yuntukmasing-masing titik sudut tersebut.[Titik O(0, 0) A(4, 0) B(0, 6)x 0 4 0y 0 0 6z = x + y 0 4 6z maksDari tabel di atas, nilai maksimum bentuk objektif z = x + yadalah 6, yaitu untuk x = 0 dan y = 6.Contoh 2:Diketahui suatu model matematika sebagai berikut.Fungsi objektif: meminimumkan z = 8x + 10yKendala-kendala: 5x + 4y~209x + 8ys72x, y~0x, y CTentukan nilai minimum dari model matematika tersebut.Jawab:Dari kendala-kendala yang ada yaitu 5x + 4y~20 dan 9x +8y s72, kita tentukan titik potong garis-garis tersebut dengansumbu-sumbu koordinat Cartesius.66 Khaz Matematika SMA 3 IPSx 0 8y 9 0(x, y) (0, 9) (8, 0)x 0 4y 5 0(x, y) (0, 5) (4, 0)Dari kedua tabel di atas, tentu kalian memperoleh titik potongdengan sumbu-sumbu koordinat.Kemudian,kitalukispadabidangkoordinatdankitahubungkantitik-titikpotongtersebutdengangarislurus.Setelah itu, kita arsir daerah penyelesaiannya, seperti gambardi samping.Darigambardisamping,terlihatdaerahpenyelesaiannyaadalah segi empat ABCD. Dengan demikian, diperoleh titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah A(4, 0), B(8, 0),C(0,9),danD(0,5).Selanjutnya,akandiselidikinilai8x+10y untuk masing-masing titik sudut tersebut.Titik A(4, 0) B(8, 0) C(0, 9) D(0, 5)x 4 8 0 0y 0 0 9 5z = 8x + 10y 32 64 90 50z min z maks[ [YX O A(4, 0)C(0, 9)D(0, 5)B(8, 0)Gambar 2.6Daritabeldiatas,terlihatbahwanilaiminimumbentukobjektif z = 8x + 10y adalah z = 32, yaitu untuk x = 4 dan y = 0.TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugasUntuk menghasilkan barangjenis A seharga Rp500.000,00memerlukan bahan baku 20 kgdanwaktukerjamesin24jam.BarangBsehargaRp700.000,00memerlukanbahan baku 30 kg dan waktukerjamesin18jam.Bera-pakah nilai maksimum darimasing-masing jenis barangyangdapatdibuatselama720 jam waktu kerja mesindan 750 kg bahan baku?Contoh 3:Diketahui luas lahan parkir 360 m2. Untuk sebuah mobil dansebuah bus, berturut-turut membutuhkan lahan 6 m2 dan 24 m2.Daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan.Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir jikabiaya parkir untuk sebuah mobil Rp1.500,00 dan sebuah busRp3.000,00.Jawab:Terlebihdahulukitaterjemahkanpermasalahantersebutkedalam model matematika dengan cara membuat tabel sepertiberikut.Mobil (x) Bus (y) PersediaanLuas Lahan 6 24 360Daya Tampung 1 1 30Biaya Parkir 1.500 3.00067 Program LinearMisalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y. Daritabel di atas dapat dibuat model matematika berikut.Fungsi objektif: memaksimumkan z = 1.500x + 3.000yKendala: 6x + 24ys360 atau x + 4ys60x + ys30x~0y~0x, y CKita tentukan titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30dengan sumbu koordinat Cartesius, seperti terlihat pada keduatabel berikut.x 0 30y 30 0(x, y) (0, 30) (30, 0)x 0 60y 51 0(x, y) (0, 15) (60, 0)Kitabuatdaerahhimpunanpenyelesaiankendala-kendaladalam bidang Cartesius.Kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi.x + 4y = 60x + y = 30 3y= 30= y = 10TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugasMisalkanseseorangpe-dagangsepatumemilikimodal Rp8.000.000,00. Diaakan merencanakan membeliduajenissepatu,yaitusepatujenisIdansepatujenisII.HargabelisepatujenisIRp20.000,00perpasangdansepatujenisIIRp16.000,00perpasang.KeuntungandaripenjualansepatujenisIdansepatujenis II berturut-turut adalahRp9.000,00 dan Rp8.500,00perpasang.Mengingatkapasitaskiosnya,iaakanmembelimaksimal450pasangsepatusaja.Bagai-manamodelmatematikaprogramlineardarikasusini?Gambar 2.7YX OB(20, 10)603015CAx + 4y = 6030x + y = 30Denganmenyubstitusikany=10kesalahsatupersamaan,diperoleh x = 20. Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah(20, 10).Darigambardiatas,terlihatdaerahpenyelesaiannyamem-punyai empat titik sudut, yaitu O(0, 0), A(30, 0), B(20, 10), danC(0, 15). Selanjutnya, kita selidiki nilai objektif z = 1.500x +3.000yuntukmasing-masingtitiksudut.Perhatikantabelberikut.68 Khaz Matematika SMA 3 IPSb. Metode Garis Selidik ax + by = kCaralainyanglebihsederhanauntukmenentukannilaimaksimum atau minimum dari fungsi objektif z = ax + by adalahdengan menggunakan garis selidik ax + by = k. Langkah-langkahuntukmenggunakanmetodegarisselidikiniadalahsebagaiberikut.1) Gambargarisax+by=abyangmemotongsumbuXdititik (b, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, a).2) Tarik garis yang sejajar dengan ax + by = ab yang melaluititik-titikperpotonganpadabatas-batasdaerahhimpunanpenyelesaian.3) Garis selidik yang berada di paling atas atau yang berada dipaling kanan menunjukkan nilai maksimum, sedangkan garisselidik yang berada di paling bawah atau di paling kiri padadaerah himpunan penyelesaian menunjukkan nilai minimum.Titik O(0, 0) A(30, 0) B(20, 10) C(0, 15)x 0 30 20 0y 0 0 10 15z = 1.500x + 3.000y 0 45.000 60.000 45.000 z maksDari tabel di atas, terlihat nilai maksimumnya adalahz = 60.000, yaitu untuk x = 20 dan y = 10.Jadi,tukangparkirituakanmemperolehpenghasilanmaksimum, yaitu Rp60.000,00 jika ia dapat menerima parkirmobil sebanyak 20 buah dan parkir bus sebanyak 10 buah.Tugas: Inkuiri Kerjakan di buku tugasSelain menggunakan meto-de eliminasi untuk mencarititikpotongantara2garis,dapatkah kita menggunakancaralain?Jikaya,caraapakah itu? Bagaimana caramenyelesaikannya?Contoh 1:TantanganEkplorasi Kerjakan di buku tugasMisalnya seorang pedagangkakilimamenyediakanmodal Rp165.000,00 untukmembeli buku. Harga bukujenis I Rp2.000,00 dan hargabukujenisIIRp5.000,00.Banyak buku jenis I yang iabeli tidak lebih dari tiga kalibanyakbukujenisII.IamengambilkeuntunganRp300,00 untuk setiap bukujenisII.Jikabuku-bukuyangiabelidengancaratersebut terjual habis, berapakeuntungan maksimal yangia peroleh?Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi objektifz = 2x + 3y yang memenuhi x + y s7, x ~0, dan y ~0, x, y R.Jawab:Daerahpenyelesaiansistempertidaksamaantersebutadalahseperti gambar di samping.Untukmenggunakanmetodegarisselidikax+by=k,ikutilah langkah-langkah berikut.a) Gambarlah garis 2x + 3y = 2(3) = 2x + 3y = 6. Anggap sebagaigaris k0.b) Tariklah garis k1 yang sejajar garis k0 melewati titik A(7, 0).Tarikgarisk2yangsejajark1danmelaluititikB(0,7).Kemudian, tarik garis k3 yang sejajar k2 dan melalui titik(0, 0).69 Program LinearYX O2x + 3y = 6B(0, 7)77A(7, 0)k2k1k0k3garis palingbawahgaris palingatasGambar 2.8Terlihat bahwa dari Gambar 2.8, garis k2 letaknya paling atas,berarti nilai maksimum dari z = 2x + 3y dicapai pada titik B(0, 7).Jadi, nilai maksimum dari z = 2z + 3y = 2(0) + 3(7) = 21. Garis k3letaknya paling bawah, berarti nilai minimum dicapai pada titikO(0, 0) sehingga nilai minimum dari z = 2x + 3y = 2(0) + 3(0) = 0.Contoh 2:Seorangpetaniinginmemberikanpupukpadatanamanpadinya.Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya600gfosfordan720gnitrogen.PupukImengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. PupukIImengandung20gfosfordan40gnitrogenperbungkus.Petaniituinginmencampurkeduapupuktersebut.Satubungkus pupuk I harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganyaRp14.500 per bungkus. Tentukan biaya minimum yang harusdikeluarkan oleh petani tersebut.Jawab:Untukmenjawabpermasalahandiatas,terlebihdahulukitaterjemahkankedalammodelmatematika.Untukmempermudah, kita buat tabel seperti berikut.Kandungan Pupuk I (x) Pupuk II (y) KebutuhanFosfor 30 20 600 gNitrogen 30 40 720 gHarga 17.500 14.500Misalkan banyak pupuk I adalah x dan banyak pupuk II adalah y.Dari tabel di atas, diperoleh model matematika sebagai berikut.Fungsi objektif: meminimumkan z = 17.500x + 14.500y.PerhatianJikavariabelnyabilangancacah, penyelesaian optimumdiperolehdarititiksudutyangabsisdanordinatnyabilangan cacah. Akan tetapi,jikasalahsatuabsisatauordinatnyabukanbilangancacah, penyelesaian optimumdiperoleh dari titik di dekat(persekitaran) titik tersebut.70 Khaz Matematika SMA 3 IPSKendala-kendala: 30x + 20y~600= 3x + 2y~6030x + 40y~720= 3x + 4y~72x, y~0; x, y RJika digambarkan, daerah penyelesaian pertidaksamaan di atasadalah sebagai berikut.YX OC(0, 30)A(24, 0)24 201830BGambar 2.9Tugas: Eksplorasi Kerjakan di buku tugasCoba kalian kerjakan keduacontohdiatasdenganmetodeujititiksudut. Apakesimpulanmu?Tentukan nilai maksimum dari