2010 年新课标高考数学试

卷分析及 2011 年复习建议 陈文胜

Ⅰ. 2010 年各地高考数学试卷分析 一 . 试题平和，贴近考生

二 . 充满数学思辨，深入考查数学思想

三 . 注重知识交汇，提高对思维能力的考查深度和广度

四 . 考查实践能力，贴近生活，背景公平

五 . 设计新颖试题，让考生展示创新能力

Ⅱ. 2011 年科学备考的几点建议

Ⅰ. 2010 年各地新课标高考数学试题分析

一 . 试题平和，贴近考生

试题设计突出了对基础知识，基本技能，基本方法的考查。从各试卷的大部分题目的设计中可以看出以下几个特点：考查的内容是常见的；解题的思路是常规的；解题的方法是常用的。

1 ．源于课本，重在主干

例 1．（ 2 0 1 0 安 徽 理 2 0） 设 数 列 a 1， a 2， … ， a n， … 中 的 每 一 项 都 不 为 0．

证 明 ： { a n }为 等 差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 对 任 何 n ∈ N *， 都 有

1 2 2 3 1 1 1

1 1 1

n n n

n

a a a a a a a a

．

例 2 ．（ 2010 北京理 14 ）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC

沿 x 轴滚动．设顶点 P(x ， y) 的轨迹方程是 y=f(x) ，则 f(x) 的最小正周期为 ； y=f(x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 ．

2. 题型常见，情境常新

例 3．（ 2010 全国新课标理 13）设 y=f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 0≤

f(x)≤ 1，可以用随机模拟方法近似计算积分1

0( )f x dx ，先产生两组（每组 N 个）

区间[0，1]上的均匀随机数 x1，x2，…，xN和 y1，y2，…，yN，由此得到 N 个点(xi，

y i)（ i=1，2，…，N），再数出其中满足 yi≤ f(x i)（ i=1，2，…，N）的点数 N 1，

那么由随机模拟方案可得积分1

0( )f x dx 的近似值为 ．N 1/ N

3. 题目基础，要求不低

例 4．（2010全国新课标理 11文 12）已知函数 f(x)=

.1062

1

100|lg|

xx

xx

，

，，若 a，b，c

互不相等，且 f(a)= f(b)= f(c)，则 abc 的取值范围是( )．

A．(1，10) B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)

例 5．（2010全国新课标理 16） △在 ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=1

2DC，

∠ ADB=120，AD=2 △，若 ADC 的面积为 3 3 ，则∠ BAC=_______．

4. 坡度平缓 , 层次分明

（ 1 ）整个试卷安排具有层次性。

（ 2 ）在难题的设计上，通过分层设问，缓解了难度， （ 3 ）体现了文理的差异。

5 ．新增内容，必然体现

（ 1）逻辑量词；

（ 2）函数与方程：函数的零点，零点存在定理，二分法；

（ 3）概率与统计：随机模拟，变量间的相关关系，茎叶图，

假设性检验，几何概型；

（ 4 ）算法：程序框图，算法举例； （ 5 ）空间几何体三视图；

（ 6 ）定积分； （ 7 ）几何证明选讲； （ 8 ）不等式选讲；

（ 9）坐标系与参数方程；

教学启示： 1 ．抬头看路与埋头拉车

问题：依据“教辅”和以往的经验开展高三总复习，忽视《标准》、《说明》的学习．

策略：各省自行命题，有各自的省情和考查要求，国家《标准》《大纲》和本省的《说明》复习备考的直接依据，高考国家卷、本省卷是复习备考重点剖析的对象，而外省高考卷是辅助，是补充．

2 ．“面”的复习与“点”突出

一是从知识点角度，知识的全面复习与重点（主干）知识的突出复习；二是学习层次角度，每块知识内容的全面复习与核心概念、核心思想方法的突出呈现．

“点”“面”结合，“面”的彻底打扫，不放过一个盲点；“点”的重视，突出核心．

3 ．注意旧教材内容在新课标下的变化 ①函数的反函数； ②解析几何删掉两条直线的夹角，有向线段的定比分点，椭 圆及双曲线的准线； ③文科增加复数，删掉排列组合及二项式定理，降低了对概 率和立体几何的考查要求。

【例】（2010江苏 20）设 f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为 f(x)．如

果存在实数a和函数 h(x)，其中 h(x)对任意的 x∈(1，+∞)都有 h(x)＞0，使得

f(x)=h(x) (x2–ax+1)，则称函数 f(x)具有性质 P(a)．

Ⅰ（ ）设函数 f(x)=lnx+1

2

x

b（x＞1），其中 b为实数．

（i）求证：函数 f(x)具有性质 P(b)；（ii）求函数 f(x)的单调区间．

Ⅱ（ ）已知函数 g(x)具有性质 P(2)，给定 x1，x2∈(1，+∞)，x1＜x2，设m为实

数， =mx1+(1–m)x2，=(1–m)x1+mx2，且＞1，＞1，若|g()–g()|＜

|g(x1)–g(x2)|，求m的取值范围．

二 . 充满数学思辨，深入考查数学思想

1. 对数学概念的思辨

例6．（2010安徽 理15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红

球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3

表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表

示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结

论的编号）．

①P(B)=5

2； ②P(B|A1)=

11

5； ③事件B与事件A1相互独立；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

2. 对题目条件的思辨

例 7．①（2010安徽理 9）动点 A(x，y)在圆 x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向

匀速旋转，12 秒旋转一周．已知时间 t=0 时，点 A 的坐标是(12，

32 )，则当 0≤

t≤ 12 时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）

A．[0，1] B．[1，7] C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]

②（2010全国新课标理 4文 6）如图，质点 P在半径为 2的圆周上逆时针运动，

其初始位置为 P0( 2 ，– 2 )，角速度为 1，那么点 P 到 x轴距离 d关于时间

t 的函数图像大致为（ ）

A． B．

C． D．

例 8 ．（ 2010 福建理 15 ）已知定义域为 (0 ， +∞) 的函数 f(x) 满足：

（ 1 ）对任意 x (∈ 0 ， +∞) ，恒有 f(2x)=2f(x) 成立；

（ 2 ）当 x (∈ 1 ， 2) 时， f(x)=2–x ．给出如下结论：

① 对任意 m∈Z ，有 f(2m)=0 ；

② 函数 f(x) 的值域为 [0 ， +∞] ；

③ 存在 n∈Z ，使得 f(2n+1)= 9 ；

④“ 函数 f(x) 在区间 (a ， b) 上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Z ，

使得 (a ， b)(2k ， 2k+1)” ． 其中所有正确结论的序号是 ．

3. 对题目探究的思辨

4. 对解法选择的思辨例 9 ． ①（ 2010 天津理 10 ）如图，用四种不同颜色给图中的 A，

B， C， D， E， F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每

条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A． 288 种 B． 264 种 C． 240 种 D． 168 种

基础知识复习与学科能力培养

问题：一个现象是（由于学生学习基础弱、学习自觉性不够、知识遗忘严重）过于强调知识性的基础复习，以记忆性的解题练习为主；另一个现象是（学生的层度高），忽视基础，以高难度的解题训练为主．

策略：当然，基础知识的复习是重要的，其目的一，知识的再现，归纳梳理，强化训练，加深理解（内涵与外延），学会运用（快速提取知识解决问题）．其目的二，引导学生从新的角度重新认识，促其产生认识上的飞跃，完成知识的整合与重组，达到提高学生数学能力的目的．

教学启示：

三．注重知识交汇，提高对思维能力的考查深度和广度

（ 1 ）解答题的综合主要是主干知 识的交汇 .①函数，导数，方程和不等式交汇的试题

②数列与不等式交汇的试题

③含参数的不等式恒成立、能成立、恰成立问题

④数列与解析几何交汇的试题

⑤向量与三角，与解析几何，与数列等的交汇试题

⑥切线－导数与圆锥曲线的综合

（ 2 ）从一套试卷看，试题的综合主要体现

在一个主干知识在多个题目中交汇以不等式为例，不等式是解决数学问题的重要工具，在试卷中，单独出现不等式的题目并不多见，但是，它却多次出现在与其它知识交汇的题目中。

四．考查实践能力，贴近生活， 背景公平

概率与统计应用题

这一试题设计，有以下几点好处：

(1) 考查了解决实际问题的能力和数学建模能力等实践能力 ;

(2) 考查了必然与或然的数学思想 ;

(3) 体现了新课程标准的理念 ;

(4) 控制了试卷的难度 .

从试题的统计可以看出这样几个特点：

（ 1 ）贴近课本

（ 2 ）贴近考生

例 10．（2009 福建理 8）已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0到 9之间取整数值的随机数，指定 1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了 20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）

A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15

例 11．①（2009 宁夏理 3）对变量 x，y有观测数据理力争(x1，y1)（i=1，2 …， ，10），得散点图 1；对变量 u，v 有观测数据(u1，v1)（i=1，2 …， ，10），得散点图 2.由这两个散点图可以判断（ ）

A．变量 x与 y正相关，u与 v 正相关 B．变量 x与 y正相关，u与 v负相关 C．变量 x与 y负相关，u与 v 正相关 D．变量 x与 y负相关，u与 v负相关

②（2010湖南文3）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）

A．y=–10x+200 B．y=10x+200

C．y=–10x–200 D．y=10x–200

③ （ 2 0 0 7 广 东 文 1 8 ） 下 表 提 供 了 某 厂 节 能 降 耗 技 术 改 造 后 生 产 甲 产品 过 程 中 记 录 的 产 量 x（ 吨 ） 与 相 应 的 生 产 能 耗 y（ 吨 标 准 煤 ） 的 几 组对 照 数 据 ．

x 3 4 5 6

y 2 . 5 3 4 4 . 5

（ Ⅰ ） 请 画 出 上 表 数 据 的 散 点 图 ；

（ Ⅱ ） 请 根 据 上 表 提 供 的 数 据 ， 用 最 小 二 乘 法 求 出 y 关 于 x 的 线 性 回

归 方 程ˆ ˆy b x a ；

（ Ⅲ ） 已 知 该 厂 技 改 前 1 0 0 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 为 9 0 吨 标 准 煤 ． 试 根据 （ Ⅱ ） 求 出 的 线 性 回 归 方 程 ， 预 测 生 产 1 0 0 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 比技 改 前 降 低 多 少 吨 标 准 煤 ？

（ 参 考 数 值 ： 3 × 2 . 5 + 4 × 3 + 5 × 4 + 6 × 4 . 5 = 6 6 . 5 ）

例12．（2009 广东文18）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他

们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7．

Ⅰ（ ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

Ⅱ（ ）计算甲班的样本方差；

Ⅲ（ ）现从乙班这 10名同学中随机

抽取两名身高不低于 173cm 的同学，

求身高为 176cm 的同学被抽中的概率．

例 1 3 ． （ 2 0 1 0 全 国 新 课 标 理 1 9 ） 为 调 查 某 地 区 老 人 是 否 需 要 志 愿 者 提供 帮 助 ， 用 简 单 随 机 抽 样 方 法 从 该 地 区 调 查 了 5 0 0 位 老 年 人 ， 结 果 如下 ：

性 别

是 否 需 要 志 愿 男 女

需 要 4 0 3 0

不 需 要 1 6 0 2 7 0

（ Ⅰ ） 估 计 该 地 区 老 年 人 中 ， 需 要 志 愿 者 提 供 帮 助 的 老 年 人 的 比 例 ；

（ Ⅱ ） 能 否 有 9 9 ％ 的 把 握 认 为 该 地 区 的 老 年 人 是 否 需 要 志 愿 者 提 供 帮助 与 性 别 有 关 ？

（ Ⅲ ） 根 据 （ Ⅱ ） 的 结 论 ， 能 否 提 供 更 好 的 调 查 方 法 来 估 计 该 地 区 老年 人 ， 需 要 志 愿 帮 助 的 老 年 人 的 比 例 ？ 说 明 理 由 ．

附 ： ))()()((

)( 22

dbcadcba

bcadnK

P ( 2 ≥ k ) 0 . 0 5 0 0 . 0 1 0 0 . 0 0 1

k 3 . 8 4 1 6 . 6 3 5 1 0 . 8 2 8

五．设计新颖试题让考生展示创新能力

新《考试说明》以“高考对能力的考查，应以抽象概括能力、推理论证能力为重点”替代旧《考试说明》中的“高考对能力的考查，应以逻辑思维能力为核心”。事实上，过去所突出的对思维能力的考查中又特别强调了严谨的逻辑思维能力考查，对学生创造性的培养是不利的。新《考试说明》将思维能力进一步细化成抽象概括能力和推理论证能力，同时，对于推理不局限于演绎推理，还特别重视合情推理（归纳推理和类比推理），从而以此来考查学生大胆设问、勇于猜想的创新能力。

1. 条件或结论开放型试题举例

例 14 ．（ 2008 全国 Ⅱ理 16 ）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件① ；

充要条件② ；

（写出你认为正确的两个充要条件）

2. 定义信息型试题举例

例15．（2010湖北理10）记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，

最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边长位a，b，c（a≤b≤c），定

义它的倾斜度为l=max{b

a，c

b，a

c}•min{b

a，c

b，a

c}，“则l=1”是“△ABC

”为等边三角形的（ ）

A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 图象信息型试题举例例 16．（2010江西理 12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出

水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S( t)（S(0)=0），则导函数 y=S(t)的

图像大致 为（ ）

A． B．

C． D．

4. 研究型试题举例

例17．（2010浙江 理14）设n≥2，n∈N，(2x+ 12)

n–(3x+13)

n=a0+a1x+a2x2+

…+anxn，将|ak|（0≤k≤n）的最小值记为Tn，则T2=0，T3=32

1–

33

1，T4=0，

T5=52

1–

53

1，…，Tn，…， 其中Tn=______________．

Ⅱ.2011 年科学备考的几点建议

1 ．把握高考方向，提高复习质量的几条原则（ 1 ）立足双基，突出重点的原则高考《考试大纲》强调 :对基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试题的主体，注重知识的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面 .这是对数学科命题的整体要求，这种要求在命题中，只有通过对各章的双基和重点内容的考查才能真正体现出来，这就要求在数学高考复习中始终把基础知识，基本技能放在重要的位置上，与此同时还要突出重点知识，并加以反复锤炼 .

例如，不仅在第一轮复习时注意双基，在第二轮复习以及综合训练时，一个重要的做法就是坚持回到基础上来。

（ 2 ）纵横联系，提高能力的原则

由于高考数学试题是以知识网络的交汇点作为试题设计的起点，着力点，对数学知识的考查要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合，基于这一命题思想，近几年，高考数学试题的数学综合程度不断增强，而许多试题难就难在综合上，难在对学生综合运用知识能力的考查上，因此对数学知识适度交汇，注意例题的综合性，培养综合能力从复习一开始就要引起重视（第一轮要适度）。

在能力备考阶段，最好采用专项训练的方法，抓住知识的横向联系，以综合题为中心设计训练专项。专项的确定应以高考的热点为依据。

对于具体题目的复习，关键在于抓住题目的解题思想与理性思维能力的训练，因此每解一个题目都要考虑，解题时是用什么思想作指导，主要考查了什么能力，例如，在解立体几何题目时，就要考虑识图，画图，想图能力的训练，逻辑推理能力的训练，在解许多题目时，有些学生把思维的重点只是放在解题的思路上，认为只要会解就可以了，就容易忽略运算能力和表达能力的训练。例如，分类与整合的思想就是学生处理不好的一个大问题，需要靠训练来解决。

（ 3 ）思想、能力训练贯彻始终原则

2 ．把握高考方向，提高复习质量的几个策略

（ 1 ）准确定位——研究学生，提高复习的针对性策略

①高考的考查要求与学生的实际水平

合理定位，依据学生水平以及内容价值．依据本校、本班学生的实际水平，结合相关内容的教学价值，对所授内容进行合理定位．

②教学进度与教学难度 全局意识，统筹安排整学年的复习，复习进度过快或过慢都是不利于全局的复习安排．牺牲“难度”也不要牺牲“进度”，保证完成既定的复习进程．两个原因：一是有些内容的学习与理解掌握需要一个过程，感性到理性，逐渐领悟，第一轮复习着重落实“三基”，立足中、低档要求，不盲目拔高，不追求“一步到位”；二是给教师的备课与上课一个压力，提高教学的效率，向效益要质量（而不是向时间要质量）．

③教师的“讲”与学生的“学” 教师的“教”要服务于学生的“学”．充分了解学生的学习情况，课堂的“练”，要练在要害处；课堂的“讲”，要讲在学生的需求点上，缩小问题的切口，一节课着力解决一个或若干个问题．

（前苏联第二十届数学奥林匹克试题）正数 a ， b ， c ， A ，B ， C 满足条件 a+A=b+B=c+C=k ．求证： aB+bC+cA＜ k2 ．

证法 1 ：∵ k3=(a+A)(b+B)(c+C)=abc+ABC+k(aB+bC+cA)

＞ k(aB+bC+cA)

∴aB+bC+cA＜ k2 ．

组委会点题：巧用放缩法，妙解奥赛题。

证法 2 ：考察 a(k–b)+b(k–c)+c(k–a)–k2

把上式左端视为关于 c 的函数式，令 f(c)=(k–a–b)c+ k(a+b)–ab–k2 ，当 k–a–b=0 时， f(c)= k2–ab–k2=–ab＜ 0 ;

当 k–a–b≠0 时， f(c) 为一次函数，因而是 (0 ， k) 上的单调函数，又 f(0)= k(a+b)–ab–k2=(k–a)(b–k)＜ 0 ， f(k)=–ab＜ 0 ，∴f(c) 在 (0 ， k) 上恒为负值，∴ (k–a–b)c+ k(a+b)–ab–k2 ＜ 0

，故 aB+bC+cA＜ k2 ．高中生点题：巧用构造法，妙解奥赛题。

证法 3 ：如右图，作边长为 k 的等边三角形△ PQR ，分别在 QR 、 RP 、 PQ 上取点 X 、 Y 、 Z ，使 QX=A ，XR=a ， RY=B ， YP=b ， PZ=C ， ZQ=c ，

得到： S1+ S2+ S3＜ S△PQR ，

即 aBsin60+bCsin60+cAsin60＜ k2sin60

∴aB+bC+cA＜ k2 ．初中生点题：巧用三角形，妙解奥赛题。

证法 4 ：作边长为 k 的正方形，有关尺寸如图．

得到： S1+ S2+ S3＜ S 正方形，

即 aB+bC+cA＜ k2 ．小学生点题：巧用正方形，妙解奥赛题。

众人惊愕！

初中生笑了，高中生不好意思了，老师先是惊得目瞪口呆，继而发出会心的微笑，连称：“好！好！！好！！！你们都是好样的！”

（ 2 ）重视知识的归纳梳理策略 系统论认为：系统地组织起来的材料所提供的信息远远大于部分材料提供的信息之和。因此数学复习时，不应只是把所学过的数学知识简单地重复，而应该把基础知识从整体上按数学的逻辑结构、知识之间的内在联系，进行整理，还要把平时所学的各个单元的局部的分散的零碎知识，解题的思想方法，解题的规律进行数学联结，从而使学生能从整体上，系统上，网络上把握知识、思想和方法。

对基础知识、基本技能的系统复习不是对数学知识的简单重复，而是从规律上，从内在联系上，从外部联系上形成一个网络．在复习中，要精化每一个概念，夯实每一点基础知识，掌握好每一个思想方法。

（ 3 ）重视例题选择和解法示范策略

在复习时，例题的选择很重要。对例题的选择标准要注意典型性、示范性、综合性、灵活性和探究性，每一个题目都应该是一类题的代表，要做到由题及类，触类旁通，“量不在多，典型就行，题不在难，反思就灵．”高考试题是经过命题组反复推敲，不断打磨命制的，因此，使用好历年高考试题是最好的选择。例如，含参数的二次函数的最值问题在复习题及高考试题中屡屡出现，但是，学生每次遇到时还是把它看作是生题，原因就在于这种例题肯定讲，但是精讲不够，可能只是就题论题，另一方面就是再遇到这类问题时，没有注意化归。

（ 4 ）重视解题后的反思策略

在高考复习时，关键的问题要解决盲目解题的问题，常常遇到这种情形，学生每天都埋在题目之中，做了许多题，但是过一段时间，前面做过的题目全忘了，无效劳动太多。

如何解决呢？关键的一点就在于反思，“题海无边，回头是岸”，“功夫不是下在多解题上，而是用在解题后的反思上”，要让学生懂得“好题第三遍才能真正明白”的道理，那么，反思什么呢？

（ⅰ）对审题的反思

例 1．（ 2009 江西理 12 ）设函数 f(x)= (a＜0) 的定义域为 D ，若所有点 (s ， f(t)) (s ， t∈D)构成一个正方形区域，则 a 的值为（ ）

A –． 2 B –． 4 C –． 8 D．不能确定

cbxax 2

例 2.（2009 上海理 12）已知函数 f(x)=sinx+tanx.项数为

27的等差数列{an}满足

22

，na ，且公差 d≠0.

若 f(a1)+ f(a2)+…+ f(a27)=0，则当k= 时，f(ak)=0.

（ⅱ）对解题思维过程的反思

（ⅲ）对解法多样化的反思例3．（2008重庆 文 12）函数f(x)=

sin

54cos

x

x(0≤x≤2)的值域是( ).

A．[–11,

44] B．[–

11,

33] C．[–

11,

22] D．[–

22,

33]

解法一：将y=

sin

54cos

x

x两边平方整理得：sin2x–4y2cosx–5y2=0，

即cos2x+4y2cosx+5y2–1=0，令t=cosx，则t2+4y2t+5y2–1=0在[–1，1]内有解，

则 △=16y4–4(5y2–1)≥0， 解得–2

1≤y≤

2

1.

–1≤–2y≤1，

解法二： |y|= ，令 t=5+4cosx [1∈ ， 9] ，

则 |y|= = ，

∵6≤ t + ≤10 ，∴ |y|≤ ，即 – ≤ y≤ . 2

1

2

1

2sin

5 4cos

x

x

21 16 ( 5)

4

t

t

1 910

4tt

2

1t

9

解法三： |f(x)|= .

∵ = ( )( )

≥16 ， ∴ |f(x)|≤ ，∴ – ≤ f(x)≤ . 2

1

2

1

2cos

1

2sin

9

2

2sin

2cos9

|2

cos2

sin|2

22

22

xxxx

xx

2cos

1

2sin

9

22 xx

2cos

1

2sin

9

22 xx

2cos

2sin 22 xx

2

1

解法四： |f(x)|= 的几何意义是圆 X2+Y2=1 上的点 P

(cos x ， sin x)到直线 Y=0距离与到点 A(–2 ， 0)距离的比。在平面直角

坐标系 X-O-Y 中，作出圆 X2+Y2=1和直线 Y=0 ，由图形可以看出 |f(x)|≤

，

∴– ≤f(x)≤ .

xx

x22 sin)2(cos

|sin|

2

1

2

12

1

（ⅳ）对题目本身及解法本身所存在的

规律的反思

含参数的不等式恒成立、能成立、恰成立问题

例4．（2010天津理15）如图，在△ABC中，

AD⊥AB， 3BC BD����������������������������

，|AD|=1，

则AC•AD= ．

【解析1】AC•AD=|AC|•|AD|cos∠DAC

=|AC|cos∠DAC=|AC|sin∠BAC=|BC|sinB= 3．

【解析2】如图，作DE∥ AB，

由平行线分线段成比例定理得AC= 3AE，

AC•AD= 3AE•AD

= 3|AE|•|AD| cos∠DAC= 3|AD|2 = 3．

（ⅴ）对题目变化的反思例 5 ． ①（ 2006江西理 5 ）对于 R 上可导的任意函数 f(x) ，若满足

(x–1)f(x)≥0 ，则必有（ ）

A ． f(0)+f(2)＜ 2 f(1) B ． f(0)+f(2)≤2 f(1)

C ． f(0)+f(2)≥2 f(1) D ． f(0)+f(2)＞ 2 f(1)

② （ 2004湖南理 12 ）设 f(x) ， g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，

当 x＜ 0 时， f(x)g(x)+ f(x)g(x)＞ 0 ，且 g(–3)= 0 ，则不等式 f(x)g(x)

＜ 0 的解集是（ ）

A ． (–3 ， 0)∪(3 ， +∞) B ． (–3 ， 0)∪(0 ， 3)

C ． (–∞，– 3)∪(3 ， +∞) D ． (–∞，– 3)∪(0 ， 3)

③ （ 2009 天津文 10 ）设函数 f(x) 在 R 上的导函数为 f(x) ，且 2f(x)+xf

(x)＞ x2 ，下面的不等式在 R 上恒成立的是 ( )

A ． f(x)＞ 0 B ． f(x)＜ 0 C ． f(x)＞ x D ． f(x)＜ x

解：当 x＞ 0 时，由已知得 2xf(x)+x2f(x)＞ x3＞ 0 ，即 [x2f(x)]＞ 0 ，

所以 g(x)=x2f(x) 在 (0 ， +∞) 单调递增，故 g(x)＞ g(0)=0 ，因此 f(x)＞

0 ；

当 x＜ 0 时，由已知得 2xf(x)+x2f(x)＜ x3＜ 0 ，即 [x2f(x)]＜ 0 ，

所以 g(x)=x2f(x) 在 (–∞ ， 0) 单调递减，故 g(x)＞ g(0)=0 ，因此 f(x)＞

0 ；

又当 x=0 时，由已知得 f(0)＞ 0 ；故选 A.

解：∵ f(x)≥0 ，∴ xf(x)–f(x)≤xf(x)+f(x)≤0 ．

∵x∈(0 ， +∞) ，∴ x–2[xf(x)–f(x)]≤0 ．即 [x–1f(x)]≤0 ，

∴函数 y=x–1f(x) 在 (0 ， +∞) 单调递减或为常数 .

∴若 a＜ b ，则 b–1f(b)≤a–1f(a) ，即 af(b)≤bf(a). 故选 C.

④ （ 2007陕西理 11 ） f(x) 是定义在 (0 ， +∞) 上的非负可导函数，且满足

xf(x)+f(x)≤0 ．对任意正数 a ， b ，若 a＜ b ，则必有（ ）

A ． af(a)≤f(b) B ． bf(b)≤f(a)

C ． af(b)≤bf(a) D ． bf(a)≤af(b)

通过反思, “做到 做一道题，会一套题，解决一种题型，

”复习一系列知识，掌握一两个规律 ，因此要注意解题的质量，

而不是数量，解题后的思考不仅是一个知识的同化和顺应过

程，也是一个解题与复习的思辨过程，强化过程和升值过程．有

效地进行高考复习，提高复习效率，提高解题质量，才能做到

事半功倍．

数学高考热点问题是高三师生共同关注的焦点，是把握高考方向，研究高考试题必不可少的重要内容，从某种意义讲，对数学高考热点问题的把握是否到位，是否恰如其分，

是高考中能否取得理想成绩的关键。

基础题常考常新，试题知识点的交汇不断丰富，创新题型的出现等是大家比较关注的几个热点，在知识点的交汇上，函数、导数、不等式的综合；数列与不等式的综合；点列问题；解析几何与向量、函数、不等式的综合；圆锥曲线的切线的出现等是近几年的热点。

（ 5 ）热点问题专项训练策略

但是，对高考热点问题没有绝对的界定，都是相对而言的，高考热点问题将随新教材的内容，课改的深入，时代赋予数学学科的责任，大学继续学习的需要的变化而变化，各省市命题思考的角

度也各有不同。对高考热点问题的变，我们只能以不变应万变。 一是基础知识不会变。因此，建议在第一轮复习时，理性的选择是对高考热点问题进行冷处理，把兴奋点放在基础知识的全面落实上，以夯实基础的不变应高考热点问题的万变。

二是高考热点问题的命题思路和着力点不会变。这就是：对数学知识的全面把握，对基础知识的深加工，对创新理念的输入，对探究问题的设计等，因此，第二轮复习时，最好采取专项训练的方式，通过专题讲解和专题练习提高思维能力和解题水平，以提高能力的不变应高考热点问题的万变。