УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ – СОФИЯ

ЕТ „АЛИСА – БРАНИМИР ЧАВДАРОВ”

СИМУЛАТИВЕН ИЗПИТ 27.06.2010 год.

Задача 1.(6 точки) Дадена е функцията ( )2( ) , 0f x x a a= − > Нека

допирателната към графиката в точката от нея с абсциса ( )0;x a∈ пресича

осите Ох и Оу съответно в точките N и P. а)(2 точки) Да се докаже, че ( )2tg ONP a x= −∢ .

б)(2 точки) Да се докаже, че т. N е среда на отсечката МК, където М(х;0) и К(а;0). в)(2 точки) За коя стойност на х лицето на ONP△ е най-голямо? Задача 2.(7 точки) В ABC△ ъгълът при върха А е 30о, АС<АВ, радиусът на описаната му окръжност е 1 и радиусът на външновписаната му към страната

ВС окръжност е равен на 3 3

2

−.

а)(3 точки) Да се докаже, че периметърът му е 3 3+ . б)(2 точки) Да се докаже, че ъгълът при върха С е прав. в)(2 точки) Да се намери разстоянието между центровете на описаната и външновписаната към страната ВС окръжности. Задача 3.(7 точки) Основата на пирамидата АВСD е равностранен ABC△ със страна 2а. Ръбът АD е перпендикулярен на основата и ъгълът между стените АВС и ВСD е 30о. а)(3 точки) Да се намери обемът на пирамидата. б)(2 точки) Да се намери радиусът на вписаната в пирамидата сфера. в)(2 точки) Да се намери разстоянието между правата AD и правата, минаваща през средата на ръба BD и точката N от ръба CD, която го дели в отношение 3:1. Забележка! Оценката О се изчислява по формулата О = 2 + 0,2k , където k е броят на точките, получени от кандидата и точността е до половин точка.