2011 г. сентябрь октябрь т. 66, вып. 5(401) УСПЕХИ...

2011 г. сентябрь — октябрь т. 66, вып. 5 (401)УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

УДК 512.542

Теоремы силовского типа

Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин

Пусть π – некоторое множество простых чисел. Обобщая известныесвойства силовских подгрупп, Ф. Холл ввел классы Eπ, Cπ и Dπ конеч-ных групп, содержащих соответственно π-холлову подгруппу, ровно одинкласс сопряженных π-холловых подгрупп и ровно один класс сопряжен-ных максимальных π-подгрупп. В этой статье обсуждаются результатыразных лет и разных авторов, касающиеся классов Eπ, Cπ и Dπ.

Библиография: 113 названий.

Ключевые слова: холлова подгруппа, конечная группа, конечнаяпростая группа, холлово свойство, критерий существования холловых под-групп, критерий сопряженности холловых подгрупп, конечные группы ли-ева типа, аналог теоремы Силова для холловых подгрупп.

Содержание

1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Холловы подгруппы конечных простых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. Критерий свойства Eπ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. Критерий свойства Cπ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. Критерий свойства Dπ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157. Дальнейшие результаты, перспективы и открытые вопросы . . . . . . . . . . . . 18Приложение 1. Классификация нестандартных холловых подгрупп в ко-

нечных простых группах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Приложение 2. Классификация конечных простых Dπ-групп . . . . . . . . . . . . . 38Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Работа выполнена при поддержке РФФИ (коды проектов 11-01-00456, 10-01-00391 и10-01-90007), АВЦП Рособразования “Развитие научного потенциала высшей школы” (про-ект 2.1.1.10726), ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России”на 2009–2013 гг. (гос. контракты 02.740.11.5191 и 14.740.11.0346), программы “Ведущиенаучные школы” (проект НШ-3669.2010.1). Первый автор поддержан также премией фондаБальзана, присужденной Пьеру Делиню в 2004 г., и Лаврентьевским грантом СО РАН дляколлективов молодых ученых (постановление Президиума СО РАН 43 от 04.02.2010).

c© Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин, 2011

3

4 Е.П. ВДОВИН, Д.О. РЕВИН

1. Введение

Понятие группы, возникшее на стыке XVIII–XIX веков из работ Лагранжа,Руффини, Абеля и Галуа, явилось обобщением фундаментальных свойств сим-метрии, роль которой в науке общеизвестна. Это понятие оказалось чрезвычай-но плодотворным благодаря, с одной стороны, формальной простоте, а с дру-гой – универсальности. Последняя состоит в том, что с любым реальным илимыслимым объектом можно связать группу его “симметрий”, т. е. некоторыхобратимых преобразований, оставляющих данный объект инвариантным и од-новременно сохраняющих какие-либо его заранее зафиксированные свойства.Многие разделы математики и естествознания используют язык теории группв качестве рабочего, а некоторые важные и сложные проблемы даже получи-ли благодаря переходу на этот язык исчерпывающее решение (теория Галуа,теория Вессио–Пикара, классификация Федорова кристаллов и т. д.).

Одной из фундаментальных задач теории групп является изучение подгруп-пового строения данной группы.

Важным является случай, когда группа конечна, т. е. содержит конечноечисло элементов. Это число, называемое порядком группы, служит ее есте-ственной арифметической характеристикой и определяет многие ее свойства.

В этой области исторически, пожалуй, самым первым значимым результа-том стала теорема Лагранжа, утверждающая, что порядок |G| конечной груп-пы G делится на порядок любой подгруппы. Это несложное утверждение имеетисключительное значение и во многом определяет проблематику теории конеч-ных групп. Теорема Лагранжа демонстрирует, насколько сильно порядок груп-пы определяет ее подгрупповое строение. Например, оказывается, что группапростого порядка циклическая и не содержит никаких собственных нетриви-альных подгрупп. Обращение теоремы Лагранжа неверно: в общем случае недля всякого делителя m числа |G| в группе G найдется подгруппа порядка m.Скажем, Alt4, знакопеременная группа степени 4, имеющая порядок 12, не име-ет подгрупп порядка 6. Тем более удивительной является следующая теорема,доказанная в 1872 г. норвежским математиком Л. Силовом.

Теорема 1.1 (Л. Силов [1]). Пусть p – простое число, G – конечная группапорядка pαm и (p, m) = 1. Тогда справедливы следующие утверждения:

(Ep) группа G содержит подгруппу порядка pα (так называемую силовскуюp-подгруппу);

(Cp) любые две силовские p-подгруппы группы G сопряжены;(Dp) всякая p-подгруппа группы G содержится в некоторой силовской

p-подгруппе.

Таким образом, оказывается, что для некоторых делителей порядка группыобращение теоремы Лагранжа все же имеет место. Более того, оказывается,что строение и свойства любой p-подгруппы во многом определяются строениеми свойствами одной-единственной силовской p-подгруппы.

Значение теоремы Силова трудно переоценить. По мнению некоторых спе-циалистов [2]–[4], она является краеугольным камнем теории конечных групп.

ТЕОРЕМЫ СИЛОВСКОГО ТИПА 5

Уже в первом издании 1 классической книги У. Бернсайда [5] теореме Силоваи ее многочисленным приложениям посвящена целая глава. Эта теорема неод-нократно обобщалась различными авторами, в том числе и на бесконечныегруппы.

В теории конечных групп получение теорем силовского типа оформилосьв большое самостоятельное направление, берущее свое начало в работахФ. Холла и С. А. Чунихина [6]–[8]. Как ни странно, теорема Холла, первоеиз таких обобщений, появилась лишь в 1928 г. [6], т. е. спустя более чем 50 летпосле работы Л. Силова. Идея знаменитого английского математика Ф. Холласостояла в том, чтобы вместо силовских p-подгрупп рассматривать более общийобъект – Sπ-подгруппы или, как их впоследствии стали называть, π-холловыподгруппы. Напомним определение.

Пусть π – некоторое множество простых чисел. Символом π′ будем обозна-чать множество тех простых чисел, которые не принадлежат π. Для натураль-ного числа n через π(n) обозначим множество его простых делителей, а дляконечной группы G через π(G) – множество π(|G|). Натуральное число n, длякоторого π(n) ⊆ π, называется π-числом, а группа G, для которой π(G) ⊆ π, на-зывается π-группой. Подгруппа H конечной группы G называется π-холловойподгруппой, если π(H) ⊆ π и π(|G : H|) ⊆ π′. Таким образом, если π состоит изодного простого числа p, то π-холлова подгруппа – это в точности силовскаяp-подгруппа. Холлова подгруппа – это π-холлова подгруппа для некоторогомножества π. Множество всех π-холловых подгрупп группы G будем обозна-чать через Hallπ(G), а множество всех силовских p-подгрупп – через Sylp(G).

В соответствии с утверждениями (Ep), (Cp) и (Dp) теоремы Силова, Ф. Холлввел следующие обозначения для конечных групп.

Определение 1.2 (Ф. Холл [9]). Будем говорить, что конечная группа Gобладает свойством

Eπ, если она содержит π-холлову подгруппу (т. е. Hallπ(G) 6= ∅);Cπ, если G обладает свойством Eπ и любые две π-холловы подгруппы груп-

пы G сопряжены;Dπ, если G обладает свойством Cπ и всякая π-подгруппа группы G содер-

жится в некоторой π-холловой подгруппе.

Конечная группа, обладающая свойством Eπ (соответственно Cπ, Dπ) назы-вается также Eπ- (соответственно Cπ-, Dπ-) группой. Для данного множества πобозначим также через Eπ, Cπ и Dπ классы всех Eπ-, Cπ- и Dπ-групп соответ-ственно. Таким образом, запись G ∈ Dπ означает, что для π-подгрупп конеч-ной группы G справедлив полный аналог теоремы Силова, а записи G ∈ Cπ

и G ∈ Eπ означают справедливость ослабленных аналогов этой теоремы.С учетом обозначений Ф. Холла теорему Силова можно сформулировать

кратко: G ∈ Dp для любых конечной группы G и простого числа p.Для произвольного множества π простых чисел аналогичное утверждение,

вообще говоря, неверно: существуют множество π и конечная группа G такие,

1Имеется в виду издание 1897 г. В списке литературы приведена ссылка на второе издание1911 г. этой книги.


что Hallπ(G) = ∅ (см. пример 1.3). Примеры 1.4 и 1.5 показывают также, чтоEπ 6= Cπ и Cπ 6= Dπ для подходящих π. Рассмотрим эти примеры.

Пример 1.3. Знакопеременная группа Alt5 имеет порядок 60 = 22 · 3 · 5и не содержит элементов порядка 15. Поскольку любая группа порядка 15циклическая, Alt5 /∈ E3,5.

Пример 1.4. Полная линейная группа GL3(2), порядок которой равен 168 =23 ·3·7, обладает двумя классами сопряженных 2, 3-холловых подгрупп: одинкласс составляют стабилизаторы прямых естественного трехмерного модуля,а другой – стабилизаторы плоскостей. Таким образом, GL3(2) ∈ E2,3 \C2,3.

Пример 1.5. Любая подгруппа порядка 12 = 22 · 3 группы Alt5 являетсястабилизатором точки в естественном подстановочном действии на пяти сим-волах. Поскольку группа Alt5 действует транзитивно, все такие стабилиза-торы сопряжены, и, значит, Alt5 ∈ C2,3. С другой стороны, Alt5 содержит2, 3-подгруппу 〈(123), (12)(45)〉 ' Sym3, действующую без неподвижных то-чек. Следовательно, Alt5 ∈ C2,3 \D2,3.

В 1928 г. Ф. Холл доказал следующую теорему.

Теорема 1.6 (Ф. Холл [6]). Если конечная группа G разрешима, то G ∈ Dπ

для любого множества π простых чисел.

Позднее Ф. Холл [7] и независимо С.А. Чунихин [8] доказали обращение тео-ремы 1.6, показав, что существование p′-холловых подгрупп по всем простымчислам p влечет разрешимость группы. Таким образом, справедлива следую-щая теорема.

Теорема 1.7 (Ф. Холл [7], С. A. Чунихин [8]). Пусть G – конечная группа.Следующие утверждения эквивалентны:

1) G разрешима;2) G ∈ Dπ для любого множества π простых чисел;3) G ∈ Cπ для любого множества π простых чисел;4) G ∈ Eπ для любого множества π простых чисел;5) G ∈ Ep′ для любого простого числа p.

Однако если мы зафиксируем множество π, то классы Eπ, Cπ, Dπ могутоказаться шире класса разрешимых групп, поскольку любая π- или π′-группаобладает свойством Dπ.

Работы Холла и Чунихина дали толчок новому мощному направлению в тео-рии конечных групп – теоремам силовского типа, центральное место в которомзанимает изучение холловых подгрупп и свойств Eπ, Cπ и Dπ (см. [10]–[66]).Отметим, что работы [16], [13] посвящены изучению холловых свойств в бес-конечных группах. Многие результаты по данной тематике нашли освещениев обзорах А.И. Кострикина, С.А. Чунихина и Л.А. Шеметкова [69], [24], [31].Изложение некоторых важных результатов и сведения исторического характе-ра можно найти в монографиях С. А. Чунихина, Л. А. Шеметкова и М. Сузу-ки [3], [32], [53]. Более современные обзоры имеются у Б. Хартли [4] и в моно-графии К. Дёрка и Т. Хоукса [68].


В данной статье мы уделим основное внимание следующему общему вопросу.

Проблема 1.8. Пусть заданы множество π простых чисел и конечнаягруппа G. Будет ли G обладать свойствами Eπ , Cπ или Dπ?

Будут приведены результаты, показывающие, что ответ на данный вопросможно дать в терминах некоторого композиционного ряда группы G.

2. Обозначения

Через π всюду обозначается некоторое фиксированное множество простыхчисел. Для натурального числа n символом nπ обозначается π-часть числа n,т. е. наибольшее π-число, делящее n.

Для краткости будем часто писать также n ≡k m вместо n ≡ m (mod k).Мы пишем m 6 n, если m и n – действительные числа и m не превосходит n,

в то время как обозначения H 6 G, HE G, HCCG будут использоваться намивместо слов “H – подгруппа группы G”, “H – нормальная подгруппа группы G”и “H – субнормальная подгруппа группы G” соответственно.

Для подмножества M группы G положим MG = Mg | g ∈ G.Для группы G будем обозначать через Aut(G), Inn(G) и Out(G) соответ-

ственно группы всех, внутренних и внешних автоморфизмов группы G. Так-же для группы G и ее подгруппы H символами Z(G), Oπ(G), Oπ(G), NG(H)и CG(H) обозначаются соответственно центр группы G, ее π-радикал (наиболь-шая нормальная π-подгруппа), π-корадикал (подгруппа, порожденная всемиπ′-подгруппами), нормализатор в G подгруппы H и ее централизатор.

Мы будем часто использовать обозначения из Атласа конечных групп [69].Для групп A и B через A × B и A B обозначаются соответственно прямоеи некоторое центральное их произведения. Через A : B, A˙B и A . B обознача-ем соответственно некоторые расщепляемое, нерасщепляемое и произвольноерасширения 2 группы A с помощью группы B. Для группы G и подгруппы Sсимметрической группы Symn символом G o S будет обозначаться подстановоч-ное сплетение группы G с помощью группы S (при этом n и вложение S в Symn

считаются заданными).Любая конечная Eπ-группа G действует сопряжениями на Hallπ(G). Через

kπ(G) будем обозначать число орбит относительно этого действия. Для дан-ной π-холловой подгруппы M группы G обозначим через kM (G) число классовсопряженных подгрупп группы G, изоморфных M .

Сделаем несколько замечаний относительно использования классификацииконечных простых групп. В разделе 3 и приложении 1 использование клас-сификации чисто внешнее: для всех известных простых групп приведено опи-сание холловых подгрупп. В остальных разделах утверждения, доказатель-ство которых использует классификационную теорему, помечены символом

2Напомним, что группа G называется расширением группы A с помощью группы B, ес-ли G содержит нормальную подгруппу N , изоморфную группе A, факторгруппа по которойизоморфна B. При этом если G содержит подгруппу M такую, что M ∩ N = 1 и G = MN ,то такое расширение называют расщепляемым.


(mod CFSG). Во всех таких утверждениях использование классификации яв-ляется ограниченным в том смысле, что для любой конечной группы, у кото-рой композиционные факторы изоморфны известным простым группам (длятак называемой K-группы), доказательство соответствующего результата неиспользует классификации.

3. Холловы подгруппы конечных простых групп

Начнем с простого утверждения.

Предложение 3.1 [9; лемма 1]. Пусть G – произвольная конечная группаи A – ее нормальная подгруппа. Если G ∈ Eπ и H ∈ Hallπ(G), то A,G/A ∈ Eπ ,причем H ∩A ∈ Hallπ(A), HA/A ∈ Hallπ(G/A).

Предложение 3.1 означает, что если G ∈ Eπ, то главные и композиционныефакторы группы G также обладают свойством Eπ. Более того, любая π-хол-лова подгруппа группы G определенным образом “строится” из π-холловыхподгрупп этих факторов.3 Таким образом, с проблемой 1.8 тесно связан сле-дующий вопрос.

Проблема 3.2. Найти π-холловы подгруппы конечных простых групп.

Изучением этой проблемы занимались многие математики (см., например,[9], [15], [34]–[36], [38]–[45], [49], [55], [70]–[73]). Важность проблемы 3.2 бы-ла осознана уже Ф. Холлом. В его работе 1956 г. [9] и последующей работеДж. Томпсона 1966 г. [55] (которая была специально посвящена этому вопро-су) описаны холловы подгруппы симметрических групп. Изучению холловыхподгрупп в простых группах посвящены диссертации Э. Шпицнагеля (ученикДж. Томпсона) и П. Кобба (ученик М. Сузуки), опубликованные соответствен-но в [38], [73]. Для групп лиева типа проблема 3.2 сформулирована в известномобзоре А. С. Кондратьева [70]. Л. С. Казарин [15] описал холловы r′-подгруппыв простых группах для всех простых чисел r [15]. Большой вклад в решениепроблемы 3.2 внес Ф. Гросс, изучавший холловы подгруппы нечетного порядка,а также порядка, не делящегося на 3. Случаи, оставшиеся не рассмотреннымидругими математиками, были разобраны авторами настоящего обзора. Болееточно, классификация π-холловых подгрупп в группах лиева типа, характери-стика p которых принадлежит π, получена в [41] (случай 2 /∈ π), [45] (случай3 /∈ π и 2 ∈ π), [71] (случай 2, 3 ∈ π). В спорадических группах π-холловыподгруппы классифицированы в [42] (2 /∈ π) и [72] (2 ∈ π). Классификацияπ-холловых подгрупп в группах лиева типа в случае, когда 2, p /∈ π, полученав [42]–[44], [74]. Случай, когда 2 ∈ π, а 3, p /∈ π, разобран в [45] для линейныхи симплектических групп и в [75] для всех оставшихся групп лиева типа. Болеетого, в той же работе [75] авторами утверждалось, что последний оставшийсяслучай, когда 2, 3 ∈ π, а p /∈ π, также полностью разобран и, тем самым, класси-фикация π-холловых подгрупп во всех конечных простых группах завершена.Но, к сожалению, этот результат базировался на неверной лемме 3.14 из [75].

3Вопрос о том, будет ли обладать π-холловой подгруппой конечная группа, все компози-ционные факторы которой являются Eπ-группами, мы обсудим в следующем разделе.


Вследствие этой ошибки в списке π-холловых подгрупп в группах лиева типабыли пропущены несколько серий в группах сравнительно небольших рангов.Эти ошибки исправлены в работе [76].4

Подытоживая результаты упомянутых работ, можно сформулировать сле-дующее условное утверждение.

Теорема 3.3. Классификация холловых подгрупп в известных конечныхпростых группах завершена.

Полную классификацию холловых подгрупп в простых группах читательнайдет в приложении 1 к настоящей статье. В качестве следствия этой клас-сификации замечен следующий факт.

Теорема 3.4 ([76; теорема 1.1], mod CFSG). Пусть S – конечная простаягруппа, π – некоторое множество простых чисел и S ∈ Eπ . Тогда справедливыследующие утверждения:

(1) если 2 /∈ π , то kπ(S) = 1, т.e. G ∈ Cπ ;(2) если 3 /∈ π , то kπ(S) ∈ 1, 2;(3) если 2, 3 ∈ π , то kπ(S) ∈ 1, 2, 3, 4, 9.

В частности, kπ(S) – ограниченное π-число.

Эта теорема играет важную роль в решении проблемы 1.8.

4. Критерий свойства Eπ

Как было замечено в предложении 3.1, если конечная группа обладает свой-ством Eπ, то все ее композиционные факторы также обладают свойством Eπ.Указанное условие является необходимым, но не достаточным. Рассмотримпример.

Пример 4.1. Пусть π = 2, 3, G = GL3(2) = SL3(2) – простая группапорядка 168 = 23 · 3 · 7. Из теоремы 8.6 (см. приложение 1) вытекает, что G

обладает ровно двумя классами K1 и K2 сопряженных π-холловых подгруппс представителями GL2(2) ∗

0 1

и

1 ∗0 GL2(2)

соответственно. Класс K1 состоит из стабилизаторов прямых в естествен-ном линейном представлении группы G, а K2 – из стабилизаторов плоскостей.Отображение ι : G 3 x 7→ (xt)−1 является автоморфизмом порядка 2 группы G(здесь и далее xt – транспонированная матрица x). Этот автоморфизм пере-ставляет классы K1 и K2. Рассмотрим естественное расщепляемое расширениеG = G : 〈ι〉. Если бы G обладала π-холловой подгруппой H, то из предложе-ния 3.1 вытекало бы, что H ∩ G лежит либо в K1, либо в K2, и группа H

4Важно отметить, что если G ∈ Eπ – группа лиева типа и H – π-холлова подгруппа,принадлежащая одному из пропущенных классов, то, как показано в [76], с необходимостьюG /∈ Dπ . Это означает, что все результаты работ [74], [75], [77]–[79], касающиеся свойства Dπ ,верны.


стабилизировала бы этот класс. С другой стороны, H переставляет классы K1

и K2, поскольку G = HG. Противоречие.

В [41] Ф. Гросс нашел в терминах групп индуцированных автоморфизмов до-статочное условие для того, чтобы конечная группа G обладала свойством Eπ.

Определение 4.2. Пусть A,B,H 6 G, причем B E A. Положим

NH(A/B) = NH(A) ∩NH(B)

и назовем эту группу нормализатором в H секции A/B. Если x ∈ NH(A/B),то элемент x индуцирует на A/B автоморфизм, действующий по правилу Ba 7→Bx−1ax. Тем самым определен гомоморфизм NH(A/B) → Aut(A/B). Образэтого гомоморфизма обозначим через AutH(A/B) и назовем его группой H-ин-дуцированных автоморфизмов секции A/B.

Теорема 4.3 ([41; теорема 3.5], mod CFSG). Пусть композиционный ряд

1 = G0 < G1 < · · · < Gn = G (4.1)

конечной группы G является уплотнением некоторого ее главного ряда. Тогдаэквивалентны утверждения:

(1) свойством Eπ обладает любая подгруппа H группы G такая, что H(∞)

субнормальна в G;(2) AutG(Gi/Gi−1) ∈ Eπ для всех i = 1, . . . , n;(3) AutG(H/K) ∈ Eπ для любого композиционного фактора H/K группы G.

Здесь через H(∞) обозначен разрешимый корадикал группы H, т. e. наи-меньшая нормальная подгруппа N в H, для которой группа H/N разрешима.Из этой теоремы, в частности, вытекает, что если свойством Eπ обладают груп-пы G-индуцированных автоморфизмов всех факторов композиционного рядагруппы G, являющегося уплотнением некоторого главного ряда, то G ∈ Eπ.Требование, что композиционный ряд (4.1) является уплотнением некоторогоглавного ряда существенно, как показывает следующий пример.

Пример 4.4 (Ф. Гросс [41]). Пусть G и G выбраны так же, как в приме-ре 4.1. Рассмотрим элементарную абелеву группу A порядка 4, порожденнуюэлементами x, y, и зададим на ней действие группы G следующим образом:подгруппа G группы G действует на A тривиально, а элемент ι централизует x

и переводит y в xy. Пусть L = A : G – естественное расщепляемое расширение.Тогда в L существует композиционный ряд

1 < 〈y〉 < 〈y〉 ×G < A : G < L, (4.2)

который не является уплотнением главного ряда. Очевидно, что AutL((〈y〉 ×G)/〈y〉) ' G, в то время как остальные секции этого ряда имеют порядок 2и потому группы G-индуцированных автоморфизмов этих секций тривиальны.Таким образом, группа G-индуцированных автоморфизмов каждой секции ря-да (4.2) обладает свойством Eπ. Однако в силу примера 4.1 имеем G /∈ Eπ.Поскольку G является гомоморфным образом группы L, предложение 3.1 вле-чет L /∈ Eπ.


Остается вопрос, будет ли условие, полученное в теореме 4.3, еще и необ-ходимым? Следующая теорема, опирающаяся на классификацию холловыхподгрупп во всех простых группах и, в частности, теорему 3.4 о числе клас-сов сопряженности π-холловых подгрупп, дает утвердительный ответ на этотвопрос.

Теорема 4.5 ([80; теорема 4], mod CFSG). Пусть задан композиционныйряд

1 = G0 < G1 < · · · < Gn = G

конечной группы G. Тогда, если AutG(Gi/Gi−1) /∈ Eπ для некоторого i ∈1, . . . , n, то G /∈ Eπ .

Следствие 4.6 (Eπ-критерий [80; следствие 5], mod CFSG). Пусть компо-зиционный ряд

1 = G0 < G1 < · · · < Gn = G

конечной группы G является уплотнением некоторого ее главного ряда. Сле-дующие утверждения эквивалентны:

(1) G ∈ Eπ ;(2) AutG(Gi/Gi−1) ∈ Eπ для всех i = 1, . . . , n.

Следствие 4.6 открывает дорогу к исчерпывающему описанию Eπ-групп.По существу, осталось решить следующую задачу.

Проблема 4.7. Классифицировать почти простые Eπ-группы и их π-хол-ловы подгруппы.

Напомним, что конечная группа G называется почти простой, если G обла-дает единственной минимальной нормальной подгруппой S, причем S являетсянеабелевой простой группой. Эквивалентно, почти простая группа изоморфнанекоторой группе автоморфизмов G конечной простой неабелевой группы S та-кой, что Inn(S) 6 G 6 Aut(S). В настоящее время авторы активно занимаютсярешением проблемы 4.7. Поскольку π-холловы подгруппы во всех простыхгруппах известны, из предложения 3.1 следует, что достаточно понять, какиеименно π-холловы подгруппы простого цоколя S поднимаются до π-холловыхподгрупп соответствующей почти простой группы G. Кроме того, так как груп-па G/S разрешима (ввиду справедливости гипотезы Шрайера), то из теоремыХолла следует, что, не уменьшая общности, можно предполагать π(G/S) ⊆ π.Следующее предложение дает критерий, когда требуемый подъем возможен(ср. пример 4.1).

Предложение 4.8. Пусть S – нормальная Eπ-подгруппа конечной груп-пы G такая, что G/S является π-группой. Пусть M ∈ Hallπ(S). Тогда экви-валентны следующие утверждения:

(1) существует π-холлова подгруппа H группы G, для которой H ∩S = M ;(2) класс MS является G-инвариантным, т.e. Mg | g ∈G = Ms | s∈S.

Отсюда следует, что для решения проблемы 4.7 важно изучить действиепочти простой группы G на множестве классов сопряженных π-холловых под-групп ее простого цоколя S. Значение kπ(S) является степенью этого действия,и согласно теореме 3.4 эта степень не слишком велика.


Мы приведем здесь критерий свойства Eπ для частного случая, когда 2 или 3не лежат в π.

Теорема 4.9 ([44], [75], mod CFSG). Предположим, что множество π про-стых чисел таково, что 2 /∈ π или 3 /∈ π . В этом случае конечная группа Gобладает свойством Eπ в том и только том случае, когда каждый компози-ционный фактор группы G обладает этим свойством.

Из результатов предыдущего раздела следует, что если 2 или 3 не лежит в π,то для каждой конечной группы G с известными композиционными факторамиможно легко проверить справедливость утверждения G ∈ Eπ.

Из следствия 4.6 можно извлечь еще одно интересное следствие. Как мызнаем из предложения 3.1, если A – нормальная подгруппа Eπ-группы G, тоопределены отображения Hallπ(G) → Hallπ(G/A) и Hallπ(G) → Hallπ(A) по пра-вилам H 7→ HA/A и H 7→ H ∩ A соответственно. Оказывается, первое из этихотображений сюръективно.

Следствие 4.10 ([80; следствие 9], mod CFSG). Всякая π-холлова подгруп-па из гомоморфного образа Eπ-группы G является образом некоторой π-хол-ловой подгруппы из G.

Второе отображение H 7→ H∩A, вообще говоря, не является сюръективным,как мы увидим в примере 5.3.

5. Критерий свойства Cπ

Мы заметили в предыдущем разделе, что класс всех Eπ-групп замкнут от-носительно взятия нормальных подгрупп и гомоморфных образов (предло-жение 3.1), но, вообще говоря, не замкнут относительно расширений (при-мер 4.1). Для сравнения, наиболее важным среди известных свойств классавсех Cπ-групп является его замкнутость относительно расширений (результатбыл получен С. А. Чунихиным, см. также [9; теоремы C1 и C2]).

Предложение 5.1. Пусть A – нормальная подгруппа конечной группы G.Если группы A и G/A одновременно обладают свойством Cπ , то G ∈ Cπ .

Из следствия 4.10 вытекает следующий результат.

Предложение 5.2 ([81; лемма 9], mod CFSG). Если G ∈ Cπ и A E G,то G/A ∈ Cπ .

Рассмотрим пример, показывающий, что класс Cπ, вообще говоря, не за-мкнут относительно взятия нормальных подгрупп.

Пример 5.3. Положим π = 2, 3. Пусть G = GL5(2) = SL5(2). Рассмотримавтоморфизм ι : G 3 x 7→ (xt)−1 группы G и естественное полупрямое произ-ведение G = G : 〈ι〉. Ввиду теоремы 8.6, группа G обладает π-холловыми под-группами, и для естественного модуля V группы G каждая такая подгруппа яв-ляется стабилизатором в G ряда подпространств 0 = V0 < V1 < V2 < V3 = V


таких, что dim Vk/Vk−1 ∈ 1, 2 для всех k = 1, 2, 3. Следовательно, в G имеетсяровно три класса сопряженных π-холловых подгрупп с представителями

H1 =

GL2(2) ∗

1

0 GL2(2)

,

H2 =

1

GL2(2)∗

0 GL2(2)

, H3 =

GL2(2) ∗

0GL2(2)

1

.

Заметим, что NG(Hk) = Hk для всех k = 1, 2, 3 ввиду того, что подгруппа Hk

является параболической. Согласно предложению 3.1, для любой π-холловойподгруппы H группы G пересечение H ∩ G сопряжено в G с одной из под-групп H1, H2 или H3. Класс сопряженности HG

1 является ι-инвариантным, и,ввиду предложения 4.8, найдется π-холлова подгруппа H группы G, для кото-рой H ∩ G = H1. Кроме того, такая подгруппа H совпадает с NG(H1). Далее,автоморфизм ι переставляет классы HG

2 и HG3 . Таким образом, из предложе-

ний 3.1 и 4.8 вытекает, что H2 и H3 не содержатся ни в какой π-холловой под-группе G. Из вышесказанного следует, что G обладает ровно одним классомсопряженных π-холловых подгрупп, т. e. G ∈ Cπ, в то время как нормальнаяподгруппа G группы G не обладает свойством Cπ.

Этот пример также показывает, что отображение H 7→ H ∩ A между мно-жествами π-холловых подгрупп конечной Eπ-группы G и ее нормальной под-группы A, вообще говоря, не сюръективно (ср. следствие 4.10).

Отметим, что условие 2 ∈ π существенно в примере 5.3, поскольку Ф. Гросс[42], [44] доказал (mod CFSG) следующую теорему.

Теорема 5.4 ([43; теорема A], mod CFSG). Если π – некоторое множествопростых чисел и 2 /∈ π , то Eπ = Cπ .

В силу предложения 3.1 из этой теоремы следует, что для каждого множе-ства π нечетных простых чисел класс Eπ = Cπ замкнут относительно взятиянормальных подгрупп, гомоморфных образов и расширений.

Используя теорему 3.4 о числе классов сопряженных π-холловых подгруппв конечных простых группах, можно также показать, что даже в случае 2 ∈ π


некоторыми нормальными подгруппами свойство Cπ все же наследуется. Болеетого, удается получить важный критерий свойства Cπ.

Теорема 5.5 ([81; теорема 1], mod CFSG). Пусть π – некоторое множе-ство простых чисел, A – нормальная и H – π-холлова подгруппы некоторойCπ-группы G. Тогда HA ∈ Cπ .

Следствие 5.6 (Cπ-критерий [81; следствие 2], mod CFSG). Пусть π –некоторое множество простых чисел, A – нормальная подгруппа конечнойгруппы G. Тогда G ∈ Cπ в том и только том случае, когда G/A ∈ Cπ и длялюбой (эквивалентно, для некоторой) группы K/A ∈ Hallπ(G/A) ее полныйпрообраз K обладает свойством Cπ .

Следствие 5.7 ([81; следствие 2], mod CFSG). Пусть π – некоторое мно-жество простых чисел, A – нормальная подгруппа конечной группы G. Еслииндекс |G : A| является π′-числом, то G ∈ Cπ в том и только том случае,когда A ∈ Cπ .

Если бы удалось получить классификацию почти простых Cπ-групп, то длялюбой данной конечной группы с помощью следствия 5.6 было бы несложнопонять, обладает ли эта группа свойством Cπ. В самом деле, справедливаследующая лемма.

Лемма 5.8 [81; лемма 17]. Предположим, что G = HA, где H – π-холловаи A – нормальная подгруппы конечной группы G, и пусть A = S1 × · · · × Sk –прямое произведение конечных простых групп. Тогда G ∈ Cπ в том и толькотом случае, когда AutG(Si) ∈ Cπ для всех i = 1, . . . , k .

Теперь предположим, что ряд

G = G0 > G1 > · · · > Gn = 1 (5.1)

является главным рядом конечной группы G. Положим H1 = G = G0 и до-пустим, что для некоторого i = 1, . . . , n построена подгруппа Hi группы G,удовлетворяющая условиям Gi−1 6 Hi и Hi/Gi−1 ∈ Hallπ(G/Gi−1). Посколь-ку (5.1) – главный ряд, справедливо разложение Gi−1/Gi = Si

1 × · · · × Siki

, гдеSi

1, . . . , Siki

– конечные простые группы. Проверяем, верно ли, что

AutHi(Si

1) ∈ Cπ, . . . , AutHi(Si

ki) ∈ Cπ.

Если это так, то из леммы 5.8 получаем Hi/Gi ∈ Cπ; берем в качестве груп-пы Hi+1 полный прообраз π-холловой подгруппы из Hi/Gi и запускаем процесссначала. В противном случае из следствия 5.6 вытекает, что G /∈ Cπ, и мы оста-навливаем процесс. Ввиду следствия 5.6 группа G обладает свойством Cπ тогдаи только тогда, когда мы сможем построить группу Hn+1. Заметим, что Hn+1

автоматически будет π-холловой подгруппой группы G.

Проблема 5.9. Классифицировать все почти простые Cπ-группы.

Как и в случае свойства Eπ, проблема 5.9 сводится к изучению действияпочти простой группы G 6 Aut(S) на множестве классов сопряженных π-хол-ловых подгрупп ее неабелева простого цоколя S. С учетом следствия 5.6 мы


можем считать, что G/S – это π-группа. Далее, G ∈ Cπ, если и только если Sобладает единственным G-инвариантным классом сопряженных π-холловыхподгрупп. А поскольку для всех конечных простых групп S классы сопря-женных π-холловых подгрупп известны, решение проблемы 5.9 представляетсяделом не очень далекого будущего.

6. Критерий свойства Dπ

Теория Dπ-групп представляется наиболее интересной. Во-первых, строе-ние всех π-подгрупп в Dπ-группах определяется строением одной-единственнойπ-холловой подгруппы. Многие свойства π-холловых подгрупп, такие, как раз-решимость, нильпотентность, абелевость и т. д., переносятся на произвольнуюπ-подгруппу Dπ-группы. Во-вторых, свойство Dπ означает выполнение полно-го аналога теоремы Силова для π-подгрупп, и поэтому изучение групп с этимсвойством традиционно привлекало внимание многих известных специалистов.Как следствие, исследование Dπ-групп имеет богатую и интересную историю.Наконец, в-третьих, теория Dπ-групп в настоящий момент носит наиболее за-вершенный характер и допускает наиболее полные и простые формулировкирезультатов.

Начнем с исторического обзора. По теореме Шура–Цассенхауза (и с учетомтеоремы Фейта–Томпсона о разрешимости конечных групп нечетного поряд-ка [82]) если конечная группа является расширением π-группы посредствомπ′-группы, то такая группа одновременно обладает свойствами Dπ и Dπ′ [83;гл. IV, теорема 27] (см. также [9; теоремы D6 и D7]).

С.А. Чунихин обобщил этот результат, объединив его и теорему Холла в од-но утверждение. Более точно, С.А. Чунихин ввел понятия π-разрешимой,π-отделимой и π-разделимой группы. Напомним, что конечная группа G на-зывается

– π-разделимой, если каждый ее главный фактор является либо π-, либоπ′-группой;

– π-отделимой, если порядок каждого ее главного фактора делится неболее чем на одно простое число из π;

– π-разрешимой, если она одновременно является π-отделимой и π-разде-лимой.

Результаты С. А. Чунихина [84] и последующие результаты Ф. Холла об этихгруппах мы приведем в наиболее общей формулировке, использующей теоремуФейта–Томпсона [82]. Как вытекает из последней, всякая π-отделимая группалибо π-, либо π′-разрешима.

Теорема 6.1. Пусть G – конечная группа и π – некоторое множествопростых чисел. Справедливы утверждения:

(1) если G – π-разделимая группа, то G ∈ Dπ ∩Dπ′ ;(2) (Ф. Холл [9; следствие D5.2]) если G – π-отделимая группа, то G ∈ Dτ

для любого подмножества τ ⊆ π .

Продолжая двигаться в том же направлении, С. А. Чунихин [3], [8], [24],[84]–[95], по существу, предложил следующий метод для построения новых


Dπ-групп: если Dπ – класс всех известных Dπ-групп, то новые Dπ-группыстроятся как группы, у которых все факторы некоторого субнормального ря-да принадлежат Dπ .

Важным шагом в изучении класса Dπ явилась следующая теорема.

Теорема 6.2 (Х. Виландт [56]). Пусть π – некоторое множество простыхчисел и G – конечная группа. Тогда если группа G обладает нильпотентнойπ-холловой подгруппой, то G ∈ Dπ .

Комбинируя результат Виландта и метод Чунихина, Ф. Холл доказал [9]следующее утверждение.

Теорема 6.3 (Ф. Холл [9; теорема D5]). Расширение Dπ-группы A, облада-ющей нильпотентной π-холловой подгруппой, с помощью Dπ-группы B , обла-дающей разрешимой π-холловой подгруппой, является Dπ-группой.

Естественно возник следующий вопрос.

Проблема 6.4. Всегда ли расширение Dπ-группы A с помощью Dπ-груп-пы B обладает свойством Dπ?

Эта проблема впервые была озвучена в часовом обзорном докладе Х. Ви-ландта на XIII Международном математическом конгрессе в Эдинбургев 1958 г. [59]. В течение последующих 50 лет исследованием этой проблемызанимались многие математики. Она упоминается в обзорах [31], [24], [60],монографиях Л.А. Шеметкова [32; проблема 22] и М. Сузуки [53], а такжезаписана Л.А. Шеметковым в “Коуровскую тетрадь” [96; проблема 3.62].

Сам Л. А. Шеметков внес в изучение этого вопроса фундаментальный вклад.Он решил [28] проблему 6.4 в случае, когда силовские p-подгруппы группы Aявляются циклическими для всех p ∈ π, и получил [25]–[27], [29], [30] ряд дру-гих важных результатов, которые нашли свое отражение в его известной мо-нографии [32] (см. [32; лемма 18.3, теорема 18.14]). Более позднее обсуждениерезультатов, связанных с этой проблемой, имеется в [33].

В 1971 г. Б. Хартли [50] показал, что условие разрешимости холловой π-под-группы группы B в теореме Холла D5 можно опустить, если предполагать, чтодля всех композиционных факторов группы A выполнена гипотеза Шрайерао разрешимости группы внешних автоморфизмов. Как пишет сам Хартли [4],ранее этот результат без доказательства был отмечен Х. Виландтом [64] и Харт-ли его просто переоткрыл.

Впервые результаты классификации конечных простых групп для исследо-вания этого вопроса использовал в 1981 г. Л.С. Казарин [14], существенноусилив результаты Л.А. Шеметкова о так называемых π-классах Виландта.

Среди недавних результатов о проблеме 6.4 отметим работы В.Н. Тютя-нова [21], [22].

В.Д. Мазуров и второй автор в 1997 г. показали [97], что эта проблема име-ет положительное решение, если силовские 2-подгруппы всех композиционныхфакторов группы A абелевы. Этот результат был иллюстрацией общей идеи,как решить проблему 6.4 с помощью классификации конечных простых групп.


А именно, в [97] проблема 6.4 была сведена к случаю, когда A – простая неабе-лева группа, B – подгруппа в Out(A) и рассматриваемое расширение совпадаетс полным прообразом B в группе Aut(A).

В серии статей [74], [72], [75] авторы случай за случаем проверили, что длялюбой простой неабелевой Dπ-группы A любая почти простая группа с цоко-лем, изоморфным A, обладает свойством Dπ, и, тем самым, по модулю класси-фикации конечных простых групп получили положительное решение пробле-мы 6.4.

Уже в процессе написания статьи [97] при использовании индуктивных рас-суждений стало ясно, что с проблемой 6.4 тесно связан следующий вопрос.

Проблема 6.5. Всегда ли нормальная подгруппа Dπ-группы обладает свой-ством Dπ?

В.Д. Мазуров записал этот вопрос в “Коуровскую тетрадь” [96; пробле-ма 13.33]. Ранее эта проблема упоминалась в работе Ф. Гросса 1986 г. [41].C помощью элементарных рассуждений легко показать, что любой гомоморф-ный образ Dπ-группы обладает свойством Dπ. Поэтому проблемы 6.4 и 6.5являются в определенном смысле двойственными. Сравнительно меньший ин-терес, который математики проявляли по отношению к проблеме 6.5, объясня-ется, вероятно, тем, что, в силу причин исторического характера, их вниманиебыло сконцентрировано на получении достаточных условий для выполнениясвойства Dπ. В то же время, если ставить вопрос о нахождении необходимыхи достаточных условий, то эта проблема является столь же важной и есте-ственной, как и проблема 6.4. Положительное решение обеих проблем немед-ленно влечет, что конечная группа обладает свойством Dπ тогда и только тогда,когда каждый ее композиционный фактор обладает этим свойством.

Окончательно положительное решение обеих проблем было получено в [75]и опирается на классификацию конечных простых групп. Еще отметим, чторешение проблемы 6.5 выводится также из теоремы 3.4 о числе классов сопря-женных π-холловых подгрупп в конечных простых группах [76; следствие 1.3].

Решение проблем 6.4 и 6.5 можно объединить в следующем утверждении.

Теорема 6.6 ([75; теорема 7.7], mod CFSG). Пусть G – конечная группа,A E G и π – некоторое множество простых чисел. Тогда G ∈ Dπ , если итолько если A ∈ Dπ и G/A ∈ Dπ .

Это утверждение можно эквивалентным образом переформулировать наязыке композиционного строения групп.

Следствие 6.7 (mod CFSG). Пусть G – конечная группа и π – некото-рое множество простых чисел. Тогда G ∈ Dπ , если и только если каждыйкомпозиционный фактор группы G обладает свойством Dπ .

Таким образом, проблема описания конечных Dπ-групп свелась к следую-щему вопросу.

Проблема 6.8. Для данного множества π простых чисел найти все ко-нечные простые группы, обладающие свойством Dπ .


В соответствии с классификационной теоремой каждая простая конечнаянеабелева группа либо изоморфна одной из 26 спорадических групп, либо при-надлежит некоторой бесконечной серии и характеризуется в этой серии однимили двумя арифметическими параметрами. Например, знакопеременная груп-па Altn вполне определяется своей степенью n, простая группа лиева типа An(q)определяется своим лиевым рангом n и порядком основного поля q, и т. д. По-этому желательно, чтобы описание простых Dπ-групп, которое предлагаетсянайти в проблеме 6.8, было получено в терминах этих естественных арифмети-ческих параметров.

Из описания π-холловых подгрупп в симметрических группах, найденногоФ. Холлом [9; теорема 4] и Дж. Томпсоном [55] (см. выше теорему 8.1), выте-кает, что знакопеременная группа Altn обладает свойством Dπ, если и толькоесли либо |π ∩ π(Altn)| 6 1, либо π(Altn) ⊆ π. Ф. Гросс [42; следствие 6.13и теорема 6.14] для каждого множества π нечетных простых чисел нашел всеспорадические группы, обладающие свойством Dπ. Им же в виде гипотезы былсформулирован [42] арифметический критерий того, что конечная группа лие-ва типа с базовым полем характеристики p ∈ π обладает свойством Dπ, а такжебыло получено доказательство этого критерия для групп серии An(q). В [72]второй автор завершил описание спорадических групп со свойством Dπ и до-казал гипотезу Ф. Гросса. Оставшиеся случаи полностью изучены в [74], [75],[77]–[79], [98]. Тем самым проблема 6.8 полностью решена (mod CFSG), и еерешение содержит следующая теорема.

Теорема 6.9 [77; теорема 2], [79; теорема 3]. Пусть π – некоторое мно-жество простых чисел и S – (известная) простая группа. Тогда S ∈ Dπ ,если и только если пара (S, π) удовлетворяет одному из сформулированныхв приложении 2 условий I–VII.

Следствие 6.10 ([77; следствие теоремы 2], [79; следствие теоремы 3], modCFSG). Пусть π – некоторое множество простых чисел. Конечная группаобладает свойством Dπ тогда и только тогда, когда для любого ее компози-ционного фактора S пара (S, π) удовлетворяет одному из сформулированныхв приложении 2 условий I–VII.

Это следствие можно рассматривать как исчерпывающее решение пробле-мы 1.8 для Dπ.

7. Дальнейшие результаты, перспективы и открытые вопросы

Как мы уже упоминали, проблемы 4.7 и 5.9 пока открыты, хотя их решениепредставляется делом ближайшего будущего. Означают ли полученные и ожи-даемые результаты, что исследование теорем силовского типа полностью себяисчерпало и не имеет дальнейших перспектив? По мнению авторов, скореенаоборот. Эти результаты являются аппаратом, при помощи которого можноисследовать аналоги теорем Силова. Сейчас открывается целый ряд новыхнаправлений в данной области, содержащих интригующие проблемы, для ре-шения которых, по-видимому, можно будет использовать разработанный аппа-рат. В этом разделе мы приведем некоторые новые результаты и наметим ряд


очевидных и естественных вопросов, ответы на которые не вытекают прямоиз характеризации групп со свойствами Eπ, Cπ и Dπ, но, вероятно, допускаютее использование.

Интересно было бы понять, какими свойствами обладают группы из клас-сов Eπ, Cπ и Dπ. Например, оказывается, что в Dπ-группах справедлив полныйаналог известной теоремы Бэра–Сузуки 5 для π-радикала (см. [101], [102]). Бо-лее точно, справедлива следующая теорема.

Теорема 7.1 ([76; теорема 1], mod CFSG). Пусть π – некоторое множе-ство простых чисел и G – конечная группа. Тогда если G обладает свой-ством Dπ , то x ∈ Oπ(G) для любого элемента x ∈ G, порождающего вместесо всяким сопряженным элементом некоторую π-группу.

Частным случаем этой теоремы при |π| = 1 является классическая теоремаБэра–Сузуки [99], [100].

Отметим, что условие теоремы 7.1 нельзя ослабить, заменив в нем Dπ на Cπ.

Пример 7.2. Пусть π = p′ для некоторого простого числа p > 5 и G = Symp.Согласно теореме 8.1 имеем G ∈ Cπ. Пусть x – транспозиция в G. Тогда любыеm < p − 1 сопряженных с x элементов (в частности, любые два) порождаютπ-группу, в то время как Oπ(G) = 1.

Интересно было бы найти “π-аналоги” других известных “p-теорем”, кото-рые справедливы в классе Dπ-групп. Например, В. И. Зенков [103] c помощьюклассификации конечных простых групп получил результат, в каком-то смыследвойственный к теореме Бэра–Сузуки. Он показал, что для любого простогочисла p в любой конечной группе G найдутся подгруппы P1, P2, P3 ∈ Sylp(G)такие, что

P1 ∩ P2 ∩ P3 = Op(G).

Для произвольной конечной группы сложно даже сформулировать соответ-ствующий этой p-теореме π-аналог. В то же время для Dπ-групп такой аналоглегко формулируется и (во всяком случае, как гипотеза) представляется вполнеестественным.

Проблема 7.3. Верно ли, что в любой Dπ-группе G найдутся H1,H2,H3 ∈Hallπ(G) такие, что

H1 ∩H2 ∩H3 = Oπ(G)?

Положительное решение этой проблемы для π-разрешимых групп полученонезависимо первым автором [104] и С. Долфи [105].

Заметим, что если в проблеме 7.3 заменить Dπ на Cπ, то такая проблемаимеет отрицательное решение.

Пример 7.4. Пусть π = p′ для некоторого простого числа p > 5 и G = Symp.В этом случае G ∈ Cπ, а любая π-холлова подгруппа группы G изоморфна

5Напомним, что теорема Бэра–Сузуки для конечных групп в одной из возможных своихформулировок утверждает следующее [99], [100]. Пусть G – конечная группа и p – простоечисло. Тогда для любого x ∈ G, порождающего вместе с любым сопряженным элементомнекоторую p-группу, выполнено x ∈ Op(G).


Symp−1 и является стабилизатором точки. При этом пересечение любых m <p−1 таких стабилизаторов (в частности, любых трех) нетривиально, в то времякак Oπ(G) = 1.

Далее, можно выделить серию вопросов о связи свойств Eπ, Cπ и Dπ с под-групповой структурой конечных групп. Выше в разделах 4–6 мы обсуждали,будет ли класс Ψ ∈ Eπ, Cπ, Dπ замкнут относительно взятия расширений,нормальных подгрупп и гомоморфных образов. Результаты этого обсуждениясобраны в таблице 1.

Таблица 1. Замкнут ли класс Ψ относительно взятия нормаль-ных подгрупп, гомоморфных образов и расширений?

Ψ Eπ Cπ Dπ

норм. подгруппы Да Нет Да (mod CFSG)факторгруппы Да Да (mod CFSG) Дарасширения Нет Да Да (mod CFSG)

Но интерес представляет также и вопрос о замкнутости Ψ относительнонекоторых специальных типов (не обязательно нормальных) подгрупп.

Покажем сначала, что классы Eπ, Cπ и Dπ не являются наследственными(т. е. замкнутыми относительно подгрупп).6

Пример 7.5. Диагональная подгруппа группы G = SL2(16) является абе-левой 3, 5-холловой подгруппой. По теореме Виландта 6.2, G ∈ D3,5 (см.также условие IV из приложения 2). Вместе с тем, G содержит подгруппуSL2(4) ' Alt5, которая, как мы знаем, не содержит 3, 5-холловых подгрупп(см. пример 1.3). Таким образом, классы Eπ, Cπ и Dπ не являются наслед-ственными.

В связи со сделанным замечанием упомянем проблему Х. Виландта, сфор-мулированную в его пленарном докладе на конференции по теории конечныхгрупп в Санта-Крузе в 1979 г. [65] (см. также [96; проблема 17.43(а)]).

Проблема 7.6. Пусть задано некоторое множество простых чисел π .Найти все конечные простые неабелевы группы, у которых всякая подгруппаобладает свойством Dπ .

Естественность этого вопроса очевидна. Действительно, свойство Dπ озна-чает выполнение в группе для ее π-подгрупп полного аналога теоремы Силова.Однако свойство Dπ, как мы заметили, вообще говоря, не означает выполне-ние этого аналога для всех подгрупп данной группы. В то же время теоремаСилова, ввиду ее универсального характера, справедлива не только для самойгруппы, но и для всех ее подгрупп. Таким образом, естественно ввести в рас-смотрение класс Wπ всех конечных групп, в которых выполнен усиленный ана-лог теоремы Силова, а именно свойство Dπ имеет место для всех подгрупп. Какследует из определения с учетом теоремы 6.6, этот класс замкнут относительно

6Класс Cπ не замкнут даже относительно нормальных подгрупп.


взятия (не обязательно нормальных) подгрупп, гомоморфных образов и рас-ширений. Поэтому конечная группа принадлежит Wπ тогда и только тогда,когда в Wπ входит каждый ее композиционный фактор. Следовательно (каки в случае Dπ-групп), для получения исчерпывающей характеризации группкласса Wπ достаточно знать, какие простые группы лежат в этом классе, т. е.решить проблему 7.6. Поскольку решение этой проблемы, по-видимому, по-требует знания всех подгрупп любой известной простой группы, ее решение невытекает напрямую из полученных ранее результатов и представляется деломотдаленного будущего.

Очевидным и тривиальным представляется утверждение о том, что свой-ство Eπ наследуется надгруппами π-холловых подгрупп. Оказывается, в этомутверждении можно заменить Eπ на Cπ.

Теорема 7.7 ([106; теорема 2], mod CFSG). Пусть G ∈ Cπ и H – π-холловаподгруппа группы G. Тогда K ∈ Cπ для любой подгруппы K такой, что H 6K 6 G.

Эквивалентная формулировка этой теоремы такова.

Теорема 7.8 ([106; теорема 2], mod CFSG). В Cπ-группе π-холловы под-группы пронормальны.

Напомним, что в соответствии с определением Ф. Холла [107] подгруппа Hгруппы G называется пронормальной, если для любого элемента g ∈ G под-группы H и Hg сопряжены в 〈H,Hg〉. Теорема 7.7 обобщает теорему 5.5. До-казательство теорем 7.7 и 7.8 использует следующее наблюдение о холловыхподгруппах простых групп.

Теорема 7.9 ([108; теорема 1], mod CFSG). Холловы подгруппы конечныхпростых групп пронормальны.

Теоремы 7.7 и 7.9 решают соответственно проблемы 17.44(а) и 17.45(а) в [96].Эти результаты кажутся особенно удивительными на фоне следующего неслож-ного утверждения.

Теорема 7.10 [106; теорема 3]. Допустим, множество π простых чиселтаково, что Eπ 6= Cπ . Тогда существует конечная группа, обладающая непро-нормальными π-холловыми подгруппами. Более точно, если X ∈ Eπ \ Cπ

и p /∈ π , то группа G = X o Zp содержит π-холловы подгруппы H и K , сопря-женные в G, но не сопряженные даже в их общем нормальном замыкании.

В отношении свойства Dπ вопрос о справедливости утверждения, аналогич-ного теореме 7.7, остается открытым.

Проблема 7.11 [96; проблема 17.44(б)]. Пусть G ∈ Dπ и H – π-холловаподгруппа группы G. Верно ли, что K ∈ Dπ для любой подгруппы K такой,что H 6 K 6 G?

Эту проблему можно переформулировать, используя понятие сильно про-нормальной подгруппы. Подгруппу H группы G назовем сильно пронормаль-ной, если для любой подгруппы L 6 H и любого элемента g ∈ G подгруппа Lg

сопряжена с подгруппой из H с помощью элемента из 〈H,Lg〉.


Ясно, что сильно пронормальная подгруппа будет просто пронормальной.Большинство классических примеров пронормальных подгрупп оказываетсясильно пронормальными: нормальные подгруппы, максимальные подгруппы,силовские подгруппы в конечных группах, холловы подгруппы в конечных раз-решимых группах. Вместе с тем, понятия пронормальности и сильной пронор-мальности неэквивалентны.

Пример 7.12. В группе Symn при n > 5 поточечный стабилизатор любого(n−m)-элементного множества (подгруппа Symm) будет пронормальной, но несильно пронормальной подгруппой при условии

n

2< m < n− 1.

Проблема 7.11 эквивалентна следующей.

Проблема 7.13. Всегда ли π-холловы подгруппы Dπ-групп будут сильнопронормальными?

Если проблемы 7.11 и 7.13 имеют отрицательное решение, то, ввиду тео-ремы 6.6, существует простая Dπ-группа, в которой π-холловы подгруппы неявляются пронормальными. Поэтому эти проблемы достаточно изучить дляпростых групп. Для таких групп интересно рассмотреть более общий вопрос.

Проблема 7.14 [96; проблема 17.45(б)]. Всегда ли холловы подгруппы ко-нечных простых групп будут сильно пронормальными?

Из описания холловых подгрупп в конечных простых группах и описанияпростых Dπ-групп следует, что любая собственная π-холлова подгруппа в про-стой Dπ-группе обладает силовской башней. Напомним определение.

Пусть π(G) = p1, . . . , pn для некоторой конечной группы G. Говорят [9],что группа обладает силовской башней последовательности (p1, . . . , pn), если G

обладает субнормальным рядом

G = G0 > G1 > · · · > Gn = 1

таким, что Gi−1/Gi ' Pi ∈ Sylpi(G) для любого i = 1, . . . , n. Отметим, что

последовательность силовской башни определяется не только набором простыхделителей группы, но и их порядком.

Ф. Холл [9; теорема A1] показал, что в конечной группе любые две π-холловыподгруппы, обладающие силовской башней одного типа, сопряжены. Как след-ствие, в конечной группе любая холлова подгруппа, обладающая силовскойбашней, пронормальна. Как было сказано, в случае отрицательного решенияпроблем 7.11 и 7.13 существует простая Dπ-группа,в которой π-холловы под-группы не являются сильно пронормальными. Из теоремы 6.9 следует, чтов этой группе π-холловы подгруппы обладают силовской башней. Поэтомурешение обеих проблем окажется положительным в случае утвердительногоответа на следующий открытый вопрос [96; проблема 17.45(в)].

Проблема 7.15. Всегда ли в конечных группах холловы подгруппы, облада-ющие силовской башней, будут сильно пронормальными?


Проблему 7.11 можно усилить следующим образом.

Проблема 7.16. Пусть G ∈ Dπ . Верно ли, что K ∈ Dπ для любой под-группы K группы G такой, что K ∈ Eπ?

В случае отрицательного решения этой проблемы естественно представляетинтерес следующее ослабление проблемы 7.6 (см. [96; проблема 17.43(б)]).

Проблема 7.17. Пусть задано некоторое множество простых чисел π .Найти все конечные простые неабелевы группы, у которых всякая Eπ-под-группа обладает свойством Dπ .

Точно так же, как мы ввели выше в рассмотрение класс Wπ, можно рассмот-реть класс Vπ всех конечных групп, всякая Eπ-подгруппа в которых являетсяDπ-группой. Из таблицы 1 и теоремы 6.6 следует, что конечная группа при-надлежит Vπ тогда и только тогда, когда каждый ее композиционный факторпринадлежит Vπ, чем и обусловлена важность проблемы 7.17.

Используя критерии свойств Eπ, Cπ и Dπ, удается исследовать вопрос о зам-кнутости классов групп с этими свойствами относительно взятия конечныхподпрямых произведений и произведений нормальных подгрупп.

Теорема 7.18 (mod CFSG). Для любого множества π простых чисел клас-сы Eπ , Cπ и Dπ замкнуты относительно взятия конечных подпрямых произ-ведений.

Для класса Dπ эта теорема является прямым следствием теоремы 6.6. Длякласса Eπ – это следствие 7 в работе [91]. Наконец, для класса Cπ этот резуль-тат выведен в [109; теорема 1] из теоремы 5.5.

Следствие 7.19 (mod CFSG). Для любого множества π простых чиселклассы Eπ , Cπ и Dπ являются насыщенными формациями.

Эти два утверждения дают положительные ответы на вопросы [32; пробле-мы 18 и 19] и [96; проблема 5.65]. Напомним, что класс F конечных группназывается формацией, если для любой конечной группы G выполнены следу-ющие два условия:

(1) если G ∈ F и N E G, то G/N ∈ F;(2) если M,N E G и G/M, G/N ∈ F, то G/(M ∩N) ∈ F.

При этом формация F называется насыщенной, если для любой нормальнойподгруппы N конечной группы G такой, что N 6 Φ(G), из G/N ∈ F следуетG ∈ F.

Двойственным к понятию формации является понятие класса Фиттинга. На-помним, что класс F конечных групп называется классом Фиттинга, если длялюбой конечной группы G выполнены следующие два условия:

(1) если G ∈ F и N E G, то N ∈ F;(2) если M,N E G и M,N ∈ F, то MN ∈ F.Из теоремы 6.6 следует, что класс Dπ является классом Фиттинга. При-

мер 5.3 показывает, что класс Cπ не замкнут относительно взятия нормальныхподгрупп и, следовательно, не является классом Фиттинга. В то же время


из теоремы 6.1 и предложения 5.2 вытекает, что для класса Cπ выполнено вто-рое условие в определении класса Фиттинга (замкнутость относительно про-изведений нормальных подгрупп). Класс Eπ, напротив, замкнут относительновзятия нормальных подгрупп (см. предложение 3.1), но, как показано авторамив готовящейся к публикации работе, вообще говоря, не замкнут относительнопроизведений нормальных подгрупп.

Наконец, среди вопросов, которые видятся на сегодняшний момент, имеетсясерия проблем, которые могут быть охарактеризованы как арифметические.Наиболее общая постановка задачи здесь такова.

Проблема 7.20. Для каких множеств π простых чисел одно или несколь-ко включений в цепочке

Bπ ⊆ Dπ ⊆ Cπ ⊆ Eπ ⊆ G

являются равенствами?

Здесь G – класс всех конечных групп, а Bπ – класс конечных групп, об-ладающих (суб)нормальным рядом, каждый фактор которого либо являет-ся π-группой, либо имеет порядок, делящийся не более чем на одно простоечисло из π. В частности, класс Bπ включает в себя классы π-разделимыхи π-отделимых групп. Для обозначения групп из этого класса Л.А. Шеметковпредложит термин π-разотделимые группы.7

Тривиальные примеры выполнения равенств Bπ = Dπ = Cπ = Eπ = G даютпустое множество, множество всех простых чисел и любое одноэлементное мно-жество π. Более того, несложно доказать такое утверждение.

Предложение 7.21 [102; теорема 5]. Следующие утверждения эквива-лентны:

1) Eπ = G;2) Cπ = G;3) Dπ = G;4) Bπ = G;5) |π| 6 1 или π совпадает с множеством всех простых чисел.

Отметим, что эквивалентные условия 1)–5) равносильны тому, что для дан-ного множества π любая конечная группа, для которой справедлив π-аналогтеоремы Бэра–Сузуки, обладает свойством Dπ [102; теорема 5]. Другими сло-вами, только для пустого, одноэлементного или совпадающего с множествомвсех простых чисел множества π справедливо обращение теоремы 7.1.

Из теоремы 6.10 вытекает следующее предложение.

Предложение 7.22 (mod CFSG). Если 2, 3 ∈ π , то Bπ = Dπ .

З. Арад и M. Вард [34; теорема 4.9] с использованием классификации ко-нечных простых групп доказали следующее предложение.

Предложение 7.23 (mod CFSG). Если π = 2′ , то Dπ = Cπ = Eπ .

7Для перевода термина “π-разотделимая группа” Л.А. Шеметков предложил термин“π-sepselected group”.


Этот результат, как, впрочем, и вся проблематика, восходит к знаменитойгипотезе Ф. Холла 1956 г. (см. [9]) о том, что для любого множества простыхчисел π такого, что 2 /∈ π, имеет место равенство классов групп Eπ = Dπ.

Условие 2 /∈ π в гипотезе Ф. Холла возникло не случайно. Рассмотримпример.

Пример 7.24. Пусть 2, 3 ∈ π и множество π отлично от множества всех про-стых чисел. Пусть p = minπ′. Рассмотрим симметрическую группу G = Symp

степени p. Она обладает ровно одним классом сопряженных π-холловых под-групп, каждая из которых изоморфна Symp−1. Поэтому G ∈ Cπ. Каждаяπ-холлова подгруппа из G является стабилизатором точки в естественном под-становочном представлении. Рассмотрим π-подгруппу K = 〈(1, 2, . . . , p − 2) ×(p−1, p)〉 группы G. Она действует без неподвижных точек, а потому не содер-жится ни в какой π-холловой подгруппе группы G. Таким образом, G /∈ Dπ.

Тем самым мы доказали следующее предложение.

Предложение 7.25. Пусть множество простых чисел π содержит 2 и 3и отлично от множества всех простых чисел. Тогда включение Dπ ⊆ Cπ

является строгим.

Ф. Гросс [40] опроверг гипотезу Ф. Холла в оригинальной постановке, дока-зав следующую теорему.

Предложение 7.26. Для любого конечного множества нечетных прос-тых чисел π , содержащего более одного элемента, существует конечнаяEπ-группа, не обладающая свойством Dπ .

Тем не менее, Ф. Гроссу с помощью классификации конечных простых группудалось доказать [42], [44] ослабленный аналог гипотезы Ф. Холла – тео-рему 5.4.

Следствием утверждений 7.26 и 5.4 является следующее предложение.

Предложение 7.27 (mod CFSG). Существует континуум множеств τнечетных простых чисел, для которых включение Dτ ⊆ Cτ строгое.

Действительно, для любой пары (G, π), где π – конечное множество нечетныхпростых чисел, а конечная группа G обладает свойством Cπ, но не обладаетсвойством Dπ (существование такой группы гарантировано предложением 7.26и теоремой 5.4), рассмотрим всевозможные множества τ нечетных простыхчисел такие, что π ⊆ τ и (τ \ π) ∩ π(G) = ∅. Ясно, что таких множеств τконтинуально много. Ясно также, что G ∈ Cτ \Dτ для любого такого τ .

Отметим, что для множеств, содержащих 2, утверждение, аналогичное пред-ложению 7.27, прямо следует из предложения 7.25.

В связи с этим утверждением и как очевидное ослабление гипотезы Ф. Холлавозникает следующая проблема [96; проблема 17.103].

Проблема 7.28. Верно ли, что существует континуум множеств π про-стых чисел, для которых Eπ = Cπ = Dπ?

Понятно, что число таких множеств π бесконечно, поскольку бесконечно чис-ло одноэлементных множеств простых чисел. Но для положительного решения


проблемы 7.28 потребуется построить континуальную серию бесконечных мно-жеств π, для которых Eπ = Cπ = Dπ. До недавнего времени имелось лишьдва примера таких бесконечных множеств – множество 2′ и множество всехпростых чисел. В [110] с помощью характеризации Dπ-групп было доказаноследующее утверждение.

Теорема 7.29 ([110; теорема 1], mod CFSG). Пусть для любого действи-тельного числа x через πx обозначено множество всех простых чисел p та-ких, что p > x. Тогда Eπx = Cπx = Dπx для всех x > 7.

В частности, существует по меньшей мере счетная серия бесконечных мно-жеств π простых чисел, для которых Eπ = Cπ = Dπ.

Авторам не известно ни одного примера, который бы показывал необходи-мость каких-либо ограничений на x в теореме 7.29. Таким образом, мы можемсформулировать еще одну открытую проблему.

Проблема 7.30. Верно ли, что если πx имеет тот же смысл, что и в тео-реме 7.29, то Eπx = Cπx = Dπx для любого x ∈ R?

В пользу положительного решения данной проблемы говорит предложе-ние 7.23, из которого вытекает положительный ответ в случае x < 3. Так какπx = πy для любых x, y ∈ [r, s), где r и s – последовательные простые числа, то,ввиду теоремы 7.29 и предложения 7.23, для полного решения проблемы 7.30достаточно рассмотреть случаи x = 3 и x = 5.

Приложение 1. Классификация нестандартныххолловых подгрупп в конечных простых группах

Ясно, что если для группы G выполнено одно из утверждений |π∩π(G)| 6 1или π(G) ⊆ π, то G ∈ Dπ. В этих случаях будем говорить, что G облада-ет стандартной π-холловой подгруппой. В противном случае π-холлова под-группа группы G будет называться нестандартной. Допустим, что H – стан-дартная π-холлова подгруппа группы G. Очевидно, что тогда выполнено одноиз следующих утверждений:

π ∩ π(G) = ∅ и H тривиальна;π ∩ π(G) = p и H является силовской p-подгруппой группы G;π(G) ⊆ π и H = G.

Чтобы решить проблему 3.2, требуется изучить ситуацию, когда в группе име-ются нестандартные π-холловы подгруппы.

Пусть r – нечетное простое число и q – целое число, взаимно простое с r. Бу-дем обозначать через e(q, r) наименьшее натуральное число e такое, что qe ≡r 1,т. е. e(q, r) – это порядок q в мультипликативной группе поля порядка r.Если q – нечетное целое число, то положим

e(q, 2) =

1, если q ≡4 1,

2, если q ≡4 3.


Нам придется иметь дело с простыми группами и, в частности, с группа-ми лиева типа. Договоримся об обозначениях и понятиях, связанных с этимиобъектами.

Для линейных алгебраических групп наши обозначения согласуются с [111].Для конечных групп лиева типа мы используем обозначения из [112]. Мытакже пишем Aη

n(q), Dηn(q) и Eη

6 (q), где η ∈ +,−, имея в виду приэтом, что A+

n (q) = An(q), A−n (q) = 2An(q), D+

n (q) = Dn(q), D−n (q) = 2Dn(q),

E+6 (q) = E6(q) и E−

6 (q) = 2E6(q). Конечное поле порядка q при этом называетсябазовым.

Если специально не оговорено, то считается, что G – простая связная ли-нейная алгебраическая группа над алгебраическим замыканием Fp конечногополя Fq, состоящего из q элементов и имеющего простую характеристику p.Сюръективный эндоморфизм σ : G → G называется отображением Фробени-уса группы G, если множество σ-неподвижных точек Gσ этого отображенияконечно. Используя в дальнейшем символ σ, мы по умолчанию подразумеваемпод ним некоторое отображение Фробениуса группы G.

Каждая группа G, удовлетворяющая условию Op′(Gσ) 6 G 6 Gσ для под-ходящих G и σ, называется конечной группой лиева типа. Пусть также R –связная σ-инвариантная подгруппа группы G. Пусть R = G ∩R и положим

N(G, R) = G ∩NG(R ).

Заметим, что, вообще говоря, N(G, R) 6= NG(R). Мы будем называть N(G, R)алгебраическим нормализатором подгруппы R в группе лиева типа G. Приэтом мы будем говорить, что R – максимальный тор группы G, если R –максимальный тор группы G.

В обозначениях классических групп мы следуем [113]. Для унификацииформулировок мы считаем, что GL+

n (q) = GLn(q), GL−n (q) = GUn(q), SL+n (q) =

SLn(q) и SL−n (q) = SUn(q).Если мы рассматриваем группу лиева типа с базовым полем Fq нечетной ха-

рактеристики p из q = pα элементов, то мы полагаем, что число ε(q) ∈ +1,−1выбрано таким образом, что q ≡4 ε(q). Другими словами,

ε(q) = (−1)(q−1)/2.

Обычно мы также будем писать просто ε вместо ε(q).Следуя [113], через Oη

n(q) мы обозначаем полную ортогональную группу раз-мерности n и знака η ∈ ,+,− над полем Fq, в то время как символом GOη

n(q)обозначается группа всех соответствующих подобий. Здесь – пустой символ,используемый в том и только том случае, когда число n нечетно.

Вообще, символ η всегда обозначает некоторый элемент множества ,+,−,причем если η ∈ +,−, то мы будем также писать η вместо числа η1. Для клас-сических групп символ P используется нами для обозначения факторгруппыпо подгруппе скалярных матриц (т. е. для любой подгруппы H группы GLn(q)образ H в PGLn(q) относительно естественного гомоморфизма мы обозначаемчерез PH).


Симметрические, знакопеременные и спорадические группы.

Теорема 8.1 [9; теорема A4 и замечание после нее], [55], [75; теорема 4.3и следствие 4.4]. Пусть π – некоторое множество простых чисел.

(1) Точный список всех случаев, когда симметрическая группа Symn содер-жит нестандартную π-холлову подгруппу, приведен в таблице 2.

(2) Следующие утверждения эквивалентны:(a) Symn ∈ Cπ ;(b) Symn ∈ Eπ ;(c) Altn ∈ Eπ ;(d) Altn ∈ Cπ .

(3) M ∈ Hallπ(Altn) тогда и только тогда, когда M = M0 ∩ Altn для неко-торой M0 ∈ Hallπ(Symn).

Таблица 2. Нестандартные π-холловыподгруппы в симметрических группах

n π ∩ π(Symn) H ∈ Hallπ(Symn)

простое π((n− 1)!) Symn−1

7 2, 3 Sym3× Sym4

8 2, 3 Sym4 oSym2

Таблица 3. Спорадические Eπ-группы, случай 2 6∈ π

G π ∩ π(G) G π ∩ π(G) G π ∩ π(G)

M11 5, 11 M12 5, 11 M22 5, 11

Ru 7, 29 M24 5, 11 M23 5, 1111, 23 11, 23

Fi23 11, 23 Fi′24 11, 23 Ly 11, 67

J1 3, 5 J4 5, 7 O′N 3, 53, 7 5, 11 5, 113, 19 5, 31 5, 315, 11 7, 29

7, 43

Co1 11, 23 Co2 11, 23 Co3 11, 23

B 11, 23 M 23, 4723, 47 29, 59

Теорема 8.2 [42; следствие 6.13], [72; теорема 4.1]. Пусть G является либоодной из 26 спорадических групп, либо группой Титса. Тогда группа G обла-дает нестандартной π-холловой подгруппой H в том и только том случае,когда группа G и соответствующее ей пересечение π∩π(G) указаны в табли-цах 3 или 4. Для случая 2 ∈ π в таблице 4 указано также строение подгруп-пы H . Если же 2 /∈ π , то всякая π-холлова подгруппа H нечетного порядка


в спорадической группе G имеет порядок rs, где π∩π(G) = r, s, кроме случа-ев, когда G = J4 и π = 5, 11 или же G = O′N и π = 3, 5. В первом из этихисключительных случаев H ' 111+2

+ : 5, а во втором H ' 34 : 5.

Таблица 4. Нестандартные π-холловы под-группы в спорадических группах, случай 2 ∈ π

G π ∩ π(G) Строение H

M11 2, 3 32 : Q8 . 2

2, 3, 5 Alt6 .2

M22 2, 3, 5 24 : Alt6

M23 2, 3 24 : (3×A4) : 2

2, 3, 5 24 : Alt6

2, 3, 5 24 : (3×Alt5) : 2

2, 3, 5, 7 L3(4) : 22

2, 3, 5, 7 24 : Alt7

2, 3, 5, 7, 11 M22

M24 2, 3, 5 26 : 3˙Sym6

J1 2, 3 2×Alt4

2, 7 23 : 7

2, 3, 5 2×A5

2, 3, 7 23 : 7 : 3

J4 2, 3, 5 211 : (26 : 3˙Sym6)

Группы лиева типа в характеристике p ∈ π. Рассмотрим конечнуюгруппу G лиева типа над полем характеристики p, и предположим, что множе-ство π таково, что p ∈ π. Если индекс подгруппы Бореля в группе G являетсяπ′-числом, то G ∈ Eπ ввиду теоремы Холла и разрешимости подгруппы Бо-реля. Если G содержит параболическую π-подгруппу P такую, что ее индекс|G : P | является π′-числом, то по определению P – π-холлова подгруппа груп-пы G и, в частности, G ∈ Eπ. Оказывается, этими случаями исчерпываютсявсе π-холловы подгруппы в G.

Теорема 8.3 [71; теорема 3.3]. Пусть G – конечная группа лиева типанад полем характеристики p ∈ π . Если H – π-холлова подгруппа группы G,то H либо содержится в подгруппе Бореля, либо является параболическойподгруппой группы G.

Ввиду теоремы 8.3 требуется ответить на следующий вопрос: в каких случа-ях для подгруппы Бореля B выполнено соотношение π(|G : B|) ⊆ π′ и в какихгруппа G содержит параболическую π-подгруппу P такую, что π(|G : P |) ⊆ π′.На первую часть вопроса отвечает теорема 8.4, а на вторую – теоремы 8.5,8.6 и 8.7.

Теорема 8.4 ([42; теорема 3.2], [45; теорема 3.1], [71; лемма 4.1, теоре-ма 4.2]). Пусть π – некоторое множество простых чисел. Пусть G – группа


лиева типа с базовым полем Fq характеристики p ∈ π , и пусть через B обо-значена некоторая подгруппа Бореля группы G. Тогда число |G : B| являетсяπ′-числом, если и только если

π ∩ π(G) ⊆ π(q − 1) ∪ p и π ∩ π(W ) ⊆ p,

где W – группа Вейля группы G. Для всех конечных групп лиева типа мно-жество π(W ) указано в таблице 5.

Таблица 5. Простые делители порядков группВейля в конечных группах лиева типа

G π(W )

An−1(q), Bn(q), Cn(q), Dn(q) π(n!)

2An−1(q) π([n/2]!)

2Dn(q) π((n− 1)!)

E7(q), E8(q) 2, 3, 5, 7

E6(q) 2, 3, 52E6(q), F4(q), G2(q), 3D4(q) 2, 32B2(q), 2G2(q), 2F4(q) 2

Теорема 8.5 [71; теоремы 6.3 и 8.3]. Пусть π – некоторое множество про-стых чисел. Пусть G = Dη

n(q) – группа с базовым полем характеристикиp ∈ π . Группа G обладает собственной параболической π-подгруппой P , длякоторой π(|G : P |) ⊆ π′ , тогда и только тогда, когда выполнено одно из сле-дующих утверждений:

(a) G = Dl(q), p = 2, l – простое число Ферма, (l, q − 1) = 1, P сопряженас параболической подгруппой GJ , соответствующей множеству J =r2, r3, . . . , rl фундаментальных корней (см. рис. 1), и π∩π(G) = π(P ) =

π(G) \ π

(ql − 1q − 1

(ql−1 + 1))

;

Рис. 1. Диаграмма Дынкина корневой системы типа Dl


Рис. 2. Диаграмма Дынкина корневой системы типа 2Dl

(b) G = 2Dl(q), p = 2, l − 1 – простое число Мерсенна, (l − 1, q − 1) = 1,P сопряжена с параболической подгруппой GJ , отвечающей множест-ву J = r1

2, r13, . . . , r

1l−1 фундаментальных корней (см. рис. 2), и π ∩

π(G) = π(P ) = π(G) \ π

(ql−1 − 1q − 1

(ql + 1))

.

Таблица 6. Параболические π-холловы подгруппы P группы SLn(q)

n s n1, . . . , ns π′ ∩ π(G) Другие условия

нечетноепростое 2 1, n− 1 π

(qn−1q−1

)(n, q − 1) = 1

4 2 2 π(

(q3−1)(q4−1)

(q−1)(q2−1)

)(6, q − 1) = 1

5 2 2, 3 π(

(q4−1)(q5−1)

(q2−1)(q−1)

)(10, q − 1) = 1

5 3 1, 2 π(

(q3−1)(q4−1)(q5−1)

(q−1)(q2−1)(q−1)

)(30, q − 1) = 1

7 2 3, 4 π(

(q3+1)(q5−1)(q7−1)(q+1)(q−1)(q−1)

) (35, q − 1) = 1,(3, q + 1) = 1

8 2 4 π(

(q3+1)(q4−1)(q5−1)(q7−1)

(q+1)(q2−1)(q−1)(q−1)

) (70, q − 1) = 1,(3, q + 1) = 1

11 2 5, 6 π(

(q5+1)(q7−1)(q8−1)(q9−1)(q11−1)

(q+1)(q−1)(q4−1)(q3−1)(q−1)

) (462, q − 1) = 1,(5, q + 1) = 1

Теорема 8.6 [71; теоремы 10.2, 11.2 и 12.2]. Пусть π – некоторое мно-жество простых чисел, V – n-мерное векторное пространство над полем Fq

характеристики p и G = SL(V ) ' SLn(q) – специальная линейная группа это-го пространства. Всякая параболическая подгруппа P группы G может бытьполучена как стабилизатор ряда подпространств

0 = V0 < V1 < · · · < Vs = V,


для которого через ni мы обозначим dim Vi/Vi−1 , i = 1, . . . , s. В таблице 6 при-веден полный список случаев 8 , когда такая подгруппа P является собственнойπ-подгруппой в G и π(|G : P |) ⊆ π′ . В группе PSLn(q) ' An−1(q) всякая па-раболическая π-холлова подгруппа H может быть получена как P/Z(SLn(q)),где P – параболическая π-холлова подгруппа группы SLn(q).

Теорема 8.7 [71; теоремы 5.2 и 7.2]. Пусть G – конечная группа лиеватипа, не изоморфная An(q) и Dη

n(q). Тогда G не содержит собственных па-раболических подгрупп P , для которых (|P |, |G : P |) = 1.

Группы лиева типа в характеристике p /∈ π.

Теорема 8.8 [74], [43]. Пусть G – группа лиева типа с базовым полем Fq

характеристики p и π – множество простых чисел такое, что 2, p /∈ π

и |π ∩ π(G)| > 2. Положим r = minπ ∩ π(G), a = e(q, r), τ = π ∩ π(G) \ r иs ∈ τ . Тогда G ∈ Eπ , если и только если выполнено одно из условий в таб-лицах 7 и 8.

Таблица 7. Eπ-группы лиева типа, 2, p 6∈ π

G r a = e(q, r) e(q, s) Другие условия

An−1(q) — — a n < as

— r − 1 1(qr−1 − 1)r = r,[ nr−1

] = [nr], n < s

— r − 1 r(qr−1 − 1)r = r,[ nr−1

] = [nr]

— r − 1 r(qr−1 − 1)r = r,[ nr−1

] = [nr] + 1, n ≡r −1

2An−1(q) — a ≡4 0 a n < as

— a ≡4 2 a 2n < as

— a ≡2 1 a n < 2as

r ≡4 1 r − 1 2(qr−1 − 1)r = r,[ nr−1

] = [nr], n < 2s

r ≡4 3 r−12

2(qr−1 − 1)r = r,[ nr−1

] = [nr], n < 2s

r ≡4 1 r − 1 2r (qr−1 − 1)r = r, [ nr−1

] = [nr]

r ≡4 3 r−12

2r (qr−1 − 1)r = r, [ nr−1

] = [nr]

r ≡4 1 r − 1 2r(qr−1 − 1)r = r,[ nr−1

] = [nr] + 1, n ≡r −1

r ≡4 3 r−12

2r(qr−1 − 1)r = r,[ nr−1

] = [nr] + 1, n ≡r −1

8Отметим, что в таблице 6 приведены множества π′ ∩ π(G). При этом π ∩ π(G) = π(G) \(π′ ∩ π(G)).


Bn(q), Cn(q) — a ≡2 0 a 2n < as

— a ≡2 1 a n < as

Dn(q) — a ≡2 1 a n < as

— a ≡2 0 a 2n 6 as

2Dn(q) — a ≡2 0 a 2n < as

— a ≡2 1 a n 6 as

— a ≡2 1 a или 2a n = 2a

— a ≡4 2 a2

или a n = a

3D4(q) — — a —

Eη6 (q) — — a (q − η)π 6≡15 0

E7(q), — — a если a = 1 (соотв. a = 2),E8(q) a то (q − 1)π (соотв. (q + 1)π)

не делится на 15, 21 и 35

F4(q), G2(q) — — a —

Таблица 8. Eπ-группы, являющиеся группами Сузуки или Ри, 2, p 6∈ π

G π ∩ π(G) ⊆2B2(2

2m+1) π(22m+1 − 1)

π(22m+1 ± 2m+1 + 1)

2G2(32m+1) π(32m+1 − 1)

π(32m+1 ± 3m+1 + 1)

2F4(22m+1) π(22(2m+1) ± 1)

π(22m+1 ± 2m+1 + 1)

π(22(2m+1) ± 23m+2 ∓ 2m+1 − 1)

π(22(2m+1) ± 23m+2 + 22m+1 ± 2m+1 − 1)

Теорема 8.9 [75; лемма 5.1 и теорема 5.2]. Пусть G – группа лиева типас базовым полем Fq характеристики p и π – множество простых чисел та-кое, что 3, p /∈ π и 2 ∈ π . Положим τ = π ∩ π(G) \ 2, ε = ε(q), s ∈ τ . ТогдаG ∈ Eπ , если и только если выполнено одно из условий в таблице 9. Крометого, за исключением случая, когда G = 2G2(q), q = 32n+1 , n 6≡7 3 и τ = 7,каждая π-холлова подгруппа H группы G обладает нормальной τ -холловойподгруппой, которая содержится в некотором максимальном торе T груп-пы G таком, что группа N(G, T ) содержит силовскую 2-подгруппу группы Gи H является π-холловой подгруппой в N(G, T ). Все π-холловы подгруппы та-кого типа сопряжены в G. Если же G = 2G2(q), q = 32n+1 , n ≡7 3 и τ = 7,то имеется ровно два класса сопряженных π-холловых подгрупп в группе G.Представитель первого класса – это группа Фробениуса порядка 56 (нормали-затор силовской 2-подгруппы), а представитель второго класса – π-холловаподгруппа группы N(G, T ), где T – максимальный тор порядка q + 1.

2 УМН, т. 66, вып. 5


Таблица 9. Eπ-группы лиева типа, 2 ∈ π, 3, p 6∈ π

G τ ⊆ Другие условия

Aηn−1(q), Bn(q), Cn(q) или Dη

n(q) π(q − ε) n < s

A−εn−1(q) π(q − ε) (n + 1)/2 < s

D−εn (q) π(q − ε) n нечетно и n− 1 < s

3D4(q), G2(q), F4(q) или E−ε6 (q) π(q − ε) —

Eε6(q) π(q − ε) 5 /∈ τ

E7(q) или E8(q) π(q − ε) 5, 7 /∈ τ

2G2(q) π(q − ε) —7 —

Лемма 8.10 [76; лемма 3.1]. Пусть π – некоторое множество простых чи-сел, причем 2, 3 ∈ π . Пусть также G ' SL2(q) ' SLη

2(q) ' Sp2(q), где q – сте-пень нечетного простого числа p /∈ π , и положим ε = ε(q). Тогда 9 PG ∈ Eπ ,если и только если имеет место один из случаев в таблице 10. Кроме того,если группа G обладает свойством Eπ , то она содержит один, два или трикласса сопряженных π-холловых подгрупп, т.е. kπ(G) = kπ(PG) ∈ 1, 2, 3.

В последнем столбце таблицы 10 указан образ группы PGL2(q) в SymkH(G)

действия этой группы на множестве классов сопряженных π-холловых под-групп группы G.

Таблица 10. π-холловы подгруппы H группы G = PSL2(q),случай 2, 3 ∈ π, p 6∈ π

π ∩ π(G) H kH(G) Условия Действие

⊆ π(q − ε) Dq−ε 1 — Sym1

2, 3 Alt4 1 (q2 − 1)2,3 = 24 Sym1

2, 3 Sym4 2 (q2 − 1)2,3 = 48 Sym2

2, 3, 5 Alt5 2 (q2 − 1)2,3,5 = 120 Sym2

Следствие 8.11 [76; лемма 3.2]. Предположим, что G = GLη2(q), PG =

G/Z(G) = PGLη2(q), где q – степень простого числа p, и пусть ε = ε(q). Пусть

также π – множество простых чисел такое, что 2, 3 ∈ π и p /∈ π . Подгруп-па H группы G является π-холловой тогда и только тогда, когда подгруп-па H ∩ SLη

2(q) является π-холловой в SLη2(q) и множество HSLη

2 (q) являетсяGLη

2(q)-инвариантным, более точно, тогда и только тогда, когда имеет ме-сто одно из следующих утверждений:

(1) π ∩ π(G) ⊆ π(q − ε), PH – π-холлова подгруппа в диэдральной подгруп-пе D2(q−ε) порядка 2(q − ε) группы PG;

9Напомним, что для подгруппы A группы G через PA обозначена редукция по модулюскалярных матриц.


(2) π ∩ π(G) = 2, 3, (q2 − 1)2,3 = 24, PH ' Sym4 .При этом любые две π-холловы подгруппы группы G, удовлетворяющие одномуи тому же утверждению (1) или (2), сопряжены.

Теорема 8.12 [76; лемма 4.3]. Пусть G = SLηn(q) – специальная линей-

ная или унитарная группа с базовым полем Fq характеристики p, и пустьn > 2. Предположим, что π – некоторое множество простых чисел такое,что 2, 3 ∈ π и p /∈ π . Тогда имеют место следующие утверждения:

(A) Пусть G ∈ Eπ и H – π-холлова подгруппа группы G. Тогда для G, Hи π выполнено одно из следующих утверждений.(a) n = 2 и справедливо одно из утверждений в таблице 10.(b) Либо q ≡12 η , либо n = 3 и q ≡4 η ; группа Symn обладает свой-

ством Eπ , π∩π(G) ⊆ π(q− η)∪π(n!) и если r ∈ (π∩π(n!)) \π(q− η),то |G|r = |Symn |r ; H содержится в подгруппе

M = L ∩G ' Zn−1 . Symn,

где L = Z o Symn 6 GLηn(q) и Z = GLη

1(q) – циклическая группа по-рядка q− η . Все π-холловы подгруппы данного типа сопряжены в G.

(c) n = 2m + k , где k ∈ 0, 1, m > 1, q ≡3 −η , π ∩ π(G) ⊆ π(q2 − 1),группы Symm и GLη

2(q) обладают свойством Eπ ;10 подгруппа H со-держится в подгруппе

M = L ∩G ' (GLη2(q) · · · GLη

2(q)︸︷︷︸m раз

) . Symm Z,

где L = GLη2(q) oSymm ×Z 6 GLη

n(q) и Z – циклическая группа поряд-ка q − η в случае, когда k = 1, и Z = 1 в случае k = 0. Подгруппа H ,действуя сопряжениями на множестве сомножителей вида GLη

2(q)в произведении

GLη2(q) · · · GLη

2(q)︸︷︷︸m раз

, (8.1)

имеет не более двух орбит. Пересечение подгруппы H с каждымиз сомножителей GLη

2(q) в (8.1) является π-холловой подгруппойв GLη

2(q). Все пересечения H с сомножителями, лежащими в однойи той же орбите, удовлетворяют одному и тому же утвержде-нию (1) или (2) в следствии 8.11. Любые две π-холловы подгруппыгруппы M сопряжены в G тогда и только тогда, когда они сопря-жены в M . Кроме того, подгруппа M обладает одним, двумя иличетырьмя классами сопряженных π-холловых подгрупп, а все такиеподгруппы M сопряжены в G.

(d) n = 4, π ∩ π(G) = 2, 3, 5, q ≡8 5η , (q + η)3 = 3, (q2 + 1)5 = 5и H ' 4 . 24 . Alt6 . В этом случае G обладает ровно двумя класса-ми сопряженных π-холловых подгрупп такого типа и группа GLη

4(q)переставляет эти классы.

10Заметим, что ввиду леммы 8.10 условия GLη2(q) ∈ Eπ и q ≡ −η (mod 3) означают, что

q ≡ −η (mod r) для всех нечетных чисел r ∈ π(q2 − 1) ∩ π.

2*


(e) n = 11, π ∩ π(G) = 2, 3, (q2 − 1)2,3 = 24, q ≡3 −η , q ≡4 η ,подгруппа H содержится в подгруппе M = L∩G, где L – подгруппагруппы G вида

((GLη

2(q) o Sym4) ⊥ (GLη1(q) o Sym3)

)и

H =(((Z 2 . Sym4) o Sym4)× (Z o Sym3)

)∩G,

где Z – силовская 2-подгруппа циклической группы порядка q−η . Всеπ-холловы подгруппы данного типа сопряжены в G.

(B) Обратно, если выполнены условия для π , n, η и q в любом из утвержде-ний (a)–(e), то G ∈ Eπ .

(C) Если G ∈ Eπ , то kπ(G) ∈ 1, 2, 3, 4.(D) Все π-холловы подгруппы группы PG имеют вид PH , где H ∈ Hallπ(G).

Теорема 8.13 [76; лемма 4.4]. Пусть G = Sp2n(q) – симплектическая груп-па над полем Fq характеристики p и π – некоторое множество простых чиселтакое, что 2, 3 ∈ π и p /∈ π . Тогда имеют место следующие утверждения.

(A) Пусть G ∈ Eπ и H ∈ Hallπ(G). Тогда группы Symn и SL2(q) облада-ет свойством Eπ и π ∩ π(G) ⊆ π(q2 − 1). Кроме того, H являетсяπ-холловой подгруппой группы

M = Sp2(q) o Symn '(SL2(q)× · · · × SL2(q)︸︷︷︸

n раз

): Symn 6 G.

(B) Обратно, если группы Symn и SL2(q) обладают свойством Eπ и π ∩π(G) ⊆ π(q2 − 1), то M ∈ Eπ и любая π-холлова подгруппа H группы Mявляется π-холловой в G.

(C) Все π-холловы подгруппы группы M сопряжены в G тогда и толькотогда, когда они сопряжены в M , а все такие подгруппы M сопряженыв G. Кроме того, если G ∈ Eπ , то kπ(G) ∈ 1, 2, 3, 4, 9.

(D) Все π-холловы подгруппы группы PG имеют вид PH , где H ∈ Hallπ(G).

Теорема 8.14 [76; лемма 6.7]. Пусть G = Ωηn(q), η ∈ +,−, , где q –

степень простого числа p, n > 7, ε = ε(q). Пусть также π – некотороемножество простых чисел такое, что 2, 3 ∈ π и p /∈ π . Тогда имеют местоследующие утверждения.

(A) Если G содержит π-холлову подгруппу H , то справедливо одно из сле-дующих утверждений.(1) n = 2m + 1, π ∩ π(G) ⊆ π(q − ε), q ≡12 ε, Symm ∈ Eπ ; H является

π-холловой подгруппой в подгруппе M =(Oε

2(q) o Symm ×O1(q))∩ G;

все π-холловы подгруппы такого типа сопряжены в G.(2) n = 2m, η = εm , π ∩ π(G) ⊆ π(q − ε), q ≡12 ε, Symm ∈ Eπ ; H яв-

ляется π-холловой подгруппой в подгруппе M =(Oε

2(q) o Symm

)∩G;

все π-холловы подгруппы такого типа сопряжены в G.(3) n = 2m, η = −εm , π ∩ π(G) ⊆ π(q− ε), q ≡12 ε, Symm−1 ∈ Eπ , H яв-

ляется π-холловой подгруппой в M =(Oε

2(q) o Symm−1×O−ε2 (q)

)∩G;

все π-холловы подгруппы такого типа сопряжены в G.(4) n = 11, π ∩ π(G) = 2, 3, q ≡12 ε, (q2 − 1)π = 24; H является

π-холловой подгруппой в M =(Oε

2(q) o Sym4×O1(q) o Sym3

)∩ G; все

π-холловы подгруппы такого типа сопряжены в G.


(5) n = 12, η = −, π∩π(G) = 2, 3, q ≡12 ε, (q2− 1)π = 24, H являетсяπ-холловой подгруппой в подгруппе M =

(Oε

2(q) o Sym4×O−4 (q)

)∩ G,

и естественная проекция H на сомножитель O−4 (q) совпадает с

подгруппой O1(q) o Sym3×O1(q); в G имеется ровно два класса сопря-женных π-холловых подгрупп такого типа, и автоморфизм поряд-ка 2, индуцированный группой подобий GO−

12(q) естественного мо-дуля, переставляет эти классы.

(6) n = 7, π ∩ π(G) = 2, 3, 5, 7, |G|π = 29 · 34 · 5 · 7, H ' Ω7(2); в Gимеется ровно два класса сопряженных π-холловых подгрупп тако-го типа, и SO7(q) переставляет эти классы.

(7) n = 8, η = +, π∩π(G) = 2, 3, 5, 7, |G|π = 213 ·35 ·52 ·7, H ' 2 . Ω+8 (2);

в G имеется в точности четыре класса сопряженных π-холловыхподгрупп такого типа; подгруппа группы Out(G), порожденная об-разами всех диагональных и графовых автоморфизмов, изоморфнаSym4 и действует на множестве этих классов как полная груп-па подстановок Sym4 в естественном подстановочном представ-лении, при этом все диагональные автоморфизмы действуют безнеподвижных точек.

(8) n = 9, π ∩ π(G) = 2, 3, 5, 7, |G|π = 214 · 35 · 52 · 7; H ' 2 . Ω+8 (2) : 2,

в G имеется ровно два класса сопряженных π-холловых подгрупптакого типа, и группа SO9(q) переставляет эти классы.

(B) Обратно, если выполнено одно из утверждений (1)–(8), то группа Gобладает π-холловой подгруппой указанного строения, т.e. G ∈ Eπ .

(C) Если G ∈ Eπ , то kπ(G) = kπ(PG) ∈ 1, 2, 3, 4.(D) Все π-холловы подгруппы группы PG имеют вид PH .

Теорема 8.15 [76; леммы 7.1–7.6]. Пусть G ∈ Eη6 (q), E7(q), E8(q), F4(q),

G2(q), 3D4(q), где q является степенью простого числа p, и ε = ε(q). Пустьπ – некоторое множество простых чисел такое, что 2, 3 ∈ π и p /∈ π . То-гда G содержит π-холлову подгруппу H в том и только том случае, когдавыполнено одно из следующих утверждений.

(1) Значения l, |Z(G)|, |W | и строение группы W указаны в таблице 11;π(W ) ⊆ π ∩ π(G) ⊆ π(q− ε), H является π-холловой подгруппой группыT . W , где T – максимальный тор порядка (q − ε)l/|Z(G)|. Все π-холловыподгруппы такого типа сопряжены в G.

(2) G = 3D4(q), π ∩ π(G) ⊆ π(q − ε) и H является π-холловой подгруппойв T . W (G2), где T – максимальный тор порядка (q − ε)(q3 − ε). Всеπ-холловы подгруппы такого типа сопряжены в G.

(3) G = E−ε6 (q), π ∩ π(G) ⊆ π(q − ε) и H является π-холловой подгруппой

в группе T . W (F4), где T – максимальный тор порядка (q2 − 1)2(q − ε)2 .Все π-холловы подгруппы такого типа сопряжены в группе G.

(4) G = G2(q), π∩π(G) = 2, 3, 7, (q2−1)2,3,7 = 24, (q4+q2+1)7 = 7, H 'G2(2) и все π-холловы подгруппы такого типа сопряжены в группе G.


Таблица 11. Группы Вейля исключительных корневых систем

G l |Z(G)| W |W |

Eε6(q) 6 3 W (E6) ' Sp4(3) 27 . 34 . 5

E7(q) 7 2 W (E7) ' 2× PΩ7(2) 210 . 34 . 5 . 7

E8(q) 8 1 W (E8) ' 2 . PΩ+8 (2) . 2 214 . 35 . 52 . 7

F4(q) 4 1 W (F4) 27 . 32

G2(q) 2 1 W (G2) 22 . 3

Приложение 2. Классификация конечных простых Dπ-групп

Согласно теореме 6.9, выполнение одного из приведенных ниже условийI–VII для пары (S, π) необходимо и достаточно для того, чтобы простая груп-па S обладала свойством Dπ.

Условие I. Будем говорить, что пара (S, π) удовлетворяет условию I, еслиπ(S) ⊆ π или |π ∩ π(S)| 6 1.

Условие II. Будем говорить, что пара (S, π) удовлетворяет условию II,если выполнено одно из следующих утверждений:

(1) S ' M11 и π ∩ π(S) = 5, 11;(2) S ' M12 и π ∩ π(S) = 5, 11;(3) S ' M22 и π ∩ π(S) = 5, 11;(4) S ' M23 и π ∩ π(S) совпадает с одним из множеств 5, 11, 11, 23;(5) S ' M24 и π ∩ π(S) совпадает с одним из множеств 5, 11, 11, 23;(6) S ' J1 и π ∩ π(S) совпадает с одним из множеств 3, 5, 3, 7, 3, 19,

5, 11;(7) S ' J4 и π ∩ π(S) совпадает с одним из множеств 5, 7, 5, 11, 5, 31,

7, 29, 7, 43;(8) S ' O′N и π ∩ π(S) совпадает с одним из множеств 5, 11, 5, 31;(9) S ' Ly и π ∩ π(S) = 11, 67;

(10) S ' Ru и π ∩ π(S) = 7, 29;(11) S ' Co1 и π ∩ π(S) = 11, 23;(12) S ' Co2 и π ∩ π(S) = 11, 23;(13) S ' Co3 и π ∩ π(S) = 11, 23;(14) S ' M(23) и π ∩ π(S) = 11, 23;(15) S ' M(24)′ и π ∩ π(S) = 11, 23;(16) S ' B и π ∩ π(S) совпадает с одним из множеств 11, 23, 23, 47;(17) S ' M и π ∩ π(S) совпадает с одним из множеств 23, 47, 29, 59.

Условие III. Пусть группа S изоморфна некоторой группе лиева типа надполем Fq характеристики p ∈ π. Положим τ = π ∩ π(S) \ p. В этом случаебудем говорить, что пара (S, π) удовлетворяет условию III, если τ ⊆ π(q − 1)и π ∩ π(W ) = ∅, где π(W ) указано в таблице 5.

Условие IV. Пусть группа S изоморфна некоторой группе лиева типа надполем Fq характеристики p, но не изоморфна группам 2B2(q), 2F4(q), 2G2(q).


Пусть 2, p /∈ π. Обозначим через r наименьшее число из π ∩ π(S) и пустьτ = π ∩ π(S) \ r. Положим a = e(q, r). В этом случае будем говорить, чтопара (S, π) удовлетворяет условию IV, если существует t ∈ τ , для которогоb = e(q, t) 6= a, и имеет место одно из следующих утверждений:

(1) S ' An−1(q), a = r−1, b = r, (qr−1−1)r = r,[

n

r − 1

]=

[n

r

]и e(q, s) = b

для любого s ∈ τ ;

(2) S ' An−1(q), a = r−1, b = r, (qr−1−1)r = r,[

n

r − 1

]=

[n

r

]+1, n ≡ −1

(mod r) и e(q, s) = b для любого s ∈ τ ;

(3) S ' 2An−1(q), r ≡ 1 (mod 4), a = r−1, b = 2r, (qr−1−1)r = r,[

n

r − 1

]=[

n

r

]и e(q, s) = b для любого s ∈ τ ;

(4) S ' 2An−1(q), r ≡ 3 (mod 4), a =r − 1

2, b = 2r, (qr−1 − 1)r = r,[

n

r − 1

]=

[n

r

]и e(q, s) = b для любого s ∈ τ ;

(5) S ' 2An−1(q), r ≡ 1 (mod 4), a = r−1, b = 2r, (qr−1−1)r = r,[

n

r − 1

]=[

n

r

]+ 1, n ≡ −1 (mod r) и e(q, s) = b для любого s ∈ τ ;

(6) S ' 2An−1(q), r ≡ 3 (mod 4), a =r − 1

2, b = 2r, (qr−1 − 1)r = r,[

n

r − 1

]=

[n

r

]+ 1, n ≡ −1 (mod r) и e(q, s) = b для любого s ∈ τ ;

(7) S ' 2Dn(q), a ≡ 1 (mod 2), n = b = 2a и для любого s ∈ τ либоe(q, s) = a, либо e(q, s) = b;

(8) S ' 2Dn(q), b ≡ 1 (mod 2), n = a = 2b и для любого s ∈ τ либоe(q, s) = a, либо e(q, s) = b.

Условие V. Пусть группа S изоморфна некоторой группе лиева типа надполем Fq характеристики p, но не изоморфна группам 2B2(q), 2F4(q), 2G2(q).Пусть 2, p /∈ π. Обозначим через r наименьшее число из π ∩ π(S) и пустьτ = π ∩ π(S) \ r. Положим c = e(q, r). В этом случае будем говорить, чтопара (S, π) удовлетворяет условию V, если для любого t ∈ τ верно равенствоe(q, t) = c и имеет место одно из следующих утверждений:

(1) S ' An−1(q) и для любого s ∈ τ справедливо n < cs;(2) S ' 2An−1(q), c ≡ 0 (mod 4) и n < cs для любого s ∈ τ ;(3) S ' 2An−1(q), c ≡ 2 (mod 4) и 2n < cs для любого s ∈ τ ;(4) S ' 2An−1(q), c ≡ 1 (mod 2) и n < 2cs для любого s ∈ τ ;(5) S изоморфна одной из групп Bn(q), Cn(q) или 2Dn(q), c четно и 2n < cs

для любого s ∈ τ ;(6) S изоморфна одной из групп Bn(q), Cn(q) или Dn(q), c нечетно и n < cs

для любого s ∈ τ ;(7) S ' Dn(q), c четно и 2n 6 cs для любого s ∈ τ ;(8) S ' 2Dn(q), c нечетно и n 6 cs для любого s ∈ τ ;(9) S ' 3D4(q);


(10) S ' E6(q) и если r = 3 и c = 1, то 5, 13 /∈ τ ;(11) S ' 2E6(q) и если r = 3 и c = 2, то 5, 13 /∈ τ ;(12) S ' E7(q) и если r = 3 и c ∈ 1, 2, то 5, 7, 13 /∈ τ , а если r = 5 и c ∈ 1, 2,

то 7 /∈ τ ;(13) S ' E8(q) и если r = 3 и c ∈ 1, 2, то 5, 7, 13 /∈ τ , а если r = 5 и c ∈ 1, 2,

то 7, 31 /∈ τ ;(14) S ' G2(q);(15) S ' F4(q) и если r = 3 и c = 1, то 13 /∈ τ .

Условие VI. Будем говорить, что пара (S, π) удовлетворяет условию VI,если имеет место одно из следующих утверждений:

(1) S ' 2B2(22m+1), π ∩ π(G) содержится в одном из множеств

π(22m+1 − 1), π(22m+1 ± 2m+1 + 1);

(2) S ' 2G2(32m+1), π ∩ π(G) содержится в одном из множеств

π(32m+1 − 1) \ 2, π(32m+1 ± 3m+1 + 1) \ 2;

(3) S ' 2F4(22m+1), π ∩ π(G) содержится в одном из множеств

π(22(2m+1) ± 1), π(22m+1 ± 2m+1 + 1), π(22(2m+1) ± 23m+2 ∓ 2m+1 − 1),

π(22(2m+1) ± 23m+2 + 22m+1 ± 2m+1 − 1).

Условие VII. Пусть группа S изоморфна некоторой группе лиева типа надполем Fq характеристики p. Пусть 2 ∈ π, а 3, p /∈ π. Положим τ = π∩π(G)\2и пусть ϕ – множество простых чисел Ферма, принадлежащих τ . В этом случаебудем говорить, что пара (S, π) удовлетворяет условию VII, если τ ⊆ π(q− ε),где число ε = ±1 таково, что 4 делит q − ε, и имеет место одно из следующихутверждений:

(1) S изоморфна одной из групп An−1(q), 2An−1(q), для любого s ∈ τ выпол-нено s > n и для любого t ∈ ϕ выполнено t > n + 1;

(2) S ' Bn(q) и для любого s ∈ τ выполнено s > 2n + 1;(3) S ' Cn(q), для любого s ∈ τ выполнено s > n и для любого t ∈ ϕ

выполнено t > 2n + 1;(4) S изоморфна одной из групп Dn(q), 2Dn(q) и для любого s ∈ τ выполнено

s > 2n;(5) S изоморфна одной из групп G2(q), 2G2(q) и 7 /∈ τ ;(6) S ' F4(q) и 5, 7 /∈ τ ;(7) S изоморфна одной из групп E6(q), 2E6(q) и 5, 7 /∈ τ ;(8) S ' E7(q) и 5, 7, 11 /∈ τ ;(9) S ' E8(q) и 5, 7, 11, 13 /∈ τ ;

(10) S ' 3D4(q) и 7 /∈ τ .


Список литературы

[1] M.L. Sylow, “Theoremes sur les groupes de substitutions”, Math. Ann., 5:4 (1872),584–594.

[2] М. И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков, Основы теории групп, 4-е изд., Наука,Физматлит, М., 1996; англ. пер. 2-го изд.: M. I. Kargapolov, Ju. I. Merzljakov,Fundamentals of the theory of groups, Graduate Texts in Math., 62, Springer-Verlag,New York–Berlin, 1979, ISBN: 0-387-90396-8, xvii+203 pp.

[3] С. А. Чунихин, Подгруппы конечных групп, Наука и техника, Минск, 1964; англ.пер.: S.A. Chunikhin, Subgroups of finite groups, Wolters-Noordhoff Publishing, Gro-ningen, 1969.

[4] B. Hartley, “Helmut Wielandt on the π-structure of finite groups”: H. Wielandt,Mathematische Werke / Mathematical Works, v. 1: Group theory, eds. B. Huppertand H. Sneider, de Gruyter, Berlin, 1994, 511–516.

[5] W. Burnside, Theory of groups of finite order, 2nd ed., Univ. Press, Cambridge,1911.

[6] P. Hall, “A note on soluble groups”, J. London Math. Soc., 3 (1928), 98–105.

[7] P. Hall, “A characteristic property of soluble groups”, J. London Math. Soc., 12(1937), 198–200.

[8] С. А. Чунихин, “О разрешимых группах”, Изв. НИИММ Том. унив., 2 (1938),220–223.

[9] P. Hall, “Theorems like Sylow’s”, Proc. London Math. Soc. (3), 6 (1956), 286–304.

[10] А.В. Романовский, “О чунихинской теории индексиалов”, Докл. АН БССР, 18(1974), 297–299.

[11] А.В. Романовский, “Существование холловских нормальных подгрупп у конеч-ных групп”, Матем. заметки, 16:3 (1974), 381–385; англ. пер.: A.V. Roma-novskii, “Existence of Hall normal subgroups in finite groups”, Math. Notes, 16:3(1974), 817–819.

[12] Л. А. Шеметков, А.Ф. Васильев, “Нелокальные формации конечных групп”,Докл. НАН Беларуси, 39 (1995), 5–8.

[13] П. А. Гольберг, “Силовские базы π-отделимых групп”, Докл. АН СССР, 64:6(1949), 615–618.

[14] Л. С. Казарин, “Теоремы силовского типа для конечных групп”, Структурныесвойства алгебраических систем, Кабардино-Балкарск. унив., Нальчик, 1981,42–52.

[15] Л. С. Казарин, “О произведении конечных групп”, Докл. АН СССР, 269:3(1983), 528–531; англ. пер.: L. S. Kazarin, “On the product of finite groups”, Sov.Math. Dokl., 27 (1983), 354–357.

[16] М. И. Каргаполов, “О факторизации π-отделимых групп”, Докл. АН СССР,114:6 (1957), 1155–1157.

[17] В. Д. Мазуров, “Об одном вопросе Л. А. Шеметкова”, Алгебра и логика, 31:6(1992), 624–636; англ. пер.: V.D. Mazurov, “On a question of L.A. Shemetkov”,Algebra and Logic, 31:6 (1992), 360–366.

[18] С. А. Русаков, “Аналоги теоремы Силова о вложении подгрупп”, Докл. АНБССР, 5:4 (1961), 139–141.

[19] С. А. Русаков, “Аналоги теоремы Силова о существовании и вложении под-групп”, Сиб. матем. журн., 4:5 (1963), 325–342.

[20] С. А. Русаков, “C-теоремы для n-групп”, Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз-мат.навук, 1972, 3, 5–9.

[21] В. Н. Тютянов, “Dπ-теорема для конечных групп, имеющих композиционныефакторы такие, что 2-длина любой разрешимой подгруппы не превосходит еди-ницы”, Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз-мат. навук, 2000, 1, 12–14.

http://dx.doi.org/10.1007/BF01442913

http://dx.doi.org/10.1007/BF01442913

http://www.zentralblatt-math.org/zmath/search/?an=Zbl 0884.20001









http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1272467



http://www.zentralblatt-math.org/zmath/search/?an=JFM 42.0151.02

http://www.zentralblatt-math.org/zmath/search/?an=JFM 42.0151.02

http://dx.doi.org/10.1112/jlms/s1-3.2.98





http://dx.doi.org/10.1112/plms/s3-6.2.286



http://mi.mathnet.ru/rus/mzm7471

http://mi.mathnet.ru/rus/mzm7471

http://dx.doi.org/10.1007/BF01148126

http://dx.doi.org/10.1007/BF01148126

http://dx.doi.org/10.1007/BF01148126













http://dx.doi.org/10.1007/BF02261729

http://dx.doi.org/10.1007/BF02261729











[22] В. Н. Тютянов, “О теоремах силовского типа для конечных групп”, Укр. матем.журн., 52:10 (2000), 1426–1430; англ. пер.: V.N. Tyutyanov, “On theorems of theSylow type for finite groups”, Ukrainian Math. J., 52:10 (2000), 1628–1633.

[23] В. Н. Тютянов, “О гипотезе Холла”, Укр. матем. журн., 54:7 (2002), 981–990;англ. пер.: V.N. Tyutyanov, “On a Hall hypothesis”, Ukrainian Math. J., 54:7(2002), 1181–1191.

[24] С. А. Чунихин, Л.А. Шеметков, “Конечные группы”, Итоги науки и техники.Алгебра. Топол. Геом., 8, ВИНИТИ, М., 1971, 7–70; англ. пер.: S.A. Chunikhin,L.A. Shemetkov, “Finite groups”, J. Soviet Math., 1:3 (1973), 291–332.

[25] Л. А. Шеметков, “К теореме Холла”, Докл. АН СССР, 147:2 (1962), 321–322;англ. пер.: L.A. Shemetkov, “On Hall’s theorem”, Sov. Math. Dokl., 3 (1962),1624–1625.

[26] Л. А. Шеметков, “Новая D-теорема в теории конечных групп”, Докл. АН СССР,160:2 (1965), 290–293; англ. пер.: L.A. Shemetkov, “A new D-theorem in thetheory of finite groups”, Sov. Math. Dokl., 6 (1965), 89–93.

[27] Л. А. Шеметков, “Силовские свойства конечных групп”, Матем. сб., 76(118):2(1968), 271–287; англ. пер.: L.A. Semetkov, “Sylow properties of finite groups”,Math. USSR-Sb., 5:2 (1968), 261–274.

[28] Л. А. Шеметков, “О силовских свойствах конечных групп”, Докл. АН БССР,16:10 (1972), 881–883.

[29] Л. А. Шеметков, “D-строение конечных групп”, Матем. сб., 67(109):3 (1965),384–407.

[30] Л. А. Шеметков, “О сопряженности и вложении подгрупп”, Конечные группы,Минск, 1966, 881–883.

[31] Л. А. Шеметков, “Два направления в развитии теории непростых конечныхгрупп”, УМН, 30:2(182) (1975), 179–198; англ. пер.: L.A. Shemetkov, “Two direc-tions in the development of the theory of non-simple finite groups”, Russian Math.Surveys, 30:2 (1975), 185–206.

[32] Л. А. Шеметков, Формации конечных групп, Наука, М., 1978.[33] Л. А. Шеметков, “Обобщения теоремы Силова”, Сиб. матем. журн., 44:6 (2003),

1425–1431; англ. пер.: L. A. Shemetkov, “Generalizations of Sylow’s theorem”, Sib.Math. J., 44:6 (2003), 1127–1132.

[34] Z. Arad, M.B. Ward, “New criteria for the solvability of finite groups”, J. Algebra,77:1 (1982), 234–246.

[35] Z. Arad, D. Chilag, “A criterion for the existence of normal π-complements in finitegroups”, J. Algebra, 87:2 (1984), 472–482.

[36] Z. Arad, E. Fisman, “On finite factorizable groups”, J. Algebra, 86:2 (1984), 522–548.

[37] R. Baer, “Verstreute Untergruppen endlicher Gruppen”, Arch. Math., 9:1-2 (1958),7–17.

[38] E. L. Spitznagel, Jr., “Hall subgroups of certain families of finite groups”, Math. Z.,97:4 (1967), 259–290.

[39] M.P. Cooney, “The nonsolvable Hall subgroups of the general linear groups”,Math. Z., 114:4 (1970), 245–270.

[40] F. Gross, “Odd order Hall subgrous of GL(n, q) and Sp(2n, q)”, Math. Z., 187:2(1984), 185–194.

[41] F. Gross, “On the existence of Hall subgroups”, J. Algebra, 98:1 (1986), 1–13.

[42] F. Gross, “On a conjecture of Philip Hall”, Proc. London Math. Soc. (3), 52:3 (1986),464–494.

[43] F. Gross, “Odd order Hall subgroups of the classical linear groups”, Math. Z., 220:3(1995), 317–336.



http://dx.doi.org/10.1023/A:1010413403774

http://dx.doi.org/10.1023/A:1010413403774


http://dx.doi.org/10.1023/A:1022074627815

http://dx.doi.org/10.1023/A:1022074627815

http://dx.doi.org/10.1023/A:1022074627815

http://mi.mathnet.ru/rus/inta50

http://mi.mathnet.ru/rus/inta50









http://mi.mathnet.ru/rus/sm4017






http://mi.mathnet.ru/rus/rm3991


http://dx.doi.org/10.1070/RM1975v030n02ABEH001409




http://mi.mathnet.ru/rus/smj1267


http://dx.doi.org/10.1023/B:SIMJ.0000007488.54213.4a

http://dx.doi.org/10.1023/B:SIMJ.0000007488.54213.4a

http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(82)90288-5

http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(82)90288-5

http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(84)90150-9

http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(84)90150-9

http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(84)90046-2

http://dx.doi.org/10.1007/BF02287055

http://dx.doi.org/10.1007/BF02287055

http://dx.doi.org/10.1007/BF01112169

http://dx.doi.org/10.1007/BF01112169

http://dx.doi.org/10.1007/BF01112695

http://dx.doi.org/10.1007/BF01112695

http://dx.doi.org/10.1007/BF01161703

http://dx.doi.org/10.1007/BF01161703

http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(86)90012-8



http://dx.doi.org/10.1007/BF02572618

http://dx.doi.org/10.1007/BF02572618


[44] F. Gross, “Conjugacy of odd order Hall subgroups”, Bull. London Math. Soc., 19:4(1987), 311–319.

[45] F. Gross, “Hall subgroups of order not divisible by 3”, Rocky Mountain J. Math.,23:2 (1993), 569–591.

[46] W. Guo, B. Li, “On the Shemetkov problem for Fitting classes”, Beitrage AlgebraGeom., 48:1 (2007), 281–289.

[47] W. Guo, “Formations determined by Hall subgroups”, J. Appl. Algebra DiscreteStruct., 4:3 (2006), 139–147.

[48] W.B. Guo, “Some problems and results for the research on Sylow objects of finitegroups”, J. Xuzhou Norm. Univ. Nat. Sci. Ed., 23:3 (2005), 1–6 (Chinese).

[49] P.A. Ferguson, P. Kelley, “Hall π-subgroups which are direct product of nonabeliansimple groups”, J. Algebra, 120:1 (1989), 40–46.

[50] B. Hartley, “A theorem of Sylow type for a finite groups”, Math. Z., 122:4 (1971),223–226.

[51] P. Hall, “On the Sylow system of a soluble group”, Proc. London Math. Soc. (2), 43(1937), 316–323.

[52] N. Ito, “On Π-structures of finite groups”, Tohoku Math. J., 4:1 (1952), 172–177.

[53] M. Suzuki, Group theory. II, Springer-Verlag, New York, 1986.

[54] M.C. Tibiletti, “Sui prodotti ordinati di gruppi finiti”, Boll. Un. Mat. Ital. (3), 13(1958), 46–57.

[55] J.G. Thompson, “Hall subgroups of the symmetric groups”, J. Combin. Theory, 1:2(1966), 271–279.

[56] H. Wielandt, “Zum Satz von Sylow”, Math. Z., 60:4 (1954), 407–408.

[57] H. Wielandt, “Sylowgruppen und Kompositions-Struktur”, Abh. Math. Sem. Univ.Hamburg, 22 (1958), 215–228.

[58] H. Wielandt, “Zum Satz von Sylow. II”, Math. Z., 71:4 (1959), 461–462.

[59] H. Wielandt, “Entwicklungslinien in der Strukturtheorie der endlichen Gruppen”,Proc. Intern. Congress Math. (Edinburgh, 1958), Cambridge Univ. Press, New York,1960, 268–278.

[60] H. Wielandt, “Arithmetische Struktur und Normalstruktur endlicher Gruppen”,Conv. Internaz. di Teoria dei Gruppi Finiti e Applicazioni (Firenze, 1960), EdizioniCremonese, Roma, 1960, 56–65.

[61] H. Wielandt, “Der Normalisator einer subnormalen Untergruppe”, Acta Sci. Math.Szeged, 21 (1960), 324–336.

[62] H. Wielandt, “Sylowturme in subnormalen Untergruppen”, Math. Z., 73:4 (1960),386–392.

[63] H. Wielandt, B. Huppert, “Arithmetical and normal structure of finite groups”,Proc. Symp. Pure Math., 6, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1962, 17–38.

[64] H. Wielandt, “Sur la structure des groupes composes”, Seminaire Dubreil-Pisot.Algebre et Theorie des Nombres, 17, eds. M.-L. Dubreil-Jacotin, L. Lesieur, C. Pisot,1963/64, 10 pp.

[65] H. Wielandt, “Zusammengesetzte Gruppen: Holders Programm heute”, The SantaCruz Conference on Finite Groups (Univ. California, Santa Cruz, 1979), Proc. Sym-pos. Pure Math., 37, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980, 161–173.

[66] G. Zappa, “Sopra un’estensione di Wielandt del teorema di Sylow”, Boll. Un. Mat.Ital. (3), 9:4 (954), 349–353.

[67] А.И. Кострикин, “Конечные группы”, Итоги науки и техники. Алгебра. Топол.Геом., 3, ВИНИТИ, М., 1965, 7–46.

[68] K. Doerk, T. Hawks, Finite soluble groups, de Gruyter Exp. Math., 4, de Gruyter,Berlin, 1992.

http://dx.doi.org/10.1112/blms/19.4.311

http://dx.doi.org/10.1112/blms/19.4.311

http://dx.doi.org/10.1216/rmjm/1181072577

http://dx.doi.org/10.1216/rmjm/1181072577







http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(89)90186-5

http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(89)90186-5

http://dx.doi.org/10.1007/BF01109916

http://dx.doi.org/10.1007/BF01109916



http://dx.doi.org/10.2748/tmj/1178245419




http://dx.doi.org/10.1016/S0021-9800(66)80032-7

http://dx.doi.org/10.1016/S0021-9800(66)80032-7

http://dx.doi.org/10.1007/BF01187386

http://dx.doi.org/10.1007/BF02941954

http://dx.doi.org/10.1007/BF02941954

http://dx.doi.org/10.1007/BF01181418









http://dx.doi.org/10.1007/BF01215322

http://dx.doi.org/10.1007/BF01215322














[69] J.H. Conway, R.T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R.A. Wilson, Atlas of finitegroups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups, Oxford Univ.Press, Eynsham, 1985.

[70] А.С. Кондратьев, “Подгруппы конечных групп Шевалле”, УМН, 41:1(247)(1986), 57–96; англ. пер.: A. S. Kondrat’ev, “Subgroups of finite Chevalley groups”,Russian Math. Surveys, 41:1 (1986), 65–118.

[71] Д. О. Ревин, “Холловы π-подгруппы конечных групп Шевалле, характеристи-ка которых принадлежит π”, Матем. тр., 2:1 (1999), 160–208; англ. пер.:D.O. Revin, “Hall π-subgroups of finite Chevalley groups whose characteristicbelongs to π”, Sib. Adv. Math., 9:2 (1999), 25–71.

[72] Д. О. Ревин, “Свойство Dπ в одном классе конечных групп”, Алгебра и логика,41:3 (2002), 335–370; англ. пер.: D.O. Revin, “The Dπ-property in a class of finitegroups”, Algebra and Logic, 41:3 (2002), 187–206.

[73] Ph. Cobb, “Existence of Hall subgroups and embedding of π-subgroups into Hallsubgroups”, J. Algebra, 127:1 (1989), 229–243.

[74] Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, “Холловы подгруппы нечетного порядка в конеч-ных группах”, Алгебра и логика, 41:1 (2002), 15–56; англ. пер.: E.P. Vdovin,D.O. Revin, “Hall subgroups of odd order in finite groups”, Algebra and Logic, 41:1(2002), 8–29.

[75] D.O. Revin, E. P. Vdovin, “Hall subgroups of finite groups”, Ischia group theory2004, Proceedings of a conference in honor of Marcel Herzog (Naples, Italy, 2004),Contemp. Math., 402, Amer. Math. Soc., Providence, RI; Bar-Ilan University, Ra-mat Gan, 2006, 229–263.

[76] D.O. Revin, E. P. Vdovin, “On the number of classes of conjugate Hall subgroupsin finite simple groups”, J. Algebra, 324:12 (2010), 3614–3652; arXiv: 0912.1922v1.

[77] Д. О. Ревин, “Характеризация конечных Dπ-групп”, Докл. РАН, 417:5 (2007),601–604; англ. пер.: D.O. Revin, “A characterization of finite Dπ-groups”, Dokl.Math., 76:3 (2007), 925–928.

[78] Д. О. Ревин, “Свойство Dπ в линейных и унитарных группах”, Сиб. матем.журн., 49:2 (2008), 437–448; англ. пер.: D.O. Revin, “The property Dπ in linearand unitary groups”, Sib. Math. J., 49:2 (2008), 353–361.

[79] Д. О. Ревин, “Свойство Dπ в конечных простых группах”, Алгебра и логика,47:3 (2008), 364–394; англ. пер.: D.O. Revin, “The Dπ-property in finite simplegroups”, Algebra and Logic, 47:3 (2008), 210–227.

[80] D.O. Revin, E. P. Vdovin, “Existence criterion for Hall subgroups of finite groups”,J. Group Theory, 14:1 (2011), 93–101; arXiv: 0803.3868v3.

[81] Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, “Критерий сопряженности холловых подгрупп в ко-нечных группах”, Сиб. матем. журн., 51:3 (2010), 506–516; англ. пер.:D.O. Revin, E. P. Vdovin, “Conjugacy criterion for Hall subgroups of finite groups”,Sib. Math. J., 51:3 (2010), 402–409.

[82] W. Feit, J.G. Thompson, “Solvability of groups of odd order”, Pacific J. Math., 13:3(1963), 775–1029; http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103053943.

[83] H. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie, Teubner, Leipzig–Berlin, 1937.

[84] С. А. Чунихин, “О силовских свойствах конечных групп”, Докл. АН СССР, 73:1(1950), 29–32.

[85] С. А. Чунихин, “О силовски-правильных группах”, Докл. АН СССР, 60:5 (1948),773–774.

[86] С. А. Чунихин, “О Π-свойствах конечных групп”, Матем. сб., 25(67):3 (1949),321–346; англ. пер.: S.A. Chunikhin, “On Π-properties of finite groups”, Amer.Math. Soc. Transl., 1952, 72, 32 pp.

[87] С. А. Чунихин, “Об условиях теорем типа Силова”, Докл. АН СССР, 69:6 (1949),735–737.






http://mi.mathnet.ru/rus/mt150

http://mi.mathnet.ru/rus/mt150




http://mi.mathnet.ru/rus/al187


http://dx.doi.org/10.1023/A:1016029025936

http://dx.doi.org/10.1023/A:1016029025936

http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(89)90286-X

http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(89)90286-X



http://dx.doi.org/10.1023/A:1014653900781

http://dx.doi.org/10.1023/A:1014653900781

http://dx.doi.org/10.1023/A:1014653900781





http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.09.014

http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.09.014

http://arxiv.org/abs/0912.1922v1

http://mi.mathnet.ru/rus/dan484

http://mi.mathnet.ru/rus/dan484

http://dx.doi.org/10.1134/S1064562407060294

http://dx.doi.org/10.1134/S1064562407060294



http://dx.doi.org/10.1007/s11202-008-0034-8

http://dx.doi.org/10.1007/s11202-008-0034-8



http://dx.doi.org/10.1007/s10469-008-9010-4

http://dx.doi.org/10.1007/s10469-008-9010-4

http://dx.doi.org/10.1515/JGT.2010.037

http://dx.doi.org/10.1515/JGT.2010.037

http://arxiv.org/abs/0803.3868v3



http://dx.doi.org/10.1007/s11202-010-0041-4

http://dx.doi.org/10.1007/s11202-010-0041-4

http://dx.doi.org/10.1007/s11202-010-0041-4



http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103053943












[88] С. А. Чунихин, “Об ослаблении условий в теоремах типа Силова”, Докл. АНСССР, 83:5 (1952), 663–665.

[89] С. А. Чунихин, “О подгруппах конечной группы”, Докл. АН СССР, 86:1 (1952),27–30.

[90] С. А. Чунихин, “О существовании и сопряженности подгрупп у конечной груп-пы”, Матем. сб., 33(75):1 (1953), 111–132.

[91] С. А. Чунихин, “О π-разрешимых подгруппах конечных групп”, Докл. АНСССР, 103:3 (1955), 377–378.

[92] С. А. Чунихин, “О некоторых направлениях в развитии теории конечных группза последние годы”, УМН, 16:4(100) (1961), 31–50; англ. пер.: S.A. Chunikhin,“Some trends in the development of the theory of finite groups in recent years”,Russian Math. Surveys, 16:4 (1961), 29–46.

[93] С. А. Чунихин, “Об индексиалах конечных групп”, ДАН СССР, 136 (1961),299–300; англ. пер.: S.A. Chunikhin, “On indexials of finite groups”, Sov. Math.Dokl., 2 (1961), 70–71.

[94] С. А. Чунихин, “Об одной π-силовской теореме, вытекающей из гипотезы о раз-решимости групп нечетного порядка”, Докл. АН БССР, 6:6 (1962), 345–346.

[95] С. А. Чунихин, “Об определении π-разрешимых и π-отделимых групп”, Докл.АН СССР, 212 (1973), 1078–1081; англ. пер.: S.A. Chunikhin, “On the definitionof π-solvable and π-separable groups”, Sov. Math. Dokl., 14 (1973), 1558–1562.

[96] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 17-е изд., дополн.,ред. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро, Российская академия наук, Сибирское отделе-ние, Институт математики, Новосибирск, 2010.

[97] В. Д. Мазуров, Д.О. Ревин, “О холловом Dπ-свойстве для конечных групп”, Сиб.матем. журн., 38:1 (1997), 125–134; англ. пер.: V.D. Mazurov, D.O. Revin, “Onthe Hall Dπ-property for finite groups”, Sib. Math. J., 38:1 (1997), 106–113.

[98] Д. О. Ревин, “Свойство Dπ конечных групп в случае 2 /∈ π”, Группы и графы, Сб.науч. трудов, Тр. ИММ УрО РАН, 13, 2007, 166–182; англ. пер.: D.O. Revin,“The Dπ property of finite groups in the case 2 /∈ π”, Proc. Steklov Inst. Math.,257:1, suppl. 1 (2007), S164–S180.

[99] R. Baer, “Engelsche Elemente Noetherscher Gruppen”, Math. Ann., 133 (1957),256–270.

[100] M. Suzuki, “Finite groups in which the centralizer of any element of order 2 is2-closed”, Ann. of Math. (2), 82 (1965), 191–212.

[101] Д. О. Ревин, “О π-теоремах Бэра–Судзуки”, Сиб. матем. журн., 52:2 (2011),430–440; англ. пер.: D. O. Revin, “On Baer–Suzuki π-theorems”, Sib. Math. J.,52:2 (2011), 340–347.

[102] Д. О. Ревин, “О связи между теоремами Силова и Бэра–Судзуки”, Сиб. матем.журн., 52:5 (2011), 1130–1140; англ. пер.: D.O. Revin, “On a relation betweenthe Sylow and Baer–Suzuki theorems”, Sib. Math. J., 52:5 (2011), 740–747.

[103] В. И. Зенков, “Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах”, Фун-дамент. и прикл. матем., 2:1 (1996), 1–92.

[104] E. P. Vdovin, “Regular orbits of solvable linear p′-groups”, Сиб. электрон. матем.изв., 4 (2007), 345–360.

[105] S. Dolfi, “Large orbits in coprime actions of solvable groups”, Trans. Amer. Math.Soc., 360:1 (2008), 135–152.

[106] Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, “Пронормальность холловых подгрупп в конечныхпростых группах”, Сиб. матем. журн., принято к печати.

[107] P. Hall, “On the system normalizers of a soluble groups”, Proc. London Math.Soc. (2), 43 (1937), 507–528.






















http://dx.doi.org/10.1007/BF02674906

http://dx.doi.org/10.1007/BF02674906

http://mi.mathnet.ru/rus/timm80

http://mi.mathnet.ru/rus/timm80

http://dx.doi.org/10.1134/S0081543807050124

http://dx.doi.org/10.1134/S0081543807050124

http://dx.doi.org/10.1134/S0081543807050124

http://dx.doi.org/10.1007/BF02547953

http://dx.doi.org/10.1007/BF02547953

http://dx.doi.org/10.2307/1970569

http://dx.doi.org/10.2307/1970569



http://dx.doi.org/10.1134/S0037446611020170

http://dx.doi.org/10.1134/S0037446611020170

http://mi.mathnet.ru/rus/fpm149

http://mi.mathnet.ru/rus/fpm149

http://mi.mathnet.ru/rus/semr162


http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04155-4

http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04155-4




[108] Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, “О пронормальности холловых подгрупп”, Сиб. ма-тем. журн., принято к печати.

[109] Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, Л. А. Шеметков, “Формации Cπ-групп”, Алгебраи анализ, 24 (2012), принято к печати.

[110] Д. О. Ревин, “Вокруг гипотезы Ф. Холла”, Сиб. электрон. матем. изв., 6 (2009),366–380.

[111] Дж. Хамфри, Линейные алгебраические группы, Наука, Физматлит, М., 1980,399 с.; пер. с англ.: J. E. Humphreys, Linear algebraic groups, Grad. Texts inMath., 21, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1975.

[112] R.W. Carter, Simple groups of Lie type, Pure Appl. Math., 28, Wiley,London–New York–Sydney, 1972.

[113] P.B. Kleidman, M. Liebeck, The subgroups structure of finite classical groups, Lon-don Math. Soc. Lecture Note Ser., 129, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.

Е.П. Вдовин (E. P. Vdovin)Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,НовосибирскНовосибирский государственный университетE-mail : [email protected]

Д.О. Ревин (D.O. Revin)Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,НовосибирскНовосибирский государственный университетE-mail : [email protected]

Поступила в редакцию07.10.2010











mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

2011 г. сентябрь октябрь т. 66, вып. 5(401) УСПЕХИ...

Documents