2012.2 - transp19
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SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
REVENDOExemplo 01: ache a solução geral da seguinte equação diferencial:
02 202
2
ydt
dy
dt
yd
Equação característica:
20
22,1
20
2 02 rrr
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 01 (continuação):
Se:
)cos()(
)()(
)(
20
2
21
)(2
)(1
20
2 20
220
2
tKty
tKKty
KKty
dt
H
tH
ttH
220 d
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
No caso de raízes complexas, vamos ver com mais detalhes:
)cos(
)]()cos([
)]()()cos()[(
))]()(cos())()(cos([
)(
5
43
2121
21
21
)(2
)(1
2120
2 21
tK
tsenKtK
tsenKKjtKK
tjsentKtjsentK
KK
KK
KK
t
t
t
t
tjtjt
tjtj
trtr
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
As duas últimas formas são as utilizadas:
)cos(
)]()cos([ 21
tK
tsenKtKt
t
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Em ambos os casos temos duas constantes a determinar:
K1 e K2 na primeira equação e K e Ф na segunda. Estas últimas, na verdade, são funções das duas primeiras:
1
2122
21 tan
K
KeKKK
Estas constantes são determinadas pelas condições iniciais.
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Solução exemplo 02:
032)(1)(
20
:0
000
1010
04321
0
eidt
diii
dt
iideVVVV
idesentidonoopercorrendMalha
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
As tensões poderiam ser definidas de qualquer forma. O único compromisso é que a corrente e a tensão, se ambas são POSITIVAS, têm as seguintes relação e orientação para os componentes R, C e L:
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Solução exemplo 02:
Malha 0:
11
00
20
2
11
00
20
20
20
2
20
200
0
000
1010
000
1010
244
2322
1
03222
032)(1)(
2
idt
die
dt
de
dt
ed
idt
die
dt
de
dt
ed
dt
de
dt
ed
dt
ed
dt
di
dt
dei
eidt
diii
dt
di
dt
di
eidt
diii
dt
iid
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
SOLUÇÃO HOMOGÊNEA
Exemplo 03: ache a solução homogênea para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:
0)0(,1)0(;22
2
dt
dyyt
dt
dy
dt
yd
Equação característica:
t
ttrtrH
KK
KKKKty
rrrrRaízes
rr
221
22
0121
21
2
21)(
2,00)2(:
;02
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAISExemplo 03 (continuação): Solução particular:
4
1;
4
1;0)(24
;2222;2
;)(
2
2
2
BABAtBAAt
tBAtAAtd
ydBAt
dt
dy
BtAtty
PP
P
Solução completa:
);922(8
1)(
4
1
4
1
8
1
8
9)(;
8
9;
8
14
120)0(;1)0(
;4
1
2
12;
4
1
4
1)(
22
2212
221
22
2221
t
t
tt
ttty
tttyKK
Kdt
dyKKy
tKdt
dyttKKty
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 04: ache a solução completa para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:
0)0()0();2cos(42
2
dt
dyyty
dt
yd
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 04 (continuação): Equação característica:
)2()2cos()(
)]2()2cos([)(
204
21
210
2,12
tsenKtKty
tsenKtKty
jrr
H
tH
Solução particular:
)2cos()2(4)2(4)2cos(4)2cos(4
)2cos()]2()2cos([4)2(4)2cos(4
)2(4)2cos(4
)2cos(2)2(2
)2()2cos()(
4433
4343
432
2
43
43
ttsenKtsenKtKtK
ttsenKtKtsenKtK
tsenKtKdt
yd
tKtsenKdt
dy
tsenKtKty
P
P
P
Não é possível achar K3 e K4 que satisfaçam esta equação!
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 04 (continuação): Isto acontece porque a Equação Forçante tem um termo do mesmo tipo que a solução homogênea, que é cos(2t). Nestes casos, devemos tentar:
Solução particular:
)2cos(2)2cos(2)2(4
)2(2)2(2)2cos(4
)]2()2cos(2[)]2cos()2(2[
)2()2cos()(
2
2
tBtBtBtsen
tAsentAsentAtdt
yd
tBsentBttAtAtsendt
dy
tBtsentAtty
P
P
P
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 04 (continuação):
)2cos()2(4)2cos(4
)2cos(2)2cos(2)2(4
)2(2)2(2)2cos(4
ttBtsentAt
tBtBtBtsen
tAsentAsentAt
Rearrumando esta equação:
)2cos()2cos(4)2(4 ttBtAsen
Como deve ser válida para todo t:
4
10 BeA
Que nos dá a solução completa:
)2(4
1)2()2cos()( 21 ttsentsenKtKty
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 04 (continuação): cálculo de K1 e K2:
0004
110
2
112002)0(
00001)0(
)2cos(2
1)2cos(
2
1)2()2(4)2cos(4
)2(4
1)2cos(
2
1)2cos(2)2(2
)2(4
1)2()2cos()(
22
121
212
2
21
21
KKdt
dy
KKKy
ttttsentsenKtKdt
yd
tsentttKtsenKdt
dy
ttsentsenKtKty
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 05: ache a solução completa para a seguinte equação diferencial. As constantes devem ser avaliadas com as condições iniciais dadas:
0)0()0(;22
2
dt
dyyty
dt
dy
dt
yd t
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 05 (continuação): Equação característica:
1012 212 rrrr
Solução homogênea:
tH tKKty )()( 21
Solução particular: como a Função Forçante tem a forma de um termo da solução homogênea, mas com raiz dupla, multiplicamos por tm, onde m é a ordem da raiz. No caso como temos duas raízes duplas, vamos multiplicar por t2, dando yP(t) = A.t3.e-t .
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 05 (continuação): Solução particular:
6
16
)2666(
)3(2)66(
)66(336
);3(3;)(
33232
322
23222
2
2323
AttA
tAtttttt
tAttAtttAt
ttAtAtAtAtAtdt
yd
tAtAtAtdt
dyAtty
tt
tt
tttt
tttttP
tttPtP
tP tty 3
6
1)(
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exemplo 05 (continuação): Solução completa:
t
tttt
tt
tty
KKKdt
dy
Ky
tttKKKdt
dy
ttKKty
3
212
1
32212
321
6
1)(
;00)0(
;0)0(
;6
1
2
1)(
;6
1)()(