2

2.1 引言

3. 建立数学模型的原则：兼顾模型的精确度(模型分析和设计的复杂度)和控制系统精度(与模型精确度密切相关)，两者之间的折中。

在此基础上考虑模型的种类，即建立何种模型？

常用手段：一定范围和前提条件下进行理想化的假设。例如电子放大器可看成理想的线性放大环节，忽略掉它的非线性成份。(电子放大器的工作范围不超出其线性区)

通信卫星(轨道控制)可以看成一个质点来建模，而不考虑其形状和质量分布。在卫星的姿态控制中则不行！要考虑其天线和太阳能帆板的柔性体特性。

非线性,时变,分布参数线性,定常,集中参数

2.1 引言

4. 时域模型的数学建模的通常步骤：

(1)建立物理模型。

要作一些理想化的假设。

(2)列写原始方程。

物理定律: 牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等

(3)选定系统的输入量、输出量以及状态变量（仅在建立SS模型时要求），消去中间变量，建立适当的I/O模型或SS模型。

注：不同输入输出量模型不同！

2.2 列写输入—输出(I/O)运动方程


2.2.1 机械系统

三种理想化的要素：质量弹簧阻尼器

阻尼器: 机械表面在滑动接触中运转，则物理系统存在摩擦。

2.2.1 机械系统

(1) 静摩擦力：两个接触表面之间开始运动所需摩擦力。

(a)

F

v

(b)

F

v

(c)

F

v

f

(2)库仑摩擦力:干表面之间的摩擦力，基本恒定。

(3)粘性摩擦力：物体在润滑介质（空气、水、油等）中运动时的粘滞阻尼.液压阻尼器: 液压传动系统元件阻尼器的作用？好，坏？有时为改善系统动态响应，人为引入；抗地震

质量与惯量要素

力与加速度力矩与角加速度

(线性)弹性要素

注：弹性要素力的作用点

3

阻尼要素

弹性: 力(力矩)与位移差正比

阻尼: 力(力矩)与速度差正比。

2.2.1 机械系统

k

F(t)

M

图2.1 带阻尼的质量弹簧系统

)(tx

f

例2.1 带阻尼的质量弹簧系统

F=弹簧形变力＋质点运动力＋阻尼力2

2( ) ( 0) ( 0)d x dxF t k x M fdt dt

= − + + − &

2.2.1 机械系统

k1

k2

1m

2m

1x

2x

3x

f

(将坐标原点选在系统静止时位置(即初始形变)，重力作用对运动方程没有影响 )

)()( 32132

23

2

1 xxkdt

dxdt

dxfdt

xdm −+−=

)()()( 21232

32122

2

2 xxkdtdx

dtdxfxxk

dtxdm −=−+−+

引入为微分算子dtdp =

)()( 3213232

1 xxkxxfpxpm −+−=

)()()( 3232121222

2 xxfpxxkxxkxpm −−−−−=

4 3 23 3 3

1 2 3 1 2 1 1 2 1 14 3 2

3 12 1 2 3 2 1 2 1

( ) ( )d x d x d xm m m f m f m k m k m kdt dt dt

dx dxk f k k x k f k k xdt dt

+ + + + +

+ + = +

Attention：物理解释！减振器的作用！建模是否正确?

2.2.1 机械系统

输出

输入

)(xfy =

0xx

非线性微分方程如何处理？

非光滑(nonsmooth)函数：本书第八章内容光滑(smooth)函数：采用近似线性化方法

任意阶导数都存在的函数什么是光滑函数？

L+−+−+= 202

2

00 )(!2

1)()(00

xxdx

ydxxdxdyxfy xx

在系统的某工作点(通常是平衡点)将函数在该点邻域内泰勒级数展开

)()( 00 0xx

dxdyxfy x −+≈

xky Δ=Δ

mgF

图2.4 倒立摆

l

θ

惯量的求法？2J r dm= ∫

Q:若质量均匀分布？

质量集中在顶端!

mg

(a)

l

l

x

θ

围绕摆杆重心的转动方程为

lHlVI ⋅−⋅= θθθ cossin&&

Hlxdtdm =+ )sin(2

2

θ

摆杆重心的垂直运动方程为

mgVldtdm −=)cos(2

2

θ

Hudt

xdM −=2

2

mg

H

Vu

V

MH

(b)

θ

?I = 213

ml

摆杆重心的水平运动方程为

小车的水平运动方程为

力矩的转动点如何取？

注意运动方程的符号关系！

4

Hlxdtdm =+ )sin(2

2

θ

mgVldtdm −=)cos(2

2

θ

Hudt

xdM −=2

2

mg

H

Vu

V

MH

(b)

θ

例 2.4

lHlVI ⋅−⋅= θθθ cossin&&

对非线性项分别在摆的平衡点位置线性化

)(|cossinsin 00 0θθθθθ θθ −+≈ =

)(|)(|),(),(

)sin(),(

0),(0

),(00

0

0

0

0θθ

θθθ

θθθθθ

θθθ

θθθθ

θθθθ

&&&

&&

&

&&&&

−∂∂

+−∂∂

+≈

=′′=

==

==

gggg

lg

Hlxdtdm =+ )(2

2

θ

mgV −=0

Hudt

xdM −=2

2mg

H

Vu

V

MH

(b)

θ

例 2.4

I V l H lθ θ= ⋅ − ⋅&&

4 13( )

M m l g uM m M m

θ θ+ −− =

+ +&&

电路系统的基本要素是电阻、电容和电感。

支配电路系统的基本定律是基尔霍夫电流和电压定律。基尔霍夫电流定律表明：流入和流出节点的所有电流的代数和等于零；基尔霍夫电压定律表明，在任意瞬间，在电路中沿任意环路的电压的代数和等于零。

2.2.2 电路系统例 2.5

L R

C )(tuc)(tu)(ti

图2.6 RLC串联电路

)(tuuRidtdiL c =++

dtdu

Ci c=

)(2

2

tuudt

duRC

dtud

LC ccc =++

Fkxdtdxf

dtxdM =++2

2概念：相似系统；意义：

2.2.3 机电系统

aR

M Ω

J , f

)(tu

图2.7 他励直流电动机

aI

aEaL

fI

负载

+

1）机械部分 : 电磁力矩 =电动机转动力矩＋阻尼力矩 Ω+Ω

= fdtdJM

2）电磁部分 : 电枢电压＝反电动势+电感电阻的电压aa

aaa IR

dtdI

LEu +=−

3）机电耦合 : 反电动势＝反电动势常数×角速度

电磁力矩=力矩系数×电枢电流Ω= ba kE

ad IkM =

2.2.3 机电系统

bdb

a

db

a

db

a

db

a

ku

kkfR

dtd

kkfL

kkJR

dtd

kkJL

=Ω++Ω

++Ω

⋅ )1()(2

2

bdb

am k

ukkfR

dtdT =Ω++Ω )1(

当电枢回路的电感很小（可以忽略不计）时模型降阶：

db

am kk

JRT = 称为机电时间常数

注：同一个系统，其模型方程、阶数等均可能不同！

原因：目的－输入输出变量选取，模型的适当简化等。

5

2.2.4 液位系统

负载阀

控制阀

H+h

图2.8 液位系统

1qQ +

0qQ +

液阻＝液位差变化(m)/流量变化(m3/s)

2.3 传递函数与系统框图


2.3.1 传递函数 (Transfer function)

初始条件为零时，线性定常系统的输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比，称为该系统或元件的传递函数。

(三要素定义)

Q: 为什么用传递函数来描述系统？微分方程

零初始条件：

输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0；输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。形式上记为：

2.3.1 Transfer function

·

)()(

011

1

011

1

asasasabsbsbsb

sUsY

nn

nn

mm

mm

++++++++

=

==

−−

−−

L

L

零初始条件输入信号的拉氏变换

输出信号的拉氏变换传递函数


1 2

1 2

1

1

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( )

( )

m m

n nm

g iin

jj

b s z s z s zG sa s p s p s p

k s z

s p=

=

+ + +=

+ + +

Π +=

Π +

L

L

传递函数的零点和极点

其中：Kg—传递系数或根轨迹增益；

-zi —零点（i=1,…,m）；

-pj —极点（j=1,…,n）。

• 传递函数的性质：

（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和

参数，与输入信号的形式无关，但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关；

（2）传递函数适用范围：线性定常系统；

（3）传递函数具有复变函数的所有性质；物理系统的传递函数是复变量s的实系数有理真分式，即分母阶数n≥分子阶数m；


（4）传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换；

(5）不同的物理系统可以具有相同的传递函数(相似系统)；

(6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对的共轭复数。

1 1 1( ) [ ( )] [ ( ) ( )] [ ( )]y t L Y s L G s U s L G s− − −= = =∫ −=== −− t

dtugsUsGLsYLty0

11 )()()]()([)]([)( τττ

( ) [ ( )] 1U s L tδ= =

传递函数的性质

P.23 例2.10 液位系统的传递函数

6

2.3.2 方框图

作用：简洁而直观表示信号在系统中的传送过程和系统各个环节的连接方式：串联，并联，反馈

性质：每个框图环节应是相互独立的，即：本环节的输出只由只由输入和环节本身特性决定。

描述：

箭头－－表示信号流向，流入箭头表示输入信号，流出箭头表示输出信号，在直线旁标注信号

方框－－对信号进行的数学变换，内部标注传递函数

信号分支点和信号相加点 (见后)

2.3.2 方框图

Y(s))(sU)(1 sG

)(1 sY)(2 sG

)()()(

)()()()()( 12

12 sGsGsU

sYsGsUsYsG ===

1. 串联 (cascaded connection)

2-cascaded → n-cascaded

)()()()( 12 sGsGsGsG n L=

cascaded connection

Y(s))(sU)(1 sG

)(1 sY)(2 sG

注意：方框与实际系统中的元部件并非一一对应。串联电路串联系统 ?

13)(1

)()(

221

0

++=

RCssRCsUsU

RR

C

图2.12 串联RC网络

1cuiu 2i1i 0uC

负载效应

12)(1

11

11

22 ++=

++=

RCssRC

RCsRCsNOT

cascaded connection

Y(s))(sU)(1 sG

)(1 sY)(2 sG

等价措施：消除负载效应，保证电路独立性

RR

C

图2.13 加电子放大器RC串联网络

电子放大器

1u 0uK

)(....)()()( 21 SGSGSGSG n+++=

)()( )(

)()(U(S)Y(S)G(S)

21

21

SGSGSU

SYSY

+=

+=

=

2.并联 (parallel connection)

2.3.2 方框图

信号分支点信号相加点

)(2 sG

)(sU Y(s)

)(2 sY

)(1 sY)(1 sG

2- parallel --> n- parallel

Note：相加点符号可+可-

3.反馈 (feedback connection)

前向通道：由偏差→输出的通道

反馈通道：由输出→反馈信号的通道

2.3.2 方框图

+

-

)(sU )(sGY(s))(sE

)(sB

)(sF

闭环传递函数(closed-loop):从U(s)→Y(s)的传递函数开环传递函数(open loop):组成闭合回路的各串联环节的乘积(从输入→反馈断开点)

正负反馈

单位反馈

7

3.反馈 (feedback connection)

+

-

)(sU )(sGY(s))(sE

)(sB

)(sF

)()(1)(

)()(

sFsGsG

sUsY

+=

,)]()()()[(

)]()()[()()()(

sYsFsUsG

sBsUsGsEsGsY

−=

−==闭环系统的特征方程

负反馈对扰动的抑制

,)()()()()()(

)())()(()(

0 sYsYsUsGsUsG

sUsGsGsY

Δ+=Δ+=Δ+=

)()( sGsG Δ>>

.)()(

)()()(1

)()()()(1

)(

)()())()((1

)()()(

0 sYsY

sUsFsG

SGsUsFsG

sG

sUsFsGsG

sGsGsY

′Δ+′=+Δ

++

≈

Δ++Δ+

=

一般假设:

1)()(1

1)()(

<<+

=Δ

′ΔsFsGsY

sY

Note:扰动只要出现在闭环中，不管在什么位置，都能够被有效抑制；impossible for open loop

2.3.3 典型环节的传递函数


分析典型环节的意义,6大环节

•放大环节

•惯性环节

•积分环节

•微分环节

•延时环节

•振荡环节

放大/比例(Proportional,P)环节

)(sU Y(s)K

-

+ 2u1u

2R

1R

实际系统中的放大环节？（忽略非线性和惯性）

齿轮，杠杆，分压器，可控硅整流器,液压伺服放大器

KsUsYsG ==)()()(

1

2

1

2

)()(

RR

sUsUK −==

惯性(inertial)环节

0

)(tu

t

-

+

C

)(1 tu)(2 tu

2R

1R

)()()( tKutydt

tdyT =+

1)()()(

+==

TsK

sUsYsG

惯性环节的增益

惯性时间常数的物理意义

)1()( / TteKty −−=0

K

t

)(ty

T

TK

11

)1/(1·

1//

)()()(

2

1

2

1

22

1

2

1

2

+−=

+−=

+−

−==

TsK

CsRRR

RCs

RCs

R

RCs

R

sUsUsG

存在惯性环节系统？含储能元件系统，许多温度系统，忽略电枢电感的直流电机

在复平面 1个极

点S=-1/T

系统有储能元件，对于突变形式的输入不能立即复现，输出总落后于输入积分(Integral,I)环节

-

+

R

C

1u2u

∫=t

i

duT

ty0

)(1)( ττs

KsTsU

sYsG i

i

===1

)()()(←→

积分时间常数

1)(tu

)(ty

t

iT1

I环节具有记忆功能 !

WHY?

数学解释?

对于控制的意义:

TsRCssUsU

sG 11)()(

)(1

2 −=−==

1个极点在复平面原点

8

微分(Derivative,D)环节

C

R 2u1u

dttduty )()( τ=

ssUsYsG τ==)()()(

微分时间常数

)()(1)( ttdtdty τδτ ==

)1(1)(

)()(1

2

<<≈+

==

RCRCsRCs

RCssUsUsG

Note:D环节在控制器中需慎用

1个零点在复平面原点

延时/时滞(delay)环节

)(tu )(ty

)()( τ−= tuty

sesUsYsG τ−==)()()(

无穷多个零点和极点!

延时环节对控制系统的稳定性等有较大影响；

延时大的系统不易控制

Q:有没有零点和极点？

(二阶)振荡环节

)10(1 22,1 <≤−±−= ζζωζω nn jp

22

2

2)(

nn

n

sssG

ωζωω

++=

RLC电路、质量弹簧系统、他励直流电机等在适当的参数配合下均是振荡环节

产生原因：含有两种储能元件，因能量相互转换而使输出带有振荡性质

典型环节构成的系统示例-他励直流电机

-

)(sU )(sI a

)(sEa

)(sM

bK

dK)(sΩ

fJs +1

aa RsL +1

aR

M Ω

J , f

)(tu

图2.7 他励直流电动机

aI

aEaL

fI

负载

+

Ω+Ω

= fdtdJM

aaa

aa IRdtdI

LEu +=−

Ω= ba kE

ad IkM =

如何由框图

得到 ←

系统传递函数？

2.3.4 方框图化简


为什么要化简？

复杂系统的传递函数

代数求法方程复杂，不直观

化简方法直观，有效



解法 :

7种等效结构=

4大不变性化简原则＋反馈合并原则

一般原则:

不管每步化简采取何种步骤(内部结构改变)，只要保证系统输入输出关系不变即可。

9

(1)相邻汇合点可交换原则(2)相邻分支点可交换原则(3)汇合点移动原则（a)前移(b)后移(4)分支点移动原则（a)前移(b)后移(5)正负反馈合并


4大化简原则＋反馈合并原则

(1)相邻汇合点可交换原则

)(sU

± ±

)(1 sX )(2 sX

)(sY

± ±

)(1 sX)(2 sX

)(sU )(sY

±

)(1 sX

)(2 sX

±

)(sY)(sU

)()()()()()( 1221 sXsXsUsXsXsU ±±=±±

(2)相邻分支点可交换原则

)(1 sG )(2 sG

)(sY

)(1 sY )(2 sY

)(2 sG )(1 sG

)(sY

)(2 sY )(1 sY

(3)汇合点移动原则（a)前移

)]()()()()[())()()()((

1

2121 sX

sGsGsUsGsXsGsUsG ±=±

)(1 sG

)(2 sG

±

)(sU )(sY )(sY

)(sX

±)(1 sG

)()(

1

2

sGsG )(sX

)(sY)(sU

(3)汇合点移动原则（b)后移

)()()()()())()()()(( 21121 sXsGsGsUsGsXsGsUsG ±=±

±)(1 sG

)(2 sG

)(sU )(sY

)(sX

)(1 sG

)()( 21 sGsG

±

)(sU )(sY

)(sX

(4)分支点移动原则（a)前移

)()()()()()()(

12

1

sUsGsGsXsUsGsY

==

)(1 sG

)(2 sG

)(sU )(sY

)(sX

)(1 sG

)()( 21 sGsG

)(sU )(sY

)(sX

10

(4)分支点移动原则（b)后移

)()()()()()()(

)()()(

11

22

1

sUsGsGsGsUsGsX

sUsGsY

==

=

)(1 sG

)(2 sG

)(sY

)(sX

)(sU

)(1 sG

)()(

1

2

sGsG

)(sU

)(sX

)(sY

(5)正负反馈合并

±)(1 sG

)(2 sG

)(sU )(sY

)()(1)(

21

1

sGsGsG

m

)(sU )(sY

示例：P.36 例2.10 (先不看解法，自行考虑)

-

-

+ 1G 2G 3G

1H

2H

)(sY)(sU

提示：图中有无并联环节？

能否直接串联合并G1,G2,G3或反馈合并G2,G3,H2？G1,G2,H1?


-

-

+ 1G 2G 3G

1H

2H

)(sY)(sU

例2.10 解法1(书上):H2反馈汇合点前移 (1/4)

-

-

+1G 2G 3G

1H

1

2

GH

)(sU)(sY

Step I

总结：

(1)信号汇合点与分支点一般不能交换；

(2)对于复杂多回路系统，每次操作目标是提取至少一个独立的反馈回路


2.4 信号流图与梅逊(Mason)公式


框图法：基于框图，汇合点，分支点, 箭头

流图法：基于支路－传递函数，节点－变量，箭头－信号流向

画法：直接画；框图←→流图

)(sU

)(3 sG

)(sD

)(1 sG )(2 sG)(sY

)(4 sG

)(sE +

−

)(sU )(sY)(1 sG1 )(sE

)(3 sG−

)(sD

)(2 sG )(sY1

4 ( )G s

11

2.4.1 信号流图

性质:

(1)节点变量＝流入信号相加(正向叠加)

(2)流出信号＝节点变量

2.4 信号流图与梅逊公式

构成:

一般节点，输入节点，输出节点

Q: 图中各有几个一般节点、输入节点和输出节点？

)(sU )(sY)(1 sG1 )(sE

)(3 sG−

)(sD

)(2 sG )(sY1

4( )G s

例 2.11 速度反馈系统的信号流图(1/2)

tr uuu −=ΔuKu AΔ=

aaa RIEu =−Ω= ba kE

电磁部分：机械部分：

dMfdtdJM ++= ωω

机电耦合部分：

ad ikM = .)()()(

,)()(

,)()(

,))()((1)(

,)()(

,)()()(

,)()(

sUsUsU

sksU

sIksM

sMsMfJs

s

sksE

RsIsEsU

sUKsU

tr

tt

ad

d

ba

aaa

A

−=Δ

Ω=

=

−+

=Ω

Ω=

=−

Δ=

+

uΔru AK

aR

fJ,

tu

放大器直流电动机

测速发电机

负载

ΩM

例 2.11 速度反馈系统的信号流图(2/2)

)()(,)()()(

,)()(

sksERsIsEsU

sUKsU

ba

aaa

A

Ω==−

Δ=

)(sU r)(sΩ)(sΩ

)(sM d

1Js f+aEU −

AK)(sUΔ

aR1

dkaI

bk−

tk−

1 11−

.)()()(,)()(,)()(

,))()((1)(

sUsUsUsksUsIksM

sMsMfJs

s

tr

tt

ad

d

−=ΔΩ=

=

−+

=Ω

几个反馈信号？

几个闭环？方法：沿着信号输入→输出的传递过程绘制

2.4.2 梅逊(Mason)公式

2.4 信号流图与梅逊公式

)(sU )(sY)(1 sG1 )(sE

)(3 sG−

)(sD

)(2 sG )(sY1

• 前向通道：从输入到输出的一条按箭头方向可以走通并且在

每个节点只通过一次的通道,其传递函数用表示。

• 回路：从某个节点出发按箭头方向回到该节点并且在每个节

点只通过一次的通道，其传递函数用表示。

• 不接触回路：若两个回路没有公共节点，则称它们为不接触

回路。

)(sQi

)(sLj

2.4.2 Mason公式

∑ ΔΔ

=i

ii ssQs

sG )()()(

1)(

-所有不同回路的传递函数之和

+ 每两个不接触回路的传递函数乘积之和

- 每三个不接触回路的传递函数乘积之和

+ …- …

1)( =Δ s

)(siΔ ：将中与通道接触的回路的传递函数令为零后得到的表达式

)(sΔ )(sQi

系统的特征式

例 2.11 速度反馈系统 ∑ ΔΔ

=i

ii ssQs

sG )()()(

1)(

)(sU r)(sΩ)(sΩ

)(sM d

1Js f+aEU −

AK)(sUΔ

aR1

dkaI

bk−

tk−

1 11−

fJsk

RKsQ d

aA +

⋅⋅⋅=11)(1

tda

A kfJs

kR

KsL ·11)(1 +⋅⋅⋅−=

bda

kfJs

kR

sL ⋅+

⋅⋅−=11)(2

1)(1 =Δ s

bdtdAaa

dA

kkkkKfRJsRkK

ssQsG

+++=

Δ⋅

=)(1)()( 1

,)()(

1)()(1)( 21 fJsRkk

fJsRkkKsLsLs

a

bd

a

tdA

++

++=−−=Δ

12

1Y(s))(sU

)(1 sG )(2 sG

)(3 sG

)(4 sG )(5 sG

)(6 sG)(7 sG

)(8 sG−

)(9 sG−

)(10 sG−

)()()()()()( 543211 sGsGsGsGsGsQ =

)()()()()( 54612 sGsGsGsGsQ =

)()()()( 7213 sGsGsGsQ =

)()()( 1021 sGsGsL −=

)()()()( 9722 sGsGsGsL −=

)()()( 843 sGsGsL −=

)()()()()( 95464 sGsGsGsGsL −=

)()()()()()( 954325 sGsGsGsGsGsL −=

∑=

++−=Δ5

132311)(

ii LLLLLs

1)(1 =Δ s 1)(2 =sΔ

843 1)( GGs +=Δ

)())()(1()(1)(1)(

)()()( 84321

ssGsGsQsQsQ

sUsYsG

Δ+×+×+×

==

例2.12(P.41)

总结：

(1)Mason公式不难理解，关键在于找对系统回路和前向通道，以及确定两者之间以及回路之间的联系。

与框图法的特点不同

(2)系统为多输入多输出时，分别求每一个输入和输出之间的传递函数(叠加原理)。例子？

2.4.2 Mason公式

2.5 频率特性函数


Motivation－时域分析法的缺点：

（1）高阶系统的分析比较困难；

（2）必须知道精确的系统数学模型。当系统某

些元件传递函数（内部机理）难以得到时，整个

系统的分析将无法进行。

Motivation－频域分析法(1932,Nyquist;1945,Bode)优点

（1）通过开环频率特性曲线图形(直接在频域)对系

统进行稳定性分析和设计，形象直观，计算量少的

特点。

（2）频率特性具有明确的物理意义。

（3）系统的频率特性可通过实验方法直接测出，不

必通过时域建模。适用范围更广：机理建模和难以

机理建模系统。


2.5.1 频率特性函数的定义n阶LTI(linear time-invariant) 系统


,)()()()()()(0101 tub

dttdub

dttudbtya

dttdya

dttyda m

m

mn

n

n +++=+++ LL

( )( )( )

Y sG sU s

=01

01

asasabsbsb

nn

mm

++++++

=L

L

)sin()( tAtu ω= 22)(ωω+

=s

Asu

221

11

11

10)()()(ωω+++++

++++==

−−

−−

sA

asasasbsbsbsbsUsGsYnn

nnmm

mm

L

L

)sin(cossin)( θωωω +=+=∞ tBtCtCty ba(稳定)

∑=

−++=n

i

tpiba

ieCtCtCty1

cossin)( ωω

频率响应

2.5.1 频率特性函数的定义

1 0

1 0

( )( ) ( )( )

mm

n s jn

b j b j bG j G sa j a j a ω

ω ωωω ω =

+ + += = =

+ + +

& L& L

输出稳态解 Y＝

输入信号 U

01

01)(asasabsbsbsG n

n

mm

++++++

=L

L

性质：(1)与输入正弦信号的幅值及相角均无关的复变函数；(2)输出幅值与角频率有关，输出相角与角频率有关。

定义：

U

YjGF

&

&== )()( ωω

UYjGjG && argarg)()(arg)( −=∠== ωωωϕ

幅频特性函数

相频特性函数可由实验测试得到

13


三种模型之间的等价关系：

系统

频率特性函数传递函数

微分方程

dtds =

ωjs =

ωjdtd =


例2.13 RC网络的频率特性 (P.43)

R

C)(tu )(ty

)sin()( tAtu ω=

11

1

+=

+=

ωω

ωjRC

A

cjR

cjUY &&

)sin()( θω += tBtys

ωθω

arctgRCRC

AB −=+

= ,1)( 2

11)(+

==ω

ωjRCU

YjG&

&

ωωω

ω arctgRCjGRC

jG −=∠+

= )(,1)(

1|)(|2

2.5. 2 频率特性的图示方法


一、极坐标频率特性图（奈奎斯特Nyquist图）

将角频率ω当成参量，在极坐标图上绘出G(jω)随0～∞变化的图

形，该图称作频率特性的奈奎斯特(Nyquist)图。

)()()( ωωω jYXjG +=

)()( ωω jGjG ∠=

)()( ωϕω jeF=

画法1：根据X(ω)和Y(ω)画

画法2：根据|G(ω)|和argG(jω)画


Nyquist图画法画法1：根据X(ω)和Y(ω)画

5.0)(

1)(1|)(|

2

=−=∠

+=

RCarctgRCjGRC

jG

ωωω

ω

Re10 0.5

Im

∞=ω 0=ω

100=ω10=ω

5=ω

3=ω 2=ω

1=ω

)1(X

)1(Y

|)1(| jG

)1(arg jG

画法2：根据|G(ω)|和argG(jω)画

)()( ωω jGjG =−


Nyquist图画法画法3：根据X(ω)和Y(ω)几何关系确定图形

5.0)(

1)(1|)(|

2

==−=∠

+=

RCTarctgRCjGRC

jG

ωωω

ω

Re10 0.5

Im

∞=ω 0=ω

100=ω10=ω

5=ω

3=ω 2=ω

1=ω

)1(X

)1(Y

|)1(| jG

)1(arg jG

)()( ωω jGjG =−

2222 1)(,

11)(

TTY

TX

ωωω

ωω

+−

=+

=

XYX =+ 22 222 )21()

21( =+− YX

2.5.2 频率特性的图示方法

二、对数坐标频率特性图（伯德Bode图）

一张图上把幅频特性和相频特性分别画成两条曲线，这两条曲线分别称

为对数幅频特性和对数相频特性，统称为对数频率特性。

横坐标按lgω均匀分度，标以ω ，即对标出值ω取对数分度，单位是

[弧度/秒]，可记作rad/s

0.1 0.2 0.4 0.8 1 2 4 8 10 100

-1 0 1 2

十倍频程

(分度值)

(标出值)

ωlg

ω

Q: 在对数坐标频率特性图上能精确标注ω=0点的特性吗？

110

lglg10lg0

000 ==−

ωω

ωω

14

Bode图

对数幅频特性图的纵坐标按20lg|G(jω)|均匀分度，单位是分贝，记作dB，通常以L(ω)= 20lg|G(jω)|代表纵坐标, 1贝尔等于20分贝

对数幅频特性的纵坐标按对数分度的原因是为了将乘法变成加法。

)()()()( 21 ωωωω jGjGjGjG nL⋅=

)(lg20)(lg20)(lg20)( 21 ωωωω jGjGjGL +== )(lg20 ωjGn++L

)()()( 21 ωωω nLLL +++= L

对数幅频特性的纵坐标按对数标注

10.1 10 100

20

10

(dB)

0

)(ωL

)/( sradω

Bode图

对数相频特性图的横坐标同对数幅频特性，纵坐标按argG(jω)分度

和标准

)(arg)(arg)(arg)(arg)( 21 ωωωωωϕ jGjGjGjG n+++== L

)()()( 21 ωϕωϕωϕ n+++= L

0

-90

-180

1 10 100

)(ωϕ

)/( sradω

例2.14 惯性环节Bode图（T=1s）

)(

22

1

11

11)( Tjtge

TTjjG ω

ωωω

−−

+=

+=

22

221lg20

11lg20)( T

TL ω

ωω +−=

+=

)()(arg)( 1 TtgjG ωωωϕ −−==

)(ωL

ω

)(ωΦ

ω

ο45−

ο90−

ο0

1<<=ωωT dBTL 01lg201lg20)( 22 =−≈+−= ωω

1>>= ωωT ωω lg20)( −≈L01lg20lg20 =−=− Tcω11

==Tcω

转折频率

01.311lg20)( −=+−=ωL

2.5.3 基本环节的频率特性


一、放大/比例(P)环节

KsG =)(0( ) jG j Keω =

KjGA == )()( ωω

o0)(arg)( == ωωϕ jG

( ) 20lg ( ) 20lgL G j Kω ω= =

Im

Re0

dB

20lgkk

(a) (b)

)(ωL

ω

ω)(ωΦ

ο0


二、积分(I)环节

ssG 1)( =

211)(π

ωωω

je

jjG

−==

o902

)(,1)( −=−==πωϕ

ωωA

1( ) 20lg ( ) 20lg 20lgL Aω ω ωω

= = = −

Im

Re0

dB

(a) (b)

40

20

-200.1 1 10

-20dB/dec

0∞=ω

0=ω

)(ωL

)(ωΦ

ω

ωο0

ο90−

ω


三、微分(D)环节

ssG =)(

2)(π

ωωωj

ejG ==

o90)(,)( == ωϕωωA

ωωω lg20)(lg20)( == AL

dB

(b)

-40

20

-200.1 1 10

0

20dB/dec

ω

ω

)(ωL

)(ωΦo90

o0

Im

Re0

(a)

ω

∞=ω

0=ω

15


四、惯性环节

)(

22

1

11

11)( Tjtge

TTjjG ω

ωωω

−−

+=

+=

22

221lg20

11lg20)( T

TL ω

ωω +−=

+=

)()(arg)( 1 TtgjG ωωωϕ −−==

Re10 0.5

∞=Tω0=Tω

100=Tω

10=Tω5=Tω

3=Tω 2=Tω

1=Tω

转折频率=?


五、一阶微分环节1)( += TssG

( ) TjtgeTTjjG ωωωω1

11)( 22 −

+=+=

TtgjG ωωωϕ 1)(arg)( −==

1)()( 22 +== TjGA ωωω

Re

Im

0

(a)

∞=ω

0=ω

)(ωAω

)(ωΦ

1

惯性环节

(dB) 一阶微分环节

20dB/dec

-20dB/dec

20

-20

0.1 1 10

一阶微分环节

0.1 1 10

惯性环节(b)

)(ωL

Tω

)(ωϕ

ο90−

ο0

ο90

Tω

转折频率=?


六、振荡环节

12

12

)(

2

222

2

++=

++=

nn

nn

n

sssssG

ωζ

ωωζω

ω

0 1ζ≤ <nn

jjG

ωωζ

ωω

ω2)(1

1)(2 +−

=

自然振荡频率阻尼比

22

2 )2()(1

1)()(

nn

jGA

ωωζ

ωω

ωω

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==

2

11 ( )

( ) arg( )2

n

n

ctgj

ωωϕ ω ω ωζω

−

−= = −

Re

Im

0∞=ω

0=ω

nωω =

nωω =

nωω =

8.0=ξ

6.0=ξ

4.0=ξ

1

0=ωnωω =

∞→ω

°== 0)0(,1)0( ϕA

o90)(,21)( −== nA ωϕζ

ω

°−=∞=∞ 180)(,0)( ϕA

振荡环节的频率特性nn

jjG

ωωζ

ωω

ω2)(1

1)(2 +−

=

22

2 )2()(1

1)()(

nn

jGA

ωωζ

ωω

ωω

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==

Re

Im

0∞=ω

0=ω

nωω =

nωω =

nωω =

8.0=ξ

6.0=ξ

4.0=ξ

1

振荡环节的谐振频率

2121)(max)(

ζζωω

ω −=== AAM rr

1

2( )

1 2r ctg ζϕ ω

ζ−= −

−

221 ζωω −= nr

2/1=ζ o0)(,1,0 === rrr M ωϕω707.0>ζ 不存在谐振峰值

707.00 << ζ

0=ζ nr ωω = ∞→rM °−= 90)( rωϕ

存在谐振峰值

2

1

1 ( )( ) arg( )

2

n

n

j ctg

ωωϕ ω ω ωζω

−

−= = −

振荡环节的频率特性nn

jjG

ωωζ

ωω

ω2)(1

1)(2 +−

=

222 )2(])(1[lg20)(lg20)(nn

ALωωζ

ωωωω +−−==

1<<nω

ω

nn

Lωω

ωωω lg40])([lg20)( 22 −=−−≈

01lg20)( =−≈ωL

1>>nω

ω

0

-40dB/dec

)(ωL

ωnω

nω

rω

ο90−

ο0

ο180−

707.0<ζ

707.0>ζ

转折频率=?

2

1

1 ( )( ) arg( )

2

n

n

j ctg

ωωϕ ω ω ωζω

−

−= = −


七、二阶微分环节

10 <≤ ζ

,12)( 2

2

++=nn

sssGω

ζω

nn

jjGωωζ

ωωω 2)(1)( 2 +−=

222 )2(])(1[)(nn

jGωωζ

ωωω +−=

2

1

1 ( )arg ( )

2

n

n

G j ctg

ωωω ωζω

−

−=

0 Re

ω

0=ω

Im

1

增大ζ0.1

二阶微分环节

0

1 10

振荡环节

0.1 1 10

二阶微分环节

振荡环节

-40

4040dB/dec

-40dB/dec

(dB))(ωL

)(ωΦ

nωω /

ο90−

ο0

ο180−

ο90

ο180

nωω /

16


八、延迟环节sesG τ−=)( ωτω jejG −=)(

1)()( == ωω jGAωτω −=)(arg jG

)(01lg20)(lg20)( dBAL === ωω

0

Im

ω

0=ω1

0

(dB))(ωL

)(ωΦ

ω

ωο0

ο3.57−

τ/1

Question?

上述那些环节是相位超前环节？

那些是相位滞后环节？

, , , , 1,1

KP I D TsTs

++

物理意义？

输入为直流分量(ω=0)? L(ω)>0?

系统的频率响应是指什么？频率特性函数是如何定义的？

,se τ−2

2 22n

n ns sωζω ω+ +

2.5.4 复杂频率特性图的绘制


一、Nyquist图的绘制1.串联系统- cascaded system

)()()()( 210 sGsGsGsG nL=)(arg)(arg

10 )()()( ωω ωωω jGjn

jGj nejGejGjG L=

)()()()()( 210 ωωωωω jGjGjGjGA nL==

)(arg)(arg)(arg)(arg 210 ωωωω jGjGjGjG n+++= L


一、Nyquist图的绘制2.一般系统

011

1

011

10 )()(

)()()(

ajajajabjbjbjb

jG nn

nn

mm

mm

++++++++

= −−

−−

ωωωωωω

ωL

L )( nm ≤

)1()1)(1()()1()1)(1(

21

21

+++++++

=−ν

ν ωωωωωτωτωτ

n

m

TjTjTjjjjjK

L

L

v=0 -- O型系统；v=1 --Ⅰ型系统；v=2 --Ⅱ型系统

0 0b ≠


一、Nyquist图的绘制2.一般系统

)( nm ≤)1()1)(1()(

)1()1)(1()(21

210 ++++

+++=

−νν ωωωω

ωτωτωτωn

m

TjTjTjjjjjKjG

L

L

（1）低频段 ω→0 )2

(

0 )()(

πν

νν ωωω

−×=≈

jeK

jKjG

Im

0

Ⅱ型

Ⅰ型 O型

k

(a)

0=ω

?1

ss +


2.一般系统

)( nm ≤)1()1)(1()()1()1)(1()(

21

210 ++++

+++=

−νν ωωωω

ωτωτωτωn

m

TjTjTjjjjjKjG

L

L

（1）低频段 ω→0)

2(

0 )()(

πν

νν ωωω

−×=≈

jeK

jKjG

)1()1(

)()( 20 +

+⋅=

Tjj

jKjG

ωωτ

ωω

Im

0

(b)

T<τ

T>τT<τ )1arg()1arg( +<+ Tjj ωωτ 负实轴的上方

17


2.一般系统

)( nm ≤)1()1)(1()()1()1)(1()(

21

210 ++++

+++=

−νν ωωωω

ωτωτωτωn

m

TjTjTjjjjjKjG

L

L

（2）高频段 ω→∞( ) ( )1 2 2

01 2

( )j n m

n m

KG j eTT

πτ τωω

− × −

−≈L

L

mn > 0)(0 =∞jG o90)()(arg 0 ×−−=∞ mnjG

mn =ν

τττ

−

=∞n

m

TTTK

jGL

L

21

21)(

终止于实轴上的有限点

Im

Re

0

n-m=1

n-m=3

n-m=2

(c)


2.一般系统

)( nm ≤)1()1)(1()()1()1)(1()(

21

210 ++++

+++=

−νν ωωωω

ωτωτωτωn

m

TjTjTjjjjjKjG

L

L

（3）与负实轴的交点（频域稳定性判据要求）

0))(Im( 0 =xjG ω

0arg ( )xG j n nω π= ，为奇数

OR

Im

0

xω•


二、Bode图的绘制串联系统-cascaded system

)()()()( 210 sGsGsGsG nL=

)(arg)(arg)(arg)(arg 210 ωωωω jGjGjGjG n+++= L

)(lg20)(lg20)(lg20)( 21 ωωωω jGjGjGL n+++= L

)()()( 21 ωωω nLLL +++= L

二、Bode图的绘制

例2.16 试画出开环系统的大致对数频率特性图.

)1()1()(0 +

+=

TssKsG τ T<τ

开环系统=比例环节+惯性环节+一阶微分环节

)()()()( 321 ωωωω LLLL ++=

1)(lg201)(

1lg20lg20 2

2++

++= ωτ

ωTK

)()()()( 321 ωϕωϕωϕωϕ ++=

ωτω 110 −− +−= tgTtgo



)1()1()(0 +

+=

TssKsG τ T<τ

一阶微分环节

惯性环节

ω

ο90−

ο0

ο90

0

1/T

一阶微分环节

20lgK-20dB/dec

(dB)

惯性环节-20dB/dec

20dB/dec

比例环节

)(ωL

ωτ/1 )/lg(20lg20 τTK −



0 2

2( )( 0.5)((0.125 ) 0.05 1)

sG ss s s s

+=

+ + +

0 2

2

(0.5 1)( )2 0.2(2 1)( 1

8 8

4

)

sG sss s s

+=

×+ + +

4)(1 =sGs

sG 1)(2 =

121)(3 +

=s

sG

15.0)(4 += ssG

18

2.028

1)(

2

25

+×

+=

sssG

5.011 ==

Tω

212 ==

τω

2.0,83 === ζωω 阻尼比n

)(ωL

ω2

(1)低频段斜率取决于积分环节个数(2) 高频段斜率?

截止频率L(ω)=0，近似！

18



)105.0125.0)(5.0(2)( 20 +++

+=

ssssssG

)18

2.028

)(12(

)15.0(4)(

2

20

+×

++

+=

ssss

ssG

4)(1 =sGs

sG 1)(2 =

121)(3 +

=s

sG

15.0)(4 += ssG

18

2.028

1)(

2

25

+×

+=

sssG

5.011 ==

Tω

212 ==

τω

2.0,83 === ζωω 阻尼比n

一阶微分环节

惯性环节

2

振荡环节

积分环节

0.5 1 4 8

ο90−

ο0

ο180−

ο90

ω


三、最小相位系统(minimum phase system)

最小相位系统:如系统开环传递函数在右半平面上没有零点和极点。非最小相位系统：系统开环传递函数在右半平面上有零点或（和）极点。

L+−+−=− 3322

!31

!2121 ssse s τττ

WHY 最小相位系统?

如果两个开环稳定的系统有相同的幅频特性,对任意ω>=0，最小

相位系统的相位滞后总小于非最小相位系统。

s= ∞+jω为开环无限零点，无穷个, 位于右半平面s=－∞+jω为开环无限极点，无穷个，位于左半平面

minimum phase system

sTTssG

sTTssG

12

11 1

1)(,11)(

+−

=++

= 10 TT <<

12

11 1

1)(,11)(

TjTjjG

TjTjjG

ωωω

ωωω

+−

=++

=2

12

22

21 11)()(

TTjGjG

ωωωω

++

==

0)(arg),(arg 21 <ωω jGjG

sTTssG

sTTssG

14

13 1

1)(,11)(

−−

=−+

=

14

13 1

1)(,11)(

TjTjjG

TjTjjG

ωωω

ωωω

−−

=−+

=

)(arg0)(arg)(arg 14111

111

3 ωωωωωωω jGjGTtgTtgTtgTtgjG >>=+−>+= −−−−

111

2111

1 )(arg)(arg TtgTtgjGTtgTtgjG ωωωωωω −−−− −−=<−=


sTTssG

sTTssG

12

11 1

1)(,11)(

+−

=++

= 10 TT <<

-1/T -1/T1 -1/T1 -1/T ReRe

Im Im

0 0

(a) (b)

× ×

(a)最小相位系统

(b)非最小相位系统

)(ωΦ

ω

ο90−

ο0

ο180−

最小相位系统的对数幅频特性与对数相频特性具有一一对应关系:若已知为最小相位，则根据幅频曲线可惟一确定传函(相频).


00.5

-20dB

2

-20dB/dec

(dB))(ωL

ω

例2.18 最小相位系统的渐近对数幅频特性如图所示，试写出系统传递函数.

20lg20lg20lg20 22 −=+− == ωω ωτωTK

0型系统

5.01 =ω 2/1 1 == ωT

22 =ω 5.02/1 ==τ

)12()15.0()(0 +

+=

ssKsG

12)15.0(4.0)(0 +

+=

sssG

205.0

2lg20lg20 −=−K

Q:若不知道系统是否最小相位？传函是什么？

2.6 采样控制系统的数学描述2.6.1 采样控制系统


1+

−

sTe

p

spτ

s1

K

1+

−

sTe

p

spτ

s1

K-

给定量 )(* teτ)(te采样器

Motivation?

19

2.6.1 采样控制系统

oto t

)(* teτ)(te

T 2T 3T

τ

(a) (b)


采样控制系统:系统存在为时间的离散函数的信号。

-

离散给定量

离散误差量数字

控制器数模转换

D/A被控对象

被控量

模数转换A/D

测量及变换

数字控制系统的优点


A/D转换器(Analog/Digital Converter)

=采样＋量化(编码)

)(* tx)(* tx

(a) (b) (c)

o o

9

29

39

49

59

t t tT T2 T3 T4 T T2 T3 T4

)(tx

连续模拟量 →离散模拟量 → 数字量


D/A转换器(Digital/ Analog Converter)

=解码 +保持)(* tx

(a)

o T T2 T3 T4 T5 t

)(tx

T T2 T3 T4 T5 t


不同名称：

采样控制系统

脉冲控制系统

数字控制系统

计算机控制系统

2.6 采样控制系统的数学描述

2.6.2 信号采样与恢复

1.采样器：连续信号→离散信号的装置

o

)(tx )(* txτ)(tx

(a) (b)

)(* txτ

o

τtt T

T

τ<<T

关键：信息传递过程中，系统信号特征是否保持？

20

1.采样器

)()(

)()(

)2()2()()()()0()(

0

ttx

nTtnTx

TtTxTtTxtxtx

T

n

δ

δ

δδδ

Δ

∞

=

∗

=

−=

+−+−+=

∑

L

∑∞

=

−=0

)()(n

T nTtt δδ

o

)(tx )(* tx)(* tx)(tx

(a) (b)

tt o T T2 T3

T

1.采样器

Shannon theorem一个频率有限的模拟信号，为保证采

样信号不失真，其采样角频率ωS(=2π/TS)必须大于等于输入模拟信号包含的最高角频率ωm的两倍.

即采样角频率必须满足：ωS > 2ωm OR fS > 2fm

采样周期必须满足:TS < π/ωm

Shannon Theorem

∫∞

∞−= ωω

πω dejFtx tj

x )(21)(

∫∞

∞−−= dtetxjF tj

xωω )()(

频谱

傅立叶变换

∫

∫∞

∞−−

∞

∞−−∗

∗

=

=

dtettx

dtetxjF

tjT

tjx

ω

ω

δ

ω

)()(

)()(

∑∞

−∞=−=

nT nTtt )()( δδ

∑∞

−∞=

=n

tjnnT

seCt ωδ )( ( ) .)(1

)(1

1)()(*

∑

∑ ∫

∑∫

∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

∞−

∞

−∞=

−∞

∞−

−=

=

=

nsx

n

tjtjn

n

tjtjnx

njFT

dteetxT

dteeT

txjF

s

s

ωω

ω

ωω

ωω

)( ωjFx

mωmω−

ω

O

(a)

Tdtt

Tdtet

TC

T

T

T

T

tjnTn

s1)(1)(1 2/

2/

2/

2/=== ∫∫ −−

− δδ ω

Shannon theorem

( ) .)(1)(* ∑∞

−∞=

−=n

sxx njFT

jF ωωω

>mωmω− O ω

msb ωω 2)(sω

2sω

2s

ω−

*| ( ) |xF jω

msc ωω 2)( <O mωm

ω−

*| ( ) |xF jω

2.6.2 信号采样与恢复

2.保持器：离散→连续信号的滤波器装置

零阶保持器(Zero-Order-Holder,ZOH)

TktkTkTeteh )1(),()( +<≤=

TktkTkTtT

TkekTekTeteh )1(),(])1[()()()( +<≤−−−

+=

一阶保持器

高阶保持器

ZOH


)(* tx )(' tx

(b)(a)

t t

ZOH

21

ZOH

TktkTkTeteh )1(),()( +<≤= )(1)(1)( Ttttgh −−=

)1(111)( TsTsh e

se

sssG −− −=−=

/ 2 / 2/ 2 / 2

sin1 ( ) 2( ) (1 )

2

j T j Tj T j T j T

h

Te eG j e e T eTj j

ω ωω ω ω

ω

ω ωω ω

−− − −−

= − = =

)( ωjGh

sω sω3sω2 ω

T

π−

零阶保持器相当于一

个近似的带宽为ωS的低通滤波器


2.6.3 采样系统的差分方程描述

• 连续系统

• 微分方程

• 卷积积分

• 拉氏变换

• 连续傅立叶变换

• 卷积定理

• 离散系统

• 差分方程

• 卷积和

• Z变换

• 离散傅立叶变换

• 卷积定理


-

)(tYZOH

)(te The)(* te

SAsG =)(

)(tu


TktkTkTtkTAekTyty

)1(),)(()()(

+<≤−+=

[ ])()()1(

)()()1(kTATukTyAT

kTATekTyTky+−=

+=+

[ ]

4444 34444 2144 344 21

M

零状态响应零输入响应

∑−

=

−−−+−=

+−+−=

++−−=

+−=

+−=

1

0

1

2

)()1()0()1()(

)()0()1()0()1(

)()0()0()1()1(

)()()1()2(

)0()0()1()(

k

i

ikk iTuATATyATkTy

TATuATuATyAT

TATuATuyATAT

TATuTyATTy

ATuyATTy

仅是实际输出量在采样瞬时的值


nmkubmkubmkub

kyankyanky

m

n

≤++−+++=

++−+++

),()1()(

)()1()(

10

1

L

L

nmmkubkubkub

nkyakyaky

m

n

≤−++−+=

−++−+

),()1()(

)()1()(

10

1

L

L

前向差分方程(隐去T)

后向差分方程

Z变换

1.Z变换(单边)

∑∞

=

∗ −=0

)()()(k

kTtkTxtx δ

∑∞

=

−∗ ==0

)())(()(k

kzkTxtxZzX

0

00 0

( ) ( ( )) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k

st skT

k k

X s L x t L x kT t kT

x kT t kT e dt x kT e

δ

δ

∞∗ ∗

=

∞ ∞∞ − −

= =

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − =

∑

∑ ∑∫sTz e=

Z变换

{ }⎩⎨⎧

<≥

==0,00,

,,,1,0)( 2

kka

aakxk

LL

azaz

zaz

azzakxZzXk k

kkk

>−

=−

=

===

−

∞

=

∞

=

−−∑ ∑

,1

1

)())(()(

1

0 0

1

•Z变换时暂不考虑收敛区域的问题

•表述时可以看成Z变换作用于连续信号:

X(z)=Z(x(k))=Z(x(t))

22

1.Z变换

)(1)( ttx = .1

1)()( 21

0 −=+++== −−

∞

=

−∑ zzzzzkTxzX

k

k L

)0()( ≥= tttx

2

21

3210

)1(

)11

(

)(

)32(

)()(

−=

−−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++++−=

+++++=

=

−−−

−−−−

∞

=

−∑

zTz

dzz

zdTz

dzzzzdTz

kzzzzT

zkTxzX

k

kk

k

LL

LL

Z变换

)0()( ≥= − tetx at

aTaTk k

kaTkakT

ezz

zezezezX −−−

∞

=

∞

=

−−−−

−=

−=== ∑ ∑ 1

0 0

1

11)()(

)1(1)(+

=ss

sX [ ] tetsXLtx −− −== )(1)()( 1

[ ] [ ] .))(1(

)1(1

)(1)( T

T

Tt

ezzez

ezz

zzetzX −

−

−−

−−−

=−

−−

=Ζ−Ζ=

附表1 (P.483)

Z变换

2. Z变换的性质

(1) 线性性质

[ ] [ ] [ ] )()()()()()( 212121 zbXzaXtbxtaxtbxtax +=Ζ+Ζ=+Ζ

(2)正负位移定理

(3)初值定理

[ ]1

0

( ) ( ) ( )n

n n i

i

x k n z X z z x i−

−

=

Ζ + = −∑

[ ]1

0( ) ( ) ( )

nn i

ix k n z X z z x i n

−− −

=

Ζ − = + −∑)(lim)0( zXx

z ∞→=

[ ])()1(lim)(lim)(1

zXztxxzt

−==∞→∞→

(4)终值定理

(若终值存在)

2. Z变换的性质

(5)卷积性质 →

(6)乘以kn

(7)乘以ak

∑=

−k

m

mumkx0

)()( )()( zUzX

)(kxk n → )(zXdzdz

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

)( 1zaX −

Z变换

3. Z反变换

(1) 长除法

(2)部分分式展开法

(3)反演积分法/留数法

(1) 长除法

4510)( 2 +−

=zzzzX → x(k)?

L321

32

321

21

21

1

1

22105010

8408508401050210

20021020025050

4050405010

1045

−−−

−−

−−−

−−

−−

−

−

++

−+−

−+−

−+−

+−zzz

zzzzz

zzzz

zzz

zzz

{x(k)}={0,10,50,210,… }x*(t)=10δ(t-T)+50δ(t-2T)+ 210δ(t-3T)+…

23

(2)部分分式展开法

4510)( 2 +−

=zzzzX → x(k)?

)4(310

)1(310

)4)(1(10

4510)(

2 −+

−−=

−−=

+−=

zzzzzzzzX

)4(310

)1(310)(

−+

−−=

zz

zzzX

L,2,1,0),14(3

1043

10)(13

10)( =−=⋅+⋅−= kkkx kk

Z反变换只能求出x*(t)，而不能唯一确定连续变量 x(t)

Z变换

4.用Z变换解差分方程

0),()2(6)1(5)( ≥=−+−− kkukykyky ,1)1(,0)0( == yy1)( =ku

Q:能否用负位移定理求解?

Example 后向方程

0),()2(6)1(5)( ≥=−+−− kkukykyky ,1)1(,0)0( == yy

1)( =ku0),2()(6)1(5)2( ≥+=++−+ kkukykyky

)1()0()()(6))0()((5)1()0()(

22

22

zuuzzUzzYzyzzYzyyzzYz

−−=

+−−−−

)3(5.1

)2(2

)1(5.0

)3)(2)(1()(

2

−+

−−

+−

=−−−

=z

zz

zz

zzzz

zzY

0,35.125.0)( 1 ≥×+−= + kky kk


2.6.4 脉冲传递函数

1.线性离散系统

nmmkubkubkub

nkyakyaky

m

n

≤−++−+=

−++−+

),()1()(

)()1()(

10

1

L

L

)()()(

)()()(1

10

11

zUzbzUzbzUb

zYzazYzazYm

m

nn

−−

−−

+++=

+++

L

L

不考虑初值问题

)(1)(

)(1

1

110 zG

zazazbzbb

zUzY

nn

mm

Δ

−−

−−

=++++++

=L

L脉冲传递函数

后向

1.线性离散系统

)()()(

)()()(1

10

11

zUbzUzbzUbz

zYazYzazYz

mmm

nnn

+++=

+++−

−

L

L

不考虑初值问题

)(1)(

)(1

1

110)(

11

110 zG

zazazbzbbz

azazbzbbz

zUzY

nn

mmmn

nnn

mmm Δ

−−

−−−−

−

−

=++++++

=++++++

=L

L

L

L

脉冲传递函数

前向

nmkubmkubmkub

kyankyanky

m

n

≤++−+++=

++−+++

),()1()(

)()1()(

10

1

L

L


2.数字采样系统)(sG

)(ty

)(tu T )(* tu)(* ty

假设系统初始条件为零

∑

∑∞

=

∞

=

−

−===

0

0*

*

))()((

))()((

))(())((

)()()(

k

k

kTtkTuZ

kTtkTyZ

tuZtyZ

zUzYzG

δ

δ

[ ] [ ])]([)(1

)()( 1 sGLtgzYzG −Ζ=Ζ==

输入为单位脉冲函数时

24

2.数字采样系统

Example

)1(1+ss

)(ty)(tuZOH

T=1s

性质:

[ ] [ ] [ ])()]([)( 1 sGsGLtg Ζ=Ζ=Ζ −

[ ] [ ] )()()( 1 zGzTtgsGe Ts −− =−Ζ=Ζ

)1

111)(1()1(

1)( 22 ++−−=

+−

= −−

ssse

ssesG Ts

Ts

[ ] 1

12 1

1 1

1

( ) ( ) [ ( )]

(1 )( 1) 1

1 2( 1)( )0.368 0.264

( 1)( 0.368)

G z g t L G s

z z zzz z z e

e z ez z e

zz z

−

−−

− −

−

⎡ ⎤= Ζ = Ζ ⎣ ⎦⎡ ⎤

= − − +⎢ ⎥− − −⎣ ⎦+ −

=− −

+=

− −


3.采样系统的连接

(1)串联(cascade connection)

T T )(ty)(* ty)(1 ty)(tu)(1 sG )(2 sG

)(ty)(1 sG )(2 sG

)(tu T

)()()(

)()()()(

)()()()()( 12

1212 zGzGzU

zUzGzGzU

zYzGzUzYzG ====

[ ] )()()]()([)()( 12121

12 zGzGsGsGLzGGzG ≠Ζ== −


(2)并联(parallel connection)

)()()(

)()()()()( 21

21 zGzGzU

zYzYzUzYzG +=

+==

)(1 sG

)(2 sG

T)(tu )(ty


(3)5类闭环系统的脉冲传递函数Y(z)/U(z)或输出函数Y(z)

-

)(ty)(sG

)(tu

)(sH)(tb

)(te )(* teT

(a)

[ ] [ ] [ ] [ ] )()()()()()()()( zBzUtbtutbtutezE −=Ζ−Ζ=−Ζ=Ζ=

)()()()( zEzGHzUzE −=

[ ] )()()()( zEzGHtbzB =Ζ=

)(1)(

)()()(

zGHzG

zUzYzW

+==

)()()( zEzGzY =

(3)5类闭环系统

(b)

)()()()()()()(

zEzGzYzYzHzUzE

=−=

)()(1)(

)()()(

zHzGzG

zUzYzW

+==

-)(sG

)(sH

)(su )(zy

(3)5类闭环系统

(c)

)()()()( zYzYzHGzUG =−

-)(sG

)(sH

)(su )(sy

-)()( sGsU

)()( sGsH

)(sy

)(1)()(zHG

zUGzY+

=

(t)y *

(t)u*

25

(3)5类闭环系统

(d)-

)(sH

)(1 sG )(2 sG)(su )(sy

-)()( 1 sGsU

)()( 1 sGsH

)(sy)(2 sG

)(1)()()(

12

12

zHGGzUGzGzY

+=

(3)5类闭环系统

(e)

)()()( 1 zEzGzX =

-

)(sH

)(1 sG )(2 sG)(su )(sy)(zX

)(zB

)()()( 2 zXzGzY =)()()( zBzUzE −=

)()()( 2 zXzHGzB =

)()(1)()()()(

21

21

zHGzGzUzGzGzY

+=

Example 2.22

--

)(ty)(1 sG

)(2 sGT

T)(te )(* te

)(3 sG

)(tb)(*

1 tb

)(*1 te

T

)(tu

)()()()()()( 12111 zEzGGzEzBzEzE −=−= )(1)()(21

1 zGGzEzE

+=

)()(1

)()()()(

21

111 zE

zGGzG

zEzGzY+

==

3

3 1

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ,

1 ( )

E z U z B z U z G z Y zG z G zU z E z

G G z

= − = −

= −+

)()()(1)()()(

)(1)()(

1

)(1)(

)(1321

1

21

13

21

1

zGzGzGGzUzGzU

zGGzGzG

zGGzG

zY++

=

++

+=

)()()(1)(

)()()(

1321

1

zGzGzGGzG

zUzYzW

++==

与连续情况相比？

能否直接得到？

内环关系，外环关系？

Review

• 离散系统的传递函数为什么叫脉冲传递函数？

• 离散系统都具有脉冲传递函数吗？

• 什么情况下存在脉冲传递函数？

• G(z)=G(s)|s=z?, G(z) |z=e^(sT)=G(s)?

2014ac chap2sall p - southeast universitysecure site...

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