Региональная Архангельская общественная организация

“Научно-техническое общество судостроителей имени А.Н. Крылова” Северодвинское отделение Ломоносовского фонда

М.Я. Лауфер

Избранные задачи математической физики Сборник статей

Научные редакторы – руководители правления регионального отделения НТО судостроителей имени академика А.Н. Крылова профессор Ф.Н. Шушарин и доцент В.М. Попов

Автор выражает искреннюю благодарность

профессору, доктору технических наук А.Я. Альпину, профессору, доктору технических наук Ю.Я. Иосселю,

профессору, доктору физико-математических наук А.М. Протасову, профессору, доктору физико-математических наук В.И. Матвееву за ценные рекомендации при рецензировании отдельных статей

настоящего сборника, а также В.Н. Леонтьеву, В.Ф. Усынину, В.А. Потехину за подготовку сборника к печати и выход его в свет.

Филиал “Севмашвтуз” Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Санкт-Петербургский

государственный морской технический университет” в городе Северодвинске

1

УДК 530+51 ББК 22.311 Л 38

Лауфер М.Я. Избранные задачи математической физики. Сборник статей. Северодвинск: НТО судостроителей имени академика А.Н. Крылова; Севмашвтуз; Северодвинское отделение Ломоносовского фонда, 2005. - 142 с. Рецензенты: доктор физико-математических наук, проф. В.И. Матвеев (Поморский государств. университет им. М.В. Ломоносова, Архангельск); доктор технич. наук, проф. А.Я. Альпин (ФГУП “ПО “Севмаш”); канд. технич. наук, проф. В.Т. Соколов (Севмашвтуз).

Сборник включает статьи, часть из которых опубликована ранее в

отдельных и в настоящее время труднодоступных научных изданиях. Статьи характеризует новизна применяемых математических методов в решении фундаментальных проблем физики, теории колебаний и теории прочности.

Например, в некоторых статьях представлен новый, по сравнению с методом Фурье, способ разделения переменных при решении линейных дифференциальных уравнений в частных производных, что позволило сделать своеобразный вывод о природе покраснения световых волн при движении во Вселенной.

В одной из статей представлена картина распространения поперечной волны в ином, чем принято в настоящее время, более приближенном к реальности, процессе. Представлено также более полное решение уравнений теории упругости и один из подходов к решению уравнения Риккати.

Лицензия на издательскую деятельность ИД № 01734 от 2000 года

ISBN 5-7723-0605-9 © 2005, Лауфер М.Я.

2

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Предлагается обобщение метода Фурье разделения переменных для

решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных от независимых переменных. n

Решение находится в виде суммы произвольного числа произведений неизвестных функций, каждая из которых зависит от одной переменной. При этом, в отличие от метода Фурье, на слагаемые не налагается условие, чтобы они по отдельности удовлетворяли рассматриваемому уравнению.

n

С помощью предлагаемого метода может быть построено бесчисленное множество полных систем ортогональных функций (в частности система, получаемая обычным методом Фурье), с применением которых могут решаться краевые задачи. Можно полагать, что в ряде случаев применение указанных систем окажется более целесообразным по сравнению с решениями по методу Фурье.

В работе приведены решения, полученные указанным методом для гармонического уравнения, теплопроводности и волнового уравнения.

Как известно, для решения задач математической физики во многих случаях применим метод разделения переменных Фурье.

Он заключается в том, что решение линейного дифференциального уравнения в частных производных (или в дальнейшем для краткости просто уравнения) от независимых переменных находится как произведения неизвестных функций или суммы некоторого числа этих произведений. В последнем случае на слагаемые налагается условие, чтобы каждое из них удовлетворяло рассматриваемому уравнению. Функции, входящие в указанные произведения, зависят, соответственно, только от одной из переменных.

n n

Например, решение гармонического уравнения в случае трёх независимых переменных и 21, xx 3x

023

2

22

2

21

2

=∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

xxx

находится как )()()( 3,32,21,1 xxx iiii ΦΦΦ=Φ

или

∑=

ΦΦΦ=Φm

iiii xxx

13,32,21,1 )()()( ,

где - функции, зависящие, соответственно, лишь от одной переменной , или и каждое из слагаемых под знаком должно являться решением рассматриваемого уравнения.

)()(),( 3,32,21,1 xиxx iii ΦΦΦ

1x 2x 3x ∑

Не останавливаясь на подробном рассмотрении метода Фурье, особенности которого достаточно известны, отметим следующее:

3

Существует возможность обобщения этого метода. Это обобщение заключается в том, что на решение уравнения от независимых переменных, которое находится в виде произвольного числа слагаемых, являющихся, в свою очередь, произведением неизвестных функций, зависящих только от одной переменной, не налагается условие, чтобы эти слагаемые по отдельности являлись решениями рассматриваемого уравнения.

n

n

Если такое условие наложить, то полученное решение ничем не будет отличаться от решения по методу Фурье.

Решение предлагаемого вида даёт возможность разделить переменные в уравнении. Найденные при этом интегралы уравнения отличаются от интегралов, полученных методом Фурье, и содержат последние в качестве некоторого частного случая.

Как примеры приводятся решения указанным методом некоторых известных уравнений.

1. Рассмотрим сначала наиболее простой случай – интегрирование гармонического уравнения в двухмерном пространстве с координатами и 1x 2x

022

2

21

2

=∂Φ∂

+∂Φ∂

xx, (1.1)

когда его решение находится в виде суммы двух слагаемых, т.е. )()()()( 22,211,222,111,1 xxxx ΧΧ+ΧΧ=Φ . (1.2)

На слагаемые (1.2) не налагается условие, чтобы каждое из них удовлетворяло уравнению (1.1).

)(),(),( 11,222,111,1 xxx ΧΧΧ и - функции, зависящие соответственно от одной переменной или .

)( 22,2 xΧ

1x 2xПервая цифра, стоящая в индексах Χ , обозначает порядковый номер

функции. Вторая цифра указывает переменную, от которой зависит эта функция.

Подставим (1.2) в (1.1), после простых преобразований, имеем

02,1

2,2

2,2

2,2

1,2

1,2

1,2

1,1

2,1

2,1

1,1

1,1 =ΧΧ′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ′′ .

Полагаем

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=ΧΧ′′

−=ΧΧ′′

22

1,2

1,2

21

2,1

2,1

n

n, (1.3)

где и - произвольные постоянные, после чего получаем 1n 2n

2,1

2,222

2,2

2,2

1,2

1,121

1,1

1,1

ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

−=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

nn .

Левая часть последнего равенства зависит только от и не зависит от , а правая наоборот. Следовательно, каждая из них не зависит ни от , ни т.е. они постоянны. Обозначим эту постоянную через . Тогда

1x 2x

1x 2xm

4

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

mn

mn

2,1

2,222

2,2

2,2

1,2

1,121

1,1

1,1

. (1.4)

Таким образом, переменные разделились. После подстановки результатов интегрирования (1.3) и (1.4) в (1.2),

получаем решение уравнения (1.1) в виде

( )

( ),22

22

11

1111

2*12423221222

2221*4

*31

*21

*1

nxnx

nxnxnxnx

eCeCSinnxCCosnxCSinnxxCn

mCosnxxCn

m

SinnxCCosnxCeCeCexCn

mexCn

m

−

−−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−+

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=Φ

(1.5)

Где и - постоянные интегрирования. *4

*1 CC ÷ 41 CC ÷

При интегрировании (1.3) и (1.4) для упрощения записи решения (1.5) было принято nnn == 21 .

Указанное условие для постоянных 51, ÷=jn j , в подобных же случаях будет соблюдаться и в дальнейшем.

Кроме этого, любую совокупность постоянных, являющуюся множителем каждой функции-слагаемого, входящей в решение, будем обозначать как , где индекс определяет порядковый номер функции-слагаемого. Например, с учётом принятых обозначений для постоянных, (1.5) запишется как

ia....,3,2,1=i

( )( )( )( )11

1111

121121029228227

2625431211

nxnx

nxnxnxnx

eaeaSinnxaCosnxaSinnxxaCosnxxaSinnxaСosnxaeaeaexaexa

−

−−

+++++

+++++=Φ

Легко видеть, что решение (1.5) отличается от решения уравнения (1.1), найденного методом Фурье (см. (1.12)). Последнее содержится в решении (1.5) как его некоторая частная составляющая.

Рассмотрим далее случай, когда решение уравнения (1.1) находится по предлагаемому методу в виде суммы, например пяти слагаемых, т.е.

2,51,52,41,42,31,32,21,22,11,1 ΧΧ+ΧΧ+ΧΧ+ΧΧ+ΧΧ=Φ . (1.6) Подставляя (1.6) в (1.1), после преобразований получаем

.02,1

2,5

2,5

2,5

1,5

1,5

2,11,5

2,41,4

2,4

2,4

1,4

1,4

2,11,5

2,31,3

2,3

2,3

1,3

1,3

2,11,5

2,21,2

2,2

2,2

1,2

1,2

1,5

1,1

2,1

2,1

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ ′′

+

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ ′′

Полагаем

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=ΧΧ′′

−=ΧΧ′′

25

1,5

1,5

21

2,1

2,1

n

n (1.7)

5

Прибавим и отнимем во втором, третьем и четвёртом выражениях, стоящих в скобках, соответственно , и . Тогда, с учётом (1.7), имеем 2

2n 23n 2

4n

.02,1

2,525

2,5

2,5

2,11,5

2,41,424

2,4

2,424

1,4

1,4

2,11,5

2,31,323

2,3

2,323

1,3

1,3

2,11,5

2,21,222

2,2

2,222

1,2

1,2

1,5

1,121

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

+−ΧΧ ′′

+

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

+−ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

+−ΧΧ ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ ′′

nnn

nnnnn

Полагая

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

22,1

2,424

2,4

2,4

11,5

1,222

1,2

1,2

mn

mn

(1.8)

jm - произвольная постоянная ( 101÷=j ), приходим к выражению

.02,1

2,525

2,5

2,5

2,11,5

2,41,424

1,4

1,4

1,5

1,42

2,11,5

2,31,323

2,3

2,323

1,3

1,3

2,11,5

2,21,222

2,2

2,2

2,1

2,21

1,5

1,121

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

+ΧΧ

−

−ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

+−ΧΧ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

+ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

nnm

nnnmn

Прибавим и отнимем в левой части последнего равенства

2,11,5

2,31,23 ΧΧ

ΧΧm и

2,11,5

2,41,34 ΧΧ

ΧΧm

И примем

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

−=ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

62,1

2,44

2,1

2,323

2,3

2,3

51,5

1,23

1,5

1,323

1,3

1,3

mmn

mmn

(1.9)

С учётом (1.9) получаем

.02,1

2,525

2,5

2,5

2,11,5

2,41,424

1,4

1,4

1,5

1,42

2,11,5

2,41,34

1,5

1,36

2,11,5

2,31,23

2,1

2,35

2,11,5

2,21,222

2,2

2,2

2,1

2,21

1,5

1,121

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

+ΧΧ

−ΧΧΧΧ

+ΧΧ

+

+ΧΧΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

+ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

nnmmm

mmnmn

Прибавим и отнимем в левой части этого равенства

2,11,5

2,41,27 ΧΧ

ΧΧm

и положим

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ΧΧ

−ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

−=ΧΧ

+ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

91,5

1,27

1,5

1,34

1,5

1,424

1,4

1,4

82,1

2,47

2,1

2,33

2,1

2,222

2,2

2,2

mmmn

mmmn

. (1.10)

6

После чего имеем

2,1

2,21

2,1

2,35

2,1

2,49

2,1

2,525

2,5

2,5

1,5

1,42

1,5

1,36

1,5

1,28

1,5

1,121

1,1

1,1

ΧΧ

−ΧΧ

+ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

−=ΧΧ

−ΧΧ

+ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

mmmnmmmn .

Левая часть этого равенства не зависит от , а правая – от , следовательно

2x 1x

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=ΧΧ

+ΧΧ

−ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

=ΧΧ

−ΧΧ

+ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

102,1

2,21

2,1

2,35

2,1

2,49

2,1

2,525

2,5

2,5

101,5

1,42

1,5

1,36

1,5

1,28

1,5

1,121

1,1

1,1

mmmmn

mmmmn

. (1.11)

Таким образом, переменные разделены. Подстановка результатов интегрирования (1.7) ÷ (1.11) в (1.6) даёт

).

)()((*

*)(

)(*

*)()

(*

*)())(

(

2602592258

2257222562

22552

32542

32532

4252

24251504924824722462245

44431421412140

2139

3138

3137

23623522342233222322

2231

30291281272126

2125224223

22222221222202

22192

32182

3217

1615114113212211109

1817216

215

314

313

412

411

11

11111111

111111

111111

11111111

SinnxaCosnxaSinnxxaCosnxxaSinnxxaCosnxxaSinnxxaCosnxxaSinnxxa

CosnxxaeaeaSinnxaCosnxaSinnxxaCosnxxa

eaeaexaexaexaexaexaexa

SinnxaCosnxaSinnxxaCosnxxaSinnxxaCosnxxa

eaeaexaexaexaexaSinnxaCosnxa

SinnxxaCosnxxaSinnxxaCosnxxaSinnxxaCosnxxa

eaeaexaexaSinnxaCosnxaeaea

exaexaexaexaexaexaexaexa

nxnx

nxnxnxnxnxnxnxnx

nxnxnxnxnxnx

nxnxnxnxnxnx

nxnxnxnxnxnxnxnx

+++++++++

+++++

++++++++

++++++

++++++++

++++++

+++++++

++++++++=Φ

−

−−−−

−−−

−−−

−−−−

В случае, если решение уравнения (1.1) находится в виде слагаемых, то в символической форме оно может быть представлено как:

Μ

( ) ,121

12

01

221

1212

21

02

11

−Μ−Μ−Μ−−Μ−Μ−Μ Χ+Χ=ΧΧ+ΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧ+ΧΧ=Φ kk где

,

,

21222222

252

22

24221

23221

2221

2

1221

131

121111111111

SinnxaCosnxaSinnxxa

CosnxxaSinnxxaCosnxxa

eaeaexaexaexaexa

NNk

kN

kkN

kkN

kkN

k

nxkN

nxkN

nxkN

nxkN

nxkN

nxkN

K

−Μ+−Μ+−−Μ

++

−−Μ++

−−Μ++

−−Μ++

−−Μ

−+++

−−+

−+

−+

+++⋅⋅⋅++

+++=Χ

++⋅⋅⋅++++=Χ

N - порядковый номер. Для сравнения ниже приводится решение уравнения (1.1), найденное по

методу Фурье для случая Μ слагаемых.

∑Μ

=

− ++=Φ1

2,42,3,2,1 ))(( 11

iiiii

xni

xni xSinnaxCosnaeaea ii ,

когда Μ≠⋅⋅⋅≠≠ nnn 21 . При Μ=⋅⋅⋅== nnn 21

))(( 24232111 SinnxaCosnxaeaea nxnx ++=Φ − . (1.12)

Рассмотрим более сложный случай – интегрирование гармонического уравнения в трёхмерном пространстве с координатами и . 21, xx 3x

7

023

2

22

2

21

2

=∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

xxx (1.13)

Будем искать решение этого уравнения сначала в виде двух слагаемых )()()()()()( 33,222,211,233,122,111,1 xxxxxx ΧΧΧ+ΧΧΧ=Φ , (1.14)

где )(),();(),( 22,222,111,211,1 xxxx ΧΧΧΧ и )(),( 33,233,1 xx ΧΧ - функции, зависящие соответственно от одной переменной или . Подставляя (1.14) в (1.13), после простых преобразований имеем

21, xx 3x

03,12,1

3,22,2

3,2

3,2

2,2

2,2

1,2

1,2

1,2

1,1

3,1

3,1

2,1

2,1

1,1

1,1 =ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′ . (1.15)

Полагаем

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=ΧΧ′′

+ΧΧ′′

=ΧΧ′′

22

3,1

3,1

2,1

2,1

21

1,2

1,2

n

n. (1.16)

Из второго уравнения (1.16) находим

3,1

3,122

2,1

2,1

ΧΧ′′

−−=ΧΧ′′

n или 21

2,1

2,1 m−=ΧΧ′′ и 2

221

3,1

3,1 nm −=ΧΧ′′ .

Пусть для определённости . С учётом (1.16) имеем 22

21 nm >

03,12,1

3,22,2

3,2

3,2

2,2

2,221

1,2

1,122

1,1

1,1 =ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ′′

++ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

nn .

Полагаем далее , т.е. 3,13,2 Χ=Χ 22

21

3,2

3,2 nm −=ΧΧ′′ (можно положить также, что

). Тогда 2,12,2 Χ=Χ

2,1

2,222

21

21

2,2

2,2

1,2

1,122

1,1

1,1

ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

ΧΧ′′

−=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

nmnn

Откуда следует, что

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

ΧΧ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

22,1

2,222

21

21

2,2

2,2

21,2

1,122

1,1

1,1

mnmn

mn

(1.17)

Переменные разделены. Подстановка результатов интегрирования (1.16) и (1.17) в (1.14) с учётом

ранее принятого условия nnn == 21 даёт

( ))].)(()

([

211421132121221211109218

217651413211

11

1111322

1322

1

xSinmaxCosmaxSinmxaxCosmxaeaeaxSinma

xCosmaeaeaexaexaeaea

nxnx

nxnxnxnxxnmxnm

++++++

++++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Φ

−

−−−−−

Уравнение (1.15) можно преобразовать к виду

03,11,1

3,21,2

3,2

3,2

2,2

2,2

1,2

1,2

2,2

2,1

3,1

3,1

2,1

2,1

1,1

1,1 =ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′ .

8

Полагаем

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=ΧΧ′′

+ΧΧ′′

−=ΧΧ′′

24

3,1

3,1

1,1

1,1

23

2,2

2,2

m

m. (1.18)

Из второго уравнения (1.18) имеем

3,1

3,124

1,1

1,1

ΧΧ′′

−=ΧΧ′′

m или 23

1,1

1,1 n=ΧΧ′′ и 2

324

3,1

3,1 nm −=ΧΧ′′ .

Для определённости принимаем . Принимаем также 23

24 nm > 1,11,2 Χ=Χ

(можно принять, что ). Тогда 3,13,2 Χ=Χ

3,1

3,223

23

3,2

3,2

2,2

2,124

2,1

2,1

ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΧΧ′′

−=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

nmm ,

что равносильно

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΧΧ′′

−=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

53,1

3,223

23

3,2

3,2

52,2

2,124

2,1

2,1

mnm

mm

(1.19)

Интегрируя (1.18) и (1.19) при 43 mm = и nn =3 и подставляя полученные результаты в (1.14), находим

( )

)].

)(()(*

*)[(

322

3322

3

322

3322

3322

3322

3

11

2827

326325232423232221

23202319232182321716152

xnmxnm

xnmxnmxnmxnm

nxnx

eaea

exaexaxSinmaxCosmaeaea

xSinmaxCosmaxSinmxaxCosmxaeaea

−−−

−−−−−−

−

++

+++++

++++=Φ

Налагая на и условие, аналогичное условию принятому для постоянных , т.е. и суммируя

1m 3mn mmm == 31 1Φ и 2Φ , имеем следующее решение

уравнения (1.13)

)].)(

()

)[(()]

)(()(*

*)[(

322

322

322

322

322

322

11

11

1111322

322

2827326325224

2232221220219

221822171615214213

221222111092827

65141321

xnmxnmxnmxnm

xnmxnm

nxnx

nxnx

nxnxnxnxxnmxnm

eaeaexaexaSinmxa

CosmxaeaeaSinmxaCosmxa

SinmxxaCosmxxaeaeaSinmxaCosmxa

SinmxxaCosmxxaeaeaSinmxaCosmxa

eaeaexaexaeaea

−−−−−−

−−−

−

−

−−−−−

++++

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

++++++

+++++

+++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Φ

(1.20)

Как и в случае двух переменных и , легко видеть, что решение (1.20) отличается от решения уравнения (1.13), найденного методом Фурье (см. (1.25)) и включает последнее как некоторый частный случай.

1x 2x

Рассмотрим задачу, когда решение уравнения (1.13) находится в виде трёх слагаемых, т.е.

)()()()()()()()()( 33,322,311,333,222,211,233,122,111,1 xxxxxxxxx ΧΧΧ+ΧΧΧ+ΧΧΧ=Φ . (1.21) Подставим (1.21) в (1.13) и преобразуем полученный результат к виду

9

03,12,11,2

3,32,31,3

3,3

3,3

2,3

2,3

1,3

1,3

3,12,1

3,22,2

3,2

3,2

2,2

2,2

1,2

1,2

1,2

1,1

3,1

3,1

2,1

2,1

1,1

1,1 =ΧΧΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′

.

Полагаем

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=ΧΧ′′

+ΧΧ′′

=ΧΧ′′

22

3,1

3,1

2,1

2,1

21

1,2

1,2

n

n. (1.22)

Из последнего уравнения (1.22) имеем

21

2,1

2,1 m−=ΧΧ′′ и 2

221

3,1

3,1 nm −=ΧΧ′′ ,

где для определённости 22

21 nm >

Принимая (можно принять также 3,33,23,1 Χ=Χ=Χ 2,32,22,1 Χ=Χ=Χ ), приходим к выражению

02,11,2

2,31,321

2,3

2,322

1,3

1,3

2,1

2,221

2,2

2,2

1,2

1,122

1,1

1,1 =ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

+−ΧΧ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

mnmn .

Полагаем далее

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

32,1

2,321

2,3

2,3

21,2

1,322

1,3

1,3

mm

mn

. (1.23)

Тогда 2,1

2,32

2,1

2,221

2,2

2,2

1,2

1,33

1,2

1,122

1,1

1,1

ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

−=ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

mmmn .

Откуда следует

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

=ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

42,1

2,32

2,1

2,221

2,2

2,2

41,2

1,33

1,2

1,122

1,1

1,1

mmm

mmn

. (1.24)

Интегрируя (1.22), (1.23), (1.24) и подставляя в (1.21) находим, что при и mm =1 nnn == 21

)].)[(

()

)(()(*

*)[(

226225222422232221

12011921821722162215

222142

2213121121029

871615214

213211

11

11

11

111111322

322

SinmxaCosmxaSinmxxaCosmxxaeaea

exaexaSinmxaCosmxaSinmxxaCosmxxa

SinmxxaCosmxxaeaeaSinmxaCosmxa

eaeaexaexaexaexaeaea

nxnx

nxnx

nxnx

nxnxnxnxnxnxxnmxnm

+++++

+++++++

+++++

+++++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Φ

−

−

−

−−−−−−

Точно также при 1,31,21,1 Χ=Χ=Χ можно получить

10

+++++

+++++

+++++=Φ

−−−−−−−

−−−

−

322

322

322

322

322

322

322

11

433423412340

2339

2382373635234233

22322231222302

222928272

(*

*)())(

)[((

xnmxnmxnmxnmxnm

xnmxnm

nxnx

eaexaexaexaexa

SinmxaCosmxaeaeaSinmxaCosmxa

SinmxxaCosmxxaSinmxxaCosmxxaeaea

)].

)(()

322

322

322

322

322

5251350

3492482472246224544

xnmxnmxnm

xnmxnm

eaeaexa

exaSinmxaCosmxaSinmxxaCosmxxaea

−−−−−

−−−

+++

++++++

И при 2,32,22,1 Χ=Χ=Χ ,

)].)(

())(

())(

)[((

322

322

322

322

111

1322

322

11111

111322

322

322

322

322

322

78773763757473172

171706968671661652164

216362616059358

3572356

23552542533

xnmxnmxnmxnmnxnxnx

nxxnmxnmnxnxnxnxnx

nxnxnxxnmxnmxnm

xnmxnmxnm

eaeaexaexaeaeaexa

exaeaeaeaeaexaexaexa

exaeaeaeaeaexa

exaexaexaSinmxaCosmxa

−−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−

++++++

++++++++

++++++

++++=Φ

Таким образом, решение уравнения (1.13) имеет вид: 321 Φ+Φ+Φ=Φ .

В случае, когда решение уравнения (1.18) находится в виде слагаемых, оно может быть в символической форме представлено так:

Μ

( ) ,1121

13

02

01

23

0213

121

32

201

03

12

01

012

21

03

02

11

−Μ−Μ−Μ−−−Μ

−Μ−Μ−Μ−Μ

Χ+Χ+Χ=ΧΧΧ+ΧΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧΧ+

+⋅⋅⋅+ΧΧΧ+ΧΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧΧ+ΧΧΧ=Φttkk

Где

,

,

,

322

322

322

322

322

322

111111

32221

3522

13422332232223

212222222

252

22

24221

23221

2221

2

1221

131

121111

xnmMN

xnmMN

xnmttMN

xnmttMN

xnmttMN

xnmttMN

t

tNtNtkM

kN

tkMkN

tkMkN

tkMkN

tkM

nxkN

nxkN

nxkN

nxkN

nxkN

nkN

k

eaeaexa

exaexaexa

SinmxaCosmxaSinmxxaCosmxxaSinmxxaCosmxxa

eaeaexaexaexaexa

−++

−++

−−−+−+

−−+−+

−−+−+

−+−+

+−Μ+−Μ+−−−

++

−−−++

−−−++

−−−++

−−−

−+++

−−+

−+

−+

Χ

++⋅⋅⋅++

+++=Χ

++⋅⋅⋅++

+++=Χ

++⋅⋅⋅++++=Χ

N - порядковый номер, 1,0 −<≤ Mtk . Ниже для сравнения приводится решение уравнения (1.13), найденное

методом Фурье для случая слагаемых Μ

),)()(( 322

322

11,6

1,52,42,3,2,1

xnmi

i

xnmiiiii

xni

xni

iiiiii eaeaxSinmaxCosmaeaea −−Μ

=

−−∑ +++=Φ

когда Μ≠⋅⋅⋅≠≠ nnn 21 и Μ≠⋅⋅⋅≠≠ mmm 21 . При Μ=⋅⋅⋅== nnn 21 и Μ=⋅⋅⋅== mmm 21 ,

))()(( 322

322

1165242321

xnmxnmnxnx eaeaSinmxaCosmxaeaea −−−− +++=Φ . (1.25) 2. Рассмотрим уравнения теплопроводности

24

2

23

2

22

2

1 xxxx ∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

=∂Φ∂ . (2.1)

Пусть его решение имеется, например, в виде двух слагаемых 4,23,22,21,24,13,12,11,1 ΧΧΧΧ+ΧΧΧΧ=Φ . (2.2)

Подставляя (2.2) в (2.1) после преобразований имеем:

11

04,13,12,1

4,23,22,2

4,2

4,2

3,2

3,2

2,2

2,2

1,2

1,2

1,2

1,1

4,1

4,1

3,1

3,1

2,1

2,1

1,1

1,1 =ΧΧΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ′′

−ΧΧ′′

−ΧΧ′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ′′

−ΧΧ′′

−ΧΧ′ .

Полагаем

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=ΧΧ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′

=ΧΧ′

22

4,1

4,1

3,1

3,1

2,1

2,1

21

1,2

1,2

n

n. (2.3)

Из второго уравнения (2.3) находим

2,1

2,122

4,1

4,1

3,1

3,1

ΧΧ′′

−=ΧΧ′′

+ΧΧ′′

n или 22

21

2,1

2,1 nm +−=ΧΧ′′ и 2

14,1

4,1

3,1

3,1 m=ΧΧ′′

+ΧΧ′′ .

Преобразуем последнее равенство к виду

3,1

3,121

4,1

4,1

ΧΧ′′

−=ΧΧ′′

m , откуда 21

4,1

4,1 l−=ΧΧ′′ и 2

12

13,1

3,1 ml +=ΧΧ′′ ,

где - произвольная постоянная, jl .4,3,2,1=j Таким образом с учётом (2.3) получаем

04,13,12,1

4,23,22,2

4,2

4,2

3,2

3,2

2,2

2,221

1,2

1,122

1,1

1,1 =ΧΧΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′

+−−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′

nn .

Принимаем и 3,13,2 Χ=Χ 4,14,2 Χ=Χ (можно принять, что и 2,12,2 Χ=Χ 3,13,2 Χ=Χ или и 2,12,2 Χ=Χ 4,14,2 Χ=Χ ), после чего имеем

2,1

2,221

21

2,2

2,2

1,2

1,122

1,1

1,1

ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΧΧ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′

mnn .

Следовательно,

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΧΧ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′

32,1

2,221

21

2,2

2,2

31,2

1,122

1,1

1,1

lmn

ln

. (2.4)

Переменные разделены. Подставляя результаты интегрирования (2.3) и (2.4) в (2.2) при ,

получаем

21

21 nm >

)].

()(*

*))[()((

222

12222

11222

210

222

29222

8222

7

615414413111

12

12

321

23

21

2

xnmSinaxnmCosaxnmSinxa

xnmCosxaexnmSinaxnmCosa

eaxaxSinlaxCoslaeaeaxn

xnxlmxlm

−+−+−+

+−+−+−

+++=Φ +−+

Точно также при и 2,12,2 Χ=Χ 1,11,2 Χ=Χ можно получить

)].(**)())(

)[((

422642254242442423

2221422042191817

316315222

14222

132

322

23

22

23

22

23

22

2

322

23

22

21

2

xSinlaxCoslaxSinlxaxCoslxaeaeaxSinlaxCoslaeaea

exaexaxnmSinaxnmCosae

xlmxlmxlmxlm

xlmxlmxn

++++++++

++−+−=Φ

+−++−+

+−+

12

Полагая lll == 21 и суммируя 1Φ и 2Φ находим решение уравнения (2.1).

21 Φ+Φ=Φ (Решение уравнения (2.1), найденное методом Фурье см. (2.6)) В случае, когда решение уравнения (2.1) находится в виде слагаемых,

он может быть в символической форме представлено как: Μ

( ) .14321

14

03

02

01

04

13

02

014

1321

04

03

12

01

04

03

22

31

04

03

02

21

04

03

02

11

−Μ−Μ−Μ−−−−Μ

−Μ−Μ−Μ−Μ

Χ+Χ+Χ+Χ=ΧΧΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧΧΧ+

+⋅⋅⋅+ΧΧΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧΧΧ+ΧΧΧΧ+ΧΧΧΧ=Φsstktk

(2.5)

Где

.

,

,

,)(

42241244322442224

12222

1332

1322

13

222

12222

22221

24

2221

23222

22222

212

112

121

1111

322

322

322

322

12

SinlxaCoslxaSinlxxaCoslxxa

eaea

exaexa

xnmSinaxnmCosaxnmSinxa

xnmCosxaxnmSinxaxnmCosxa

eaxaxaxaxa

kNkNs

sNs

ksNs

xlmksN

xlmksN

xlmstktkN

xlmstktkN

stk

tkNtkNt

kN

tkN

tkN

tkN

t

xnkNkN

kN

kN

kN

k

+−Μ++−Μ++−Μ++−−Μ+

+−+−−Μ+

+−−Μ+

+−−−−−Μ+++

+−−−−Μ+++

−−−−Μ

+++++−

++

−++++++

+−+−

+−

+

++⋅⋅⋅++=Χ

++

+⋅⋅⋅++=Χ

−+−+⋅⋅⋅+−+

+−+−+−=Χ

++⋅⋅⋅+++=Χ

Где 1,,0 −Μ<≤ stk Сравнивая полученное выше решение с решением по методу Фурье

уравнения (2.1)

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⋅⋅⋅===⋅⋅⋅===⋅⋅⋅==

++−+−=Φ

≠⋅⋅⋅≠≠≠⋅⋅⋅≠≠≠⋅⋅⋅≠≠

+

+−+−=Φ

ΜΜΜ

++

ΜΜΜ

Μ

=

+−+∑

lllиmmmnnnприSinlxaCoslxa

eaeaxnmSinaxnmCosae

иlllиmmmnnnприxSinlaxCosla

eaeaxnmSinaxnmCosae

i

xlmxlmxn

iiii

i

xlmi

xlmiiiiiii

xn iiiii

212121

4,645

43222

2222

1

212121

4,64,5

1,4,32

22,22

22,1

,)(*

*))((

,)(*

*))((

322

322

12

322

322

12

(2.6)

Из найденные так же для случая Μ слагаемых, можно видеть, что решение по предлагаемому методу содержит помимо (2.6) ещё ряд отличных от (2.6) независимых решений.

3. Рассмотрим волновое уравнение.

24

2

23

2

22

2

21

2

xxxx ∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

=∂Φ∂ , (3.1)

когда его решение имеется в виде трёх слагаемых 4,33,32,31,34,23,22,21,24,13,12,11,1 ΧΧΧΧ+ΧΧΧΧ+ΧΧΧΧ=Φ . (3.2)

Подставляя (3.2) в (3.1), после простых преобразований получаем

.04,12,13,11,2

4,33,32,31,3

4,3

4,3

3,3

3,3

2,3

2,3

1,3

1,3

4,13,12,1

4,23,22,2

4,2

4,2

3,2

3,2

2,2

2,2

1,2

1,2

1,2

1,1

4,1

4,1

3,1

3,1

2,1

2,1

1,1

1,1

=ΧΧΧΧΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ′′

−ΧΧ′′

−ΧΧ′′

−ΧΧ′′

+

+ΧΧΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ′′

−ΧΧ′′

−ΧΧ′′

−ΧΧ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ′′

−ΧΧ′′

−ΧΧ′′

−ΧΧ′′

13

Полагаем

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=ΧΧ′′

+ΧΧ′′

+ΧΧ′′

=ΧΧ′′

22

4,1

4,1

3,1

3,1

2,1

2,1

21

1,2

1,2

n

n. (3.3)

Из последнего уравнения (3.3) находим

2,1

2,122

4,1

4,1

3,1

3,1

ΧΧ′′

−=ΧΧ′′

+ΧΧ′′

n откуда 22

21

2,1

2,1 nm +−=ΧΧ′′ и 2

14,1

4,1

3,1

3,1 m=ΧΧ′′

+ΧΧ′′ .

Далее 3,1

3,121

4,1

4,1

ΧΧ′′

−=ΧΧ′′

m , следовательно 21

4,1

4,1 l−=ΧΧ′′ и 2

12

13,1

3,1 ml +=ΧΧ′′ ,

Полагаем 3,33,23,1 Χ=Χ=Χ и 4,34,24,1 Χ=Χ=Χ . Прибавим и отнимем в третьем слагаемом левой части, стоящей в скобках, , после элементарных преобразований имеем:

23n

02,11,2

2,31,323

21

2,3

2,323

1,3

1,3

2,1

2,221

21

2,2

2,2

1,2

1,122

1,1

1,1 =ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΧΧ′′

−−ΧΧ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

ΧΧ′′

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

nmnnmn .

Полагаем

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΧΧ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

32,1

2,321

23

2,3

2,3

21,2

1,323

1,3

1,3

lmn

ln

(3.4)

Тогда 2,1

2,32

2,1

2,221

21

2,2

2,2

1,2

1,33

1,2

1,122

1,1

1,1

ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΧΧ′′

=ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

lmnln ,

Откуда следует

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΧΧ′′

=ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ′′

42,1

2,32

2,1

2,221

21

2,2

2,2

41,2

1,33

1,2

1,122

1,1

1,1

llmn

lln

. (3.5)

Таким образом, переменные разделились. Интегрируя (3.3), (3.4) и (3.5) и подставляя полученный результат в (3.2) находим

)].(*

*)()

(*

*)())(

)[()((

222

28222

27222

226222

225

2423122121222

20222

19

222

218222

2172222

2162222

215

1413222

12222

1110918

17216

2154443211

1111

11111

111322

322

xnmSinaxnmCosaxnmSinxaxnmCosxa

eaeaexaexaxnmSinaxnmCosa

xnmSinxaxnmCosxaxnmSinxaxnmCosxa

eaeaxnmSinaxnmCosaeaeaexa

exaexaexaSinlxaCoslxaeaea

nxnxnxnx

nxnxnxnxnx

nxnxnxxlmxlm

−+−+−+−

++++−+−+

−+−+−+−

++−+−+++

+++++=Φ

−−

−−−

−+−+

Здесь как и ранее принято llиmmnnnn ===== 11321 , .

14

Точно также при 1,31,21,1 Χ=Χ=Χ и 2,32,22,1 Χ=Χ=Χ можно получить

)].(**)()(*

*)(

))(

)[()((

45645544544453

5251350349448447

46453443432342

2341

403943843744364435

424344

24332

22322

223130292

322

322

322

322

322

322

322

322

322

322

322

322

11

SinlxaCoslxaSinlxxaCoslxxaeaeaexaexaSinlxaCoslxa

eaeaexaexaexaexa

eaeaSinlxaCoslxaSinlxxaCoslxxa

SinlxxaCoslxxaxnmSinaxnmCosaeaea

xlmxlmxlmxlm

xlmxlmxlmxlmxlmxlm

xlmxlm

nxnx

++++++++

++++++

+++++

++−+−+=Φ

+−++−+

+−++−++−+

+−+

−

При и 1,31,21,1 Χ=Χ=Χ 4,34,24,1 Χ=Χ=Χ

)].

)(

())(

(

))(

)[()((

222

84222

83

222

282222

2818079378

3777675222

74222

73

222

272222

2712222

2702222

269

222

68222

676665364

3632362

236146045958573

322

322

322

322

322

322

322

322

322

322

322

322

11

xnmSinaxnmCosa

xnmSinxaxnmCosxaeaeaexa

exaeaeaxnmSinaxnmCosa

xnmSinxaxnmCosxaxnmSinxaxnmCosxa

xnmSinaxnmCosaeaeaexa

exaexaexaSinlxaCoslxaeaea

xlmxlmxlm

xlmxlmxlm

xlmxlmxlm

xlmxlmxlmnxnx

−+−+

+−+−+++

+++−+−+

+−+−+−+−+

+−+−+++

+++++=Φ

+−++−

++−+

+−++−

+++−

При и 2,32,22,1 Χ=Χ=Χ 3,33,23,1 Χ=Χ=Χ

)].)((

))(

())(

[(*))((

41124111

441104410910810711061105

1041034102410144100449942498

424974964959493192191

2190

218988872

22862

22854

1111

11

11111

1322

322

SinlxaCoslxaSinlxxaCoslxxaeaeaexaexa

eaeaSinlxaCoslxaSinlxxaCoslxxaSinlxxa

CoslxxaSinlxaCoslxaeaeaexaexaexa

exaeaeaxnmSinaxnmCosa

nxnxnxnx

nxnx

nxnxnxnxnx

nxxlmxlm

++++++++

+++++++

+++++++−

−+−+−=Φ

−−

−

−−−

+−+

При 3,33,23,1 Χ=Χ=Χ и 1,31,21,1 Χ=Χ=Χ

)].(**)(

))(

())(

)[()((

414041394413844137

222

136222

135222

2134222

2133

222

132222

1314130412944128

441274241264

24125412441232

22122

222

121222

2120222

21192222

2118

2222

21171161151141135113

223

22

SinlxaCoslxaSinlxxaCoslxxaxnmSinaxnmCosaxnmSinxaxnmCosxa

xnmSinaxnmCosaSinlxaCoslxaSinlxxa

CoslxxaSinlxxaCoslxxaSinlxaCoslxaxnmSina

xnmCosaxnmSinxaxnmCosxaxnmSinxa

xnmCosxaeaeaeaea nxnxxlmxlm

+++−+−+−+−+

+−+−+++

+++++−+

+−+−+−+−

+−++=Φ −+−+

При 2,32,22,1 Χ=Χ=Χ и 4,34,24,1 Χ=Χ=Χ

15

)].(*)

()(*

*)()(*

*)

)[()((

1111322

322

322

322

322

322

11111111

321

23

223

223

223

22

322

16816711661165164

16331623161160159

1581571156115521154

21153152151

1501493148314723146

23145414441432

221422

221416

nxnxnxnxxlm

xlmxlmxlmxlmxlm

nxnxnxnxnxnxnxnx

xlmxlmxlmxlmxlm

xlm

eaeaexaexaea

eaexaexaeaea

eaeaexaexaexaexaeaea

eaeaexaexaexa

exaSinlxaCoslxaxnmSinaxnmCosa

−−+−

++−++−+

−−−−

+−++−++−

+

++++

+++++

+++++++

+++++

++−+−=Φ

Таким образом, решение уравнения (3.1) имеет вид

∑=

Φ=Φ6

1ji

Решение уравнения (3.1) по методу Фурье, известно как

).)(

)()((

48476

5222

4222

321

322

322

11

SinlxaCoslxaea

eaxnmSinaxnmCosaeaeaxlm

xlmnxnx

++

+−+−+=Φ

+−

+−

В случае Μ слагаемых решение уравнения (3.1) по предлагаемому методу в символической форме может быть представлено аналогично (2.5), где

111111122

113

1121111

nxkN

nxkN

nxkN

nxkN

nxkN

nxkN

k eaeaexaexaexaexa −+++

−−+

−+

−+ ++⋅⋅⋅++++=Χ , а

совпадают с принятыми в (2.5) их значениями, за исключением индексов у . В данном случае к каждому из этих индексов необходимо дополнительно прибавить . В качестве некоторых возможных направлений практического использования предлагаемого метода разделения переменных укажем следующее:

432 ,, ΧΧΧ иa

k

Известно, например, что решение задач теории упругости сводится к отысканию тех или иных форм решений бигармонического уравнения, способных удовлетворить поставленным граничным условиям. Число этих форм решений в настоящее время ограничено, в связи чем ряд задач остаётся не решенным.

Предлагаемый метод разделения переменных при интегрировании бигармонического уравнения позволяет получать бесконечное число новых форм решений, некоторые из которых могут оказаться практически полезными в вышеуказанном смысле.

Далее рассмотрим движение электромагнитной волны в вакууме, описываемое уравнением вида (3.1). Решение этого уравнения по методу Фурье для случая одномерного пространства определяет при постоянстве энергии излучения пакет плоских монохроматических волн, которые в сумме образуют незатухающую волну с постоянными во времени и пространстве амплитудой и частотой.

Решение аналогичного волнового уравнения с помощью предлагаемого метода разделения переменных, определяет уже некоторую совокупность бесконечного числа волновых пакетов, которая образует волну с возрастающей, вследствие наличия в этом решении степенных множителей от во времени и пространстве, амплитудой. Поскольку движение этой волны происходит без изменения энергии, то по закону её сохранения, с возрастанием

4321 ,, xиxxx

16

амплитуды должна убывать частота волны. Иными словами: при движении электромагнитной волны в вакууме должно наблюдаться смещение спектра волны в сторону более низких частот. Это, например, позволяет рассмотреть вопрос о “красном смещении”, наблюдаемой во Вселенной с позиции нерасширяющейся видимой её части.

Обозначения принятые в работе.

ix - независимая переменная, 41÷=i . )(),(),( 33221,1 xиxxi ΦΦΦ - функции, зависящие соответственно от ; 321, xиxx

iiiii и ,5,4,3,2,1 ;;; ΧΧΧΧΧ - функции, зависящие от одной из переменных ; ix

jjjNi lиmnaaCCCC ;;;;; *4

*141 ÷÷ - постоянные интегрирования, где

- порядковые номера. ,...2,1,...2,1,...;2,1 === jиNi

17

О ПОЛУЧЕНИИ НОВЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

§ 1 Новый метод разделения переменных (Предварительное рассмотрение)

Как известно, для решения задач математической физики во многих случаях применим, так называемый метод Фурье (или иначе метод разделения переменных).

Он заключается в том, что частное решение линейного дифференциального уравнения в частных производных (или в дальнейшем, для краткости, просто уравнения) находится в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. При этом число указанных функций-сомножителей всегда равно числу независимых переменных.

Например, частное решение простейшего уравнения эллиптического типа – уравнения Лапласа, в случае двух независимых переменных ζ и ϕ

0112

2

2

2

=∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

ϕrrrr (1.1)

Находится в виде )()( ϕθ⋅=Φ rR ,

где и )(rR )(ϕθ - функции, зависящие соответственно лишь от одной переменной r или ϕ .

Для получения более общего или, как говорят, обобщенного решения линейного уравнения, вследствие его линейности все частные решения суммируются.

Например, для уравнения (1.1) обобщенным решением будет являться выражение:

∑∞

==Φ

1)()(

iiriR ϕθ ,

где индекс - определяет фундаментальные числа конкретной физической задачи.

i

Не останавливаясь на подробном рассмотрении метода Фурье и его возможностях, которые можно найти во всех курсах по уравнениям математической физики, отметим лишь следующие два момента, касающихся этого метода, общность которых при внимательном рассмотрении может быть поставлена под сомнение:

18

а) определение методом Фурье частного решения уравнения в виде произведения числа функций (каждая из которых зависит лишь от одной переменной), равного числу независимых переменных, с точки зрения получения наиболее общего вида решения не является строго обоснованным.

При построении частного решения методом разделения переменных число функций, зависящих лишь от одной переменной и входящих в это решение, может быть принятым и большим числа независимых переменных.

б) решение уравнения, полученное методом Фурье или другим известным методом, содержит число произвольных постоянных равное произведению порядка уравнения на число его независимых переменных. Это положение также не имеет строго обоснования. Тем не менее решение, содержащее указанное число постоянных молчаливо принимается за общее решение. Исключение в этом вопросе составляют обыкновенные дифференциальные уравнения, где теория строго обосновывает число произвольных постоянных в зависимости от порядка уравнения. Таким образом можно, по-видимому предположить, что решение уравнения может содержать большее число произвольных постоянных, нежели обычно.

В дальнейшем будет показано, что высказанные здесь оба суждения (а и б) являются не безосновательными и при соответствующей обработке приводят к новым качественным результатам.

В настоящем параграфе изложен новый метод разделения переменных линейных дифференциальных уравнений в частных производных, являющийся более общим, чем метод Фурье и включающий его как некоторый частный случай. Рассмотрение и обоснование метода проведено на примере решения уравнения Лапласа, имеющего важное прикладное значение в физике.

Новый метод заключается в том, что частное решение уравнения от независимых переменных находится в виде суммы слагаемых, каждое из которых, в свою очередь является произведением произвольных, зависящих только от одной из самостоятельных переменных, функций.

nn

n

При этом на слагаемые не накладывается условие, чтобы они по отдельности являлись решением рассматриваемого уравнения. Если такое условие наложить, то мы придём к решению ничем не отличающемуся от решения, полученного методом Фурье.

Итак, следуя изложенному, будем искать частное решение уравнения (1.1) в виде суммы

)()(2)()(1 rr Rff ⋅+⋅=Φ ϕϕθ , (1.2) где и )(1)( , rr fR )(2)( , ϕϕθ f - функции, зависящие от одной переменной ζ или

ϕ . Подставляя (1.2) в (1.1) и преобразовывая, имеем

θθθθ 2221112 f

RRr

RRrf

Rf

Rfr

Rfr

′′−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+′′

−=′′

+′

+′′ . (1.3)

Поскольку функции R и θ оставались произвольными, то для полного разделения переменных достаточно в выражении (1.3) положить

19

,

;

22

2

nRRr

RRr

n

=′

+′′

−=′′

θθ

(1.4)

где - некоторая постоянная (параметр). nУсловия (1.4) аналогичны требованию, чтобы выражение

))(( *4

*3

*2

*1 ϕϕθ SinnCCosnCrCrCR nn ++= − (1.5)

являлось известным решением (1.1), получаемым методом Фурье. Условия (1.4) назовём первой вариацией параметра . n

Таким образом, левая часть (1.3) зависит только от r и не зависит от ϕ , а правая – наоборот, следовательно, каждая из них не зависит ни от r , ни от ϕ , т.е. они постоянны. Обозначим эту постоянную через , тогда из (1.3) следует, что

m

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=+′′

=−′+′′

θ222

2

21

211

2

mfnf

Rmfnfrfr. (1.6)

Решая последние два уравнения методом вариации постоянных, находим:

.

lnln**

3**

4*8

*72

4*3

**2

**11

ϕϕϕϕϕϕ SinnCCosnCSinnCCosnCf

rCrCrrCrrCf nnnn

−++=

++−= −−

После подстановки найденных значений функций 21,, fиfR θ в (1.2) и некоторых преобразований, частное решение уравнения (1.1) окончательно принимает вид:

),)(()(*

*)lnln())((

,7,8,6,5,8,7

,6,5,4,3,2,1

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ

iiiin

in

iiiii

ni

niiiii

ni

nii

SinnCCosnCrCrCSinnCCosnC

rrCrrCSinnCCosnCrCrCii

iiii

−+−++

++++=Φ−

−−

(1.7)

где - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

iiiiiiii CCCCCCCC ,8,7,6,5,4,3,2,1 ,,,,,,,

Как видно из (1.7) оно содержит два различных по структуре самостоятельных решений уравнения (1.1).

Первое из них, совпадающее с известным решением уравнения Лапласа и представляющее гармоническую в современном понимании функцию, обозначим как

))(( ,4,3,2,1* ϕϕ iiii

ni

nii SinnCCosnCrCrC ii ++=Φ − . (1.8)

Второе решение, содержащее два непериодических слагаемых, каждое из которых в отличие от (1.8) не удовлетворяет (1.1), обозначим

)(**)())(lnln(

,7,8

,6,5,8,7,6,5**

ϕϕϕϕ

ϕϕζ

iiii

ni

niiiii

ni

nii

SinnCCosnCrCrCSinnCCosnCrrCrC iiii

−

+−+++=Φ −−

(1.9)

и назовём квазигармонической функцией. Функцию (1.7), включающую в себя как гармоническую, так и

квазигармоническую составляющие будем в дальнейшем называть гармонической в целом функцией.

20

Параметр , введённый нами при разделении переменных, входит в состав коэффициентов в качестве множителя и определяется совместно с ними из граничных условий. В связи с этим он не может определять фундаментальных чисел конкретной задачи как, например, параметр .

mii CС ,8,5 ÷

nВ остальном остаётся произвольным и на него, следовательно, может

быть наложено одно из полезных для нас условий. При также равно нулю и (1.7) принимает вид (1.8). Формула (1.7) дающая частные решения уравнения (1.1), получает существенно различный вид в зависимости от того, какое значение (или вариацию) имеет параметр .

m**0 im Φ=

nВторой вариацией параметра назовём условие, когда . Решение

уравнения (1.1) при этом выглядит так: 0=n

).3(*

*)3

ln())(lnln())(ln(

26

37

6587

26

3543210

ϕϕ

ϕϕ

CC

CrCCCrCrCCCCrCn

+

+−+++++=Φ =

Первое произведение, стоящее в правой части, является обычным решением, получаемым с помощью метода Фурье при 0=n .

Третьей вариацией параметра назовём условия: 21γθ

θ−=

′′ и 22

2 γ=′

+′′

RRr

RRr .

В этом случае частным решением уравнения (1.1) служит выражение: ))(())(( 181765242321

1122 ϕγϕγϕγϕγ γγγγγ SinССosСrСrСSinССosСrСrС +++++=Φ −− .

Другие значения параметра , которые могут иметь место, будут являться производными от рассмотренных выше вариаций.

n

Естественно далее предположить, что в рассматриваемой задаче чисел может быть бесконечно много. При этом могут представлять интерес только те из них, которые определяют не тривиальное решение уравнения (1.1).

in

В качестве такого решения можно рассмотреть ряд

∑∞

=

Φ=Φ1

,i

i (1.10)

равномерно сходящийся при некоторых условиях к обобщённому решению Φ уравнения (1.1).

Полученное нами решение вида (1.10) пока является чисто формальным, т.к. ещё не ставился вопрос о граничных условиях задачи и не требовалось от этого решения удовлетворения этим граничным условиям. Кроме того необходимо также предварительно определить условия при которых ряд (1.10) сходится.

§ 2 Общие свойства гармоничных и квазигармоничных функций Теорема 1. Фундаментальные функции вида , удовлетворяющие при 2f 1ϕϕ = и 2ϕϕ =

граничным условиям 022 =+′ ff βα , где α и β постоянные, обладают свойством обобщённой ортогональности, т.е.

21

∫ =2

1

0,2,2

ϕ

ϕ

ϕdff ji при ji ≠ .

Действительно по построению своему функции вида удовлетворяют второму уравнению (1.6), если заменить в нём на и на . Тогда

2f2n 2

in 22, manj22ji mиm

⎪⎭

⎪⎬⎫

=++′′

=++′′

0

02

,22

,2

2,2

2,2

jjjjj

iiiii

mfnf

mfnf

θ

θ. (2.1)

Умножим первое уравнение на jθ , а второе на iθ и вычтем почленно одно

из другого. Интегрируя затем полученное выражение по промежутку ),( 21 ϕϕ , находим:

0)()(2

1

2

1

2

1

2

1

22,2

2,2

2,2,2 =−+−+′′−′′ ∫∫ ∫ ∫ ϕθθϕθϕθϕθθ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

dmmdfndfndff jijiijjjiijiji .

Берём первый интеграл по частям дважды

∫∫ −′−′=′′2

1

2

1

2

1

,22

,2,2,2 )(ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕθθθϕθ dfnffdf jijjijiji .

Производя точно такие же действия со вторым интегралом и подставляя полученные результаты в исходное равенство, имеем:

.])(

)()[(1

2

1

21

21

2

1

2

1

22

,2,2,2,222,2,2

∫

∫∫

−+

+′−′+′−′−

−=+

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθθ

θθθθϕθϕθ

dmm

ffffnn

dfdf

jiji

ijijjijiji

jjji

(2.2)

Умножим далее первое уравнение (2.1) на jf ,2′′ , а второе на и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя полученное выражение, как и ранее по промежутку

if ,2′′

),( 21 ϕϕ , находим:

02

1

2

1

2

1

2

1

,22

,22

,2,22

,2,22 =′′−′′+′′−′′ ∫∫∫ ∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθϕθϕϕ dfmdfmdffndffn ijjjiiijjjii .

Берём третий и четвёртый интегралы по частям дважды. После уже известных преобразований получаем:

.)](

)([

21

2

1

2

1

2

1

2

1

,2,22

2,22

,2,22

,2,22

,222

,222

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

θθ

θθϕϕϕθϕθ

jijij

ijijiijjjiijijjijii

ffm

ffmdffndffndfnmdfnm

′−′+

+′−′+′′−′′=− ∫ ∫∫∫

Умножим затем первое уравнение (2.1) на , а второе на . Проведя преобразования аналогичные предыдущим, приходим к следующему выражению:

jj fn ,22

ii fn ,22

22

ϕϕϕθϕθϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

dffndffndfnmdfnm ijjjiiijijjiji ∫ ∫∫ ′′−′′=−2

1

2

1

2

1

2

1

,2,22

,2,22

,222

,222 ∫ .

Исключая из последних двух равенств слагаемое

ϕϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

dffndffn ijjjii ∫ ∫ ′′−′′2

1

2

1

,2,22

,2,22 ,

получаем

[ ]∫ ∫ ′−′+−′−

=+2

1

2

1

2

1)()(1

,2,22

,2,22

22,22

,22ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθθθθϕθϕθ jijijijiji

jijijiji ffmffm

nndfmdfm . (2.3)

Наконец, умножим первое уравнение (2.1) на , а второе на и соблюдая вышеприведённую последовательность действий, имеем

jf ,2 if ,2

∫ ∫ ∫ ′−′−−=−2

1

2

1

2

1

2

1

)()( ,2,2,2,2,2,222

,22

,22ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕϕθϕθ ijjijijijijjii ffffdffnndfmdfm .(2.4)

Преобразуем (2.2)

,])(

)()[(

2

1

2

1

2

1

21

21

22

,2,2,2,222

2

,22

,22

∫

∫ ∫

−+

+′−′+′−′−

−−=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕθθ

θθθθϕθϕθ

dmm

ffffnn

mdfmdfm

jiji

ijijjijiji

ijijjii

и подставим сначала в (2.3)

[ ]

,})()](){[(*

*)()(1)(

2

1

21

21

2

1

2

1

22,2,2,2,2

22

2

,2,22

,2,22

22,222

∫

∫

−+′−′+′−′

−+′−′+′−′

−=−

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθθθθθθ

θθθθϕθ

dmmffff

nnmffmffm

nndfmm

jijiijijjiji

ji

ijijijijiji

jijiij

,

а затем в (2.4)

].)()()[(*

*)()()(

21

21

2

1

2

1

21

2

1

,2,2,2,222

22

2

,2,2,2,2,2,222

,222

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

θθθθϕθθ

ϕϕθ

ijijjijijiji

ji

iijjijijijiij

ffffdmm

nnmffffdffnndfmm

′−′+′−′+−

−+′−′−−−=−−

∫

∫ ∫

Исключая из последних двух выражений , после преобразования

находим:

∫2

1

,2

ϕ

ϕ

ϕθ df ji

.)]()(

))([(2)(

21

2

1

2

1

,2,22

,2,22

,2,2,2,22222

,2,244

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

θθθθ

ϕθθϕ

ijijijijij

ijjijijijijiji

ffmffm

ffffnndmmdffnn

′−′−′−′+

+′−′−−−=− ∫ ∫ (2.5)

Согласно определения

23

⎪⎭

⎪⎬⎫

=+′

=+′

0

0

)(2)(2

)(2)(2

22

11

ϕϕ

ϕϕ

βα

βα

ff

ff. (2.6)

Поскольку условию (2.6) должны удовлетворять все частные решения уравнения (1.1), то

⎪⎭

⎪⎬⎫

=+′

=+′

0

0

)(,2)(,2

)(,2)(,2

11

11

ϕϕ

ϕϕ

βα

βα

jj

ii

ff

ff. (2.7)

Умножая первое уравнение (2.7) на , второе на и вычитая почленно одно из другого, получаем

)(,2 1ϕjf )(,2 1ϕif

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=′−′

=′−′

0)()()()(

0)()()()(

2,22,22,22,2

1,21,21,21,2

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ijji

ijji

ffffнаходимтакжеТочно

ffff (а)

По построению 2f

⎭⎬⎫

=+′

=+′

0)()(

0)()(

11

11

ϕβθϕθα

ϕβθϕθα

ii

jj . (2.8)

Умножая первое уравнение (2.7) на )( 1ϕθ j и первое уравнение (2.8) на )( 1,2 ϕif и преобразовывая уже известным образом, имеем:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=′−′

=′−′

0)()()()(

0)()()()(

2,2222,2

1,2111,2

ϕϕθϕθϕ

ϕϕθϕθϕ

ijji

ijji

ffаналогичнои

ff. (b)

Производя подобные действия со вторыми уравнениями (2.7) и (2.8), легко определить, что

⎭⎬⎫

=′−′

=′−′

0)()()()(

0)()()()(

2,2222,2

1,2111,2

ϕϕθϕθϕ

ϕϕθϕθϕ

jiij

jiij

ff

ff. (c)

Сравнивая полученные результаты (a), (b) и (c) с правой частью (2.5) и

вспоминая, что при убеждаемся в справедливости теоремы. ∫ =≠2

1

0ϕ

ϕ

ϕθθ dji ji

Доказательство соотношения при ∫ =2

1

0ϕ

ϕ

ϕθθ dji ji ≠ было дано впервые

академиком В.А. Стекловым. Следствие

При , ∫ ∫ ∫ ===≠2

1

2

1

2

1

00 *,2

*,2,2,2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕθϕθ dffиdfdfji jiijji

где , ϕϕϕϕ ),(),(),(),(*

),(2 jijijijiji SinndCosnCf +=

),(),( jiji dиC - произвольные постоянные.

Теорема 2

24

Если одно из фундаментальных чисел рассматриваемой задачи о фундаментальных функциях, а соответствующая ему нормированная фундаментальная функция, то для любой непрерывно дифференцируемой функции

in

if ,2

)(ϕψ в интервале ),( 21 ϕϕ всегда можно подобрать такое значение , что im

∫ ==2

1

),(),( 22,2

ϕ

ϕ

ψθϕψθψ iiiii HndnfG ,

где ),( ,2 ψifG и ),( ψθiH - соответствующие билинейные функционалы. Действительно интегрируя функционал ),( ,2 ψifG по частям и принимая во внимание первое уравнение (2.1), получаем

.

)()(),(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2,2

,22

,2,2,22

,2,2

∫

∫∫

−′−=

=+′′+′−=+′′−=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕψθψ

ϕψψϕψψψ

dmf

dfnffdfnffG

iii

iiiiiiii

Поскольку оставалось произвольным, то полагая его равным 2im

2,2

),(

2

1i

i

in

H

f−

′−

ψθ

ψϕ

ϕ ,

получаем тем самым подтверждение теоремы. Если )(ϕψ на границах интервала обращается в нуль, то на при

доказательстве не требуется накладывать указанного выше условия.

2im

Следствие Если фундаментальные функции iθ и отнормировать так, чтобы if ,2

∫ =2

1

1,2

ϕ

ϕ

ϕθ df ii

(для чего достаточно умножить эти функции соответственно на величину

ϕθϕϕ df i

2

1

1 ) то . 2,2 )( ii nfG =

Принимая во внимание следствие теоремы 1, получаем 0),( ,2,2 =ji ffG при ji ≠ .

Теорема 3 Фундаментальные числа ограничены снизу in

В самом деле . ∫ ∫ ′−>+′−=2

1

2

1

2,2

2,2

22,2,2 )()(

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ dfdfnffG iiiii

Т.к. интеграл стоящий в правой части (если произвести его непосредственное вычисление и учесть, забегая несколько вперёд, что и

выражаются как (2.13), а и как видно из (2.14) – суть величины ограниченные и представляют собой некоторую постоянную) есть величина ограниченная, то функционал ограничен снизу. Учитывая, что при

iAC =*7

iCC =**4 iinA iinC

)( ,2 ifG

25

1),( ,2 =ii fH θ , , получаем, что фундаментальные числа также ограничены снизу.

2,2 )( ii nfG = in

Результаты всех приведённых выше доказательств справедливы также в случае граничных условий вида

⎭⎬⎫

==′==′

0)(0)(

22

12

ϕϕϕϕ

ff или .

⎭⎬⎫

====

0)(0)(

22

12

ϕϕϕϕ

ff

В последнем легко убедиться, применяя изложенные выше приёмы. Теорема 4 Произвольная достаточно гладкая в интервале ),( 21 ϕϕ функция )(ϕF

удовлетворяющая граничным условиям 0)()( 21 == ϕϕ FF может быть предоставлена в этом интервале равномерно сходящимся рядом вида

∑ ∑∞

=

∞

=

+++==1 1

,2 )()(i i

iiiiiiiii SinndCosnCSinnBCosnAfF ϕϕϕϕϕϕϕ , (2.9)

где всё возрастающая последовательность фундаментальных чисел in⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<<< innnn 321 , - постоянные, определяемые выражениями iiii dCBA ,,,

2

222

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

))((

))(()

)()(

()()())((

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

+++

−++

+−++=

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

dSinnkCosnSinnLCosn

dSinnkCosnSinnLCosndSinnL

dSinnLCosndSinnkCosn

CosnFdSinnLCosndSinnkCosnFA

iiiiii

iiiiiiii

iiiiii

iiiiiii

i

2

222

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

))((

))(())(

)()(

()()()(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

+++

−++

+−++=

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

dSinnkCosnSinnLCosn

dSinnkCosnFdSinnkCosnSinnL

dSinnLCosndSinnkCosn

CosndSinnkCosndSinnLCosnFC

iiiiii

iiiiiiii

iiiiii

iiiiiii

i

∫

iiiiii CLdAkB == ; где

26

211212212

2122112112 )(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

iiiiiii

iiiiiiiii SinnCosnCosnSinnSinnSinnL

SinnCosnLCosnSinnLCosnCosnk−++−−

−= ,

а является корнем некоторого алгебраического уравнения четвёртой степени. iLВ связи с тем, что каждая из фундаментальных функций содержит

четыре произвольных постоянных (а не две как, например, в случае разложения if ,2

)(ϕF в ряд Фурье), то представляется возможным, как правило, вне зависимости от принятого числа членов в разложении (2.9) точно удовлетворить значениям функции )(ϕF на границах рассматриваемого интервала.

Указанное обстоятельство не всегда может быть выполнено при

разложении )(ϕF в ряд Фурье. С целью упрощения доказательства теоремы в определении приняты

нулевые граничные условия. Однако эта теорема, как и последующая, может быть доказана для ряда более общих граничных условий. При этом рассуждения в доказательствах не будут иметь никаких принципиальных отличий от приведённых выше.

Рассмотрим ряд

[ ]∑Μ

=

+++=1

* )()()(i

iiiiiiii SinnLCosnCSinnkCosnAF ϕϕϕϕϕϕ , (2.10)

в котором , а iii AkB = iii CLd = . Функции, составляющие этот ряд, ограничены и интегрируемы каждая по себе в интервале ),( 21 ϕϕ . Поэтому , а, следовательно, и (здесь предполагается сначала, что

)(* ϕF)()( * ϕϕ FF − )(ϕF -

непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая сформулированным в определении теоремы граничным условиям) можно рассматривать как функции с интегрируемым квадратом. Составим интеграл

ϕϕϕδϕ

ϕ

dFFi2* )]()([

2

1

−= ∫ , (2.11)

характеризующий среднеквадратичную ошибку приближения к )(* ϕF )(ϕF в интервале ),( 21 ϕϕ . Величину iδ можно рассматривать как функцию от коэффициентов и и наилучшее приближение к iA iC )(* ϕF )(ϕF получится тогда, когда эти коэффициенты будут выбираться из условий

0=⋅⋅⋅=∂∂

=⋅⋅⋅=∂∂

i

i

i

i

CAδδ .

Дифференцируем iδ по iA

27

.0))]}(()([)({

0))]}(()([)({

2

1

2

1

1

1

∫ ∑

∫ ∑

Μ

=

Μ

=

=++++−

=++++−

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

iiiiiiiiiiii

i

iiiiiiiiiiii

dSinnLCosnSinnLCosnCSinnkCosnAF

СпозатемИ

dSinnkCosnSinnLCosnCSinnkCosnAF

(2.12)

Принимая во внимание следствие теоремы 1 и решая совместно

полученные уравнения относительно и , находим iA iC

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

+++

−++

+−++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

+++

−++

+−++=

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫∫

2

222

2

2

222

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

))((

))(())(

)()(

()()()(

))((

))(()

)()(

()()())((

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

dSinnkCosnSinnLCosn

dSinnkCosnFdSinnkCosnSinnL

dSinnLCosndSinnkCosn

CosndSinnkCosndSinnLCosnFC

dSinnkCosnSinnLCosn

dSinnkCosnSinnLCosndSinnL

dSinnLCosndSinnkCosn

CosnFdSinnLCosndSinnkCosnFA

iiiiii

iiiiiiii

iiiiii

iiiiiii

i

iiiiii

iiiiiiii

iiiiii

iiiiiii

i

(2.13)

Легко видеть, что найденные значения и не только соответствуют минимуму

iA iC

iδ , но и ограничены при ∞→in . Действительно в точке минимума должно выполняться неравенство

022

2

2

2

2

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂

∗∂∂

ii

i

i

i

i

i

CACAδδδ .

28

Произведя соответствующие дифференцирования и подставляя результаты в это неравенство, после простых преобразований получаем

0))((

)()(

2

222

2

1

2

1

2

1

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

−++

∫

∫ ∫ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

dSinnLCosnSinnkCosn

dSinnLCosndSinnkCosn

iiiiii

iiiiii

при всех не обращающих левую часть неравенства в нуль. inСравнивая полученное выражение с известным неравенством

Буняковского, непосредственно убеждаемся в соответствии (2.13) минимуму iδ , когда и таковы, что неравенство не обращается в тождество. ik iL

Обозначим максимумы функций и ϕϕϕϕ )(,),( 2 FF ϕ соответственно как и . Тогда из (2.13) 321 ,, TTT 4T

2

24

43

222

221

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

))((

))(()(

)()(

)()(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+++−

−++

−++≤

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

dSinnLCosnSinnkCosnT

dSinnLCosnSinnkCosndSinnLCosnTT

dSinnLCosndSinnkCosnT

dSinnLCosndSinnkCosnTTA

iiiiii

iiiiiiiii

iiiiii

iiiiii

i

Предварительно полагая и ограниченными (в этом мы убедимся в дальнейшем) и, взяв интегралы, стоящие в правой части неравенства, получаем

ik iL

( )

( ) [ ]2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

]2)(2)1[(41)1(

41)1(*

}2)(2)1(41)1(

211

*2211)1(2)1(2

211)1(

41

222

11)1(211

2

43

2222

22

21

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−−++−−

+−−⎩⎨⎧

++−+−−

⎩⎨⎧

⎢⎣⎡++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−++

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+++⋅+−

≤

iiiiiii

iii

iiiiiii

iiiiii

ii

iiiiii

i

iiii

iiiii

ii

nCosLknSinLkn

LkL

nCosLknSinLkn

LkCosnLSinnn

TT

nSinn

LnCoskknSinn

kT

nCosLnSinLn

LCosnLSinnn

TT

A

(2.14)

29

Т.к. при правая часть неравенства стремится к нулю, то ∞→in∞→=

iniA 0lim .

Точно также можно установить, что ∞→=

iniC 0lim . Если построить ряд ∑

∞

=1iiA , то,

отбросив члены второго порядка малости, содержащие множитель 21

in, придём

как следует из (2.14), к рассмотрению ряда

∑∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

1i i

i

i

i

nbCosn

naSinn ϕϕ , (2.15)

где и некоторые постоянные, не зависящие от . Принимая для оценки сходимости этого ряда интегральный признак Коши, находим, что несобственный интеграл

a b in

ii

i

i

i dnn

bCosnn

aSinn∫∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

α

ϕϕ -

есть величина конечная ( 0≠α , т.к. 0≠in ). Поэтому ряд (2.15), а, следовательно,

и ряд ∑∞

=1iiA является сходящимся. Отсюда непосредственно вытекает, что ряд

и по аналогии ряд ∑ - абсолютно сходятся. ∑∞

=1iiA

∞

=1iiС

Покажем далее, что система функции вида обладает полнотой и ряд (2.10) сходится к

2f)(ϕF “в среднем”, т.е.

∞→Μ= 0lim iδ , что равносильно

∞→=

ini 0limδ .

Введём обозначения

i

iiiiiiiii

FP

SinnLCosnCSinnkCosnAFF

δϕϕ

ϕϕϕϕϕ

/)()(

];)()([)()(1

ΜΜ

Μ

=Μ

=

+++−= ∑

Поставим задачу о нахождении минимума функционала

∫ ΜΜΜ +′−=2

1

][)( 2)(

22)(

ϕ

ϕϕϕ ϕdPnPPG i

при дополнительном условии

∫ == ΜΜ

2

1

1)( )(

ϕ

ϕϕ ϕθ dPPH i .

На основании теоремы Эйлера можно утверждать, что функции, дающие решение поставленной задачи, должны быть экстремалями функционала [1.3]

∫ ΜΜΜΜΜ ++′−=+2

1

]2[)(2)( )(22

)(22

)(2

ϕ

ϕϕϕϕ ϕθ dPmPnPPHmPG iiii ,

30

для которого уравнение Эйлера iimPnP θϕϕ

2)(

2[)( −=+′′ ΜΜ

в точности совпадает со вторым уравнением (1.6).

Если коэффициенты и выбраны как (2.13), то , где

. Т.к. кроме того, граничные условия задачи о собственных значениях и рассматриваемой вариационной задачи также совпадают, то функция , дающая минимум при условии является фундаментальной. Поэтому, учитывая следствие теоремы 2, а также в силу определения настоящей теоремы в отношении числа . Вычислим

. Переходя к ранее принятым обозначениям,

iA iC ∫ =Μ

2

1

0,2)(

ϕ

ϕϕ ϕdfP i

Μ= ,...,3,2,1i

)(ϕΜP )( ΜPG 1)( =ΜPH

21)(, +ΜΜ ≥ nPGni

)( ΜPG

.)],(),(2)([1])

)(())(([1][)(

2

1

2

1

2

1

1 1

21,2,2,2

1

2,2

1

22,2

2)(

22)(

∑ ∑∑∑

∫ ∫ ∑Μ

=

Μ

=+Μ

Μ

=

Μ

=ΜΜΜ

≥+−=−

−+′−′−=+′−=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕδ

ϕ

ϕϕδ

ϕ

i jjii

iii

iii

ii

nffGfFGFGdf

FnfFdPnPPG

(2.16)

На основании теоремы 2 имеем

∫ ≠==2

1

0),(;)(),( ,2,22

,2

ϕ

ϕ

ϕθϕϕ jiприffGdFnfFG jiiii .

Подставляя эти значения функционалов в (2.16), получаем

∑ ∫Μ

=+Μ≥−+−

1

21,2

2 })])()([)({1 2

1i

iiiii

ndfFFnFG ϕϕθϕθϕδ

ϕ

ϕ

. (2.17)

Принимая во внимание теорему 1, из первого уравнения (2.12) после умножения его на имеем iA

∫ ∫ ==−2

1

2

1

2

1

,2,2 )(,0))((ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθϕθϕϕϕθ dfdFоткудаdfF iiii ∫

Подставляя найденные значения интегралов в (2.17), находим

21

1,2

21

1,2

2)()()(

2

1

+Μ

Μ

=

+Μ

Μ

=∑∑ ∫ −

=

−

≤n

fGFG

n

dfnFGi

ii

iii

i

ϕϕθϕδ

ϕ

ϕ . (2.18)

Учитывая теорему 3, а также то, что при достаточно большом можно подобрать также достаточно большое , допустимо считать с некоторого

iin i

0)(0)( ,2 >> ifGиFG ϕ . Принимая во внимание, что при любом сколь угодно большом наперёд

заданном значении , не зависящем от in )(, ϕFGΜ остаётся конечным, можно считать также числитель правой части (2.18) ограниченным, ибо в противном случае 0<iδ , что невозможно по построению iδ .

31

Т.к. при ∞→∞→Μ Μn , то отсюда следует, что 0→iδ при ∞→Μ . Т.о. ряд (2.10) сходится в среднем к ).(ϕF

Умножая обе части ряда (2.9) раздельно на ϕϕ iiii SinnBCosnA + , а затем на )( ϕϕϕ jjjj SinndCosnC + и интегрируя (по доказанному система рассматриваемых

функций обладает полнотой) их по промежутку ( ), 21 ϕϕ , после преобразований с учётом теоремы 1 и её следствия получаем

;))(

()())((2

1

2

1

2

1

2

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

dSinnkCosnSinnL

CosnCdSinnkCosnAdSinnkCosnF

iiiii

iiiiiiiii

++

+++=+∫ ∫ ∫

.)(

)()())((

2

1

2

1

2

1

22∫

∫ ∫

++

+++=+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

dSinnLCosnC

dSinnkCosnSinnLCosnAdSinnLCosnF

iiii

iiiiiiiiii

Решая эти уравнения совместно относительно и , находим их значения, которые в точности совпадают с (2.13). Полученный результат говорит о том, что если в рассматриваемом ряде отбросить бесконечное число членов, следующих за -ым, то оставшаяся конечная сумма даст приближение

iA iC

n)(ϕF наилучшее из возможных с помощью рассмотренных рядов с таким же

числом членов. Более того коэффициенты (2.13), найденные для, Μ=i , остаются неизменными при увеличении числа членов ряда (2.9).

Чтобы освободиться от ранее принятого ограничения неопределённой дифференцируемости функции )(ϕF , достаточно вспомнить, что для всякой достаточно гладкой функции )(ϕF , существует непрерывно дифференцируемая функция )(ϕf , удовлетворяющая нулевым граничным условиям и такая, что

∫ <−2

1

2)]()([ϕ

ϕ

εϕϕϕ dfF ,

где ε - любое заданное положительное число. Покажем далее, что ряд (2.9) сходится к )(ϕF равномерно. При этом

достаточно показать, что ряд (2.9) вообще равномерно сходится. Действительно, так как этот ряд сходится “в среднем” к )(ϕF , то, сходясь равномерно, он не может иметь своим пределом никакую другую функцию.

Как было показано ранее, ряды и , а, следовательно, и ряд

являются абсолютно сходящимися. Согласно ранее сделанному

предположению и - величины суть ограниченные, поэтому функции

∑∞

=1iiA ∑

∞

=1iiC

)(1

ii

i CA +∑∞

=

ik iL)( ϕϕ iii SinnkCosn + и )( ϕϕϕ iii SinnLCosn + в области G также ограничены. Обозначим

их максимальные значения в этой области соответственно через и 1Μ 2Μ и составим новый ряд

32

)(1

21∑∞

=

Μ+Μi

ii CA . (2.19)

Ряд (2.19) по признаку Абеля [4] является сходящимся. Сравнивая члены ряда (2.9) с соответствующими членами мажорантного ряда (2.19) имеем

ϕϕ iiiii SinnkCosnAA +≥Μ (1 ; ϕϕϕ iiiii SinnLCosnCC +≥Μ (2 .

Т. о., в соответствии с теоремой Вейерштрасса [4] ряд (2.9) сходится в рассматриваемом интервале абсолютно и равномерно.

Осталось показать, что коэффициенты и действительно ограничены. Для их определения воспользуемся граничными условиями нашей задачи.

ik iL

Подставляя в них (2.9) для каждого значка будем иметь: i

⎭⎬⎫

=+++=+++

0)()(0)()(

22222

11111

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

iiiiiiii

iiiiiiii

SinnLCosnCSinnkCosnASinnLCosnCSinnkCosnA

.

Для того, чтобы эта система имела решение отличное от нулевого необходимо и достаточно, чтобы её определитель равнялся нулю, т.е.

0)(;

)(;

22222

11111 =++++

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

iiiiii

iiiiii

SinnkCosnSinnkCosnSinnLCosnSinnkCosn

.

Раскрывая определитель после преобразований получаем:

211212212

2122112112 )(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

iiiiiii

iiiiiiiii SinnCosnCosnSinnSinnSinnL

SinnCosnLCosnSinnLCosnCosnk−++−−

= .

С другой стороны, подставляя значения и из (2.13) и из последнего выражения, например, в первое уравнение системы, приходим к алгебраическому уравнению четвёртой степени относительно , из которого этот коэффициент и определяется.

iA iC ik

iL

Т.к. все коэффициенты названного уравнения четвертой степени относительно (последнее не приводится из-за громоздкости) имеют iLконечную величину при всех , а знаменатель выражения для не обращается in ikв нуль ни при каком значении , то при неограниченном возрастании in inкоэффициенты и должны оставаться ограниченными. Оставшиеся ik iLнеизвестными коэффициенты ряда (2.9) определяются как iiiiii CLdAkB == ; . Следует отметить, что коэффициенты и могут быть определены также как iB id

и нeпосредственно из условий iCiA

0=⋅⋅⋅=∂∂

=⋅⋅⋅=∂∂

i

i

i

i

dBδδ ,

а не из граничных условий, как это было сделано выше. В этом случае, однако, значение разложения (2.9) и значение функции )(ϕF на границах, вообще говоря, могут точно и не совпадать. По-видимому, этот фактор особенно будет важен, при рассмотрении вопросов устойчивости решений, представленных асимптотическими выражениями. Т.о. теорема доказана.

33

Следствие: Для определенного разложения функции )(ϕF в ряд (2.9) необходимо и достаточно, чтобы на границах интервала были заданы её значения. Если не mpeбовamь от (2.9) точного удовлетворения граничным условиям )(ϕF L, то k и остаются произвольными. При наличии определенных i i

свойств у функции )(ϕF последняя (по аналогии с рядами Фурье) может быть разложена в ряд либо только по синусам, либо только по косинусам.

§ 3 Обоснование нового метода разделения переменных Рассмотрим уравнение (1.1). Будем искать дважды непрерывно

дифференцнируемое в области решение этого уравнения, удовлетворяющее Gграничным условиям

⎪⎭

⎪⎬⎫

=Φ=Φ

=Φ=Φ

==

==

0;0

)();(

21

21 21

ϕϕϕϕ

ζζ ϕϕ FF RR . (3.1)

Здесь )(1 ϕF и )(2 ϕF ; некоторые произвольные, имеющие непрерывные вторые производные функции, обращающиеся в нуль на своих границах.

Новый метод, разделения переменных приводит к рассмотрению ряда

(1.10), где функции являются фундаментальными функциями уравнения iΦ

(1.1). Теорема 5 Функция ),( ϕrΦ , определяется рядом (1.10), имеет непрерывные

производные второго порядка и удовлетворяет в уравнению (1.1) и Gграничным условиям (3.1). При этом ряд (1.10) в сходится абсолютно и Gравномерно.

Преобразуем (1.10) к виду

)}()

(]ln)()(ln)()(

][ln)(){[(

,8

,7,6

,5,8,7,6,5,3,2,1

,8,6,5,4,2,1

,,6,5,3,21

,1

ϕϕϕ

ϕ

ϕ

ii

ii

ni

niii

in

in

iin

in

i

in

in

iin

in

i

iirn

in

iin

ii

ni

SinnCC

CosnrC

rCCSinnrCrCrCCrCrCrCrCrCCrCrC

CosnrCrCrCCrCrC

i

i

iiii

iiii

iiii

−+

+−++++

++++

++++=Φ

−

−−

−−

−−∞

=∑

(3.2)

и подставим его в первое граничное условие (3.1). С учётом следствия теоремы 4 предыдущего параграфа получаем при 1Rr =

34

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−

=++++++

=−

=++++++

=+−

=+++

−−

−−

−−

−−

−−

*

.8

,7

*

,722,62,5,32,22,1

,822,62,5,42,22,1

.8

,7

,711,61,5,31,21,1

,811,61,5,41,21,1

1,61,5,8

,711,61,5,31,21,1

ln)()(ln)()(

ln)()(ln)()(

)(

ln)()(

ii

i

ii

ni

nii

ni

ni

in

in

iin

in

i

ii

i

ii

ni

nii

ni

ni

in

in

iin

in

i

in

in

ii

iin

in

iin

in

i

LCC

kCRRCRCCRCRCCRRCRCCRCRC

LCC

kCRRCRCCRCRCCRRCRCCRCRC

CRCRCC

ACRRCRCCRCRC

iiii

iiii

iiii

iiii

ii

iiii

. (3.3)

Здесь и соответственно коэффициенты рядов разложения функций

*,, iii ACA *iC

)(1 ϕF и )(2 ϕF , определяемые по формулам (2.13), в которых остаются пока произвольными. **,, iiii LkиLk

Преобразуя далее (1.10) к виду

⎪⎭

⎪⎬⎫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

+−+++

+−−+=Φ

−

−

∞

=∑

ii

i

n

i

iniiiii

niiiiiiiiii

niiiii

iiiiii

rCC

rrSinnCCosnCC

rCSinnCCosnCCSinnCCosnC

rCSinnCCosnCCSinnCCosnC

,5

,6,8,7,5

,6,7,8,2,4,3

,5,7,81

,1,4,3

ln)(

])()[(

])(){[( 1

ϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

(3.4)

и подставляя его во второе граничное условие (3.1) при 1ϕϕ =

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−++

=+

=−−+=

=+++

=+

=−−+

0)()(0)(

0)()(

0)()(0)(

0)()(

,622,72,8,22,42,3

2,82,7,5

,522,72,8,12,42,3

2

,611,71,8,21,41,3

1,81,7,5

,511,71,8,11,41,3

iiiiiiiiii

iiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiii

iiiiiiiiii

CSinnCCosnCCSinnCCosnCSinnCCosnCC

CSinnCCosnCCSinnCCosnCпри

CSinnCCosnCCSinnCCosnCSinnCCosnCC

CSinnCCosnCCSinnCCosnC

ϕϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕ

. (3.5)

Т.о. имеем четырнадцать уравнений (3.3) и (3.5) для определения коэффициентов , параметра , а также величин . Полученное несоответствие между числом неизвестных и числом уравнений, из которых они могут быть определены, как будет видно в дальнейшем, только кажущееся. На самом деле независимых уравнений ровно столько, сколько необходимо для однозначности решения (1.10).

ii CC ,8,1 ÷ in **,,, iiii LkLk

Предположим предварительно, что ни один из коэффициентов ii CС ,8,1 ÷ не равен нулю.

Из четвёртого и восьмого соотношений (3.3) следует

35

*ii LL = . (3.6)

Далее второе и шестое соотношения (3.3) дают

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−−

=

−−

=

−−

=

−−

−−

−

−−

−−

ii

ii

iiii

ii

iiii

ii

ni

ni

ni

ni

i

i

nnnni

ni

ni

i

nnnni

ni

ni

i

RCRCRCRC

CC

RRRRCRCRCC

RRRRCRCRCC

1*

2

1*

2

,6

,5

1221,8

1*

2,6

1221,8

1*

2,5

)(

(

, (3.7)

а второе соотношения (3.5) и пятое (3.5)

21,8

,7 ϕϕ iii

i tgntgnCС

−=−= (3.8)

и 0)( 12 =−ϕϕiSinn , (3.9)

откуда

12 ϕϕπρ−

=in , где ,...3,2,1=ρ

Решая совместно первое и третье соотношения (3.5), находим

i

i

i

i

CC

CC

,6

,5

,2

,1 −= , а )(

)(

1,41,32

,8121

,5

,1

ϕϕϕϕϕϕ

iiiii

ii

i

i

CosnCCosnCCosnCCosn

CC

+−

= ;

Точно также из четвёртого и шестого соотношения (3.5)

)()(

2,42,31

,8122

,5

,1

ϕϕϕϕϕϕ

iiiii

ii

i

i

CosnCCosnCCosnCCosn

CC

+−

= ;

Приравнивая правые части двух последних выражений, после преобразований имеем

i

iii

i

i

CС

tgntgnCС

,8

,721

,4

,3 =−=−= ϕϕ (3.10)

Решаем далее первое и третье уравнения (3.3). Используя (3.7) и (3.10), после преобразований имеем

ii L

k 1= (3.11)

и

)(

]2)()[(ln)(

1221

1221

*12211

*2

11*

2

,3,1 iiii

iiii

iiiiiiii

nnnni

nnnni

nnnni

ni

ni

in

in

ii

ii RRRRCRRRR

CRRRRCRCRCRLRCRCACC −−

−−

−−−−−

−−

−+−−−

=

Наконец, решая совместно пятое и седьмое соотношения (3.3), после подстановки в них (3.7) и (3.10) и простых преобразований, находим

** 1

ii L

k = (3.12)

и

36

)(

)](2)[(ln)(

1221*

1221

1212*

1*

22

*1

*2

*

,3,1 iiii

iiii

iiiiiiii

nnnni

nnnn

nnnnii

ni

ni

in

in

ii

ii RRRRCRRRR

RRRRCCRCRCRLRCRCACC −−

−−

−−−−−−

−−

+−−−−

= .

Приравнивая правые части найденных выражений для с учётом (3.6), (3.11) и (3.12), получаем алгебраическое уравнение пятой степени относительно . В неразвёрнутом виде оно запишется как

iiCC ,3,1

iL

0]}2)([ln

)](2[{ln))((*

1221*

1

1212*

21221**

=−+−

−+−+−−−−

−−−−

innnn

ii

nnnniiii

nnnniiii

CRRRRCCR

RRRRCCCRLRRRRCACAiiii

iiiiiiii

(3.13)

которое всегда имеет, по крайней мере, один действительный корень . iLПодставляя все найденные значения коэффициентов, например, в (3.4),

легко видеть, что получившееся выражение не только удовлетворяет уравнению (1.1), но и граничным условиям (3.1). Учитывая, что гармоническая в целом функция (3.4) не может принимать больших (меньших) значений, чем на границе рассматриваемой области, (т.е. она ограничена) можно сделать вывод, что ряд (3.4) сходится в равномерно. G

Рассмотренная на примере интегрирования уравнения Лапласа в полярных координатах общая схема нового метода разделения переменных, может быть распространена на случай многих переменных, а также на уравнения более высокого порядка. Кроме того этот метод применим для большого числа уравнений гиперболического и параболического типов, что, по-видимому, позволит дать точное решение ряда новых задач.

Выводы Новый метод разделения переменных при интегрировании линейных

дифференциальных уравнений в частных производных позволяет: 1. Получить новые виды интегралов этих уравнений, с помощью которых,

по-видимому, можно будет найти решения более широкого круга задач математической физики.

2. Показать, что существовавшее мнение о числе независимых посто-янных в частных интегралах уравнений, равном произведению порядка урав-нения на количество независимых переменных, является не точным. На самом деле их должно быть удвоенное количество.

3. Показать, что метод Фурье разделения переменных является частным случаем более общего, нового метода и что последний применим, по крайней мере, везде, где может быть применен метод Фурье.

4. Получить ряды нового вида, состоящие из гармоничных и квази-гармоничных функций и отличающиеся от всех существующих видов рядов тем, что ими может быть представлена всякая произвольная достаточно гладкая функция одной или нескольких независимых переменных, отвечающая

37

условиям Дирихле. При этом ряды точно удовлетворяют достаточно общим граничным условиям этих функций вне зависимости от числа взятых при разложении членов ряда. Новые ряды позволяют построить аналитическое продолжение функции за пределами области её исследования, в то время как, например, ряды Фурье при таком продолжении дают лишь её периодическое повторение.

5. С помощью рядов, содержащих гармонические и псевдогармо-нические члены, получить новыe результаты по исследованию устойчивости асимптотических представлений интегралов линейных дифференциальных уравнений, поскольку погрешность указанного асимптотического предс-тавления функции на границах интервала отсутствует.

Список литературы 1. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.:

ГИТТЛ, 1953. 2. Абель В.В. Об интегрировании гармонического и бигармонического

уpaвнeний в криволинейных координатах.//Инженерный журнал. Т.3, вып. 1, 1963.

3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - М.: ГИТТЛ, 1957. 4. Фихтенгольц Г.И. Курс дифференциального и интегрального исчис-

ления. - М.: ГИТТЛ 1948. 5. Лауфер М.Я. Обобщённый метод разделения переменных в приложе-

нии к одномерной краевой задаче для волнового уравнения. ДР-3388.//Сборник рефератов ДР – М.: ВИМИ, вып. 11, 1991.

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ПРИЛОЖЕНИИ К ОДНОМЕРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ

ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В работе предлагается обобщение метода Фурье разделения переменных

для решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных от независимых переменных. n

Суть этого обобщения заключается в том, что решение уравнения находится как сумма произвольного числа произведений неизвестных функций, каждая из которых зависит от одной переменной. При этом, в отличие от метода Фурье, на слагаемые не налагается условие, чтобы они по отдельности удовлетворяли рассматриваемому уравнению или определенности одной из функций в каждом слагаемом.

n

С помощью обобщенного метода может быть построено бесчисленное множество полных систем ортогональных функций (в частности и система, получаемая методом Фурье), с применением которых могут решаться краевые задачи.

38

В качестве примера решена одномерная краевая задача для волнового уравнения. Получено решение, отличающееся от существующих. Из него следует, что имеют место электромагнитные волны, у которых при движении в вакууме амлитудно-частотные характеристики изменяются во времени и пространстве.

1. Описание нового метода разделений переменных Для решения задач математической физики во многих случаях применим

метод Фурье разделения переменных. Он заключается в том, что решение дифференциального уравнения в частных производных (или в дальнейшем для краткости - просто уравнения) от независимых переменных находится в виде nпроизведения п функций, зависящих только от одной из переменных, или суммы некоторого числа этих произведений. В последнем случае на слагаемые налагается условие, чтобы каждое из них удовлетворяло рассматриваемому уравнению.

Не останавливаясь на подробном рассмотрении метода Фурье, ввиду его известности, отметим следующее.

Существует возможность обобщения этого метода, которое заключается в том, что на решение уравнения от п независимых переменных, которое находится как произвольное число слагаемых, являющихся, в свою очередь, произведением n неизвестных функций, зависящих только от одной переменной, как и в [1], не налагается условие, чтобы по отдельности эти слагаемые являлись решениями рассматриваемого уравнения, но в отличие от [1] не налагается и условие определенности одной из функций в каждом слагаемом, зависящей от какой-либо одной переменной. Предлагаемый метод, так же как и метод Фурье, даёт возможность разделить переменные в уравнении. Найденные при этом интегралы, ввиду отброшенных ограничений, являются более общими, чем интегралы, полученные методом Фурье и содержат последние в качестве некоторого частного случая.

В качестве примера решим уравнение

22

2

21

2

xE

xE

∂∂

=∂∂ , (1.1)

где Exxctx ;; 21 == - напряженность электрического поля; - скорость cсвета в вакууме; t - время; x - расстояние.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда частное решение находится в виде суммы только двух слагаемых, т.е.

)()()()( 22,211,222,111,1 xxxxE ΧΧ+ΧΧ= . (1.2) На слагаемые (1.2) не налагается условие, чтобы каждое из них

удовлетворяло уравнению (1.1) (как это имеет место по методу Фурье). )(),(),( 11,222,111,1 xxx ΧΧΧ и )( 22,2 xΧ , обозначаемые в дальнейшем, как

1,22,11,1 ,, ΧΧΧ , и функции, зависящие соответственно от одной переменной 2,2Χ или . 2x1x

39

Здесь и в дальнейшем первая цифра индексации обозначает Χпорядковый, номер функции. Вторая цифра указывает переменную, от котоpoй зависит эта функция. Подставляя (1.2) в (1.1), после простых преобразований имеем:

2,1

2,2

2,2

2,2

1,2

1,2

1,2

1,1

2,1

2,1

1,1

1,1 **ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΧΧ ′′

+ΧΧ ′′

−=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

. (1,3)

Полагаем 22

1,2

1,221

2,1

2,1 , nn −=ΧΧ ′′

−=ΧΧ ′′

, (1.4)

где и - некоторые постоянные. Если положить 1n 2n

21,2

1,21

2,1

2,1 , ϕϕ =ΧΧ ′′

=ΧΧ ′′

,

где 1ϕ и 2ϕ - произвольные функции, зависящие, соответственно, от и , то 1x 2xрешение уравнения (1.1) сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения второго порядка в общем виде, которое пока не может быть выполнено [2]. Исследование решений применительно к частным видам функций. 1ϕ и 2ϕ , для которых упомянутые уравнения могут быть проинтегрированы в конечном виде, или к комбинации этих функций и постоянных, не входит в программу данной статьи. Знак "-" у постоянных nпринят в связи с тем, что при противоположном знаке не удовлетворяются краевые условия ниже рассмотренной физической задачи.

Левая часть равенства (1.3) при условии (1.4) зависит только от и не 1xзависит от , а правая - наоборот. Следовательно, каждая из них не зависит ни 2xот ни от , т.е. они постоянны. Обозначим эту постоянную через . Тогда 1x 2x m

mnmn =ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

2,1

2,222

2,2

2,2

1,2

1,121

1,1

1,1 *,* . (1.5)

Таким образом переменные разделились. После подстановки результатов, интегрирования (1.4) и (1.5) в (1.2) и возвращения к переменным t и x , получаем решение уравнения (1.1) в виде:

),()()()(

))([(

,3,4,4,3

,4,3,3,4

1,2,1,2,1

xSinnbxCosnbxctSinnactCosnaxSinnbxCosnbctctSinnactCosna

xSinnbxCosnbctSinnactCosnaE

iiiiiiii

iiiiiiii

iiiiiiiii

−++

++−+

+++=∑∞

=

(1.6)

где - постоянные интегрирования. При iiiii nbbaa ;; ,4,1,4,1 ÷÷интегрировании. (1.4) и (1.5) было принято innn == 21 . Указанное условие для постоянных , в подобных же случаях будет соблюдаться и в дальнейшем. nЕсли его не соблюдать то решение уравнения (1.1) будет содержать двойной ряд независимых частотных гармоник по и . Поскольку рассмотрение 1n 2n

40

этого варианта не представляется интересным, он в дальнейшем не детализируется.

Рассмотрим далее случай, когда частное решение уравнение (1.1) находится по предлагаемому методу в виде суммы, например, пяти слагаемых, т.е.

2,51,52,41,42,31,32,21,22,11,1 ΧΧ+ΧΧ+ΧΧ+ΧΧ+ΧΧ=E . (1.7) Подставляя (1.7) в (1.1), после преобразований получаем

.02,1

2,5

2,5

2,5

1,5

1,5

2,11,5

2,41,4

2,4

2,4

1,4

1,4

2,11,5

2,31,3

2,3

2,3

1,3

1,3

2,11,5

2,21,2

2,2

2,2

1,2

1,2

1,5

1,1

2,1

2,1

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

+

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

Полагаем

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=ΧΧ ′′

−=ΧΧ ′′

2

1,5

1,5

2

2,1

2,1

n

n. (1.8)

Прибавим и отнимем во втором, третьем и четвёртом выражениях, стоящих в скобках, по . Тогда с учётом (1.8) имеем: 2n

.0*

*

2,1

2,52

2,5

2,5

2,11,5

2,41,42

2,4

2,42

1,4

1,4

2,11,5

2,31,3

2

2,3

2,32

1,3

1,3

2,11,5

2,21,22

2,2

2,22

1,2

1,2

1,5

1,12

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ ′′

−+ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ ′′

−+ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ ′′

−+ΧΧ ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

nnn

nnnnn

Полагая

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

mn

mn

2,1

2,42

2,4

2,4

1,5

1,22

1,2

1,2

. (1.9)

m - произвольная постоянная, приходим к выражению

.0*

*

2,1

2,52

2,5

2,5

2,11,5

2,41,42

1,4

1,4

1,5

1,4

2,11,5

2,31,3

2

2,3

2,32

1,3

1,3

2,11,5

2,21,22

2,2

2,2

2,1

2,2

1,5

1,12

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧ

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ ′′

−+ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

nnm

nnnmn

Здесь и далее для упрощения записи принято, что , где jm ,...3,2,1=j , равно . Это условие не вносит каких либо ограничений в область дальнейших рассуждений.

m

41

Прибавим и отнимем в левой части последнего равенства

2,11,5

2,31,2

ΧΧΧΧ

m и 2,11,5

2,41,3

ΧΧΧΧ

m

и примем

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

=ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

mmn

mmn

2,1

2,4

2,1

2,32

2,3

2,3

1,5

1,2

1,5

1,32

1,3

1,3

. (1.10)

С учётом (1.10) получаем

.02,1

2,52

2,5

2,5

2,11,5

2,41,42

1,4

1,4

1,5

1,4

2,11,5

2,41,3

1,5

1,3

2,11,5

2,31,2

2,1

2,3

2,11,5

2,21,22

2,2

2,2

2,1

2,2

1,5

1,12

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧ

+ΧΧΧΧ

+ΧΧ

+

+ΧΧΧΧ

−ΧΧ

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

nnmmm

mmnmn

Прибавим и отнимем в левой части этого равенства 2,11,5

2,41,2

ΧΧΧΧ

m и положим

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

=ΧΧ

+ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

mmmn

mmmn

1,5

1,2

1,5

1,3

1,5

1,42

1,4

1,4

2,1

2,4

2,1

2,3

2,1

2,22

2,2

2,2

. (1.11)

После чего имеем

.2,1

2,2

2,1

2,3

2,1

2,4

2,1

2,52

2,5

2,5

1,5

1,4

1,5

1,3

1,5

1,2

1,5

1,12

1,1

1,1

ΧΧ

−ΧΧ

−

−ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

=ΧΧ

+ΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

mm

mnmmmn

Левая часть этого равенства не зависит от , а правая – от , следовательно,

2x 1x

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

=ΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

mmmmn

mmmmn

2,1

2,2

2,1

2,3

2,1

2,4

2,1

2,52

2,5

2,5

1,5

1,4

1,5

1,3

1,5

1,2

1,5

1,12

1,1

1,1

. (1.12)

42

Таким образом переменные разделены, а уравнения (1.8 1.12) могут быть проинтегрированы. После подстановки результатов интегрирования (1.8

÷÷1.12)

в (1.7) и преобразований получаем:

++++

++++

++++

++++

++++

+++=

)()(

)()()()(

)()()()(

))((

2,122,11221,121,11

2,102,9211,101,9

2,82,7211,81,7

2,62,521,61,5

2,42,311,41,3

2,22,11,21,1

SinnxbCosnxbxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbxxSinnxaCosnxaSinnxbCosnxbxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbxSinnxaCosnxaSinnxbCosnxbxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbSinnxaCosnxaE

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

2,302,29421,301,29

2,282,273211,281,27

2,262,2522

211,261,25

2,242,232311,241,23

2,222,21411,221,21

2,202,19321,201,19

2,182,172211,181,17

2,162,152211,161,15

2,142,13311,141,13

SinnxbCosnxbxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbxxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbxxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbxxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbxxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbxxSinnxaCosnxa

SinnxbCosnxbxSinnxaCosnxa

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

+++

++++

++++

++++

++++

++++

++++

++++

++++

Где и - постоянные интеграции, удовлетворяющие соотношениям:

nn aa ,30,1 ÷ nn bb ,30,1 ÷

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+−=+

+=+−

+=+

+=+−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+−=+

+−=+−

+=+

+=+−

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

babnababnababnababna

babnababnababnababna

babnababnababnababna

babnababnababnababna

,18,17,9,9,14,13,8,8

,18,18,9,10,14,14,8,7

,17,17,10,9,13,13,7,8

,17,18,10,10,13,14,7,7

,12,11,5,5,8,7,4,4

,12,12,5,6,8,8,4,3

,11,11,6,5,7,7,3,4

,11,12,6,6,7,8,3,3

3232

3232

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+−=+

+−=+−

+=+

+=+−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+−=+

+−=+−

+=+

+=+−

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

babnababnababnababna

babnababnababnababna

babnababnababnababna

babnababnababnababna

,26,25,15,15,22,21,14,14

,26,26,15,16,22,22,14,13

,25,25,16,15,21,21,13,14

,25,26,16,16,21,22,13,13

,20,19,11,11,16,15,10,10

,20,20,11,12,16,16,10,9

,19,19,12,11,15,15,9,10

,19,20,12,12,15,16,9,9

)2(32(3

)2(3)2(3

3232

3232

43

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+−=+

+−=+−

+=+

+=+−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+−=+

+−=+−

+=+

+=+−

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

babnababnababnababna

babnababnababnababna

babnababnababnababna

babnababnababnababna

,28,27,17,17,24,23,16,16

,28,28,17,18,24,24,16,15

,27,27,18,17,23,23,15,16

,27,28,18,18,23,24,15,15

,30,29,19,19,26,25,18,18

,30,30,19,20,26,26,18,17

,29,29,20,19,25,25,17,18

,29,30,20,20,25,26,17,17

32323232

32323232

)2(3)2(3

)2(3)2(3

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=−

=

=

=−

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

babababababa

baba

,23,23,22,22

,23,24,22,21

,24,23,21,22

,24,24,21,21

444

4

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=−

=

=

=−

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

babababababa

baba

,29,29,28,28

,29,30,28,27

,30,29,27,28

,30,30,27,27

444

4

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=−

=

=

=−

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

babababababa

baba

,25,25,24,24

,25,26,24,23

,26,25,23,24

,26,26,23,23

232323

23

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=−

=

=

=−

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

babababababa

baba

,27,27,26,26

,27,28,26,25

,28,27,25,26

,28,28,25,25

323232

32

Если частное решение находится в виде Μ слагаемых, то, применяя метод математической индукции, можно показать, что решение уравнения (1.1) может быть представлено как:

,1

02

11

12

01

221

1212

21

02

11

∑−Μ

=

−−Μ

−Μ−Μ−−Μ−Μ−Μ

ΧΧ=

=ΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧ+ΧΧ=

k

kk

kkE (1.13)

где

.

,

21222222

252

22

24221

23221

2221

2

11212

11

1311

12111111

SinnxaCosnxaSinnxxa

CosnxxaSinnxxaCosnxxa

SinnxaCosnxaSinnxxaCosnxxaSinnxxaCosnxax

kk

kk

kk

kk

kkk

kkkkk

−Μ−Μ−−Μ

+

−−Μ+

−−Μ+

−−Μ+

−−Μ

+

−−

++⋅⋅⋅++

+++=Χ

+++⋅⋅⋅++++=Χ

44

В частном случае, при 0, =ija для и 1>i 01,21,1 == aa , (1.6) вырождается

в ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++−−= )(

2)(

2βα wtkxSinctxwtkxSinctxaE , (1.14)

где ϕψβπϕψα +=+−=== ;;cwnk i ; wka ,,,,,, ψϕβα -

произвольные константы. Выражения (1.6), (1.13) и (1.14) удовлетворяют волновому уравнению

(1.1). Они отличаются от привычного решения, найденного по методу Фурье тем, что их амплитудные коэффициенты зависят от координаты и времени. В форме (1.6) и (1.14) зависимость линейная. В формуле (1.13) амплитуда есть произвольная степень расстояния и времени.

Выражения (1.6) ,(1.13) и (1.14) физически представляют собой волны, движущиеся как в сторону возрастания, так и убывания оси х. Для неподвижного наблюдателя их амплитуды изменяются в пространстве и времени. Для наблюдателя, движущегося с одной из волн, эта волна имеет неизменную во времени амплитуду, убывающую или возрастающую по линейному (квадратичному, кубическому и т.д.) закону по мере удаления от наблюдателя перпендикулярно гребням волн. Такие плоские волны могут излучать, например, два бесконечных плоских поршня, посылающих волны навстречу друг другу, колеблющихся с изменяющейся амплитудой (по линейному, квадратичному, кубическому и т.д. закону во времени). Если амплитуда колебания поршней постоянна во времени, генерируемые волны имеют привычный вид.

2. О свойствах систем функций, полученных новым методом разде-ления переменных

Рассмотрим некоторые свойства функций, составляющих (1.6), необходимые в дальнейшем для представления отдельных зависимостей в виде ряда, разложенного по этим функциям.

Введем обозначение

xxSinndxxCosncxSinnbxCosnaf iiiiiiiii +++=,1 и

xSinnbxCosna iiiii ′+′=,1θ iiiiii badcba ′′,,,,, - постоянные. Используя известные методы доказательства, изложенные, например, в

[3], можно показать, что здесь имеют место ранее приведенные теоремы 1, 2, 3, 4.

Эти теоремы и следствия справедливы также для функций ctctSinndctctCosncctSinnbctCosnaf iiiiiiiii ′+′+′′+′′=,2

и ctSinnbctCosna iiiii ′′′+′′′=,2θ , iiiiii badcba ′′′′′′′′′′′′ ,,,,, - постоянные. Упомянутыми методами можно доказать также аналогичные теоремы и

для нелинейных составляющих решения вида (1.13).

45

3. Постановка и решение краевой задачи Движение электромагнитной волны, генерируемой неподвижным

относительно наблюдателя монохроматическим источником, в вакууме при отсутствии гравитационного поля описывается, как известно, уравнениями Максвелла. Эти уравнения, если для упрощения рассмотреть плоскую задачу и считать, что магнитная и диэлектрическая проницаемости равны 1, а удельная проводимость равна 0, сводятся к двум волновым уравнениям вида (1.1) для электрической и магнитной составляющих излучения. Вследствие идентичности формы этих уравнений, в дальнейшем будет рассматриваться только уравнение по электрической составляющей.

Поместим начало координат в точку, где расположен источник монохроматического электромагнитного излучения.

Будем искать решение уравнения (1.1), удовлетворяющее следующим условиям:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

−

−

=

=

==

==

=

=

0

0

0

0

00

000

0

..,

,

,)

,)

0)

xxx

xxx

x

t

PPили

ЭЭетволнжения

двипутиповапространстточкелюбойвпостоянносечениеусловноечерезвремениединицувволнаминитнымиэлектромагйпереносимоэнергииЗначениев

источникаизлучениячастотаиамплитудаенносоответствиE

ctSinEEб

Eа

ν

ν

(3.1)

π4

20

0

cEPx

==

и π4

2

0

cEPxx=

= - векторы Умова-Пойтинга, соответственно в

точках 0=x и . 0xx =Постановка такой задачи корректна, поскольку подстановка новой

переменной 1

)(−−

=btcy (где - некоторая постоянная) в уравнении (1.1) и

условия (3.1) сводят эту задачу к задаче Дирихле для прямоугольника (в комплексной области), корректность которой, как известно, доказана.

b

В связи с тем, что решение поставленной задачи с помощью метода Даламбера не приводит к определённому результату, с помощью метода Фурье даёт тривиальное решение, а вычислительные операции с помощью ЭВМ более

46

удобны в области действительных чисел, применим вышеизложенный метод разделения переменных.

Ограничиваясь формой решения (1.2) в виде суммы двух слагаемых, имеем:

)],()(

)()()

)([(

,3,4,4,3

,4,3,3,4,2

,1,2,1000

xSinnbxCosnbxctSinnactCosna

xSinnbxCosnbctctSinnactCosnaxSinnb

xCosnbctSinnactCosnaxctCosSinEE

inininin

ininininin

iininin

iiii

iiiii

iii

−++

++−++

+++= ∑νν

(3.2)

где , , - постоянные интегрирования. ii nn aa ,4,1 ÷

ii nn bb ,4,1 ÷ inПодставляя решение (3.2) в условия (3.1,а), получаем:

0])()([ ,3,4,3,2,1,1 =−++∑ xxSinnbxCosnbaxSinnbxCosnba ininni

ininn iiiiii,

откуда . 0,3,1 ==ii nn aa

Далее из условия (3.1б) находим: ctSinEctctCosnbactSinnbactSinE inn

iinn iiii 00,3,4,1,200 )( νν =++∑

и, следовательно, 0,3,1 ==ii nn bb .

Таким образом, решение (3.2), удовлетворяющее условиям (3.1,а) и (3.1,б) принимает вид:

])(*

*)[(

,4,4

,4,4,2,2000

ctctCosnxSinnbactSinn

xxCosnbaxSinnbaxctCosSinEE

iinni

ini

ninn

ii

iiii

+

++= ∑νν

Подставим это решение в условие (3.1,в). Введём обозначение: BxCosE =± )1( 000 νm ,

*0.4,4

*00.4,40.2,2

iii

iiiii

ninn

ninninn

AxSinnba

CxCosnxbaxSinnba

=

=+

После простых преобразований имеем: ∑ +=

iinin ctSinnCctctCosnActBSin

ii)( **

0ν .

Рассмотрим интервал времени );0(0c

tνπ ; левая часть последнего равенства

на концах этого интервала обращается в 0. Таким образом, должно быть справедливым соотношение

00

*

00

* =+νπ

νπ

νπ

inin SinnCCosnAii

, (3.3)

где коэффициенты и , согласно теореме 4 после интегрирования и простых преобразований, определяются как:

*inA *

inC

47

2

000

0000

0

0

0

0

00

032

0

2

0023

0

3

00

0

02

0

0

0

02

0

020

*

2221

41

2221

81

1

1

1

12

21*

241

22

232

21

41

*1

1

1

1

1

1

1

1

41

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νν

νπ

ν

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

ν

νππ

ν

νπ

ν

νππ

ν

νπ

ν

ii

ii

ii

iii

i

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

n

nCosnSinnn

nCosnSinnnn

nSin

n

nSinnSin

n

nSinnn

nCosn

nSinn

n

nCos

n

nSin

n

nCos

n

nSin

BAi

2

000032

0

2

00020

0

02

0

0

0

02

0

0

0023

0

3

00

03

0

2

0023

0

3

0

0

0

0

0

*

2221

412

41

2

2221

81

1

1

1

1

1

1

1

1

223

241

41

241

22

2341

1

1

1

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎥

⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

++⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νν

νππ

ν

νπ

ν

νππ

ν

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νν

νπ

ν

νπ

ii

ii

i

ii

ii

iii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

ii

i

i

i

n

nCosnSinnn

nSinnn

nCosnSinnnn

nCos

n

nSin

n

nCos

n

nSin

nCosn

nSinn

nSinnn

nCosnn

nSin

n

nSin

BCi

После подстановки последних в (3.3) и преобразований получаем выражение, из которого определяются все действительные . in

48

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

00

0

0

0

02

0

0

0

02

0

0

032

0

2

0023

0

3

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

00

0

0

02

0

0

0

02

0

0

00

22

2

21

1

1

1

1

1

1

1

1

241

22

231

1

1

1

22

2

21

1

1

1

12

21*

*1

1

1

1

1

1

1

1

1

νπ

νπν

π

νν

νππ

ν

νπ

ν

νππ

ν

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

ν

νπ

ν

νπ

νπ

νπ

νπν

π

ν

νπ

ν

νπ

νπ

νπ

νν

νππ

ν

νπ

ν

νππ

ν

νπ

νπ

νπ

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

nCosn

nSin

nn

nCos

n

nSin

n

nCos

n

nSin

nSinnn

nCosnn

nSin

n

nSinnSin

nCosn

nSin

nn

nSin

n

nSinnSin

n

n

nCos

n

nSin

n

nCos

n

nSinCosn

(3.4)

Выражение (3.4) имеет бесчисленное множество этих корней. Для доказательства объединим правую и левую его части и обозначим их, как z. Введём подстановку γν 0=in . Тогда, при γ - целом, но не равном 0 и 1 ,

;0)1(

223

0

3

<−

=γν

πz

При ;0,0 == zγ При ;0,1,1 =−= zγ

При ,2δγ = где δ - простое число и таково, что

03 2222 232)4(2

21 νπδδπδπδ

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+− ,

0)1(

4223

21222

23

30

>−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

γδ

γπ

γππ

νz ;

При достаточно большом γ 032

3

3

>=νπz .

Из приведённого анализа видно, что z , являясь достаточно гладкой функцией, при переходе от целого значения γ к дробному меняет свой знак и бесконечное число раз проходит через нулевое значение.

Окончательное решение уравнения (1.1) удовлетворяющее условиям (3.1) будет:

49

.0

*

0

*

0

*

000

*

000

⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅+⎥⎥⎦

⎤+

+⎪⎩

⎪⎨⎧

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= ∑

ctctCosnxSinnxSinn

ActSinnxxCosn

xSinnA

xSinnxSinn

Axctgnx

xSinnC

xctCosSinEE

iii

nii

i

n

ii i

ni

i

n

ii

iiνν

На рис. 1 схематично показан найденный характер движения электромагнитной волны.

Е

Список литературы 1. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории

электрических и магнитных явлений.- М.-Л.: изд. АН СССР, 1948. С.65. 2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ,

1980. 3. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. –

М.: ГИТТЛ, 1953. 4. Лауфер М.Я. Обобщенный метод разделения переменных в

приложении к одномерной краевой задаче для волнового уравнения. ДР-3388//Cборник рефератов ДР.-М.: ВИМИ, вып. 11, 1991.

50

О ФИЗИЧЕСКОЙ СУЩНОСТИ САМОПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО ИЗМЕНЕНИЯ ЧАСТОТЫ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В работе дается физическая трактовка решению волнового уравнения для

одномерной краевой задачи, из которого следует самопроизвольное уменьшение частоты электромагнитного излучения в процессе его распространения, как изолированной системы, в вакууме.

Доказывается, что уменьшение частоты электромагнитных волн является результатом действия второго закона термодимамики. При этом в качестве источника излучения рассматривается абсолютно черное тело, неподвижное относительно наблюдателя.

Явление связывается с космологичеким "красным смещением", величина которого зависит не только от пространственно-временных параметров, но и от частоты излучения в источнике.

Известны два космологических механизма изменения частоты электромагнитного излучения - при относительном движении источника излучения и наблюдателя (эффект Доплера) и при воздействии на источник или приемник излучения гравитационного поля. Оба эти механизма не связаны с процессом распространения электромагнитных волн и воздействуют лишь на их условия передачи и приема.

Неоднократно делались попытки объяснить наблюдаемое космологическое "красное" смещение спектров электромагнитного излучения (эффект Хаббала), например [1], путём рассмотрения среды, способной поглощать энергию электромагнитных волн по мере их движения. Однако в основе теоретического обоснования этих гипотез заложены гипотетические положения, которые, в свою очередь, сами нуждаются в доказательствах.

Показано без привлечения дополнительных физических положений, что существует ещё и механизм пространственно-временного самопроизвольного изменения частоты электромагнитного излучения [2]. В этом плане вызывает интерес эксперимент, проведенный Садехом, Поулзом и Джапли в 1968 году (см. также Science news, 8/I7/68 p.156), в котором зафиксировано падение частоты электромагнитной волны по мере её распространения, с учётом поправки на искажение от потерь энергии в воздушной среде и воздействия гравитационных полей [3].

Суть вытекающего из решения [2] механизма состоит в том, что по мере распространения электромагнитной волны в вакууме от неподвижного по отношению к наблюдателю источника (обмен энергией с окружающей средой отсутствует) происходит самопроизвольное уменьшение частоты излучения, величина которого зависит от частоты в источнике. Этот результат получен чисто математическим путём.

В данной работе рассмотрена физическая сущность механизма. Известно, что энергия излучения абсолютно черного тела, взятого в качестве источника, по закону Стефана-Больцмана выражается

51

4TЭ ⋅=σ , (1) Где σ - постоянная Больцмана; T - абсолютная температура. С другой стороны, по формуле Планка при достаточно низких частотах

электромагнитной волны, соответствующих рассматриваемым,

3

4

28,7chЭ νπ

≈ , (2)

где - постоянная Планка; hν - частота излучения в произвольной точке пространства; c - скорость света. Сопоставляя (1) и (2), находим

Tξν = , (3)

где 43

28,7 hcπ

σξ = .

Рассмотрим далее два состояния изолированной системы So и S, характеризующихся согласно второму закону термодинамики соотношениями

0

00 T

QS = ; TQS = , (4)

где и - соответственно энтропия излучения в источнике и в 0S Sпроизвольной точке пространства;

QQ ,0 - энергия излучения источника и в произвольной точке пространства в единицах тепла.

Поскольку электромагнитная волна рассматривается как изолированная система, то по закону сохранения энергии

QQ =0 Согласно [2] νν >0 Используя зависимости (3), имеем TT >0

и на основании (4) находим SS <0 . Из этого соотношения видно, что падение частоты излучения в процессе

распространения электромагнитных волн в вакууме от источника, неподвижного относительно наблюдателя, сопровождается ростом энтропии электромагнитной энергии, не связанным с ее рассеиванием.

Можно сказать, что общепринятая в настоящее время концепция расширяющейся Вселенной, получила свое теоретическое обоснование лишь в результате решения А.А. Фридманом уравнений тяготения. Это решение было получено, исходя из достаточно грубого предположения - равномерного распределения материи в пространстве. В действительности материя распределена в пространстве далеко не равномерно. Поэтому нет никаких оснований предполагать, что в этом случае решение уравнений тяготения будет описывать модель расширяющейся Вселенной. Это, так сказать,- теоретические аспекты.

52

Единственным, казалось бы весьма веским подтверждением концепции расширяющейся Вселенной, явилось открытое Хабблом красное смещение, для объяснения которого не существовало иного толкования, кроме как, что оно есть следствие эффекта Допплера.

Однако из частного решения волнового уравнения, представленного в статье, с неумолимой логикой вытекает возможность существования процесса распространения электромагнитных волн в вакууме, идущего во времени и пространстве с возрастанием амплитуды, а, следовательно, ввиду отсутствия рассеивания энергии, уменьшением частоты. Последнее находится в полном соответствии с пока незыблемым принципом обязательного повышения энтропии при протекании наблюдаемых необратимых физических процессов. Здесь имеется ввиду ухудшение качества э/м энергии (её способности производить работу) вследствие уменьшения частоты и увеличения амплитуды э/м волны, т.е. грубо говоря, стремления к выравниванию, “концентрации” э/м энергии в пространстве, (эффект энтропийного покраснения ранее никак не вытекал из решения волнового уравнения, поскольку при интегрировании последнего на решение накладывалось ничем не обоснованное и не имеющее физического смысла ограничение.)

Итак, появилась возможность иного толкования красного смещения, не основанного на эффекте Допплера.

В связи с этим, автору представляется, до получения других: независимых данных наблюдений не осталось сколько-нибудь веских оснований считать красное смещение прямым доказательством расширения видимой части Вселенной. Следовательно, модели расширяющейся и нерасширяющейся Вселенной с этой точки зрения становятся равноправными.

Решение краевой задачи, отвечающее предположению о нера-сширяющейся Вселенной, даётся в статье только в целях обоснования законности обобщающего метода разделения переменных и математических возможностей полученных фундаментальных функций, определивших вышеуказанный процесс энтропийного покраснения света и не должно рассматриваться как обоснование концепции нерасширяющейся Вселенной, т.к. аналогичное решение, вообще говоря, может быть получено и с помощью уже известных функций Фурье.

Из полученного решения вытекает возможность существования нелинейных волновых эффектов любого порядка, а также возможность нарушения закона суперпозиции волн.

53

Список литературы

1. Kиппep А. (Тартуская астрофизическая обсерватория им. В. Струве). Старение и конечное время жизни фотона в космологическом пространстве.//Таллин, Валгусс, 1981.

2. Лауфер М.Я. Обобщенный метод разделения переменных в приложении к одномерной краевой задаче для волнового уравнения. ДР-3388// Сборник рефератов ДР – М.: ВИМИ, вып. 11, 1991.

3. Dror Sadeh, Stephen Knowles, Benjamin Au. The Effect of Mass on Frequency.// Science. 9 august 1968, p.567-569.

4. Лауфер М.Я. О физической сущности самопроизвольного пространственно-временного изменения частоты электромагнитного излучения. ДР–3442. // Сборник рефератов ДР. – М.; ВИМИ, вып. 8-9, 1993.

54

К ДИНАМИКЕ РЕАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В статье рассмотрен процесс распространения поперечных колебаний в

гибкой нерастяжимой нити. Полученное волновое уравнение, описывающее это явление, отличается от классического волнового уравнения Фурье тем, что в нём учитывается движение частиц материи не только в направлении перпендикулярном направлению распространения волны, но и в продольном направлении. В отличие от известных решений этой задачи в работе впервые при выводе волнового уравнения применено условие неразрывности проводящей среды. Решена краевая задача при отсутствии начального натяжения нити. Показано, что в этих условиях Уравнение Фурье полностью вырождается. Полученный результат дает возможность более верно решать практические задачи, связанные с волновыми процессами.

1. Постановка задачи. Классическая механика описывает картину распространения, например,

плоских поперечных волн в различных средах (cм. рис. 1) как последовательные во времени состояния возмущенной среды [1]. Каждая частица среды согласно этим представлениям совершает колебательное движение в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны. Поступательное движение частиц в направлении распространения волны отсутствует. Таким образом, сама среда, вне зависимости от своих физических свойств, а также начальных и граничных условий, всегда в целом, остаётся неподвижной в продольном направлении и во всех случаях распространения в ней плоских волн констатируется лишь передача в этом направлении некоторого состояния движения (энергии и импульса), а не поток движущихся частиц среды.

Математическое описание этих волн дается известным уравнением

2

22

xUa

tU

∂∂

=∂∂ , (1)

где - скорость распространения волны. aТакое понимание природы распространения волн в средах, как будет

показано ниже, является упрощенным, поскольку физические свойства среды оказывают принципиальное влияние на характер колебательного процесса.

В доказательство последнего рассмотрим следующий пример. На гладкую горизонтальную плоскость положим гибкую нить. Такой нитью может служить, например, состоящая из отдельных звеньев металлическая цепь Исходное положение нити показано на фиг.2 пунктирной линией. Пусть один конец нити прикреплен к ползуну "А", имеющему свободу движения в направлении оси . Придадим ползуну "А" колебательное движение, перемещая его вдоль оси U, например, по закону

UtASinU ν= , где " A" -

амплитуда колебаний, а ν - частота. По нити, представляющей из себя среду с вышеуказанными физическими свойствами, начнёт распространяться плоская волна. При этом частицы нити станут перемещаться вдоль оси x в направлении обратном направлению распространения этой волны. Поступательное движение

54

Рис. 2

Рис. 1

55

Рис. 4

Рис. 3

56

частиц будет происходить до тех пор, пока инерционные силы, вызывающие натяжение нити, не уравновесятся силами трения.

Из этого примера видно, что кроме распространения по нити некоторого состояния движения, имеет место и направленный поток частиц нити. Кроме того, амплитуда и частота волны, вследствие энергетических потерь, вдоль нити, не остаются постоянными даже при монoхромaтических колебаниях ползуна "А". Данный пример наглядно указывает на несостоятельность классической картины распространения плоских волн в реальных средах, описываемой уравнением (1).

Попытки исправить эту несостоятельность предпринимались неоднократно (см., например, [2] и [3]). Однако они не имели полного успеха, т.к. при выводе уравнения колебании: не учитывалось свойство неразрывности среды, в которой распространяется волна.

Для простоты рассмотрим случай нерастяжимой гибкой нити. Выделим из неё элемент, как показано на рис. З. Действие остальной её части на этот элемент заменим силами натяжения , направленными в противоположные нTстороны по касательной и приложенными к концам элемента. Будем считать нить однородной и, во избежание нереальной картины с бесконечной массой, конечной по длине. Рассмотрим колебания нити лишь с амплитудой, когда

можно пренебречь 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

xU по сравнению с единицей.

UF и - внешние силы, действующие на элемент xF SΔ . Проектируя силы на оси U и x и добавляя к ним силы инерции, имеем:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Δ∂∂

=−′Δ++−

Δ∂∂

=+′Δ++−

StVFCosTTCosT

StUFSinTTSinT

xHHH

UHHH

2

2

2

)(

)(

ραα

ραα, (1.1)

где ρ - плотность нити; V - скорость частиц нити вдоль оси x . Принимая во внимание, что

xUtg∂∂

=α ,

;1

1

;

11

2

22

≅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+Δ

Δ=

ΔΔ

=

∂∂

≅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+

∂∂

=+

=

xUx

xxCos

xU

xU

xU

tgtgSin

δα

ααα

57

.

1

1

;

2

2

2

2

2

xxU

xU

xUx

CosCos

xxU

xU

xUSinSin

NN

Δ∂∂

∂∂

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

=−′

Δ∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=−′′

αα

αα

Получаем

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂∂

∂∂

−−∂∂

=∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

xU

xUTq

xT

tV

qxU

xT

xUT

tU

HxH

uH

H

ρ

ρ. (1.2)

Из второго уравнения системы (1.2) имеем:

xHH q

tV

xU

xUT

xT

+∂∂

=∂∂

∂∂

−∂∂ ρ2

2

.

Интегрируя это выражение, получаем:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

= ∫∫ ∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

−

02

2

2

2

TdxeqtVeT

dxxU

xU

x

dxxU

xU

H ρ .

Поскольку

1

2

2

2

21

≅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

∂∂

−∫ xU

dxxU

xU

ee . Окончательно получаем

∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

= 0TdxqtVT xH ρ . (1.3)

Подставляя (1.3) в первое уравнение (1.2), после простых преобра-зований, имеем:

uxx qxUq

tV

xUTdxq

tV

tU

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

+∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

=∂∂

∫ ρρρ 2

2

02

2

. (1.4)

Следует отметить, что условие

0=+∂∂

xqtVρ при и 0=Hq )(0 tfT ≠ или ConstT =0 (1.5)

приводит уравнение (1.4) к обычному (классическому) волновому уравнению. Поскольку, при неустановившихся колебаниях нити имеет место поступа-

тельное движение ее частиц вдоль направления распространения волны, то к полученным ранее уравнениям следует добавить еще уравнение неразрывности.

Вoзмем два произвольных сечения MN и NM ′′ (рис. 4), отстоящих друг от друга на расстоянии xΔ . При движении частиц нити вдоль оси x в область, ограниченную этими двумя сечениями, через сечение за время NM ′′ tΔ поступит масса

tVm N Δ=′ ′1ρ . В то же время из указанной области через сечение MN уйдет масса

58

TVm NΔ= ρ . Таким образом, в области, ограниченной сечениями и NM ′′ MN

произойдет изменение массы на величину

txVx

tVVmmm NN ΔΔ∂∂

=Δ−=−′=Δ ′ )()( 1 ρρρ .

С другой стороны это изменение массы можно представить как

txtx

UxUtx

ttx

xU

ttS

tm ΔΔ

∂∂∂

∂∂

+ΔΔ∂∂

≅Δ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

=ΔΔ∂∂

=Δ22

1)( ρρρρ .

Приравнивая оба последних выражения для mΔ , получим искомое уравнение неразрывности

txU

xU

tV

x ∂∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂ 2

)( ρρρ . (1.6)

Поскольку по условию Const=ρ , то

txU

xU

xV

∂∂∂

∂∂

=∂∂ 2

.

И далее

∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

= 0

2

21 adx

xU

tV , (1.7)

где - в общем случае может быть некоторой функцией от 0a t . С другой стороны положим, что

,0== Ux qq 00 =V , а ConstaT== 20

ρ.

После подстановки (1.7) в (1.4) и простых преобразований получаем следующее искомое выражение для колебаний нити

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂

∫∫ 22

2

2

2

22

2

2

)(21 dx

xU

txU

xxUa

tU . (1.8)

Условие означает, что нить в начальный момент времени имеет ConstT =0

некоторое натяжение и все её частицы неподвижны в начальный момент времени в направлении оси x . Следует также отметить, что при 00 =T классическое волновое уравнение вырождается в то время, как уравнение (1.8) переходит в

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

∫∫ 22

2

2

2

2

)(21 dx

xU

txU

xtU . (1.9)

интеграл которого даёт определённое решение волновой задачи. При этом скорость распространения поперечной волны вдоль оси x не равна нулю и переменна. Уравнения (1.8), а также (1.9) могут быть представлены в дифференциальной форме

59

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂∂

∂∂

xy

tx

yty

x,

где ∫= UdxyПрименяя метод Фурье разделения переменных, будем искать частотное

решение уравнения (1.9) в виде TXU = , (1.10)

где T и X - функции зависящие соответственно от t и x , удовлетворяющие следующим начальным и граничным условиям:

00.40.2

0.300.1

0 =∂∂

==∂∂

=

====

xUxV

tUt

tASinUxUt ν (1.11)

Здесь A и ν - соответственно амплитуда и частота вынужденных колебаний;

0V - начальная скорость движения.

2. Решение поставленной задачи Подставляя (1.10) в (1.9), после преобразований имеем

[ ]Χ

′Χ′Χ′

=′′+′

′′ ∫∫ 22

22

)(dxTTTT

T ,

откуда

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=Χ

′Χ′Χ′

=′′+′

′′

∫∫ 222

222

)(n

dx

nTTTT

T

, (2.1)

где - некоторая постоянная. nПроинтегрируем первое уравнение (2.1). Введём подстановку

′=′′=′ ***; PPTPT .

Тогда

)( ***2** 2 ′+=

′PTPPTnPP ;

22

2

*

*

1 TnTn

PP

−=

′.

Переходя к старой переменной, имеем

221

1 TnCT−

=′ . (2.2)

И, следовательно,

( arcSinnTTnnTn

CtC +−=+ 2221 1

21 ) . (2.3)

60

Или в параметрической форме

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+

−=

−=

2

21

2

2

21

21

1

21

2

211

1

CP

CParcSin

PCPC

nCt

CPnP

T

, (2.4)

где P - параметр; и - постоянные интегрирования. 1C 2CВо втором уравнении (2.1) введём новую переменную *q=Χ′Тогда

Χ=

Χ⋅

Χ=

ddq

dxd

dd

dxd * Χ= d

qdx *

1 .

Получаем , [ ] Χ=′

Χ Χ∫∫ 22** )( ndqqоткуда после преобразований

ΧΧ

=−

dqn

dqq 22*2

**

.

Интегрируем последнее выражение

2

23

42*

Χ−Χ

=Χ

=Cn

dxdq . (2.5)

И затем второй раз

∫ +−Χ

ΧΧ= 42

342

2

CCn

dx , (2.6)

где и - постоянные интегрирования. 3C 4CВ параметрической форме

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+−

=

−=Χ

∫ 44/5223

422

23

)(21 C

qndq

Cx

qnС

, (2.7)

где - параметр. qПодставим (1.10) в (1.7) и, используя (2.4), (2.5) и (2.6) получим:

23

42

2

2

2

23

42

221222

*

*12

1

Cnd

Cn

TnTCdxTTdxT

tV

−Χ

ΧΧ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Χ−Χ

−=Χ′′=Χ′

∂∂

= ∫ ∫ ∫

Интеграл в правой части последнего равенства берётся следующим образом

∫∫ ΧΧ

−Χ=

−Χ

ΧΧ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Χ−Χ

dCn

CndCn

2

23

42

23

42

22

2

23

42

61

Применим способ интегрирования по частям

UCn =−Χ 23

42 , dVd=

ΧΧ

2 , dUCn

dn=

−Χ

ΧΧ23

42

322 , V=Χ

−1 .

Тогда ∫∫−Χ

ΧΧ+

Χ−Χ

−=ΧΧ

−Χ23

42

22

23

42

2

23

42

2Cn

dnCn

dCn

Воспользуемся (2.6)

)(2 42

23

42

2

23

42

CxnCn

dCn

−+Χ−Χ

−=ΧΧ

−Χ∫ .

Окончательно имеем

5

23

42

42

221 )(2

1C

CnCxn

TnTCV +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Χ−Χ

−−−

= . (2.8)

Для нахождения постоянных интегрирования используем начальное условие 1 из (1.11). Применяя (2.4), имеем ,0=T если , тогда 1CP = 02 =C . Поскольку при 0,0 == Tt , то следовательно, из (2.8) 05 VCV == . Используя далее условие 2 из (1.11) и привлекая (2.2), получаем 01 VС = .

В параметрической форме

422

232

021

qnCVP

nPTU

−−=Χ= .

Тогда, согласно (2.5)

2

23

422

021

Χ−Χ

−=Χ∂

=∂∂ Cn

VPnPdx

TxU .

Используя далее первое уравнение (2.7), имеем

qVPnPx

U 20

21−=

∂∂ .

Из последнего выражения по четвёртому условию (1.11) видно, что, если

x 0= , то 0=∂xdU и, следовательно, 0=q . Далее, используя (2.2) и первое

уравнение (2.4), получаем

04

22

23

42

02 )(2 V

qnCqCxnVP

nP

tT

tU

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−=Χ

∂∂

=∂∂

При 0=t и 0,0 VdtUx =∂

= , следовательно, 04 =C .

Поскольку при 0,0 == qx , то

42

232

021

nCVP

nPtASinU −== ν

Если νπ2nt = , где ...,2,1,0,12 =+= mmn , тогда

62

42

232

02

00

1nCVP

nPA −= . (2.9)

πИз этого равенства определяется . Для определения при 3C 0Pν2nt =

применим второе уравнение (2.4), из которого получаем

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+

−=

0

20

20

20

20

200

021

2 PVP

arcSinP

VPVnV

nνπ .

Или

0

20

20

20

20

200

0

2

PVP

arcSinP

VPVV

n −+

−=

νπ . (2.10)

Окончательное решение уравнения (1.8) выразится так

∑∑∞

=

∞

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−==

02

02

02

422

20

2

0

11nn VP

PAnqn

VPP

UTU .

Список литературы

1. Андреев Н.Н., Ржевкин С.Н., Горелик Г.С. Курс физики. Т.1. – М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

2. Зак М.А. О некоторых динамических явлениях в гибких нитях //Прикладная математика и механика/ Т. 32, вып. 1, 1968.

3. Ивович В.А. Нелинейные колебания гибкой нити при случайном стационарном воздействии.// Прикладная механика. Т.3, вып. 9.- К.: Наукова думка. 1967.

4. Лауфер М.Я. К динамике реальных волновых процессов//Вопросы технологии, эффективности производства и надёжности. Вып. 18. – Северодвинск: Севмашвтуз; НТО им. акад. Крылова А.Н., 2001. С. 54-64.

63

ОБ ОБЩЕМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

1. Введение. Выбор формы общего решения уравнений упругого равновесия в первую

очередь определяется соображениями наибольшей простоты решения краевой задачи.

Наиболее часто применяемые в этом смысле формы решения плоской задачи теории упругости при отсутствии массовых сил представляются в декартовых координатах посредством либо функции напряжений Эри, когда граничные условия задаются в напряжениях, либо функций перемещений Б.Г. Галеркина [4] когда граничные условия задаются в перемещениях.

Аналог этих решений в полярных координатах известен только для случая выражения решения через функцию напряжений по методу Эри.

В настоящей работе предлагается решение в перемещениях уравнений равновесия в полярных координатах, выраженное посредством функций, подобных функциям перемещений Б.Г. Галеркина. Это решение не сводится к решению Б.Г. Галеркина простым преобразованием координат. Полагается, что оно восполнит указанный пробел и позволит сравнительно просто решить некоторые практические задачи.

Кроме этого в работе рассматриваются решения уравнений равновесия для общего случая в цилиндрических координатах.

А. Лявом предложено универсальное решение уравнений упругого равновесия в цилиндрических координатах при отсутствии массовых сил [2]. Как показано в работе [1] (рассматривался частный случай - осесимметричная задача), решения Б.Г. Галеркина, П.Ф. Папковича, К. Вебера и других авторов по существу ничего нового не добавляют к решению А. Лява и определенными преобразованиями могут быть сведены к последнему.

Однако поскольку общее решение уравнений равновесия должно содержать, как известно, не менее трех произвольных гармонических функций, а решение А. Лява содержит только одну бигармоническую функцию вращения, то оно не может считаться общим решением. Таким образом, поиски других независимых решений, которые могли бы послужить основой для построения общего решения уравнений равновесия в самом общем случае трехмерной задачи в цилиндрических координатах нельзя считать завершенными.

На основе решений, представленных в настоящей работе для случая полярных координат, дополнительно к решению А. Лява предлагаются два независимых решения уравнений равновесия для общего случая трехмерной задачи теории упругости в цилиндрических координатах. Каждое из этих решений содержит одну бигармоническую функцию вращения.

В работе даются новые формы решения плоской и пространственной задачи статической теории упругости.

64

Указанные формы существующими приемами не удается свести к одной из известных форм или друг к другу. На основании этого делается вывод, что полученные выражения в совокупности являются наиболее общими решениями уравнений Ламе в пространстве и на плоскости, с помощью которых может быть расширен круг исследования практических задач прочности.

Общее решение пространственной задачи теории упругости при отсутствии объёмных сил выражается через три гармонических функции, а плоской задачи - через две таких функции [1]. Поскольку данные положения пока не имеют строгого математического обоснования, рядом авторов ([2]… [5], [7] и [8]) в разное время предпринимались попытки получить решения уравнений Ламе отличающиеся по форме от найденных предшественниками.

В конечном итоге это обстоятельство способствовало расширению круга решенных краевых задач и нет необходимости убеждать специалистов в актуальности нахождения новых форм решения упомянутых уравнений.

В данной работе представлены новые формы решений плоской и пространственной задач теории упругости, исходя из того, что общее решение плоской задачи должно содержать две бигармонических функции, а пространственной - три таких функции.

2. Решение плоской задачи теории упругости Уравнения упругого равновесия, например, в полярных координатах r и

ϕ без учёта объёмных сил имеют вид

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂∂

+∂∂

=Δ

=∂∂

+∇+−∂Δ∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=∂∂

−∇+−∂Δ∂

+

ϕ

ϕμμμ

ϕμλ

ϕμμμμλ

Vr

rUrr

Ur

Vrv

r

Vr

UrU

r

1)(1

02

02)(

22

2

22

2

, (2.1)

где: U и V - перемещения, соответственно вдоль осей r и ϕ ; λ и μ - упругие постоянные в обозначениях Ламе. Опуская промежуточные операции, в виду их громоздкости, частные

решения системы (2.1) будут иметь вид

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂Φ∂+

+∂∂Φ∂

=

∂Φ∂

+−∂Φ∂

+Φ∇=

ϕϕ11

2

1

12

12

12

1

)1(2

)1(

rB

rV

rrB

rrBrU

, (2.2)

где μλμλ

++

−=2B

и

65

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂Φ∂

−∂Φ∂

+Φ∇=

∂Φ∂

+∂∂Φ∂

=

rB

rBrV

rB

rU

22

22

22

2

222

2

21

2

ϕ

ϕϕ . (2.3)

Непосредственной подстановкой выражений (2.2) и (2.3) в систему (2.1) легко убедиться, что последнее тождественно удовлетворяется, если и 1Φ 2Φ суть бигармонические функции, т.е.

02,122 =Φ∇∇ .

Общее решение системы (2.1) будет

⎭⎬⎫

+=+=

21

21

VVVUUU

. (2.4)

Отождествить (2.4) с известными решениями системы (2.1) не удалось и оно не сводится методом, изложенным в [1], к представлению через две гармонические функции.

3. Решение пространственной задачи теории упругости Уравнения упругого равновесия в цилиндрических координатах и без

учёта массовых сил имеет вид

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ

=∇+∂Δ∂

+

=∂∂

+∇+−∂Δ∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=∂∂

−∇+−∂Δ∂

+

zwV

rrU

rr

wz

Ur

Vrv

r

Vr

rUrU

r

ϕ

μμλ

ϕμμμ

ϕμλ

ϕμμμμλ

1)(1

0)(

02

0)(

2

22

22

, (3.1)

где - перемещение вдоль оси . w zРешением (3.1) по А. Ляду является система

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂Φ∂

+Φ∇=

∂∂Φ∂

=

∂∂Φ∂

=

2

*1

2*1

21

*1

2

1

*1

2

1

1

zBw

zrv

zrU

ϕ, (3.2)

где - бигармоническая функция, удовлетворяющая уравнению *1Φ

0*1

22 =Φ∇∇ . Как при решении плоской задачи теории упругости, опуская

промежуточные операции, к решению (3.2) находим ешё два дополнительных независимых решения системы (3.1).

66

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂∂Φ∂

=

∂Φ∂

−∂Φ∂

+Φ∇=

∂Φ∂

+∂∂Φ∂

=

zw

rB

rBV

rB

rU

ϕ

ϕ

ϕϕ

*2

2

2

*2

2

*2

2*2

22

*2

*2

2

2

21

2

, (3.3)

где - бигармоническая функция, удовлетворяющая уравнению *2Φ

0*2

22 =Φ∇∇ , и

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂Φ∂

+−∂∂Φ∂

=

∂Φ∂+

−∂∂Φ∂

=

∂Φ∂

+−∂Φ∂

+Φ∇=

zB

zrrw

rB

rV

rB

rrBrU

332

3

332

3

32

32

32

3

)12(2

)1(2

)12(

ϕϕ, (3.4)

где - функция, удовлетворяющая уравнению 3Φ

),(32 ϕψ r=Φ∇ ,

а ),( ϕψ r - гармоническая функция, удовлетворяющая уравнению 02 =∇ ψ .

Общее решение системы (3.1) будет

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=++=++=

321

321

321

wwwwVVVV

UUUU. (3.5)

Решения (3.2), (3.3) и (3.4), как и в плоской задаче, не удалось свести одно к другому и, тем самым, уменьшить их количество в (3.5). Поэтому можно с большой долей уверенности утверждать, что (3.5) представляет собой самое общее решение системы (3.1) или, по крайней мере, весьма близкое к нему.

Компоненты тензора напряжений через перемещения (2.3) находятся как:

[ ]

.22)1(22

;2)1(

;2)12(122)1(

;222)1(

*2

2

*2

2

2

*2

2

22

*2

3*2

2

2

*2

3*2

2

*2

2

*2

2

3

*2

3

2*2

2

*2

2

*2

2

2

*2

3*2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂Φ∂

+∂Φ∂

−∂Φ∂−

+∂∂Φ∂

+Φ∇∂∂

=

∂∂Φ∂

+Φ∇∂∂

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂Φ∂

+∂∂Φ∂−

−∂Φ∂

+Φ∇∂∂

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

−∂∂Φ∂

+∂∂Φ∂

+Φ∇∂∂

+=

rrB

rB

rB

rrrBr

zB

rB

rrB

rBB

rB

rrB

rB

r

z

r

ϕϕμτ

ϕμ

ϕλσ

ϕϕϕμ

ϕμλσ

ϕϕϕμ

ϕλσ

ϕ

ϕ

Продолжение формулы на следующей странице

67

.22

;2

*2

2

2

*2

3*2

2

*2

2*2

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂Φ∂

−∂∂Φ∂

+Φ∇∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂Φ∂

+∂∂∂

Φ∂=

zrB

zrzBr

zrB

zr

z

rz

ϕμτ

ϕϕμτ

ϕ

А через перемещения (2.4), как:

[ ]

.)23(2

;)13(2

;)1(412

;2]1)14)(12[()1(

;)1(2)1(2

12)1(22)1(

;22

)1(222)1(

32

33

32

23

3

32

32

23

3

32

23

3

23

2

32

32

32

23

2

2

23

3

23

2

32

32

23

2

33

3

23

2

32

32

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂Φ∂+

−∂∂∂

Φ∂=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂Φ∂

+−∂∂Φ∂

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂Φ∂+

+∂∂Φ∂

−∂∂Φ∂

+Φ∇∂∂

=

∂∂Φ∂

+∂Φ∂

+++−Φ∇∂∂

+=

⎥⎦⎤

∂Φ∂+

−∂Φ∂

+∂Φ∂+

−

−∂∂Φ∂

⎢⎣⎡+

∂Φ∂

+−Φ∇+Φ∇∂∂

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

−∂Φ∂

+

+∂Φ∂

+−Φ∇+Φ∇∂∂

++=

ϕϕμτ

μτ

ϕϕϕϕμτ

μμλσ

ϕ

ϕμλμλσ

μ

λμμλσ

ϕ

ϕ

ϕ

zrB

zr

zrB

zrr

rB

rrrB

zrr

zB

rrB

rrB

rrB

rrzBB

rrB

rB

rr

zBB

rrBB

z

rz

r

z

r

Список литературы 1. Тер-Мкртичьян Л.Н. Осесимметричная задача теории упругости.

Научные труды Ленинград. лесотехнич. академии. Вып. 96, 1961. 2. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ. 1935. 3. Папкович П.Ф. Теория упругости. –М.: Оборонгиз, 1939. 4. Галеркин Б.Г.- Доклады АН СССР. - 1931.- № 10. 5. Вебер С. Zeitschift für anqew Mathematik und Mechanik.,Bd.V, Heft 6. 6. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости.- М.: Гостехиздат, 1947. 7. Блох Б.И. 0 представлении общего решения основных уравнений

статической задачи теории упругости изотропного тела при помощи гармо-нических функций.// Прикладная математика и механика. Т. 22, 1958.

8. Слободянский М.Г. Об общих и полных формах решений уравнений упругости. Прикладная математика и механика. Т. 23, 1959.

9. Лауфер М.Я. Об одном решении уравнений статической теории упругости. ДР-3463. //Сборник рефератов ДР. М.: ВИМИ, вып. 3-5 1993.

68

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЛСТЫХ СЕГМЕНТНЫХ ПЛАСТИНАХ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ДВУХМЕРНЫМ СТАЦИОНАРНЫМ

ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ Плоская температурная задача теории упругости достаточно подробно

исследована в работе [3] и др. Тем не менее, приложение её результатов для определения напряженного состояния в телах сегментной формы путём непосредственного перехода от прямоугольных координат к полярным невозможно вследствие неопределенности отдельных компонентов тензора напряжения.

В работе показана недостаточность существующего решения термо-эластичных уравнений Дюгамеля-Неймана, составленного путём комбинации компонентов термоупругого потенциала напряжения и функции напряжения Эри при определении напряженного состояния в сегментных телах в общем случае плоского стационарного температурного поля.

Представленное при этом более общее решение этих уравнений в виде линейной комбинации компонентов термоупругого потенциала перемещения и двух независимых функций перемещения единственным образом определяет плоское деформированное состояние в указанных формах при достаточно общих граничных условиях.

При определении термоупругого потенциала перемещения применен обобщенный - способ Фурье, частичное обоснование которого проведено на примере решения уравнения . Определившиеся при этом ряды 02 =Φ∇отличаются от обычных рядов Фурье наличием непериодических членов. Показана возможность представления произвольной достаточно гладкой функции этими новыми рядами, а также возможность формального оперирования с ними.

§1. Постановка задачи Определим термоупругие напряжения в однородном изотропном

элементе толщиной "Н", имеющем сегментную форму (см. рис. 1). Примем, что температурное поле

элемента стационарно и зависит лишь от координат r и ϕ и не зависит от . z

Рис. 1

Поместим начало координат в т. 0 и зададимся следующими условиями:

1. Внутри и на поверхности элемента известен закон распределения темпе-ратуры ),( ϕrfT = . B дальнейшем в отношении произвольной функции

),(rf ϕ будут установлены некоторые ограничения.

2. Все поверхности элемента сво-бодны от действия внешних сил.

69

3. Массовые силы пренебрежимо малы. В этом случае поле перемещений внутри и на границе тела описывается

дифференциальными уравнениями Дюгамеля-Неймана.

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂∂

+∂∂

=Δ

∂∂

=∂∂

+∇+−∂Δ∂+

∂∂

=∂∂

−∇+−∂Δ∂

+

ϕ

ϕβ

ϕμμμ

ϕμλ

βϕ

μμμμλ

Vr

rUrr

Tr

Ur

VrV

r

rTV

rU

rU

r

1)(1

2)(

2)(

22

2

22

2

, (1.1)

где U и V - перемещения соответственно вдоль осей r и ϕ . λ и μ коэффициенты Ламе и Пуассона. β - коэффициент температурной деформации в обозначениях А. Лява [1]. Будем искать нетривиальное решение этих уравнений, удовлетворяющее

указанным ранее граничным условиям, которые могут быть переписаны так: 1. 0;0;1 === ϕτσ rrRr . 2. 0;0;2 === ϕτσ rrRr .

3. . ∫∫∫ ====2

1

2

1

2

1

0;0;0;1

R

Rr

R

R

R

R

drrdrdr ϕϕϕ τσσϕϕ

4. . ∫∫∫ ====2

1

2

1

2

1

0;0;0;2

R

Rr

R

R

R

R

drrdrdr ϕϕϕ τσσϕϕ

При определении граничных значений напряжений на радиальных поверхностях используется принцип Сен-Венана.

§2. Обобщённый способ Фурье. Ряды с непериодическими членами и их обоснование

В отличие от существующего способа будем искать частное решение вспомогательного уравнения

0112

2

22

2

=∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

ϕrrrr. (2.1)

В виде суммы )()()()( 21 rRfrf ϕϕθ +=Φ , (2.2)

где и )(),( 1 rfrR )(),( 2 ϕϕθ f - функции, зависящие соответственно от одной переменной r или ϕ . Подставляя (2.2) в (2.1) и преобразовывая, имеем

θθθθ 2221112 f

RRr

RRrf

Rf

Rfr

Rfr

′′−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+′′

−=′′

+′

+′′ . (2.3)

Поскольку свойства функций и R θ оставались произвольными, наложим на них следующие два ограничения

222 ; nRRr

RRrn =

′+′′

−=′′

θθ ,

где - постоянная, которая аналогична требованию, чтобы n

70

))(( *,4

*,3

*,2

*,1 ϕϕθ SinnCCosnCrCrCR nn

nn

nn ++= − (2.4)

являлось решением (2.1). Т.о. левая часть (2.3) зависит только от r и не зависит от ϕ , а правая – наоборот, следовательно,

mffn

mRfn

Rfr

Rfr

−=′′

+

=−′

+′′

θθ222

12112

(2.5)

где также постоянная. mМетодом вариации постоянных находим

ϕϕϕϕϕϕ SinnCCosnCSinnCCosnCf

rCrCrrCrrCf

nnnn

nn

nn

nn

nn

**,3

**,4

*,8

*,72

*,6

*,5

**,2

**,11 lnln

−++=

++−= −−

Тогда частное решение уравнения (2.1) окончательно принимает вид

,)(*

*)()lnln

()lnln(

,4,3

,8,7,8,7,6

,5,4,3,2,1

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

in

nn

ni

nn

nni

nn

nn

nn

nni

nn

nn

nn

nni

SinnrCrCCosn

rCrCSinnrrCrrCrC

rCCosnrrCrrCrCrC

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

−

−−−

−−

+−+

−++++

+++++=Φ

(2.6)

где постоянные, определяемые iiiiiiii nnnnnnnn CиCCCCCCC ,8,7,6,5,4,3,2,1 ,,,,,, -

из граничных условий. Естественно предположить, что, как и в случае (2.4), чисел может быть in

бесконечно много. При этом для нас будут представлять интерес только вещественные из них. Поэтому в качестве решения можно рассмотреть ряд

∑∞

=Φ=Φ

1ii ,

который при некоторых условиях равномерно сходится к обобщенному решению уравнения (2.1). Φ

Особенностью решения (2.6) является восемь постоянных интегрирования вместо обычных четырёх, вследствие наличия в нём непериодических членов вида , а так же членов вида ϕϕϕϕ i

ni

n SinnrиCosnr ii ±±

ϕϕ in

in rSinnrиrCosnr ii lnln ±± , которые не являются в отдельности решениями

(2.1). Функции, обладающие этими свойствами, назовём псевдогармоническими. Не останавливаясь на подробном анализе полученного результата, докажем следующие две теоремы.

Теорема 1 Фундаментальные функции вида , удовлетворяющие при 2f 1ϕϕ = и

ϕ 2ϕ= граничным условиям 022 =+′ ff βα , где α и β - постоянные, обладают свойством обобщенной ортогональности, т.е.

∫ =2

1

022

ϕ

ϕ

ϕdff ji при ji ≠ .

71

Действительно по построению своему, функции удовлетворяют 2fуравнению (2.5), если заменить в нём на и , а на и . Тогда 2n 2

in 2jn m im jm

⎪⎭

⎪⎬⎫

=++′′

=++′′

0

0

22

2

22

2

jjjjj

iiiii

mfnf

mfnf

θ

θ. (2.7)

Умножим первое уравнение на jθ , а второе на iθ и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя затем полученное выражение по промежутку ),( 21 ϕϕ , находим:

∫ ∫ ∫ ∫ =−+−+′′−′′2

1

2

1

2

1

2

1

0)()( 22

22

22

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθθϕθϕθϕθθ dmmdfndfndff jijiijjjiijiji .

Берём первый интеграл по частям дважды

∫ ∫−′−′=′′2

1

2

1

2

1 22

222 )(ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ ϕθθθϕθ dfnffdf jijjijiji .

Производя точно такие же действия со вторым интегралом и подставляя полученные результаты в исходное равенство, имеем

.])(

)()[(1

2

1

21

21

2

1

2

1

22222222

∫

∫∫

−+

+′−′+′−′−

−=+

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθθ

θθθθϕθϕθ

dmm

ffffnn

dfdf

jiji

ijijjijiji

jiji

(2.8)

Умножим далее первое уравнение (2.7) на jf 2′′ , а второе на и вычтем if2′′

почленно одно из другого. Интегрируя полученное выражение, как и ранее по промежутку ),( 21 ϕϕ , находим

02

1

2

1

2

1

2

1

22222

222 =′′−′′+′′−′′ ∫∫ ∫∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθϕθϕϕ dfmdfmdffndffn ijjjiiijjjii .

Берём третий и четвёртый интегралы по частям дважды. После уже известных преобразований, получаем:

.)]()([ 21

2

1

2

1

2

1

2

1

2222222

222

22

22

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

θθθθϕϕ

ϕθϕθ

jijijijijiijjjii

jijjijii

ffmffmdffndffn

dfnmdfnm

′−′+′−′+′′−′′=

=−

∫ ∫

∫∫

Умножим затем первое уравнение (2.7) на , а второе на . jj fn 22

ii fn 22

Проведя аналогичные предыдущим преобразования, приходим к следующему выражению

∫ ∫∫ ′′−′′=−2

1

2

1

2

1

2

1

222

222

22

22ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕθϕθ dffndffndfnmdfnm ijjjiiijijjiji ∫ .

Исключая из последних двух равенств слагаемое

72

∫ ∫ ′′−′′2

1

2

1

222

222ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ dffndffn ijjjii ,

получаем

2

1

2

1

2

1

)](

)([1

22

222222

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

θθ

θθϕθϕθ

jijij

ijijiji

jijiji

ffm

ffmnn

dfmdfm

′−′+

+′−′−

=+ ∫∫ (2.9)

Наконец умножим первое уравнение (2.7) на , а второе на . jf 2 if2

Повторяя проделанную выше последовательность действий, имеем 2

1

2

1

2

1

2

1

)()( 22222222

22ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕθϕθ ijjijijijiijii ffffdffnndfmdfm ′−′−−−=− ∫∫ ∫ . (2.10)

Преобразуем (2.8) как

∫

∫ ∫

−+

+′−′+′−′−

−−=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

])(

)()[( 22222222

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕθθ

θθθθϕθϕθ

dmm

ffffnn

mdfmdfm

jiji

ijijjijiji

ijiijii

и подставим в (2.9)

,)()()(

)]()([1)(

2

1

21

21

2

1

21

222222

2222222

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+′−′+′−′

−+

+′−′+′−′−

=−

∫

∫ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕθθθθθθ

θθθθϕθ

dmmffffnn

m

ffmffmnn

dfmm

jijiijijjijiji

i

jijijijijiji

jiij

а затем в (2.10)

.])()(*

*)[()()()(

2

1

21

21

2

1

2

1

21

2222

2222222222

2

∫

∫ ∫

′−′+′−′+

−−

+′−′−−−=+−

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

θθθθϕθθ

ϕϕθ

ijijjijiji

jiji

iijjijijijiij

ffffd

mmnn

mffffdffnndfmm

Исключая из последних двух выражений и преобразовывая, ∫2

1

2

ϕ

ϕ

ϕθ df ji

находим

.)](

)())([(2)(

21

2

1

2

1

22

22222222

2244

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

θθ

θθϕθθϕ

ijiii

jijijijjijijijijiji

ffm

ffmffffnndmmdffnn

′−′−

−′−′+′−′−−−=− ∫ ∫ (2.11)

Согласно определения

⎭⎬⎫

=+′=+′

0)()(0)()(

2222

1212

ϕβϕαϕβϕα

ffff

. (2.12)

73

Поскольку условию (2.12) должны удовлетворять все частные решения уравнения (2.1) то

⎭⎬⎫

=+′=+′

0)()(0)()(

1212

1212

ϕβϕαϕβϕα

jj

ii

ffff

. (2.13)

Умножая первое уравнение (2.13) на )( 12 ϕjf , а второе на )( 12 ϕif и вычитая почленно одно из другого, получаем

0)()()()( 12121212 =′−′ ϕϕϕϕ ijji ffff . Точно также находим

0)()()()( 22222222 =′−′ ϕϕϕϕ ijji ffff По построению 2f

⎭⎬⎫

=+′

=+′

0)()(

0)()(

11

11

ϕβθϕθα

ϕβθϕθα

ii

jj . (2.14)

Умножая первое уравнение (2.13) на )( 1ϕθ j и первое уравнение (2.14) на и преобразовывая уже известным образом, имеем )( 12if ϕ

0)()()()( 121112 =′−′ ϕϕθϕθϕ ijji ff . и аналогично

0)()()()( 222222 =′−′ ϕϕθϕθϕ ijji ff . Производя подобные действия со вторыми уравнениями (2.13) и (2.14),

легко определить, что 0)()()()( 112112 =′−′ ϕθϕϕθϕ ijii ff

и 0)()()()( 222222 =′−′ ϕθϕϕθϕ ijii ff .

Сравнивая полученные результаты с правой частью (2.11) и вспоминая, что, как известно, при рассматриваемых граничных условиях и i j≠

∫ =2

0ϕ

ϕ

ϕθθ dji , получаем тем самым утверждение теоремы.

Следствие

При ji = , 002

1

2

1

2

1

*2

*222 === ∫∫ ∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕθϕθ dffdfdf jiijji

где , а - произвольные ϕϕϕϕ ),(),(),(),(*

),(2 jijijijiji SinndCosnCf += ),(),( jiji dиCпостоянные.

Теорема 2 Произвольная достаточно гладкая функция )(ϕF , удовлетворяющая

граничным условиям (2.12), может быть представлена равномерно сходящимся рядом вида

ϕϕϕϕϕϕϕ iiii

iiiii SinndCosnCSinnBCosnAF +++= ∑∞

=1()( , (2.15)

74

где - всё возрастающая последовательность фундаментальных чисел in, а - постоянные, определяемые как iiii dCBA ,,,......321 <<<<< innnn

iiiiiiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiiiiii

i

iii

iiii

iiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiiiiii

i

CLdAkBSinnCosnnSinnCosnSinnnSinnn

L

dSinnkCosnSinnLCosn

dSinnkCosnFdSinnkCosn

dSinnLCosndSinnkCosn

SinnLCosndSinnkCosndSinnLCosnFC

SinnCosnnCosnSinnn

k

dSinnkCosnSinnLCosn

dSinnkCosnSinnLCosn

dSinnLCosndSinnkCosn

dSinnLCosnFdSinnLCosndSinnkCosnFA

==++

−+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−

++

−++

+−++

=

+

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−

++

−++

+−++

=

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫∫

;;(

(

;

))((

)()(*

)()(

*)()()(

;;

))((

))((*

)()(

*)()()(

)2,1()2,1()2,1()2,1(

)2,1()2,1()2,1()2,1(

2

)(

222

2)(

)2,1()2,1(

)2,1()2,1(2

222

)(22

)(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

ϕβϕαϕϕαϕβϕαϕϕα

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕβϕαϕβϕα

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

Рассмотрим ряд

])()([1

*)( ∑

Μ

=

+++=i

iiiiiiii SinnLCosnCSinnkCosnAF ϕϕϕϕϕϕ , (2.16)

в котором Функции, составляющие этот ряд, ограничены и iiiiii CLdAkB == ;

интегрируемы в интервале ),( 21 ϕϕ . Поэтому , а следовательно, и )(* ϕF

)()( * ϕϕ FF − можно рассматривать как функции с интегрируемым квадратом. Составим интеграл

∫ −=2

1

2* )]()([ϕ

ϕ

ϕϕϕδ dFFi , (2.17)

характеризующий среднеквадратичную ошибку приближения к )(* ϕF )(ϕF в рассматриваемом интервале. Величина iδ представляет функцию от параметров

iA и . Поэтому наилучшее приближение и iC )(* ϕF )(ϕF получится тогда, когда эти коэффициенты будут выбираться из условий

0=⋅⋅⋅=∂∂

=⋅⋅⋅=∂∂

i

i

i

iCAδδ .

Дифференцируем iδ по iA

75

0)})](()([)({2

11

=++++−∫ ∑Μ

=

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕ

dSinnkCosnSinnLCosnCSinnkCosnAF iiiiiii

iiiii

и затем по iC

0)}()]()([)({2

11

=++++−∫ ∑Μ

=

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕ

dSinnLCosnSinnLCosnCSinnkCosnAF iiiiiii

iiiii .

Принимая во внимание следствие теоремы 1 и решая совместно полученные уравнения относительно и , находим iA iC

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−

++

−++

+−++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−

+++

−++

+−++=

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫∫

2

)(

222

2)(

2

222

)(22

)(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

))((

)()(*

)()(

*)()()(

;

))((

))(()

)()(

()()(

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

dSinnkCosnSinnLCosn

dSinnkCosnFdSinnkCosn

dSinnLCosndSinnkCosn

SinnLCosndSinnkCosndSinnLCosnFC

dSinnkCosnSinnLCosn

dSinnLCosnSinnkCosndSinnL

dSinnLCosndSinnkCosn

CosnFdSinnLCosndSinnkCosnFA

iiiiii

iiiiii

iiiiii

iiiiiiiii

i

iiiiii

iiiiiiii

iiiiii

iiiiiii

i

(2.18)

Легко видеть, что найденные значения и , не только соответствуют iA iCминимуму iδ , но и ограничены. Действительно, в точке минимума должно выполняться неравенство

.0))((

)()(

2

22222

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

>⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−

−++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂⋅

∂∂

∫

∫ ∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕδδδ

dSinnkCosnSinnLCosn

dSinnLCosndSinnkCosnCACA

iiiiii

iiiiiiii

i

i

i

i

i

Сравнивая полученное выражение с известным неравенством Буняков-ского, непосредственно убеждаемся в справедливости сделанного ранее утверждения, за исключением, может быть, одного случая, который не рассматривается. Покажем далее, что система функций вида обладает 2fполнотой и ряд (2.16) сходится к "в среднем", т.е. )(ϕF 0lim =

→∞Μ321 iδ , что равносильно

76

0lim =→∞321

in

iδ . Предположим, что непрерывно дифференцируемая функция, )(ϕF

удовлетворяющая граничным условиям (2.12). Введём обозначение

∑Μ

=Μ +++−=

1)()()( )]()([

iiiiiiiii SinnLCosnCSinnkCosnAFF ϕϕϕϕρ ϕϕϕ ;

i

FPδϕ

ϕ)(

)(Μ

Μ = ,

где )(ϕρ подбирается так, чтобы . iF θρ ϕϕ 2)(2

)( =Μ

Поставим задачу о нахождении минимума функционала

∫ >+′−= ΜΜΜ

2

1

0][ )(22

)()(

ϕ

ϕϕϕ ϕdPnPG iP

при определившемся дополнительном условии

∫ == ΜΜ

2

1

12 )()(

ϕ

ϕϕ ϕθ dPH iP .

На основании теоремы Эйлера можно утверждать, что функции, дающие решение поставленной задачи, должны быть экстремалями функционала [4]

∫ ΜΜ ++′−=+ΜΜΜ

2

1

)(]2[ )(

222)()()(

ϕ

ϕϕϕ ϕθ

ϕdPmPnPHmG iiiPiP ,

для которого уравнение Эйлера iii mPnP θϕϕ =+′′ ΜΜ )(

2)(

в точности совпадает с уравнением (2.5).

Т.к. кроме того, , где ∫ =Μ

2

1

02)(

ϕ

ϕϕ ϕdfP i Μ= ...,,3,2,1i , и граничные условия

задачи о собственных значениях и рассматриваемой вариационной задачи также совпадают, то функция , дающая минимум при условии )(ϕΜP )( ΜPG

1)( =ΜPH , является фундаментальной. Поэтому всегда . Вычислим 1)( +Μ≥

ΜmG P

, переходя к ранее принятым обозначениям )( ΜPG

{ } 1][][][2

)(22

)()( *)(

*)(),()(

2

1

21][ +ΜΜΜ ≥+−=+′−= ∫ΜmGGGdPnPG

FFFFi

iPϕϕϕϕ

ϕ

ϕϕϕ δ

ϕ .

Откуда получаем

1

][],[][ *)(

*)()()(

2

+Μ

+−≤

m

GGGFFFF

iϕϕϕϕδ .

Т.к. числитель правой части этого неравенства, возрастая с возрастанием Μ , остается все же ограниченным по отношению к возрастанию , то при mлюбом сколь угодно большом , а следовательно и , всегда можно подобрать Μ nтакое , что Μ>m iδ станет меньше любого наперед заданного положительного числа ε . Следовательно,

43421∞→∞→Μ

=n

i,

0limδ . Интересно отметить, что из последнего

неравенства вытекает зависимость от . m n

77

Умножая обе части ряда (2.15) раздельно на ϕϕ jjjj SinnBCosnA + ,a затем на )( ϕϕ jjjj SinndCCosn +⋅ϕ и интегрируя (по доказанному система рассматриваемых

функций обладает полнотой) их по промежутку ),( 21 ϕϕ после преобразований, с учетом теоремы 1 и её следствия, получаем

∫∫∫

∫∫∫

++++=+

++++=+

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22)(

)(

)())(()(

))(()()(

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

dSinnLCosnCdSinnkCosnSinnLCosnAdSinnLCosnF

dSinnkCosnSinnLCosnCdSinnkCosnAdSinnkCosnF

iiiiiiiiiiiiii

iiiiiiiiiiiiii

Решая эти уравнения совместно относительно и , находим их iA iCзначения, которые в точности совпадают с (2.18). Полученный результат говорит о том, что коэффициенты (2.18), найденные для , остаются Μ=iнеизменными при увеличении числа членов ряда (2.15). Чтобы освободиться от ранее принятого ограничения непрерывной дифференцируемости функции , )(ϕF

достаточно показать, что для всякой достаточно гладкой функции )(ϕF

существует непрерывно дифференцируемая функция , удовлетворяющая )(ϕf

граничным условиям (2.12) и такая, что , где ∫ <−2

1

2)()( ][

ϕ

ϕϕϕ εϕdfF ε - любое

заданное положительное число. Не приводя доказательства последнего, которое аналогично изложенному в [5], покажем, что ряд (2,15) сходится к )(ϕF

равномерно. При этом достаточно показать, что ряд (2.15) вообще равномерно сходится. Действительно, т.к. этот ряд сходится "в среднем" к , то, сходясь )(ϕF

равномерно, он не может иметь своим пределом никакую другую функцию. Как показано ранее для (2.17) всегда можно подобрать такое Μ , не

зависящее от ϕ , что, если коэффициенты ряда (2.16) суть (2.18), то при Μ>in для всех значений ϕ в промежутке ),( 21 ϕϕ имеет место неравенство

∫ <−2

1

*2*)()( ][

ϕ

ϕϕϕ εϕdFF , где 210 ϕϕ << и . Полагая 0* >ε 0,

2

1

)(* >= ∫ εϕεε

ϕ

ϕϕ dF и считая, как и

ранее, и ограниченными, после подстановки (2.18) в (2.17) с учётом ik iLтеоремы 1, получаем

,][

])()([

)]()([

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)(*

)()()(

1)(

2)(

2

1)(

∫ ∫

∑ ∫∫

∫ ∑

<−=

=+++−=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++−

Μ

=

Μ

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕεϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

dFdFFF

dSinnLCosnFCdSinnkCosnAdF

dSinnLCosnCSinnkCosnAF

iiiiiiiii

iiiiiiiii

откуда сразу следует εϕϕ <− *)()( FF .

78

Осталось показать, что коэффициенты и действительно ограничены. ik iLПоследние определяются из граничных условий (2.12) как

,)(

)(

;

)2,1()2,1()2,1()2,1(

)2,1()2,1()2,1()2,1(

)2,1()2,1(

)2,1()2,1(

ϕβϕαϕϕαϕβϕαϕϕα

ϕβϕαϕβϕα

iiii

iiiii

iii

iiii

SinnCosnnSinnCosnSinnnCosn

L

SinnCosnnCosnSinnn

k

++−+−

=

+−

=

где и не совпадает с корнями уравнений 0≠in

0)(0

)2,1()2,1()2,1()2,1(

)2,1()2,1(

=++

=+

ϕβϕαϕϕα

ϕβϕα

iiiii

iii

SinnCosnnSinnnSinnCosnn

Из выражений и видно, что при неограниченном возрастании , ik iL inпоследние остаются ограниченными. Остававшиеся неизвестными коэффициенты ряда (2.15) определятся как

iiiiii CLdAkB == Т.о. теорема доказана. Не выявляя дальнейших отличий ряда (2.15) и

обычного ряда Фурье, представляющих решение уравнения (2.1), ограничимся определившейся возможностью формального оперирования с этим рядом.

§3. Термоупругий потенциал перемещения Решение уравнений (1.1) ищем в виде линейной комбинации трех не-

зависимых функций 20),,( ÷=Φ mrm ϕ . Первая из них , называемая в 0Φ

дальнейшем термоупругим потенциалом перемещения, образует частное решение системы (1.1). Две остальные - суть независимые решения ypaвнений Ламе. Полагая

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂Φ∂

⋅+

=

∂Φ∂

+=

ϕμλβ

μλβ

00

00

12

2

rV

rU

(3.1)

и подставляя в (1.1), получаем ),(0

2 ϕrf=Φ∇ (3.2) Считая в дальнейшем функцию ),( ϕrf гармонической в целом и беря

операцию от обеих частей равенства (3.2), находим 2∇00

22 =Φ∇∇ . Т.о. функция является бигармонической функцией. Вследствие 0Φ

наложенных выше на ),( ϕrf ограничений, а также учитывая результаты § 2, можно полагать, что она представима сходящимся рядом вида

].)()(

)lnln(*

*)lnln[(),(

,4,3,8,7

,8,7,6,5

,4,3,21

,1

ϕϕϕνϕ

ϕϕ

ϕ

iin

iin

iiin

iin

i

iin

iin

iin

iin

ii

in

iin

iin

iin

i

nv

nv

nnv

nv

n

nv

nv

nv

nv

nn

vn

vn

vn

i

vn

SinvrCrCCosrCrC

SinvrrCrrCrCrCCosv

rrCrrCrCrCrf

−−

−−

−−∞

=

+−+−+

+++++

+++=∑

79

Введём обозначения

.

;

;)(

;)(

;ln

;ln

6,6,2

5,5,1

4,4,84

3,3,73

2,8,42

1,7,31

θϕϕ

θϕϕ

θϕϕϕ

θϕϕϕ

θϕϕ

θϕϕ

=+

=+

=+−=

=−=

=+=

=+=

−

−

iiii

iiii

iiiiin

iiiiin

iiiiin

iiiiin

nnnn

nnnn

nnnnv

nnnnv

nnnnv

nnnnv

SinvCCosvC

SinvCCosvC

SinvCCosvCRr

SinvCCosvCRr

SinvCCosvCRrr

SinvCCosvCRrr

Тогда (3.2) представится как 4433221163540

2 θθθθθθ RRRRRRi +++++=Φ∇ . Решение этого уравнения по обобщенному способу Фурье в виде

,)(642

)(532

2)(31)(13)(86)(4)(745)(20

ϕϕ

ϕϕ θθθθ

fRrfRr

ffRfffRf rrrri

++

++++++=Φ (3.3)

где пока произвольные функции, )(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1 ,,,,,,, rrrrrrrr ffffffff

зависящие соответственно только от r и ϕ . Подставляя (3.3) в последнее уравнение, после преобразований получаем:

,0])2[(])2[(

][1][1

11

11

3)(5)(52

34)(6)(62

4

)(8)(82

32)(7)(72

42

2)(32

2

)(3)(321)(12

2

)(1)(11

3)(42

2

)(4)(464)(22

2

)(2)(25

=−′′+++−′′+−+

+′′++′′++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−′+′′+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−′+′′+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−′+′′+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−′+′′

θθ

θθ

θθ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ffvRffvR

ffvRr

ffvRr

Rfrv

fr

fRfrv

fr

f

Rfrv

fr

fRfrv

fr

f

ii

ii

ii

ii

nn

nn

rn

rrrn

rr

rn

rrrn

rr

откуда следует

;1

;1

;1

1)(12

2

)(1)(1

3)(42

2

)(4)(4

4)(22

2

)(2)(2

Rfrv

fr

f

Rfrv

fr

f

Rfrv

fr

f

rn

rr

rn

rr

rn

rr

i

i

i

=−′+′′

=−′+′′

=−′+′′

;0

;0

;1

)(82

)(8

)(72

)(7

2)(32

2

)(3)(3

=+′′

=+′′

=−′+′′

ϕϕ

ϕϕ

fvf

fvf

Rfrv

fr

f

i

i

i

n

n

rn

rr

.)2(

;)2(

3)(52

)(5

4)(62

)(6

θ

θ

ϕϕ

ϕϕ

=++′′

=−+′′

fvf

fvf

i

i

n

n

80

Применяя метод вариации постоянных при интегрировании последних уравнений с правой частью, получаем окончательное выражение для термоупругого потенциала перемещения в виде

],)

()(

)lnlnlnln

()lnln

lnln[(

28,0

27,0

6,05,02

16,02

15,014,013,0

216,0

215,014,013,0

212,0

211,010,09,0

28,0

27,0

6,05,02

4,02

3,02,01

1,00

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

iinin

inin

iinininin

iininininin

ininin

iinin

inininininin

nvv

vvn

vvvv

nvvvvv

vvvn

vv

vvvvv

i

v

Sinvrara

raraCosvrararara

Sinvrrarrarrarrara

rararaCosvrrarra

rrarrarararara

+−+

+−+−

+−+−+−

+−+−+

−+−+−∞

=

+−

−+−+−+−+

++++++

++++++

++++++=Φ ∑

(3.4)

где

;1)1(4

11)1(4

1

;1)1(4

1;1)1(4

1

;)1(4

;)1(4

;)1(4

;)1(4

,8,612,0

,7,511,0

,4,24,0

,3,13,0

,816,0

,715,0

,37,0

,48,0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−=

−−=

+−=

+−=

−−=

i

ii

ii

ii

i

i

ii

ii

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

n

nn

nn

nn

n

n

nn

nn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

vC

Cv

avC

Cv

a

vC

Cv

avC

Cv

a

vC

avC

avC

avC

a

а - пока произвольные постоянные. Следует 14,013,010,09,06,05,02,01,0 ,,,,,,, aaaaaaaa

отметить, что для интегрирования (3.2) условие гармоничности функции f ),(r ϕ в целом вовсе не обязательно. 0но принято здесь для упрощения выкладок.

В случае, если ),( ϕrf не может быть приведена к виду суммы произведений функций, зависящих лишь от одной переменной, для интегрирования уравнений (3.2) следует прибегнуть к методам теории потенциала при условии наложения на ),( ϕrf некоторых весьма общих ограничений.

Не останавливаясь на подробном разборе этих случаев, заметим только, что принятый характер распределения температуры в теле не умаляет общности проделанных ниже выводов.

§4. Интегрирование уравнений Ламе Термоупругий потенциал перемещения (3.4) позволяет перейти от

неоднородных уравнений (1.1) к системе однородных уравнений (4.1)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=∂∂

+∇+−∂Δ∂+

=∂∂

−∇+−∂Δ∂

+

02)(

02)(

22

2

22

2

ϕμμμ

ϕμλ

ϕμμμμλ

Ur

VrV

r

Vr

UrU

r . (4.1)

Следуя методу Б.Г. Галеркина, будем искать решение системы (4.1) в виде линейных комбинаций двух независимых функций перемещения [2]. Вследствие невозможности непосредственного преобразования этих

81

комбинаций от декартовых координат к полярным будем искать их в следующем виде:

Положим

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂Φ∂+

−∂∂Φ∂

=

∂Φ∂

+−∂Φ∂

+Φ∇=

ϕϕ11

2

1

12

12

12

1

)1(2

)12(

rB

rV

rB

rrBrU

, (4.2)

где μλμλ

++

−=2B

Подставляя (4.2) в систему (4.1), после сокращений имеем 01

22 =Φ∇∇ . Следовательно, - произвольная бигармоническая функция двух 1Φ

переменных r и ϕ , а (4.2) суть решение системы (4.1). Полагаем далее

rB

rBrV

rB

rU

∂Φ∂

−∂Φ∂

+Φ∇=

∂Φ∂

+∂∂Φ∂

=

22

22

22

2

222

2

21

2

ϕ

ϕϕ (4.3)

Произведя подстановку (4.3) в систему (4.1), получаем 02

22 =Φ∇∇ . Следовательно, есть также произвольная бигармоническая функция 2Φ

двух переменных r и ϕ , независимая притом от 1Φ ,а система (4.3) суть решение системы (4.1). Каждую из 2,1, =Φ mm будем искать в форме, аналогичной (3.4), но с неопределёнными коэффициентами, т. е.

])(

)(*

*)lnlnlnln

()lnln

lnln[(

28,

27,6,5,

216,

215,14,13,

216,

215,14,13,

212,

211,10,9,

28,

27,

6,05,2

4,2

3,2,1

1,

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

i

inininin

i

inininin

i

ininininin

ininin

i

inin

inininininin

nv

mv

mv

mv

m

nv

mv

mv

mv

mn

vm

vm

vm

vm

vm

vm

vm

vmn

vm

vm

vvm

vm

vm

vm

i

vmm

Sinvrararara

CosvrarararaSinv

rrarrarrarrara

rararaCosvrrarra

rrarrarararara

+−+−

+−+−

+−+−+−

+−+−+

−+−+−∞

=

+−+−+

+−+−+

+++++

++++++

++++++=Φ ∑

§5. Термоупругие напряжения Вследствие линейности (1.1), составим их обобщенное решение в виде

суммы решений (3.1), (4.2) и (4.3)

82

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

∑

∑

=

=

2

0

2

0

mm

mm

VV

UU. (5.1)

Легко проверить, что уравнения (5.1) помимо (1.1) удовлетворяют также и тождественным соотношениям Сен-Венана. Компоненты тензора напряжения запишутся при этом как:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎦⎤

∂Φ∂

+∂Φ∂−

+∂Φ∂

−∂∂Φ∂

+

+∂Φ∂+

+∂∂Φ∂+

−∂∂Φ∂

+Φ∇∂∂

+

+Φ∇∂∂

+∂Φ∂

+−

∂∂Φ∂

⎢⎣

⎡+

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∇

∂∂

+Φ∇∂∂

++Φ∇+

=

−∂Φ∂

+∂Φ∂+

−∂Φ∂

+

+∂Φ∂

++

∂∂Φ∂−

−∂Φ∂

+∂Φ∂+

−

−∂∂Φ∂

+∂Φ∂

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∇+Φ∇

∂∂

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∇

∂∂

+Φ∇∂∂

++Φ∇+

=

−∂Φ∂

−∂∂Φ∂

+∂∂Φ∂

+

+∂Φ∂

−∂Φ∂

+∂Φ∂

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ∇

∂∂

+Φ∇+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ∇

∂∂

+Φ∇∂∂

++Φ∇+

=

;2)1(222

)1(4)1(42)

(22

22

;)1(2

;]2)12(

121

)12(1)1(2

112

[22

)1(2

;)22

22

(22

)1(2

22

22

222

2

21

3

12

12

21

3

12

220

20

2

22

12

02

22

12

12

022

32

3

221

2

2

21

3

20

2

212

22

22

12

02

22

22

22

3

21

2

31

3

20

2

12

12

22

12

02

rrB

rB

rB

r

rB

rrB

r

rrB

rrr

Tr

rB

TrB

rrB

r

rrrrB

rrB

rrrB

rrB

TrB

rrB

r

rB

rr

rrrB

rrrB

ср

z

r

ϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕμλβ

ϕμλβμτ

βϕ

λμλ

λβσ

βϕ

μβ

ϕϕϕ

ϕϕμλβμ

ϕμ

ϕλ

μλλβσ

βϕϕϕ

μλβμμ

λμλ

λβσ

ϕ

(5.2)

Как видно из (5.2), компонент zσ не исчезает, и только благодаря его наличию обеспечивается состояние плоской деформации. Применяя далее граничные условия, приведенные в §1, к уравнениям (5.2), находим, что

.0;0;0;0;0;0

;;0;0;0

7,215,110,210,15,25,1

14,214,19,25,12,21,2

7,115,213,213,16,26,11,21,1

======

======

−=======

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaa

83

Остальные коэффициенты определятся из системы 22-х линейных уравнений относительно этих неизвестных коэффициентов единственным образом. Ввиду громоздкости их выражения, последние здесь не приводятся.

Легко видеть, что компоненты тензора напряжения, скомбинированные в виде суммы компонентов термоупругого потенциала напряжения и функции напряжений Эри, которые, как известно, могут быть представлены в форме:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ

+−

∂∂

∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ

+−∇=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ

+−

∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ

+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

0

02

02

2

02

2

2

221

;2

2

;2

2

;2

211

μλμβ

ϕτ

μλμβμσ

μλμβσ

μλμβ

ϕσ

ϕ

ϕ

Frr

F

Fr

Frrr

r

z

r

не могут удовлетворить поставленным в §1 граничным условиям. Действительно, как следует из самого хода решения задачи в рассматриваемом случае температурного поля и граничных условий, качественный вид функции напряжений Эри должен полностью определяться видом функции, полученной для потенциала напряжения. Только при этом потребуется минимальное количество соотношений, связывающих неизвестные постоянные компонентов тензора напряжения для удовлетворения поставленных граничных условий. Поскольку это количество соотношений, как и ранее, остается равным 22-м и значительно превышает в этом случае число определяемых постоянных, непосредственно убеждаемся в правильности первоначального вывода.

Рассмотрим вариант, когда на границах тела приложены внешние силы, определяемые функциями двух независимых переменных r и ϕ .

В этом случае решение системы (1.1) должно быть представлено в виде суммы частного решения, удовлетворяющего нулевым граничным условиям, и решения, соответствующего этим внешним поверхностным силам. Последнее следует искать в виде:

;)12(21

;2)12(

112

22

22

22

222

12

12

12

ϕϕϕ

ϕϕ

∂Φ∂+

−∂∂Φ∂

+∂Φ∂

−∂Φ∂

+Φ∇=

∂Φ∂

+∂∂Φ∂

+∂Φ∂

+−∂Φ∂

+Φ∇=

rB

rrB

rBrV

rB

rrB

rrBrU

Где 0)2,1(22 =Φ∇∇

Форма 1Φ и 2Φ , вообще говоря, уже может не совпадать с данной в (4.4) и будет определяться видом заданных внешних сил.

84

Список литературы 1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. 2. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Гостехиздат, 1947. 3. Мелан Э. и Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стацио-

нарными температурными полями. М.: Физматгиз, 1958. 4. Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики. Т.2.-М.:

ГИТТЛ, 1935. 5. Толстов Г.П. Ряды Фурье. - М.: Физматгиз, 1960.

85

ТЕРМОУПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЛСТОСТЕННОМ ЦИЛИНДРЕ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ТРЕХМЕРНЫМ СТАЦИОНАРНЫМ

ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ Интегрирование термоэластичных уравнений Дюгамеля-Неймана в

общем случае трехмерного температурного поля и граничных условий применительно к толстостенному цилиндру, вследствие своего большого прикладного значения, привлекало многих авторов. 0бширный материал по этому вопросу, содержащийся, например, в таких капитальных работах как [4, 5, 6] и др., а также в многочисленных журнальных статьях носит, по существу частный характер. Развитием результатов, полученных в [2], для трехмерного пространства в данной работе определены термоупругие напряжения в толстостенном цилиндре, вызываемые стационарным температурным полем, выраженные линейной комбинацией термоупругого потенциала перемещения и трех независимых бигармонических в целом функций. Каждая из них является обобщенным интегралом уравнения 022 =Φ∇∇ и представлена равномерно сходящимися рядами нового типа, в состав которых входят как гармонические и бигармонические, так и псевдогармонические и псевдобигармонические составляющие. Благодаря такой структуре рядов единственным образом определяются все составляющие тензора напряжения при достаточно общих граничных условиях.

§1. Постановка задачи Определим термоупругие напряжения в однородном изотропном

толстостенном цилиндре высотой Н (см. рис. 1), возникающие в нём под действием трехмерного стационарного температурного поля.

Поместим начало координат в т. 0 и зададимся следующими условиями:

Рис. 1

1. Внутри и на поверхностях цилиндра известен закон распределения температуры T f ),,( zr= ϕ . В дальнейшем в отношении произвольной функции ),, z(rf ϕ будут установлены некоторые ограничения.

2. Все поверхности цилиндра свободны от действия внешних сил.

3. Mассoвые силы пренебрежимо малы. 4. Упругие и термические постоянные

материала цилиндра не зависят от температуры. В этом случае поле перемещений внутри и

на границе тела описывается дифференциальны-ми уравнениями Дюгамеля-Неймана:

86

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ

∂∂

=∇+∂Δ∂

+

∂∂

=∂∂

+∇+−∂Δ∂+

∂∂

=∂∂

−∇+−∂Δ∂

+

2

2

2

2

22

22

*2

*

22

2

*2

22

11

1)(1

)(

2)(

2)(

zrrrr

zW

rV

rrU

rr

zTW

z

Tr

Ur

VrV

r

rTV

rU

rU

r

ϕ

βμμλ

ϕβ

ϕμμμ

ϕμλ

βϕ

μμμμλ

, (1.1)

где 2

2

2

2

22

22 11

zrrrr ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ϕ

WVU ,, - перемещения соответственно вдоль осей ,,ϕr и z. λ и μ - коэффициенты Ламе и Пуассона.

*β - коэффициент температурной деформации в обозначениях А. Лява [1]. Будем искать нетривиальное решение этих уравнений, удовлетворяющее

указанным ранее граничным условиям, которые могут быть переписаны так:

∫∫∫∫∫

∫∫∫ ∫ ∫

======

======

====

====

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

;0;0;0;0;0.4

;0;0;0;0;0;0.3

;0;0;0;.2;0;0;0;.1

2

1

R

Rz

R

Rz

R

Rrz

R

Rz

R

Rz

R

Rz

R

Rz

R

R

R

R

R

Rrzzz

rzrr

rzrr

rdrdrdrrdrdrHz

rdrdrdrrdrdrz

RrRr

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

τττσσ

τττσσ

ττσ

ττσ

При определении граничных значений напряжений на торцевых поверхностях цилиндра используется принцип Сен-Венана.

§2. Обобщенный способ Фурье и основная теорема Рассмотрим вспомогательное уравнение

011 2

2

2

22

2

=∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂Φ∂

zrrrr ϕ. (2.1)

Как было показано в [2] в отличие от существующего способа будем искать его частное решение в виде

)()()(3)()()(2)()()(1 ϕϕϕ θθ rzzrzr RfzRfzf ++=Φ , (2.2) где ),()(2)()(1 ,,, ϕϕ θfRf rr и - функции, зависящие соответственно от )()(3 , zz zf

одной переменной ϕ,r или z . Подставляя (2.2) в (2.1), после преобразований имеем:

87

.11

111

233

22222

212

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

+′

+′′

−′′

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

+′

+′′

+′′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

+′′

+′

+′′

θθ

θθθθ

rRR

rRR

zf

zf

zzr

RRr

RRrff

rzzr

Rf

rRf

rRf

(2.3)

Поскольку функции θ,R и z оставались произвольными, наложим на них следующие три ограничения

,11

;

;

22

2

2

mrR

RrR

R

mzz

n

−=′′

+′

+′′

=′′

−=′′

θθ

θθ

где и m - постоянные, которые аналогичны требованию, чтобы n)]()()[)(( *

6*5

*4

*3

*2

*1 mrYCmrJCSinnCCosnCeCeCZR nn

mzmz +++= − ϕϕθ (2.4) являлось решением (2.1). Таким образом, правая часть (2.3) зависит только от z , и не зависит от r и ϕ ,a левая - наоборот, следовательно

,

;1)(11

33

2222

22212

11

kZfm

Zf

kfnfr

nrmRf

rRf

rRf

=−′′

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

′′+−+

′+′′

θθ

где k - постоянная. Из последнего уравнения методом вариации постоянных находим

mznm

mznm

mznm

mznm zeCzeCeCeCf −− +++= **

,4**,3

**,2

**,13 .

Продолжая далее разделение переменных, получаем

θθ22221222112 )( fnfkr

Rfnrm

Rfr

Rfr −

′′−=+−+

′+′′

.

И так как правая часть этого равенства зависит только от ϕ и не зависит от r , а левая - наоборот, то

lkrRfnrm

Rfr

Rfr

lfnf

=+−+′

+′′

−=+′′

21222112

222

)(

θθ (2.5)

где l - также постоянная. Методом вариации постоянных находим

88

∫ −′

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

++=

+++=

)()(

)([)()()(

,

*,112

*,10

*,91

*,8

*,7

**,6

**,52

mrYmrJ

mrJCkrl

mrJmrYCmrJCf

SinnCCosnCSinnCCosnCf

nn

nnm

nnnmnnm

nmnmnmnm ϕϕϕϕϕϕ

∫ ′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+′−

+)()()()(

)()]()([)(

)()()()](

*,12

*,112*

,12

mrYmrJmrYmrJ

drmrJmrYCmrJCkrl

mrYmrYmrJ

drmrYmrYC

nnnn

nnnmnnm

nnn

nnnm ;

Тогда частное решение уравнения (2.1) окончательно принимает вид

[

[ ]

[ ]} { [

[

∫∫

∫∫

∫

∫

∫

∫

−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−++′−

+

−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+++

−++⎥⎦

⎤

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+′−

+

−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−++⎥⎦

⎤

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+′−

+

−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+=Φ

−

−

)()(

)()(

)()()()(

)()()(*

*)()()()()(

)()(

)()(

)()(

)()()()(

)()()(*

*)()()()()(*

*2

)()(2)(*

)(*

*)()()(

*)()()(

)()()()(

)()(

)()()()(

)(*)(*

*)()()(

*)()()(

)()()()(

)()(

)()()()([{

,152,16,152

,14,13,12

,112,12,112

,10,9,8,7

,4,3

,8,72,8

,72

,6,5

,4,32,4

,32

,2,1

mrYmrJ

mrJCkrl

mrYmrYmrJmrYmrJ

drmrYmrYCmrJCkrl

mrJmrYCmrJCemrYmrJ

drmrJmrYC

mrYmrJ

mrJCkrl

mrYmrYmrJmrYmrJ

drmrYmrYCmrJCkrl

mrJmrYCmrJCeCosnmrYCmrJC

mkzemrYCmrJC

mkze

mrYdrmrJ

mrJmrYmrJ

mrYCmrJCkrl

mrYmrYmrJ

drmrYmrYC

mrYmrJ

mrJCkrl

mrJmrYCmrJCemrY

drmrJ

mrJmrYmrJ

mrYCmrJCkrl

mrYmrYmrJ

drmrYmrYC

mrYmrJ

mrJCkrl

mrJmrYCmrJCe

nn

nnm

nnnnn

nnnmnnm

nnnmnnmmz

nn

nnnm

nn

nnm

nnnnn

nnnmnnm

nnnmnnmmz

nnmnnm

mznnmnnm

mz

n

n

nnn

nnmnnm

nnn

nnnm

nn

nnm

nnnmnnmmz

n

n

nnn

nnmnnm

nnn

nnnm

nn

nnm

nnnmnnmmz

ϕ

Продолжение формулы (2.6) на следующей странице.

89

[ ]

[ ]} { [ ]

[ ] [

[ ] ϕϕ

ϕϕ

ϕ

SinnmrYCmrJCnlemrYC

mrJCnleCosnmrYCmrJC

nle

mrYCmrJCnleSinnmrYCmrJC

mkzemrYCmrJC

mkze

mrYmrJdrmrJmrYC

nnmnnmmz

nnm

nnmmz

nnmnnmmz

nnmnnmmz

nnmnnm

mznnmnnm

mz

nn

nnnm

⎭⎬⎫+++

⎩⎨⎧ +−

⎭⎬⎫++

++++

−++⎥⎥⎦

⎤

′−

+

−

−

)()(2

)](

)(2

)()(2

)()(2

)()(*

*2

)()(2)()(

)()(

,8,7,4

,3,16,15

,12,11,16,15

,12,11,16

(2.6)

где )16...,,3,2,1(, =ρρ nmC - постоянные, определяемые из граничных условий. Полагая, что, как и в случае (2.4), чисел и может быть in jm

бесчисленное множество (из этого множества будут приниматься во внимание только вещественные значения) в качестве решения можно рассмотреть ряд

∑∑∞

=

∞

=

Φ=Φ1 1i j

ij ,

который при некоторых условиях равномерно сходится к обобщенному решению уравнения (2.1)

Не останавливаясь на подробном анализе отличий (2.6) от обычного решения (2.4) уравнения (2.1) докажем следующие три теоремы.

Теорема 1Фундаментальные функции вида , удовлетворяющие при и 1f 1Rr = 2Rr =

граничным условиям 011 =+′ ff βα , где α и β - постоянные, обладают свойством обобщенной ортогональности, т.е.

∫ =2

1

011

R

Rji drfrf при ji ≠ .

Действительно, по построению своему, функции удовлетворяют 1fypaвнению (2.5), если заменить в нём на и m im k на . Тогда ik

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+′+′′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+′+′′

jjjjjj

iiiiii

Rkrlf

rnmf

rf

Rkrlf

rnmf

rf

212

22

11

212

22

11

1

1

. (2.7)

Умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем почленно jrf1 irf1

одно из другого. Интегрируя затем полученное выражение по промежутку находим ),( 21 RR

∫ ∫∫ −′′−′′−−−=−2

1

2

1

2

1

)(()()( 1111)111122

R

Rijji

R

Rijjiji

R

Rjiji drffffrdrfRfRrkkdrfrfmm

∫ ′−′−2

1

)( 1111

R

Rijji drffff .

90

Берем четвертый интеграл по частям

∫∫∫ ′−′−=′′2

1

2

1

2

1

2

1

11111111

R

Rij

R

Rji

R

R

R

Rijji drffrdrfffrfdrffr .

Производя точно такие же действия со вторым интегралом и подставляя полученные результаты в исходное равенство, имеем:

∫∫ ′−′−−−=−2

1

2

1

2

1

)]([)()()( 1111111122

R

R

RRjiijijjiji

R

Rjiji ffffrdrfRfRrkkdrfrfmm . (2.8)

Умножим далее первое уравнение (2.7) на , а второе уравнение на jrR jrRи вычтем почленно одно из другого. Интегрируя полученное выражение, как и ранее, по промежутку получаем ),( 21 RR

.)(

)()()()(

2

1

2

1

2

1

2

1

11111122

∫

∫ ∫∫

−−

−′−′−′′−′′−=−−

R

Rjiji

R

R

R

Rijjijiij

R

Rijjiji

drRrRkk

drRfRfdrfRfRrdrRfRfrmm

Беря третий и четвертый интегралы по частям и подставляя полученные результаты в исходное уравнение, после уже известных преобразований получаем

.)(

)()]([)()(

2

1

2

1

21

2

1

11

111122

∫

∫∫

′′−′′+

+−−′−′−=−−

R

Rjiij

R

Rjiji

RRjiij

R

Rijjiji

drfRfRr

drRrRkkfRfRrdrRfRfrmm

Берем далее по частям в последнем выражении четвертый и пятый интегралы. После простых преобразований имеем

{

.})()]([

)]([)(2

1)(

2

1

21

21

2

1

11

112211

∫

∫

−−′−′+

+′−′−−

=−

R

Rjiji

RRjiij

RRjiij

ji

R

Rijji

drRrRkkfRfRr

fRfRrmm

drRfRfr

(2.9)

Подставляя наконец (2.9) в (2.8), находим

{

.)]([})()]([

)]([)(2

)()(

21

2

1

21

21

2

1

111111

11221122

RRjiij

R

Rjiji

RRjiij

RRjiij

ji

jiR

Rjiji

ffffrdrRrRkkfRfRr

fRfRrmm

kkdrfrfmm

′−′−−−′−′+

+′−′−−

−=−

∫

∫ (2.10)

Согласно определению

⎭⎬⎫

=+′

=+′

0

0

)(1)(1

)(1)(1

22

11

RR

RR

ff

ff

βα

βα (2.11)

91

Поскольку условию (2.11) должны удовлетворять все частные решения уравнения (2.1), то

⎭⎬⎫

=+′

=+′

0

0

)(1)(1

)(1)(1

11

11

RjRj

RiRi

ff

ff

βα

βα (2.12)

Умножая первое уравнение (2.12) на , а второе на и вычитая )(1 1Rjf )(1 1Rifпочленно одно из другого, получаем

0)(1)(1)(1)(1 1111=′−′ RiRjRjRi ffff .

Точно так же находим, что 0)(1)(1)(1)(1 2222

=′−′ RiRjRjRi ffff . По построению 1f

⎭⎬⎫

=+′

=+′

0

0

)()(

)()(

11

11

RjRj

RiRi

RR

RR

βα

βα (2.13)

Умножая первое уравнение (2.13) на второе (2.12) на и )(1 1Rjf )( 1RiRпреобразовывая уже известным образом, имеем

0)(1)()(1)( 1111=′−′ RjRiRjRi fRfR .

Аналогично 0)(1)()(1)( 2222

=′−′ RjRiRjRi fRfR . Производя подобные действия со вторым уравнением (2.13) и первым

(2.12), легко проверить, что 0)(1)()(1)( 1111

=′−′ RiRjRiRj fRfR ; 0)(1)()(1)( 2222

=′−′ RiRjRiRj fRfR . Сравнивая полученные результаты с правой частью (2.10) и вспоминая,

что, как известно, при рассматриваемых граничных условиях и i j≠

∫ =2

0R

Rji drRrR получаем тем самым утверждение теоремы.

Следствие

ji ≠ ∫ ∫∫ ===2 2

1

2

1

0*1

*111

R

R

R

Rji

R

Rijji drfrfdrRrfdrRrf , При

где

;)()()()(

)()]()([)(

)()()()(

)()]()([)(

2

2*

1

∫

∫

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

+′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

rmYrmJrmYrmJ

drrmYrmYdrmJCkrl

rmY

rmYrmJrmYrmJ

drrmYrmYdrmJCkrl

rmJf

ijnijnijnijn

ijnijnijijnijij

ijn

ijnijnijnijn

ijnijnijijnijij

ijnij

ijij dC , - произвольные постоянные.

92

Теорема 2Произвольная достаточно гладкая функция , удовлетворяющая )(rR

граничным условиям (2.11), может быть представлена равномерно сходящимся рядом вида

{

,)()()()(

)()]()([)(

)(*)(*

*)()()(

*)]()([)()()(

2

1

2

)(

∫

∑ ∫

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+=∞

=

rmYrmJrmYrmJ

drrmJrmYdrmJCkrl

rmYrmYdrrmY

rmJrmYrmJ

rmYdrmJCkrl

rmJrmYBrmJAR

inininin

ininiinii

inin

in

i ininin

iniinii

ininiinir

(2.14)

где - всё возрастающая последовательность фундаментальных чисел im а и - постоянные, определяемые как iii CBA ,, id...,...321 <<<<< immmm

iiiR

R

R

R

R

Riii

R

R

R

R

R

R

R

Riiiriir

i APB

dryrxdrrydrrx

dryrxdryrRdrrydrxrRA =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫;

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

221

)(2

)(

;

iiiR

R

R

R

R

Riii

R

R

R

R

R

R

R

Riiiriir

i CHd

dryrxdrrydrrx

dryrxdrxrRdrrxdryrRC =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫;

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

221

)(2

)(

где

.

)()()()(

)()]()([

)()()()(

)()]()([

)()()()(

;)()()()(

)()]()([)(

)()()()(

)()]()([)();()(

2,12,12,12,1

2,12,12,12,12

2,12,12,12,1

2,12,12,12,12

2,12,1

2,12,12

2

∫

∫

∫

∫

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

+′+′

−=′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

+′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=+=

RmYRmJRmYRmJ

dRRmYRmYPRmJkrl

RmYRmJRmYRmJ

dRRmJRmYPRmJkrl

H

RmYRmYRmJRmJ

PrmYrmJrmYrmJ

drrmJrmYHrmJkrl

rmY

rmYrmJrmYrmJ

drrmYrmYHrmJkrl

rmJyrmYPrmJx

inininin

ininiini

inininin

ininiini

i

inin

inini

inininin

ininiini

in

inininin

ininiini

iniiniini

βαβα

Рассмотрим ряд

93

{

,]})()()()(

)()()()(

)(*)(*

*)()()(

*)()()([)]()([

2

2

1

*)(

∫

∫∑

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−++=Μ

=

rmYrmJrmYrmJ

drrmJrmYHrmJkrl

rmYrmYdrrmY

rmJrmYrmJ

rmYHrmJkrl

rmJCrmYPrmJAR

inininin

ininiini

inin

in

ininin

iniini

iniiniini

ir

(2.15)

в котором а функции, составляющие этот ряд, ограничены и ,iii APB = iii CHd =

интегрируемы в интервале . Поэтому , a следовательно и , ),( 21 RR *)(τR *

)()( rr RR −

есть функция с интегрируемым квадратом. Составим интеграл

∫ −=2

1

2*)()( ][

R

Rrri drRRrδ , (2.16)

характеризующий среднюю квадратичную ошибку приближения к в *)(τR )(rR

рассматриваемом интервале. Величина iδ представляет функцию от параметров

iA и . Поэтому наилучшее к приближение получится тогда, когда эти iC *)(τR )(τR

коэффициенты будут выбираться из условий

0=⋅⋅⋅=∂

=⋅⋅⋅=∂

i

i

i

i

CA δδ

δδ .

Дифференцируем iδ по iA

0)]()([)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()([)]()([

2

2

1)(

2

1

=+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

+′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+⎩⎨⎧

+−

∫

∫∫ ∑Μ

=

rdrrmYPrmJrmYrmJrmYrmJ

drrmJrmYHrmJkrl

rmY

rmYrmJrmYrmJ

drrmYrmYHrmJkrl

rmJCrmYPrmJAR

iniininininin

ininiini

in

inininin

ininiini

inii

R

R iniinir

и затем по iC

.0])()()()(

)()()()(

)()()()(

)()(

)()([

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()([)]()([

2

22

2

1)(

2

1

=′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+′−

+

−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

+′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+⎩⎨⎧

+−

∫

∫∫

∫∫ ∑Μ

=

rdrrmYrmJrmYrmJ

drrmJrmYHrmJkrl

rmYrmYrmJ

drrmYrmYH

rmYrmJ

rmJkrl

rmJrmYrmJrmYrmJ

drrmYrmYHrmJkrl

rmY

rmYrmJrmYrmJ

drrmYrmYHrmJkrl

rmJCrmYPrmJAR

inininin

ininiini

ininin

inini

inin

ini

ininininin

ininiini

in

inininin

ininiini

inii

R

R iniinir

Принимая во внимание следствие теоремы 1 и решая совместно полученные уравнения относительно и , находим iA iC

94

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−

=

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫∫

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

22

)(2

)(

2

22

)(2

)(

R

R

R

Rii

R

Rii

R

R

R

R

R

Riiir

R

Riir

i

R

R

R

Rii

R

Rii

R

R

R

R

R

Riiir

R

Riir

i

dryrxdrrydrrx

dryrxdrxrRdrrxdryrR

C

dryrxdrrydrrx

dryrxdryrRdrrydrxrR

A

. (2.17)

Как видно из (2.17), найденные значения и не только iA iCсоответствуют минимуму iδ , но и ограничены. Действительно в точке минимума должно выполняться неравенство

02

22

22

2

2

2

2 2

1

2

1

2

1

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂⋅

∂∂

∫ ∫∫R

R

R

Riii

R

Ri

ii

i

i

i

i

i dryrxdrrydrrxCACAδδδ .

Сравнивая полученное выражение с известным неравенством Буняковского, а также учитывая ограниченность функций и при условии, ix iyчто не является корнем уравнения im )()()()( rmYrmJrmYrmJ inininin ′−′ ни при каких значениях r в интервале , непосредственно убеждаемся в ),( 21 RRсправедливости сделанного ранее утверждения, за исключением может быть одного случая, который не рассматривается. Обозначим минимальное значение в интервале выражения ),( 21 RR

min)()()()( SrmYrmJrmYrmJ inininin =′−′ . И построим мажоранту ряда (2.15), как

∫

∫∑

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++=

Μ

=

})()()()()(*

*)()()()]()([{

2

2min1

)(

drrmJrmYHrmJkrlrmYdrrmY

rmYHrmJkrlrmJ

SCrmYPrmJAS

ininiiniinin

iniiniini

ini

iinir

(2.18)

Полагая коэффициенты и ограниченными и сравнивая (2,14) с (2.18) iP iHзамечаем, что, начиная с некоторого достаточно большого , все Μ<iпоследующие члены ряда (2.18) соответствующих членов (2.14). Поскольку ≥при сколь угодно большом ряд (2.18), являющийся степенным, сходится в Μинтервале , при в чём нетрудно убедится по обычному ),( 21 RR 210 RR <<признаку Даламбера, то, как известно, ряд (2.14) также будет сходящимся в интервале и притом равномерно. И т.к. непосредственно следует, что ),( 21 RR

{ 0][lim 2*)()(

2

1

=−∫∞→

drRRrR

Rrr

i

,

95

то , сходясь равномерно, не может иметь своим пределом ни какую другую *)(rR

функцию, кроме . Легко показать также, что коэффициенты (2.17), )(rRнайденные для , при увеличении числа членов ряда (2.15), как и в случае Μ=i[2], остаются неизменными. Осталось убедиться в том, что коэффициенты и iP

действительно ограничены. Из граничных условий (2.11) имеем iH

,

)()()()(

)()]()([

)()()()(

)()]()([

;)()()()(

2,12,12,12,1

2,12,12,12,12

2,12,12,12,1

2,12,12,12,12

2,12,1

2,12,1

∫

∫

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

+′+′

−=

RmYRmJRmYRmJ

dRRmYRmYPRmJkrl

RmYRmJRmYRmJ

dRRmJRmYPRmJkrl

H

RmYRmYRmJRmJ

P

inininin

ininiini

inininin

ininiini

i

inin

inini βα

βα

где - не совпадает с корнями уравнений im

0)]()()[(0)()(

2,12,12,1

2,12,1

=+

=+′

RmYPRmJRmJRmYRmY

iniinin

inin βα

Из выражений и видно, что при неограниченном возрастании , iP iH imпоследние остаются ограниченными. Оставшиеся неизвестными коэффициенты рада (2.14) определятся, как

iiiiii CHdAPB == . Т.о. теорема доказана. Не выявляя дальнейших отличий ряда (2.14) от

обычного ряда Фурье по бесселевым функциям, представляющих решение уравнения (2.1), докажем третью и основную теорему.

Теорема 3Произвольная достаточно гладкая функция ),( ϕrF , удовлетворяющая

граничным условиям

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+∂

∂

=+∂

∂

0)()(

0)()(

2,112,1

2,11

2,12,1

2,1

ϕβϕϕ

α

βα

FF

RFRRF

(2.19)

в области D , ограниченной кривыми 2121 ,,, ϕϕϕϕ ==== RrRr может быть представлена равномерно сходящимся рядом вида

∫

∫∑∑

+′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+=∞

=

∞

=

ϕ

ϕ

ijnjnjnjn

jnjnijjnijj

jnjn

jn

jnjnjn

jnijjnijj

jni j

jnijjnij

CosnrmYrmJrmYrmJ

rmJrmYdrmJCkrl

rmYrmYrmY

rmJrmYrmJ

rmYdrmJCkrl

rmJrmYBrmJArF

iiii

iii

i

i

i

iii

ii

iii

])()()()(

)()()()(

)(*)(*

*)()()(

*)()()()()({[),(

2

2

1 1

Продолжение формулы смотри на следующей странице.

96

})]()([)](

)([])()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()()()([

**

**2

**2

**

ϕϕϕϕ

ϕ

ijnijjnijijnij

jnijijnjnjnjn

jnjnijjnijj

jn

jnjnjnjn

jnjnijjnijj

jnjnijjnij

SinnrmYMrmJNCosnrmYM

rmJNSinnrmYrmJrmYrmJ

drrmJrmYdrmJCkrl

rmY

rmYrmJrmYrmJ

drrmYrmYdrmJCkrl

rmJrmYBrmJA

iii

i

iiii

iii

i

iiii

iii

iii

+++

++′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

+′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−++

∫

∫

(2.20)

Где и - всё возрастающие последовательности фундаментальных in jmчисел .........,... 321321 <<<<<<<<<< ji mmmmnnnn , а и ijijijijijij MNdCBA ,,,,,

- постоянные определяемые как ****** ,,,,, ijijijijijij MNdCBA

ijiijijijiij

iiii

R

Rij

R

Riiiiiij

ij

ijijiijijiijijijij

ii

R

Riiiiiij

R

Rii

R

Rijij

R

Rijij

R

R

R

R

R

Rijijiiiiiijij

ij

ijiijijiijijijij

ii

R

Riiiiiij

R

Rii

R

Rijij

R

Rijij

R

R

R

R

R

Rijijiiiiiijij

ij

NLNCHLd

ddddrrx

drddrFddrFrx

N

CHLdCLCCHd

d

drddrFddrFrx

dddryrxdrrydrrx

dryrxdrddrFddrFrydrrxC

PkBAkAAPB

d

drddrFddrFry

dddryrxdrrydrrx

dryrxdrddrFddrFrxdrryA

****2

222*

2*

****2

2

22

2

22

22

****

2

2

22

2

22

22

;;

][

),(),(

;;;;

]

),(),(*

[*][

*]),(),([

;;;

;

]

),(),(*

[*][

*]),(),([

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

=

===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=

===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

=

∫∫ ∫∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕξςϕξϕς

ϕξςϕξϕϕξϕςϕ

ϕξς

ϕξςϕξϕϕξϕςϕ

ϕξϕς

ϕξςϕξϕϕξϕςϕ

ϕξς

ϕξςϕξϕϕξϕςϕ

ϕξϕς

ϕξςϕξϕϕξϕςϕ

.; ****ijijiijijijij NPLMNPM ==

Здесь - ijijijiiiiiiiiii HPPLkSinnLCosnSinnkCosn ,,,,);(; ***** ϕϕϕξϕϕζ +=+=

постоянные, соответствует значению , если в нём заменить на . *ijx ijx ijP *

ijP

97

Из теоремы 2 [2] следует, что ),( ϕrF в интервале ),( 21 ϕϕ может быть представлена равномерно сходящимся рядом

])()()()([),(1

**∑∞

=

+++=i

inininin SinnrbCosnraSinnrbCosnrarFiiii

ϕϕϕϕϕϕϕ

с коэффициентами

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

∫∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

)(**

)(*

2

22

2

)(*

)(*

)(2

22

2

)(

;),(),(

;),(),(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

rnirn

iiii

iiiii

rn

rnirn

iiii

iiiii

rn

iii

iii

aLb

ddd

ddrFddrFa

akb

ddd

ddrFddrFa

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕξςϕξϕς

ϕξςϕζϕϕζϕξϕ

ϕξςϕξϕς

ϕξςϕξϕϕξϕςϕ

(2.21)

В соответствии с теоремой 2 настоящего параграфа коэффициенты (2.21), в свою очередь могут быть представлены в интервале равномерно ),( 21 RRсходящимися рядами как

[ ]

[ ]

[ ];)()(

;)()()()(

)()()()(

)(*)(*

*)()()(

*)()()()()({

1

*)(

2

1

2

)(

∑

∫

∑ ∫

∞

=

∞

=

+=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

′−′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+=

jjnijjnijrn

jnjnjnjn

jnjnijjnijji

jnjn

jn

j jnjnjn

jnijjnijji

jnjnijjnijrn

rmYMrmJNa

drrmYrmJrmYrmJ

drrmJrmYdrmJCkrl

rmYrmYdrrmY

rmJrmYrmJ

rmYdrmJCkrl

rmJrmYBrmJAa

iii

iiii

iii

i

i

i

iii

ii

iiii

С коэффициентами

ijijiijijijiijijiijijiijijijijijijij

ijijij

R

Rij

R

R

R

R

R

R

R

Rijijijrnijijrn

ij

ijijij

R

Rij

R

R

R

R

R

R

R

Rijijijrnijijrn

ij

CHLdAPkBCLCAkACHdAPB

dyrxdrydrrx

dryrxdrxradrrxdryraC

dyrxdrydrrx

dryrxdryradrrydrxraA

ii

ii

********

2

22

)(2

)(

2

22

)(2

)(

;;;;;

;

;

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

======

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

=

∫∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

(2.22)

Продолжение формулы (2.22) на следующей странице.

98

;;;; ******

2*

**)(

2

1

2

1ijijiijijijijijiijR

Rij

R

Rijrn

ij NPLMNPMNLNrdrx

rdrxaN

i

====

∫

∫ (2.22)

Здесь при замене в на . Подставляя из ijij xx =*ijij Px , *

ijP *)(

*)()( ,,, rnrnrnn iiii

baba(2.21), в (2.22), получаем окончательные выражения для коэффициентов ряда (2.20), которые в точности совпадают с данными нами в определении. Составив интеграл, определяющий среднеквадратичную ошибку приближения данного выше ряда с коэффициентами (2.22) к функции ),( ϕrF в области D и рассматривая его как функцию параметров и , изложенным ваше ijij CA , ijNприёмом можно проверить, что коэффициенты (2.22) соответствуют минимуму этого интеграла. Кроме того, всегда можно подобрать такие достаточно большие и i j , что этот интеграл станет меньше любого наперед заданного положительного числа ε . Видно также, что представление функции ),( ϕrF в виде ряда (2.20) является единственным, ибо в противном случае все коэффициенты этого ряда суть нули. Т.о. теорема доказана.

На основании изложенного определилась возможность формального оперирования с рассмотренными выше рядами.

§3. Термоупругий потенциал перемещений Решение уравнений (1.1) будем искать в виде линейной комбинации

четырех независимых функций )3,2,1,0( =Φ ρρ Первая из них, называемая в дальнейшем термоупругим потенциалом перемещения, образует частное решение системы (1.1). Три остальные суть независимые решения уравнений Ламе. Полагая

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂Φ∂

⋅+

=

∂Φ∂

⋅+

=

∂Φ∂

⋅+

=

zW

rV

rU

0*

0

0*

0

0*

0

2

12

2

μλβ

ϕμλβ

μλβ

(3.1)

и подставляя в (1.1), получаем ),,(0

2 zrf ϕ=Φ∇ . (3.2) Считая в дальнейшем функцию ),,( zrf ϕ гармонической в целом и беря

операцию от обеих частей равенства (3.2), находим 2∇00

22 =Φ∇∇ . Т.о. функция является бигармонической. Вследствие наложенных 0Φ

выше на ),,( zrf ϕ ограничений, а также учитывая, что ),,( zrf ϕ по своему физическому смыслу должна быть периодической с периодом π2 на основании

99

теоремы 3 можно полагать, что эта функция представима равномерно сходящимся рядом вида

∑∑∞

=

∞

=

Φ=1 1

),,(i j

ijzrf ϕ . (3.3)

где суть (2.6), в котором и заменены соответственно на ijΦ in jm iν и jβ . При этом (3.3) не должно содержать непериодических слагаемых, в состав которых входят выражения вида ϕνϕ iCos и ϕνϕ iSin , т.е. 0=il .

Введём обозначения

;)(,,

;)(,,

242

131

RrYzzeze

RrJzzeze

jzz

jzz

i

jj

i

jj

===

===−− β

β

νββ

νββ

6

2

5

4

2

3

)()()()()(

)(;)()()()(

)()()(

)()()()()(

)(;)()()()(

)()()(

RrYrJrYrJ

drrJrYR

rYrJrYrJdrrYrJ

rY

RrYrJrYrJ

drrYrJR

rYrJrYrJdrrYrJ

rJ

jjjj

jj

jjjj

jjj

jjjj

jj

jjjj

jjj

iiii

i

i

iiii

ii

i

iiii

i

i

iiii

ii

i

=′−′

=′−′

=′−′

=′−′

∫∫

∫∫

βββββ

βββββ

βββ

βββββ

βββββ

βββ

νννν

νν

νννν

ννν

νννν

νν

νννν

ννν

81684124

71573113

61462102

5135191

;

;;

;

θϕνϕνθϕνϕν

θϕνϕνθϕνϕν

θϕνϕνθϕνϕν

θϕνϕνθϕνϕν

=−−=−−

=−−=−−

=+=+

=+=+

iijiijiijiij

iijiijiijiij

iijiijiijiij

iijiijiijiij

SinCCosCSinCCosC

SinCCosCSinCCosCSinCCosCSinCCosC

SinCCosCSinCCosC

Тогда (3.2) представится как

;21)(

21)()

()(

82714423138675

847362512463544332211102

jj

ij

RRzRRzRR

RRRRzRRRRRRz

βθθ

βθθθθ

θθθθθθθθθθ

++++++

++++++++++=Φ∇

Решение этого уравнения ij0Φ ищем по обобщенному способу Фурье в виде

jz

jrrr

rj

zj

rr

zrr

rrrr

zrr

rrrrij

RRfRffRf

fzRRfRffRffz

RRRRRRfRffRffRffRffRffRffz

RRRRRRfRffRffRffRffRffRffz

βθθ

βθ

θβ

θθβ

θθ

θθθθθθθθ

θθθθ

θθθθθθθθ

θθθθ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

21][

21]

[21][

21][

][][

][][

8271)(362)(358)(341)(33

7)(3244231)(312)(304)(291)(283)(273

867584736251)(266)(258)(245)(237)(22

4)(218)(203)(197)(182)(176)(161)(155)(142

463544332211)(136)(124)(115)(103)(9

4)(84)(73)(63)(52)(42)(31)(21)(110

+++++

++++++++

+++++++++++

+++++++++

+++++++++++

++++++++=Φ

(3.4)

где

)(36)(31)(26)(13)(35)(33

)(30)(28)(25)(23)(21)(19)(17)(15)(12)(10)(8)(6)(4)(2)(34

)(32)(29)(27)(24)(22)(20)(18)(16)(14)(11)(9)(7)(5)(3)(1

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,

zzzz

r

rrrrrrrrrrrrrrr

fffffffffffffffffffff

fffffffffffffff

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

- пока произвольные функции, зависящие соответственно только от zr ,,ϕ . Подставляя (3.4) в последнее уравнение (промежуточные действия – разделение

100

переменных и интегрирование – не приводятся) получаем окончательное выражение для термоупругого потенциала перемещения:

∫∫ ∫

∫∫ ∫

∫

∫∑∑

+′−′

′−′

++

′−′

+−

+

+′−′

′−′

++

′−′

+−

−′−′

++

+′−′

+−+=Φ

∞

=

∞

=

])()()()(

)(])()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()([

*

*)(

)()()()(

)(])()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()([

*

*)()()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()()()([{

6,05,06,05,0

6,05,06,05,0

4,03,0

4,03,0

1 12,01,00

drrYrJrYrJ

rJrYrJrYrJ

drrJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJ

rY

drrYrJrYrJ

rYrYrJrYrJ

drrJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJ

rJrYrJrYrJ

drrJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJrYarJae

jjjj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjj

j

jjjj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjj

i jjj

z

iiii

iiiii

iii

iiiii

iii

i

i

iiii

iiiii

iii

iiiii

iii

i

iiiii

iii

i

iiii

iii

iiij

ββββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββ

β

ββββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββββ

νννν

ννννν

νννν

νννν

νννν

ν

νννν

ννννν

νννν

νννν

νννν

ννννν

νννν

νννν

νννννν

β

]+′−′

′−′

++

′−′

+−

+

+′−′

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′−′

++

′−′

+−

−′−′

++

⎢⎢

⎣

⎡+

′−′

+−++

∫∫ ∫

∫∫ ∫

∫

∫−

drrYrJrYrJ

rJrYrJrYrJ

drrJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJ

rY

drrYrJrYrJ

rYrYrJrYrJ

drrJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJ

rJrYrJrYrJ

drrJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJrYarJae

jjjj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjj

j

jjjj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjjjj

z

iiii

iiiii

iii

iiiii

iii

i

i

iiii

iiiii

iii

iiiii

iii

i

iiiii

iii

i

iiii

iii

iiij

)()()()(

)(])()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()([

*

*)(

)()()()(

)()()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

*

*)()()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()()()(

12,011,012,011,0

12,011,012,011,0

10,09,0

10,09,08,07,0

ββββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββ

β

ββββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββββ

νννν

ννννν

νννν

νννν

νννν

ν

νννν

ννννν

νννν

νννν

νννν

ννννν

νννν

νννν

νννννν

β

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−′−′

++

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎢⎢

⎣

⎡+

′−′

+−+++

+⎪⎭

⎪⎬⎫

++++

+⎥⎥

⎦

⎤

′−′

++

⎢⎢

⎣

⎡+

′−′

+−++

+′−′

++

+′−′

+−++

−

−

*)()()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()()()(

)]()([2

1)]()([2

1

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()()()([

24,023,0

24,023,022,021,0

12,011,022

6,05,022

20,019,0

20,019,018,017,0

16,015,0

16,015,014,013,0

rJrYrJrYrJ

rJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJrYarJae

CosrYarJaezrYarJaez

rYrJrYrJ

drrJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJrYarJaze

rYrJrYrJ

rJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJrYarJaze

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjjjj

z

ijjj

zjj

j

r

jjjj

jjjj

jjjj

jjjjjj

z

jjjj

jjjj

jjjj

jjjjjj

z

iiiii

iii

i

iiii

iii

iiij

iij

iij

iiii

iii

i

iiii

iii

iiij

iiii

iii

i

iiii

iii

iiij

βββββ

ββββ

ββββ

ββββββ

ϕνβββ

βββ

ββββ

ββββ

ββββ

ββββββ

ββββ

ββββ

ββββ

ββββββ

ννννν

νννν

νννν

νννννν

β

ννβ

ννβ

νννν

νννν

νννν

νννννν

β

νννν

νννν

νννν

νννννν

β

(3.5)

Продолжение формулы (3.5) на следующей странице.

101

∫∫ ∫

∫∫ ∫

∫

∫

∫∫ ∫

∫∫ ∫

+′−′

′−′

++

′−′

+−

+

+′−′

′−′

++

′−′

+−

−′−′

++

⎢⎢

⎣

⎡+

′−′

+−++

+−′

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

′−′

++

′−′

+−

+

+′−′

′−′

++

′−′

+−

−

])()()()(

)(])()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()([

*

*)(

)()()()(

)(])()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()([

*

*)()()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()()()(

])()(

)()()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

*

*)(

)()()()(

)(])()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()([

*

32,031,032,031,0

32,031,032,031,0

30,029,0

30,029,028,027,0

26,025,026,025,0

26,025,026,025,0

drrYrJrYrJ

drrJrYrJrYrJ

rJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJ

rY

drrYrJrYrJ

rYrYrJrYrJ

drrJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJ

rJrYrJrYrJ

rJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJrYarJae

drrYrJ

rJrYrJrYrJ

rYrYarJarY

rYrJrYrJ

drrJrYarJarJ

rY

drrYrJrYrJ

rYrYrJrYrJ

rJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJ

jjjj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjj

j

jjjj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjjjj

z

jj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjj

j

jjjj

jjjjj

jjjj

jjjj

jjjj

iiii

iiiii

iii

iiiii

iii

i

i

iiii

iiiii

iii

iiiii

iii

i

iiiii

iii

i

iiii

iii

iiij

ii

iiiii

iii

iiiii

iii

i

i

iiii

iiiii

iii

iiiii

iii

i

ββββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββ

β

ββββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββββ

ββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββ

β

ββββ

βββββ

ββββ

ββββ

ββββ

νννν

ννννν

νννν

νννν

νννν

ν

νννν

ννννν

νννν

νννν

νννν

ννννν

νννν

νννν

νννννν

β

νν

ννννν

νννν

νννν

νννν

ν

νννν

ννννν

νννν

νννν

νννν

[ ] [ ] ϕνβββ

βββ

ββββ

ββββ

ββββ

ββββ

ββββββ

ββββ

ββββ

ββββββ

ννβ

ννβ

νννν

νννν

νννν

νννν

ννβ

νννν

νννν

νννν

νννννν

β

ijjj

zjj

j

z

jjjj

jjjj

jjjj

jjjj

jjz

jjjj

jjjj

jjjj

jjjjjj

z

SinrYarJaezrYarJaez

rYrJrYrJ

drrJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJ

rYarJazerYrJrYrJ

drrJrYarJarY

rYrJrYrJ

drrYrYarJarJrYarJaze

iij

iij

iiii

iii

iiiii

iii

i

iij

iiii

iii

i

iiii

iii

iiij

⎪⎭

⎪⎬⎫

++++

+′−′

++

′−′

+−

−++′−′

++

+′−′

+−++

−

−

∫ ∫

∫

∫

)()(8

1)()(8

1

])()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()([])()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()()()([

32,031,022

26,025,022

40,039,040,039,0

38,037,036,035,0

36,035,034,033,0

(3.5)

где

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=−=+

−=−=+

−=−=+−=+−

−=−=+−=+−

=+=++=++

=+=++=++

812,020,046,016,0

711,019,035,015,0

1632,040,01432,0238,030,0612,0218,010,0

1531,039,01331,0237,029,0511,0217,09,0

1226,036,01026,0234,024,026,0214,04,0

1125,035,0925,0233,023,015,0213,03,0

21

21;

21

21

21

21;

21

21

21

21;

412;

412

21

21;

412;

412

21

21;

412;

412

21

21;

412;

412

CaaCaa

CaaCaa

CaaCaaaCaaa

CaaCaaaCaaa

CaaCaaaCaaa

CaaCaaaCaaa

jjjj

jjjj

jjjj

jj

jjjj

jj

jjjj

jj

jjjj

jj

ββββ

ββββ

ββββ

ββ

ββββ

ββ

ββββ

ββ

ββββ

ββ

(3.6)

Остальные коэффициенты (3.5), свободные от связей, остаются пока совершенно произвольными.

Как видно из (3.5) пятое и шестое слагаемые, а также другие подобные им, по отдельности не являются бигармоническими функциями т.е. не являются

102

решениями уравнения , тогда как совместно они удовлетворяют 0022 =Φ∇∇

этому уравнению. По аналогии с псевдогармоническими функциями, обладающими указанными выше свойствами в отношении уравнения , 02 =Φ∇[2] назовем эти слагаемые псевдобигармоническими функциями.

Как и в [2] следует отметить, что для интегрирования (3.2) условия гармоничности функции ),,( zrf ϕ в целом вовсе не обязательно. Оно принято лишь для упрощения выкладок. В случае, если ),,( zrf ϕ не может быть приведена к виду суммы произведений функций, зависящих от одной переменной, для интегрирования уравнения (3.2) необходимо прибегнуть к методам теории потенциала при условии наложения на ),,( zrf ϕ некоторых весьма общих ограничений. Не останавливаясь на подробном разборе этих случаев заметим только, что принятый характер распределения температуры в теле не умаляет общности проделанных ниже выводов.

§4. Интегрирование уравнений Ламе Термоупругий потенциал перемещения (3.5) позволяет перейти от

системы неоднородных уравнений (1.1) к системе однородных уравнений (4.1)

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=∇+∂Δ∂

⋅+

=∂∂⋅+∇+−

∂Δ∂

⋅+

=∂∂⋅−∇+−

∂Δ∂

⋅+

0)(

02)(

02)(

2

22

2

22

2

Wz

Ur

VrV

r

Vr

UrU

r

μμλ

ϕμμμ

ϕμλ

ϕμμμμλ

(4.1)

Ввиду невозможности непосредственного использования решения уравнений Ламе, данного Б.Г. Галёркиным для случая прямоугольных координат [3], путем преобразования его к цилиндрическим координатам, будем искать решение системы (4.1) в следующем виде:

Развивая функцию перемещения Лява, применительно к трехмерному пространству [1], получаем

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂Φ∂

+Φ∇=

∂∂Φ∂

=

∂∂Φ∂

=

21

2

12

1

12

1

12

1

1

zBW

zrV

zrU

ϕ (4.2)

где μλμλ

++

−=2B ;

Подставляя (4.2) в систему (4.1), после преобразований имеем 01

22 =Φ∇∇ . Следовательно произвольная бигармоническая в целом функция трёх 1Φ

переменных также есть произвольная бигармоническая в целом функция трех переменных zиr ϕ, , а (4.2) суть решение системы (4.1). Полагаем далее

103

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

∂∂Φ∂

=

∂Φ∂

−∂Φ∂

+Φ∇=

∂Φ∂

⋅+∂∂Φ∂

=

zW

rB

rBrV

rB

rU

ϕ

ϕ

ϕϕ

22

2

222

2

22

2

222

2

21

2

(4.3)

Производя подстановку (4.3) в систему (4.1), получаем . 0222 =Φ∇∇

Следовательно также есть бигармоническая в целом функция трёх 2Φ

переменных zиr ϕ, , независимая притом от 1Φ , а система (4.3) суть решение системы (4.1). Третью и последнюю функцию 3Φ , независимую от двух первых, подберем таким образом, чтобы выраженные через неё напряжения удовлетворяли уравнениям упругого равновесия, представленным через эти напряжения.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂Φ∂

⋅+

+∂Φ∂

+∂∂∂

Φ∂+

∂∂Φ∂

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂Φ∂

++∂∂Φ∂

+Φ∇∂∂

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

−∂∂Φ∂+

+∂∂Φ∂

+Φ∇∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂Φ∂

+∂∂Φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂Φ∂

−Φ∇+Φ∇∂∂

+=

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤∂Φ∂+

+∂Φ∂

+∂Φ∂+

+∂∂Φ∂

+∂Φ∂

+−Φ∇−++Φ∇∂∂

+=

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤

∂Φ∂

++∂Φ∂

+

+∂Φ∂

+−Φ∇−++Φ∇∂∂

++=

.)1(22

;)3(22

;1)1(42

2224)1(

;)3(2)1(21*

*2)1(2])1(2[2)1(

;)2(22

)1(2])1(2[2]2)1([

32

23

23

3

23

3

32

23

3

32

332

23

3

32

23

2

23

3

23

2

32

32

32

32

23

2

223

3

23

2

32

32

23

2

33

3

23

2

32

32

zrB

zrzrzr

zrB

zrr

zBr

rrrB

rB

zzrr

zrrB

rrB

rrB

rr

zBBB

rrB

rB

rr

zBBB

rrBB

z

zr

r

z

r

ϕϕμτ

μτ

ϕϕϕϕμτ

μλσ

ϕϕ

μλμλλσ

μ

λμλμλσ

ϕ

ϕ

ϕ

(4.4)

Непосредственной подстановкой системы (4.4) в уравнение упругого равновесия, выраженные через напряжения, легко проверить, что указанная система является решением этих уравнений. При этом должно соблюдаться условие - . Т.о. является третьей бигармонической в целом 03

22 =Φ∇∇ 3Φфункцией. Каждую из )3,2,1(, =Φ ρρ будем искать в форме, аналогичной (3.5), но с неопределёнными коэффициентами , где sa ,ρ 3,2,1=ρ , а . 401÷=s

104

§ 5. Термоупругие напряжения Вследствие линейности уравнений (1.1) обобщенные компоненты тензора

напряжений представляются суммой четырёх составляющих от функций , т.е. )3,2,1(, =Φ ρρ

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎦

⎤∂∂Φ∂

⋅+

+∂Φ∂

+∂∂∂

Φ∂+

∂∂Φ∂

+∂∂Φ∂

−

⎢⎣

⎡−

∂∂Φ∂

+∂∂Φ∂

+∂∂Φ∂+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∇

∂∂

+Φ∇∂∂

=

⎥⎦

⎤∂∂Φ∂

+∂∂∂

Φ∂+

∂∂Φ∂

+

⎢⎣

⎡+

∂∂Φ∂+

+∂∂Φ∂

++∂∂Φ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ∇

∂∂

+Φ∇∂∂

=

⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

+∂Φ∂

−+∂Φ∂

⋅−

+∂∂Φ∂

+∂∂Φ∂

−∂∂∂

Φ∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

−∂∂Φ∂

⎢⎢⎣

⎡ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

−∂∂Φ∂+

+∂∂Φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∇

∂∂

+Φ∇∂∂

=

−⎥⎦

⎤∂∂Φ∂

+∂Φ∂+

+∂Φ∂

+∂Φ∂

+⎢⎣

⎡∂∂Φ∂

+Φ∇∂∂

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∇

∂∂

+Φ∇∂∂

+∂Φ∂

−Φ∇+Φ∇∂∂

++Φ∇+

=

−⎥⎦

⎤∂∂Φ∂

+∂∂Φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Φ∂

+∂Φ∂+

+∂Φ∂

+∂∂Φ∂−

−∂Φ∂

+

⎢⎣

⎡+

∂Φ∂+

+∂Φ∂

+∂Φ∂+

+∂∂Φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∇

∂∂

−Φ∇−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∇

∂∂

+Φ∇∂∂

+∂Φ∂

−Φ∇+Φ∇∂∂

++Φ∇+

=

−⎥⎦

⎤∂Φ∂

−∂∂Φ∂

+∂∂Φ∂

+

+∂∂Φ∂

+∂Φ∂+

+∂Φ∂

++⎢⎣

⎡∂Φ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ∇−Φ∇

∂∂

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ∇

∂∂

+Φ∇∂∂

+∂Φ∂

−Φ∇+Φ∇∂∂

++Φ∇+

=

;)1(222

221221

;222

22)3(22

12)1(222211*

*221)1(42

;2222

24)1()2(

;111122)1(21

)3(2)1(2122

24)1()2(

;22

2)2(222

24)1()2(

32

23

23

3

23

32

2

22

3

21

30

2

*22

12

22

23

21

3

02

*3

2

23

3

12

32

22

22

22

2

222

31

2

21

30

20

2

*33

2

23

3

32

22

*2

23

20

2

*31

3

23

2

23

3

12

12

22

23

2

32

32

02

*

*12

21

3

20

20

2*2

22

2

33

3

2

32

32

23

2

223

3

22

32

12

22

23

2

32

32

02

*

*22

22

22

3

21

2

20

2

*23

2

33

3

32

32

12

22

23

2

32

32

02

*

zrB

zrzrzrzrB

zrzrzrzr

rB

zrB

zrzr

zrzrB

zrr

rrrB

rrrB

rB

rrzrzrrrrr

rrrB

rrrB

Tzzzzzr

rz

B

zzrrB

Tzrrzrrrrr

Brr

Br

rrB

rrB

rrB

zzrrB

TrB

rrB

r

zrrrB

rr

rrB

zzrrB

z

zr

r

z

r

ϕϕ

ϕϕϕβμλ

ϕμτ

ϕϕ

βμλμτ

ϕϕϕϕϕϕ

βμλ

ϕϕϕϕμτ

βϕβ

μλμμ

ϕλ

βμλλσ

βϕϕβ

μλϕϕϕ

ϕϕμ

ϕμ

ϕλ

βμλλσ

βϕϕϕ

βμλμμ

ϕλ

βμλλσ

ϕ

ϕ

ϕ

(5.1)

Для определения неизвестных коэффициентов применим к (5.1) граничные условия, приведенные в §1. В самом общем случае с учетом (З.6) получаем систему 108-ми линейных уравнений относительно этих коэффициентов.

Решение этой системы может быть проведено, например, с помощью счетно-решающего устройства. При этом решение её единственно, и

105

количество коэффициентов тождественно равных нулю из числа неизвестных не будет превышать 52-х.

В случае, если на поверхностях цилиндра приложены внешние силы, решение задач будет определяться суммой термоупругих напряжений (5.1) при граничных условиях данных в §1 и напряжений, отвечающих этим внешним силам.

Список литературы 1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. 2. Мелан Э. и Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые

стационарными температурными полями. - М.: Физматгиз, 1958. 3. Лебедев Н.Н. Температурные напряжения в теории упругости. - М.:

ОНТИ, 1937. 4. Майзель В.М. Температурная задача теории упругости. - К.: изд. АН

УССР, 1951.

106

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПО ДВИЖЕНИЮ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Решение задач по движению твердого тела в вязкой несжимаемой

жидкости во многих случаях сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения второго порядка, которое не всегда может быть разрешено в квадратурах. В то же время получение такого решения желательно, поскольку оно существенно упрощает качественное и количественное исследование рассматриваемого физического процесса, сокращает материальные затраты и временной фактор по сравнению с разностными методами решения этих задач.

Известно, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка всегда может быть сведено к нелинейному дифференциальному первого порядка типа Риккати [1]. Рассмотрим приём, позволяющий получить приближенное решение этого уравнения в конечном виде с достаточной для практических расчётов точностью применительно к движению цилиндра в вязкой жидкости.

Пусть цилиндр, находясь в набегающем, вдоль продольной его оси, потоке, начинает двигаться от некоторой точки отсчета равной нулю под действием силы тяги.

Уравнение движения цилиндра будет иметь вид xx FTxm −=′′ , (1)

где - масса цилиндра, mxT — сила тяги, являющаяся функцией от x ; xF - полная сила сопротивления движению цилиндра.

При этом 2

)( 20VxsCF fx

+′⋅= ρ ,

где - коэффициент полного сопротивления цилиндра, fCs - площадь лобового сопротивления, ρ - плотность жидкости,

0V - скорость набегающего потока.

Поскольку Vxdtdx

=′= ,

уравнение (1) можно преобразовать к виду 2

02VV

msC

mT

dtdV fx +−=

ρ. (2)

Данное уравнение есть уравнение типа Риккати, которое в общем виде не интегрируется. Заменим в правой части (2) квадратичную зависимость от V xFна ее среднее значение по интегральной теореме о среднем, взяв за constFср =основу для вычичления работу А этой силы на рассматриваемом участке срF 0xдвижения цилиндра, т.е.

107

∫ ==0

00

x

cpx xFdxFA .

Откуда

∫=0

00

1 x

xcp dxFx

F . (3)

Преобразуем далее

dxdVV

dtdx

dxdV

dtdV

⋅=⋅= . (4)

Подставляя (4) в (2) и заменяя на получаем xF cpF

cpx FTmdx

dVV −=1 . (5)

После преобразований, с учетом (3), имеем

∫ ∫ +−=0

00

)1(2 x

xx CdxdxFx

Tm

V , (6)

где C - постоянная интегрирования, которая находится из граничного условия, например, при 0,0 == Vx .

Для нахождения достаточно в (3) вместо подставить его значение, cpF xFвыраженное через V по формуле (6).

Таким образом, уравнение (2) проинтегрировано. Указанный приём легко распространяется на случай, когда в правую часть уравнения (1) входит сила, являющаяся функцией , и т.д. 3V

Определим погрешность VΔ , вводимую в расчеты в результате замены на . cpFxF

Пусть - расчетная скорость движения цилиндра при ; 1V xF

2V - расчетная скорость при Fcp , тогда из (5):

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=−=

−=

∫0

00

22

11

)1(1)(1

)(1

x

xxcpx

xx

dxFx

Tm

FTmdx

dVV

FTmdx

dVV

Исключая из системы , получаем xT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− ∫

0

00

22

11

11 x

xx FdxFxmdx

dVVdxdVV ,

или после интегрирования

∫∫ Δ≈Δ+

=−=Δ FdxmV

FdxVVm

VVV 1)(

221

21 .

Анализ этого выражения показывает, что с увеличением массы, скорости движения, а также плавности изменения последней, достигается необходимая точность расчетов.

В качестве примера применения метода возьмем дифференциальное уравнение, решаемое в квадратурах.

108

Пусть

.2

,11

22

32

VFVmsC

xxmT

xf

x

==

−−

ρ

Тогда (2) примет вид

322 11

xxV

dtdV

−+−=

или с учетом (4), после простых преобразований

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+ 32

1122xx

ydxdy , где . 2Vy =

Точное решение этого уравнения будет xeC

xy 2

12

1 −+= ,

где - постоянная интегрирования. 1CВозьмем за точку отсчета движения тела 1=x . И пусть в этой точке 0=V .

Тогда , а 21 eC −= V , в ранее принятом обозначении,

)1(221

1 −−= xex

V .

С другой стороны, согласно (5)

cpFxxdx

dVV −−= 32

11 ,

откуда с учётом принятого обозначения V

222 212 CxFxx

V cp +−+−= .

При 12,1 2 +== cpFCx и, следовательно,

1221222 ++−+−= cpcp FxF

xxV .

Для определения воспользуемся (3) cpF

∫ +−−+−−==−0

10

200

00

220 )12(1ln2)1(

x

cpcp xxFxx

xdxVxF

Тогда )1(

1ln2

0

00

0

−

+−−=

xx

xx

xFcp

Окончательно имеем

1)1()1(

1ln2212

00

00

0

22 +−−

+−−−+−= x

xx

xx

x

xxV .

Задаваясь значениями , строим графики и . Следует обратить 0x 1V 2Vвнимание на то, что начальное и конечное значения не могут быть выбраны 0x

109

произвольно. Они зависят от функционального значения , которое определяет xTдиапазон действительных чисел . 2V

Пусть , тогда 40 =x

1)1(163,01222 +−−+−= x

xxV .

Подставляя в выражения и 1V

2V значения x от 1 до 4, строим их графики

Средняя погрешность 2Vотносительно при принятом 1Vпроизвольном значении xTсоставляет около 5%. Для получения более точного результата, если будет рассматриваться движение твердого тела в вязкой жидкости, необходимо наличие ранее упомянутых условий.

Данная методика нашла практическое применение в совместной работе предприятия и ЛКИ при расчетах изделий 24 с новыми принципами действия.

Список литературы 1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ,

1950. 2 Лауфер М. Я. Об одном методе решения задачи по движению твёрдого

тела в вязкой несжимаемой жидкости. //Вопросы технологии, эффективности производства и надёжности. Вып. 15. - Северодвинск.: Севмашвтуз, НТО им. акад. Крылова А.Н., 1997. С.66-70.

110

ЭФФЕКТ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО ИЗМЕНЕНИЯ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Известны два механизма, приводящие к изменению частоты электро-

магнитного излучения: эффект Допплера и гравитационное поле. Других твердо установленных механизмов, способных вызвать изменение частоты колебаний электромагнитного излучения пока не известно. Ниже приводится описание ещё одного явления по изменению частоты электромагнитного излучения, связанного, по-видимому, с действием второго закона термодинамики и вытекающего из решения уравнений Максвелла.

Описание эффекта 1. Физические условия и сущность эффекта

Движение электромагнитной волны генерируемой неподвижным относительно наблюдателя источником в вакууме свободном от гравитационного поля, описывается уравнениями Максвелла. Эти уравнения, если принять, что

0,1,1 === λεμ , где μ - магнитная проницаемость, ε - диэлектрическая проницаемость, λ - удельная проводимость.

и для наглядности дальнейшего рассмотрения считать, что источник генерирует плоскую монохроматическую волну, с помощью простых преобразований приводятся к двум волновым уравнениям вида (1). Вследствие идентичности их формы по электрической и магнитной составляющим излучения, будет рассматриваться изменение только электрической составляющей этого излучения. Существующее решение волновых уравнений для принятых выше условий показывает, что электромагнитная монохроматическая волна с удалением от источника её генерации должна сохранять неизменными частоту и амплитуду.

Однако, как будет показано ниже в (3), из полученного более общего решения волнового уравнения следует, что это положение является неточным, частота волны с удалением от источника генерации уменьшается, а амплитуда растет.

2. Описание нового метода разделения переменных, примененного для получения более общего решения волнового уравнения и обоснование

этого метода Как известно, для решения задач математической физики во многих

случаях применим метод Фурье разделения переменных. Он заключается в том, что решение дифференциального уравнения в частных производных (или в дальнейшем для краткости - просто уравнения) от независимых переменных nнаходится в виде произведения функций, зависящих только от одной из nпеременных или суммы некоторого числа этих произведений. В последнем

111

случае на слагаемые налагается условие, чтобы каждое из них удовлетворяло рассматриваемому уравнению.

Не останавливаясь на подробном рассмотрении метода Фурье ввиду его известности, отметим следующее:

Существует возможность обобщения этого метода, которое заключается в том, что на решение уравнения от независимых переменных, которое находится в виде произвольного числа слагаемых, являющихся, в свою очередь, произведением неизвестных функций, зависящих только от одной переменной, не налагается условие, чтобы по отдельности эти слагаемые являлись решениями рассматриваемого уравнения. Решение по предлагаемому методу, также как и метод Фурье, даёт возможность разделить переменные в уравнении. Найденные при этом интегралы, ввиду отброшеного ограничения, являются более общими, чем интегралы, полученные методом Фурье, и содержат последние в качестве некоторого частного случая

n

n

Решим уравнение

22

2

21

2

xE

xE

∂∂

=∂∂ , (1)

где с - скорость света в вакууме; t - время; x - расстояние; Exxctx ;; 21 == - напряженность электрического поля.

Вначале рассмотрим наиболее простой случай, когда частное решение находится в виде суммы двух слагаемых, т.е.

)()()()( 22,211,222,111,1 xxxxE ΧΧ+ΧΧ= (2) На слагаемые (2) не налагается условие, чтобы каждое из них

удовлетворяло уравнению (1) (как это имеет место по методу Фурье) )()(),()( 22,211,222,111,1 xxxx ΧΧΧΧ , обозначаемые в дальнейшем, как

,,,, 1,11,11,11,1 ΧΧΧΧ - функции, зависящие соответственно от одной переменной или . 2x1x

Здесь и в дальнейшем первая цифра индексации X, обозначает порядковый номер функции. Вторая цифра указывает переменную, от которой зависит эта функция. Подставляя (2) в (1) , после простых преобразований, имеем:

2,1

2,2

2,2

2,2

1,2

1,2

1,2

1,1

2,1

2,1

1,1

1,1

ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

+ΧΧ ′′

−=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ′′

.

Полагаем 22

1,2

1,221

2,1

2,1 , nn −=ΧΧ′′

−=ΧΧ ′′

, (3)

где и - произвольные постоянные, после чего получаем: 1n 2n

2,1

2,222

2,2

2,2

1,2

1,121

1,1

1,1

ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

nn .

112

Левая часть последнего равенства зависит только от и не зависит от , а правая наоборот. Следовательно, каждая из них не зависит ни от , ни от , т.е. они постоянны. Обозначим эту постоянную через . Тогда

1x 2x

1x 2xm

.

;

2,1

2,222

2,2

2,2

1,2

1,121

1,1

1,1

mn

mn

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

(4)

Таким образом, переменные разделились. После подстановки результатов интегрирования (3) и (4) в (2), получаем решение уравнения (1) в виде:

)

)

) ),(22

(*

*22

1*21

*12423

2212222221

1*41

*311

*111

*2

SinnxCCosnxCSinnxCCosnxC

SinnxxCn

mCosnxxCn

mSinnxCCosnxC

SinnxCCosnxCSinnxxCn

mCosnxxCn

mE

+++

+⎜⎝⎛ −++

++⎜⎝⎛ −=

(5)

где и - постоянные интегрирования. При интегрировании (3) и (4) для упрощения записи решения (5) было принято

*4

*1 CC ÷ 41 CC ÷

nnn == )()( 21 . Указанное условие для постоянных ,...2,1, =jn j . в подобных же случаях

будет соблюдаться и в дальнейшем. Кроме того, любую совокупность постоянных, являющуюся множителем каждой функции - слагаемого, входящую в решение, будем обозначать как , где ia ,...3,2,1=i определяет порядковый номер функции - слагаемого. Например, с учетом принятых обозначений для постоянных (5) запишется как

))(())((

11211121029228227

26251413112111

SinnxaCosnxaSinnxaCosnxaSinnxxaCosnxxaSinnxaCosnxaSinnxaCosnxaSinnxxaCosnxxaE

++++++++++=

(6)

Из (6), видно, что оно отличается от решения уравнения (1), найденного методом Фурье. Последнее содержится в решении (6) как его некоторая частная составляющая.

Рассмотрим далее случай, когда частное решение уравнения находится по предлагаемому методу в виде суммы, например, пяти слагаемых, т.е.

2,51,52,41,42,31,32,21,22,11,1 ΧΧ+ΧΧ+ΧΧ+ΧΧ+ΧΧ=E . (7) Подставляя (7) в (1) после простых преобразований получаем:

.02,1

2,5

2,5

2,5

1,5

1,5

2,11,5

2,41,4

2,4

2,4

1,4

1,4

2,11,5

2,31,3

2,3

2,3

1,3

1,3

2,11,5

2,21,2

2,2

2,2

1,2

1,2

1,5

1,1

2,1

2,1

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

+

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΧΧ ′′

−ΧΧ ′′

Полагаем

113

2

1,5

1,52

2,1

2,1 , nn −=ΧΧ ′′

−=ΧΧ ′′

. (8)

Прибавим и отнимем во втором, третьем и четвёртом выражениях, стоящих в скобках, по . Тогда с учётом (8), имеем: 2n

.02,1

2,52

2,5

2,5

1,52,1

1,42,42

2,4

2,42

1,4

1,4

1,52,1

1,32,32

2,3

2,32

1,3

1,3

1,52,1

1,22,22

2,2

2,22

1,2

1,2

1,5

1,12

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ ′′

−+ΧΧ ′′

+

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ ′′

−+ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ ′′

−+ΧΧ ′′

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

nnn

nnnnn

Полагая

mn

mn

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

2,1

2,42

2,4

2,4

1,5

1,22

1,2

1,2

(9)

m - произвольная постоянная, приходим к выражению:

.02,1

2,52

2,5

2,5

1,52,1

1,42,42

1,4

1,4

1,5

1,4

1,52,1

2,31,32

2,3

2,32

1,3

1,3

2,11,5

2,21,22

2,2

2,2

2,1

2,2

1,5

1,12

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧ

+

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ΧΧ ′′

−+ΧΧ ′′

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

−ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

nnm

nnnmn

Прибавим и отнимем в левой части последнего равенства

2,11,5

2,31,2

ΧΧΧΧ

m и 2,11,5

2,41,3

ΧΧΧΧ

m

и примем

mmn

mmn

=ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

=ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

2,1

2,4

2,1

2,32

2,3

2,3

1,5

1,2

1,5

1,32

1,3

1,3

(10)

С учётом (10) получаем:

.02,1

2,52

2,5

2,5

1,52,1

2,41,42

1,4

1,4

1,5

1,4

1,52,1

1,32,4

1,5

1,3

1,52,1

1,22,3

3,1

2,3

1,52,1

1,22,22

2,2

2,2

2,1

2,2

1,5

1,12

1,1

1,1

=ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

−ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

−ΧΧ

+ΧΧΧΧ

+

+ΧΧ

+ΧΧΧΧ

−ΧΧ

+ΧΧΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

−ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ′′

nnmm

mmmnmn

Прибавим и отнимем в левой части этого равенства

2,11,3

2,41,2

ΧΧΧΧ

m

и положим

114

,

;

1,5

1,2

1,5

1,3

1,5

1,42

1,4

1,4

2,1

2,4

2,1

2,3

2,1

2,22

2,2

2,2

mmmn

mmmn

=ΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

=ΧΧ

+ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

(11)

после чего имеем:

.2,1

2,2

2,1

2,3

2,1

2,4

2,1

2,52

2,5

2,5

1,5

1,4

1,5

1,3

1,5

1,2

1,5

1,12

1,1

1,1

ΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

=

=ΧΧ

+ΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

mmmn

mmmn

Левая часть этого равенства не зависит от , а правая от , следовательно:

2x 1x

.

;

2,1

2,2

2,1

2,3

2,1

2,4

2,1

2,52

2,5

2,5

1,5

1,4

1,5

1,3

1,5

1,2

1,5

1,12

1,1

1,1

mmmmn

mmmmn

=ΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧ

+ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

=ΧΧ

+ΧΧ

−ΧΧ

−ΧΧ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΧΧ ′′

(12)

Таким образом, переменные разделены, а уравнения (8) (12) интегрируются.

÷

В случае, если частное решение находится в виде Μ слагаемых, то в символической, форме это решение может быть представлено как

11

12

01

221

112

21

02

11 )( −Μ−Μ−Μ−−Μ−Μ−Μ Χ+Χ=ΧΧ+ΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧ+⋅⋅⋅+ΧΧ+ΧΧ= kkE , (13) где

.

;

21222222

252

22

24221

23221

2221

2

11212

11

1311

12111111

SinnxaCosnxaSinnxxa

CosnxxaSinnxxaCosnxxa

SinnxaCosnxaSinnxxaCosnxxaSinnxxaCosnxxa

NNk

kN

kkN

kkN

kkN

kkNkN

kN

kN

kN

kN

k

−Μ+−Μ+−−Μ

++

−−Μ++

−−Μ++

−−Μ++

−−Μ

+++

−+

−++

++⋅⋅⋅+

+++=Χ

++⋅⋅⋅++++=Χ

N - порядковый номер. Для сравнения ниже приводится частное решение уравнения (1) ,

найденное по методу Фурье: ))(( 24231211 SinnxaCosnxaSinnxaCosnxaE ++= . (14)

Итак, интегрируя уравнение (1) с помощью обобщающего метода, и, ограничиваясь, с целью упрощения при последующем рассмотрении и обосновании метода, линейными составляющими решения от множителей и t

, получаем: x

115

)],()()()(

))([(

,3,4,4,3

,4,3,3,4

,2,1,21

,1

xSinnbxCosnbxctSinnactCosnaxSinnbxCosnbctctSinnactCosna

xSinnbxCosnbctSinnactCosnaE

iiiiiiii

iiiiiiii

iiiiiii

ii

−++

++−+

+++=∑∞

=

(15)

где - постоянные интегрирования. iiiii nbbaa ;; ,4,1,4,1 ÷÷

Из выражения (6) и (15) видно, что по мере возрастания x , а, следовательно, и t , наибольшее значение Е также возрастает. Эта картина никак не следует из решения (14), которое определяет неизменность наибольшего значения Е.

Рассмотрим некоторые свойства функций, составляющих (6) необходимые в дальнейшем для представления отдельных зависимостей в виде ряда, разложенного по этим функциям. Введем обозначение:

xSinnxdxCosnxcSinnxbCosnxaf ′+′+′+′=1 и SinnxbCosnxa 111 ′+′=θ ;

11 ,,,,, badcba ′′′′′′ - постоянные. Теорема 1Фундаментальные функции вида , удовлетворяющие при и 1f 1xx = 2xx =

граничным условиям 011 =+′ ff βα , где α И β постоянные, обладают свойством обобщенной ортогональности, т.е.

02

1

,1,1 =∫ dxffx

xji при ji ≠ .

Действительно, по построению своему функции вида удовлетворяют 1fуравнениям

0

0

,12

,12

,1

,12

,12

,1

=++′′

=++′′

jjjjj

iiiii

mfnf

mfnf

θ

θ (16)

Умножим первое уравнение на j,1θ а второе на i,1θ и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя затем полученное выражение по промежутку

, находим ),( 21 xx

∫ ∫ ∫ ∫ =−+−+′′−′′2

1

2

1

2

1

2

1

0)()( ,1,122

,1,12

,1,12

,1,1,1,1

x

x

x

x

x

x

x

xjijiijjjiijiji dxmmdxfndxfndxff θθθθθθ .

Берём первый и второй интегралы по частям дважды и, подставляя полученные результаты в исходное равенство, имеем:

.])(

)()[(1

2

1

2

1

21

21

2

1

,1,122

,1,1,1,1,1,1,1,122.1,1,1,1

∫

∫∫

−+

+−′+−′−

=+

x

xjiji

x

x

xxijij

xxjiji

jiji

x

xji

dxmm

ffffnn

dxfdxf

θθ

θθθθθθ

(17)

116

Умножим далее первое уравнение (16) на jf ,1 ′′ , а второе на , и вычтем if ,1 ′′

почленно одно из другого. Интегрируя полученное выражение, как и ранее, по промежутку находим: ),( 21 xx

∫∫ ∫∫ =′′−′′+′′−′′2

1

2

1

2

1

2

1

0,1,12

,1,12

,1,12

,1,12

x

xijj

x

x

x

xjiiijj

x

xjii dxfmdxfmdxffndxffn θθ .

Берём третий и четвёртый интегралы по частям дважды. После уже известных преобразований, получаем:

[ ] 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)()( ,1,1,1,12

,1,1,1,12

,1,12

,1,12

,1,122

,1,122

x

xjijijijiji

x

x

x

xijjjii

x

xjijj

x

xijii

ffmffm

dxffndxffndxfnmdxfnm

θθθθ

θθ

′−′+′−′+

+′′−′′=− ∫ ∫∫∫

Умножим затем первое уравнение (16) на , а второе на . Проведя преобразования аналогичные предыдущим, приходим к следующему выражению:

jj fn ,12

ii fn ,12

∫∫∫∫ ′′−′′=−2

1

2

1

2

1

2

1

,1,12

,1,12

,1,122

,1,122

x

xijj

x

xjii

x

xiji

x

xjjiji dxffndxffndxfnmdxfnm θθ .

Исключая из последних двух равенств слагаемое

∫∫ ′′−′′2

1

2

1

,1,12

,1,12

x

xijj

x

xjii dxffndxffn ,

получаем:

[

.)](

)(1

21

2

1

2

1

,1,1,1,12

,1,1,1,12

22,1,12

,1,12

xxjijij

ijijiji

x

xjij

x

xiji

ffm

ffmnn

dxfmdxfm

θθ

θθθθ

′−′+

+′−′−

=+ ∫∫ (18)

Наконец, умножим первое уравнение (16) на , а второе на . Соблюдая выше приведённую последовательность действий, имеем:

jf ,1 if ,1

( ) .

)(

2

1

2

1

2

1

2

1

,1,1,1,1

,1,122

,1,12

,1,12

xxijji

x

xjiji

x

xjij

x

xjii

ffff

dxffnndxfmdxfm

′−′−

−−−=− ∫∫∫ θθ (19)

Преобразуем (17) как:

([ )

( ) ]dxmmff

ffnn

mdxfmdxfm

x

xjiji

x

xijij

x

xjijiji

ix

xiji

x

xjii

∫

∫∫

−+′−′+

+′−′−

−−=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

,1,122

,1,1,1,1

,1,1,1,122

2

,1,12

,1,12

)( θθθθ

θθθθ

и подставим сначала в (18), а затем в (19). Исключая из полученных двух

выражений , после преобразований находим: ∫2

1

,1,1

x

xji dxf θ

117

[ ] .)()())((

2)(

2

1

1

1

1

1

,1,1,1,12

,1,1,1,12

,1,1,1,122

,1,122

,1,144

x

xijijijijijijjiji

x

xjiji

x

xjiji

ffmffmffffnn

dxmmdxffnn

θθθθ

θθ

′−′−′−′+′−′−−

−−=− ∫∫ (20)

Согласно определению

⎭⎬⎫

=+′

=+′

0)()(0)()(

1,11,1

1,11,1

xfxfxfxf

jj

ii

βαβα

. (21)

Умножая первое уравнение (21) на , а второе на и вычитая почленно одно из другого, получаем:

)( 1,1 xf j )( 1,1 xf i

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=′−′

=′−′

0)()()()(

0)()()()(

2,12,12,12,1

1,11,11,11,1

xfxfxfxfнаходимтакжеточно

xfxfxfxf

ijji

ijji

. (22)

Пусть функции θ также удовлетворяют граничным условиям, указанным в определении, т.е.

⎭⎬⎫

=+′

=+′

0)()(0)()(

1,11,1

1,11,1

xxxx

ii

jj

βθθα

βθθα. (23)

Умножая первое уравнение (21) на )( 1,1 xjθ и первое уравнение (23) на и преобразовывая уже известным образом, имеем: )( 1,1 xf i

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=′−′

=′−′

0)()()()(

0)()()()(

2,12,12,12,1

1,11,11,11,1

xfxxxfаналогичнои

xfxxxf

ijji

ijji

θθ

θθ

. (24)

Произведя подобные действия со вторыми уравнениями (21) и (23), легко определить, что

⎭⎬⎫

=′−′

=′−′

0)()()()(0)()()()(

2,12,12,12,1

1,11,11,11,1

xxfxxfxxfxxf

ijij

ijij

θθ

θθ. (25)

Сравнивая полученные результаты (22), (24) и (25) с правой частью (20) и

вспоминая, что при , убеждаемся в справедливости

теоремы.

∫ =≠2

1

0, ,1,1

x

xji dxji θθ

Доказательство соотношения достаточно известно

и поэтому здесь не приводится.

jiприdxx

xji ≠=∫

2

1

0,1,1 θθ

Следствие

∫ ∫ ==≠2

1

2

1

0,1,1,1,1

x

x

x

xijji dxfdxfj θθi . При

118

Теорема 2Если одно из фундаментальных чисел рассматриваемой задачи о in

фундаментальных функциях, а соответствующая ему нормированная if ,1

фундаментальная функция, то для любой непрерывно дифференцируемой функции )(xψ в интервале всегда можно подобрать такое значение , ),( 21 xx imчто

∫ ==2

1

),(),( ,12

,12

,1

x

xiiiii HndxnfG ψθψθψ ,

где ),( ,1 ψifG и ),( ,1 ψθ iH - соответствующие билинейные функционалы. Действительно, интегрируя функционал ),( ,1 ψifG по частям и принимая во внимание первое уравнение (16), получаем:

.

)()(),(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

,12

,1

,12

,1,1,12

,1,1

∫

∫∫

−′−=

=+′′+′−=+′′−=

x

xii

xxi

x

xiii

x

x

xxiiiii

dxmf

dxfnffdxfnffG

ψθψ

ψψψψψ

Поскольку оставалась произвольным, то полагая его равным 2im

2

,1

,1

),(

2

1

ii

x

xi nH

f−

′−

ψθ

ψ,

получаем тем самым утверждение теоремы. Если )(xψ на границах интервала обращается в нуль, то на при доказательстве не требуется накладывать указанного выше условия.

2im

СледствиеЕсли фундаментальные функции i,1θ и . отнормировать так, чтобы if .1

∫ =2

1

1,1,1

x

xii dxfθ ,

для чего достаточно умножить эти функции соответственно на величину

∫2

1

,1,1

x

xii dxfθ , то Принимая во внимание следствие теоремы 1, 2

,1 )( ii nfG =

получаем: 0),( ,11 =ji ffG при ji ≠ .

Теорема 3Фундаментальные числа ограничены снизу. inВ самом деле,

∫ ∫ ′−>+′−=2

1

2

1

2,1

2,1

22,1,1 )()(

x

x

x

xiiiii dxfdxfnffG .

119

Т.к. интеграл, стоящий в правой части (если произвести его непосредственное вычисление и учесть, что в iAaf =′1 и при iCC =′ ii CиAвыражающихся как (27), a и как видно из (31), суть величины iinA iinCограниченные и представляют собой некоторые постоянные), есть величина ограниченная, то функционал ограничен снизу. Учитывая, что при )( ,1 ifG

1),( ,1,1 =ii fH θ , получаем, что фундаментальные числа также 2,1 )( ii nfG = in

ограничены снизу. Разумеется, что результаты всех приведенных выше доказательств справедливы также в случае граничных условий вида

0)(0)( 2111 =′=′ xfxf или 0)(0)( 2111 == xfxf . В последнем легко убедиться, применяя изложенные выше приемы. Теорема 4Произвольная достаточно гладкая в интервале функция ),( 21 xx )(xF ,

удовлетворяющая граничным условиям 0)()( 21 == xFxF , может быть представлена в этом интервале равномерно сходящимся рядом вида:

∑ ∑∞

=

∞

=

+++==1 1

,1 )()(i i

iiiiiiiii xxSinndxxCosnCxSinnBxCosnAfxF , (26)

где всё возрастающая последовательность фундаментальных чисел iniiiii dCBAannnn ,,,...,...321 <<<<< - постоянные, определяемые

выражениями:

2

222

2

2

222

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

))((

))(())((

)()(

)()()(

))((

))(()()(

)()(

)())((

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

+++−

−++

−++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

+++−

−++

−++=

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

x

xiiiiii

x

x

x

xiiiiiiiii

x

x

x

xiiiiii

x

xiii

x

xiii

i

x

xiiiiii

x

x

x

xiiiiiiiii

x

x

x

xiiiiii

x

xiii

x

xiii

i

dxxSinnkxCosnxSinnLxCosnx

dxxSinnkxCosnxFdxxSinnkxCosnxSinnLxCosnx

dxxSinnLxCosnxdxxSinnkxCosn

dxxSinnkxCosndxxSinnLxCosnxxFC

dxxSinnkxCosnxSinnLxCosnx

dxxSinnkxCosnxSinnLxCosnxdxxSinnLxCosnxxF

dxxSinnLxCosnxdxxSinnkxCosn

dxxSinnLxCosnxdxxSinnkxCosnxFA

(27)

где ;, iiiiii CLdAkB ==

120

211212212

2122112112 )(xSinnxCosnxxCosnxSinnxxSinnxSinnLx

xSinnxCosnxLxCosnxSinnxLxCosnxCosnxxkiiiiiii

iiiiiiiii −+

+−−= ,

а является корнем некоторого алгебраического уравнения четвёртой iLстепени.

В связи с тем, что каждая из функций содержит четыре произвольных if ,1

постоянных (а не две, как, например, в случае разложения )(xF в ряд Фурье), то представляется возможным, как правило, вне зависимости от принятого числа членов в разложении (26), точно удовлетворить значениям функции )(xF на границах рассматриваемого интервала (хотя при этом сходимость ряда несколько ухудшится). Указанное обстоятельство не всегда может быть выполнено при разложении )(xF в ряд Фурье.

С целью упрощения доказательства теоремы, в определении приняты нулевые граничные условия. Однако, эта теорема может быть доказана для более общих граничных условий. При этом рассуждения в доказательстве не будут иметь никаких принципиальных отличий от приведенных.

Рассмотрим ряд

∑Μ

=

+++=1

* )]()([)(i

iiiiiiii xSinnLxCosnxCxSinnkxCosnAxF , (28)

в котором . Функции, составляющие этот ряд, ограничены и iiiiii CLdAkB == ,интегрируемы каждая по себе в интервале . Поэтому , а, ),( 21 xx )(* xF

следовательно, и (здесь предполагается сначала, что )()( * xFxF − )(xF - непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая сформулированным в определении теоремы граничным условиям) можно рассматривать как функции с интегрируемым квадратом. Составим интеграл

∫ −=2

1

2* )]()([x

xi dxxFxFδ , (29)

характеризующий среднеквадратичную ошибку приближения F*(x) к )(xF в интервале . Величину ),( 21 xx iδ можно рассматривать как функцию от коэффициентов и и наилучшее приближение F*(x) к )iA iC (xF получится тогда, когда эти коэффициенты будут выбираться из условий

0=⋅⋅⋅=∂∂

=⋅⋅⋅=∂∂

i

i

i

i

CAδδ .

Дифференцируем iδ по iA

0)(*

*)]()([)(2

1

=+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +++−∫ ∑

Μ

=

dxxSinnkxCosn

xSinnLxCosnxCxSinnkxCosnAxF

iii

x

x iiiiiiiii (30)

и затем по , iCПринимая во внимание следствие теоремы 1 и решая совместно

полученные уравнения относительно И , находим, что их выражения в iA iC

121

точности совпадают с указанными в определении теоремы. Легко видеть, что найденные значения И не только соответствуют минимуму iA iC iδ , но и ограничены при . Действительно, в точке минимума должно ∞→inвыполняться неравенство

022

2

2

2

2

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂⋅

∂∂

ii

i

i

i

i

i

CACAδδδ .

Произведя соответствующие дифференцирования и подставляя результаты в это неравенство, после простых преобразований получаем:

0))((

)()(

2

222

2

1

2

1

2

1

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

−++

∫

∫ ∫x

xiiiiii

x

x

x

xiiiiii

dxxSinnkxCosnxSinnLxCosnx

dxxSinnLxCosnxdxxSinnkxCosn

при всех не обращающих левую часть неравенства в нуль. Сравнивая inполученное выражение с известным неравенством Буняковского, непосредственно убеждаемся в соответствии выражений и минимуму iA iC iδ , когда и таковы, что неравенство не обращается в тождество. Обозначим в ik iLвыражениях и наибольшие в интервале значения функций iA iC ),( 21 xx

)(,),( 2 xxFxxF и x соответственно как и . Предварительно полагая 321 ,, TTT 4T и ограниченными и вычисляя интегралы в (27), получаем: iLik

( ) {

( )

[ ]}

[ ] }.

2)(2)1(41

2)(2)1(41)1(

21*

)1(41)1(*2

211)1(*

*1222

11

*2)1(2211)1(

41

)1(21*1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

22

43

2

222

221

x

xiiiiii

i

xxiiiiii

iii

iiiii

i

xxiii

i

x

x

iiii

i

x

xiiii

ii

ixxiii

ii

xnCosLkxnSinLkn

xnCosLkxnSinLkn

xLk

xLkLxnSinn

xL

xCosnLxSinnn

TTxnCosLxnSinLn

xnCoskkxnSinn

xkT

xLxCosnLxSinnn

TTA

+−−+

⎩⎨⎧

+−−++

++−⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++

+−−⎪⎭

⎪⎬⎫⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎭⎬⎫⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−++

+++−≤

(31)

Т.к. при ∞→in правая часть неравенства стремится к нулю, то 0lim =∞→321

in

iA .

Точно так же можно установить, что 0lim =∞→321

in

iC .

122

Если построить ряд ∑∞

=1iiA , то, отбросив члены второго порядка малости,

содержащие множитель 2

1in

, придём, как следует из (31), к рассмотрению ряда

∑∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

1

2,12,1

i i

i

i

i

nxbCosn

nxaSinn

, (32)

где и некоторые постоянные, не зависящие от . Принимая для оценки a b inсходимости этого ряда интегральный признак Коши, находим, что несобственный интеграл

ii

i

i

i dnn

xbCosnn

xaSinn∫∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

α

2,12,1

есть величина конечная )0..,0( ≠≠ inктα . Поэтому ряд (32), а,

следовательно, и ряд ∑∞

=1iiA являются сходящимися. ОтсюдА; непосредственно

вытекает, что ряд и по аналогии ряд - абсолютно сходящиеся. ∑∞

=1iiA ∑

∞

=1iiC

Покажем далее, что система функций вида обладает полнотой и ряд (28) 1fсходится к F(х) “в среднем", т.е. 0lim =

∞→Μ321 iδ , что равносильно { 0lim =

∞→i

ni

δ . Введём

обозначения:

[ ]

.)()(

)()()()(1

i

iiiiiiiii

xFxP

xSinnLxCosnxCxSinnkxCosnAxFxF

δΜ

Μ

Μ

=Μ

=

+++−= ∑

Поставим задачу о нахождении минимума функционала

[ ]dxxPnxPPGx

xi∫ ΜΜΜ +′−=

2

1

)()()( 222

при дополнительном условии

∫ == ΜΜ

2

1

1)()( ,1

x

xi dxxPPH θ .

На основании теоремы Эйлера можно утверждать, что функции, дающие решение поставленной задачи, должны быть экстремалями функционала

[ ]dxxPmxPnxPPHmPGx

xiiii ∫ ΜΜΜΜΜ ++′−=+

2

1

)(2)()()(2)( ,12222 θ ,

для которого уравнение Эйлера iii mxPnxP ,1

22 )()( θ−=+′′ ΜΜ

123

в точности совпадает с уравнениями (16). Если коэффициенты И выбраны iA iC

как (27), то , где ∫ =Μ

x

xidxfxP

1

0)( ,1 Μ= ...,,3,2,1i . Т.к., кроме того, граничные

условия задачи о собственных значениях и рассматриваемой вариационной задачи также совпадают, то функция , дающая минимум при )(xPΜ )( ΜPGусловии является фундаментальной. Поэтому, учитывая следствие 1)( =ΜPHтеоремы 2, а также в силу определения настоящей теоремы в отношении чисел

21)(, +ΜΜ ≥ nPGni . Вычислим G(PM). Переходим к ранее принятым обозначениям:

[ ]

]

} .),(

]),([2)]([1))((

))(([1)()()(

21

1 1,1,1

1 1,1

2,1

2

1

2,1

2221

1

1

1

+Μ

Μ

=

Μ

=

Μ

=

Μ

=

Μ

=ΜΜΜ

≥+

⎩⎨⎧ +−=−+

+′−′−=+′−=

∑∑

∑ ∑

∫ ∑∫

nffG

fxFGxFGdxfxFn

fxFdxxPnxPPG

i jji

i ii

iii

x

x ii

i

x

xi

δ

δ

(33)

На основании теоремы 2 инеем:

∫ ≠==2

1

0),(;)(]),([ ,1,1,12

,1

x

xjiiii jiприffGdxxFnfxFG θ .

Подставляя эти значения функционалов (33), получаем:

21

1,1,1,1

22

1

)])(()([)]([1+Μ

Μ

=≥

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−∑ ∫ ndxfxFxFnxFGi

x

xiiii

i

θθδ

. (34)

Принимая во внимание теорему 1, из первого уравнения (30) после умножения его на имеем: iA

∫ =−2

1

0])([ ,1,1

x

xii dxfxFθ , откуда . ∫ ∫=

2

1

2

1

,1,1,1)(x

x

x

xiii dxfdxxF θθ

Подставляя найденные значения интегралов в (34), находим:

21

1,1

21

1,1,1

2)()]([)]([

2

+Μ

Μ

=

+Μ

Μ

=∑∑ ∫ −

=

−

≤n

fGxFG

n

dxfnxFGi

ii

x

xiii

i

θδ . (35)

Учитывая теорему 3, а также то, что при достаточно большом i можно подобрать также достаточно большое , допустимо положить, что с inнекоторого 0)]([ >xFGi и . 0)( ,1 >ifG

Принимая во внимание, что при любом сколь угодно большом наперед заданном значении , не зависящем от in )]([,"" xFGΜ остаётся конечным, можно считать числитель правой части (35) ограниченным, ибо в противном случае 0<iδ , что невозможно по построению iδ . Т.к. при ∞→∞→Μ in, , то

124

отсюда следует, что 0→iδ при ∞→Μ . Таким образом, ряд (28) сходится в среднем к )(xF . Умножая обе части ряда (26) раздельно на

xSinnBxCosnA iiii + ,а затем на )( xSinndxCosnCx iiii + и интегрируя (по доказанному система рассматриваемых функций обладает полнотой) их по промежутку , после преобразований с учётом теоремы 1 и её следствия ),( 21 xxполучаем:

∫

∫∫

∫

∫∫

+++

+=+

+++

++=+

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

.)()(*

*)()()(

;))((

)())((

21

21

11

11

211

x

xiiiii

x

xiii

x

xii

x

xiiiii

x

xiii

x

xii

dxxSinnLxCosnxCdxxSinnkxCosn

xSinnLxCosnxAdxxSinnLxCosnxxF

dxxSinnkxCosnxSinnLxCosnxC

dxxSinnkxCosnAdxxSinnkxCosnxF

Решая эти уравнения совместно относительно И , находим их iA iCзначения, которые в точности совпадают с (27). Полученный результат говорит о том, что если в рассматриваемом ряде отбросить бесконечное число членов, следующих за n-м, то оставшаяся конечная сумма даст приближение F(x) наилучшее из возможных с помощью рассмотренных рядов с тем же числом членов. Более того, коэффициенты (27), найденные для , остаются Μ=iнеизменными при увеличении числа членов ряда (26). Чтобы освободиться от ранее принятого ограничения непрерывной дифференцируемости функции

)(xF , достаточно вспомнить, что для всякой достаточно гладкой функции )(xF существует непрерывно дифференцируемая функция )(xf , удовлетворяющая нулевым граничным условиям и такая, что

∫ <−2

1

2)]()([x

x

dxxfxF ε ,

где ε - любое заданное положительное число. Покажем далее, что ряд (26) сходится к )(xF равномерно. При этом

достаточно показать, что ряд (26) вообще равномерно сходится. Действительно, т.к. этот ряд сходится “в среднем” к F(x), то, сходясь равномерно, он не может иметь своим пределом никакую другую функцию.

Как было показано ранее, ряды и , а, следовательно, в ряд ∑∞

=1iiA ∑

∞

=1iiC

∑∞

=

+1

)(i

ii CA являются абсолютно сходящимися.

Согласно ранее сделанному предположению, И - величины суть ik iLограниченные, поэтому )( xSinnkxCosn iii + и xxSinnLxCosn iii )( + в интервале

125

),( 21 xx также ограничены. Обозначим их максимальные значения в этом интервале соответственно через 1Μ и 2Μ составим новый ряд

∑∞

=Μ+Μ

121 )(

iii CA . (36)

Ряд (36) по признаку Абеля является сходящимся. Сравнивая члены ряда (26) с соответствующими членами мажорантного ряда (36); имеем:

−+≥Μ

+≥Μ

)(

;)(

2

1

xSinnLxCosnxCC

xSinnkxCosnAA

iiiii

iiiii

таким образом, в соответствии с теоремой Вейерштрасса ряд (26) сходится в рассматриваемом интервале абсолютно и равномерно. Осталось показать, что коэффициенты и действительно ограничены. Для их определения ik iLвоспользуемся граничными условиями нашей задачи. Подставляя в них (26) для каждого значка i будем иметь:

⎭⎬⎫

=+++=+++

0)()(0)()(

22222

11111

xSinnLxCosnxCxSinnkxCosnAxSinnLxCosnxCxSinnkxCosnA

iiiiiiii

iiiiiiii .

Для того, чтобы эта система имела решение отличное от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы её определитель равнялся нулю, т.е.

0)(

)(

22222

11111 =++++

xSinnLxCosnxxSinnkxCosnxSinnLxCosnxxSinnkxCosn

iiiiii

iiiiii .

Раскрывая определитель, после преобразований получаем:

211212212

2122112112 )(xSinnxCosnxxCosnxSinnxxSinnxSinnLx

xSinnxCosnxLxCosnxSinnxLxCosnxCosnxxkiiiiiii

iiiiiiiii −+

+−−−= .

С другой стороны, подставляя значения , и из последнего iA iC ikвыражения, например, в первое уравнение системы, приходим к алгебраическому уравнению четвертой степени относительно , из которого iLэтот коэффициент и определяется. Т.к. все коэффициенты названного уравнения четвертой степени относительно (последнее не приводится из-за iLгромоздкости) имеют конечную величину при всех , а знаменатель inвыражения для не обращается в нуль ни при каком значении , то при ik inнеограниченном возрастании коэффициенты и должны оставаться in ik iLограниченными. Оставшиеся неизвестными коэффициенты ряда (26) определяются как iiiiii CLdAkB == ; . Следует отметить, что коэффициенты iBи могут быть определены также как И непосредственно из условий id iA iC

0=⋅⋅⋅=∂∂

=⋅⋅⋅=∂∂

i

i

i

i

dBδδ .

Всё вышеизложенное справедливо также для функций

,112

2

SinnctbCosnctactSinnctdctCosnctcSinnctbCosnctaf

′′+′′=

′′+′′+′′+′′=θ

где 11 ,,,,, badcba ′′′′′′′′′′′′ - постоянные.

126

Пользуясь вышеизложенными приёмами можно доказать аналогичные теоремы и для нелинейных составляющих решения вида (13).

3. Решение краевой задачи Поместим начало координат в точку, где расположен источник

электромагнитного излучения. Решение уравнения (1) с помощью описанного метода можно представить в виде:

)],()(

)()()

)(([

,3,4,4,3

,4,3,3,4,2

,1,2,000

xSinnbxCosnbxctSinnactCosna

xSinnbxCosnbctctSinnactCosnaxSinnb

xCosnbctSinnactCosnaxctCosSinEE

inininin

ininininin

inininii

iiii

iiiii

iii

−++

++−++

++∑+= νν

(37)

где - постоянные интегрирования, которые innnn nbbaaiiii,, ,4,1,4,1 ÷÷

подбираются так, чтобы решение удовлетворяло условиям:

,22

.,.1

,);0)

0;0)

000

0 000

00

xxcx

t

xxxxxx PEPEилиЭЭ

вапространстточкелюбойвпостоянносечениеусловноечерезсекзаволнами

нитнымиэлектромагепереносимоэнергииЗначениевctSinEExб

Etа

=≥

==== ==

====

ν

(38)

где cx

t

xxE00

≥

= - амплитуда в точке пространства, где помещен наблюдатель.

0=xP и

0xxP

= - векторы Умова-Пойтинга, соответственно в точках 0=x и

0xx =Подставляя решение (37) в условия (38а) получаем:

0])()([ ,3,4,3,2,1,1 =−++∑ xxSinnbxCosnbaxSinnbxCosnba inini

nininn iiiiii,

откуда . 0,3,1 ==ii nn aa

Далее из условия (38б) находим: ∑ =++

iinninn ctSinEctctCosnbactSinnbactSinE

iiii 00,3,4,1,200 ][ νν

и, следовательно, . 0,3,1 ==ii nn bb

Таким образом, решение (37) удовлетворяющее условиям (38а) и (38б) принимает вид:

]

)[(

,4,4

,4,4,2,2000

ctxctCosnSinnba

ctSinnxxCosnbaxSinnbaxctCosSinEE

iinn

iiinninn

ii

iiii

+

+++= ∑νν(39)

Подставим это решение в (38в). Введём обозначение:

127

,

;

;

*0,4,4

*00,4,40,2,2

00max

00

iii

iiiii

ninn

ninninn

AxSinnba

СxCosnxbaxSinnba

BxCosEEE

=

=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− ν

где - максимальное значение амплитуды в точке , равное maxE 0xx =

cx

t

xxE00

≥

= . После простых преобразований имеем:

∑ +=i

inin ctSinnCctctCosnActBSinii

)( **0ν .

Это равенство должно выполняться в интервале времени

ct

0

0νπ

≤≤ .

Таким образом, должно быть справедливым соотношение

00

*

00

* =+νπ

νπ

νπ

inin SinnCCosnAii

,

где коэффициенты и согласно теореме 4 определяются *

inA *

inCсоотношениями:

.

0 00

0 0 0 0

0 00

0 0 0 0

0

2

0

222

0

2

0 0 0 00

2220

*

0

2

0

222

0

2

0 0 0 00

20

*

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−

⋅⋅−⋅=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−

⋅−⋅=

c c

iii

c

i

c c c c

iiiii

n

c c

iii

c

i

c c c c

iiiii

n

ctdtctCosnctSinnctdtnCostcctdtnSin

ctdtctCosnctSinnctdtctCosnctSinctdtnCostcctdtctSinnctSinBC

ctdtctCosnctSinnctdtnCostcctdtnSin

ctdtctCosnctSinnctdtctSinnSinctdtnSinctdtctCosnctSinBA

i

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νν

νν

После интегрирования получаем выражение, из которого определются все in

128

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+⎢⎣

⎡+

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

00

0

0

0

0

2

0

0

0

02

0

0

032

0

2

0023

0

3

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

000

0

0

2

0

0

0

02

0

0

00

22

2

21

1

1

1

1

1

1

1

12

41

2

2231

1

1

1

22

2

21*

*1

1

1

12

211

1

1

1

1

1

1

1

1

νπ

νπν

π

νν

νππ

ν

νπ

ν

νππ

ν

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

ν

νπ

ν

νπ

νπ

νπ

νπν

π

ν

νπ

ν

νπ

νπ

νπ

νν

νππ

ν

νπ

ν

νππ

ν

νπ

νπ

νπ

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

nCosn

nSin

nn

nCos

n

nSin

n

nCos

n

nSinnSin

nn

nCosnn

nSin

n

nSinnSin

nCosn

nSin

n

n

nSin

n

nSinnSin

nn

nCos

n

nSin

n

nCos

n

nSinCosn

(40)

Окончательное решение уравнения (1) удовлетворяющее условиям (38) будет:

.0

*

0

*

0

*

000

*

000

⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅+⎥⎥⎦

⎤+

+⎟⎟⎠

⎞

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎢⎢⎣

⎡

⎜⎜⎝

⎛−+= ∑

ctctCosnxSinnxSinn

ActSinnxxCosn

xSinnA

xSinnxSinn

Axctgnx

xSinnC

xctCosSinEE

iii

nii

i

n

ii

n

ii

i

n

ii

iiνν

При 0

0 νπ

== xx и cc

t00 2νπ

νπ

+= , maxEE =

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

i

in

in

nSinCnCosAEEii

0

*

00

*0max 2

323

23

νπ

νπ

νπ ,

откуда, после простых преобразований

129

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=

i

in

in

nSinCnCosAE

Eii

0000

max

23

23

23

41

21

νπ

νπ

νπ ,

где ; . ii nn BAA =*

ii nn BCC =*

Если принять во внимание, что 2max

420

40 EE νν ≅ , то

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=

i

in

in

nSinCnCosAii

000

0

23

23

23

41

21

νπ

νπ

νπ

νν , (41)

Где

2

000

00020

0

0

032

0

2

2

0

0

0

02

0

0

032

0

2

0023

0

3

00

0023

0

3

0

0

0

0

0

2

000

0000

0

0

0

0

00

032

0

2

0023

0

3

00

0

02

0

0

0

02

0

020

2221

41

2221

81*

1

1

241

4

1

1

1

1

1

12

41

2

2232

1*241

2

2234

1*1

1

1

1

;22

21

41

2221

81

1

1

1

12

21*

241

22

2321*2

21

21

*1

1

1

1

1

1

1

1

41

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

−⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎢⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎢⎢⎣

⎡++

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎢⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νν

νππ

νπ

νπ

ν

νπ

ν

νππ

ν

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νν

νπ

ν

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νν

νπ

ν

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

νπ

ν

νππ

ν

νπ

ν

νππ

ν

νπ

ν

ii

ii

ii

iii

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

n

ii

ii

ii

iii

i

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

n

nCosnSinnn

nCosnSinnnn

nCos

nSinnn

n

nSin

n

nCos

n

nSinnSin

nn

nCosn

nSinn

nCosnn

nSin

n

nSin

C

nCosnSinnn

nCosnSinnnn

nSin

n

nSinnSin

n

nSinnn

nCosn

nSinn

n

nCos

n

nSin

n

nCos

n

nSin

A

i

i

(42)

130

Производя затем последовательные вычисления по формулам (40), (42) и (41), беря каждый раз за исходное 0ν , полученное его значение из предыдущего

расчёта, можно получить отношение νν 0 для любого расстояния

от источника до наблюдателя, nxxxxs +⋅⋅⋅+++= 210

где

⋅⋅⋅==2

21

1 νπ

νπ xx

В принципе, для последующего числового расчёта можно взять любую

другую точку внутри интервала 00 xx << , для которой при maxEE =c

t0νπ

≤ .

Качественный результат от этого не изменится.

Большое значение νν 0 получено ввиду принятого весьма малого значения

. 0νКартина распространения электромагнитной волны графически может

быть изображена как показано на рис. 1.

Е

Описанное явление распространения электромагнитных волн в вакууме может быть использовано в астрономических наблюдениях для определения расстояний до объектов звездного мира.

Таким образом, электромагнитные волны, генерируемые неподвижным относительно наблюдателя источником, распространяясь в пространстве свободном от гравитационного поля способного вызвать изменение их частоты в соответствии с выводами общей теории относительности претерпевают с удалением от источника генерации изменения, выражающиеся в уменьшении частоты колебаний волн при соответствующем увеличении амплитуды, причем эти изменения зависят от начальной частоты генерируемой источником.

4. Числовой расчёт В целях возможности расчета с помощью ручных вычислительных

средств примем за исходную величину

131

сек110 =ν .

В формуле (40) перенесем правую часть в левую и обозначим полученное выражение через у. Расчет и значения полученных положительных корней " " inсведены в табл. 1.

Таблица 1 1 in 1 0,499 1,595 2,275 2 0ν 1 1 1 1 3

0νin 1 0,499 1,595 2,275

4 0

1ν

in+ 2 1,499 2,595 3,275

5 0

1ν

in− 0 0,501 -0,595 -1,275

6 2

0

)1(ν

in+ 4 2,243 6,73 10,72

7 2

0

)1(ν

in− 0 0,251 0,354 1,625

8 )1(0ν

π in− 0 90º11 ׳ -107°6' -229º30'

9 )1(0ν

π in+ π2 269°49' 107°6' 229°30'

10 )1(0ν

π inSin + 0 -1 0,9558 -0,7604

11 )1(0ν

π inCos + 1 -0,0032 - 0,2941 -0,6494

12 )1(0ν

π inSin − 0 1 - 0,9558 0,7604

13 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

0

1ν

π inCos 1 - 0,0032 - 0,2941 - 06494

14 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

0

1ν

ππ inCos π - 0,01007 - 0,924 - 2,04

15 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

0

1ν

ππ inCos π - 0,01007 - 0,924 - 2,04

16

2

0

0

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ν

νπ

i

i

n

nSin

_ 3,98 -2,7 0,468

132

17

2

0

0

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ν

νπ

i

i

n

nSin

0

- 0,445 0,142 - 0,071

18

0

0

1

1

ν

νππ

i

i

n

nCos

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

- - 0,01655 1,5525 1,6

19

0

0

1

1

ν

νππ

i

i

n

nCos

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2π -0,00671 -0,356 -0,623

20 0νπ

π π π π

21 0ν 1 1 1 1 22

0νπ

in π 89°49´ 287°6' 49°30'

23 0νπ

iSinn 0 1 -0,9558 0,7604

24 0νπ

iCosn -1 0,0032 0,2941 0,6494

25 0

2νπ

in π2 179°38( 214°I2' 99°

26 0

2νπ

inSin 0 0,0113 - 0,5621 0,9877

27 0

2νπ

inCos 1 -1 -0,8971 -0,1564

28 0

221

νπi

i

nSinn

π 0,01131 -0,1763 0,217

29 00

2νπ

νπ inСos π -3,141 -2,597 -0,491

30 00

221

νπ

νπ i

i

nSinn

− 0 3,13 3,317 2,924

31 000

2221

νπ

νπ

νπ ii

i

nCosnSinn

−

0 3,152 2,421 0,708

32 (17)-(19)+(16)-(18) - 3,555 -3,755 - 0,58 33 (32)*(30) -

2

2π 11,19 -12,42 - 1,695

133

34 )21()33( - 11,19 -12,42 - 1,695

35

0

0

1

)1(

ν

νπ

i

i

n

nSin

−

−

- 1,995 1,606 - 0,597

36

0

0

1

)1(

ν

νπ

i

i

n

nSin

+

+

- -0,6675 0,3685 - 0,232-

37 (35)-(36) π 2,6625 1,237 -0,365 38

in21)31(*)37( ⋅

2

2π− 8,4 0,935 -0,0559

39 (34)-(38) 0 2,79 -13,355 -1,639 40 (39)*(24)*(20) 0 0,02807 -12,35 -3,455 41

30

3

3νπ

3

3π 10,35 10,35 10,35

42 2in 1 0,249 2,542 5,088

43 2

0 21

in⋅

νπ

2π 6,305 0,618 0,3088

44 0

20

221*

νπ

νπ i

i

nCosn

2π -6,305 -0,517 -0,04825

45 20

2

νπ

2π 9,87 9,87 9,87

46 in2

120

2

⋅νπ

2

2π 9,89 3,095 2,17

47 3in 1 0,1242 4,055 11,76

48 34

1

in

41 2,005 0,0616 0,02125

49 32

0

2

41

21

ii nn−

νπ

41

2

2

−π 7,885 3,033 2,149

50 0

320

2 241

21

νπ

νπ i

ii

nSinnn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

0 0,089 -1,705 2,12

51 (41)+(44)+(50) 23

3 ππ+ 4,134 8,13 12,42

52 (37)*(51) 23

24 ππ+ 11,0 10,05 -4,53

53 0

121

ν⋅

in

21 1,001 0,314 0,22

134

54 (32)*(53)*(31) 4

2π 11,22 -2,843 -0,0903

55 (52)-(54) 43

24 ππ+ -0,2 12,89 -4,44

56 (55)*(23) 0 -0,2 -12,315 -3,376 57 y=(40)-(56) 0 0,228 -0,035 -0,079

ii nn =− .

Вычисление последующих значений является нецелесообразным, т. к. inполученные их значения обеспечивают требуемую точность дальнейших

расчетов. Вычислим отношение 0νν . Расчет по формуле (41) сведен в табл. 2.

135

Примечание:

ном

ера в фо

рмулах

, расположенны

х в столбце

2, указаны

по табл

. 1.

136

О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ С помощью искусственного разобщения членов некоторого

вспомогательного дифференциального уравнения на два уравнения, каждое из которых может быть известными способами проинтегрировано в квадратурах, построено путём тождественного сопоставления полученных решений этих двух уравнений исходное дифференциальное уравнение.

Определённые условия, наложенные на коэффициенты этого уравнения, сводят последнее, например, к уравнению Риккати.

Вспомогательное уравнение, при этом, сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Известно [1], что решение уравнения Риккати относится к проблеме особой важности, т.к. к нему сводится много других дифференциальных уравнений, имеющих широкое применение в технике.

Рассмотрим вспомогательное уравнение ))((2 δγβ ++=′ tdtt , (1)

где δγβα ,,, - пока произвольные имеющие непрерывную первую производную, функции аргумента x .

Представим (1) в виде

Ftt

=+′βα

и Ft

t 1=

+′δγ

.

Тогда

0=−−′ βα FFtt и 0=−−′F

tF

t δγ .

Интегралами этих уравнений будут выражения:

dxeFet FdxFdx

∫ ∫∫ −−=

αα β и dxeF

etdx

Fdx

F ∫ ∫∫ −−=

γγ δ.

Постоянные интегрирования приняты равными нулю. Приравнивая оба значения t , получаем

dxeF

edxeFedx

Fdx

FFdxFdx

∫∫ ∫∫∫∫ −−=

γγαα δβ . (2)

Логарифмируя и дифференцируя затем (2) после простых преобразований имеем

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=−∫

∫

∫

∫

∫

∫−

−

−

−

−

−

∫

∫∫

1*Fdx

dxF

dxF

Fdx

Fdx

Fdx

eF

eF

dxeF

dxeF

dxeF

eFF

Fα

γ

γ

α

α

α

β

δ

δ

β

β

βγα . (3)

Из (2) следует

∫

∫

∫

∫=

∫

∫−

−

Fdx

dxF

dxF

Fdx

e

e

dxeF

dxeFα

γ

γ

α

δβ

.

Подставив это выражение в (3), получим

137

∫∫ −−

−−

=∫FdxFdx e

FFdxeF αα

γαβδβ 2

2

.

Дифференцируя это равенство, приходим к выражению

.0)(2)(2

)(2)(2)(22

22

34

=−′−′

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

′−′+′−′+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

′−′+′

αδβγγδδγ

αδβγβγαγδ

αδβγδαβγδαβγ

αδβγδααγβ

αδβγβαβα

F

FFFFF

Примем εβα == (4)

и произведём подстановку

zF=

1 .

Тогда

02)(222)(2

23 =−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′−′

+′

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′−′

−′ε

δγγδ

εεγ

δγεγδδγ zzzz .

Далее примем δγ a= , (5)

где - некоторая постоянная не равная 0 и 1, и произведём подстановку a

δaUz 2

= . (6)

Тогда

0422

2 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+′

−+′δε

δδ

εε aUUU . (7)

Произведём подстановку μ+= yU ,

где μ - некоторая пока произвольная функция от x , тогда μ′+′=′ yU ,

042222

2 22 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+′

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+′

−+++′+′εδμ

δδ

εε

δδ

εεμμμ ayyyy . (8)

Наложим на μ условие

022

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+′

− yyδδ

εεμ , при 0≠y ;

022

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+′

−δδ

εεμ ;

)(ln41 ′= εδμ .

Уравнение (8) принимает вид

138

0422

22 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+′

−+′++′ εδμδδ

εεμμ ayy .

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+′

==

04

0,1

2 α

μδ

ε

yy

тогдаЕсли

Или

( ) 0ln41)(ln

41 2

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −′−′′++′ εδεδεδ ayy . (9)

Рассмотрим далее уравнение Риккати в общем виде 02 =++′ xQyy , (10)

где Qx заданная функция от x . Сравнивая (9) и (10), полагаем

xQa 4)(ln41)(ln 2 =−′−′′ εδεδεδ .

Обозначим νεδ = , тогда

xQa 441 2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

ννν

νν . (11)

Выполним подстановку ∫ +

=+=′ dxqpz

eqpz)(

**ν

νν ,

где и q - пока произвольные функции p x Уравнение (11) принимает вид

xdxqpz Qaeqpqzzpqzpzp 4

41

21

41 )(2

*2*

2**

* =−−−−′+′+′ ∫ + . (12)

Наложим условия

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

=−′

∫ +

x

dxqpz Qae

qq

4

041

)(

2

*

, (13)

из которых получаем

*

;4z

qQQ

px

q x

x −′

=−= . (14)

Тогда

2*

**

z

zqQQzq

QQ

p x

x

x

x ′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

′−

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

′

=′ . (15)

При выполнении условий (13), уравнение (12) принимает вид

139

021

41

**2*

2* =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −′+−′ pqzzzpzp .

Подставляя в него (14) и (15), получаем

0

4

)2(441

44

***

2

*

**

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′

+′+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′−

′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′−

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′

zxQ

Q

zx

zxQ

Qz

zxQ

QzxQ

Q

x

x

x

xx

x

x

x

или

0424414

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′−′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′xQ

QxxQ

QxQ

Q

x

x

x

x

x

x .

Таким образом, решение уравнения Риккати (8) сведено к решению уравнения (1) с учётом условий (4) и (5). Интегралом уравнения (1), в котором, благодаря этим условиям, переменные разделяются, будет, например для , выражение

0>a

2

242222242

2

122

4

a

aassasaasas

t⎟⎠⎞++⎜

⎜⎝

⎛+−+−±−

=ε

, (16)

где dxQdx xCeCes ±± == ∫ εδ ,

а C - произвольно. Проведя последовательно все подстановки в обратном порядке, получим

интеграл уравнения Риккати (8)

ttQ

tta

attay x

′+

−=′+

=+′

=)1(2

2)1(

)1(2εδ .

Получение общего интеграла уравнения (8) в дальнейшем уже не представляет трудностей (2).

140

Содержание Об одном методе разделения переменных при интегрировании линейных дифференциальных уравнений в частных производных__________________ 3 О получении новых решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных______________________________________________18 Обобщенный метод разделения переменных в приложении к одномерной краевой задаче для волнового уравнения______________________________38 О физической сущности самопроизвольного пространственно-временного изменения частоты электромагнитного излучения______________________50 К динамике реальных волновых процессов____________________________54 Об общем решении уравнений статической теории упругости____________64 Температурные напряжения в толстых сегментных пластинах, вызываемые двухмерным стационарным температурным полем_____________________69 Термоупругие напряжения в толстостенном цилиндре, вызываемые трехмерным стационарным температурным полем_____________________86 Об одном методе решения задачи по движению твердого тела в вязкой несжимаемой жидкости___________________________________________107 Эффект пространственно-временного изменения частоты колебаний электромагнитного излучения______________________________________111 О решении уравнений Риккати_____________________________________137

141

Лауфер Марк Яковлевич Избранные задачи математической физики

Сборник статей

Компьютерный набор и верстка – Потехин В.А. Подготовка к печати – Усынин В.Ф., Потехин В.А.

Сдано в производство – сентябрь 2005 г. Подписано в печать – апрель 2006 г. Уч.-изд. л. 8,4. Усл. печ. л. 4,7. Тираж 50 Изд. № 899. Заказ № 875 Редакционный издательский отдел Севмашвтуза, 164500, г. Северодвинск, ул. Воронина, 6

Типография ФГУП. “ПО “Северное машиностроительное предприятие” 164500, г. Северодвинск, Архангельское шоссе, 58. Заказ № 15109

142