trigonometri · 2015. 4. 22. · kaldes trigonometriske funktioner. på din lommeregner findes 3...

Trigonometri

Baggrund – lidt græsk Beregninger på standardtrekanter

Beregninger på retvinklede trekanter Beregninger på trekanter

Trigonometri - baggrund Trigonometri er den del af geometrien, der hænger meget sammen med trekanter og bruges ved beregning af vinkler og sidelængder i trekanter.

Trigonometri kommer af græsk:

meter betyder måler (speedometer måler speed/hastighed, voltmeter måler volt mm.)

metri betyder måling

geo betyder jord (geografi, geometri. Altså betyder geo-metri egentlig jordmåling - og det var det, man brugte geometri til i oldtiden)

trigon betyder trekant (så trigono-metri er altså trekantmåling)

Enhedstrekant:

For at få styr på trigonometrien er vi nødt til at indføre den såkaldte standardtrekant:

En enhedstrekant er en retvinklet trekant, hvor hypotenusen har længden 1.

1

Standardtrekanter

Standardtrekant:

For at få styr på trigonometrien er vi nødt til at indføre den såkaldte enhedstrekant:

En enhedstrekant er en retvinklet trekant, hvor hypotenusen har længden 1.

- Og så er det ligegyldigt, hvordan trekanten så ellers ser ud!

Husk – at hypotenusen er den længste side i trekanten – siden over for den rette vinkel!

1

1

Standardtrekanter

Siderne i en retvinklet trekant:

Du har tidligere lært, at de to sider op til den rette vinkel i en retvinklet trekant kaldes for kateter, mens den længste side kaldes hypotenusen.

Kateterne er de to korteste sider i trekanten.

I en standardtrekant har hypotenusen længden 1, mens de to kateter begge er mindre end 1.

Nu vil du imidlertid lære, at også de to kateter har forskellige navne!

C

A

B

Katete

Katete

Standardtrekanter

I en enhedstrekant med vinklen A gælder følgende navngivning af de 2 kateter:

1

C

A

B

Standardtrekanter

I en standardtrekant med vinklen A gælder følgende navngivning af de 2 kateter:

Længden af den hosliggende katete kaldes for cos(A), cosinus til A.

Med hosliggende katete menes ”den katete, der ligger hos A” – altså den katete, der går hen til A, eller har A som det ene endepunkt.

1

C

A

B

Standardtrekanter

I en standardtrekant med vinklen A gælder følgende navngivning af de 2 kateter:

Længden af den hosliggende katete kaldes for cos(A), cosinus til A.

Med hosliggende katete menes ”den katete, der ligger hos A” – altså den katete, der går hen til A, eller har A som det ene endepunkt.

Huskeregel: hos ~ cos

Standardtrekanter

1

C

A

B

cos(A)

… og længden af den modstående katete kaldes for sin(A), sinus til A.

Med modstående katete menes ”den katete, der ligger modsat A” – altså den katete, der ligger over for A, og ikke har A som det ene endepunkt.

Standardtrekanter

1

C

A

B sin(A)

Altså:

cos(A) = længden af den hosliggende katete til A og

sin(A) = længden af den modstående katete til A

Standardtrekanter

1

C

A

B sin(A)

cos(A)

Altså:



På samme måde kunne vi have valgt at tale om cosinus og sinus med udgangspunkt i den anden vinkel, B:

Standardtrekanter

1

C

A

B

Altså:




cos(B) = længden af den hosliggende katete til B og

Standardtrekanter

1

C

A

B cos(B)

Altså:




cos(B) = længden af den hosliggende katete til B og

sin(B) = længden af den modstående katete til B

Standardtrekanter

1

C

A

B

sin(B)

cos(B)

På denne måde kan vi se, at:

cos(A) = sin(B) og

sin(A) = cos(B)

Standardtrekanter

1

C

A

B

sin(B)

cos(B)

cos(A)

sin(A)


cos(A) = sin(B) og

sin(A) = cos(B)

Da standardtrekanten er retvinklet, betyder det, at vinkel A + vinkel B er i alt 90o, og derfor at vinkel B = 90o – A.

Standardtrekanter

1

C

A

B


cos(A) = sin(B) og

sin(A) = cos(B)


Derfor kan vi slutte os til, at

cos(v) = sin(90o – v) og

Standardtrekanter

1

C

A

B

sin(90o-v)

cos(v) v


cos(A) = sin(B) og

sin(A) = cos(B)


Derfor kan vi slutte os til, at

cos(v) = sin(90o – v) og

sin(v) = cos(90o – v)

Standardtrekanter

1

A

B sin(v)

cos(90o-v) C

sin(90o-v)

cos(v) v

Endelig opererer man med tangens:

Standardtrekanter

1

C

A

B

cos(v)

sin(v)

v


Ved tangens forstås…

tan(A) =

Standardtrekanter

længden af modstående katete længden af hosliggende katete

1

C

A

B

cos(v)

sin(v)

v



tan(A) = Dvs, at

tan(A) =

Standardtrekanter


sin(A) cos(A)

1

C

A

B

cos(v)

sin(v)

v



tan(A) = Dvs, at

tan(A) =

Tangens vil vi komme tilbage til senere!

Standardtrekanter


sin(A) cos(A)

1

C

A

B

cos(v)

sin(v)

v

De 3 funktioner:

cos(A) – cosinus til A,

sin(A) – sinus til A og

tan(A) – tangens til A kaldes trigonometriske funktioner.

Trigonometriske funktioner

De 3 funktioner:

cos(A) – cosinus til A,

sin(A) – sinus til A og

tan(A) – tangens til A kaldes trigonometriske funktioner. På din lommeregner findes 3 taster til udregning af trigonometriske værdier, nemlig tasterne sin, cos og tan:

Trigonometriske funktioner

Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter:

Retvinklede trekanter

c

C

A

B

b

a

Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter: cos(A) = =


hosliggende katete hypotenusen

b c

c

C

A

B

b

a

Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter: cos(A) = = … mens sin(A) = =



b c

modstående katete hypotenusen

a c

c

C

A

B

b

a

Teorien fra standardtrekanter kan nu overføres til alle vilkårlige, retvinklede trekanter: cos(A) = = … mens sin(A) = =



b c

modstående katete hypotenusen

a c

Det svarer fuldstændig til tidligere, hvor hypotenusen jo var = 1, og man derfor ikke kunne se, at der blev divideret med denne (at dividere med 1 ændrer ikke resultatet!)

c

C

A

B

b

a

Eksempel på brug af denne viden: I en retvinklet trekant er vinkel A = 20o og siden c er 12 cm.

Beregn længden af de to andre sider.


A

B a

20o

12 cm

C

b



Siden b:


A

B a

20o

cos(A) = 12 cm b c

C

b



Siden b:


A

B a

20o

cos(A) = => b = cos(A)·c b c 12 cm

C

b



Siden b:


A

B a

20o

cos(A) = => b = cos(A)·c

b = cos(20o)·12 cm

b c

12 cm

C

b



Siden b:


A

B a

20o


b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm

b c

12 cm

C

b



Siden b:


12 cm

A

B a

20o


b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm

b ≈ 11,3 cm

b c

C

11,3 cm



Siden b:

Siden a:



b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm

b ≈ 11,3 cm

b c

sin(A) = a c

12 cm

A

B

20o

C a

11,3 cm



Siden b:

Siden a:



b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm

b ≈ 11,3 cm

b c

sin(A) = => a = sin(A)·c a c

12 cm

A

B

20o

C a

11,3 cm



Siden b:

Siden a:


12 cm

A

B 4,1 cm

20o


b = cos(20o)·12 cm = 0,940·12 cm

b ≈ 11,3 cm

b c

sin(A) = => a = sin(A)·c

b = sin(20o)·12 cm = 0,342·12 cm

b ≈ 4,1 cm

a c

C

11,3 cm

Eksempel 2: I en retvinklet trekant er vinkel B = 38o og siden a er 5,5 cm.

a. Beregn længden af hypotenusen.


5,5 cm

A

B 38o

C

b c




cos(B) = a c

5,5 cm

A

B 38o

C

b c




cos(B) = => c = a c a

cos(B)

5,5 cm

A

B 38o

C

b c




cos(B) = => c =

c = cm

a c

a cos(B)

5,5 cos(38o)

5,5 cm

A

B 38o

C

b c




cos(B) = => c =

c = cm = cm

a c

a cos(B)

5,5 cos(38o)

5,5 0,788

5,5 cm

A

B 38o

C

b c




cos(B) = => c =

c = cm = cm

c ≈ 7 cm

a c

a cos(B)

5,5 cos(38o)

5,5 0,788

5,5 cm

A

B 38o

C

b 7,0 cm


b. Beregn herefter længden af kateten b.


5,5 cm

A

B 38o

C

b 7,0 cm




sin(B) = b c

5,5 cm

A

B 38o

C

b 7,0 cm




sin(B) = => b = sin(B)·c b c

5,5 cm

A

B 38o

C

b 7,0 cm




sin(B) = => b = sin(B)·c

b = sin(38o)·7 cm

b c

5,5 cm

A

B 38o

C

b 7,0 cm





b = sin(38o)·7 cm = 0,616·7 cm

b c

5,5 cm

A

B 38o

C

b 7,0 cm





b = sin(38o)·7 cm = 0,616·7 cm

c ≈ 4,3 cm

b c

5,5 cm

A

B 38o

C

4,3 cm 7,0 cm




5,5 cm

A

B 38o


b = sin(38o)·7 cm = 0,616·7 cm

c ≈ 4,3 cm

(Her kunne man også have brugt den pythagoræiske læresætning!)

b c

C

4,3 cm 7,0 cm

Vi har nu set, at man kan finde manglende sidelængder i en retvinklet trekant ved hjælp af cosinus og sinus.


c

C

A

B

b

a

Vi har nu set, at man kan finde manglende sidelængder i en retvinklet trekant ved hjælp af cosinus og sinus. Vi vil nu se, at man også kan gå den omvendte vej: at finde vinkler i en retvinklet trekant – også ved hjælp af vores kendskab til cosinus og sinus.


c

C

A

B

b

a


Til dette skal vi bruge ”omvendte trigonomiske funktioner”: omvendt cosinus og omvendt sinus.


c

C

A

B

b

a


Til dette skal vi bruge ”omvendte trigonomiske funktioner”: omvendt cosinus og omvendt sinus.

De omvendte trigonomiske funktioner har mange navne, og du skal derfor være opmærksom på, at du kan finde forskellige navne for funktionerne – både i bøger og på forskellige lommeregnere.


c

C

A

B

b

a

Nogle af de navne for de omvendte trigonometriske funktioner, som du vil træffe på er:


c

C

A

B

b

a

Trigonometrisk funktion:

Den omvendte trigonometriske funktion kan hedde:

cos(A) cos-1(x) arccos(x) INV cos(x)

sin(A) sin-1(x) arcsin(x) INV sin(x)

tan(A) tan-1(x) arctan(x) INV tan(x)

I denne powerpoint bruges betegnelsen cos-1(x), som ligeledes bruges på TI30-lommeregneren

Og så videre til eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.

Beregn størrelsen af vinkel A og vinkel B.


13 cm

A

B 5 cm C

b

Eksempel 3: I en retvinklet trekant er siden a = 5 cm og siden c er 13 cm.


Vinkel A:


sin(A) = a c 13 cm

A

B 5 cm C

b



Vinkel A:


sin(A) = => sin(A) = a c 5 13

13 cm

A

B 5 cm C

b



Vinkel A:


sin(A) = => sin(A) =

sin(A) = 0,3846

a c

5 13

13 cm

A

B 5 cm C

b



Vinkel A:



sin(A) = 0,3846

A = sin-1(0,3846)

a c

5 13

13 cm

A

B 5 cm C

b



Vinkel A:



sin(A) = 0,3846

A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o

a c

5 13

13 cm

A

B 5 cm C

b

22,6o



Vinkel A:

Vinkel B:



sin(A) = 0,3846

A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o

a c

5 13

cos(B) = a c

13 cm

A

B 5 cm C

b

24,6o



Vinkel A:

Vinkel B:


13 cm

A

B 5 cm


sin(A) = 0,3846

A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o

a c

cos(B) = => cos(B) = a c C

b 5 13

5 13

24,6o



Vinkel A:

Vinkel B:


13 cm

A

B 5 cm


sin(A) = 0,3846

A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o

a c

cos(B) = => cos(B) =

cos(B) = 0,3846

a c

C

b 5 13

5 13

24,6o



Vinkel A:

Vinkel B:


13 cm

A

B 5 cm


sin(A) = 0,3846

A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o

a c


cos(B) = 0,3846

B = cos-1(0,3846)

a c

C

b 5 13

5 13

24,6o



Vinkel A:

Vinkel B:


13 cm

A

B 5 cm


sin(A) = 0,3846

A = sin-1(0,3846) ≈ 22,6o

a c


cos(B) = 0,3846

B = cos-1(0,3846) ≈ 67,4o

a c

C

b 5 13

5 13

24,6o

67,4o

En af de vigtigste formler med trigonometriske funktioner er den såkaldte idiotformel. Den har fået sit navn, fordi den er så nem at bevise, at selv en idiot kan forstå det!!!

Idiotformlen

1

C

A

B

cos v

sin v

v


Formlen siger:

(cos(v))2 + (sin(v))2 = 1

Idiotformlen

1

C

A

B

cos v

sin v

v


Formlen siger:

(cos(v))2 + (sin(v))2 = 1 I standardtrekanten gælder: Da cosv er kateten b og sinv er kateten a, er formlen en omskrivning af Pythagoras:

a2 + b2 = 12

Idiotformlen

1

C

A

B

cos v

sin v

v


Formlen siger:

(cos(v))2 + (sin(v))2 = 1 I standardtrekanten gælder: Da cosv er kateten b og sinv er kateten a, er formlen en omskrivning af Pythagoras:

a2 + b2 = 12

Eller – skrevet lidt pænere:

cos2v +sin2v = 1

Idiotformlen

1

C

A

B

cos v

sin v

v

Vi har indtil nu kun set, at man kan finde manglende sidelængder i en retvinklet trekant ved hjælp af cosinus og sinus. Dvs. at vi endnu ikke har mødt vinkler større end 90o – og i vilkårlige trekanter kan vi jo godt støde på vinkler mellem 90o og 180o – de såkaldte stumpe vinkler. I eksemplet til højre er vinkel B således større end 90o

Vi må derfor udvide definitionen af sinus, cosinus og tangens.

Vilkårlige trekanter

c

C A

B

b

a

For stumpe vinkler (vinkler mellem 90o og 180o) gælder der følgende:

sin(v) = sin(180o-v) Altså er sin(147o) = sin(180o-147o) = sin (33o) = 0,5446


147o



cos(v) = - cos(180o-v) Altså er cos(154o) = -cos(180o-154o) = -cos(26o) = -0,8988


147o

154o



cos(v) = - cos(180o-v) Altså er cos(154o) = -cos(180o-154o) = -cos(26o) = -0,8988

tan(v) = - tan(180o-v) Altså er tan(117o) = -tan(180o-117o) = -tan(63o) = -1,9626


147o

154o

117o

I en vilkårlig trekant er der altid en sammenhæng mellem en vinkel og den modstående side (siden overfor). Jo større vinklen er, desto længere er siden også!

Sinus-relationerne

c

C A

B

b

a


Største vinkel i trekanten på denne side er vinkel B – og derfor er siden overfor, siden b, den længste.

Sinus-relationerne

c

C A

B

b

a


Største vinkel i trekanten på denne side er vinkel B – og derfor er siden overfor, siden b, den længste.

Tilsvarende er C den mindste vinkel i trekanten, og siden c derfor den korteste side.

Sinus-relationerne

c

C A

B

b

a

I en vilkårlig trekant er der altid en sammenhæng mellem en vinkel og den modstående side (siden overfor).

Sammenhængen beskrives ved sinusrelationen:

Sinus-relationerne

c

C A

B

b

a

b sin(B)

a sin(A)

c sin(C) = =

I en vilkårlig trekant er der altid en sammenhæng mellem en vinkel og den modstående side (siden overfor).

Sammenhængen beskrives ved sinusrelationen:

Sinus-relationerne

c

C A

B

b

a

b sin(B)

a sin(A)

c sin(C) = =

Med kendskabet til sinusrelationerne kan man nu finde vinkler og sider i vilkårlige trekanter, hvis man kender størrelsen af en vinkel og længden af dens modstående side!

Eksempel 4: I en trekant kendes B = 40o, C = 65o og a er 7,5 cm.

Beregn længden af siderne b og c.

Sinus-relationerne

c

C A

B

b

a = 7,5 cm

40o

65o



Først beregnes vinkel A = 180o- 40o- 65o = 75o

Sinus-relationerne

c

C A

B

b

a = 7,5 cm

40o

65o 75o




Herefter bruges sinusrelationen til at finde siden b:

Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) c

C A

B

b

a = 7,5 cm

40o

65o 75o





Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) => sin(A)

sin(B) b = a · c

C A

B

b

a = 7,5 cm

40o

65o 75o

b = 7,5 ·





Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) => sin(A)

sin(B) b = a ·

sin(75o) sin(40o)

c

C A

B

b

a = 7,5 cm

40o

65o 75o

b = 7,5 · = 7,5 ·





Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) => sin(A)

sin(B) b = a ·

sin(75o) sin(40o)

0,9659 0,6428

c

C A

B

b

a = 7,5 cm

40o

65o 75o

b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm





Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) => sin(A)

sin(B) b = a ·

sin(75o) sin(40o)

0,9659 0,6428

c

C A

B

b ≈ 5 cm

a = 7,5 cm

40o

65o 75o

b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm





- samt siden c:

Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) => sin(A)

sin(B) b = a ·

sin(75o) sin(40o)

0,9659 0,6428

c sin(C) =

a sin(A)

c

C A

B

b ≈ 5 cm

a = 7,5 cm

40o

65o 75o

b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm





- samt siden c:

Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) => sin(A)

sin(B) b = a ·

sin(75o) sin(40o)

0,9659 0,6428

c sin(C) =

a sin(A) => sin(A)

sin(C) c = a ·

c

C A

B

b ≈ 5 cm

a = 7,5 cm

40o

65o 75o

b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm





- samt siden c:

Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) => sin(A)

sin(B) b = a ·

sin(75o) sin(40o)

0,9659 0,6428

c sin(C) =

a sin(A) => sin(A)

sin(C) c = a ·

sin(75o) sin(65o) c = 7,5 · =

c

C A

B

b ≈ 5 cm

a = 7,5 cm

40o

65o 75o

b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm





- samt siden c:

Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) => sin(A)

sin(B) b = a ·

sin(75o) sin(40o)

0,9659 0,6428

c sin(C) =

a sin(A) => sin(A)

sin(C) c = a ·

sin(75o) sin(65o) c = 7,5 · = 7,5 · 0,9659

0,9063

c

C A

B

b ≈ 5 cm

a = 7,5 cm

40o

65o 75o

b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm





- samt siden c:

Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) => sin(A)

sin(B) b = a ·

sin(75o) sin(40o)

0,9659 0,6428

c sin(C) =

a sin(A) => sin(A)

sin(C) c = a ·

sin(75o) sin(65o) c = 7,5 · = 7,5 · = 7,04 cm 0,9659

0,9063

c ≈ 7 cm

C A

B

b ≈ 5 cm

a = 7,5 cm

40o

65o 75o

b = 7,5 · = 7,5 · = 4,99 cm





- samt siden c:

Sinus-relationerne

b sin(B) =

a sin(A) => sin(A)

sin(B) b = a ·

sin(75o) sin(40o)

0,9659 0,6428

c sin(C) =

a sin(A) => sin(A)

sin(C) c = a ·

sin(75o) sin(65o) c = 7,5 · = 7,5 · = 7,04 cm 0,9659

0,9063

C ≈ 7 cm

C A

B

b ≈ 5 cm

a = 7,5 cm

40o

65o 75o

Og husk så lige igen, at sinusrelationerne kan kun bruges, hvis vi kender en vinkel og dens modstående side i trekanten!

Vi kan nu indføre en ny formel for beregning af arealet af en vilkårlig trekant – ved hjælp af sinus: Arealet = T

T = = =

Arealet af en trekant

·b·c·sin(A) 1 2 ·a·c·sin(B) 1 2 ·a·b·sin(C) 1 2

C A

B

b = 5 cm

a = 7,5 cm

65o

c

Vi kan nu indføre en ny formel for beregning af arealet af en vilkårlig trekant – ved hjælp af sinus: Arealet = T

T = = =

Hvis du altså kender 2 sider i trekanten samt vinklen mellem de to sider, kan arealet beregnes ved formlen ovenfor!

Dette gælder f.eks. i eksemplet til højre herfor…


·b·c·sin(A) 1 2 ·a·c·sin(B) 1 2 ·a·b·sin(C) 1 2

C A

B

b = 5 cm

a = 7,5 cm

65o

c

Eksempel 5: I en trekant kendes: C = 65o, a = 7,5 cm og b = 5 cm.

Beregn længden arealet af trekanten.


C A

B

65o

c a = 7,5 cm

b = 5 cm



T =


·a·b·sin(C) 1 2

C A

B

b = 5 cm

a = 7,5 cm

65o

c



T = =


·a·b·sin(C) 1 2 ·7,5·5·sin(65o) 1 2

C A

B

b = 5 cm

a = 7,5 cm

65o

c



T = =

=


·a·b·sin(C) 1 2 ·7,5·5·sin(65o) 1 2 ·7,5·5·0,9063 1 2

C A

B

b = 5 cm

a = 7,5 cm

65o

c



T = =

= = 16,99 cm2


C A

B

b = 5 cm

a = 7,5 cm

65o

·a·b·sin(C) 1 2 ·7,5·5·sin(65o) 1 2 ·7,5·5·0,9063 1 2

c

Et krav for at kunne bruge sinusrelationerne var, at vi kendte en vinkel og dens modstående side.

Hvis dette ikke er tilfældet, må vi i stedet bruge cosinus-relationerne.

Cosinus-relationerne

Dette gør sig f.eks. gældende, hvis vi kender de 3 sider, men ingen vinkler.

4 cm

C A

B

9 cm

8 cm

Cosinus-relationerne lyder: eller… eller…


cos(A) = b2 + c2 – a2

2·b·c

Altså kan man beregne størrelsen af alle vinklerne i trekanten ved hjælp af cosinus-relationerne

cos(B) = a2 + c2 – b2

2·a·c

cos(C) = a2 + b2 – c2

2·a·b

4 cm

C A

B

9 cm

8 cm

Cosinus-relationerne Eksempel 6: I en trekant kendes a = 8 cm, b = 9 cm og c = 4 cm.

Beregn vinklerne i trekanten.

4 cm

C A

B

9 cm

8 cm



Vinkel A findes ved cosinus-relationen:

cos(A) = b2 + c2 – a2

2·b·c

4 cm

C A

B

9 cm

8 cm




cos(A) = b2 + c2 – a2

2·b·c

cos(A) = 92 + 42 – 82

2·9·4

=>

4 cm

C A

B

9 cm

8 cm




cos(A) = b2 + c2 – a2

2·b·c

cos(A) = 92 + 42 – 82

2·9·4

=>

cos(A) = 81 + 16 – 64

72

=>

4 cm

C A

B

9 cm

8 cm




cos(A) = b2 + c2 – a2

2·b·c

cos(A) = 92 + 42 – 82

2·9·4

=>

cos(A) = 81 + 16 – 64

72

=>

cos(A) = = 0,4583 33

72

=> 4 cm

C A

B

9 cm

8 cm




cos(A) = b2 + c2 – a2

2·b·c

cos(A) = 92 + 42 – 82

2·9·4

=>

cos(A) = 81 + 16 – 64

72

=>

cos(A) = = 0,4583 33

72

=>

A = cos-1(0,4583)

4 cm

C A

B

9 cm

8 cm




cos(A) = b2 + c2 – a2

2·b·c

cos(A) = 92 + 42 – 82

2·9·4

=>

cos(A) = 81 + 16 – 64

72

=>

cos(A) = = 0,4583 33

72

=>

A = cos-1(0,4583) = 62,7o

4 cm

C A

B

9 cm

8 cm

62,7o


4 cm

C A

B

9 cm

8 cm

Eksempel 6: I en trekant kendes a = 8 cm, b = 9 cm og c = 4 cm.


Vinkel B findes på samme måde (eller ved at bruge sinus-relationen):

cos(B) = a2 + c2 – b2

2·a·c

cos(B) = 82 + 42 – 92

2·8·4

=>

cos(B) = 64 + 16 – 81

64

=>

cos(B) = = -0,0156 -1

64

=>

B = cos-1(-0,0156) = 100o

62,7o

100o

Ofte ser man cosinus-relationerne skrevet på en anden form (ved at bytte om på de enkelte led):

a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A) eller…

b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B) eller…

c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cos(C)


c

C A

B

b

a

Ofte ser man cosinus-relationerne skrevet på en anden form (ved at bytte om på de enkelte led):

a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A) eller…

b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B) eller…

c2 = a2 + b2 – 2·a·b·cos(C)


Denne måde at skrive cosinus-relationerne på kalder man standard-formen.

Den bruges, når man kender en vinkel og 2 sider, der ikke er over for (modstående til) vinklen.

c

C A

B

b

a

Cosinus-relationerne Eksempel 7: I en trekant kendes a = 8,5 cm, c = 6 cm og vinkel B = 60o.

Beregn længden af siden b.

6 cm

C A

B

b

8,5 cm

60o



Siden beregnes ved cosinus-relationen:

6 cm

C A

B

b

8,5 cm

60o




b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)

6 cm

C A

B

b

8,5 cm

60o




b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)

b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)

6 cm

C A

B

b

8,5 cm

60o




b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)

b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)

b2 = 72,25 + 36 - 2·8,5·6·0,5 6 cm

C A

B

b

8,5 cm

60o




b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)

b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)

b2 = 72,25 + 36 - 2·8,5·6·0,5

b2 = 72,25 + 36 - 51 = 57,25 6 cm

C A

B

b

8,5 cm

60o




b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)

b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)

b2 = 72,25 + 36 - 2·8,5·6·0,5

b2 = 72,25 + 36 - 51 = 57,25

b = √57,25

6 cm

C A

B

b

8,5 cm

60o




b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)

b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)

b2 = 72,25 + 36 - 2·8,5·6·0,5

b2 = 72,25 + 36 - 51 = 57,25

b = √57,25 = 7,6

6 cm

C A

B

7,6 cm

8,5 cm

60o




b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cos(B)

b2 = 8,52 + 62 - 2·8,5·6·cos(60o)

b2 = 72,25 + 36 - 2·8,5·6·0,5

b2 = 72,25 + 36 - 51 = 57,25

b = √57,25 = 7,6

6 cm

C A

B

7,6 cm

8,5 cm

60o

- Og nu kan de resterende vinkler så beregnes ved hjælp af f.eks. sinus-relationen

Konstruktion af trekanter Fra din tidligere lærdom kan du måske huske, at man kan konstruere trekanter på baggrund af de 4 trekanttilfælde, nemlig når man kender:


1. en vinkel og de 2 hosliggende sider

50o

6 cm

11 cm



2. en side og 2 vinkler

50o

11 cm

78o

Konstruktion af trekanter

11 cm

6 cm 10 cm

Fra din tidligere lærdom kan du måske huske, at man kan konstruere trekanter på baggrund af de 4 trekanttilfælde, nemlig når man kender:



3. alle 3 sider




3. alle 3 sider

4. en vinkel samt en hosliggende og en modstående side

11 cm

50o

10 cm




3. alle 3 sider


11 cm

10 cm 50o

Problemet ved trekanter af denne type er, at de kan have to løsninger; dvs. at der er 2 forskelligt udseende trekanter, der opfylder betingelserne!




3. alle 3 sider


11 cm

8 cm

50o

Man kan også komme ud for, at trekanten slet ikke kan konstrueres ud fra de givne betingelser – når den modstående side er ”for kort”




3. alle 3 sider


På samme måde kan man beregne de manglende sider og vinkler i en trekant ved hjælp af trigonometrien, ved hjælp af sinus- og cosinusrelationerne:

… her bruges cosinus-relationen på standard-formen (eksempel 7)

… den sidste vinkel beregnes og herefter bruges sinus-relationen (eksempel 4)

… her bruges cosinus-relationen (eksempel 6)

… her bruges cosinus-relationen (eksempel 8 på de næste sider)

Eksempel 8: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.

Beregn længden af siden c.


”Sinus-fælden”

10 cm C A

B

c 9 cm

50o




a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)

”Sinus-fælden”

10 cm C A

B

c 9 cm

50o




a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)

92 = 102 + c2 - 2·10·c·cos(50o)

”Sinus-fælden”

10 cm C A

B

c 9 cm

50o




a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)

92 = 102 + c2 - 2·10·c·cos(50o)

81 = 100 + c2 - 12,8558·c

”Sinus-fælden”

10 cm C A

B

c 9 cm

50o




a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)

92 = 102 + c2 - 2·10·c·cos(50o)

81 = 100 + c2 - 12,8558·c

c2 - 12,8558·c + 19 = 0

”Sinus-fælden”

10 cm C A

B

c 9 cm

50o




a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)

92 = 102 + c2 - 2·10·c·cos(50o)

81 = 100 + c2 - 12,8558·c

c2 - 12,8558·c + 19 = 0

”Sinus-fælden”

10 cm C A

B

c 9 cm

50o OUPS!




a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos(A)

92 = 102 + c2 - 2·10·c·cos(50o)

81 = 100 + c2 - 12,8558·c

c2 - 12,8558·c + 19 = 0

”Sinus-fælden”

Vi ender i en såkaldt andengradsligning, som vi ikke kan løse på nuværende tidspunkt. Men den har to løsninger! – og det betyder, at der er to forskellige værdier af c, der passer med de øvrige oplysninger for trekanten!

Løsningerne er: c=1,7 cm og/eller c=11,2 cm

10 cm C A

B

c 9 cm

50o

Eksempel 8 – en ”om’er”: I en trekant kendes a = 9 cm, b = 10 cm og vinkel A = 50o.


Så prøver vi med sinus-relationen:

”Sinus-fælden”

b sin(B) =

a sin(A) =>

10 cm C A

B

c 9 cm

50o




”Sinus-fælden”

b sin(B) =

a sin(A) =>

sin(B)·a = b·sin(A) => 10 cm C A

B

c 9 cm

50o




”Sinus-fælden”

b sin(B) =

a sin(A) =>

b·sin(A) a sin(B) =

sin(B)·a = b·sin(A) =>

=> 10 cm C A

B

c 9 cm

50o




”Sinus-fælden”

b sin(B) =

a sin(A) =>


sin(B)·a = b·sin(A)

10·sin(50o) 9

sin(B) = = 10·0,7660 9

= 7,660 9

= 0,8511

=>

=>

=> 10 cm C A

B

c 9 cm

50o




”Sinus-fælden”

b sin(B) =

a sin(A) =>


sin(B)·a = b·sin(A)

10·sin(50o) 9

sin(B) = = 10·0,7660 9

= 7,660 9

= 0,8511

B = sin-1(0,8511) = 58,3o

=>

=>

=> 10 cm C A

B

c 9 cm

50o



Så prøver vi med sinus-relationen, og får:

”Sinus-fælden”

B = sin-1(0,8511) = 58,3o

Fra vores løsning af samme opgave ved hjælp af cosinus-relationen ved vi, at der er 2 løsninger. Den anden løsning må være:

B = 180o - sin-1(0,8511) = 121,7o

10 cm C A

B

c 9 cm

50o



Så prøver vi med sinus-relationen, og får:

”Sinus-fælden”

B = sin-1(0,8511) = 58,3o

Fra vores løsning af samme opgave ved hjælp af cosinus-relationen ved vi, at der er 2 løsninger. Den anden løsning må være:

B = 180o - sin-1(0,8511) = 121,7o

10 cm C A

B

c 9 cm

50o

Sinus-relationen er altså farlig at bruge i disse tilfælde, da den ikke vil fange disse dobbeltløsninger!

Trigonometri

Sinus-relationer

Cosinus-relationer

Sinus

Cosinus

Tangens Standard-trekant

trigonometri · 2015. 4. 22. · kaldes trigonometriske funktioner. på din lommeregner findes 3...

Documents