LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II

APPROSSIMAZIONE DI DATI E DI FUNZIONI

Letizia SCUDERI

Dipartimento di Scienze Matematiche, Politecnico di Torinoletizia.scuderi@polito.it

A.A. 2015/2016

Approssimazione di dati e di funzioni

Approssimare una funzione f significa sostituirla con una funzione fche le sia “vicina” in qualche senso e abbia una forma piu semplice(per esempio, polinomiale) su cui si possa facilmente operare.

Un’applicazione di tale operazione si ha, per esempio,nell’integrazione numerica:

f ≈ f =⇒

∫ b

a

f (x) dx ≈

∫ b

a

f (x) dx

Approssimare un insieme di dati (xi , yi ) (ove, per esempio,yi = f (xi ) e f non e nota esplicitamente) significa determinare unafunzione f che abbia un andamento analogo a quello della funzioneche ha generato i suddetti dati.

Un’applicazione di tale operazione si ha, per esempio, nellastatistica, nella finanza, nella fisica e ogni qual volta si vuolecostruire un modello che descriva il fenomeno in questione e cipermetta di fare previsioni attendibili in punti x diversi da xi .

Nell’approssimazione di una funzione (o di un fenomeno) foccorre:

1 individuare una classe di funzioni approssimanti che sia idoneaa descrivere la suddetta funzione (o fenomeno);

2 adottare un criterio per la scelta di un suo particolareelemento f ;

3 valutare la bonta di f , ovvero la “distanza” di f da f .

Supponendo che la funzione da approssimare f appartenga allospazio lineare delle funzioni continue in [a, b] (f ∈ C [a, b]) oppuredotate di derivata k-esima continua in [a, b] (f ∈ C k [a, b]), lafunzione approssimante generalmente viene scelta in uno deiseguenti sottospazi lineari:

polinomi algebrici di grado n:

f (x) ≡ pn(x) =n∑

k=0

akxk

per l’approssimazione di funzioni continue su intervalli chiusi elimitati;

polinomi trigonometrici di grado n e frequenza ω:

f (x) ≡ tn(x) = a0 +

n∑

k=1

[ak cos(kωx) + bk sin(kωx)]

per l’approssimazione di funzioni continue e periodiche conperiodo 2π/ω su intervalli chiusi e limitati;somme esponenziali di ordine n:

f (x) ≡ en(x) =

n∑

k=0

akekx (f (x) ≡ en(x) =

n∑

k=0

ake−kx )

per l’approssimazione di funzioni con un comportamento ditipo esponenziale, male approssimabile con dei polinomi;

funzioni spline di ordine n, ovvero funzioni polinomiali a trattidotate di derivata continua fino all’ordine n− 1, perl’approssimazione di quelle funzioni che generalmente perraggiungere la tolleranza desiderata richiedono polinomi digrado elevato o eccessivamente oscillanti.

Osserviamo che ciascun elemento dei suddetti sottospazi si esprimecome una combinazione lineare di funzioni, che definiscono unabase per il sottospazio in questione, mediante i parametri akoppure ak , bk .ESEMPIO

Le funzioni che definiscono una base per il sottospazio lineare deipolinomi algebrici di grado n sono:

ϕ0(x) = 1, ϕ1(x) = x , . . . , ϕn(x) = xn

Il suddetto sottospazio ha dunque dimensione finita n + 1.

Per individuare una particolare funzione approssimante nelsottospazio prescelto, adotteremo uno dei seguenti criteri:

criterio dell’interpolazione (per l’approssimazione di unafunzione)

0 1 2 3 4 5 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

funzioneinterpolante

criterio dei minimi quadrati (per l’approssimazione di uninsieme di dati sperimentali)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Nel caso dell’approssimazione di una funzione f , per giudicare labonta dell’approssimante prescelta f , consideriamo la seguentenorma:

||f − f ||∞ := maxa≤x≤b

|f (x)− f (x)|

Quando si vuole approssimare una funzione f con una tolleranzapiccola a piacere occorre individuare una successione di sottospaziFn di dimensione finita n + 1 per la quale, scelta in ogni Fn lafunzione fn(x), risulti:

limn→∞

||f − fn|| = 0

ove|| · ||

denota una qualsiasi norma di funzione. Quando cio si verifica, sidice che fn converge in norma a f ; nel caso della norma infinito sidice che fn converge uniformemente a f .

Com’e noto una funzione puo essere approssimata in un datointervallo dal suo polinomio di Taylor di grado opportuno n. Taleprocedura e pero costosa perche richiede la conoscenza di f e dellesue derivate fino a un dato ordine n. Inoltre, il polinomio di Taylorpuo non approssimare accuratamente f quando ci si discosta dalpunto iniziale x0. In figura si puo notare come f (x) = 1/x sidiscosti dal suo polinomio di Taylor di grado 10 e di punto inizialex0 = 1, man mano che ci si allontana da x0.

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 30.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

1/xTf

10,1(x)

Per altre funzioni cio ovviamente non si verifica: per esempio lafunzione esponenziale puo essere approssimata in ogni punto realemediante il suo polinomio di Taylor di punto iniziale x0 = 0, purcheil grado n sia sufficientemente grande.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

ex

Tf4,0

(x)Tf

8,0(x)

Tf12,0

(x)Tf

16,0(x)

Interpolazione polinomiale

Consideriamo n + 1 dati (xi , yi ), i = 1, . . . , n + 1 (con yi = f (xi )eventualmente). Il criterio dell’interpolazione consiste nelloscegliere come approssimante, la funzione (possibilmente unica)f = fn soddisfacente le seguenti condizioni:

fn(xi ) = yi i = 1, . . . , n + 1

Generalmente il numero dei parametri presenti in fn coincide con ilnumero dei punti xi , ovvero n + 1. Assegnati gli n + 1 punti(xi , yi ), i = 1, . . . , n + 1, utilizziamo il criterio dell’interpolazioneper determinare il polinomio di grado minimo che passa per i puntiassegnati. Poiche i punti sono n + 1, consideriamo il genericopolinomio di grado n

pn(x) = c1xn + c2x

n−1 + . . .+ cnx + cn+1,

definito dagli n + 1 coefficienti c1, . . . , cn+1.

Dimostriamo che se xi 6= xj per i 6= j allora esiste uno e un solpolinomio soddisfacente le condizioni (di interpolazione):

pn(xi ) = yi , i = 1, . . . , n + 1.

Imponendo le condizioni di interpolazione

c1xni + c2x

n−1i + . . .+ cnxi + cn+1 = yi , i = 1, . . . , n + 1

otteniamo il sistema lineare

xn1 . . . x1 1xn2 . . . x2 1...

......

...xnn+1 . . . xn+1 1

c1c2...cn+1

=

y1y2...yn+1

⇐⇒ Vc = y

la cui matrice dei coefficienti e la matrice di Vandermonde.

Poichedet(V ) =

∏

i>j

(xi − xj)

e gli xi sono distinti, la matrice V e non singolare. Ne deduciamoche

∃! c∗ = (c∗1 , . . . , c∗n+1)

T : Vc∗ = y .

Il polinomio pn i cui coefficienti sono soluzione del sistema Vc = y

e denominato polinomio interpolante i dati (xi , yi) oppure, seyi = f (xi ), interpolante la funzione f nei punti xi . I punti xisono detti nodi di interpolazione.

Comandi MATLAB

c = polyfit(x,y,n) calcola e memorizza in c , i coefficienti delpolinomio interpolante i punti (xi , yi ), i = 1, . . . , n + 1,definiti in x e in y , rispettivamente;

p = polyval(c,z) calcola e memorizza in p, i valori che ilpolinomio, con coefficienti definiti in c , assume nei punti di z .

ESEMPIO

Calcoliamo e rappresentiamo graficamente il polinomiointerpolante i dati (0, 1), (1,−1), (2, 1), (1/2, 2):

x = [0 1 2 1/2];

y = [1 -1 1 2];

c = polyfit(x,y,length(x)-1);

z = linspace(min(x),max(x));

p = polyval(c,z);

plot(x,y,’ro’,z,p,’b’)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

ESEMPIO

Calcoliamo i coefficienti del polinomio interpolante la funzionef (x) = 1/(1 + x2) in 13 punti equispaziati nell’intervallo [0, 1].

x = linspace(0,1,13);

f = inline(’1./(1+x.^2)’);

y = f(x);

c = polyfit(x,y,length(x)-1);

Warning: Polynomial is badly conditioned.....

A causa del noto cattivo condizionamento di un sistema lineare conmatrice dei coefficienti di Vandermonde e del costo della suarisoluzione in termini di operazioni aritmetiche, per l’effettivacostruzione di un polinomio interpolante si utilizzanorappresentazioni alternative.

Rappresentazione di Lagrange del polinomio diinterpolazione

Per ogni j = 1, . . . , n + 1 consideriamo i punti (xi , δij ),i = 1, . . . , n + 1, ovvero

(x1, 0), . . . , (xj−1, 0), (xj , 1), (xj+1, 0), . . . , (xn+1, 0)

e denotiamo con lj(x) il polinomio interpolante i suddetti punti,cioe tale che

lj(xi ) = δij =

{1 se i = j

0 se i 6= j

E immediato dimostrare che per ogni j = 1, . . . , n + 1

lj(x) =(x − x1) · · · (x − xj−1)(x − xj+1) · · · (x − xn+1)

(xj − x1) · · · (xj − xj−1)(xj − xj+1) · · · (xj − xn+1)

I polinomi di grado n

lj(x) =∏

1≤i≤n+1,i 6=j

(x − xi )

(xj − xi)

sono detti polinomi fondamentali di Lagrange associati ai nodixi . Noti i polinomi lj(x), il polinomio pn interpolante i punti(xi , yi ), i = 1, . . . , n + 1, si definisce nel seguente modo

pn(x) =n+1∑

j=1

yj lj(x)

Infatti risulta che pn e un polinomio di grado n e soddisfa lecondizioni di interpolazione:

pn(xi ) =

n+1∑

j=1

yj lj(xi ) =

n+1∑

j=1

yjδij = yi .

La rappresentazione di pn, come combinazione lineare deipolinomi lj , e detta di Lagrange.

ESEMPIO

Scriviamo la rappresentazione di Lagrange del polinomio p3(x)interpolante i punti (0, 1), (1,−1), (2, 1), (1/2, 2). Definiamodapprima i polinomi lj(x), j = 1, 2, 3, 4:

l1(x) = (x−1)(x−2)(x−1/2)(0−1)(0−2)(0−1/2)

l2(x) = (x−0)(x−2)(x−1/2)(1−0)(1−2)(1−1/2)

l3(x) = (x−0)(x−1)(x−1/2)(2−0)(2−1)(2−1/2)

l4(x) = (x−0)(x−1)(x−2)(1/2−0)(1/2−1)(1/2−2)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

l1l2l3l4

Quindi definiamo p3(x):

p3(x) = 1 · l1(x)− 1 · l2(x) + 1 · l3(x) + 2 · l4(x)

Osserviamo che i polinomi lj(x) dipendono dall’insieme completodei nodi {x1, . . . , xn+1} e, pertanto se vogliamo aggiungere unpunto di interpolazione (xn+2, yn+2) all’insieme dei punti{(xi , yi )}i=1,...,n+1 dobbiamo ricalcolare tutti i polinomi lj(x).

Per questo motivo la rappresentazione di Lagrange, pur essendomolto utilizzata per dimostrare le proprieta teorichedell’interpolazione polinomiale, non viene considerata nella praticaper costruire il polinomio interpolante.

Rappresentazione di Newton del polinomio diinterpolazione

Descriviamo allora la rappresentazione del polinomio diinterpolazione che di fatto si utilizza per il calcolo del suddettopolinomio.A tal scopo, dati n + 1 punti xi con i = 1, ..., n + 1 distinti,definiamo le seguenti la quantita

f [x1, x2] =f (x2)− f (x1)

x2 − x1

differenza divisa di ordine 1 di f (x),

f [x1, x2, x3] =f [x2, x3]− f [x1, x2]

x3 − x1

differenza divisa di ordine 2, e piu in generale

f [x1, x2, . . . , xn+1] =f [x2, . . . , xn+1]− f [x1, . . . , xn]

xn+1 − x1

differenza divisa di ordine n.

Le differenze divise sono invarianti rispetto a permutazioni degliargomenti, cioe

f [x1, x2] = f [x2, x1], f [x1, x2, x3] = f [x2, x1, x3] = f [x3, x2, x1], . . .

Si definisce rappresentazione di Newton del polinomiointerpolante i punti (xi , yi ) con yi = f (xi), la seguente espressione

pn(x) = f (x1) + f [x1, x2](x − x1) + f [x1, x2, x3](x − x1)(x − x2)+ . . .+ f [x1, x2, . . . , xn+1](x − x1) . . . (x − xn)

I polinomi 1, x − x1, ...,(x − x1) . . . (x − xn) sono detti polinomi

fondamentali di Newton.E facile verificare che il polinomio

p0(x) = f (x1)

interpola f (x) in x1,

il polinomiop1(x) = f (x1)

︸ ︷︷ ︸

p0(x)

+f [x1, x2](x − x1)

interpola f (x) in x1, x2 e, cosı procedendo, denotato con pn−1(x) ilpolinomio interpolante f (x) in x1, . . . , xn, il polinomio

pn(x) = pn−1(x) + f [x1, x2, . . . , xn+1](x − x1) . . . (x − xn)

interpola f (x) in x1, . . . , xn+1.Pertanto, se vogliamo aggiungere all’insieme dei nodi x1, . . . , xn+1

un ulteriore nodo xn+2, poiche l’espressione del polinomiointerpolante f (x) in xi , i = 1, . . . , n + 2, e data da

pn+1(x) = pn(x) + f [x1, x2, . . . , xn+2](x − x1) . . . (x − xn+1),

noto pn, dobbiamo calcolare soltanto l’ultimo addendo.

Descriviamo ora l’algoritmo che consente di calcolare le differenzedivise presenti nella rappresentazione di Newton del polinomiointerpolante. A tal scopo consideriamo il polinomio di grado 3interpolante i punti (x1, f (x1)), (x2, f (x2)), (x3, f (x3)), (x4, f (x4)):

p3(x) = f (x1) + f [x1, x2](x − x1) + f [x1, x2, x3](x − x1)(x − x2)+f [x1, x2, x3, x4](x − x1)(x − x2)(x − x3)

e calcoliamo le differenze divise in esso presenti, procedendosecondo il seguente schema:

x1

x2

x3

x4

f (x1)

f (x2)

f (x3)

f (x4)

i = 1

↘→ f [x1, x2]↘→ f [x2, x3]↘→ f [x3, x4]

i = 2

↘→ f [x1, x2, x3]↘→ f [x2, x3, x4]

i = 3

↘→ f [x1, x2, x3, x4]

ESEMPIO

Scriviamo la rappresentazione di Newton del polinomio p3(x)interpolante i punti (0, 1), (1,−1), (2, 1), (1/2, 2). Calcoliamo ledifferenze divise:

0

1

2

1/2

1

−1

1

2

i = 1

↘→ −1−1

1−0 = −2

↘

→ 1−(−1)2−1 = 2

↘→ 2−1

1/2−2 = −23

i = 2

↘

→ 2−(−2)2−0 = 2

↘

→ −2/3−21/2−1 = 16

3

i = 3

↘

→ 16/3−21/2−0 = 20

3

Si ha allora

p3(x) = 1− 2(x − 0) + 2(x − 0)(x − 1) +20

3(x − 0)(x − 1)(x − 2)

Convergenza del polinomio di interpolazione

Denotato con pn il polinomio interpolante la funzione f nei puntix1, . . . , xn+1, si definisce errore di interpolazione la funzione

En(x) = f (x)− pn(x)

Osserviamo che En(x) = 0 per x = xi (avendosiEn(xi ) = f (xi )− pn(xi ) ≡ 0) e En(x) ≡ 0 per ogni x ∈ [a, b] e perf = p con p polinomio di grado n (avendosi, per l’unicita delpolinomio interpolante, pn ≡ p).Cio premesso, affrontiamo la questione della convergenza:

limn→∞

En(x) = 0 per ogni x e qualunque sia f ?

La risposta a questa domanda non e sempre affermativa; infatti sidimostra che, fissata una matrice di interpolazione ovvero unamatrice di nodi

x1x1 x2x1 x2 x3x1 x2 x3 x4. . .

con xi ∈ [a, b] e xi 6= xj , i 6= j , e sempre possibile determinare unafunzione f ∈ C [a, b] per la quale si abbia

limn→∞

||En||∞ 6= 0

La convergenza a zero di ||En||∞ dipende dalla matrice dei nodi diinterpolazione e dalla regolarita della funzione f . Se i nodi diinterpolazione vengono opportunamente scelti e f esufficientemente regolare, allora pn converge uniformemente a f ,per n → ∞.

Se i nodi di interpolazione sono scelti equispaziati in [a, b], lacondizione f ∈ C∞[a, b] non garantisce che limn→∞ ||En||∞ = 0.ESEMPIO

Se i nodi xi sono scelti equispaziati in [−5, 5] e f (x) = 11+x2

(funzione di Runge), si ha limn→∞ ||En||∞ = ∞.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

punti di interpolazionefunzione di Rungepolinomio interpolante p

9polinomio interpolante p

13

Se i nodi di interpolazione sono scelti equispaziati in [a, b] e f (z) eanalitica in una regione D contenente [a, b] e la distanza dei poli dif (z) da [a, b] e maggiore di b − a, allora limn→∞ ||En||∞ = 0.ESEMPIO

Se i nodi xi sono scelti equispaziati in [1, 2] e f (x) = 11+x2

(funzione di Runge), si ha limn→∞ ||En||∞ = 0.

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

punti di interpolazione funzione di Rungepolinomio interpolante p

9

polinomio interpolante p13

Se i nodi di interpolazione sono scelti coincidenti con gli zeri deipolinomi di Chebyshev,zi = − cos((2i − 1)/(2(n + 1))π) ∈ (−1, 1), i = 1, . . . , n + 1, lacondizione f ∈ C 1[−1, 1] garantisce che limn→∞ ||En(x)||∞ = 0.ESEMPIO

Se i nodi xi sono scelti coincidenti con gli zeri dei polinomi diChebyshev traslati in [−5, 5], cioe xi =

b−a2 zi +

b+a2 , a = −5 e

b = 5 e f (x) = 11+x2

(funzione di Runge), alloralimn→∞ ||En(x)||∞ = 0.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

puntiRungep

9p

13

Funzioni polinomiali a tratti: spline

Una funzione polinomiale a tratti di grado d , associata a unapartizione dell’intervallo [a, b], e una funzione rappresentata in[a, b] da un’unione di tratti contigui di polinomi algebrici diversi,ciascuno di grado d .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

d=1

d=2

In generale il grado d viene scelto piccolo (d = 1, 2, 3).Osserviamo che le funzioni polinomiali a tratti sono continue, mageneralmente non sono derivabili nei punti di raccordo. Le funzionispline sono funzioni polinomiali a tratti che godono di opportunecondizioni di regolarita nei punti di raccordo. Le funzionipolinomiali a tratti vengono utilizzate in tutte quelle situazioni (peresempio, nelle applicazioni grafiche) in cui il comportamentoeccessivamente oscillatorio del polinomio di interpolazione alcrescere del grado n non e accettabile.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

puntiRungep

12

spline

Inoltre, le funzioni polinomiali a tratti, associate a una partizionedell’intervallo [a, b] e interpolanti una funzione f nei punti dellapartizione, convergono uniformemente alla funzione interpolata alcrescere del numero dei nodi della partizione, ovvero al diminuiredell’ampiezza dei sottointervalli della partizione.Le spline cubiche sono funzioni polinomiali a tratti di grado locale3 molto utilizzate nelle applicazioni.

Dati n + 1 punti (xi , yi ), i = 1, . . . , n + 1 con xi 6= xj per i 6= j eyi = f (xi ), si definisce spline cubica interpolante i punti assegnati,la funzione S3(x) soddisfacente le seguenti condizioni:

i) S3(x) = ai + bix + cix2 + dix

3, x ∈ [xi , xi+1], i = 1, . . . , n

ii) S(k)3 (x−i ) = S

(k)3 (x+i ), k = 0, 1, 2, i = 2, . . . , n

iii) S3(xi ) = yi , i = 1, . . . , n + 1

Osserviamo che S3 dipende da 4n parametri {ai , bi , ci , di},i = 1, . . . , n; imponendo le n − 1 condizioni ii) per k = 0, 1, 2, e len + 1 condizioni di interpolazione iii), si ottiene un sistema linearedi 3(n − 1) + (n + 1) = 4n − 2 equazioni nelle 4n incognite{ai , bi , ci , di}. Pertanto, per definire univocamente una splineoccorre imporre due ulteriori condizioni.

Fra tutte le possibili scelte, tipiche condizioni aggiuntive sono:

1) S(2)3 (x1) = 0, S

(2)3 (xn+1) = 0 (spline cubiche naturali);

2) S(3)3 (x−2 ) = S

(3)3 (x+2 ), S

(3)3 (x−n ) = S

(3)3 (x+n ) (condizioni

“not-a-knot”);

3) S(1)3 (x1) = f ′(x1), S

(1)3 (xn+1) = f ′(xn+1).

Imponendo una delle suddette condizioni, la spline corrispondenteesiste e e unica. Per l’effettiva costruzione di una spline non siricorre alla risoluzione del predetto sistema lineare nelle 4nincognite {ai , bi , ci , di}, ma alla risoluzione di un sistema lineare

nelle n+ 1 incognite Mi = S(2)3 (xi ), i = 1, . . . , n+ 1, simmetrico, a

diagonale dominante e tridiagonale se si impone una dellecondizioni aggiuntive 1)-3).

Si dimostra che se con S3 denotiamo la spline cubica, interpolantei punti (xi , f (xi )) (a ≤ xi ≤ b) e soddisfacente una delle condizioniaggiuntive 1)-3), con h = max1≤i≤n(xi+1 − xi ) e supponiamo chef ∈ C 4[a, b], allora

||f (p) − S(p)3 ||∞ = O(h4−p), h → 0, p = 0, 1, 2, 3.

Pertanto, risulta che le spline cubiche S3 convergonouniformemente alla funzione f e le derivate di S3 fino a quelle diordine 3 convergono uniformemente alle corrispondenti derivate dif (simultanea approssimazione). Quest’ultimo risultato ci consentedi approssimare la derivata di una funzione f utilizzando soltantovalori di f e non quelli di f ′.

Si dimostra pero che O(h4) e il massimo ordine di convergenza chepossiamo avere con le spline considerate, cioe ||f − S3||∞ = O(h4)anche quando f ∈ C k [a, b] con k > 4 (saturazione).

Comandi MATLAB

s = spline(x,y,z) calcola e memorizza in s i valori che laspline cubica interpolante i dati (xi , yi), i = 1, . . . , n, definitiin x e in y rispettivamente, e soddisfacente la condizione“not-a-knot” 2), assume in z ;

s = spline(x,[yd1 y ydn],z) calcola e memorizza in s ivalori che la spline cubica interpolante i dati (xi , yi ),i = 1, . . . , n, definiti in x e in y rispettivamente, esoddisfacente la condizione 3) (yd1= f ′(x1), ydn= f ′(xn)),assume in z .

Criterio dei minimi quadrati (cenni)

Abbiamo gia notato che l’interpolazione polinomiale non garantisceal crescere del grado del polinomio una maggiore accuratezzanell’approssimazione di una funzione. Questo problema puo esseresuperato con l’interpolazione mediante funzioni polinomiali a tratti.Essa tuttavia mal si presta a essere utilizzata per estrapolareinformazioni da dati noti, ovvero per generare valutazioni in puntiche giacciono al di fuori dell’intervallo di interpolazione. Inquest’ultimo caso conviene utilizzare il criterio dei minimi quadrati.Tale criterio viene adottato anche quando si vuole approssimare uninsieme di dati (xi , yi ), i = 1, . . . ,m con una funzioneapprossimante f che dipende da un numero n << m di parametri.Consideriamo, come funzione approssimante f , una combinazionelineare (a coefficienti costanti) delle funzioni base ϕk(x),k = 1, . . . , n:

f (x) = c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) + . . .+ cnϕn(x)

Con il criterio dei minimi quadrati i coefficienti ck si determinanoimponendo che il residuo

ε2(c1, . . . , cn) =

m∑

i=1

[yi − f (xi )]2 =

m∑

i=1

[

yi −

n∑

k=1

ckϕk(xi )

]2

risulti minimo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(xi,y

i)

(xi,p

3(x

i))

La funzione f ∗(x) =∑n

k=1 c∗kϕk(x) che soddisfa la suddetta

condizione viene definita migliore approssimazione dei dati(xi , yi ), i = 1, . . . ,m, secondo il criterio dei minimi quadrati.

Osserviamo esplicitamente che per n ≡ m − 1, la miglioreapprossimazione f ∗ dei dati (xi , yi ), i = 1, . . . ,m, secondo ilcriterio dei minimi quadrati, e la funzione interpolante i punti(xi , yi ). Infatti, per essa si ha ε2 ≡ 0.In generale, n << m e i coefficienti ck si determinano imponendola condizione necessaria per l’esistenza del minimo.

Comando MATLAB

c = polyfit(x,y,n) calcola e memorizza in c i coefficienti delpolinomio di grado n che meglio approssima secondo il criterio deiminimi quadrati i dati (xi , yi), i = 1, . . . ,m, definiti in x e in y ,rispettivamente (se n ≡ m − 1, polyfit calcola i coefficienti delpolinomio interpolante i dati assegnati).

ESEMPIO

Supponiamo di avere a disposizione un programma per il calcolodei coefficienti del polinomio di grado n che interpola o meglioapprossima un insieme di m dati secondo il criterio dei minimiquadrati (per esempio, polyfit), e di voler calcolare i coefficientidella somma esponenziale

f (x) = c1enx + c2e

(n−1)x + ...+ cn+1 =

n+1∑

k=1

cke(n+1−k)x

di ordine n, che interpola o meglio approssima secondo il criteriodei minimi quadrati i dati (xi , yi ), con i = 1, . . . ,m.

Per risolvere il problema assegnato, possiamo effettuare ilcambiamento di variabile x = log(t), ovvero t = ex :

f (x) = f (log(t)) =n+1∑

k=1

cktn+1−k =: pn(t)

che lascia inalterati i coefficienti {ck} di f e determinare, tramite ilsuddetto algoritmo, i coefficienti del polinomio pn(t) di grado n

che interpola o meglio approssima secondo il criterio dei minimiquadrati i dati (ti , yi ) = (exi , yi ), i = 1, . . . ,m.

Comando MATLAB

c = polyfit(exp(x),y,n) calcola e memorizza in c i coefficienti dellasomma esponenziale di ordine n che intepola o meglio approssimasecondo il criterio dei minimi quadrati i dati (xi , yi), i = 1, . . . ,m,definiti in x e in y , rispettivamente.