UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

SISTEMAS DINAMICOS – 201527

TEMA

TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO POR

PRESENTADO A

DIEGO FERNANDO SENDOYA

UNAD

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ABRIL de 2013

INTRODUCCION

En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más

importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.

Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores

de la industria:

Tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de

ensamble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y

sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas

de potencia, robótica y muchos otros, el modelado matemático permite obtener

una función de transferencia que nos permiteRepresenta el comportamiento

dinámico del proceso Y nos indica cómo cambia la salida de un proceso ante

un cambio en la entrada.

Ejercicio 1: Encuentre la función de transferencia para la siguiente

ecuación diferencial:

Solución:

Aplicando la definición de la transformada de Laplace para derivadas se tiene:

Donde

Se tiene:

Por otro lado tenemos:

Igualando las expresiones:

Factorizando C(s) y R(s), se tiene:

Lo cual la función de transferencia es:

Ejercicio 2: Encuentre la respuesta rampa para un sistema cuya función de

transferencia es:

La función de transferencia obedece a la ganancia del sistema por lo qua para

obtener la respuesta al impulse solo debemos multiplicar la función de

transferencia de la planta por la función de transferencia de la entrada

Solución:

1. Tenemos que la función rampa tiene una función de transferencia

Entonces multiplicamos G(S)*R(S)

H(S) = * = =

Ahora hallamos los polos

Entonces decimos que S=0, S=-4, S=-8

Aplicamos transformada inversa mediante la expansión de fracciones parciales

Para S=0

1=A(S+8)*S+B(S+4)*S+C(S+4)(S+8)=A(0+8)*0+B(0+4)*0+C(0+4)(0+8)=A(0)+B

(0)+C(32)=C 32

C=1/32

Hacemos lo mismo para hallar B Y C reemplazando los valores arbitrarios

B=1/32

A=-1/16

Entonces nos queda de la siguiente forma:

Aplicamos formulas de transformada inversa y tenemos:

Ejercicio 3: Si es la impedancia de un condensador de y es la

impedancia de una resistencia de encuentre la función de transferencia

si estos componentes se utilizan con a) un amplificador

operacional

Inversor, y b) un amplificador operacional no inversor, como se muestra en las figuras a) y b), respectivamente.

Solución a

Como

En términos de la transformada de Laplace se tiene:

Solución b

Ejercicio 4: Encuentre la función de transferencia linealizada G(s) = V(s) ⁄ I(s),

para la red eléctrica mostrada a continuación. La red contiene una resistencia

no lineal cuya relación voltaje-corriente está dada por La fuente de

corriente i (t) es un generador de pequeña señal.

La condición de equilibrio i (t) = 0, se hacen los cálculos en base a la fuente de

corriente de 2A, par hallar un equivalente linealizado.

Podría decir que toda la corriente circulara a través de la resistencia, por lo que

se asume que los 2Amps circulan por esta resistencia no lineal:

Linealizado el voltaje, se linealiza la exponencial de la ecuación diferencial

utilizando la serie de Taylor, depreciando las derivadas superiores:

Ejercicio 5: Encuentre la representación en espacio de estados de la red

eléctrica mostrada a continuación. La salida es .

Ecuación 1:

Ecuación 2:

En la ecuación 2

En la ecuación 1

2. Actividad Práctica: La segunda actividad está compuesta de una serie de Ejercicios que deberán ser desarrollados utilizando una herramienta de software Como SCILAB o MATLAB®. El SCILAB se puede descargar de la siguiente dirección: http://www.scilab.org/ El manual del mismo se puede encontrar en: http://www.lawebdelprogramador.com/cursos/comentar.php?id=2546

Ejercicio 1: Considere las siguientes funciones de transferencia

Represente G1(S) como una división de polinomios y exprese G2(S) como un conjunto de factores del numerador (ceros) divididos entre un conjunto de factores del denominador (polos).

G1(S) = >> num=[20 380 2480 6480 5760 0]; >> den= [2 75 988 5325 9450 0 ]; >> [z,p,k] = tf2zp(num,den) z = 0 -8.0000 -6.0000 -3.0000 -2.0000 p = 0 -15.0000 -10.0000

-9.0000 -3.5000 k = 10 >> printsys(num,den); num/den = 20 s^5 + 380 s^4 + 2480 s^3 + 6480 s^2 + 5760 s ----------------------------------------------- 2 s^5 + 75 s^4 + 988 s^3 + 5325 s^2 + 9450 s >> x=deconv(num,den ) x = 10

G2(S)

>> den= [1 32 363 2092 5052 4320 0 ];

>> num=[1 17 99 223 140 0];

>> [z,p,k] = tf2zp(num,den)

z =

0

-7.0000

-5.0000

-4.0000

-1.0000

p =

0

-16.7851

-5.5591 + 5.1669i

-5.5591 - 5.1669i

-2.0483 + 0.5221i

-2.0483 - 0.5221i

k = 1

Ejercicio 2: Realice la expansión en fracciones parciales de las siguientes funciones de transferencia:

>> num=[5 10]; >> den=[1 8 15 0]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r = -1.5000 0.8333 0.6667 p = -5 -3 0 k = []

>> num=[5 10]; >> den=[1 6 9 0]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r = -1.1111 1.6667 1.1111 p = -3 -3 0 k = [] >>

>> num=[5 10]; >> den=[1 6 34 0]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r = -0.1471 - 0.4118i -0.1471 + 0.4118i 0.2941 p = -3.0000 + 5.0000i -3.0000 - 5.0000i 0 k =

[] >>

Ejercicio 3: Encuentre la transformada de Laplace de la siguiente función:

>> syms st; >> f = 0.0075-0.00034*exp(-2.5*t)*cos(22*t)+0.087*exp(-2.5*t)*sin(22*t)-0.0072*exp(-8*t); >> F=laplace(f,t,s) F = 3/(400*s) - 9/(1250*(s + 8)) - (17*(s + 5/2))/(50000*((s + 5/2)^2 + 484)) + 957/(500*((s + 5/2)^2 + 484)) >> simplify(F) ans =

(- 8*s^3 + 394386*s^2 + 3150455*s + 5883000)/(50000*s*(s + 8)*(4*s^2 + 20*s + 1961)) >> pretty(ans) 3 2 - 8 s + 394386 s + 3150455 s + 5883000 ---------------------------------------- 2 50000 s (s + 8) (4 s + 20 s + 1961)

>> syms s; >> f=2*s^3+30*s^2+138*s+210/s^4+18*s^3+180*s^2+800*s; >> ilaplace(f) ans = 35*t^3 + 938*dirac(t, 1) + 210*dirac(t, 2) + 20*dirac(t, 3) >> pretty(ans) 3 35 t + 938 dirac(t, 1) + 210 dirac(t, 2) + 20 dirac(t, 3)

>>

Solución:

%represnetacione en espacio de estado a=[0 1 0 0 0 0 0 ((-1-1)/1) 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 ((-1-1)/1) 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 ((-1-1)/1)]

b=[0 1 0 0 0 0]

c=[0 0 0 1 0 0] d=0

sys=ss(a,b,c,d)

[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)

ft=tf(num,den)

a = 0 1 0 0 0 0 0 -2 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 -2 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 -2 b = 0 1 0 0 0 0 c = 0 0 0 1 0 0 d = 0 sys = a = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 0 1 0 0 0 0 x2 0 -2 0 -1 0 0 x3 0 0 0 1 0 0 x4 0 -1 0 -2 0 -1 x5 0 0 0 0 0 1 x6 0 0 0 -1 0 -2 b = u1 x1 0 x2 1 x3 0

x4 0 x5 0 x6 0 c = x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 0 0 0 1 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time state-space model.

num = 0 0 -1.0000 -2.0000 0.0000 0 0 den = 1.0000 6.0000 10.0000 4.0000 0 0 0 ft = -s^4 - 2 s^3 + 4.441e-16 s^2 ---------------------------- s^6 + 6 s^5 + 10 s^4 + 4 s^3

Continuous-time transfer function.

Conclusiones

• El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede

representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de

comportamiento dinámico lineal: La transformada de Laplace es una

herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos

lineales.

• En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos

dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al

tiempo.

• Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales

respecto al tiempo para representar matemáticamente el

comportamiento de un proceso. Y es aquí donde aplicamos la

herramienta de la transformada de la place.

BIBLIOGRAFIAS

Introducción a MATLAB

www.vc.ehu.es/depsi/jg/imatlab.pdf

Tutoriales de Control para Matlab www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/conver.html