IZBORNO TAKMIQEE ZA UQEXE NA TAKMIQEU,,Romanian Master of Mathematics

16. februar 2015.

Ispitati da li postoji funkcija f : N N koja za svako n N zadovoava1.

f(n) f( 12015

n f(n))f

(1

20152n f(n) f

( 12015

n f(n)))

= 2 20153.

Dat je oxtrougli jednakokraki 4ABC, AB = AC. Taqka M je sredixte kraeg2.luka BC krunice opisane oko 4ABC. Prava kroz M paralelna sa AC seqe praveBC i AB u taqkama D i E, redom. Prava kroz D paralelna sa AB seqe AC u taqkiF . Dokazati: ]MEF = 90.

Nai sve parove prirodnih brojeva a i b takve da je (a3 + b)(b3 + a) stepen broja 2.3.

U neprozirnoj posudi nalazi se 2016 bombona numerisanih brojevima 1, 2, . . . , 2016,4.od qega su nekih 1008 bombona crvene a preostalih 1008 ute. Raja Ratak postupana sledei naqin: u jednom potezu on izvlaqi jednu bombonu iz posude (bombonune vidi dok je ne izvuqe), stava je na gomilu ispred sebe (pre prvog poteza nemabombona ispred Raje na gomili), a potom moe, ukoliko eli, da odabere neke dvebombone iste boje s gomile ispred sebe i pojede ih. Raja ponava ovo ukupno 2016puta (tj. dokle god ima bombona u posudi). Kad god u toku ovog procesa pojede dvebombone (na opisani naqin), recimo numerisane brojevima a i b, Raja stiqe |a b|poena.

a) Dokazati da Raja moe osmisliti strategiju koja e mu garantovati bar2 5042 osvojenih poena na kraju igre.

b) Da li Raja moe osmisliti strategiju koja e mu garantovati vixe od 2 5042poena?

Vreme za rad 240 minuta.Rexea zadataka detano obrazloiti.