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Vorlesungsskript

zum Selbststudium

der Vorlesung

Fluidmechanik I

Prof. Dr.-Ing. Janusz A. Szymczyk

Fachgebiet für Strömungslehre und Strömungsmaschinen

Hochschule Stralsund, Fakultät Maschinenbau

Redigiert Dr.-Ing. U.Borchert, Dipl.-Ing. (FH) Th. Panten

Sept. 2018

2

Inhalt

Literaturhinweis ............................................................................................................... 4

Nomenklatur .................................................................................................................... 5

Lateinische Formelzeichen ................................................................................................... 5

Griechische Formelzeichen .................................................................................................. 7

Indizes und Apostrophierungen ........................................................................................... 8

Kennzahlen ........................................................................................................................... 8

1 Eigenschaften von Fluiden ........................................................................................ 1-1

1.1 Vorbetrachtungen ................................................................................................... 1-1

1.2 Dichte, Kontinuität der Masse ................................................................................. 1-5

1.3 Massenstrom und Volumenstrom ........................................................................... 1-8

1.4 Eigenschaften von Fluiden..................................................................................... 1-11

2 Druck ....................................................................................................................... 2-1

3 Hydrostatik .............................................................................................................. 3-1

3.1 Grundgleichung der Hydrostatik ............................................................................. 3-1

3.2 Anwendung der hydrostatischen Grundgleichung ................................................. 3-3

3.2.1 Pascalsches Paradoxon ................................................................................ 3-3

3.2.2 Druckverlauf in kommunizierenden Röhren ................................................ 3-4

3.2.3 Hydraulische Presse ..................................................................................... 3-5

3.2.4 U-Rohr-Manometer zur Messung des Gasdruckes ...................................... 3-6

3.2.5 Flüssigkeitsschichten .................................................................................... 3-7

3.3 Statischer Auftrieb ................................................................................................... 3-8

3.4 Kräfte auf Behälterwände ..................................................................................... 3-12

4 Dynamik der Fluide – Beschreibung von Strömungen ............................................... 4-1

5 Viskosität und Oberflächenspannung ....................................................................... 5-1

5.1 Viskosität ................................................................................................................. 5-1

5.2 Die Oberflächen- bzw. die Grenzflächenspannung ................................................. 5-3

5.3 Kapillareffekte in der Fluidstatik ............................................................................. 5-9

6 Massenerhaltung ..................................................................................................... 6-1

3

7 Energiesatz (1. HS) ................................................................................................... 7-1

7.1 Allgemeiner Energiesatz .......................................................................................... 7-1

7.2 Inkompressible reibungslose Strömung (Bernoulli-Gleichung)............................... 7-3

7.2.1 Geschwindigkeits-, Druck-, Höhenform ....................................................... 7-3

7.2.2 Anwendung der Energie-Gleichung ............................................................. 7-4

7.3 Inkompressible reibungslose Strömung mit Energiezufuhr .................................. 7-13

7.3.1 Spezifische Stutzenarbeit ........................................................................... 7-13

7.3.2 Arbeitsmaschinen in der Rohrströmung (Pumpe)...................................... 7-13

7.3.3 Kraftmaschinen in der Rohrströmung (Turbine) ........................................ 7-17

7.4 Inkompressible reibungsbehaftete Strömung ohne Energiezufuhr ...................... 7-20

7.5 Reibungsbehaftete Rohrströmung ........................................................................ 7-22

7.5.1 Druckverlust in Rohrleitungen bei laminarer Strömung ............................ 7-22

7.5.2 Rohrreibungszahl (Widerstandszahl) ......................................................... 7-24

7.5.3 Druckverluste in Rohrelementen – Verlustkoeffizient ............................... 7-26

8 Impulssatz für stationäre Strömungen ...................................................................... 8-1

8.1 Definition des Impulses ........................................................................................... 8-2

8.2 Stützkraftkonzept zur Berechnung der Stützkraft ................................................... 8-3

8.3 Newton-Kräftegleichgewicht zur Berechnung der Haltekräfte (Auflagekräfte) ..... 8-6

8.4 Handhabung und Berechnungssystematik .............................................................. 8-7

8.5 Anwendungen des Impulssatzes ............................................................................. 8-7

8.5.1 Strömungskräfte an Rohrteilen.................................................................... 8-7

8.5.2 Strahlkräfte .................................................................................................. 8-7

8.5.3 Strahltriebwerke, Propellerschub, Windkraftanlagen ................................. 8-8

8.5.4 Rückstoßkräfte ........................................................................................... 8-12

8.5.5 Mischvorgänge (siehe Übungsmanuskript) ............................................... 8-12

9 Impulsmomentensatz (Drehimpuls, Drallsatz) .......................................................... 9-1

10 Grundlegende Strömungserscheinungen ................................................................ 10-1

10.1 Vorbetrachtungen (Turbulenz) .............................................................................. 10-1

10.2 Reynolds-Zahl ........................................................................................................ 10-4

10.3 Die Grenzschicht (Reibungsschicht) ...................................................................... 10-6

10.4 Umströmung von Körpern ................................................................................... 10-11

10.4.1 Widerstand und dynamischer Auftrieb .................................................... 10-11

10.4.2 Grundlagen der praktischen Tragflügeltheorie ....................................... 10-14

10.5 Widerstand der längsangeströmten Platte ......................................................... 10-19

4

10.6 Ablösung .............................................................................................................. 10-21

10.7 Umströmung einer Kugel .................................................................................... 10-23

10.7.1 Schleichende Strömung um eine Kugel in einer reibungsbehafteten

Flüssigkeit – Widerstandskraft ................................................................ 10-26

10.7.2 Kugelumströmung in einer reibungslosen Flüssigkeit ............................. 10-30

10.7.3 Kraft auf die Kugel in einer reibungslosen Flüssigkeit ............................. 10-31

Literaturhinweis

Becker, E.: .................................. Technische Strömungslehre

Becker, E., Piltz, E. ...................... Übungen zur technischen Strömungslehre

Eppler, R. .................................... Strömungsmechanik

Gersten, K. .................................. Einführung in die Strömungsmechanik

Prandtl, L., Oswatitsch, K. .......... Führer durch die Strömungslehre

Schlichting, H. ............................. Grenzschicht-Theorie

White, F.M. ................................ Fluidmechanics

Zierep, J. ..................................... Grundzüge der Strömungslehre

Böswirth, L. ................................ Technische Strömungslehre

Bohl, W.; Elmendorf, W. ............ Technische Strömungslehre

Kuhlmann, h. .............................. Strömungsmechanik

Durst, F. ..................................... Grundlagen der Strömungsmechanik

Spurk, J. H. .................................. Strömungsmechanik

Iben, H. K. ................................... Strömungslehre in Fragen und Aufgaben

5

Nomenklatur

Lateinische Formelzeichen

� – Querschnittsfläche �m2�

� – Absolutgeschwindigkeit �ms

� – spezifische isobare Wärmekapazität � Jkg·K

�� – spezifische isochore Wärmekapazität � Jkg·K

�� – Widerstandsbeiwert �–�

� – Durchmesser �m�

� – Energiedichte � Jkg , m2s2

� – Energie �J�

�� – Energiestrom �W�

� – Kraft �N�

� – Erdbeschleunigung �ms2

� – Gewichtskraft �N�

ℎ – spezifische Enthalpie � Jkg

– Höhe �m�

� – Enthalpie �J�

– geodätische Höhe �m�

– Fallhöhe �m�

� – Impuls �N s�

�� – Impulsstrom �N�

! – Drall, Drehimpuls �kg·m2·s-1�

$% – Rauhigkeitshöhe �m�

& – Masse �kg�

&� – Massenstrom �kgs

' – Leistung �W�

( – Druck �Pa�

(’ – dimensionsloser Druck �–�

6

Δ( – Druckdifferenz �Pa�

Δ(- – Druckverluste �Pa�

. – kinetischer Druck �Pa�

/ – Wärmemenge �J�

/� – Wärmestrom �Js

0 – Radius �m�

– Ortsvektor �–�

1% – spezifische Gaskonstante � Jkg·K

2 – spezifische Entropie �J�

3 – Zeitkoordinate �s�

4 – Temperatur �K�

5 – spezifische Innere Energie � Jkg

– Umfangsgeschwindigkeit �ms

6 – Innere Energie �J�

7 – spezifisches Volumen �m3kg

9 – Volumen �m3�

9� – Volumenstrom �m3s

: – Strömungsgeschwindigkeit �ms

:; – spezifische technische Arbeit �m2s2

< – Arbeit �J�

= – Raumkoordinate �–�

> – Raumkoordinate �–�

? – Raumkoordinate �–�

? – geodätische Höhe �m�

7

Griechische Formelzeichen

@A – Kompressibilitätskoeffizient �–�

B – Anstellwinkel �°�

D – Grenzschichtdicke �mm�

E – Widerstandsbeiwert �–�

F – dynamische Viskosität � kgm·s

– Wirkungsgrad �–�

G – Isentropenexponent �–�

H – Rohrreibungsbeiwert �–�

I – kinematische Viskosität �m2s

J – dimensionslose Winkelgeschwindigkeit �–�

K – Dichte � kgm3

L – Oberflächenspannung �kgs2

M – Schubspannung � Nm2

N – spezifische technische Dissipation �m2s2

O – Winkelgeschwindigkeit �s-1�

8

Indizes und Apostrophierungen

0 – Umgebung

1,2,3 – Ort für die Betrachtung der Strömung

QR2 – absolut

� – Auftrieb

S – Druck

�T – Flüssigkeit

U – Körper

! – links

( – Druck

1 – rechts

– Reibung

2�ℎ – scheinbar

6 – Unter-… (z. B. Unterdruck)

5 – Umgebung

Ü – Über-… (z. B. Überdruck)

Kennzahlen

WX – Bond-Zahl �–�

YQ – Mach-Zahl �–�

1� – Reynolds-Zahl �–�

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 1 Eigenschaften von Fluiden

1-1

1 Eigenschaften von Fluiden

1.1 Vorbetrachtungen

Was ist ein Fluid?

Die Strömungsmechanik befasst sich mit dem Verhalten von fließfähiger Materie (Fluide)

unter dem Einfluss von mechanischen Kräften. Im engeren Sinne handelt es sich bei der

fließfähigen Materie um Flüssigkeiten (kondensierte, tropfbare Materie) und Gase. Als

fließfähig erweisen sich aber auch Festkörperschüttungen (Granulate, Stäube) oder – in

Anwesenheit hinreichend großer mechanischer Belastung – feste Bauelemente. Die

Beschreibung der letztgenannten Fließvorgänge wird klassisch als Domäne der Rheologie

bzw. der Plastomechanik angesehen. Hier soll nur das Verhalten von Gasen und tropfbaren

Flüssigkeiten betrachtet werden.

Die Strömungsmechanik (auch als Fluidmechanik bezeichnet) stellt ein Teilgebiet der

Technischen Mechanik dar. Diese wiederum repräsentiert einen Teil der Physik. Die

Mechanik ist die Wissenschaft, die sich mit Kräften sowie mit Wirkungen von Kräften auf

Körper und Stoffen aller Art befasst. Die beobachteten Objekte können dabei sowohl in Ruhe

als auch in Bewegung sein. In der Lehrveranstaltung Technische Mechanik werden die

diesbezüglichen Grundsachverhalte behandelt.

Die Strömungsmechanik, die sich erst im letzten Jahrhundert zu einer selbständigen

Wissenschaft entwickelte, erforscht die Gesetzmäßigkeiten der Bewegungen und des

Kräftegleichgewichtes sowohl von ruhenden als auch von bewegten Fluiden. Man spricht

von der Statik der Fluide, wenn die am Fluid angreifenden Kräfte zu einem verschwindenden

Geschwindigkeitsvektor : = 0 führen. Demgemäß bedeutet der Fall der Ruhe die schärfste

Einschränkung in der Kinematik. Dieses Teilgebiet befasst sich (wie in der Technischen

Mechanik dargelegt) mit der Beschreibung der Bewegung, ohne nach deren Ursache zu

fragen. Die Gesetze der Fluidstatik lassen sich insbesondere auch auf rotierende Systeme

übertragen, in denen das Fluid im mitrotierenden System ruht.

Die Hydrostatik studiert das Verhalten von tropfbaren Flüssigkeiten, welche sich durch große

Volumenbeständigkeit bzw. geringe Kompressibilität auszeichnen. Indessen befasst sich die

Aerostatik mit gas- oder dampfförmigen Medien in einem solchen (thermodynamischen)

Zustand, bei dem sie sich leicht zusammendrücken lassen.

Als Idealisierung des physikalischen Verhaltens spricht man von inkompressibel, wenn das

Medium einer Volumenänderung einen großen Widerstand entgegensetzt. Diese Aussage

betrifft auch die Fluiddynamik: Als kompressibel werden die Fluide dann betrachtet, wenn

die Strömungskinetik bzw. -kräfte zu einer Dichteänderung führen.


1-2

Die weitgehende Bedeutung der Strömungsmechanik ist offenkundig. Immer wenn sich

Systeme in Fluiden (z. B. Fahrzeuge, Schiffe, Flugzeuge), oder Fluide in Systemen (z. B.

Rohrleitungen, Strömungsmaschinen) bewegen, erfüllen sie die Strömungsgesetze.

Unter den Begriffen Hydraulik (Fluid: Flüssigkeit, meist Öl) und Pneumatik (Fluid: Luft)

werden heute Techniken verstanden, die „Kraftbewegungen“ verwirklichen und steuern. Sie

werden auch zusammengefasst unter den Begriffen Fluidik oder Fluidtechnik. Diese beiden

Gebiete sind nicht Gegenstand dieses Skriptums. Tab. 1-1 zeigt die Einteilung der

Strömungsmechanik in ihre Unterbereiche.

Tab. 1-1: Einteilung der Strömungsmechanik

Statik der Fluide (ruhendes Fluid)

Dynamik der Fluide (bewegtes Fluid)

Hydromechanik K = const Hydrostatik Hydrodynamik

Aeromechanik K ≠ const Aerostatik

Aerodynamik

Gasdynamik

Bei Gasströmungen mit Geschwindigkeiten kleiner als etwa 100 m/s sind die

Dichteänderungen so klein, dass man mit konstanter Dichte rechnen und somit die Gesetze

der Hydrodynamik anwenden kann.

Die meisten Gesetze der Strömungsmechanik gelten gleichermaßen für Flüssigkeiten und

Gase. Der übergeordnete Begriff dafür heißt Fluid.

Geschichtliche Entwicklung:

Die Bedeutung der Strömungsmechanik lässt sich auch historisch verfolgen. In der

prähistorischen Zeit musste sich der Mensch zwangsläufig mit der Wirkung von

Strömungskräften befassen, um etwa geeignete Jagdwaffen, Wasserleitungen und

Wassertransportmittel zu bauen. Im klassischen Altertum macht sich der Mensch seine

Erkenntnisse über Strömungsvorgänge zunutze, um Schiffe, Bewässerungssysteme und

Wasserräder zu entwerfen. Aus dieser Zeit stammen z. B. auch Nivelliergeräte und

Spielzeuge. Archimedes (287–212 v. Chr.) gelingt die Berechnung des hydrostatischen

Auftriebes.

Von den Römern bis zur Renaissance liegen keine wesentlichen Beiträge vor. Im Unterschied

hierzu gibt es nach der Renaissance ein überaus breites Spektrum an bahnbrechenden

Arbeiten. Leonardo da Vinci befasst sich um 1500 mit der Berechnung der Massenerhaltung

sowie mit der Verlustverringerung durch Formgebung. Er studiert des Weiteren die

Wellenbewegung, den hydraulischen Sprung und die Strömungsturbulenz sowie das

Verhalten von Freistrahlen und Nachlaufströmungen.


1-3

Evangelista Torricelli (1608–1647) findet eine mathematische Beziehung zur reibungsfreien

Berechnung des Ausflusses einer Flüssigkeit aus einem Gefäß.

Edme Mariotte (1628–1684) realisiert einen ersten Versuchskanal zur Messung des

Widerstandes von Körpern in Strömungen.

Isaac Newton (1643–1727) trägt ganz wesentlich zum Verständnis strömungsmechanischer

Vorgänge bei. Er postuliert, dass der Fluidwiderstand proportional zur

Geschwindigkeitsdifferenz ist. Als Maß für den Widerstand „normaler“ Fluide (Wasser, Luft)

führt er die Viskosität ein. Mit Hilfe der Differentialrechnung berechnet er das

Strömungsverhalten eines rotierenden Zylinders.

Daniel Bernoulli (1700–1782) stellt bei seinen Untersuchungen fest, dass zwischen der

Druckänderung und der Beschleunigung eines Fluids Proportionalität besteht. Er führt auch

den Begriff Hydrodynamik ein.

Leonhard Euler (1707–1783) leitet die Grundgleichung der reibungslosen Strömung

(Bernoulli-Gleichung) her und führt die Feldbeschreibung ein.

Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783) macht auf das Paradoxon aufmerksam, dass

ein reibungsfrei umströmter Körper der Strömung keinen Widerstand entgegensetzt.

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) schlägt vor, eine Strömung durch Verfolgung der

einzelnen Teilchenbahnen zu beschreiben.

Pierre-Simon Laplace (1749–1827) formuliert ein Gesetz, das erlaubt, die Gestalt freier

Oberflächen bzw. Fluidgrenzflächen zu berechnen.

Der Berücksichtigung des Einflusses der Reibung in Strömungsfeldern sind Arbeiten aus den

Jahren von 1827 bis 1845 von Claude Louis Marie Henri Navier, Augustin-Louis Cauchy,

Siméon Denis Poisson und Jean Cloude St. Venant gewidmet. Diese Verfasser führen eine

unbekannte molekulare Funktion zur Beschreibung der Reibung ein. George Gabriel Stokes

verwendet diesbezüglich die Viskosität.

Osborne Reynolds (1842–1912) studiert die Merkmale der Turbulenz. Die moderne

Strömungsmechanik hat ihren Ursprung in Arbeiten von Ludwig Prandtl (1875–1953). Mit

der von ihm entwickelten Grenzschichttheorie gelingt es, die Konflikte zwischen den

Hydraulikern und den theoretischen Strömungsmechanikern zu überbrücken. Die erste

Gruppe befasst sich mit technischen Anwendungen und ist häufig darauf angewiesen,

empirische Erkenntnisse anzuwenden. Indessen kennen die theoretischen

Strömungsmechaniker zwar die Bewegungsgleichungen, aber nur in seltenen Fällen liegen

entsprechende Lösungen für praktische Anwendungen vor.

Dieser kurze Abriss kann nicht alle Errungenschaften der Fluidmechanik aufführen. Es sollen

hier aber noch kurz einige der zum Teil sehr namhaften Forscher des 20. Jahrhunderts

stellvertretend genannt werden.


1-4

Albert Einstein (1879–1955) befasst sich in seiner Jugend mit der Bestimmung der Viskosität

von Suspensionen. Viel später arbeitet er mit seinen Schülern auf dem Gebiet der Turbulenz.

Taylor, Richarson, Kolmogoroff, Batchelor und Rotta tragen wesentlich zur Entwicklung der

statistischen Turbulenztheorie bei. Theodore von Kármán (1881–1963) publiziert Arbeiten,

etwa zum Themenkreis der rotierenden Scheibenströmungen, die inzwischen als klassisch

gelten. Die sich hinter einem querangeströmten Zylinder ausbildende Wirbelstraße ist nach

ihm benannt.

Ende der 1960er Jahre werden entscheidende Fortschritte bei der Sichtbarmachung von

Strömungen erzielt. Mit entsprechenden Visualisierungstechniken belegt die Gruppe um

Kline die Existenz kohärenter Strukturen in turbulenten Strömungen. In den 1980er Jahren

findet die von Mandelbrot entwickelte Fraktaltheorie Einzug in der Turbulenztheorie. Ohne

bestimmte Verfasser hervorheben zu wollen, muss festgestellt werden, dass die numerische

Simulation von Strömungsprozessen eine zunehmend wichtigere Rolle spielt. Diese

Entwicklung lässt sich aber nicht nur auf die starke Zunahme der Leistungen moderner

Rechner zurückführen. Vielmehr ist dies eine Folge intensiver Bemühungen im

Zusammenhang mit der Weiterentwicklung numerischer Algorithmen (z. B. die Multilevel-

Verfahren).


1-5

1.2 Dichte, Kontinuität der Masse

Ein Fluid wird als ein Kontinuum angesehen. In einem Kontinuum ist das kleinste betrachtete

Volumenelement �9 noch immer homogen, d. h. die Abmessungen von �9 sind noch groß

gegenüber dem mittleren Molekülabstand im Fluid. Die Dichte a eines Fluidelements ist

definiert als der Kehrwert des spezifischen Volumens 7 �m3 kg⁄ �.

K = c� �m3kg Gl. 1-1

Die Dichte ist eine Funktion des Ortes und der Zeit, d. h. K = Kd=, >, ?, 3e für ein kartesisches

Koordinatensystem. Bei veränderlicher Dichte spricht man von kompressiblen, bei

konstanter Dichte von inkompressiblen Fluiden.

Jedes Fluid besitzt eine Masse. Die Dimension der Masse & ist das Kilogramm �kg�. Die

Masse beansprucht Raum. Diesen Raum nennen wir das Volumen 9, das die Dimension

Kubikmeter �m3� trägt.

K = f- � kgm3 Gl. 1-2

Zwischen der Dichte von Flüssigkeiten und der von Gasen besteht ein riesiger Unterschied,

der ungefähr dem Faktor 1000 entspricht.

Zu beachten ist die Abhängigkeit der Dichte vom Druck ( und der Temperatur 4, die für viele

Fluide in Form einer Zustandsgleichung gegeben ist. Für ideale Gase lautet die Gleichung

g = ( ⋅ 7 = 1% · 4 Gl. 1-3

mit der spezifischen Gaskonstante 1% des Gases.

Im Gegensatz zu Gasen weisen Flüssigkeiten nur schwache Abhängigkeiten der Dichte vom

Druck und von der Temperatur auf.


1-6

Tab. 1-2: Dichte verschiedener Fluide bei 0 °C und 1

bar

Fluid Dichte i �kg m3⁄ �

Helium 0,1785

Wasserdampf 0,768

Stickstoff 1,2505

Sauerstoff 1,4289

Luft 1,2928

Argon 1,784

Kohlendioxid 1,977

Mineralöl 850

Wasser 998,2

Quecksilber 13595,5

(13546 bei 20 °C)

Abb. 1-1: Dichte von Wasser als Funktion der Temperatur 4 und des Druckes (

Die Stoffgröße K hängt von ( und 4 ab. Demgemäß lässt sich für die Änderung der Dichte

schreiben (totales Differential):


1-7

�K = jkgkAl · �4 + jkgklA · �( Gl. 1-4

bzw. für die relative Dichteänderung:

ngg = cg · jkgkAl · �4 + cg · jkgklA · �( Gl. 1-5

Im Zusammenhang mit den oben gegebenen Erläuterungen interessiert die Änderung der

Dichte bei konstanter Temperatur, die durch den Kompressibilitätskoeffizienten @A mit

@A = 1a · joKo(l4 Gl. 1-6

ausgedrückt wird. An dieser Stelle erweist es sich zunächst als sehr instruktiv, ein ideales Gas

zu betrachten. Mithilfe des idealen Gasgesetzes lässt sich für @A schreiben:

K = pq·A → joKo(l4 = 112·4cg = pq·As @A = pq·A · cpq·A = c Gl. 1-7

Demgemäß ändert sich die Kompressibilität beim idealen Gas wie der Druck und kann somit

eine bedeutende Größenordnung erreichen. Wie Tab. 1-3 belegt, nimmt @A bei Flüssigkeiten

hingegen nur sehr geringe Werte an.

Tab. 1-3: Kompressibilitätskoeffizienten und Dichte ausgesuchter

Materialien (Daten für 1 bar und 0 ℃)

Stoffgröße Dimension Wasser Methanol Luft CO2

K kgm3 999,8 810 1,275 1,975

@A · 10y m2N 0,0001 0,0001 1,007 1,007


1-8

1.3 Massenstrom und Volumenstrom

Das Fluid bewegt sich vor einem ortsfesten Hintergrund: Es strömt. Wir stellen uns einen

ortsfesten, ebenen Ring beliebiger Form vor, dessen Querschnitt � durchströmt wird.

Abb. 1-2: Strömung durch einen gedachten Querschnitt �

Wir interessieren uns für die Masse, die pro Zeiteinheit den Querschnitt � durchströmt. Sie

ist proportional zu � und zu a. Weiter ist sie proportional zur Geschwindigkeit : des Fluids,

genauer gesagt, zu der Komponente, mit der das Fluid senkrecht zu � strömt.

&� ∼ � Gl. 1-8

&� ∼ K Gl. 1-9

&� ∼ : · cos { · a · � Gl. 1-10

Die andere Komponente liegt in � und kann somit nichts über � fördern. Für den

Massenstrom &� mit der Dimension �kg s⁄ � erhalten wir danach:

&� = : · K · � Gl. 1-11

Das Produkt

9� = : · � Gl. 1-12

heißt Volumenstrom und hat die Einheit �m3 s⁄ �. Somit ist

&� = K · 9� Gl. 1-13


1-9

Abb. 1-3: Stromröhre

Wir orientieren nun zwei Ringflächen �c und �| so, dass sie senkrecht zur Strömung stehen.

Wir verbinden die beiden Ringe durch eine gedachte Röhre. Das ganze heißt dann

Stromröhre.

Das Wesentliche daran ist, dass das Fluid nur entlang der Röhrenwand strömen kann. Wir

setzen voraus, dass sich die Strömung über der Zeit nicht verändert (stationäre Strömung),

d. h., dass a und : an jedem einzelnen Punkt der Röhre konstant bleiben, während sie sich

entlang der Röhre ändern können.

Nun muss, da Masse nicht verschwinden oder erzeugt werden kann, diejenige Masse, die pro Zeiteinheit durch }~ in die Stromröhre eintritt, in derselben Zeiteinheit durch }� wieder austreten.

D. h., es gilt:

&� c = &� | Gl. 1-14

oder

:c · Kc · �c = :| · K| · �| Gl. 1-15

Wenn sich die Dichte des Fluids auf dem Weg von �c nach �| nicht ändert, gilt sogar:

:c · �c = :| · �| Gl. 1-16

D. h., der Volumenstrom bleibt konstant:

9�c = 9�| Gl. 1-17

Wenn darüber hinaus auch noch die Querschnitte gleich sind, folgt für die Geschwindigkeit:

:c = :| Gl. 1-18


1-10

Beispiel: Spritze

Abb. 1-4: Spritze

Eine Spritze ist eine Stromröhre mit festen Wänden und deutlicher Querschnittsverengung.

Für sie gelten Gl. 1-14 und für ein inkompressibles Fluid Gl. 1-17. Da somit

Kc = K| Gl. 1-19

folgt aus Gl. 1-15

�� = �� Gl. 1-20

Die Flüssigkeit innerhalb der Spritze ändert ihre Dichte nicht. Stattdessen erhöht sich im

verengten Querschnitt die Geschwindigkeit. Wir erhalten für die relative Erhöhung der

Geschwindigkeit:

�� = �� Gl. 1-21

Beispiel: Rohrverzweigung

Abb. 1-5: Rohrverzweigung

Eine Stromröhre mit festen Wänden kann sich verzweigen. Die Massenstrombilanz lautet:

&� c = &� | + &� � Gl. 1-22

und bei konstanter Dichte:

9�c = 9�| + 9�� Gl. 1-23


1-11

Wenn zwei Ströme gegeben sind, lässt sich der dritte ermitteln. Allein aufgrund der

Flächenaufteilung der Verzweigung lässt sich allerdings nicht sagen, wie sich die Ströme

verteilen.

1.4 Eigenschaften von Fluiden

Die Bewegung in einem Strömungsfeld hängt ganz wesentlich von den Eigenschaften der

fließenden Materie ab. Diese Eigenschaften sind die Trägheits- und Schwerkräfte (durch die

Dichte a) ebenso wie die Reibungseffekte (Zähigkeit oder Viskosität). Eine weitere wichtige

Größe ist die Kompressibilität (Änderung der Dichte bei Druck- oder Temperaturerhöhung).

Sie erweist sich als ganz entscheidend hinsichtlich einer Unterscheidung von Gas

(kompressibel) und Flüssigkeit (dichtebeständig = inkompressibel).

In diesem Zusammenhang muss aber darauf hingewiesen werden, dass Gase durchaus auch

als inkompressibel angesehen werden können, wenn die im Strömungsfeld auftretenden

Kräfte zu keiner nennenswerten Kompression führen. Für Luft gilt diese Näherung bis zu

Geschwindigkeiten von etwa 100 m s⁄ .

Stoffgrößen und Stofffunktionen

Als Stoffgrößen bezeichnet man solche physikalischen Größen, welche eine Funktion der

Temperatur 4 und des Druckes ( darstellen, aber nicht vom Strömungsfeld abhängen.

Hingegen liegt eine Stofffunktion vor, wenn die lokale Strömung die physikalische Größe

beeinflusst.

Bei Gasen unter mäßigen Drücken und reinen, flüssigen (Newtonschen) Medien lassen sich

die Dichte K, die Kompressibilität @ (siehe Abschn. 1.2) und die dynamische Viskosität F in

guter Näherung als Stoffgrößen ansehen. Darüber hinaus stellt die Oberflächenspannung L

eine Stoffgröße dar.

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 2 Druck

2-1

2 Druck

Abb. 2-1: Gasbehälter

Der Druck spielt eine entscheidende Rolle in der Mechanik der Fluide.

( = �� Nm2 Gl. 2-1

( – Druck auf den Kolben (Skalar), � – Fläche des Kolbens

In der Technik werden verschiedene Druckbegriffe verwendet.

(��% = (� + K ⋅ � ⋅ ℎ ⇒ (��% = (� � Δ( Gl. 2-2

Absolutdruck:

(��% – Absolutdruck (gegenüber dem Druck im leeren Raum), gemessen mit einem

Barometer (siehe Abb. 2-2 und Abb. 2-3)

(� – Umgebungsdruck (Atmosphärendruck – gemessen mit einem Torricelli-Barometer),

in der Literatur auch als (� bezeichnet

Δ( – Druckdifferenz (��% � (�, gezeigt durch Manometer: Überdruck (positiv) oder

Unterdruck (negativ), gemessen mit einem Manometer (siehe Abb. 2-4)

Absolutdruck = Umgebungsdruck +/� Überdruck/Unterdruck

a b

Abb. 2-2: Barometer zur Messung eines Absolutdrucks,

a) Flüssigkeitsbarometer nach Torricelli, b) Goethe-

Barometer (Flüssigkeitsbarometer)


2-2

Abb. 2-3: Mechanisches Barometer mit

Membrandose

a b

Abb. 2-4: Manometer zur Messung eines Differenzdrucks, a) U-Rohr-Manometer

(Flüssigkeitsmanometer), b) mechanisches Manometer mit Membrandose

Einheiten:

10y Nm2 = 100 000 Pa = 10y Pa = 1 bar = 1000 mbar

10,2 mH2O = 100 062 Pa

760 Tor = 760 mmHg = 101 098 Pa = 1,01 · 10yPa

Vereinbarung:

Normaldruck bei 20 ℃: (� = (� = 100 000 Pa = 1 bar

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 3 Hydrostatik

3-1

3 Hydrostatik

3.1 Grundgleichung der Hydrostatik

Ein ruhendes inkompressibles homogenes Fluid unter dem Einfluss der

Schwerkraftbeschleunigung �. An der Oberfläche herrscht immer der Umgebungsdruck. Die

Aufgabe bestehe in der Berechnung des Druckes (.

Abb. 3-1: Inkompressibles homogenes Fluid (Gersten:

Einführung in die STM)

� – Druckkraft

� – Gewichtskraft

Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung:

∑ ��,� = & · ?� Gl. 3-1

� � & · � � (� · � = 0 Gl. 3-2

( · � � & · � � (� · � = 0 Gl. 3-3

& = a · 9 = a · � · ℎ und damit in Gl. 3-3 Gl. 3-4

( · � � K · � · ℎ · � � (� · � = 0 │ ÷ � Gl. 3-5


3-2

Das Ergebnis ist die Grundgleichung der Hydrostatik:

( = (� + K · � · ℎ Gl. 3-6

Der Druck ist an jedem Punkt im Fluid richtungsunabhängig, also ein Skalar und resultiert,

unabhängig von Verdeckungen oder Ausdehnung des Fluids, aus der lotrechten Strecke

zwischen Beobachtungspunkt und der Lage der Wasseroberfläche.

Aus dieser Gleichung leitet man zwei Sätze ab:

Satz 1: In einer Flüssigkeit herrscht in Punkten gleicher Höhe/Tiefe der gleiche Druck.

Satz 2: Der Druck wächst proportional zur Tiefe und nimmt proportional zur Höhe ab.


3-3

3.2 Anwendung der hydrostatischen Grundgleichung

3.2.1 Pascalsches Paradoxon

• Gleiche Flüssigkeit

• Gleiche Höhe

• Gleiche Fläche

• Verschiedenes Gewicht

Abb. 3-2: Pascalsches Paradoxon (Becker: Technische Strömungslehre)

(c = (� + K · � · ℎ (| = (� + K · � · ℎ (� = (� + K · � · ℎ Gl. 3-7

(c = �c · � (| = �| · � (� = �� · � Gl. 3-8

(c = (| = (� Gl. 3-9

Der Bodendruck ist in allen skizzierten Gefäßen gleich. Es wirkt die gleiche Kraft �,

unabhängig vom Gewicht der Flüssigkeit. Die Druckkraft ist unabhängig von der Gefäßform,

wenn die Grundflächen gleich groß sind.

( = �� (siehe Gl. 2-1)


3-4

3.2.2 Druckverlauf in kommunizierenden Röhren

Abb. 3-3: Kommunizierende

Röhren

Beispiel: U-Rohr mit zwei nichtmischbaren Flüssigkeiten

Abb. 3-4: U-Rohr (Gersten: Einführung in die STM)

Die Linie �-� wird als Bezugslinie (BZL) bezeichnet Der hydrostatische Druck im linken

Schenkel ist gleich dem hydrostatischen Druck im rechten Schenkel des U-Rohrs (des U-Rohr-

Manometers). Würden wir den oberen Teil über der Bezugslinie W ! wegnehmen, würde

ein System aus kommunizierenden Röhren entstehen, wie in Abb. 3-3.

(¡ = (� + Kc · � · ℎc Grundgleichung der Hydrostatik im linken Schenkel Gl. 3-10

(p = (� + K| · � · ℎ| Grundgleichung der Hydrostatik im rechten Schenkel Gl. 3-11

(¡ = (p Drücke sind gleich an der Bezugslinie W! Gl. 3-12

(� + Kc · � · ℎc = (� + K| · � · ℎ| Gl. 3-13

g�g� = ¢�¢� Gl. 3-14

(lt. Abb. 3-4 gilt: ℎ| ℎc⁄ > 1 und Kc > K|)


3-5

3.2.3 Hydraulische Presse

Abb. 3-5: Hydraulische Presse (Gersten: Einführung in die

STM)

(¡ = (� + �� + K · � · ℎ Gl. 3-15

(p = (� + �� Gl. 3-16

�� = �� K · � · ℎc Gl. 3-17

K · � · ℎc → 0, da K · � · ℎc ≪ �� Gl. 3-18

�� = �� Gl. 3-19

�� = ��, da �| ≫ �c → �| ≫ �c Gl. 3-20

Schlussfolgerung: Mit einer kleinen Kraft �c kann man eine große Kraft �| erzeugen.


3-6

3.2.4 U-Rohr-Manometer zur Messung des Gasdruckes

Abb. 3-6: U-Rohr-Manometer (Becker: Technische

Strömungslehre)

¦§¨: „links“ = „rechts“

(© + K© · � · ℎc = (� + K�ª · � · Δℎ (Druck der Gassäule wird vernachlässigt) Gl. 3-21

K© · � · ℎc = 0 → K© ≪ K�ª Gl. 3-22

(© = (c = (� + K�ª · � · Δℎ Gl. 3-23

Dabei bezeichnen wir aK�ª · � · Δℎ = Δ(© auch als Überdruck (Ü. Dieser ist positiv, wenn (© > (� ist. Wenn (© < (�, dann ist Δ(© negativ und wird auch als Unterdruck (¬

bezeichnet.

Vor jeder Berechnung ist zu prüfen, ob nach dem Überdruck oder dem Unterdruck Δ(

gegenüber einer Umgebung oder dem Absolutdruck (��% gefragt ist! Der Überdruck resultiert

nur aus dem betrachteten Fluid, der Absolutdruck zuzüglich dem atmosphärischen Druck

(= Umgebungsdruck = Luftdruck) der Umgebung.


3-7

3.2.5 Flüssigkeitsschichten

Abb. 3-7: Geschichtete Fluide

(� = (� + K� · � · ℎ_¯°�±c Gl. 3-24

(² = (� + Kc · � · ℎc + K| · � · ℎ| + K� · � · ℎ� + K² · � · ℎ² Gl. 3-25

Bei gleichen Dichten K = Kc = K| = K� = K² vereinfacht sich Gl. 3-25 zu:

(² = (� + K · � · dℎc + ℎ| + ℎ� + ℎ²e Gl. 3-26


3-8

3.3 Statischer Auftrieb

Archimedisches Prinzip

Beim Eintauchen eines beliebig geformten Körpers in eine Flüssigkeit stellt man eine

scheinbare Gewichtsminderung fest.

Abb. 3-8: Druckkräfte am eingetauchten Körper

Archimedes entdeckte, dass der Betrag, um den sich das Gewicht scheinbar vermindert,

gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge ist.

�� = K�ª · 9³ · � Gl. 3-27

9³ – Volumen des eingetauchten Körpers

Der statische Auftrieb eines vollständig in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit K´µ · ¶· · ¸.

Der Angriffspunkt ist der Volumenschwerpunkt des verdrängten Volumens. Durch den

statischen Auftrieb �� erfährt der Körper scheinbar einen Gewichtsverlust Δ� (Prinzip von

Archimedes)

Δ� ≅ �� Gl. 3-28

Das scheinbare Gewicht (in der Flüssigkeit) entspricht der Differenz zwischen dem Gewicht

des Körpers in Luft und dem Auftrieb.


3-9

�%º¢ = � � �� = � � »� Gl. 3-29

�� = � � �%º¢ = K�ª · 9³ · � Gl. 3-30

9³ = ©�©q¼½g¾¿·À Gl. 3-31

� – Gewicht des Körpers in Luft

�%º¢ – Gewicht des Körpers im vollständig eingetauchten Zustand

Bei bekannter Dichte K�ª der Flüssigkeit lässt sich das Volumen des Körpers bestimmen,

wenn man den Körper in Luft und in der Flüssigkeit ausgewogen hat. Das Gewicht des

Körpers lässt sich durch die Dichte K³ ausdrücken.

� = K³ · 9 · � → 9 = ©gÁ·À Gl. 3-32

Eingesetzt in 9 (Gl. 3-32) ergibt:

©gÁ·À = ©�©q¼½g¾¿·À Gl. 3-33

K³ = ©©�©q¼½ · K�ª Gl. 3-34

Schwimmen:

Der Körper schwimmt, wenn ein Teil seines Volumens aus der Flüssigkeit herausragt.

Der Körper schwimmt, wenn ein Teil seines Volumens aus der Flüssigkeit herausragt

�� = � Zustand Schwimmen Gl. 3-35


3-10

Schweben:

Der Körper ist völlig eingetaucht, weder sinkt noch steigt er

Abb. 3-9: Kraftverteilung am eingetauchten Körper beim Schweben

Newtonsches Kräftegleichgewicht in =-Richtung:

∑ �Â,� = 0 Gl. 3-36

0 = ��Â,c| + �Â,c| Gl. 3-37

�Â,c| = �Â,c| Gl. 3-38

Newtonsches Kräftegleichgewicht in >-Richtung:

∑ �Ã,� = 0 Gl. 3-39

0 = �Ã,c � � � �Ã,| Gl. 3-40

�Ã,c – Druckkraft, die in der Tiefe 3c, von unten normal auf den Körper wirkt

�Ã,c = (c · �³,Ã = �(� + K�ª · � · d3| + ℎ³e� · �³,Ã Gl. 3-41

�Ã,| – Druckkraft, die in der Tiefe 3|, von oben normal auf den Körper wirkt


3-11

�Ã,| = (| · �³,Ã = d(� + K�ª · � · 3|e · �³,Ã Gl. 3-42

�© – Gewichtskraft des Körpers

�© = &³ · � = K³ · 9³ · � Gl. 3-43

�© – Gewichtskraft des Körpers

Durch Einsetzen in Gl. 3-40 ergibt sich:

0 = d(� + K�ª · � · 3ce · �³,Ã � K³ ⋅ � ⋅ ℎÄ · �³,Ã � d(� + K�ª · � · 3|e · �³,Ã Gl. 3-44

K³ ⋅ � ⋅ ℎÄ · �³,Ã = d(� + K�ª · � · 3ce · �³,Ã � d(� + K�ª · � · 3|e · �³,Ã

K³ ⋅ � ⋅ ℎÄ · �³,Ã = d(� + K�ª · � · 3c � (� � K�ª · � · 3|e · �³,Ã

K³ ⋅ � ⋅ ℎÄ · �³,Ã = K�ª · � · d3c � 3| e · �³,Ã

Mit ℎÄ = 3c � 3| folgt daraus:

K³ · � · ℎ³ · �³,Ã = K�ª · � · ℎ³ · �³,Ã Gl. 3-45

Beide Seiten der Gleichung entsprechen �© und damit ��:

�© = K³ · � · ℎ³ · �³,Ã Gl. 3-46

Die rechte Seite der Gleichung entspricht ��.

�� = &�ª · � = K�ª ⋅ � · ℎ³ · �³,Ã Gl. 3-47

Durch das Gleichgewicht dieser beiden Kräfte entspricht die Auftriebskraft �� ebenfalls der

Differenz der beiden Druckkräfte in der Flüssigkeit, sogar in verschiedenen Tiefen.

Der Körper schwebt, wenn sein gesamtes Volumen in der Flüssigkeit eingetaucht in der gleichen Tiefe verharrt.

�� = �© = �Ã,| � �Ã,c Zustand Schweben Gl. 3-48


3-12

3.4 Kräfte auf Behälterwände

Beispiel: Duckkraft auf eine ebene Wand

Abb. 3-10: Druckkraft auf eine geneigte ebene Wand (Tiefe R gemessen

senkrecht zur Tafel)

Ein Behälter, in dem sich ein Fluid der Dichte a befinde, sei durch eine geneigte ebene Wand

begrenzt. Auf eine vorgegebene Fläche � übt dann die Flüssigkeit die Druckkraft � aus,

deren Betrag und Angriffspunkt gesucht werden.

Im Punkt ' befindet sich ein Flächenelement �� in der Tiefe ℎd>e:

¢dÃeÃ = cos { ℎd>e = > · cos { �� = R · �> Gl. 3-49

Die Kraft die auf die Innenseite des Behälters wirkt ergibt sich aus:

�� = (d>e · �� Gl. 3-50

�� = ��ª + (� · �� Gl. 3-51

Der Druck folgt aus

(d>e = (� + K · � · ℎ Gl. 3-52

(d>e = (� + K · � · > · cos { Gl. 3-53


3-13

Der Kraftanteil ��ª, der von der Flüssigkeit allein erzeugt wird, berechnet sich zu:

��ª = �� (� · �� Gl. 3-54

��ª = (� · �� + K · � · > · cos { · �� (� · �� Gl. 3-55

��ª = K · � · > · cos { · ��

��ª = R · K · � · cos { · Å > · �>¡� Gl. 3-56

�� = R · �> Gl. 3-57

��ª = c| · R · K · � · cos { · �>|��¡ � = R · ! Gl. 3-58

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 4 Dynamik der Fluide

4-1

4 Dynamik der Fluide – Beschreibung von Strömungen

Um die Bewegung des Fluids in einer Strömung zu beschreiben, gibt es zwei verschiedene

Darstellungsmethoden. Die Strömung in einem vorgegebenen Koordinatensystem, z. B.

kartesisch mit der Zeit, ist charakterisiert durch:

Temperatur: 4 = 4d=, >, ?, 3e Gl. 4-1

Druck: ( = (d=, >, ?, 3e Gl. 4-2

Dichte: K = Kd=, >, ?, 3e Gl. 4-3

Geschwindigkeit: : = {5d=, >, ?, 3e, 7d=, >, ?, 3e, :d=, >, ?, 3e} Gl. 4-4

Es interessiert in diesem Fall nicht das Einzelschicksal einzelner, sondern das Verhalten

ständig wechselnder Fluidteilchen, die einen vorgegebenen Punkt passieren.

Für dreidimensionale Strömungen gilt:

5, 7, :, (, K, 4 = Èd=, >, ?, 3e ..... räumlich

Für zweidimensionale Strömungen gilt:

5, 7, (, K, 4 = Èd=, >, 3e ............. eben

Für eindimensionale Strömungen gilt:

5, (, K, 4 = Èd=, 3e ..................... Stromfaden, wenn stationäre Strömung

Zeitabhängigkeit

Liegt keine Zeitabhängigkeit vor, spricht man von einer stationären Strömung. Liegt

Zeitabhängigkeit vor, spricht man von einer instationären Strömung.

Stoffeigenschaften

• Reibungsfreie/reibungsbehaftete Strömung

• Kompressible/inkompressible Strömung

• Ideales/nichtideales Gas

Inkompressibles Fluid di = const.)

Ein Fluid dessen Dichte während der Strömung konstant bleibt, heißt inkompressibles Fluid.

In der Literatur verwendet man auch eine andere Formulierung: Eine Strömung, bei der die

Dichte a des strömenden Fluids konstant bleibt, heißt inkompressible Strömung.

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 4 Dynamik der Fluide

4-2

Vernachlässigung der Temperatur Ê

Wenn einfache (Modell-)Fluide betrachtet werden, kann die Temperatur vernachlässigt

werden.

1. Inkompressibles Fluid dK = const.e

Das Temperaturfeld hat keinen Einfluss auf Druck- und Geschwindigkeitsverteilung

(Geschwindigkeitsfeld), wenn Viskosität über der Temperatur konstant ist.

2. Ideales Gas d( = K · 1% · 4e

Wenn Druck ( und Dichte K bekannt sind, kann die Temperatur berechnet werden. 1% ist die spezifische Gaskonstante.

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 5 Viskosität und Oberflächenspannung

5-1

5 Viskosität und Oberflächenspannung

5.1 Viskosität

Abb. 5-1: Taylor-Couette -Strömung

Ein viskoses Fluid befinde sich zwischen einer festen Grundplatte und einer im Abstand ℎ

dazu parallelen Platte, die mit der Geschwindigkeit 6 bewegt wird (siehe Abb. 5-1). Bei

diesem als Taylor-Couette-Strömung bekannten Vorgang bewegt sich das Fluid zwischen den

Platten jeweils relativ zu dessen Oberflächen.

Es entsteht mit der Fläche � eine Tangentialkraft oder Schubspannungskraft �, die

aufgewendet werden muss, um die Relativbewegung zu bewirken.

In einem Fluid ist die Schubspannung M das Verhältnis der Schubkraft zur Fläche, an der die

Schubkraft angreift. Mit der Plattenfläche � heißt das:

M = �� Gl. 5-1

Haftbedingung: Am Rande haben die Flüssigkeitsteilchen die gleiche Geschwindigkeit

wie die Platte.

Der Zusammenhang zwischen der Schubspannung M (Belastung) und dem

Geschwindigkeitsgradienten wird Reibungsgesetz genannt.

M = F n�nÃ Gl. 5-2


5-2

Ein Fluid mit linearem Reibungsgesetz heißt Newtonsches Fluid, anderenfalls Nicht-

Newtonsches Fluid.

Newtonsches Reibungsgesetz:

M = F n�nÃ (siehe Gl. 5-2)

Wenn 5d>e linear ist, folgt:

M = F · �¢ Gl. 5-3

Der Proportionalitätsfaktor F heißt dynamische Viskosität und hat die Einheit ËN·s·m-2Ì. Die Fähigkeit eines Fluids, Schubspannungen zwischen zwei Schichten unterschiedlicher

Geschwindigkeiten oder zwischen dem bewegten Fluid und einer festen Wand übertragen zu

können, liegt in seiner dynamischen Viskosität Í. Sie wird durch molekulare Kräfte

hervorgerufen und ist eine Stoffeigenschaft. Sie hängt bei mäßigen Drücken nur von der

Temperatur des Fluids ab.

Die kinematische (dichtebezogene) Viskosität Î ist

I = Ïg Gl. 5-4

und hat die Einheit Ë&2 · 2�1Ì. In dieser Abhandlung werden ausschließlich Newtonsche Fluide behandelt.

Abb. 5-2: Reibungsgesetze


5-3

5.2 Die Oberflächen- bzw. die Grenzflächenspannung

Bisher wurde das Verhalten reiner, einphasiger Fluide betrachtet. Die nachfolgenden

Erörterungen betreffen indessen die Trennfläche zweier Fluide, die als ineinander unlöslich

bzw. nichtmischbar angesehen werden. Eine solche Trennfläche stellt die an einem Gas

angrenzende (freie) Oberfläche einer Flüssigkeit dar (siehe Abb. 5-3).

Im Inneren der Flüssigkeit heben sich die intermolekularen Anziehungskräfte auf ein

Teilchen im Mittel auf. Es liegt ein kugelsymmetrisches Kraftfeld vor. Besagte Asymmetrie an

der Oberfläche bedingt eine Kraftresultierende, die ins Innere gerichtet ist, da die

Gaspartikel über der Oberfläche keine intermolekularen Kräfte ausüben.

Die Dicke dieser Oberflächenschicht entspricht dem Wirkungsbereich der intermolekularen

Kräfte (ca. 10 Moleküldurchmesser).

Abb. 5-3: Oberflächenspannung als Folge eines

asymmetrischen, molekularen

Kraftfeldes

Gegen diese Resultierende muss Arbeit geleistet werden, wenn ein Teilchen aus dem

Flüssigkeitsinnern an die Oberfläche verschoben werden soll. Demgemäß besteht ein

Bestreben der Flüssigkeit, ihre Oberfläche klein zu halten. Diese Wirkung der

Oberflächenspannung lässt sich durch den in Abb. 5-4 dargestellten Versuch

veranschaulichen.

Um die Oberfläche durch das Auseinanderziehen der verschiebbaren Drahtschenkel zu

vergrößern, benötigt man die Kraft �. Da zwei Oberflächen vorliegen, gilt

|�| = 2 · L · ! Gl. 5-5


5-4

Abb. 5-4: Versuch zur Bestimmung der Oberflächenspannung

Die Oberflächenspannung verursacht also eine Kraft, die bei einer Verschiebung um �= die

Arbeit

< = �⃗ · Δ2⃗ Gl. 5-6

erfordert. Dies führt zur Entstehung von sogenannten Minimalflächen, die unter einer

Oberflächenspannung L stehen. Eine solche Minimalfläche stellt die Kugelgestalt dar. Freie

Flüssigkeitsvolumina (d. h. in Abwesenheit von Störungen) nehmen daher die sphärische

Form an, siehe Abb. 5-5.

Als Oberflächenspannung L definiert man diejenige Kraft pro Längeneinheit der Berandung,

welche die Oberfläche im Gleichgewicht hält. Sie hat demnach die Einheit �N/m�.

Bei dem in Abb. 5-5 dargestellten Tropfen ist die Oberflächenspannung bestrebt, den Topfen

zu komprimieren. Dadurch kommt es zu einem Druckanstieg Δ( im Innern. In Abwesenheit

anderer Kräfte besteht daher Gleichgewicht zwischen der Druckkraft und der aus der

Oberflächenspannung resultierenden Kraft.

r

p p0

σp > p0

Abb. 5-5: Gleichgewichtsbetrachtung für

einen kugelförmigen Tropfen


5-5

Wird der in Abb. 5-5 dargestellte Tropfen am Äquator gedanklich aufgetrennt, so ergibt sich

infolge der Oberflächenspannung eine Kraft �Ò mit dem Betrag

�Ò = 2 · Ó · 0 · L Gl. 5-7

Die resultierende Druckkraft weist in vertikale Richtung. Ihr Betrag �Ô ergibt sich als Produkt

der Druckdifferenz Δ( und der Äquatorfläche Ó0|, d. h.:

�Ô = Δ( · Ó · 0| = d(� � (�e · Ó · 0| Gl. 5-8

Aus dem Kräftegleichgewicht �Ô = �Ò folgt:

Δ( = |·ÒÕ Gl. 5-9

Dieser Drucksprung an der Oberfläche kann bei kleinen Werten von 0 eine erhebliche

Größenordnung annehmen. Folgendes Beispiel dient der Veranschaulichung dieses

Sachverhaltes.

Beispiel: Druckdifferenz bei einem Nebeltropfen

Die Oberflächenspannung von Wasser beträgt 71 · 10�� N m⁄ . Der Tropfen soll einen

angenommenen Radius von 10�Ö m , also 1 μm, haben. Die Druckdifferenz Δ( berechnet

sich somit zu:

Δ( = |·Øc·c�ÙÚc�ÙÛ Nm2 = 1,42 · 10y Nm2 = 1,42 bar Gl. 5-10

Wenn die freie Oberfläche eine beliebig gekrümmte Form annimmt, ist in Gl. 5-9 der Radius 0 durch den mittleren Krümmungsradius 0Ä

cÕÝ = cÕ� + cÕ� Gl. 5-11

zu ersetzen. Dabei sind 0c und 0| die lokalen Hauptkrümmungsradien. Diesen

Zusammenhang stellt Abb. 5-6 dar. Die Radien 0c und 0| gehören zu den Schnittkurven der

Oberfläche mit zwei zueinander senkrechten Ebenen. Wie in Abb. 5-6 zu erkennen ist, gilt:

�2c = 0c · �Nc �2| = 0| · �N| Gl. 5-12

Für die Beträge der Kräfte ergibt sich:

��Ô = Δ( · �2c · �2| ��Òc = L · �2c · �N| = ÒÕ� · �2c · �2|

��Ò| = L · �2| · �Nc = ÒÕ� · �2c · �2|

Gl. 5-13


5-6

•

•

•

•

dϕ1

dϕ2

pi ds1ds2

σds1

σds2

σds1σds2 ds2 ds1

pa ds1ds2

r1r2

Abb. 5-6: Gleichgewichtsbetrachtung für ein beliebig

gekrümmtes Oberflächenelement

Die Gleichgewichtsbetrachtung

��Ô + ��Òc + ��Ò| = 0 Gl. 5-14

führt zu

Δ( = L · j cÕ� + cÕ�l Gl. 5-15

Zur korrekten Interpretation dieser Beziehung sei erwähnt, dass 0c und 0| auch negative

Werte annehmen können. Haben also 0c und 0| unterschiedliche Vorzeichen, so ist die

Krümmung in den beiden Richtungen 1 und 2 entgegengesetzt. Für den in Abb. 5-6

dargestellten Tropfen gilt 0c = 0| = 0 und somit

cÕÝ = |Õ Gl. 5-16

Ohne Herleitung sei hier nun ein Ergebnis aus der Differentialgeometrie mitgeteilt, das

erlaubt, den mittleren Krümmungsradius einer beliebig gekrümmten Oberfläche ?d=, >e zu

beschreiben (vgl. Abb. 5-6):

cÕÝ = Þ�ßÞà�·ácâjÞßÞãl�ä�|·ÞßÞà·ÞßÞã·Þ�ßÞã�·ácâjÞßÞàl�ä

|·ácâjÞßÞàl�âjÞßÞãl�äÚ� Gl. 5-17

Die bisher gegebenen Erörterungen gelten nicht nur für freie Oberflächen (Grenzfläche

Gas/Flüssigkeit), sondern auch für solche Grenzflächen, die von zwei nicht mischbaren

Flüssigkeiten gebildet werden.


5-7

Im Hinblick auf Fluidsysteme im Bereich der Bio- und Lebensmitteltechnologie spielen kleine

Tröpfchen in Flüssigkeitsmatrizen eine wichtige Rolle. So liegen vielfach Emulsionen vor, d. h.

Flüssig-Flüssig-Systeme, bestehend aus sehr kleinen Tröpfchen in einer Flüssigkeitsmatrix.

Beispielsweise weisen die sich in der Milch befindlichen Fetttröpfchen Größenordnungen

von etwa 10�² m auf.

Wenn die Dichte der emulgierten Tröpfchen sich nur insignifikant von derjenigen der

Flüssigkeitsmatrix unterscheidet, nehmen die Tröpfchen die Kugelgestalt an. Diese Aussage

gilt nicht nur für kleine Tröpfchen, sondern auch für beliebige Volumina der dispergierten

Phase.

Im Abschn. 5.2 wurde vom Erfahrungswissen Gebrauch gemacht, da Flüssigkeiten gegenüber

Gasen eine freie Oberfläche bilden. Nichtmischbare Flüssigkeiten bilden indessen eine

Grenzfläche (vgl. Abb. 5-7). Demgegenüber vermischen sich unterschiedliche Gase

vollständig.

Abb. 5-7: Freie Oberfläche und Flüssigkeitsgrenzfläche

Flüssigkeiten und Gase weisen in Abwesenheit einer Beschleunigung ein weiteres,

prägnantes Unterscheidungsmerkmal auf: Das Raumfüllvermögen. Während ein Gas (oder

eine Gasmischung) stets den ganzen ihm zur Verfügung stehenden Raum ausfüllt, bildet die

Flüssigkeit eine Schichtung in Richtung der Beschleunigung bzw. füllt den Raum nur partiell

aus. Die Anwesenheit der Erdbeschleunigung führt dazu, dass die Existenz solcher

Schichtungen eine geläufige Erfahrung darstellt (vgl. Abb. 5-8).

Auch das unterschiedliche Raumfüllvermögen lässt sich in den verschieden starken

intramolekularen Kräften in der Flüssigkeit und im Gas begründen. Die Adhäsion, die einen

Ausdruck molekularer Wechselwirkungen zwischen Flüssigkeit und Festkörper darstellt,

führt indessen makroskopisch zur Bildung eines sogenannten Benetzungswinkels, vgl. Abb.

5-9. Vollständige Benetzung ist durch den Winkel { = 0° charakterisiert. Nichtbenetzung

liegt dann vor, wenn { = 180° ist.

Gas

Flüssigkeit Flüssigkeit A

Flüssigkeit B


5-8

Flüssigkeit

Gas

Gas

Abb. 5-8: Das Raumfüllvermögen als

Unterscheidungsmerkmal von Flüssigkeiten und

Gasen

x

z

α Oberfläche

x0

dx

dz

xfz

oxx=

=

=

αcot

)(

Abb. 5-9: Die Benetzung von Festkörpern als

weiteres Charakteristikum einer Flüssigkeit


5-9

5.3 Kapillareffekte in der Fluidstatik

Die Erläuterungen im vorliegenden Abschnitt betreffen die Wirkung von Adhäsions- und

Kohäsionskräften in Fluidsystemen, die durch : = 0 charakterisiert werden.

Befindet sich nun ein Fluid im Zustand der Ruhe, so können sich die Benetzungs- und

Oberflächenspannungskräfte nur auf die einzige nicht verschwindende Spannung auswirken,

d. h. auf die Normalspannung bzw. auf den Druck. Dies wurde bereits bei der Herleitung der

Druckerhöhung im Inneren eines Tropfens diskutiert.

Der Einfachheit halber wurde bisher die Wirkung der Gravitationskraft und somit die

Existenz der hydrostatischen Druckverteilung vernachlässigt. Eine solche Vernachlässigung

ist an sich nur dann zulässig, wenn die Größe der Gravitationskraft viel geringer ist als

diejenige der Kapillarkraft �Ò. Diese Aussage gilt für beliebige Flüssigkeitsgeometrien. Es

erweist sich aber als sehr instruktiv, zu ermitteln, ab welcher Größenordnung des

Durchmessers eines Tropfens die hydrostatische Druckverteilung zu einer signifikanten

Änderung der Kugelgestalt (0 = 1) führt. Das Verhältnis von Gewichtskraft �©

�© = & · � = ²� · Ó · 1� · K · � Gl. 5-18

und Oberflächenspannungskraft �Ò

�Ò = L · 2 · Ó · 1 Gl. 5-19

ergibt eine dimensionslose Kennzahl, die Bond-Zahl WX:

WX = �å�æ = |� · p�·g·ÀÒ Gl. 5-20

Definitionsgemäß bilanziert sie das Verhältnis von Gravitations- und

Grenzflächenspannungskraft. Dominanz der Kohäsionskraft liegt dann vor, wenn WX ≪ 1.

Hierfür lässt sich auch schreiben (der Faktor WX lässt sich bei dieser

Größenordnungsbetrachtung vernachlässigen):

1�| = Òg·À Gl. 5-21

bzw. wegen 1� > 0

1� = ç Òg·À Gl. 5-22

In Tab. 5-1 ist 1� für verschiedene Medien dargestellt.


5-10

Tab. 5-1: Abschätzung zur Vernachlässigung der

hydrostatischen Druckverteilung in Tropfen

Medium L �10�� N m⁄ � K �kg m3⁄ � 1� �10�� m�

Wasser 71 1000 2,7

Quecksilber 484 13 600 1,9

Öl 15 900 1,3

Wie Tab. 5-1 zeigt, lässt sich die hydrostatische Druckverteilung für die typischen

Lebensmittelinhaltsstoffe Wasser und Öl nur bei freien Tropfen und sehr kleinen Radien

vernachlässigen. Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass nur bei sehr kleinen Werten von 0 d< 1 mme die Abweichung von der Kugelgestalt hinreichend klein ausfällt.

Der Vollständigkeit halber sei darauf hingewiesen, dass bei Emulsionen die Dichtedifferenz

der dispergierten und kontinuierlichen Flüssigkeit in die Bond-Zahl eingeht. Darüber hinaus

muss die Grenzflächenspannung L eingesetzt werden. Liegen andere Beschleunigungen vor,

so muss � entsprechend ersetzt werden.

Wird das Volumen des betrachteten Tropfens bzw. der studierten Flüssigkeit hinreichend

groß gewählt, so überwiegt die Gravitationswirkung. Dies drückt sich darin aus, dass die freie

Oberfläche eine Ebene senkrecht zur Wirkrichtung von � bildet, vgl. auch Abb. 5-8.

Die Kohäsion führt indessen zu einer Auslenkung der Oberfläche in der Nähe der festen

Berandung auch dann, wenn das betrachtete Flüssigkeitsvolumen eine sehr große

Ausdehnung besitzt, vgl. Abb. 5-8. Bei kleiner Größenordnung der typischen Abmessungen

des betrachteten Flüssigkeitsvolumens dominieren hingegen die Benetzungs- und

Oberflächenspannungskräfte weitgehend, sodass die gesamte Oberfläche (gegebenenfalls

Grenzfläche) signifikant gekrümmt ist. Aus den im Abschn. 5.2 vorgestellten Überlegungen

lässt sich für diesen Fall schlussfolgern, dass in der Flüssigkeit ein Druck vorherrscht, der sich

von der Umgebung unterscheidet.

In der Tat liegt ein solcher Zustand etwa in dünnen Kapillaren vor, siehe Abb. 5-10 vor. Der

beim Eintauchen einer Kapillare in eine Flüssigkeit beobachtete Aufstieg (Aszension) oder

Abstieg (Depression) der Flüssigkeitsoberfläche erweist sich als so charakteristisch für die

Wirkung der Kohäsions- und Adhäsionskräfte, dass man häufig auch von Kapillarkräften

spricht.


5-11

Rα

hpu

po

d

Abb. 5-10: Die Benetzung von Festkörpern als

weiteres Charakteristikum einer

Flüssigkeit

Die Berechnung der Kapillarhebung erfordert folgende Überlegung:

Ursache für den Aufstieg ist der durch die Oberflächenspannung induzierte Unterdruck (�,

wobei bei sphärischer Oberfläche (WX ≪ 1) gilt:

(� = (� + K · � · ℎ Gl. 5-23

Aus der Geometrie ergibt sich der Zusammenhang

n| = 1 · cos { bzw. 1 = n|·èéê ë Gl. 5-24

Zusammenfassend lässt sich für die Kapillarhebung ℎÄ schreiben:

ℎÄ = ²·Ò·èéê ën·g·À Gl. 5-25

Das in Abb. 5-10 gezeigte Beispiel setzt stillschweigend benetzende Eigenschaften der

Flüssigkeit voraus (0° < { < 90°). Für den Fall vollständiger Benetzung { = 0°) nimmt cos {

den Wert von eins an. Bei nichtbenetzenden Flüssigkeits-Festkörpersystemen

(Quecksilber/Gas) werden die Werte für cos { und mit ihm ℎÄ negativ. Dies bedingt bei der

Kapillardepression einen Überdruck in der Kapillare.

Beispiel: Verfälschung der Anzeige eines Manometers durch Kapillarkräfte

Ohne Kapillarwirkung:

ℎc∗ = ��g·À Gl. 5-26

Mit Kapillarwirkung (ℎÄ – Kapillarhebung bei (| = (c):

ℎc∗ = ℎc + ²·Ò·èéê ën·g·À = ℎc + ℎÄ Gl. 5-27


5-12

¢�∗¢� = 1 + ¢Ý¢� = 1 + ²·Ò·èéê ën·d��e

Mit den folgenden Werten, { = 0°, � = 10�� m, K = 10� kg/m3, L = 70 · 10� N/m, (|– (c = 1000 Pa, ergibt sich der Fehler zu

¢�∗¢� = 1,28, d. h. 28 % Fehler Gl. 5-28

Möchte man sicherstellen, dass der durch die Kapillarkräfte bedingte Fehler gering ausfällt,

so muss der Durchmesser � der Ablesekapillare hinreichend groß gewählt werden. Dies

bedeutet, dass die mit � als charakteristische Länge definierte Bond-Zahl WX sehr viel größer

als eins sein muss. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich eine freie Oberfläche, die im

Wesentlichen nur in unmittelbarer Nähe der Wand gekrümmt ist.

Im Bereich der Lebensmittel- und Biotechnologie gibt es zahlreiche Vorgänge, bei denen

Kapillarkräfte mit der hydrostatischen Druckverteilung wechselwirken. Beispiele hierzu

werden in der Vorlesung besprochen.

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 6 Massenerhaltung

6-1

6 Massenerhaltung

Schon in der Einführung wird darauf hingewiesen, dass sich die Fluidstatik als Spezialfall

bewegter Fluide ansehen lässt, bei dem die kinematische Restriktion

: = :d=, >, ?e = {5, 7, >} = 0 Gl. 6-1

gilt. Beim Studium des Bewegungsverhaltens homogener Fluide interessieren uns der

Geschwindigkeitsvektor :, der Druck ( und gegebenenfalls die Temperatur 4. Hier wird in

einer eindimensionalen Form die Kontinuitätsgleichung erklärt.

Stromröhre

u1

u2

A1 1,ρ

A2 2,ρ

Abb. 6-1: Massenbilanz an einer

Stromröhre

Die Größen :c, Kc, :| und K| stellen geeignete Mittelwerte über die Querschnitte d1e und d2e dar. Über den Mantel der Stromröhre kann keine Masse fließen. Die Massenerhaltung

fordert für den Massenstrom

K · : · � = konst. bzw. &� = Kc · :c · �c = K| · :| · �| Gl. 6-2

Bei dichtebeständigen, d. h. inkompressiblen, Medien ist K = konst. In diesem Fall nimmt

der Volumenstrom 9� = : · � einen konstanten Wert an. Wie Tab. 6-1 zeigt, liegt bei

konstanter Fläche � ein konstanter Volumenstrom bzw. eine konstante Massenstromdichte

vor.

Aus didaktischen Erwägungen sei hier noch folgendes illustriert:

Volumenstrom 9� = �9 �3⁄ bzw. Massenstrom 9� = �9 �3⁄ wie Abb. 6-2 veranschaulicht,

tritt in die Stromröhre im Zeitintervall �3 das Volumen �9c = �c · :c · �3 ein. Bei der oben

durchgeführten Herleitung der Kontinuitätsgleichung stellt der Volumenstrom

(Massenstrom) 9� d&� e demgemäß nichts anderes dar, als dasjenige Volumen, (diejenige

Masse), das durch die Fläche �c pro Zeiteinheit �3 hindurchgeht.

Kompression: Die Kompression eines Mediums führt zwar zu einer zeitlichen Änderung des

eingeschlossenen Volumens 9, es findet aber kein Massentransport statt.

W2 W1


6-2

Tab. 6-1: Formulierungen der Kontinuitätsgleichung (Geschwindigkeit :)

kompressibel (Gase) K ≠ konst. inkompressibel K = konst.

� ≠ konst. K · : · � = konst. K · 9� = &� = konst. : · � = konst. 9� = konst.

Massenstrom = konst. Volumenstrom = konst. ⇓ Massenstrom = konst.

� = konst. K · : = konst. Massenstromdichte = konst.

: = konst. Volumenstromdichte = konst.

Abb. 6-2: Volumenstrom und zeitliche Volumenänderung

Für kompressible Fluide (K ≠ konst.) bei veränderlichem Querschnitt gilt:

&� = K · : ⋅ � = konst. Gl. 6-3

Für inkompressible Fluide (K = konst.) gilt:

9� = : ⋅ � = konst. Gl. 6-4

w1dt

wK

wKd

t


6-3

Obige Gleichungen gelten für veränderlichen Querschnitt (� ≠ konst.) der Stromröhre.

Bei konstantem Querschnitt (� = konst.) der Stromröhre gilt:

• Für ein kompressibles Fluid

Kc ⋅ :c ⋅ �c = K| ⋅ :| ⋅ �| Gl. 6-5

K ⋅ : = konst. Gl. 6-6

• Für ein inkompressibles Fluid

:c ⋅ �c = :| ⋅ �| Gl. 6-7

: = konst. Gl. 6-8

Die Geschwindigkeit : trifft senkrecht auf der Fläche � auf!

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 7 Energiesatz (1. HS)

7-1

7 Energiesatz (1. HS)

7.1 Allgemeiner Energiesatz

Energiesatz bedeutet Energiebilanz. Energiebilanz bedeutet Gleichgewicht.

Abb. 7-1: Energiebilanz für eine Stromröhre

1, 2 – Querschnitte (Orte), für die eine Energiebilanz aufgestellt wird

'ï – Mechanische Leistung einer Pumpe oder Energie pro Zeit

Annahmen:

• Stationäre Strömung (zeitunabhängig)

• Inkompressible Strömung (K = konst.) • Reibungsbehaftete Strömung (N ≠ 0e

Die gesamte Energie besteht aus:

dem kinetischen Energiestrom (Bewegungsenergie)

��Ä�° = c| ⋅ &� ⋅ :| Gl. 7-1

dem Druckenergiestrom (Druckenergie)

��ÔÕ�ºÄ = f�g ⋅ ( = 9� ⋅ ( Gl. 7-2


7-2

dem Höhenenergiestrom (Lageenergie) – zwischen den Zuständen 1 und 2 besteht ein

Höhenunterschied (Leistung eines Kraftfeldes �)

��ðö¢ò = &� ⋅ � ⋅ ? Gl. 7-3

der Reibungsenergie (als aufgespeicherte Wärme)

/� = &� ⋅ �� ⋅ Δ4 Gl. 7-4

�� ⋅ Δ4 = N

N �m2 s2⁄ � – spezifische technische Dissipation (Reibungsverluste)

�� J dkg Ke⁄ � – Wärmekapazität (die Wärme, die zur Erwärmung von 1 kg eines Stoffes um 1 K erforderlich ist)

dem zu- oder abgeführten Energiestrom (mechanische Leistung)

'ï = &� ⋅ :; Gl. 7-5

:; �m2 s2⁄ � – spezifische technische Arbeit. Über die Arbeitsmaschine (z. B. Pumpe) oder

eine Kraftmaschine (z. B. Turbine) kann dem Volumen Arbeit zu- oder aus

ihm abgeführt werden.

Vorzeichenregelung:

• Pumpe – plus (+), da dem Fluid (Volumen) Energie zugeführt wird

• Turbine – minus (�), da aus dem Fluid Energie abgeführt wird

Aus dem Energieerhaltungssatz

��Ä�° + ��ÔÕ�ºÄ + ��ðö¢ò + /� + 'ï = konst. Gl. 7-6

Die Energiegleichung (Energiebilanz) von (1) nach (2) (1 → 2 oder andere Indizes wie ¯ → ó,

jeder Index für einen beliebigen Ort in der Stromröhre) wird definiert zu:

��Ä�°,c + ��ÔÕ�ºÄ,c + ��ðö¢ò,c � 'ï = ��Ä�°,| + ��ÔÕ�ºÄ,| + ��ðö¢ò,| + /� Gl. 7-7

und somit mit konstantem Massenstrom zu:

f�| ⋅ :c| + f�g ⋅ (c + &� ⋅ � ⋅ ?c � &� ⋅ :; = f�| ⋅ :|| + f�g ⋅ (| + &� ⋅ � ⋅ ?| + &� ⋅ N Gl. 7-8


7-3

7.2 Inkompressible reibungslose Strömung (Bernoulli-Gleichung)

7.2.1 Geschwindigkeits-, Druck-, Höhenform

f�| ⋅ :c| + f�g ⋅ (c + &� ⋅ � ⋅ ?c � &� ⋅ :; = f�| ⋅ :|| + f�g ⋅ (| + &� ⋅ � ⋅ ?| + &� ⋅ N (Gl. 7-8)

Mit den Annahmen:

:;,c| = 0 N = �� ⋅ Δ4 = 0 K = konst. 4 = konst. ergibt sich die vereinfachte Form:

f�| ⋅ :c| + f�g ⋅ (c + &� ⋅ � ⋅ ?c = f�| ⋅ :|| + f�g ⋅ (| + &� ⋅ � ⋅ ?| Gl. 7-9

Daraus werden die verschiedenen Formen der Bernoulli-Gleichung hergeleitet.

a) Geschwindigkeitsform – Gl. 7-9, geteilt durch den Massenstrom &�

��| + �g + � ⋅ ?c = ��| + �g + � ⋅ ?| Gl. 7-10

kinetische

Energie

Druckenergie potentielle Energie

b) Druckform – Gl. 7-10, multipliziert mit der Dichte K

K ⋅ ��| + (c + K ⋅ � ⋅ ?c = K ⋅ ��| + (| + K ⋅ � ⋅ ?| Gl. 7-11

dynamischer

Druck

statischer Druck geodätischer Druck

c) Höhenform – Gl. 7-11, geteilt durch die Schwerebeschleunigung (Erdbeschleunigung) �

und durch die Dichte a

��|⋅À +

�g⋅À + ?c = ��|⋅À + �g⋅À + ?| Gl. 7-12

Geschwindig-

keitshöhe

Druckhöhe geodätische Höhe

Entsprechend dem Energiesatz:

��|⋅À + g⋅À + ? = konst. Gl. 7-13

ist die Summe aus

• der Geschwindigkeitshöhe ��|⋅À,

• der Druckhöhe g⋅À und

• der geodätischen Höhe ?

konstant.


7-4

In Manometerröhren (siehe Abb. 7-2) wird die Druckhöhe an der jeweiligen Anschlussstelle

angezeigt. Die Differenz zwischen der Flüssigkeitshöhe in der Manometerröhre und der

Flüssigkeitsoberfläche im Behälter ist gleich der Geschwindigkeitshöhe :| d2�e⁄ .

Abb. 7-2: Reibungslose Rohrströmung

Daraus kann die Geschwindigkeit an der Anschlussstelle berechnet werden. Aus dem Beispiel

in Abb. 7-2 ist ersichtlich, dass :� < :| und :| = :c ist. Aus : ⋅ � = konst. ergibt sich

:c ⋅ �c = :| ⋅ �| ⇒ :c = :|

:| ⋅ �| = :� ⋅ �� ⇒ :� = :| ⋅ ��Ú, da �� > �| ⇒ :� < :|

7.2.2 Anwendung der Energie-Gleichung

7.2.2.1 Bernoulli-Gleichung ohne Höhenglied

Bei annähernd horizontalen Flüssigkeitsströmungen und bei Gasströmungen kann das

Höhenglied fast immer vernachlässigt werden, d. h. ? = 0.

Die Bernoulli-Gleichung ohne Höhenglied lautet:

K ��| + (c = K ��| + (| = konst. Gl. 7-14


7-5

Der dynamische Druck . (Staudruck):

. = K ��| �Pa� Gl. 7-15

Der Gesamtdruck (Àò%

(Àò% = K ��| + ( �Pa� Gl. 7-16

Damit lautet die Bernoulli-Gleichung ohne Höhenglied:

(Àò% = . + ( = konst. Gl. 7-17

7.2.2.2 Ausflussformel nach Torricelli

Abb. 7-3: Ausflussformel nach Torricelli

Gegeben sei ein oben offenes (weites!) Gefäß mit einer Öffnung am unteren Ende, aus dem

reibungslos Flüssigkeit in die Umgebung ausströmt. Die Bernoulli-Gleichung in Energieform

dazu lautet:

0 + ôg + � ⋅ ?c = ��| + ôg + � ⋅ ?| Gl. 7-18

�c ≫ �| (weites Gefäß) ⇒ :c = 0 Gl. 7-19

��| = � ⋅ d?c � ?|e = � ⋅ ℎ Gl. 7-20

:| = õ2 ⋅ � ⋅ ℎ Gl. 7-21


7-6

Die Ausflussgeschwindigkeit hängt nur von der Höhendifferenz ℎ und nicht von der

Ausflussrichtung ab. In Abb. 7-4 ist die Geschwindigkeit :| in allen drei Fällen gleich. Die

Dichte hat hier ebenfalls keinen Einfluss.

Die Ausflussformel von Torricelli gilt nur für ö = konst. → d÷~ � ÷�e = konst. Wenn ℎ ≠ konst. ist, liegt ein instationärer Ausflussvorgang vor.

Abb. 7-4: Ausfluss von Flüssigkeiten aus verschiedenen Gefäßen

7.2.2.3 Druck im Staupunkt

Abb. 7-5: Druck im Staupunkt

Beim Auftreffen einer Strömung auf ein freies Hindernis entsteht der Staupunkt. Gesucht ist

der Druck im Staupunkt (:| = 0).

Da ?c = ?|, ist hierfür die Bernoulli-Gleichung für horizontale Strömungen ohne Höhenglied

geeignet.

ø| ⋅ :ù| + (ù = 0 + (ú = (Àò% Gl. 7-22

Der dynamische Druck ûüýþ ist nicht der Druck im Staupunkt.

Der Druck im Staupunkt � (in Abb. 7-5 d2e) ist gleich dem Gesamtdruck: û� = û¸��.


7-7

Beispiel: Wind gegen eine Wand

Bei einer Windgeschwindigkeit von 7 = 100 km/h ergibt sich mit a¡ = 1,2 kg m3⁄ ein

Staudruck von

. = (nÃ° = g�⋅��| = 464 Nm2 Gl. 7-23

Die daraus entstehende Kraft �

� = (nÃ° ⋅ � Gl. 7-24

muss beim Entwurf von Häusern als Windlast berücksichtigt werden.

Man unterscheidet STAUDRUCK (dynamischer Druck) und DRUCK IM STAUPUNKT!

Für den Stromfaden im weit stromaufwärts gelegenen Punkt d1e (siehe Abb. 7-5) gilt:

Umgebungsdruck = (ù

Geschwindigkeit = :ù

:ù bedeutet nicht : = ∞, sondern : ist weit entfernt vom Objekt. Gleiches gilt für den

Druck (ù.

Dieser Zusammenhang erlaubt es, die Messung der Anströmgeschwindigkeit eines Körpers

auf eine Druckmessung zurückzuführen. Das geschieht mit zwei Sonden, dem Pitot-Rohr und

dem Prandtl-Rohr.

7.2.2.4 Pitot–Rohr (Staudrucksonde) in einer Strömung

Die Messung des Gesamtdruckes (Druck im Staupunkt) erfolgt mit einer Sonde, die sich im

strömenden Fluid befindet und deren Öffnung entgegen der Strömungsrichtung gewandt ist

(siehe Abb. 7-6). Die Öffnung ist über eine Messleitung (Röhrchen, Schlauch) mit einem

Messgerät verbunden. In der Messleitung selbst strömt kein Fluid. Ausschließlich der Druck

wird, sofern stationär, verlustfrei bis zum Messgerät übertragen.

Obgleich der deutsche Fachausdruck Staudrucksonde für das Pitot-Rohr ist, wird damit der

Druck im Staupunkt und nicht der Staudruck (dynamischer Druck) gemessen.

Das Messgerät ist entweder ein Barometer, womit der Staudruck als Absolutdruck (Àò%

gemessen wird, oder es handelt sich um ein Manometer, mit dem die Druckdifferenz zu

dessen Umgebung Δ(Àò%, (Ü,Àò%, (¬,Àò% gemessen wird.


7-8

Abb. 7-6: Pitot-Rohr zur Messung des Gesamtdrucks einer Strömung, links als einfaches

Pitot-Rohr, rechts ummantelt, um Schräganströmung zu verhindern, die das

Messergebnis stören könnte

Eine nach Henri Pitot benannte Sonde, die nach dem beschriebenen Prinzip funktioniert ist

das Pitot-Rohr. Durch einen Außenmantel um das eigentliche Pitot-Rohr herum entsteht ein

ummanteltes Pitot-Rohr, das eine geringe Empfindlichkeit gegenüber Schräganströmung

aufweist. Die ummantelte Variante wird häufig in der Luftfahrt zur indirekten Bestimmung

der Fluggeschwindigkeit (Fahrt durch die Luft, Airspeed) aus dem Druck im Staupunkt

verwendet.

7.2.2.5 Statische Druckmessung in einer Strömung

Abb. 7-7: Wandbohrung zur Messung des statischen Drucks, hier in Kombination mit

einem Pitot-Rohr


7-9

Eine echte statische Druckmessung kann nur durch eine mit dem Fluid mitbewegte Sonde

erfolgen, was in der Praxis jedoch schwierig bis unmöglich ist.

Eine ausreichend genaue Messung erfolgt daher mit einer senkrecht zur Strömungsrichtung

angebrachten Wandbohrung (siehe Abb. 7-7) in einer Rohrströmung oder mittels einer

statischen Sonde, die eine oder mehrere Bohrungen, ebenfalls senkrecht zur

Strömungsrichtung an ihrem Mantel aufweist (siehe Abb. 7-8).

In Kombination mit einem Pitot-Rohr können der statische Druck und der Gesamtdruck

gleichzeitig an der gleichen Stelle gemessen werden (Abb. 7-7).

Abb. 7-8: Statische Sonde in einer Rohrströmung

7.2.2.6 Prandtl-Rohr (Prandtl-Sonde) in einer Strömung

Während mit dem Pitot-Rohr der Gesamtdruck (Àò% und mit der Wandbohrung bzw. der

statischen Sonde der statische Druck (%;�; gemessen wird, ermöglicht eine Kombination

beider Messergebnisse die Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit :, wenn die Dichte a

des Fluids bekannt ist.

Aus der Bernoulli-Gleichung in der Druckform

(Àò% = (nÃ° + (%;�; = K ��| + (%;�; (Gl. 7-16)

geht hervor, dass die Strömungsgeschwindigkeit : aus der Differenz von Gesamtdruck und

dynamischem Druck berechnet werden kann:

(nÃ° = K ��| = (Àò% � (%;�; Gl. 7-25


7-10

Die Geschwindigkeit : ergibt sich somit unter Kenntnis über die Fluiddichte a aus:

: = ç2 ��q�qø = ç|g (nÃ° Gl. 7-26

Abb. 7-9 zeigt eine Messanordnung für die Bestimmung der einzelnen Drücke. Mithilfe einer

nach Ludwig Prandtl benannten kombinierten Sonde, dem Prandtl-Rohr bzw. der Prandtl-

Sonde können sowohl beide Messungen (statisch und gesamt) einzeln als auch direkt als

Differenz durchgeführt werden.

Abb. 7-9: Prandtl-Rohr zur Messung von Gesamtdruck und statischem Druck sowie

Temperaturfühler für Gesamttemperatur und statische Temperatur in einer

Rohrströmung

Die Prandtl-Sonde besteht aus zwei konzentrisch angeordneten Röhrchen die wie das Pitot-

Rohr in das strömende Fluid hineinragen und entgegen der Strömung ausgerichtet sind. Das

innen liegende Röhrchen leitet den Druck im Staupunkt, also den Gesamtdruck, ans

Messgerät weiter. Das Innere Röhrchen ist von einem Mantel umgeben, der gegen das

innere Röhrchen abgedichtet ist. Der Mantel enthält eine oder mehrere Bohrungen, die

senkrecht zur Strömung ausgerichtet sind. Mit diesen Bohrungen wird somit der statischen

Druck gemessen.

Werden beide Messröhrchen über ein Manometer zusammengeschaltet, misst das

Manometer die Differenz (Àò% � (%;�; direkt (siehe Abb. 7-9), was genau den dynamischen

Druck (nÃ° = K ��| darstellt.


7-11

Die Prandtl-Sonde wird häufig in der Luftfahrt zur Bestimmung der Fluggeschwindigkeit

verwendet. Für die korrekte Geschwindigkeitsanzeige muss das Messergebnis noch

entsprechend der herrschenden Temperatur korrigiert werden, dass die Luftdichte unter

anderem von der Temperatur abhängt.

7.2.2.7 Venturi-Düse

Für die verlustfreie Bestimmung des Massenstroms &� , des Volumenstroms 9� oder nur der

Geschwindigkeit : in einer Rohrströmung eignet sich eine als Venturi-Düse bezeichnete

Anordnung (benannt nach Giovanni Battista Venturi, siehe Abb. 7-10).

Abb. 7-10: Venturi-Düse zur Bestimmung des Volumenstroms, des Massenstroms oder der

Strömungsgeschwindigkeit durch Messung von zwei statischen Drücken an

verschiedenen Stellen mit verschiedenen Strömungsquerschnitten

Die Venturi-Düse besteht aus einem sich verjüngenden und stromabwärts wieder

erweiternden Teil. Sie eignet sich aufgrund fehlender Einbauten wie bei Pitot- oder Prandtl-

Sonden in der Praxis auch für verunreinigte Fluide.

Für inkompressible Fluide gilt nach der Kontinuitätsgleichung:

9� = konst. = :c ⋅ �c = :| ⋅ �| Gl. 7-27

Die Bernoulli-Gleichung in der Druckform wird für die Venturi-Düse wie folgt aufgestellt:

K ��| + (c = K ��| + (| Gl. 7-28


7-12

Die Messung mit der Venturi-Düse ergibt entweder die statischen Einzeldrücke (c und (|

oder direkt über ein Manometer die Druckdifferenz Δ(c|

Δ(c| = (| � (c Gl. 7-29

Aus der Kontinuitätsgleich nach Gl. 7-27 wird für die Geschwindigkeit :|

:| = :c ⋅ �� Gl. 7-30

in die Bernoulli-Gleichung (Gl. 7-28) eingesetzt und ergibt:

K ��| + (c = K ��| ⋅ �� + (| Gl. 7-31

Aufgelöst nach der gemessenen Druckdifferenz, schreibt man

Δ(c| = (| � (c = g| j:c| � :c| ��l = K ��| ⋅ j1 � ��l Gl. 7-32

Für die Strömungsgeschwindigkeit :c im nicht verengten Rohrabschnitten vor und hinter

der Venturidüse ergibt sich damit

:c = �|g ⋅ ��c� ��

= �|g ⋅ ��c� ��

Gl. 7-33

und damit der Volumenstrom

9� = :c ⋅ �c = �|g ⋅ ��c� ��

⋅ �c Gl. 7-34


7-13

7.3 Inkompressible reibungslose Strömung mit Energiezufuhr

7.3.1 Spezifische Stutzenarbeit

Zwischen dem Eintritts- und Austrittsstutzen einer Strömungsmaschine kann dem Volumen

(strömendes Fluid) spezifische technische Arbeit :; zugeführt (Pumpe, Arbeitsmaschine)

oder entzogen (Turbine, Hydromotor, Kraftmaschine) werden. Anstelle dieser spezifischen

technischen Arbeit :; wird bei den Strömungsmaschinen die spezifische Stutzenarbeit �

verwendet. Der Betrag der Stutzenarbeit ist immer positiv.

Energiezufuhr (dem strömenden Fluid zugeführt):

Die Energiezufuhr erfolgt von der Maschine zum Fluid. Dies geschieht mit einer

Arbeitsmaschine, z. B. mit einer Pumpe oder einem Ventilator. Die Saugseite erhält den

Index d1e, die Druckseite den Index d2e. Die spezifische Stutzenarbeit � ist gleich der

spezifischen technischen Arbeit :;:

� = :; �f�%� ; �ÄÀ Gl. 7-35

Energieentnahme (dem strömenden Fluid entzogen):

Die Energieabfuhr bzw. die Entnahme von Energie erfolgt vom Fluid zur Kraftmaschine, z. B.

Turbine oder Hydraulikmotor. Laut Vorzeichenregel ist der Betrag der spezifischen

technischen Arbeit bei einer Kraftmaschine negativ (da dem Fluid Arbeit entnommen wird).

� = �:; �f�%� ; �ÄÀ Gl. 7-36

7.3.2 Arbeitsmaschinen in der Rohrströmung (Pumpe)

In Abb. 7-11 ist ein Teil einer Rohrleitung konstanten Durchmessers � dargestellt. Eine

Pumpe fördert Flüssigkeit über einen Höhenunterschied�. Es sollen keine Reibungsverluste

auftreten. Durch die Arbeit der Pumpe entsteht die Druckdifferenz Δ(c| von 1 → 2:

Δ(c| = (| � (c Gl. 7-37

Spezifische Stutzenarbeit und Leistung der Pumpe

Die Energiegleichung lautet:

Pumpeneintritt + Energieufuhr = Pumpenaustritt Gl. 7-38

Die Bernoulli-Gleichung in der Geschwindigkeitsform für die Pumpe (Arbeitsmaschine)

zwischen dem Eintrittsstutzen d1e und dem Austrittsstutzen d2e lautet somit:


7-14

��| + �g + � ⋅ ?c + :;c| = ��| + �g + � ⋅ ?| Gl. 7-39

Mit dem konstanten Strömungsquerschnitt gilt für die Strömungsgeschwindigkeit

:c = :| = konst. Gl. 7-40

und aufgrund der konstanten geodätischen Höhe ? von Pumpenein- und -austritt:

?c = ?| = konst. Gl. 7-41

vereinfacht sich Gl. 7-39 zu:

�g + :;c| = �g Gl. 7-42

Gl. 7-42, aufgelöst nach der spezifischen technischen Arbeit :;c|, lautet:

:;c| = ��g Gl. 7-43

Abb. 7-11: Pumpe in einer Rohrströmung mit dem

Eintrittsstutzen d1e, dem Austrittsstutzen d2e und

einer weiteren Stelle weiter stromabwärts in der

Rohrleitung mit konstantem Strömungsquerschnitt

Die spezifische Stutzenarbeit � ist dann ebenfalls


7-15

� = :;c| = ��g Gl. 7-44

Die ins Fluid übertragene Leitung 'ï ist das Produkt aus spezifischer Stutzenarbeit und

Fluidmassenstrom &� : 'ï = &� ⋅ :;c| = &� ⋅ � Gl. 7-45

und mit dem Volumenstrom 9� 9� = : ⋅ � Gl. 7-46

'ï = 9� ⋅ K ⋅ � = 9� ⋅ Δ(c| Gl. 7-47

Die Förderhöhe � der Pumpe

Wenn für die in Abb. 7-11 abgebildete Anlage die Förderhöhe bestimmt werden soll mit

:c = :| = :� = konst. und (c = (� Gl. 7-48

schreibt man die Bernoulli-Gleichung zwischen d1e und d3e:

��| + �g + � ⋅ ?c + :;c� = �Ú�| + Úg + � ⋅ ?� Gl. 7-49

Da die Strömungsgeschwindigkeiten und die Drücke jeweils gleich sind, vereinfacht sich Gl.

7-49 zu:

� ⋅ ?c + :;c� = � ⋅ ?� Gl. 7-50

Die spezifische technische Arbeit :;c� ergibt sich damit wie folgt:

:;c� = :;c| = � = � ⋅ d?� � ?ce Gl. 7-51

Dabei ist die Differenz von ?c und ?� die überwundene Höhendifferenz und damit die

Förderhöhe �:

� ⋅ � = � = ��g Gl. 7-52

Zwischen den Stellen d2e und d3e gilt das Gleiche, allerdings sind (| und (� nicht gleich,

denn die Pumpe hat den Druck von d1e nach d2e erhöht:

��| + �g + � ⋅ ?| = �Ú�| + Úg + � ⋅ ?� Gl. 7-53

�g + � ⋅ ?| = Úg + � ⋅ ?� Gl. 7-54


7-16

��g = ��g = � ⋅ d?� � ?|e = � ⋅ � = :;c| Gl. 7-55

Die Förderhöhe ist

� = �À Gl. 7-56

Die Förderhöhe � einer Pumpe ist die geodätische Höhendifferenz, über die sie ein Fluid bei

gleichem Ein- und Austrittsdruck und dergleichen Ein- und Austrittsgeschwindigkeit in

reibungsloser Strömung fördern kann.

Der Wirkungsgrad Í� der Pumpe

Der Wirkungsgrad einer Pumpe ist der Quotient aus der mechanisch ans Fluid übertragenen

Leistung 'ï und Wellenleistung ':

F� = �� = f� ⋅�� = f� ⋅À⋅ð� ≤ 1 Gl. 7-57

und ist kleiner als eins.


7-17

7.3.3 Kraftmaschinen in der Rohrströmung (Turbine)

In Abb. 7-12 ist eine Anlage dargestellt, in der ein inkompressibles Fluid mit konstanter

Geschwindigkeit von der Stelle d1e zum Eintritt d2e einer Turbine gelangt, diese passiert und

über den Austritt d3e verlässt. Die Drücke an den stellen d1e und d3e sind gleich.

Abb. 7-12: Turbine in einer Rohrströmung mit dem

Eintrittsstutzen d2e, dem Austrittsstutzen d3e und einer

weiteren Stelle weiter stromaufwärts in der Rohrleitung

mit konstantem Strömungsquerschnitt

Spezifische Stutzenarbeit und Leistung der Turbine

Die Energiegleichung lautet:

Turbineneintritt � Energieabfuhr = Turbinenaustritt Gl. 7-58

Die Bernoulli-Gleichung in der Geschwindigkeitsform für die Turbine (Kraftmaschine)

zwischen dem Eintrittsstutzen d2e und dem Austrittsstutzen d3e lautet somit:

��| + �g + � ⋅ ?| � :;|� = �Ú�| + Úg + � ⋅ ?� Gl. 7-59

Mit dem konstanten Strömungsquerschnitt gilt für die Strömungsgeschwindigkeit

:c = :| = :� = konst. Gl. 7-60

und aufgrund der konstanten geodätischen Höhe ? von Turbinenein- und -austritt:


7-18

?| = ?� = konst. Gl. 7-61

vereinfacht sich Gl. 7-59 zu:

�g � :;|� = Úg Gl. 7-62

Gl. 7-62, aufgelöst nach der spezifischen technischen Arbeit :;|�, lautet:

:;|� = ��Úg Gl. 7-63

Nach der Vorzeichenregel gilt dann für die spezifische Stutzenarbeit:

� = �:;|� = Ú��g Gl. 7-64

Die vom Fluid entnommene Leitung 'ï ist das Produkt aus spezifischer Stutzenarbeit und

Fluidmassenstrom &� : 'ï = &� ⋅ :;|� = �&� ⋅ � Gl. 7-65

und mit dem Volumenstrom 9� 'ï = �9� ⋅ K ⋅ � = 9� ⋅ Δ(|� Gl. 7-66

Die Fallhöhe � der Turbine

Wenn für die in Abb. 7-12 abgebildete Anlage die Förderhöhe bestimmt werden soll mit

:c = :| = :� = konst. und (c = (� und :;c� = :;|� Gl. 7-67

schreibt man die Bernoulli-Gleichung zwischen d1e und d2e:

�g + � ⋅ d?c � ?|e = �g + � ⋅ � = �g Gl. 7-68

Die Fallhöhe � unter der Schwerebeschleunigung ist bei der gegebenen Anlage (keine

Geschwindigkeitsänderung, keine Druckänderung zwischen oberer Stelle und

Turbinenaustritt) gleich der erzielten spezifischen technischen Arbeit :;|�:

� ⋅ � = :;|� = �� = � ��Úg Gl. 7-69

Die Fallhöhe ist die geodätische Höhendifferenz, die notwendig wäre, um bei gleichem

Eintritts- und Austrittsdruck und dergleichen Ein- und Austrittsgeschwindigkeit in

reibungsloser Strömung die Turbinenleistung 'ï zu erzeugen:

� = ��ÚÀ = � �À Gl. 7-70


7-19

Der Wirkungsgrad ÍÊ der Turbine

Der Wirkungsgrad einer Turbine ist der Quotient aus der Wellenleistung ' und der negativ

mechanisch aus dem Fluid entnommenen (negativen) Leistung �'ï:

FA = � �� = �f� ⋅� = � �f� ⋅À⋅ð ≤ 1 Gl. 7-71

und ist kleiner als eins.


7-20

7.4 Inkompressible reibungsbehaftete Strömung ohne

Energiezufuhr

Inkompressible reibungsbehaftete Strömungen treten in allen realen Anwendungen auf.

Durch die beim Durchströmen auftretende Reibung entstehen Verluste, die sich als

Temperaturzunahme und als Verringerung des Druckes stromabwärts äußern.

Der Druck im Fluid nimmt also ab auf der durchströmten Strecke, während die Wärme in

gleichem Maße (der Energie) zunimmt. Als Verlust wird dieser Zusammenhang der

Druckabnahme und Temperaturzunahme bezeichnet, da dies ein Verlust an der

Arbeitsfähigkeit – den gewöhnlichen Nutzen der Fluidströmung – des Fluids darstellt.

Die aus Abschn. 7.2 bekannte vereinfachte Form der Bernoulli-gleichung (Gl. 7-9) wird um

den Verlustterm erweitert:

f�| ⋅ :c| + f�g ⋅ (c + &� ⋅ � ⋅ ?c = f�| ⋅ :|| + f�g ⋅ (| + &� ⋅ � ⋅ ?| + Verluste Gl. 7-72

Die Druckform lautet

ø| ⋅ :c| + (c + K ⋅ � ⋅ ?c = ø| ⋅ :|| + (| + K ⋅ � ⋅ ?| + Δ(-c| Gl. 7-73

Der Druck (| am Ende der betrachteten Stromröhre ist um den Druckabfall Δ(-c| kleiner als

bei reibungsfreier Strömung. Obige Gl. 7-73, geteilt durch die Dichte a, ergibt:

��| + �g + � ⋅ ?c = ��| + �g + � ⋅ ?| + Nc| Gl. 7-74

mit der spezifischen Dissipation (lat. für „Zerstreuung“) Nc|:

Nc| = ��g Gl. 7-75

Verluste werden in zwei verschiedenen Kategorien klassifiziert:

• Gerades Rohr

• Rohrleitungselemente (Einbauelemente)

Betrachtet wird ein Rohrsystem mit mehreren Abschnitten (siehe Abb. 7-13). Die gesamte

Dissipation NÀò% (oder der gesamte Druckabfall/Druckverlust Δ(-) ist gleich der Summe der

Verluste aller Teilsysteme.

Die in Abb. 7-13 dargestellte Anlage besteht ausfolgenden Teilabschnitten

• Gerade Rohrabschnitte 1c, 1|, 1� mit Hc, H|, H�

• Rohrkrümmer Uc, U| mit E³c, E³|

• Einbauelement Diffusor �c mit EÔ��

• Einbauelement Düse �| mit EÔü%ò


7-21

Abb. 7-13: Rohrströmung mit Pumpe und Einbauelementen

Der Gesamtverlust bei Rohrleitungen mit Übergängen und Rohrreibung resultiert aus der

Summe der einzelnen Elemente:

NÀò% = ∑ H� ⋅ ª�n� ⋅ ��|°�±c + ∑ E� ⋅ ��|°�±c Gl. 7-76

wobei T� die Länge und �� der Durchmesser des jeweiligen Rohrabschnitts sind.

Der Druckverlust ergibt sich aus der Multiplikation von Gl. 7-76 mit der Fluiddichte a:

Δ(Àò% = a ⋅ ∑ H� ⋅ ª�n� ⋅ ��|°�±c + a ⋅ ∑ E� ⋅ ��|°�±c Gl. 7-77

Strömungen können in zwei verschiedenen Formen auftreten. Die eine Form ist die laminare

Strömung, bei der keine sichtbaren Verwirbelungen oder Querströmungen auftreten. Die

andere Form ist die turbulente Strömung mit Verwirbelungen in verschiedenen Größen.

Durch eine bedeutende Ähnlichkeitskennzahl, die Reynolds-Zahl � (siehe Abschn. 10.2),

lässt sich anhand der Dimension und der Strömungsgeschwindigkeit die Strömung als

laminar oder turbulent unterscheiden.

1� = g⋅�⋅nÏ = �⋅n! Gl. 7-78

� ≤ �"�# → laminare Strömung � > �"�# → turbulente Strömung

Für den Verlustbeiwert H gilt bei laminarer Strömung (nur bei laminarer!):

H = Ö²pò (siehe nächsten Abschn. 7.5) Gl. 7-79


7-22

7.5 Reibungsbehaftete Rohrströmung

7.5.1 Druckverlust in Rohrleitungen bei laminarer Strömung

Bei laminarer Rohrströmung lässt sich der Reibungsverlust theoretisch berechnen, was bei

der turbulenten Strömung nicht mehr der Fall ist. In Abb. 7-14 ist eine horizontale

Rohrleitung mit kreisförmigem Querschnitt dargestellt.

Abb. 7-14: Laminare Rohrströmung

Wir betrachten einen von der ausgebildeten Rohrströmung herausgeschnittenen gedachten

Teilzylinder mit dem Radius 0 und der Länge ! und bringen an ihm die Schubspannungen

und Druckkräfte an.

Der Druck nimmt linear in Strömungsrichtung ab, da der infolge Reibung entstehende

Druckabfall überwunden werden muss. Bei stationärer Strömung muss der

Flüssigkeitszylinder im Gleichgewicht sein. Druck- und Reibungskräfte müssen sich das

Gleichgewicht halten.

Die Druckkraft wirkt auf die Fläche � in =-Richtung:

d(c � (|e ⋅ � = d(c � (|e ⋅ Ó ⋅ 0| Gl. 7-80

Die Reibungskraft wirkt auf den Mantel in =-Richtung:

2 ⋅ Ó ⋅ 0 ⋅ ! ⋅ M = 2 ⋅ Ó ⋅ 0 ⋅ ! ⋅ F ⋅ n�nÕ Gl. 7-81

Durch Gleichsetzen der beiden Kräfte (für M siehe Abschn. 5.1) erhält man folgende, die

Geschwindigkeitsverteilung beschreibende Differentialgleichung:

d(c � (|e ⋅ Ó ⋅ 0| = 2 ⋅ Ó ⋅ 0 ⋅ ! ⋅ F ⋅ n�nÕ Gl. 7-82


7-23

�: = ��|⋅Ï⋅¡ ⋅ 0 ⋅ �0 Gl. 7-83

Das Integral liefert für ::

: = Å ��|⋅Ï⋅¡ ⋅ 0 ⋅ �0pÕ = ��²⋅Ï⋅¡ ⋅ 0|$Õp Gl. 7-84

Für den Bereich bis zum äußeren Radius 1 des gedachten Zylinders ist ::

: = ��²⋅Ï⋅¡ ⋅ d1| � 0|e Gl. 7-85

Die maximale Geschwindigkeit :f�Â tritt im Zentrum auf (0 = 0):

:f�Â = :d0 = 0e = ��²⋅Ï⋅¡ ⋅ 1| Gl. 7-86

Die mittlere Geschwindigkeit :f entspricht dabei genau

:f = c| :f�Â = ��%⋅Ï⋅¡ ⋅ 1| = ��|⋅Ï⋅¡ ⋅ S| Gl. 7-87

Aus der nachfolgenden Gl. 7-88 wird der Druckverlust bei laminarer Strömung bestimmt.

(c � (| = Δ(- = 32 ⋅ �&⋅Ï⋅¡Ô� Gl. 7-88

Der Volumenstrom 9� errechnet sich dann aus:

9� = :f ⋅ � = Ó ⋅ 1| ⋅ ��%⋅Ï⋅¡ ⋅ 1| = '⋅p(%⋅Ï⋅¡ ⋅ d(c � (|e Gl. 7-89

und ist proportional zum Druckunterschied zwischen Rohranfang und Rohrende und zur

vierten Potenz des Radius und umgekehrt proportional zur Rohrlänge und zur dynamischen

Viskosität des Strömungsmediums (Hagen-Poiseuillesches Gesetz).

Daraus ergibt sich der Druckverlust bei laminarer Strömung zu:

Δ( = 8 ⋅ Ï⋅¡⋅-�'⋅p( = 128 ⋅ Ï⋅¡⋅-�'⋅Ô( Gl. 7-90

Mit

9� = :f ⋅ � = :f ⋅ '² ⋅ S| Gl. 7-91

folgt aus Gl. 7-90

Δ( = 128 ⋅ Ï⋅¡'⋅Ô( ⋅ :f ⋅ '² ⋅ S| = c|%² ⋅ '⋅Ï⋅¡' ⋅ Ô�Ô( ⋅ :f Gl. 7-92

Δ( = Ö²⋅Ï⋅¡|⋅Ô� ⋅ :f Gl. 7-93


7-24

Die dynamische Viskosität F ist die mit der Dichte K multiplizierte kinematische Viskosität I:

F = I ⋅ K Gl. 7-94

wodurch der Druckverlust nach Gl. 7-93 mit dem im Zusammenhang mit der Strömungslehre

bekannten Term a 2⁄ erweitert wird:

Δ( = Ö²⋅g⋅!⋅¡|⋅Ô� ⋅ :f = 64 ⋅ j¡Ôl ⋅ jg|l ⋅ :f| ⋅ j !Ô⋅�&l Gl. 7-95

Nach Gl. 10-1 (siehe Abschn. 10.2) folgt für den Kehrwert der Reynolds-Zahl:

cpò = j !Ô⋅�l Gl. 7-96

Der Druckverlust lässt sich dann direkt mithilfe der Reynolds-Zahl berechnen:

Δ(- = Ö²pò ⋅ ¡Ô ⋅ g| ⋅ :| Gl. 7-97

mit dem Term 64 1�⁄ , der als Rohrreibungszahl H bezeichnet wird:

Ö²pò = H Gl. 7-98

Der Druckverlust in Rohrleitungsabschnitten wird wie folgt berechnet:

Δ(- = H ⋅ ¡Ô ⋅ g| ⋅ :| Gl. 7-99

Diese Formel gilt auch für die turbulente Strömung, nur lässt sich die Rohrreibungszahl H

nicht mehr mithilfe der Reynolds-Zahl berechnen.

7.5.2 Rohrreibungszahl (Widerstandszahl)

Als Maß für die Dissipation in der Rohrströmung ist die Rohrreibungszahl H eingeführt

worden. Die Abhängigkeit der Rohrreibungszahl H von der Reynolds-Zahl 1� ist im

Rohrwiderstandsdiagramm (siehe Abb. 7-15) nach der Blasiusschen Gleichung, der

Prandtlschen Gleichung und der Colebrookschen Gleichung dargestellt. Dabei ist auch der

Einfluss der Wandrauigkeit aufgenommen. Diese ist durch die Rauhigkeitshöhe $ú

gekennzeichnet.


7-25

Abb. 7-15: Rohrreibungszahl nach der Colebrookschen Formel

Im Diagramm sind zwei Hauptbereiche dargestellt, einer für laminare und einer für

turbulente Strömung. Es werden fünf Kurvenbereiche unterschieden. Die Formeln für die

Berechnung der Rohrreibungszahl H lauten:

Bereich (1) – Hagen-Poiseuille: Laminar, hydraulisch glatt, � < �"�#

Hª�f = Ö²pò Gl. 7-100

Bereich (2) – Blasius: Turbulent, hydraulisch glatt, �"�# < � < ~#)

H;�Õ� = �,�cÖ²√pò( Gl. 7-101

Bereich (3) – Prandtl: Turbulent, hydraulisch glatt, ~#) < � < ~#+

cõ,-./ = 2,03 ⋅ log01� ⋅ õH;�Õ�1� 0,8 Gl. 7-102

Bereich (4) – Colebrook: Turbulent, mit Rauigkeit

cõ,-./ = 1,74 � 2 ⋅ log 2| Ä3n + c%,Øpò⋅õ,-./4 Gl. 7-103


7-26

Bereich (5) – von Karman-Nikuradse: Turbulent, mit Rauigkeit, unabhängig von �

cõ,-./ = 1,74 � 2 ⋅ log | Ä3n Gl. 7-104

Kurve 1 (Bereich (1)) entspricht der laminaren Strömung 1� < 1�ÄÕ.

Die Kurven 2 und 3 gelten, wenn die Rauigkeit keinen Einfluss hat (das Rohr hydraulisch glatt

ist), bei Kurve 2 bis 1� = 10y.

Bei Reynolds-Zahlen über 10y gilt Kurve 3. Die Rauigkeit ist so klein, dass sie den

Rohrwiderstand nicht beeinflusst. Man bezeichnet die Wand dann als hydraulisch glatt.

Ist die Rauigkeit $ú groß genug, um die Rohrreibung zu beeinflussen, sind wieder zwei

Bereiche zu unterscheiden. Im Bereich (4) hängt H sowohl von der Reynolds-Zahl als auch

von der relativen Sandrauigkeit $ú �⁄ ab.

Im Bereich (5) ist der Widerstand von der Viskosität praktisch unabhängig.

7.5.3 Druckverluste in Rohrelementen – Verlustkoeffizient

7.5.3.1 Grundgleichung

Δ(- = E ⋅ g| ⋅ :| Gl. 7-105

7.5.3.2 Plötzliche, sprungartige Rohrerweiterung

Der Druckverlust in einer sprungartigen Rohrerweiterung (siehe Abb. 7-16) ist

folgendermaßen definiert:

Δ(- = g| ⋅ d:c � :|e| Gl. 7-106


7-27

Abb. 7-16: Rohrerweiterung (Carnot-Diffusor)

Setzt man die obige Gleichung mit der Grundgleichung (Gl. 7-105):

Δ(- = E ⋅ ø| ⋅ :c| Gl. 7-107

gleich, so erhält man für den Verlustkoeffizienten E:

E ⋅ g| ⋅ :c| = g| ⋅ d:c � :|e| Gl. 7-108

mit

:c ⋅ �c = :| ⋅ �| → :| = :c ⋅ �� Gl. 7-109

und gekürzt durch a 2⁄

E ⋅ :c| = j:c � :c ⋅ ��l| = :c| ⋅ j1 � ��l| Gl. 7-110

und damit

E = j1 � ��l| Gl. 7-111

Diese Gleichung stellt die Widerstandszahl E einer plötzlichen Rohrerweiterung dar, bezogen

auf die größere Geschwindigkeit :c im Rohr.


7-28

7.5.3.3 Plötzliche, sprungartige Rohrverengung (Kontraktion)

Bei einer plötzlichen Verengung in der Rohrleitung (siehe Abb. 7-17) tritt vor und nach der

Kontraktion eine Separation der Strömung auf. Dadurch schafft sich die Strömung selbst

einen glatten Übergang. Als Folge ist der minimale Querschnitt �� = �f�° kleiner als �|.

Bei der plötzlichen Kontraktion wird der Druckverlust hauptsächlich durch die Expansion von �� auf �| nach der Kontraktion verursacht. Daher kann man den Druckverlust durch

denjenigen des Carnot-Diffusors approximieren.

Abb. 7-17: Rohrverengung

Der Druckverlust ergibt sich hier wie folgt: Aus der Beziehung

Δ(- = g| ⋅ d:� � :|e| Gl. 7-112

ergibt sich für die plötzliche Verengung mit dem „freien“ Kontraktionsquerschnitt ��:

E = j��ô � 1l| Gl. 7-113


7-29

7.5.3.4 Allmähliche Rohrerweiterung (Diffusor) und allmähliche Rohrverengung

(Konfusor, Düse)

Abb. 7-18: Allmähliche Rohrverengung (Düse, Konfusor)

Die Reibungsverluste in einem Diffusor oder in einer Düse (siehe Abb. 7-18) werden durch

den Verlustkoeffizienten E wie folgt erfasst:

E = j�� 1l| Gl. 7-114

Allgemein gilt für die Widerstandszahl (den Verlustkoeffizienten):

Die Widerstandszahl E ist eine Funktion von folgenden Faktoren:

• Rohrrauhigkeit

• Reynolds-Zahl 1�

• des Winkels N

• Durchmesserverhältnis �c �|⁄ .

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 8 Impulssatz für stationäre Strömungen

8-1

8 Impulssatz für stationäre Strömungen

Die stationäre Bernoullische Gleichung (siehe Kap. 7) erlaubt eine Aussage hinsichtlich der

Umwandlung von kinetischer Energie in Druckenergie bei der isothermen Strömung reiner

Fluide. Bei dieser Umwandlung muss die Masse erhalten bleiben. Dies wird mit Hilfe der

Kontinuitätsgleichung (siehe Kap. 6) zum Ausdruck gebracht.

Es stehen somit zwei Gleichungen zur Bestimmung der Geschwindigkeit und des Druckes

entlang des Stromfadens zur Verfügung. Bei der Beschreibung der mechanischen

Wechselwirkung des Fluids mit Strömungselementen wurden ausschließlich dissipative

Effekte (Verluste) berücksichtigt.

Der an dieser Stelle eingeführte Impulssatz ermöglicht indessen, diejenigen Kräfte zu

berechnen, die im Rahmen besagter Wechselwirkung entstehen. Der Impulssatz stellt somit

ein wichtiges Werkzeug für die konstruktive Auslegung von Anlagen dar.

Wie anhand von Beispielen gezeigt wird, vermag der Impulssatz aber noch weitaus mehr zu

leisten. So lässt sich mit ihm etwa die Querkontraktion eines Flüssigkeitsstrahls ebenso

erklären wie die Druckerhöhung bei der Vermischung von Fluidteilströmen oder die Verluste

von Stoßdiffusoren.

Der im nächsten Kapitel (Kap. 9) behandelte Drehimpulssatz baut auf diesem auf und macht

eine Aussage zur Wechselwirkung Fluid–Strömungselement bei rotierenden

Strömungsmaschinen. Die sich hierbei ergebende Eulersche Turbinengleichung verknüpft

das aufzubringende bzw. abzuführende Drehmoment mit der Kinematik des Fluids.


8-2

8.1 Definition des Impulses

1. Bei der Herleitung des Energieerhaltungssatzes haben wir festgestellt, dass die

Massenelemente eines strömenden Fluids Energieträger sind.

2. Die Massenelemente des strömenden Fluids sind auch Träger eines Impulses �:

3. Definition: Der Impuls � ist das Produkt von Masse & und Geschwindigkeit ::

� = & ⋅ : �$� ⋅ f% = 5 2 Gl. 8-1

Man kann auch sagen: Aufgrund seiner Geschwindigkeit besitzt jedes strömende

Fluidelement einen Impuls.

In der Strömungsmechanik wird bei Strömungen allerdings seltener mit dem Impuls, sondern

vielmehr mit dem sogenannten Impulsstrom, das heißt, der zeitlichen Änderung des

Impulses, gearbeitet:

Mit einer konstanten Masse & ergibt sich aus Gl. 8-1 für den Impulsstrom ��⃗: ��⃗ = n6⃗n; = ndf⋅�77⃗ en; = & ⋅ n�77⃗n; = & ⋅ Q⃗ = �⃗ Gl. 8-2

Das heißt, die zeitliche Änderung des Impulses entspricht der auf diese Masse wirkenden

Kraft �⃑. Allgemein gilt:

Die zeitliche Änderung des Impulses 9 ist gleich der Summe aller auf das Kontrollvolumen von außen wirkenden Kräfte.

oder

Das Wirken einer Kraft ´ über ein Zeitintervall ü: ist ein Kraftstoß (Impuls). Dieser Kraftstoß bewirkt eine Änderung des Impulses und steht mit dieser Änderung im

Gleichgewicht.


8-3

8.2 Stützkraftkonzept zur Berechnung der Stützkraft

Das Wirken einer Kraft � über ein Zeitintervall �3 ist ein Kraftstoß. Dieser Kraftstoß bewirkt

eine Änderung des Impulses und steht mit dieser Änderung im Gleichgewicht.

Abb. 8-1: Beispiel eines Rohrsystems

In einem Rohrsystem (siehe Abb. 8-1) betrachten wir einen Kontrollraum mit einem

eintretenden und einem austretendem Impulsstrom. Auf den Kontrollraum wirken dabei

folgende Kräfte:

1. Die Druckkraft � = ( ⋅ � ist eine Oberflächenkraft. ( ist der statische Druck in der

Rohrleitung (nicht der Umgebungsdruck), � die durchströmte Querschnittsfläche.

2. Darüber hinaus hat das Fluid das Eigengewicht �©,�ª = K�ª ⋅ � ⋅ 9�ª mit seiner

Dichte a�ª und seinem Volumen (Kontrollvolumen) 9�ª. 3. Bei Umlenkungen und Verengungen wirkt auf die Flüssigkeit die Stützkraft �ú, die

eigentliche Wirkung der Impulsänderung.


8-4

Abb. 8-2: Innere Kräfte im Kontrollraum

Es gilt die Impulsgleichung:

��%7777777⃗ � ��ò;°777777⃗ = ∑ �òÂ;7777777⃗ Gl. 8-3

Bestimmung von ein- und ausfließendem Impulsstrom ��ò�° und ��%:

��ò�° = &� ò�° ⋅ :ò;°77777777⃗ und ��% = &� ��% ⋅ :��%777777777⃗ Gl. 8-4

Der Massenstrom & ist das Produkt aus der Dichte a, dem Betrag der einwärts bzw.

auswärts gerichteten Strömungsgeschwindigkeit :ò;°77777777⃗ bzw. :��%777777777⃗ und der durchströmten

Querschnittsfläche

&� = a ⋅ |:77⃗ | ⋅ � = a ⋅ |:ò;°77777777⃗ | ⋅ �ò�° = a ⋅ |:��%777777777⃗ | ⋅ ��% Gl. 8-5

und wird als konstant angenommen und als Skalar mit stets positivem Vorzeichen

angegeben. Die Berechnung der Impulsbilanz erfolgt komponentenweise, das heißt für die

Impulsströme gilt damit (hier nur jeweils die =-Komponente angegeben):

��ò�°,Â = &� ò�° ⋅ :ò�°,Â = da ⋅ |:ò;°77777777⃗ | ⋅ �ò�°e ⋅ :ò�°,Â

��%,Â = &� ��% ⋅ :��%,Â = da ⋅ |:��%777777777⃗ | ⋅ ��%e ⋅ :��%,Â Gl. 8-6

Hierbei ist darauf zu achten, dass die Geschwindigkeitskomponenten :ò�°,Â und :��%,Â das

korrekte Vorzeichen, bezogen auf das verwendete Koordinatensystem, aufweisen.


8-5

Die Summe der Impulsströme am Ein- und am Austritt bzw. an den Eintritten und den

Austritten ist gleich der Summe der äußeren Kräfte des Kontrollvolumens (siehe Gl. 8-3). Die

Summe dieser äußeren Kräfte ist außerdem:

∑�òÂ;7777777⃗ = Druckkraft+Gewichtskraft+Stützkraft ∑�òÂ;7777777⃗ = ∑�777⃗ 0+�©,�ª1 + �ú777⃗

Gl. 8-7

wobei die Gewichtskraft des Fluides �©,�¡ meistens vernachlässigt werden kann. Mit Gl. 8-3

und Gl. 8-7 besteht das folgende Gleichgewicht:

��%7777777⃗ � ��ò;°777777⃗ = ∑�777⃗ 0+�©,�ª1+ �ú777⃗ Gl. 8-8

Die Stützkraft �ú ist eine Kraft, mit der das Fluid auf den Kontrollraum einwirkt. In der

Strömungstechnik hat sich bei der Verwendung des Impulssatzes das so genannte

Stützkraftkonzept fest etabliert. Das ist nichts anderes als eine Idee, die Berechnungen mit

dem Impulssatz etwas übersichtlicher zu machen.


8-6

8.3 Newton-Kräftegleichgewicht zur Berechnung der Haltekräfte

(Auflagekräfte)

Mit dem Stützkraftkonzept kann man die Haltekräfte (Auflagekräfte), die notwendig sind,

um einen Rohrleitungsabschnitt, der das Kontrollvolumen enthält, zu befestigen oder zu

verankern, nicht direkt berechnen, da diese Haltekräfte im Kontrollvolumen, also in der

Impulsbilanz nicht auftauchen.

Abb. 8-3: Äußere Kräfte im Kontrollraum

Um die Haltekraft/Auflagekraft zu berechnen, muss man das Kräftegleichgewicht von allen

Schnittkräften (wie in der Statik), die auf ein den untersuchten Rohrleitungsabschnitt wirken,

aufstellen:

�úA777⃗ + �ð7777⃗ + ��777777⃗ + �©,pB¢Õ77777777777777⃗ = 0 Gl. 8-9

Dabei sind in der Regel vier verschiedene Kräfte zu berücksichtigen:

• �úA = ��ú ist negativ der Kraft, die von der Flüssigkeit auf den Rohrleitungsabschnitt

wirkt. Die Stützkraft �ú wurde mit Hilfe der Impulsbilanz im Kontrollvolumen

berechnet.

• �ð (oder ��) ist die Haltekraft/Auflagekraft (Schrauben, Verankerung, etc.), mit der

der Rohrleitungsabschnitt festgehalten werden muss (Konstruktionsdaten für die

Auslegung der Befestigungselemente).

• �� (auch �¬ oder �ù) ist die Kraft, die bedingt durch den Umgebungsdruck auf

den Rohrleitungsabschnitt (nur auf den untersuchten Rohrleitungsabschnitt) wirkt.


8-7

• �©,pB¢Õ ist die Gewichtskraft des Rohres (Krümmers), die wie die Gewichtskraft �©,�ª des Fluides im Kontrollvolumen meistens vernachlässigt werden kann, da sie häufig

im Vergleich der Impuls bedingten Kräfte vernachlässigbar klein ist.

8.4 Handhabung und Berechnungssystematik

Bemerkung zum Schwierigkeitsgrad bei der Berechnung der Übungsaufgaben:

EoV und EmV: Kontinuitätsgleichung + Energiegleichung

Impuls: Kontinuitätsgleichung + Energiegleichung + Impulsgleichung

Im Allgemeinen sind es drei Fragen, die gestellt werden können:

1. Stützkraft vom Rohr auf das Fluid �ú Lösung über Impuls-Gl.

2. Kraft von der Flüssigkeit auf das Rohr �úA = ��ú Lösung über Impuls-Gl.

3. Haltekraft �ð Lösung über Impuls-Gl.

und Newtonsches

Kräftegleichgewicht

8.5 Anwendungen des Impulssatzes

8.5.1 Strömungskräfte an Rohrteilen

Im Rohrleitungsbau sind Rohrbögen in Gusskonstruktion mit Normflansch sehr häufig

anzutreffen:

• Rohrbogen

• Rohrkrümmer

• Reduzierungsstück

• Rohr-T-Stück, plötzliche Rohrerweiterung

• Plötzliche Rohrverengung, Kniestück mit Querschnittsänderung

Hierbei wird neben der Strömungsumlenkung oft auch eine Flächenvariation von A1 nach A2

durchgeführt.

8.5.2 Strahlkräfte

• Senkrechter Stoß gegen ebene feststehende Wand

• Schiefer Stoß gegen eine ebene feststehende Wand

• Strahlstoß gegen symmetrisch gekrümmte Wand (Pelton-Turbine)

• Angeschnittener ebener Strahl, Kugel oder Walze schwebend im schrägen Luftstrahl

Im Übungsskript FLM I, Kap. I.2 behandeln wir die Freistrahlen, die in der Technik häufig zur

Oberflächenbehandlung von Platten, z. B. Sandstrahlen, Trocknen oder Lackieren, eingesetzt

werden. Bei diesem Strömungsvorgang tritt der unerwünschte Effekt der Rückströmung


8-8

(Backflow) ein, der den Bearbeitungsprozess empfindlich stören kann. Der aus einer Düse

mit der mittleren Geschwindigkeit : austretende Strahl trifft auf eine Wand, von der er

abgelenkt wird. Der statische Druck im Strahl ist nach Verlassen der Düse konstant und

gleich dem der Umgebung. Überdruck ist somit nicht mehr vorhanden. Kraftwirkungen sind

daher ausschließlich durch die vorhandenen Impulsströme bedingt. Mit dem Impulssatz

kann deshalb die Kraft, die der Strahl auf die Wand ausübt, berechnet werden. Die Bernoulli-

Gleichung liefert bei der Reibungsfreiheit die Gleichheit der Geschwindigkeiten.

8.5.3 Strahltriebwerke, Propellerschub, Windkraftanlagen

Vereinfachte Propellertheorie, Propeller, Windturbine

Der Impulssatz ermöglicht die Bestimmung der Schubwirkung von, ohne auf deren Profil-,

Flügelform und Flügelzahl einzugehen. Diese Betrachtungsweise wird auch als vereinfachte

Propellertheorie oder Strahltheorie bezeichnet, die auch als das Rankine-Modell des

Propellers bekannt ist. Dazu nehmen wir an, dass der Rotor aus einer sehr großen Anzahl

dicht angeordneter Rotorblätter besteht. Dann kann eine Rotorfläche �ú definiert werden,

an der der Druck einen Sprung macht (| ⇒ (� (siehe Abb. 8-4).

Weiter nehmen wir an, dass das Fluid als inkompressibel betrachtet werden kann, was bei

hinreichend langsamen Strömungen auch bei Gasen erlaubt ist. Werden Reibung,

Rückwirkung des Fahrzeuges und Strahldrehung (Schraubenbewegung) vernachlässigt, ergibt

der Impulssatz mit Hilfe von Abb. 8-4 die Propellerschubkraft �ú.

Für die Analyse wird ein Koordinatensystem verwendet, das fest mit der Rotorachse

verbunden ist. Außerdem wählen wir ein Kontrollvolumen mit der Oberfläche Cc um den

Rotor herum, dass hinreichend weit vom Rotor entfernt ist, so dass der Druck dem der

Umgebung entspricht (( = (¬) und konstant ist und damit die resultierende Druckkraft der

Umgebung auf das Kontrollvolumen � = 0 gesetzt werden kann.


8-9

8.5.3.1 Propeller

Die einen Schub erzeugenden Propeller dienen zum Antrieb von Fahrzeugen, z. B.

Flugzeugen oder Schiffen. Der Propeller saugt bei seiner Rotation ständig das Medium an,

beschleunigt dieses und gibt es nach rückwärts mit höherer Geschwindigkeit ab.

Abb. 8-4: Anwendung des Impulssatzes auf einen Propeller

Bei der Anwendung des Impulssatzes auf einen angetriebenen Propeller ist zu beachten,

dass beim Durchgang der Strömung durch den Propeller eine Strahlkontraktion stattfindet.

Der Propeller erhöht die Geschwindigkeit des von ihm erfassten Fluidstrom z. B. um 30 %.

Dabei muss wegen der Kontinuitätsgleichung der erfasste Strahl kontrahieren. Die gesamte

SF

1w

1w

4w

01D

3p2p

41 pppp U === ∞

1D4D

1w

04D

1KV

2KV

RD

zu

2

R

3 41

ab

1w

4w

Rw2w3w

2p

3p

1p4p

Überdruck

U nterdruck

SchubF


8-10

Druckabnahme infolge Beschleunigung von :c auf :² (siehe Abb. 8-4) innerhalb des Strahles

wird kompensiert durch Energiezufuhr im Propeller.

Vor dem Propeller ergibt sich ein Unterdruck, hinter dem Propeller ein Überdruck. In der

dünnen Scheibe des Propellers (Propellerdisk) nimmt die Geschwindigkeit :ú den

arithmetischen Mittelwert aus An- und Abströmgeschwindigkeit an. Die vom Propeller/Rotor

ausgeübte Kraft auf das Fluid (bzw. mit anderem Vorzeichen die auf ihn wirkende Kraft) ist

positiv und zeigt in Strömungsrichtung.

Es werden folgende Annahmen gemacht:

• Stationäre Strömung

• Achsparallele, gleichmäßige An- und Abströmung

• Inkompressibles Fluid

• Reibungsfreiheit

• Vernachlässigbarer Einfluss des Fahrzeugkörpers auf die Propellerdurchströmung

• Eintrittsdruck ist gleich dem Austrittsdruck, (c = (|

8.5.3.2 Windturbine

Im Gegensatz zum Vortriebspropeller findet beim Durchgang der Strömung durch die

Windturbine eine Strahldilatation (Strahlaufweitung) statt.

Infolge der Energieabfuhr in der dünnen Scheibe des Propellers (Propeller disk) kommt es

zur Geschwindigkeitsabnahme von :c auf :|. Vor dem Windturbinenlaufrad ergibt sich ein

Überduck, hinter dem Windturbinenlaufrad ein Unterdruck. Die vom Propeller/Rotor

ausgeübte Kraft auf das Fluid (bzw. mit anderem Vorzeichen die auf ihn wirkende Kraft) ist

negativ und ist gegen die Strömungsrichtung gerichtet. Es werden folgende Annahmen

getroffen:

• Stationäre Strömung

• Achsparallele, gleichmäßige An- und Abströmung

• Inkompressibles Fluid

• Reibungsfreiheit

• Vernachlässigbarer Einfluss des Masts auf die Windturbinenströmung

• Eintrittsdruck ist gleich dem Austrittsdruck, (c = (|


8-11

Abb. 8-5: Anwendung des Impulssatzes auf eine Windturbine

Der Kontrollraum ist vorn und hinten je soweit vom Propeller entfernt, dass dieser den

Fluidstrom direkt noch nicht bzw. nicht mehr beeinflusst.

In der folgenden Rechnung wird eine Windturbine strömungstechnisch nach der

vereinfachten Propellertheorie ausgelegt:

• Berechnung der Schubkraft �ú (Haltekraft �ð)

chubSF1w

1w

4w01A

3p2p

41 pppp U === ∞

1A4A

1w

04A

1KV

2KVSA

zu

2

S

3 41

ab

1w

4wSw2w

3w

2p

3p

1p 4p

Überdruck

Unterdruck

SF


8-12

• Berechnung der Strahlgeschwindigkeit in Propellermitte :ú

• Berechnung der allgemeinen theoretischen Windturbinenleistung ';¢ (die der

Strömung im Kontrollvolumen entzogen wird)

• Maximale Windturbinenleistung 'f�Â

• Maximaler Wirkungsgrad Ff�Â

8.5.4 Rückstoßkräfte

Behälterausfluss aus seitlicher Öffnung, Strahltriebwerk(Strahldüse), Raketentriebwerk

1.1.1.1 Behälterausfluss (siehe Übungsmanuskript)

8.5.4.1 Strahltriebwerk

Abb. 8-6: Strahltriebwerk (Turbojet: Historische Bauweise, bei der der gesamte

Luftmassenstrom durch die Brennkammer geführt wird) mit den

Massenströmen am Eintritt &� c, am Austritt &� | und aus der Zufuhr von

Brennstoff in der Brennkammer &� D³, mit den Geschwindigkeiten am

Eintritt :c und am Austritt :|, Stützkraft �ú

8.5.5 Mischvorgänge (siehe Übungsmanuskript)

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 9 Impulsmomentensatz (Drehimpuls)

9-1

9 Impulsmomentensatz (Drehimpuls, Drallsatz)

Bisher wurde davon ausgegangen, dass die Fluidteilchen in einer Strömung Träger von

Masse, Energie und Impuls sind. Mit dem Impuls besitzen sie auch ein Impulsmoment

(Drehimpuls oder Drall) in Bezug auf ein vorgegebenes Zentrum (z. B. Ursprung des

Koordinatensystems). Aus der Mechanik der Massenpunkte (siehe Abb. 9-1) ist bekannt:

Impulssatz (aus Analogiegründen angegeben):

n6⃗n; = ∑ �;77⃗°�±c = �⃗ Gl. 9-1

Impulsmomentensatz (Drallsatz):

n¡7⃗n; = ∑ Y;7777⃗°�±c = Y77⃗ Gl. 9-2

Abb. 9-1: Drall eines Massepunktes

Die zeitliche Änderung des Dralls ! (Impulses �) eines Systems von Massenpunkten ist gleich

der Vektorsumme aller äußeren Momente Y� (Kräfte ��), die auf das System einwirken.

Für einen Körper gilt:

�⃗ = & ⋅ :77⃗ Gl. 9-3

und

!7⃗ = & ⋅ d0⃗ × :77⃗ e Gl. 9-4


9-2

Dabei ist : die Geschwindigkeit eines Massepunktes &. Die Erweiterung zu einem System

von Fluidteilchen führt zu den Beziehungen

�⃗ = Å a :77⃗ �9- Gl. 9-5

!7⃗ = Å a 0⃗ ×:77⃗ �9- Gl. 9-6

mit dem Ortsvektor 0⃗ eines Fluidteilchens vom Ursprung.

Der Drallsatz ist eine Vektorgleichung und steht für drei Komponentengleichungen. Analog

zu Kap. 8 gilt auch hier: Man berechnet die Dralländerung des betrachteten Systems von

Fluidteilchen zur Zeit 3, in dem man die Oberfläche, die zur Zeit 3 dieses System begrenzt, als

raumfeste Kontrollfläche betrachtet und die Differenz zwischen aus- und einströmendem

Impulsmomentenstrom ermittelt.

Analog zu den Kräften im Impulssatz gibt es Momente der Volumenkraft, der Druckkraft und

der Stützkraft.

Im Folgenden bedeuten:

O Winkelgeschwindigkeit : Relative Geschwindigkeit (bezogen auf das rotierende System: Beobachter

fährt auf dem Rad mit) 0 ⋅ O Systemgeschwindigkeit, Umfangsgeschwindigkeit � = : � 0 ⋅ O Absolutgeschwindigkeit, die der ruhende Beobachter „sieht“ &� Massenstrom

Der einfließende Impulsmomentenstrom ergibt sich zu null. Demgegenüber nimmt der

ausfließende Impulsmomentenstrom den Wert &� ⋅ � ⋅ 0 an. Für einen mitrotierenden

Beobachter ist die Strömung im Segnerschen Wasserrad (siehe Abb. 9-2) stationär.

Dafür lässt sich die Bernoulli-Gleichung wie folgt schreiben (der Behälter sei so groß (weit),

dass die Sinkgeschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels vernachlässigt werden kann):

(� + K ⋅ � ⋅ ℎ = (� + g| ⋅ :| � g| ⋅ d0 ⋅ Oe| Gl. 9-7

: = õ2 � ℎ + d0 Oe| = õ2 � ℎ d1 + J|e Gl. 9-8

Dabei ist J die dimensionslose Winkelgeschwindigkeit

J = Õ⋅Fõ| À ¢ Gl. 9-9


9-3

Abb. 9-2: Segnersches Wasserrad (1750)

Die absolute Ausströmgeschwindigkeit � (das ist die Geschwindigkeit, mit der sich die

ausströmende Flüssigkeit relativ zu einem ruhenden Beobachter bewegt) ist dann

� = : � 0 ⋅ O = õ2 � ℎ ⋅ �õ1 + J| � J Gl. 9-10

Der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit O und Drehmoment Y folgt aus dem

Drallsatz. Da die zur Drehachse parallel gerichtete Schwerkraft kein Moment bezüglich dieser

Achse hat, bleibt als einziges Drehmoment das Moment der von den festen Wänden des

Strömungskanals im Wasserrad auf die Flüssigkeit ausgeübten Druckkräfte. Zu diesem

Moment trägt nur das rotierende Ausflussrohr bei. Nach dem Reaktionsprinzip ist dies

betragsmäßig gleich dem Moment, das an der Welle abgenommen werden kann.

Die Anwendung des Drallsatzes ergibt:

n¡n; = Y = &� � 0 = a ⋅ : ⋅ � ⋅ � ⋅ 0 Gl. 9-11

ïïô = õ1 + J| ⋅ �õ1 + J| � J Gl. 9-12

mit

Y� = 2 ⋅ K ⋅ � ⋅ ℎ ⋅ � ⋅ 0 Gl. 9-13


9-4

Abb. 9-3: Drehmoment Y über der dimensionslosen

Winkelgeschwindigkeit J

Die „Apparatekonstante“ Y� hat die Bedeutung des Anfahrmomentes (Drehmoment für O = 0).

Für J → ∞, gleichbedeutend mit O → ∞, geht Y → Y� 2⁄ , das heißt gegen einen endlichen

Grenzwert. Demgemäß würde das Rad seine Drehzahl unbegrenzt vergrößern, wenn man

nicht das seiner Drehzahl entsprechende Moment an der Welle abnähme. Tatsächlich wird

jedoch durch verschiedene Dissipationseffekte (Lagerreibung, Luftreibung, innere Reibung

der Flüssigkeit, siehe Abb. 9-3) immer ein Reibungsmoment erzeugt. Dieses ist von YG

abzuziehen, um das effektiv nutzbare Moment zu erhalten.

Die (mechanische) Laufradleistung ' der Segnerschen Turbine (siehe Abb. 9-2) folgt aus

'ï = Y ⋅ O Gl. 9-14

zu

��ô = J ⋅ õ1 + J| ⋅ �õ1 + J| � J Gl. 9-15

Die theoretisch nutzbare Leistung ' entspricht der potentiellen Energie der pro Zeiteinheit

ausfließenden Masse auf dem Niveau des Spiegels im Behälter:

'H = &� � ℎ = K : � � ℎ → �H�ô = c| õ1 + J| Gl. 9-16


9-5

Abb. 9-4: Druckverhältnis ( (�⁄ und Wirkungsgrad F über dimensionsloser

Winkelgeschwindigkeit J

Als theoretischer Wirkungsgrad F (ohne „Reibungsmoment“) ergibt sich

F = ��H = 2Jjõ1 + J| � Jl Gl. 9-17

Der Wirkungsgrad F ist kleiner als eins, da von der verfügbaren potentiellen Energie (pro

Zeit) &� ⋅ � ⋅ ℎ nur ein Teil in Nutzleistung umgesetzt wird; der Rest trägt als kinetische

Energie (pro Zeit) &� ⋅ �| 2⁄ nicht zur Leistung bei.

Die Nutzleistung kann daher auch geschrieben werden als:

' = &� ⋅ � ⋅ ℎ � c| &� ⋅ �| ⇒ F = ��H = 1 � º�| À ¢ Gl. 9-18

Beispiel: Laufrad einer Kreiselpumpe mit Radialgitter

In Abb. 9-5 ist das Laufrad einer Kreiselpumpe (Radiallaufrad) dargestellt. Die Größen �c�

und �|� stellen die Umfangskomponenten der Absolutgeschwindigkeit � = : + 0 ⋅ O dar.

Mit : wird hier die Relativgeschwindigkeit bezeichnet. Die Größe 0 ⋅ O = 5 entspricht der

Umfangsgeschwindigkeit 5. Der Drehimpulssatz führt zur Aussage:

n¡n; = Y = &� ⋅ 0| ⋅ �|� � &� ⋅ 0c ⋅ �c� Gl. 9-19

bzw.

Y = &� ⋅ d0|�|� � 0c�c�e Gl. 9-20


9-6

Abb. 9-5: Laufrad und Geschwindigkeitsplan mit Radialgitter

Man unterscheidet:

Arbeitsmaschine (Pumpe, Gebläse): Y > 0

Kraftmaschine (Turbine): Y < 0

Die Eulersche Turbinengleichung sagt aus, dass das vom Laufrad an das Fluid (oder

umgekehrt) übertragene Moment Y gleich dem Produkt aus Massenstrom (Durchsatz) und

der Differenz von 0 ⋅ �� am Austritt minus 0 ⋅ �� am Eintritt ist.

Als übertragene Leistung ' ergibt sich:

' = Y ⋅ O = &� ⋅ O ⋅ d0|�|� � 0c�c�e Gl. 9-21

Vorlesungsskript Fluidmechanik I 10 Grundleg. Strömungserscheinungen

10-1

10 Grundlegende Strömungserscheinungen

10.1 Vorbetrachtungen (Turbulenz)

Die bisher aufgestellten Erhaltungssätze für

• Masse

• Energie

• Impuls

liefern nur globale Aussagen über das gesamte Fluid im gewählten Kontrollraum.

Der restliche Teil der Vorlesung ist den lokalen Aussagen über Strömungen gewidmet. Es

werden Einzelheiten der Strömung in der unmittelbaren Umgebung eines beliebig gewählten

Punktes betrachtet.

Turbulenz

Es gibt zwei verschiedene Strömungsformen, laminare und turbulente Strömungen.

Kennzeichen der turbulenten Strömungsform ist eine unregelmäßige, zufallsbedingte

Schwankungsbewegung, die einer geordneten Grundströmung überlagert ist.

Abb. 10-1: Versuch von Reynolds (laminare Strömung)


10-2

Die Teilchen bewegen sich auf zur Rohrachse parallelen Stromlinien, ohne sich

untereinander zu vermischen (Grundströmung). Ein in die Rohrachse eingeleiteter Farbstrahl

mischt sich nicht mit der Grundströmung.

An einer Berührungsstelle zwischen dem Festkörper und dem Fluid herrscht immer eine

Haftbedingung, das heißt, die Geschwindigkeit des Fluids an dieser Stelle ist null.

Abb. 10-2: Versuch von Reynolds (turbulente Strömung)

Neben der in Rohrachse gerichteten Transportbewegung treten noch Querbewegungen auf,

die zu einer ständigen Vermischung der Strömungsteilchen führen. Der Farbstrahl zerreißt

und vermischt sich mit der Grundströmung.

Bisher wurde angenommen, dass die Geschwindigkeit in einer Rohrströmung konstant ist

(siehe Abb. 10-3):

• Eindimensionales „Feld“

• Globale Aussage über das gesamte Feld

Abb. 10-3: Eindimensionales „Feld“ einer Rohrströmung


10-3

Wenn jedoch die Haftbedingung gilt, muss die Geschwindigkeit an der Wand null werden,

daher herrscht in einer Rohrströmung keine konstante Geschwindigkeit, wie für

Stromröhren bisher angenommen wurde, sondern es besteht eine

Geschwindigkeitsverteilung.

Die Geschwindigkeitsverteilungen für laminare und turbulente Strömungen sind sehr

unterschiedlich. Die Geschwindigkeitsprofile turbulenter Strömungen (siehe Abb. 10-4b) sind

völliger und wesentlich gleichmäßiger als die einer vergleichbaren laminaren Strömung

(siehe Abb. 10-4a). Für viele praktische Rechnungen jedoch, insbesondere bei der

Anwendung der Stromfadentheorie, wird das Geschwindigkeitsprofil durch eine konstante

Geschwindigkeitsverteilung mit gleichem Volumenstrom ersetzt.

a b

Abb. 10-4: Charakteristisches Geschwindigkeitsprofile einer turbulenten Strömung,

a) laminar, b) turbulent

Bei turbulenter Strömung ist :I größer. Die Entstehung der Turbulenz beruht auf einer

Instabilität der Strömung. An jeder Stelle einer Strömung herrscht Gleichgewicht zwischen

Trägheitskraft, Druckkraft, Reibungskraft und Schwerkraft. Schwache Störungen der

Strömung werden im laminaren Fall von der Reibungskraft gedämpft.

Bei Erhöhung der Geschwindigkeit nimmt die Reibungskraft nicht so stark zu wie die übrigen

Kräfte, so dass sie schließlich im Verhältnis zu klein ist, um Störungen zu dämpfen. Die

Störung wird angefacht und führt schließlich zur turbulenten Strömungsform.

Man bezeichnet die laminare Strömung als Schichten-Strömung. Schichten von

unterschiedlichen Geschwindigkeiten gleiten übereinander.


10-4

10.2 Reynolds-Zahl

Der Wechsel von der laminaren in die turbulente Strömungsform hängt von einer mit der

mittleren Geschwindigkeit :, dem Rohrdurchmesser � (bzw. einer anderen

charakteristischen Länge !, die von der Art der Strömung abhängt), der Dichte a und der

dynamischen Viskosität F gebildeten dimensionslosen Kennzahl, der Reynolds-Zahl 1�, ab:

1� = g⋅�⋅nÏ = �⋅n! � kgm3 ⋅ ms ⋅ mPa s = kg⋅m2m⋅s⋅N⋅s = kg⋅m2⋅s2

m⋅s⋅kg⋅m⋅s = � Gl. 10-1

Ähnlichkeitsmechanik:

Strömungen, deren Reynolds-Zahlen trotz unterschiedlicher geometrischer Größen gleich

sind, heißen mechanisch ähnlich. An folgenden Modellen wird die Ähnlichkeitsmechanik

angewendet:

• Schiffe

• Automobile

• Flugzeuge

• Weltraumkörper

Strömungen können an einem geometrisch ähnlich verkleinerten bzw. vergrößerten Modell

untersucht werden, wenn die Strömungen am Modell und am Original mechanisch ähnlich

sind, das heißt gleiche Werte der charakteristischen Kennzahlen aufweisen. In allen

Strömungen, in denen die vier Größen Dichte, Geschwindigkeit, Länge und Viskosität eine

Rolle spielen, ist die Reynolds-Zahl eine Kennzahl.

Bei der Rohrströmung beträgt die kritische Reynolds-Zahl 1�ÄÕ = 2320.

Es gilt: 1� ≤ 1�ÄÕ → Die Strömung ist laminar. 1� > 1�ÄÕ → Die Strömung ist turbulent.


10-5

Beispiel 1:

Gegeben ist ein Rohr mit einem Durchmesser von � = 20 mm.

Bei welcher Geschwindigkeit :ÄÕ setzt turbulente Strömung ein? Untersucht werden sollen

eine Wasserströmung I = 10�Ö &| 2⁄ ) und eine Luftströmung I = 15 ⋅ 10�Ö &| 2⁄ ).

:ÄÕ = 1�ÄÕ ⋅ !n = 2320 ⋅ !n Gl. 10-2

Kritische Geschwindigkeit für Wasser:

:ÄÕ,� = 2320 ⋅ c⋅c�ÙÛm2s|�⋅c�ÙÚ m = 0,116 ms

Kritische Geschwindigkeit für Luft:

:ÄÕ,¡ = 2320 ⋅ cy⋅c�ÙÛm2s|�⋅c�ÙÚ m = 1,74 ms

Beispiel 2:

Wie groß ist die Reynolds-Zahl im Blutkreislauf des Menschen (Blut: K = 10� kg m3⁄ , F = 4 ⋅ 10�� kg dm se⁄ in der Kapillare (� = 8 μm, : = 5 mm s⁄ ) und in der Aorta

(� = 20 mm, : = 0,3 m s⁄ )?

1� = g⋅�⋅nÏ (Gl. 10-1)

Reynolds-Zahl für die Kapillare:

1� = c�Ú kgm3⋅y⋅c�ÙÚ ms ⋅%⋅c�ÙÛ m²⋅c�ÙÚ kgm⋅s = 10�|

Die Reynolds-Zahl in der Kapillare liegt im unterkritischen Bereich.

Reynolds-Zahl für die Aorta:

1� = c�Ú kgm3⋅�,� ms ⋅|�⋅c�ÙÚ m²⋅c�ÙÚ kgm⋅s = 1,5 ⋅ 10�

Die Blutströmung in der Aorta liegt noch im unterkritischen Bereich.


10-6

10.3 Die Grenzschicht (Reibungsschicht)

In diesem Kapitel werden die Konsequenzen der Haftung (Haftbedingung) für die

Umströmung von Körpern besprochen. Der einfachste und überschaubarste Fall der

Grenzschicht liegt bei der längsangeströmten Platte vor (siehe Abb. 10-5). Da die

Strömungsgeschwindigkeit an der Wand verschwinden muss (Haftung), sind starke

Änderungen der Geschwindigkeit, das heißt, große Geschwindigkeitsgradienten in

Wandnähe zu erwarten.

Bei (verschwindend) kleiner Viskosität I → 0 (in ungestörter Außenströmung) ergibt sich

eine (unendlich) große Reynolds-Zahl 1� → ∞ mit

1� = �⋅ª! (Gl. 10-1)

wobei sich die Strömung des Geschwindigkeitsprofils nur auf eine dünne Schicht unmittelbar

an der Wand beschränkt. Man spricht deshalb von Reibungsschicht oder Grenzschicht.

Abb. 10-5: Geschwindigkeitsprofil an der Oberseite einer längsangeströmten ebenen

Platte

Vergleicht man Grenzschichtströmung und Strömung im Rohr (siehe Abb. 10-6), dann findet

man die Analogie, wenn man die Strömung von der Rohrachse her betrachtet.

a b

Abb. 10-6: Vergleich der Grenzschichtströmung (a) mit der Strömung im Rohr (b)

W(x,y)


10-7

Die Grenzschicht entwickelt sich entlang der Kontur des umströmten Körpers, und zwar

nimmt im Allgemeinen stromabwärts die Grenzschichtdicke zu. Die Strömung in der

Grenzschicht kann ebenso wie die Rohrströmung laminar oder turbulent sein (siehe Abb.

10-7).

Die turbulente Grenzschicht ist dicker als die laminare, reicht also weiter in die Strömung

hinaus. Das Geschwindigkeitsprofil ist an der Wand steiler. Die Grenzschichtdicke nimmt

nach hinten stetig zu.

Abb. 10-7: Vergleich der laminaren und turbulenten Grenzschicht an der

längsangeströmten Platte

Definitionen der Grenzschichtdicke:

Für einen Zylinder (Durchmesser �, Strömung: laminar) gilt:

1. Im Staupunkt Dc = 1,2 ⋅ � ⋅ ç cpòK Gl. 10-3

2. An der dicksten Stelle D| = 1,8 ⋅ � ⋅ ç cpòK Gl. 10-4

Für eine Kugel (siehe Abb. 10-8, Durchmesser �, Strömung: laminar) gilt:

1. Im Staupunkt Dc = 1,06 ⋅ � ⋅ ç cpòK Gl. 10-5


10-8

2. An der dicksten Stelle D| = 1,7 ⋅ � ⋅ ç cpòK Gl. 10-6

Abb. 10-8: Umströmte Kugel Abb. 10-9: Grenzschicht am umströmten

Profil (z. B. Tragfläche, Ruder)

Profil (Tragfläche, Schiffsruder, siehe Abb. 10-9, größte Profildicke �, Strömung: laminar):

Dc = 1,2 ⋅ � ⋅ ç cpòK Gl. 10-7

1�n = �⋅n! Gl. 10-8

Längsangeströmte Platte (siehe Abb. 10-10, Länge !):

1� = �⋅¡! Gl. 10-9

D = 0,37 ⋅ 1��,| ⋅ ! → turbulente Grenzschicht am Ende der Platte Gl. 10-10

D = 5 ⋅ ç!⋅¡� → laminar Gl. 10-11


10-9

Abb. 10-10: Grenzschicht an der längsangeströmten

Platte

Beispiel:

Der Finger (angenähert durch einen Zylinder mit � = 2 cm beschrieben) wird mit einer

Geschwindigkeit von : = 0,25 m s⁄ durch eine Kerzenflamme bewegt (Querströmung). Die

kinematische Viskosität I beträgt 15,11 ⋅ 10�Ö m2 s⁄ . Welche Grenzschichtdicken D stellen

sich in der Luft bei 20 ℃ im Staupunkt (Dc) und an der dicksten Stelle (D|) ein?

Lösung für die Grenzschichtdicke im Staupunkt:

Dc = 1,2 ⋅ � ⋅ ç cpòK (Gl. 10-3)

1�n = �⋅n! = �,|y ms ⋅�,�| mcy,cc⋅c�ÙÛm2s

= 330,9 (Gl. 10-4)

Dc = 1,2 ⋅ 0,02 m ⋅ ç c��,L = 1,32 mm

Lösung für die Grenzschichtdicke an der dicksten Stelle:

D| = 1,8 ⋅ 0,02 m ⋅ ç c��,L = 1,98 mm (Gl. 10-4)

Diese Schichtdicken bieten eine gewisse Zeit Schutz vor den heißen Brenngasen.


10-10

Entwicklung der Grenzschicht an einem Tragflächenprofil ( � = ~#M, das heißt, Î

ist sehr klein)

Abb. 10-11: Grenzschicht an einem Tragflächenprofil

(Geschwindigkeit 5ù ≙ :ù)

1� = g⋅�O⋅¡Ï = �O⋅¡! Gl. 10-12

Nach einer bestimmten Lauflänge =¬ wird die Strömung in der Grenzschicht instabil, da die

in der Strömung beteiligten Reibungskräfte zur Dämpfung von Störungen nicht mehr

ausreichen. Es kommt zum Umschlag laminar→turbulent. Hinter dem Umschlagpunkt ist die

Grenzschicht turbulent. Die Lage des Umschlagpunktes ist festgelegt durch die kritische

Reynolds-Zahl,

1�ÄÕ = �O⋅ÂP! Gl. 10-13

die außerdem von der Körpergeometrie abhängt.

In der Literatur findet man die Werte von 3,2 ⋅ 10y bis 3 ⋅ 10Ö. Normalerweise ist mit dem

unteren Grenzwert zu rechnen. Nur bei besonders störungsfreier Außenströmung wird

3 ⋅ 10Ö erreicht.

Außer der Reynolds-Zahl gibt es noch andere dimensionslose Größen zur Beschreibung der

Grenzschicht und damit zur Charakterisierung der Umströmung von Körpern.

Die auf den Staudruck der Anströmgeschwindigkeit bezogene Wandschubspannung heißt

Reibungsbeiwert (Strömungswiderstandskoeffizient, Widerstandsbeiwert) �� und ist wie

folgt definiert:

�� = QRS�⋅�O� = �S�⋅�O� ⋅� Gl. 10-14

mit der umströmten Referenzfläche �, die bei Fahrzeugen die Stirnfläche ist und in der

Flugzeugaerodynamik die Auftriebsfläche (Flügelfläche).


10-11

10.4 Umströmung von Körpern

10.4.1 Widerstand und dynamischer Auftrieb

Abb. 10-12: Widerstand und Auftrieb bei Tragflächen

Bei der Umströmung eines Körpers wirkt vom realen Fluid auf den Körper eine Kraft �. Das

Ziel ist es, diese Kraft zu berechnen.

In einem gewählten Koordinatensystem (KS) bestehend aus der Anströmrichtung

(horizontal) und einer Senkrechten dazu (parallel zur Erdbeschleunigung) kann diese Kraft in

ihre Komponenten zerlegt werde. Die Komponente in Anströmrichtung ist der

Strömungswiderstand ´T, die Komponente senkrecht dazu und parallel zur

Erdbeschleunigung ist der dynamische Auftrieb ´}.

Bei plumpen Körpern hat � praktisch die Richtung der Anströmgeschwindigkeit (siehe Abb.

10-13).

Abb. 10-13: Widerstand bei plumpen Körpern

Bei schlanken Körpern, insbesondere bei Tragflächen, kann die Richtung von � erheblich von :ù abweichen (siehe Abb. 10-14).


10-12

Abb. 10-14: Kombination der Koordinatensysteme A0W und D0R

Betrachten wir jetzt einen umströmten Körper und seine Oberfläche: An der Grenzfläche des

umströmten Körpers wirken in jedem Punkt eine Schubspannung M tangential zur

Grenzfläche und Druck ( normal zur Grenzfläche (siehe Abb. 10-15). Daher setzt sich der

Strömungswiderstand �� wiederum aus einer Kraft der Schubspannungen

(Reibungswiderstand �p) und der Druckspannungen (Druckwiderstand �Ô) zusammen.

Der Reibungswiderstand wird durch die Integration der Schubspannungen und der

Druckwiderstand durch die Integration der Druckspannungen über die Oberfläche

berechnet.

Abb. 10-15: Strömungswiderstand, zusammengesetzt aus Reibungs- und

Druckwiderstand

Bei plumpen Körpern gilt ´U ≫ ´ , bei schlanken Körpern ´ ≫ ´U.

Die folgende Tab. 10-1 gibt die ungefähre Aufteilung des Widerstandes in Duck- und

Reibungswiderstand für einige Fälle in Prozent an:

wꚘ


10-13

Tab. 10-1: Aufteilung des Widerstands eines umströmten Körpers

Körper Druckwiderstand

[%]

Reibungswiderstand

[%]

Tragfläche 10 90

PKW 90 10

Flugzeug 50 50

0 100

≈ 10 ≈ 90

≈ 90 ≈ 10

100 0

Der Reibungswiderstand ist eine Funktion der Viskosität. Im Idealfall reibungsloser Strömung

tritt kein Reibungswiderstand auf. Aber auch der Druckwiderstand verschwindet. Man

bezeichnet diese Tatsache als d'Alambertsches Paradoxon.

Die theoretische Bestimmung des Körperwiderstandes ist nicht möglich. Der

Körperwiderstand findet daher Eingang in die Berechnungen über die �-Beiwerte (��, �Ô, ��), die jeweils in Laborversuchen empirisch bestimmt werden. Es gilt:

d��, �Ô, ��e = ÈdGeometrie, Rauhigkeit, 1�, YQe Gl. 10-15

mit der Mach-Zahl YQ.

Eine Tabellierung erfolgt in Abhängigkeit des Anstellwinkels {. Für Standardgeometrien

findet man die �-Werte in umfassenden Tabellenwerken. Für individuelle Objekte müssen

spezielle Versuchsreihen durchgeführt werden. Dies ist zum Beispiel bei jedem neuen

Automodell der Fall und ein hoher Werbefaktor.

Der Widerstandsbeiwert �� ist definiert durch:

�� = �RS�⋅�O� ⋅�3 Gl. 10-16

Er ist eine dimensionslose Größe. Als Bezugsfläche �ú dient hier die Grundrissfläche

(Schattenfläche):


10-14

�ú = R ⋅ ! Gl. 10-17

Der Druckbeiwert � ist definiert durch:

� = �OS�⋅�O� Gl. 10-18

Der Auftriebsbeiwert �� ist definiert durch:

�� = � S�⋅�O� ⋅�3 Gl. 10-19

mit �� als der wirkenden Auftriebskraft.

Bei einer Anströmung erfährt jedes Objekt eine Widerstandskraft.

Objekte erfahren eine Auftriebskraft nur, wenn Anströmung asymmetrisch bezüglich der Achse in Anströmungsrichtung ist.

10.4.2 Grundlagen der praktischen Tragflügeltheorie

Das Koordinatensystem wird wie folgt definiert (siehe Abb. 10-16):

• ?-Achse: Parallel zur Schwerkraft

• =-Achse: Parallel zur Anströmrichtung (senkrecht zur Schwerkraft)

Abb. 10-16: Tragflügel im Koordinatensystem

γ

α

Vertikale Achse z Normale zur Tragfläche

γ + α = 90 ° c A ( -)

cW (+)

FW

FA

w

Anströmrichtung x γ

Tangentiale zur Tragfläche

γ + α = 90 ° c A ( -)

cW (+)

∞

FG


10-15

Abb. 10-17: Kräfte am Tragflügel

�� Widerstandskraft �� immer in Anströmrichtung und entgegen der

Bewegungsrichtung des Objektes (Strömungswiderstand)

�� Dynamische Auftriebskraft �� immer normal zur Anströmrichtung und

entgegen der Erdbeschleunigung

{ Winkel zwischen der Anströmrichtung und der Normalen zur Tragfläche

B Anstellwinkel der Tragfläche mit der Horizontalen

�X Zugkraft (Schubkraft) des Flugzeugs

∞

Vertikale Achse z

F

α

γ

F GTangentiale zur Tragfläche

Normale zur Tragfläche

γ + α = 90 °

Anström-

richtung x

w

Z

F

F W

F A

γ + α = 90 °


10-16

Abb. 10-18: Erklärung für den dynamischen Auftrieb (A� – Druck unmittelbar an der Tragflächenunterseite (AB – Druck unmittelbar an der Tragflächenoberseite (� – Umgebungsdruck außerhalb des Kontrollvolumens

Erklärung des dynamischen Auftriebes (siehe Abb. 10-18):

Im Nahfeld der angewinkelten Tragfläche wird ein Kontrollvolumen aufgespannt. Im vom

Tragflügel ungestörten Bereich an den Rändern des Kontrollvolumens herrscht jeweils

Normaldruck (�.

∞

Anströmrichtung x γ

α

Geschwindigkeit

v1 < v 2 < v 3 < v4 : Beschleunigung

pTo < p0 < pTu : Druckgradient

γ + α = 90°

w

Kontrollvolumen

α

z

p U Umgebungsdruck ungestörter Bereich oben

pTo<pU

v1

pTu>pU>pTo

pTu>pU

pU

Umgebungsdruck ungestörter Bereich unten

v2

v4

pTo

<pU< p

Tu


10-17

Die einströmende Luft mit (hier mit Geschwindigkeit 5ù) wird in diesem Kontrollvolumen

durch die angewinkelte Tragfläche nach unten umgelenkt und erfährt dabei eine

Vertikalbeschleunigung in Richtung Erdboden. Diese Vertikalbeschleunigung nach unten

bewirkt im Kontrollvolumen einen Druckgradienten in Richtung nach oben.

Unterhalb der Tragfläche nimmt der Druck in der Vertikalen zu – vom Normaldruck (� im

ungestörten Bereich auf einen höheren Druck unmittelbar an der Tragflächenunterseite

(Index 45): (A� > (�,�°;ò°

Oberhalb der Tragfläche nimmt der Druck ebenfalls in der Vertikalen von einem niedrigeren

Druck (AB unmittelbar an der Tragflächenoberseite wieder auf den Normaldruck (� im

ungestörten Bereich oben zu: (AB < (�,B�ò°

Daraus resultiert:

(A� > (� > (AB → (AB < (A� (Druckunterschied → Auftrieb)

Dieses Druckfeld ist die Ursache der Auftriebskraft!

Die Auftriebskraft ist eine Reaktionskraft, die aus der Vertikalbeschleunigung der Luft resultiert, die an einer angewinkelten Tragfläche in Richtung Erdboden umgelenkt wird.

Ob ein Flugobjekt fliegt oder nicht hängt nur vom Anstellwinkel der Tragfläche ab.

Diese Erklärung für den Auftrieb gilt nicht nur für das Abheben vom Boden, sondern auch für

alle Probleme mit dynamischen Auftriebskräften, die ganz allgemein als Kräfte normal zur

Strömungsrichtung verstanden werden.

Im Fall der Flugobjekte ist die Platte so als Tragfläche ausgerichtet, dass die resultierende

Auftriebskraft genau der Gewichtskraft des Flugobjektes entgegenwirkt.

Der Strömungswiderstand �� steht im Gleichgewicht zur Zugkraft (Schubkraft) �X, mit der

der Propeller das Flugzeug durch die Luft zieht (siehe


10-18

Abb. 10-17).

Der Auftrieb kann erhöht werden durch:

• Erhöhung der Geschwindigkeit 5ù

• Vergrößerung der Tragfläche

• Vergrößerung des Anstellwinkels B

Hierbei schließt sich eine komplizierte Optimierungsarbeit an. Die Geschwindigkeit kann man

erhöhen, indem leistungsfähige Antriebsaggregate eingebaut werden, was aber einen

höheren Energiebedarf verursacht.

Eine Vergrößerung der Tragflächen vergrößert gleichzeitig das Gewicht des Flugzeuges. Eine

Gegenmaßnahme dafür wären leichtere (und teurere) Werkstoffe.

Mit der Vergrößerung des Anstellwinkels steigt auch die Widerstandskraft der Tragfläche

und es kommt zu starken Wirbelablösungen auf der Rückseite, sodass die Geschwindigkeit

des Flugzeuges einbricht und sich damit auch wieder der Auftrieb verringert.

Und genau das ist der Grund für die Profilierung der Tragfläche. Tragflächen werden profiliert, um ein stabiles Strömungsfeld mit einem Maximum an Auftriebskraft bei gleichzeitiger Minimierung der Widerstandskraft zu generieren.

Abb. 10-19: Kraft aus Auftriebs- und

Widerstandskraft und aus den

Normal- und Tangentialspannungen

Tangentiale zur Tragfläche

F W

FAF

⋅τ dA

⋅dA

wꚘ

A

Normale zur Tragfläche


10-19

10.5 Widerstand der längsangeströmten Platte

Bei längsangeströmten Platten entsteht nur der Reibungswiderstand. Für die kritische

Reynolds-Zahl gilt:

1�ÄÕ = ¬O⋅ÂP! = 5 ⋅ 10y Gl. 10-20

hier mit Anströmgeschwindigkeit 6ù.

Ist die Plattenlänge ! < =¬, dann ist die gesamte Grenzschicht bis zur Plattenhinterkante

laminar. Ist die Plattenlänge ! > =¬, dann ist der vordere Teil der Grenzschicht (bis =¬)

laminar, dahinter wird sie turbulent.

Der Widerstandsbeiwert �� für eine einseitig benetzte ebene Platte als Funktion der

Reynolds-Zahl 1� und der relativen Sandrauhigkeit $ú !⁄ ist in Abb. 10-20 dargestellt.

Abb. 10-20: Widerstand der längsangeströmten ebenen Platte

Für die ��-Werte der längsangeströmten Platte gelten die folgenden Formeln:

Bereich (1) – Blasius (siehe Abb. 10-20):

Laminar, hydraulisch glatt, 1� < 5 ⋅ 10y

�� = c,�|%|²√pò Gl. 10-21


10-20

Bereich (2) – Prandtl:

Turbulent, hydraulisch glatt, 5 ⋅ 10y < 1� < 10Ö, ! ≫ =¬

�� = �,�Ø²√pòY Gl. 10-22

Bereich (3a) – Prandtl:

Turbulent, hydraulisch glatt, 5 ⋅ 10y < 1� < 10Ö, ! > =¬

�� = �,�Ø²√pòY � cØ��pò Gl. 10-23

Bereich (3) – Prandtl-Schlichting:

Turbulent, hydraulisch glatt, 10Ö < 1� < 10L, ! ≫ =¬

�� = �,²yydZé[pòe�,Y\ Gl. 10-24

Bereich (4):

Turbulent, hydraulisch glatt, 10Ö < 1� < 10L, ! > =¬

�� = �,²yydZé[pòe�,Y\ � cØ��pò und ¬O⋅Ä3! ≤ 100 Gl. 10-25

Bereich (5):

Turbulent mit Rauigkeit, 10Ö < 1� < 10L, 10� < ! $ú⁄ < 10L

�� = j1,89 + 1,62 ⋅ log ¡Ä3l�|,y und

¬O⋅Ä3! > 100 Gl. 10-26

Der Begriff „hydraulisch glatt“ bedeutet, dass die Rauigkeit keine Rolle spielt. Für

Rauhigkeitshöhen $ú, bei denen die Rauigkeit noch keinen Einfluss auf den Widerstand hat,

gilt die einfache Formel:

¬O⋅Ä3! ≤ 100 → hydraulisch glatt Gl. 10-27

Überschreitet $ú diese zulässige Grenze, dann sind zwei Bereiche zu unterscheiden:

¬O⋅Ä3! > 100 → Rauigkeit muss berücksichtigt werden Gl. 10-28

Im Bereich (4) (Nummerierung bezieht sich auf die eingekreisten Bereichsnummern in Abb.

10-20) ist der Widerstandsbeiwert von der relativen Rauhigkeitshöhe $ú !⁄ und der

Reynolds-Zahl 1� abhängig. Im Bereich (5) nur noch von $ú !⁄ .


10-21

10.6 Ablösung

Wenn ein Körper von einem Fluid angeströmt wird, bildet sich an seiner Vorderseite ein

Staupunkt aus (siehe Abb. 10-21).

Abb. 10-21: Staupunkt am umströmten Profil

In diesem Punkt ist die gesamte kinetische Energie der Anströmung vollständig in Druck

umgesetzt worden.

Wir verfolgen nun den Weg eines Fluidteilchens auf einer Stromlinie nahe der

Körperoberfläche (siehe Abb. 10-22).

Abb. 10-22: Druckverteilung am Profil bei Ablösung der Grenzschicht

mit dem Druckbeiwert � (siehe Gl. 10-18)

• Das Fluidteilchen bewegt sich vom Staupunkt aus in ein Gebiet abnehmenden

Druckes.

• Dabei wird es beschleunigt.

w∞


10-22

• In dieser Beschleunigungsphase nimmt seine kinetische Energie zu.

• Hinter der dicksten Stelle des Körpers steigt der Druck aber wieder an.

• Das Teilchen wird infolgedessen verzögert.

• Außerdem wirkt auf das Teilchen eine verzögernde Reibungskraft.

• Ein Teil der Energie wird dissipiert.

Als Folge davon reicht die gewonnene kinetische Energie nicht aus, um das Teilchen gegen

den Druckanstieg bis zum hinteren Ende des Körpers strömen zu lassen. Das Teilchen fängt

unter dem Einfluss des weiteren Druckanstieges an, in Gegenrichtung zu strömen. Es bildet

sich ein Rückströmungsgebiet, dass die Außenströmung von der Oberfläche abdrängt, was

zur Ablösung der Strömung von der Wand führt. Die Verhinderung der Ablösung ist durch

Absaugen der Grenzschicht möglich, wodurch diese eine konstante Dicke D erhält.


10-23

10.7 Umströmung einer Kugel

Die Kugel ist im Vergleich zu einem schlanken Körper ein stumpfer Körper. Daher ist mit

Strömungsablösung zu rechnen (siehe Abb. 10-23). Der überwiegende Teil des

Kugelwiderstandes ist der Druckwiderstand. Dieser ergibt sich aus:

�� = �RS�⋅�O� ⋅](⋅Ô� Gl. 10-29

In Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl 1� mit

1� = �O⋅Ô! Gl. 10-30

gilt außerdem:

1. �� = |²pò 10�² < 1� < 2 (Stokes) schleichende Strömung

2. �� = c%,ypòô,Û 2 < 1� < 0,5 ⋅ 10� Übergangsbereich nach Allen

3. �� = 0,4 0,5 ⋅ 10� < 1� < 2 ⋅ 10y unterkritisch nach Newton

4. �� = 0,08 2 ⋅ 10y < 1� < 10Ø überkritisch

5. �� = 0,2 1� > 10Ø transkritisch

Der Umschlag von laminarer zu turbulenter Umströmung erfolgt bei der kritischen Reynolds-

Zahl 1�ÄÕ = 3 ⋅ 10y.

a b

Abb. 10-23: Totwassergebiet hinter der Kugel (von Karmansche Wirbelstraße), a) bei

unterkritischer Strömung, b) bei überkritischer Strömung


10-24

Beispiel: Freier Fall mit Strömungswiderstand

Abb. 10-24: Körper im freien Fall

Beim freien Fall in einem Fluid wirken folgende Kräfte auf den Körper:

Die Gewichtskraft �

� = �© = & ⋅ � Gl. 10-31

wirkt nach unten, der Strömungswiderstand ��

�� = g| ⋅ :ù| ⋅ �� ⋅ � Gl. 10-32

nach oben – der Anströmgeschwindigkeit entgegengesetzt. Die Auftriebskraft �� (statischer

Auftrieb)

�� = K ⋅ � ⋅ 9 Gl. 10-33

ist ebenfalls nach oben gerichtet (K – Dichte der Luft, 9 – Volumen der Kugel).

Das Kräftegleichgewicht lautet somit:

�© = �� + �� Gl. 10-34


10-25

& ⋅ � = g| ⋅ :ù| ⋅ �� ⋅ � + K ⋅ � ⋅ 9 Gl. 10-35

Daraus ergibt sich für die stationäre Endgeschwindigkeit :ù:

:ù = ç2 ⋅ � ⋅ f�g⋅-ºR⋅g⋅� = ç2 ⋅ ÀºR⋅� ⋅ jfg � 9l Gl. 10-36

Wenn der statische Auftrieb vernachlässigt werden kann (K ≪ K³ bzw. K ⋅ 9 ≪ &), so

vereinfacht sich das Ergebnis zu:

:ù = ç |⋅À⋅fºR⋅g⋅� Gl. 10-37

Rechenbeispiel:

Gegeben ist eine Kugel, mit dem Durchmesser S und der Dichte a³, die in einer Flüssigkeit

der Dichte a nach unten sinkt. Nach einer gewissen Zeit bewegt sie sich mit der stationären

Sinkgeschwindigkeit :ù. Wie groß ist die Geschwindigkeit :ù?

Die Masse der Kugel & ist

& = K³ ⋅ � ⋅ 9 Gl. 10-38

Einsetzen in Gl. 10-36 ergibt für die Sinkgeschwindigkeit

:ù = ç2 ⋅ � ⋅ -⋅dgÁ�geºR⋅g⋅� Gl. 10-39

für deren Berechnung jedoch der korrekte ��-Wert benötigt wird. Dieser selbst hängt

jedoch von der Reynolds-Zahl und diese wiederum von der Fallgeschwindigkeit ab. Somit

lässt sich :ù nur durch einen iterativen Prozess bestimmen.

Man geht von einem Schätzwert für den ��-Wert aus, berechnet damit :ù und die

dazugehörige Reynolds-Zahl und prüft anhand des Diagramms (siehe Abb. 10-25), ob

Reynolds-Zahl und ��-Wert zueinander passen bzw. die Abweichung in einem tolerierbaren

Bereich liegt.


10-26

Abb. 10-25: Verlauf des Widerstandsbeiwertes �� der Kugel

10.7.1 Schleichende Strömung um eine Kugel in einer reibungsbehafteten

Flüssigkeit – Widerstandskraft

Ziel: Herleitung des ^T-Wertes

Die Kugel ist im Vergleich zu einem schlanken Profil ein stumpfer Körper. Daher ist mit

Strömungsablösung zu rechnen. Im Folgenden werden wir uns mit dem

Umströmungswiderstand beschäftigen.

Körperumströmungen bei kleinen Reynolds-Zahlen 1� < 1 werden in der Technik als

schleichende Strömungen bezeichnet. Sie treten auf, wenn z. B. die Zuströmgeschwindigkeit :ù klein oder die Viskosität I des strömenden Mediums groß ist. In diesem Kapitel soll die

schleichende, inkompressible Strömung um eine Kugel mit dem Durchmesser S betrachtet

werden.

Der Umströmungswiderstand �� eines Körpers setzt sich zusammen aus

• Druckwiderstand ��,Ô

• Reibungswiderstand ��,p

Gegebene Größen: :ù, (ù, Radius 1, I = F a⁄ , gesuchte Größen: ��,p, ��,Ô, �, ��


10-27

Abb. 10-26: Umströmung einer Kugel

10.7.1.1 Druckwiderstand

(³ Normalspannung (Konturdruck)

M Tangentialspannung (Schubspannung)

Abb. 10-27: Druckwiderstand bei der Umströmung einer Kugel

pꚘ

wꚘ


10-28

�� = d2 ⋅ Ó ⋅ Re ⋅ 1 ⋅ �{ dR = 1 ⋅ sin {e �� = 2 ⋅ Ó ⋅ 1| ⋅ sin { ⋅ �{

Gl. 10-40

Der Druckwiderstand resultiert aus der Integration der in Anströmrichtung wirkenden

Komponenten der Normalspannung (horizontale, d. h. =-Komponenten in diesem Beispiel)

��,Ô = (³ ⋅ ��_ = (³ ⋅ cos { ⋅ �� ,Ô = Å ��,Ô � = � Å (³ � ⋅ cos { ⋅ ��

Gl. 10-41

Der Druck (³ ist auf der Fläche �� konstant. Das Minuszeichen vor dem Integral

berücksichtigt, dass die Kräfte ��,Ô für 0 < { < 90° in negative =-Richtung und für 90° <{ < 180° in positive =-Richtung wirken.

��,Ô = � Å (³ � ⋅ cos { ⋅ 2 ⋅ Ó ⋅ 1| ⋅ sin { ⋅ �{ Gl. 10-42

Der Konturdruck (³ ergibt sich aus einer analytischen Lösung der Navier-Stokes-Gleichung

zu

(³ = � �⋅Ï⋅¬O|⋅p ⋅ cos { + (ù Gl. 10-43

Eingesetzt in Gl. 10-42 erhält man:

��,Ô = Å 2 ⋅ Ó ⋅ 1| ⋅ j�| ⋅ Ï⋅¬Op ⋅ cos { � (ùl ⋅ cos { ⋅ sin { ⋅ �{'� Gl. 10-44

Mit der Lösung des Integrals

� = 2Ó12 ⋅ jÅ 32 F⋅6∞1 cos2 { ⋅ sin { ⋅ �{Ó0 � Å (∞ ⋅ cos { ⋅ sin { ⋅ �{Ó0 l Gl. 10-45

�c = Å �| Ï⋅¬Op cos| { ⋅ sin { ⋅ �{'�

�c = Å (ù ⋅ cos { ⋅ sin { ⋅ �{'�

Gl. 10-46

Substitution:

cos { = ? ⇒ � sin { �{ = �? Gl. 10-47

�c = Å � �| ⋅ Ï⋅¬Op ⋅ ?|�? = � �| ⋅ Ï⋅¬Op ⋅ jc� ?�l Gl. 10-48

�c = � �| ⋅ Ï⋅¬Op ⋅ jc� cos� {l Gl. 10-49

�c = � �| ⋅ Ï⋅¬Op ⋅ c� ⋅ d�1 � 1e = Ï⋅¬Op Gl. 10-50


10-29

Für Integral 2 erhalten wir

�| = (ù ⋅ Å ? �? = (ù ⋅ c| ⋅ ?| Gl. 10-51

�| = �(ù ⋅ jc| cos| {l Gl. 10-52

�| = �(ù ⋅ d1 � 1e = 0 Gl. 10-53

Damit erhalten wir für ��,Ô:

��,Ô = 2 ⋅ Ó ⋅ 1| ⋅ Ï⋅¬Op = 2 ⋅ Ó ⋅ F ⋅ 1 ⋅ 6ù Gl. 10-54

10.7.1.2 Reibungswiderstand

Der Reibungswiderstand ��,p ergibt sich aus der Integration der horizontalen =-

Komponente der Tangentialspannungen ��,p = |M| ⋅ ��, die vom Fluid auf die Kontur

übertragen werden, also:

��,p = Å ��,p �̀ à = Å |M| ⋅ sin { �� Gl. 10-55

Die vom Fluid auf die Kugel übertragene Schubspannung M ergibt sich ebenfalls aus einer

analytischen Lösung der N-S-Gleichung zu:

M = �F �| ¬O êabëp Gl. 10-56

Damit kann der Reibungswiderstand durch Integration bestimmt werden.

��,p = Å F �| ¬O êabëp ⋅ sin { ⋅ 2Ó 1| ⋅ sin { �{'� Gl. 10-57

��,p = Å 3Ó F 6ù 1 sin� { �{'� Gl. 10-58

��,p = Å 4ÓF6ù1 �{'� Gl. 10-59

Damit beträgt die gesamte Widerstandskraft �� = ��,Ô + ��,p:

�� = ��,Ô + ��,p = 6ÓF6ù1

Gl. 10-60

Mit dem Ausdruck für die Widerstandskraft

�� = �� ø| 6ù| Ó1| Gl. 10-61


10-30

lässt sich der dimensionslose cw-Wert für diesen Fall berechnen:

�� = |�Rg�O� 'p� = |dÖ'Ï�Opeg�O� 'p� = c|Ïg�Op = |²ÏgcOÔ Gl. 10-62

Mit

1� = �OÔ! = g�OÔÏ Gl. 10-63

erhält man schließlich

�� = |²pò Gl. 10-64

10.7.2 Kugelumströmung in einer reibungslosen Flüssigkeit

Geschwindigkeitspotential d der Strömung

Lösung der Laplace-Gleichung mit den dazugehörigen Randbedingungen – der

Satz allein sagt gar nichts aus.

Abb. 10-28: Kugelumströmung

Das Problem ist rotationssymmetrisch zur =-Achse und wird in den Kugelkoordinaten

= = 0 ⋅ cos { > = 0 ⋅ sin { ⋅ cos @ ? = 0 ⋅ sin { ⋅ sin @

Gl. 10-65

formuliert, da sich der Rand dann als Fläche 0 = konst. besonders einfach beschreiben lässt.

Um das gesuchte Geschwindigkeitspotential N zu finden, muss die Laplace-Gleichung gelöst

werden.


10-31

Der Laplace-Operator für den Skalar N in Kugelkoordinaten lautet:

ΔN = ∇ ⋅ ∇N = cÕ� kkÕ j0| kfkÕ l + cÕ� êabë kkë jsin { kfkël + cÕ� cêab� ë k�fkg Gl. 10-66

Das Problem ist rotationssymmetrisch, somit gilt:

kfkÕ = 0 Gl. 10-67

und Gl. 10-66 vereinfacht sich zu

cÕ� kkÕ j0| kfkÕ l + cÕ� êabë kkë jsin { kfkël = 0 Gl. 10-68

Randbedingungen:

(i) an der Oberfläche (kein Durchfluss durch die Fläche):

:Õ = kfkÕ $Õ±p = 0 Gl. 10-69

(ii) im Unendlichen:

N|ù = :ù ⋅ 0 ⋅ cos { Gl. 10-70

Gl. 10-70 ist eine Funktion von 0 und N, die durch den Separationsansatz

Nd0, {e = 1d0e ⋅ �d{e Gl. 10-71

getrennt wird.

Nach kurzer Rechnung erhält man die Lösung:

N = :ù ⋅ j0 + c| pÚÕ�l cos { Gl. 10-72

Wir berechnen jetzt die Geschwindigkeit auf der Kugeloberfläche 0 = 1:

h :Õ = kfkÕ $Õ±p = :ù j1 � pÚÕÚl cos { = 0

:ë = cÕ kfkÕ $Õ±p = �:ù j0 + c| pÚÕ�l sin { = � �| :ù sin {s Gl. 10-73

10.7.3 Kraft auf die Kugel in einer reibungslosen Flüssigkeit

Die Bernoulli-Gleichung lautet:

(ù + g| :ù| = ( + g| :77⃗ ⋅ :77⃗ Gl. 10-74

auf der Kugel gilt: :Õ = 0 (Randbedingung!), des Weiteren ist


10-32

:ë = cÕ ⋅ kfkë$Õ±p = � �| :ù sin { Gl. 10-75

und somit

:77⃗ ⋅ :77⃗ = L² :ù| sin| { Gl. 10-76

Die Kraft � auf die Kugel ist:

�⃗ = �∬d( � (ùe ⋅ �Õ777⃗ ⋅ �� Gl. 10-77

�⃗ = � Å Å g| :ù| ⋅ j1 � L² sin| {l ⋅ �Õ777⃗ 1| ⋅ sin { ⋅ �{'� ⋅ �@|'� Gl. 10-78

mit

�Õ777⃗ = cos { ⋅ �Â777⃗ + sin { ⋅ cos @ ⋅ �Ã7777⃗ + sin { ⋅ sin @ ⋅ ��777⃗ Gl. 10-79

erhalten wir nach kurzer Rechnung (2 A4-Seiten, sehr dicht beschrieben ),

�⃗ = 0 Gl. 10-80

Der Druckbeiwert �, definiert als

� = �OS�⋅�O� Gl. 10-81

ergibt sich mit der Bernoulli-Gl. 10-74 und Gl. 10-76 zu

� = �OS�⋅�O� = 1 � L² sin| { Gl. 10-82

2018.17.09 vorlesung flm 1 - mb.fh-stralsund.de i/2018.17.09 vorlesung... · evangelista torricelli...

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