matematikalarispa.or.id/wp-content/uploads/2021/07/matematika... · 2021. 7. 23. · atau dengan...
TRANSCRIPT
Matematika
UU No 28 tahun 2014 tentang Hak Cipta Fungsi dan sifat hak cipta Pasal 4 Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 3 huruf a merupakan hak eksklusif yang terdiri atas hak moral dan hak ekonomi. Pembatasan Pelindungan Pasal 26 Ketentuan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 23, Pasal 24, dan Pasal 25 tidak berlaku terhadap: i. Penggunaan kutipan singkat Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait untuk pelaporan
peristiwa aktual yang ditujukan hanya untuk keperluan penyediaan informasi aktual; ii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk kepentingan penelitian
ilmu pengetahuan; iii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk keperluan pengajaran,
kecuali pertunjukan dan Fonogram yang telah dilakukan Pengumuman sebagai bahan ajar; dan
iv. Penggunaan untuk kepentingan pendidikan dan pengembangan ilmu pengetahuan yang memungkinkan suatu Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait dapat digunakan tanpa izin Pelaku Pertunjukan, Produser Fonogram, atau Lembaga Penyiaran.
Sanksi Pelanggaran Pasal 113 1. Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana
dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah).
2. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
Matematika
Cut Maulina, M.Pd.
Eka Nurmala, S.E., M.Si., Ak.
MATEMATIKA
Penulis :
Cut Maulina, M.Pd. Eka Nurmala, S.E., M.Si., Ak.
Copyright © 2020, Pada Penulis
Hak cipta dilindungi undang-undang
All rights reserved
Penata Letak: Amry Rasyadany
Perancang sampul: Herlambang Rahmadhani
Penerbit:
LARISPA INDONESIA
Jl. Sei Mencirim Komplek Lalang Green Land I Blok C No. 18 Medan
Kode Pos: 203522 Medan
Telp: (061) 80026116/ 8002 1139
Laman: www.larispa.or.id. / www.larispa.com
Edisi Pertama. 2020
ISBN : 978-602-6552-38-9
Dicetak oleh:
PENERBIT DEEPUBLISH
(Grup Penerbitan CV BUDI UTAMA)
Anggota IKAPI (076/DIY/2012)
Jl.Rajawali, G. Elang 6, No 3, Drono, Sardonoharjo, Ngaglik, Sleman
Jl.Kaliurang Km.9,3 – Yogyakarta 55581
Telp/Faks: (0274) 4533427
Website: www.deepublish.co.id
www.penerbitdeepublish.com
E-mail: [email protected]
v
KATA PENGANTAR
Modul Matematika ini merupakan buku yang dapat digunakan
sebagai buku ajar mata pelajaran Matematika untuk Diklat Ahli Nautika,
Teknika di Poltekpel Malahayati Aceh Besar.
Buku ini memenuhi kebutuhan pembelajaran Matematika yang
membangun siswa agar memiliki sikap ilmiah, objektif dan berpikir kritis.
Untuk memenuhi tujuan di atas dapat maka setiap bab ini disajikan
dalam beberapa poin yaitu: penjelasan materi yang sesuai dengan pola
berfikir siswa yaitu mudah diterima, contoh soal dan penyelesaian untuk
mendukung pemahaman materi dengan disertai soal yang di coba, latihan
disertai subbab untuk menguji kompetensi yang telah di kuasai, latihan
sebagai wahana siswa untuk mencoba menyelesaikan suatu permasalahan
yang bersifat konsep atau kontekstual.
Penyusun menyadari bahwa buku ini masih ada kekurangan dalam
penyusunan nya, namun penyusun berharap buku ini dapat bermanfaat
bagi Bapak/Ibu Instruktur dan siswa dalam proses belajar mengajar.
Kritik dan saran dari semua penggunaan buku ini sangat diharapkan,
semoga keberhasilan selalu berpihak pada kita semua.
Aceh Besar, Mei 2020
Cut Maulina, M.Pd.
Eka Nurmala, S.E., M.Si., AK.
vi
SINOPSIS
Modul Materi Matematika ini disusun untuk dapat mendampingi
siswa dalam belajar matematika yang telah disesuaikan dengan kurikulum.
Buku ini dibagi menjadi empat bagian, yaitu Operasi pada Bilangan Real,
Trigonometri, Barisan dan Deret, dan Persamaan dan Pertidaksamaan.
Pada bab I, siswa diharapkan dapat menerapkan operasi pada bilangan
berpangkat, menerapkan operasi pada bilangan irasional dan menerapkan
konsep logaritma. Pada bab II, siswa diharapkan dapat mengonversi
ukuran sudut; menentukan perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,
panjang sisi segitiga siku-siku, dan luas segitiga; menentukan aturan sinus
dan kosinus. Pada bab III, siswa diharapkan dapat menentukan barisan
aritmatika dan barisan geometri ditentukan dengan menggunakan sifat-
sifatnya. Pada bab IV, siswa diharapkan dapat menentukan himpunan
dasar penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier, menerapkan
persamaan dan pertidaksamaan kuadrat serta menentukan himpunan
penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linier menyelesaikan sistem
persamaan.
vii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .............................................................................. v
SINOPSIS ............................................................................................... vi
DAFTAR ISI .......................................................................................... vii
BAB 1
OPERASI PADA BILANGAN REAL .................................................. 1
A. BILANGAN REAL ............................................................. 2
B. BILANGAN BERPANGKAT ............................................ 23
C. BENTUK AKAR ............................................................... 31
D. LOGARITMA ................................................................... 39
BAB 2
TRIGONOMETRI .............................................................................. 55
A. Konversi Sudut .................................................................. 56
B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI .............................. 60
C. RUMUS SINUS DAN COSINUS ...................................... 70
D. LUAS SEGITIGA .............................................................. 72
BAB 3
BARISAN DAN DERET ..................................................................... 76
A. Barisan dan Deret Aritmetika ............................................. 77
B. Barisan Geometri dan Deret Geometri ................................ 82
C. Barisan Geometri ............................................................... 85
D. Deret Geometri .................................................................. 88
E. Deret Geometri Tak Berhingga ........................................... 92
viii
Bab 4
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN ....................................... 98
A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR ...... 99
B. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
KUADRAT ...................................................................... 106
C. MENERAPKAN PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT ................................. 120
D. SISTEM PERSAMAAN .................................................. 126
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................... 139
TENTANG PENULIS........................................................................... 140
Bab
1 OPERASI PADA BILANGAN REAL
Kompetensi Dasar :
Menerapkan Operasi Pada Bilangan Real
Menerapkan Operasi Pada Bilangan Berpangkat
Menerapkan Operasi Pada Bilangan Irasional
Menerapkan Konsep Logaritma
2
A. BILANGAN REAL
1. Sistem Bilangan Real
Bilangan atau angka adalah alat bantu untuk menghitung pada
kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu pengetahuan tentang bilangan harus
diketahui oleh setiap orang. Tahukah anda bilangan apa yang menduduki
tingkat tertinggi pada hierarki bilangan? Perhatikan skema bilangan
berikut ini.
Gambar Skema Bilangan
Bilangan Pecahan
%, desimal, pecahan
campuran dan biasa
Bilangan Imajiner Bilangan Real
Bilangan Rasional
Dapat dibentuk
menjadi
Bilangan Irrasional
Bentuk akar, π, nilai
log
tidak bulat, dll
Bilangan
Bulat
Bilangan Bulat Positif
(Bilangan Asli)
0 (nol) Bilangan Bulat Negatif
Bilangan Prima 1 Bilangan Komposit
Bilangan
kompleks
3
Dari skema tersebut, kita dapat membedakan macam-macam
bilangan antara lain sebagai berikut.
- Bilangan kompleks merupakan tingkatan bilangan yang paling
tinggi. Bilangan ini terdiri dari bilangan khayal (imajiner) dan
bilangan nyata (real).
- Bilangan imajiner adalah bilangan yang diperoleh dari akar bilangan
negatif. Misalnya, √−3ditulis 3i, atau √−5 ditulis 5i dengan i =
√−1 .
- Himpunan bilangan real biasanya dilambangkan dengan R. Bilangan
real dapat dipandang sebagai pengenal (label) untuk titik-titik
sepanjang garis bilangan, di mana bilangan-bilangan ini mengukur
jarak ke kanan atau ke kiri dari suatu titik tetap yang disebut titik
asal dan diberi label 0.
Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
𝑎
𝑏 dan biasanya banyak angka desimalnya tak hingga. Contoh
bilangan irasional adalah bilangan bentuk akar, π, dan lain-lain.
- Himpunan bilangan rasional biasanya dilambangkan dengan huruf
Q. Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk 𝑎
𝑏 dengan a dan b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0. Misalnya
: 6, 1
2,
7
9 dan sebagainya.
... -3 -2 -1-2
10 1 3 2 3 ...
4
Tidak semua bilangan yang memiliki banyak angka desimal tak
hingga merupakan bilangan irasional, contohnya bilangan desimal
berulang. Desimal berulang dinotasikan dengan tanda garis (bar)
tersebut angka yang berulang. Beberapa bilangan desimal berulang,
yaitu :
a. 0,555 ... = 0,5
b. 1,121212 ... = 1,12
c. 0,1373737 ... = 0,137
Bilangan desimal berulang merupakan bilangan rasional karena
dapat dibentuk menjadi pecahan 𝑎
𝑏. Perhatikan contoh berikut.
Contoh :
1. Ubahlah bilangan desimal berulang berikut ini menjadi bentuk 𝑎
𝑏 .
a. 0, 2
Jawab :
a. Misalkan 0, 2 = 0,2222 ... = x
2,2122 ... = 10x Kedua Ruas dikalikan
2 + 0,222 ... = 10x
2 + 0,222 = 10x
2 + x = 10x
2 = 9x
x = 2
9
Jadi 0, 2 = 2
9.
5
2. Tunjukan bahwa x = 0,136136136 ... adalah rasional.
Jawab :
Diketahui x = 0,136136136 . . ., maka 1.000x = 136,136136136
...
1.000x = 136,136136136 ...
X = 0,136136136 ...
999x = 136
x = 136
999
Jadi, x merupakan bilangan rasional.
- Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan B, terdiri dari bilangan
bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif.
- Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor,
yaitu 1 (satu) dan bilangan itu sendiri. Sedangkan bilangan komposit
adalah bilangan yang memiliki faktor lebih dari dua.
Bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan prima, dan
bilangan komposit diuraikan sebagai berikut.
- Himpunan bilangan asli (A) = {1,2,3, ...}
- Himpunan bilangan cacah (C) = {0, 1, 2, ...}
- Himpunan bilangan bulat (B) = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}
- Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
- Himpunan bilangan komposit = {4, 6, 8, 9....}
Latihan :
1. Jika A menyatakan himpunan bilangan asli, p menyatakan
himpunan bilangan prima, Ge menyatakan himpunan bilangan
genap. Ga menyatakan himpunan bilangan ganjil , dan C
6
menyatakan himpunan bilangan cacah, nyata himpunan-himpunan
tersebut dengan cara mendaftar anggota-anggotanya?
2. Jika semestanya merupakan himpunan semua bilangan bulat,
tulislah himpunan berikut ini dengan mendaftarkan anggota-
anggotanya :
a. K = {x l 3 ≤ 𝑥 < 12}
b. L = {x l x faktor dari 30 }
c. M = { x l x bilangan genap < 16 }
d. P = { x l -1 x 2, bilangan ganjil }
2. Operasi pada Bilangan Real
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Bilangan Real
Sifat-sifat pada operasi penjumlahan bilangan real antara lain
sebagai berikut. Untuk a, b, c R.
Untuk penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan
berlaku :
- Komutatif : a + b = b + a
- Asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
- Memiliki elemen identitas penjumlahan yaitu 0, sehingga a + 0 = 0
+ a = 0
- Memiliki invers penjumlahan.
Invers penjumlahan dari a adalah -a, sehingga a + (-a) = - a + a = 0.
- 𝑎
𝑏+
𝑏
𝑐=
𝑎+𝑏
𝑐 atau
𝑎
𝑐−
𝑏
𝑐=
𝑎−𝑏
𝑐 dengan a,b,cB dan c 0.
- 𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑=
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑 atau
𝑎
𝑏−
𝑐
𝑑=
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑏𝑑, dengan a,b,c,d Bdan b,d 0.
7
Atau dengan cara menyamakan penyebut dari pecahan-pecahan
tersebut terlebih dahulu, yakni dengan mencari Kelipatan Persekutuan
Terkecil (KPK) dari penyebut-penyebut tersebut.
Contoh :
Hitunglah :
a. 2 – 7
b. 3
12
5
24
Jawab :
a. 2 – 7 = – 5
b. 15
116
15
35
15
66
3
7
5
22
3
12
5
24
KPK dari 5 dan 3 adalah 15
Operasi Perkalian dan Pembagian pada Bilangan Real
- Komutatif : a . b = b . a
- Asosiatif : (a . b) . c = a . (b . c)
- Memiliki elemen identitas yaitu 1, sehingga a .1 = 1 . a = a
- Memiliki invers perkalian
Invers penjumlahan dari a adalah -a, sehingga a + (-a) = - a + a = 0.
- Untuk suatu a R, a ≠ 0, a . a
1= 1, dengan
a
1 disebut
invers perkalian dari a.
8
Pada perkalian dan pembagian bilangan real berlaku :
Untuk perkalian dan pembagian pada pecahan berlaku :
Contoh :
1. Tentukan invers perkalian dari :
a. 4
b. 9
7
Jawab :
a. Invers perkalian dari 4 adalah 4
1.
b. Invers perkalian dari 9
7adalah
7
9
2. Hitunglah :
a. 63 : (-9)
b. 3
1:
5
2
a . (-b) = -(ab) (-a) : b = - )(b
a
a : (-b) = - )(b
a (-a) . (-b) = ab
(-a) . b = -(ab) (-a) : (-b) = b
a
bd
ac
d
c
b
a.
bc
ad
d
c
b
a:
9
Jawab :
a. 63 : (-9) = -7
b. 5
11
5
6
1
3.
5
2
3
1:
5
2
3. Untuk membuat sebuah benda kerja diperlukan 5
3 bagian dari
sebatang besi yang panjangnya 4 meter. Jika dibuat sebanyak 50
unit benda kerja, berapa panjang besi yang digunakan seluruhnya?
Jawab :
Panjang besi yang diperlukan untuk 1 unit benda kerja
=5
124.
5
3 = meter
Panjang besi yang diperlukan untuk 50 unit benda kerja
= 12050.5
12 meter
Jadi, panjang besi yang digunakan seluruhnya adalah 120 meter.
Selain sifat-sifat tersebut, ada lagi sifat yang disebut sebagai sifat
distributif perkalian terhadap penjumlahan. Untuk a, b, c R,
a (b + c) = ab + ac
(a + b) c = ac + bc
Perhatikan contoh berikut.
Contoh :
1. Hitunglah :
a. 2(5 + 3)
10
Jawab :
a. 2(5 + 3) = 2 . 5 + 2 . 3 = 10 + 6 = 16
2. Hitunglah :
a. 105 . 8
Jawab :
a. 105 . 8 = (100 + 5) 8 = 100 . 8 + 5 . 8 = 800 + 40 = 840
3. Konversi Bilangan
Konversi didefinisikan sebagai perubahan dari suatu bentuk ke
bentuk lain. Konversi pada bilangan, misalnya pecahan, berarti mengubah
pecahan tersebut dalam bentuk persen, desimal, atau bentuk lain. Pada
bahasan ini kita akan mempelajari konversi bilangan pecahan, desimal, dan
persen.
Mengonversikan Pecahan ke Persen dan Sebaliknya
Pecahan b
a dapat dikonversikan menjadi persen dengan cara
mengalikan b
adengan 100 %. Sebaliknya, bilangan persen p%
dikonversikan menjadi pecahan dengan cara mengubahnya menjadi
pecahan biasa 100
p kemudian disederhanakan.
Contoh :
1. Konversikan pecahan berikut ke persen :
a. 8
1
11
Jawab :
a. %5,12%100.8
1
8
1
Mengonversikan Pecahan ke Desimal dan Sebaliknya
Untuk mengonversikan pecahan ke desimal atau sebaliknya,
perhatikan contoh berikut ini.
Contoh :
1. Konversikan pecahan berikut ke desimal.
a. 16
3
Jawab :
a.
Jadi, 3
16 = 0,1875.
0,1875
16 3
0
30
16
140
128
120
112
80
80
0
12
2. Konversikan bentuk desimal berikut ke pecahan.
a. 0,25
Jawab :
a. 0,25 = 4
1
100
25
Latihan :
1. Hitunglah :
a. 1246 + 3261 + 3754 + 1739 =
b. (7 x 39) + ( 7 x 61 ) =
2. Pak Rahmat menyimpan beras dalam 3 gudang. Gudang pertama
berisi 154 karung, gudang kedua berisi 139 karung, dan ketiga berisi
207 karung
a. Berapa karung beras yang dimiliki Pak Rahmat?
b. Jika 1 karung beras beratnya 40 kg, berapa kg jumlah beras Pak
rahmat yang tersimpan di dalam ketiga gudang tersebut?
c. Jika Pak Rahmat menjual beras tersebut dengan harga
Rp5.000,00kg, berapa rupiah uang yang diterima Pak Rahmat?
3. Ubahlah pecahan berikut ke dalam bentuk persen dan desimal :
a. 5
2
b. 4
3
c. 16
7
d. 50
3
13
e. 8
51
4. Nyatakan pecahan 0,35 dan 0,675 dalam bentuk persen
5. Jika x = 1 dan y = 2, hitunglah;
(x3 – 3x
2 + x ) – ( y
3 – 3y
2 + y)
4. Perbandingan
Kita dapat membuat perbandingan dari dua besaran yang sejenis,
misalnya : tinggi badan, panjang dan lebar dari suatu bangun. Hasil bagi
kedua besaran tersebut merupakan bilangan sederhana, yaitu berbentuk b
a
atau a : b dengan a dan b merupakan bilangan asli. Ada dua jenis
perbandingan, yaitu perbandingan senilai dan berbalik nilai.
Perbandingan Senilai
Suatu perbandingan disebut sebagai perbandingan senilai jika dua
perbandingan nilainya sama.
Untuk memahami arti perbandingan senilai, perhatikan contoh
berikut yang merupakan contoh perbandingan antara panjang kabel dengan
harga kabelnya.
Panjang kabel (m) Harga per meter (Rp)
1
2
3
3.000
6.000
9.000
bcdaataud
c
b
a.. atau a- d=c-b
14
- Perbandingan panjang kabel pada baris ke–1 dan baris ke–2 = 1 : 2.
Perbandingan harga kabel per meter pada baris ke–1 dan baris ke–2
= 3.000 : 6.000 = 1 : 2.
- Perbandingan panjang kabel pada baris ke–2 dan baris ke–3 = 2 : 3.
Perbandingan harga kabel per meter pada baris ke–2 dan baris ke–3
= 6.000 : 9.000 = 2 : 3.
Jika kita perhatikan perbandingan panjang kabel dan harganya pada
baris yang bersesuaian adalah sama. Jika panjang kabel bertambah, maka
harganya pun bertambah. Begitu pula jika panjang kabel tersebut
berkurang, maka harganya pun berkurang. Kita katakan bahwa
perbandingan antara panjang kabel dan harga kabel per meter tersebut
merupakan perbandingan senilai.
Contoh :
Dalam suatu perjalanan sejauh 40 km, sebuah mobil memerlukan
bahan bakar sebanyak 8 liter bensin. Jika mobil itu menempuh perjalanan
sejauh 120 km, berapa banyak bahan bakar yang diperlukan?
Jawab :
Masalah tersebut merupakan masalah perbandingan senilai karena
semakin jauh jarak perjalanan yang ditempuh, maka semakin banyak
bahan bakar yang diperlukan.
Cara I Perhitungan berdasarkan satuan
Bahan bakar untuk jarak tempuh 40 km = 8 liter
Bahan bakar untuk jarak tempuh 1 km = 40
8liter = 5 liter.
15
Jadi, bahan bakar untuk jarak tempuh 120 km = 120 . 5
1liter = 24
liter.
Cara II Perhitungan berdasarkan perbandingan
Banyak Bahan Bakar (liter) Jarak Tempuh (km)
8 40
x 120
Diperoleh perbandingan :
120
408
x8
40 . x = 8 . 120
40x = 960
x = 24
Jadi, bahan bakar yang diperlukan untuk perjalanan sejauh 120
km adalah 24 liter.
Perbandingan Berbalik Nilai
Suatu perbandingan disebut perbandingan berbalik nilai jika dua
perbandingan nilainya saling berkebalikan.
Untuk memahami arti perbandingan berbalik nilai, perhatikan
contoh berikut yang merupakan perbandingan antara kecepatan rata-rata
dan waktu yang ditempuh oleh sebuah kendaraan dalam sebuah perjalanan.
dbcaatauc
d
b
a..
16
Kecepatan (km/jam) Waktu tempuh (jam)
80
60
40
3
4
6
- Perbandingan kecepatan pada baris ke-1 : baris ke-2 = 80 : 60 = 4 :
3.
Perbandingan waktu pada baris ke-1 : baris ke-2 = 3 : 4.
- Perbandingan kecepatan pada baris ke-2 : baris ke-3 = 60 : 40 = 3 :
2.
Perbandingan waktu pada baris ke-2 : baris ke-3 = 4 : 6 = 2 : 3.
Jika diperhatikan perbandingan kecepatan dan waktu tempuh pada
baris yang bersesuaian adalah berbalik. Jika kecepatan bertambah, maka
waktunya menjadi berkurang dan jika kecepatan berkurang, maka
waktunya bertambah. Dikatakan bahwa perbandingan antara kecepatan
dan waktu tempuh merupakan perbandingan berbalik nilai.
Contoh :
1. Kereta Api ”Cirebon Express” jurusan Jakarta-Cirebon dalam
keadaan normal menempuh perjalanan selama 3,5 jam dari Jakarta
ke Cirebon dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam. Karena suatu hal,
pada suatu perjalanan kereta berangkat dari Jakarta pukul 10.00
tetapi tiba di tempat tujuan pukul 15.00. Berapakah kecepatan rata-
rata perjalanan kereta tersebut?
Jawab :
Lama perjalanan dari pukul 10.00 sampai pukul 15.00 adalah 5 jam.
Cara I Perhitungan berdasarkan hasil kali
17
Waktu Kecepatan
3,5 80
5 x
Diperoleh perbandingan : 805
5,3 x
3,5 . 80 = 5 . x
280 = 5x
x = 5
280 = 56 km/jam
Cara II Perhitungan berdasarkan perbandingan
Waktu Kecepatan
3,5 80
5 5
5,3. 80 = 56 km/jam
Jadi, kecepatan rata-rata kereta tersebut 56 km/jam.
2. Seorang petani mempunyai persediaan makanan untuk 80 ekor
ternaknya selama satu bulan. Jika petani tersebut menambah 20 ekor
ternak lagi, berapa hari persediaan makanan itu akan habis?
Jawab :
Jika ternak tersebut bertambah, maka makanan ternak tersebut akan
cepat habis atau makanan akan habis sebelum satu bulan.
Cara I Perhitungan berdasarkan hasil kali
Banyak ternak Hari
80 30
(80 + 20) = 100 x
18
Diperoleh perbandingan : 30100
80 x
80 . 30 = 100 . x
2.400 = 100x
x = 24100
400.2
Cara II Perhitungan berdasarkan perbandingan
Banyak ternak Hari
80 30
(80 + 20) = 100 100
80 . 30 = 24
Jadi, persediaan makanan akan habis untuk 100 ekor ternak selama
24 hari.
Latihan :
1. Sederhanakan perbandingan berikut ini
a. 10 : 125
b. .2
14:
2
11
c. 2,5m : 25m
d. 20 % : 0,75
2. Sebatang perunggu terbuat dari 10 ons tembaga, 3 ons timah hitam,
dan 7 ons timah putih. Berapakah persentase tiap – tiap bahan
tersebut dalam perunggu itu?
3. Rata- rata perbandingan kemampuan kerja seorang pekerja laki- laki
dan perempuan dalam merakit alat elektronik adalah 7 : 4. Dalam
19
suatu pabrik elektronika yang memproduksi pesawat televisi dalam
sebulan menghasilkan 22.000 pesawat. Tentukanlah
a. Banyaknya pesawat televisi yang dihasilkan pekerja laki- laki
b. Banyaknya pesawat televisi yang dihasilkan pekerja perempuan
c. Jika dalam kondisi tertentu ternyata pesawat televisi yang
dihasilkan pekerja perempuan adalah 6.000 berapa yang
dihasilkan pekerja laki- laki
4. Jarak Bandung- Jakarta ditempuh dengan mobil selama 2,5 jam
dengan kecepatan rata- rata 50 km/jam. Jika Ridwan berangkat pada
pukul 05.00 dan ingin sampai di Jakarta pukul 07.00, berapa km/
jam ia harus memacu mobilnya?
5. Suatu asrama mempunyai persediaan makanan untuk 60 orang
selama 20 hari. Jika ada 10 orang anggota baru asrama yang datang,
dalam waktu berapa hari persediaan makanan tersebut akan habis?
5. Skala
Dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang teknik maupun
bangunan atau konstruksi skala selalu digunakan untuk mendesain gambar
dengan maksud untuk lebih memudahkan dalam membaca ataupun
merekayasa dari rencana gambar sebelum gambar tersebut dibuat benda
atau bangun aslinya. Skala ialah bentuk perbandingan senilai dari ukuran
suatu besaran nyata.
Jika kita membaca suatu peta, maka di sana akan tertulis skala peta
tersebut. Misalnya tertulis 1 : 200.000, artinya jarak 1 cm pada peta
tersebut sama dengan 200.000 cm pada jarak sebenarnya.
Untuk menuliskan skala dari dua besaran yang tidak sejenis maka
satuan dari dua besaran tersebut tetap dituliskan, misalnya dalam ilmu
20
gaya atau dalam fisika maka besarnya gaya diasosiasikan dengan ukuran
sentimeter. Sebagai contoh, 1 cm mewakili 100 Newton maka ditulis 1 cm
: 100 N.
Contoh :
1. Jarak dua kota pada peta 12,5 cm. Jika skala peta tersebut 1 :
500.000, berapakah jarak kedua kota itu sesungguhnya?
Jawab :
Jarak pada peta (cm) Jarak sebenarnya (cm)
l 500.000
12,5 x
Diperoleh perbandingan senilai :
x
000.500
5,12
1
1 . x = 12,5 . 500.000
x = 6.250.000 cm
x = 62,5 km
Jadi, jarak kedua kota tersebut adalah 62,5 km.
6. Aplikasi Bilangan Real
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menggunakan konsep
sistem bilangan real untuk menyelesaikan permasalahan.
Contoh :
1. Seorang pria mewariskan harta sebesar Rp120.000.000,00 kepada
empat anaknya. Ketiga anaknya yang pertama masing-masing
21
mendapatkan 4
1,
3
1, dan
5
1 dari seluruh harta warisan. Sedangkan
sisanya diberikan kepada anak keempat. Berapakah warisan yang
diperoleh masing-masing anak?
Jawab :
Warisan yang diterima anak I = 3
1. Rp120.000.000,00 =
Rp40.000.000,00
Warisan yang diterima anak II = 4
1. Rp120.000.000,00 =
Rp30.000.000,00
Warisan yang diterima anak III = 5
1 . Rp120.000.000,00 =
Rp24.000.000,00
Warisan yang diterima anak IV =
5
1
4
1
3
11 . Rp120.000.000,00
=
60
12
60
15
60
20
60
60. Rp120.000.000,00
= 60
13. Rp120.000.000,00 = Rp26.000.000,00
2. Untuk membuat speaker aktif diperlukan modal sebesar
Rp200.000,00. Jika speaker tersebut dijual dengan harga
Rp260.000,00, berapakah keuntungan dan persentase keuntungan
dari hasil penjualan tersebut?
22
Jawab :
Keuntungan = Rp260.000,00 – Rp200.000,00
= Rp60.000,00
% keuntungan = 000.200
000.60
. 100% = 30%
Latihan
1. Peternak ayam dapat menghasilkan 10.000 butir telur per hari.
Modal yang dikeluarkan per bulan untuk membeli makanan ternak
dan lain- lain adalah Rp8.000.000,00. Peternak tersebut
menginginkan keuntungan dari usaha tersebut sebesar Rp2.000.000,
per bulan.
Tentukanlah
a. Harga jual telur per butirnya
b. Persentase keuntungannya
2. Seorang pria mewariskan hartanya kepada ketiga anaknya dengan
pembagian sebagai berikut : anak pertama mendapatkan jatah 30%,
anak kedua dengan jatah 5
1, dan sisanya disumbangkan kepada
seberapa yayasan Rp360 juta, tentukan bagian masing- masing anak
dan bagian yang disumbangkan kepada yayasan social tersebut?
3. Sebuah foto berukuran panjang 8 cm dan lebar 7 cm, diperbesar
lebarnya menjadi 35 cm. tentukan luas foto tersebut setelah
diperbesar?
4. Dalam suatu peta, jarak kota A ke kota B digambarkan sepanjang 5
cm. Jika skala yang digunakan dalam peta tersebut 1 : 2. 500.000,
Tentukan :
23
a. Jarak yang sebenarnya dari kota A ke kota B
b. Jarak Kota C ke Kota A dalam peta apabila jarak yang
sebenarnya dari kedua kota tersebut 375 km.
5. Selesaikanlah
a. 12% dari Rp64.000.000,00
b. 16% dari Rp36.000.000,00
6. Pak Ahmad akan menjual berasnya sebanyak 100 karung dengan
berat per karung 50 kg. Ia akan menjualnya melalui seorang
komisioner dengan kesepakatan tara 2% rafaksi 10% dan komisi
20%. Jika beras dijual rp3.000,00 per kg, Tentukan :
a. Besar komisi,
b. Hasil penjualan yang diterima pak Ahmad
7. Dalam program cuci gudang, Toko murah memberikan diskon
sebesar 35% Untuk produk A, 25% untuk produk B, dan 15% Untuk
produk c. Jika arista berbelanja produk A senilai Rp700.000,00,
produk B senilai Rp600.000,00 dan produk C senilai Rp400.000,00
tentukanlah :
a. Besarnya diskon yang diterima Arista
b. Jumlah uang yang harus dibayar oleh Arista
8. Harga pembelian sebuah barang Rp5.000.000,00, jika barang
tersebut laku dijual dengan harga Rp6.000.000,00, tentukan :
a. Besarnya laba yang diperoleh
b. Persentase laba dari harga pembelian
B. BILANGAN BERPANGKAT
Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka
pangkat n dari a ditulis an didefinisikan sebagai berikut :
24
an
dibaca a pangkat n, dengan a merupakan bilangan pokok atau
dasar, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.
Contoh :
Uraikan dan hitunglah :
a. 54
b.
5
3
1
Jawab :
a. 54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
b. 243
1
3
1.
3
1.
3
1.
3
1.
3
1
3
15
1. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat
Untuk menyelesaikan atau menyederhanakan bentuk bilangan
berpangkat, digunakan sifat-sifal bilangan berpangkat, yaitu :
Perkalian Bilangan Berpangkat
Untuk a, m, dan n R maka perkalian bilangan berpangkat dapat
dinyatakan sebagai berikut :
sebanyak n
am . an = am + n, a ≠ 0
25
Perhatikan contoh berikut.
Contoh :
a. 243
1
3
1
3
1
3
1.
3
153222
b. 10 x 106 = 10
1+6 = 10
7
Pembagian Bilangan Berpangkat
Untuk a, m, dan n R maka pembagian bilangan berpangkat dapat
dinyatakan sebagai berikut :
Contoh :
a. 25
1
5
1
5
1
5
1:
5
122424
b. 53 : 5
-1 = 5
3-(-1) = 5
4
Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Untuk a, m, dan n R maka pemangkatan bilangan berpangkat
dapat dinyatakan sebagai berikut :
0, aaa
a nm
n
m
0,. aaa nmnm
26
Contoh :
a. 5)5(5
4.4
14
4
1
b. 2733381 34
3.4
4
344
3
Perpangkatan dari Perkalian Dua atau Lebih Bilangan
Untuk a, b, m R maka perpangkatan dari perkalian dua atau lebih
bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut :
Contoh :
a. (3 . 5)7 = 3
7 . 5
7
b. (32 . 5 . 2)
4 = 3
8 . 5
4 . 2
4
Perpangkatan Bilangan Pecahan
Untuk a, b dan m R maka pemangkatan bilangan pecahan dapat
dinyatakan sebagai berikut :
Contoh :
a. 1004 : 50
4 = (100 : 50)
4 = 2
4 = 16
0,0,.).( bababa mmm
0,0,
ba
b
a
b
am
mm
27
b. 1220
844
35
2
.
.
.
.
dc
ba
dc
ba
Bilangan Berpangkat Nol
Untuk a R maka bilangan berpangkat nol dapat dinyatakan
sebagai berikut :
Bilangan Berpangkat Negatif
Untuk a R dan m R maka pangkat bilangan negatif dapat
dinyatakan sebagai berikut :
Contoh :
1. Selesaikanlah.
a. 5-1
b.
4
3
81
1
Jawab :
a. 5
15 1
b. 27
1333
81
1 34
3.4
4
34
4
3
0,10 aa
0,1
aa
am
m
28
2. Sederhanakanlah dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif dari
129
253
..6
..2
cba
cba
Jawab :
3
..
..6
..2 )1(22593
129
253
cba
cba
cba =
3
.. 376 cba
= 76
3
.3 ba
c
Bilangan Berpangkat Pecahan
Bilangan berpangkat n
m
a yang dipangkatkan sebesar n dapat ditulis
sebagai berikut.
=
nn
m
a.
= ma
n
m
a = n ma
n madiartikan sebagai akar pangkat ke-n dari a
m, sehingga
sebanyak
n mn
m
aa
29
Contoh :
a. 33 23
2
2555 c. 888 2 12
1
b. 25555 24
8
4 8 d. aa 2
1
Untuk bilangan yang sangat kecil maupun sangat besar nilainya,
bilangan tersebut dapat ditulis secara ringkas dengan menggunakan notasi
ilmiah atau biasa disebut sebagai bentuk baku.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh :
Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini ke dalam bentuk baku, yaitu
a . 10n , 1 ≤ a < 10, dan n B.
a. 0,0000407 c. 160.854.000.000
b. 0,0000000030486 d. 5.704.300.000.000
Jawab :
a. 0,0000407 = 4,07 . 10-5
b. 0,0000000030486 = 3,0486 . 10-9
c. 160.854.000.000 = 1,60854 . 1011
d. 5.704.300.000.000 = 5,7043 . 1012
Latihan :
1. Sederhanakan dengan menggunakan rumus penjumlahan bilangan
berpangkat.
a. 73 . 7
5 . 7
-2
b. P7 . p
-1
c. 10 . 106 . 10
-4 . 10
7
30
d. (1
5)
2. (
1
5)
-4. (
1
5)
2. Sederhanakan dengan menggunakan rumus pembagian bilangan
berpangkat.
a. 210
: 28
b. 3 : 3
c. 10 : 100-2
d. 33. 3
-1 : 3
5.3
2
3. Sederhanakan :
a. ab =
b. 23
1a
=
c. 223
32 3
cba
ba
=
d. (1
𝑎−
1
𝑏)-3
=
4. Nyatakan bentuk- bentuk berikut ini ke dalam bentuk pecahan ,
kemudian sederhanakan
a. √(27)23
b. √325
c. 1
3√2455
5. Jika x = 27, y= 36 dan z= 5, maka tentukan nilai 2
2
3
3
2
.
z
yx
31
C. BENTUK AKAR
Contoh bilangan irasional yang sering dibahas adalah bentuk akar
dan nilai logaritma yang tidak bulat. Bentuk akar akan dibahas pada
subbab ini, sedangkan nilai logaritma akan dibahas pada subbab
berikutnya.
1. Definisi Bentuk Akar
Seperti yang sudah dibahas pada subbab sebelumnya, bahwa
aa 2
1
. Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya
memuat banyaknya angka desimal tak hingga.
Contoh :
50,15,8,3,2 dan lain-lain. Sedangkan 64,4,1 dan
bukan bentuk akar karena .864,24,11 Bilangan 1, 2, dan 8
bukan bilangan irasional.
2. Menyederhanakan Bentuk Akar
Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan
di dalam akar tersebut menjadi dua bilangan di mana bilangan yang satu
dapat diakarkan sedang bilangan yang lain tidak dapat diakarkan.
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut ini :
a. 32 b. 18 c. 125 d. 3 81
32
Jawab :
a. 242.162.1632
b. 232.162.918
c. 555.255.25125
d. 3333
1
3
1
33 333.2727)3.27(3.2781
3. Mengoperasikan Bentuk Akar
Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Dua bilangan bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika
bentuk akarnya sejenis.
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut ini.
a. 5254
b. 652
c. 37523254
Jawab :
a. 5254
= (4 + 2) 565
b. 652
Tidak dapat disederhanakan karena bentuk
akarnya berlainan
c. 37523254
=(4 – 2)809523)72(5
33
Perkalian Bilangan Real dengan Bentuk Akar
Untuk perkalian bilangan real dengan bentuk akar, gunakan rumus
berikut ini.
Contoh :
Hitung dan sederhanakan bentuk akar berikut ini.
a. 53.6
b. 205,0.8
Jawab :
a. 51853.6
b. 5852.4204205,0.8
Perkalian Bentuk Akar dengan Bentuk Akar
Untuk perkalian bentuk akar dengan bentuk akar, gunakan rumus
berikut ini.
atau
Contoh :
Hitung dan sederhanakan bentuk akar berikut ini :
a. 6.7
b. 123.22
c. 5858
cabcba .
baba .. fdecfedc ...
34
Jawab :
a. 426.76.7
b. 61262.6246123.22
c. 3585404085858
Dari contoh d dapat dituliskan,
Contoh :
Dengan menggunakan rumus tersebut, sederhanakan bentuk akar
berikut ini :
a. 315315
Jawab :
a. 12315315315
Pembagian Bentuk Akar
Penyederhanaan pembagian bentuk akar sering disebut dengan
merasionalkan penyebut bentuk pecahan. Untuk merasionalkan penyebut
bentuk pecahan, bilangan tersebut dikalikan dengan sekawannya dari
penyebut. Perhatikan rasionalisasi bentuk-bentuk berikut ini.
(i) Bentuk b
a
bababa
35
Contoh :
Rasionalkan bentuk-bentuk berikut ini.
a. 2
8
b. 10
52
Jawab :
a. 242
28
2
2.
2
8
2
8
b. 210
25.2
10
502
10
10.
10
52
10
52
(ii) Bentuk ba
k
Contoh :
Rasionalkan bentuk-bentuk berikut ini.
a. 31
2
b
ba
b
b
b
a
b
a .
ba
bak
ba
ba
ba
k
ba
k
2
.
36
b. 175
8
Jawab :
a.
22 31
312
31
31.
31
2
31
2
= 1331
2
312
31
312
b.
175
8
1758
175
1758
175
175.
175
8
175
82
175
8
1758
175
1758
175
175.
175
8
175
82
(iii) Bentuk ba
k
Contoh :
Rasionalkan bentuk-bentuk berikut ini.
a. 23
23
b. 35
22
ba
bak
ba
ba
ba
k
ba
k
.
37
Jawab :
a.
625
1
2623
23
23
22
23.
22
23
23
232
625
1
2623
23
23
22
23.
22
23
23
232
b.
22
35
3522
35
35.
35
22
35
22
= 61035
62102
4. Menyelesaikan Persamaan dalam Bentuk Pangkat (Pengayaan)
Persamaan dalam bentuk pangkat dapat diselesaikan dengan cara
menyatakan ruas kiri dan kanan dalam bentuk eksponen/pangkat
sedemikian sehingga bilangan pokok kedua ruas tersebut sama. Jika
bilangan pokok kedua ruas tersebut sudah sama, maka tinggal
menyamakan kedua eksponennya.
Contoh :
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini :
a. 409643 x
b.
xx 3412 279
Jawab :
a. 409643 x
6443 x
b. xx 3412 279
xx 343122 33
38
632 22
x
66 22 x
6x = 6
x = 1
xx 91224 33
xx 91224
21294 xx
1413 x
13
14x
Latihan :
1. Sederhanakan bentuk penjumlahan bentuk akar berikut ini.
a. 12√6 - 7√6 + 3√6
b. 6√5 + √5 - 20√5
c.2√150 + 3√54 - √294 + 3√486
2. Sederhanakan bentuk perkalian akar berikut ini
a. √50 . √20
b. 2√3 (2√40 + √12)
c. (√2 + √5)(√2 − √5)
3. Rasionalkanlah bentuk-bentuk berikut ini
a. 2
√3
b. 1
√2
c. √2
√3
d. 4
2−√3
4. Sederhanakan bentuk akar
21
3)2712(
5. Tentukan nilai dari
39
a. √3𝑥+3 = (1
3)6−𝑥
b. 1288-2
= 210+x
D. LOGARITMA
1. Pengertian Logaritma
Logaritma merupakan invers dari eksponen. Secara umum ditulis :
dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0, a disebut bilangan pokok logaritma atau basis, b
disebut numerus, yaitu bilangan yang dilogaritmakan.
Contoh :
Nyatakan dalam bentuk logaritma.
a. 22 = 8
b. 3-4 =
81
1
c. 104 = 10.000
Jawab :
a. 38log82 23
b. 4
81
1log
81
13 34
c. 4000.10log4000.10log000.1010 104 atau
2. Sifat-Sifat Logaritma
Sifat-sifat logaritma berikut ini berlaku dengan syarat p > 0 dan p ≠
l, a > 0, b > 0, dan m, n R.
cbba ac log
40
Sifat 1
Sifat 2
Sifat 3
Sifat 4
Sifat 5
Sifat 6
Sifat 7
Sifat 8
Sifat 9
Sifat 10
Sifat 11
baba ppp loglog).(log
bab
a ppp logloglog
ana pnp log.log
a
bb
p
pa
log
loglog
ab
b
alog
log
1
bn
b aan
log.1
log
bn
mb aman
log.log
ba ba log
01log p
1log aa
bba pap loglog.log
41
Contoh :
1. Tentukan nilai dari :
a. 9log3log24log 22 a
b. 4
1log.32log8log.2 222
Jawab :
a. 9
3.24log9log24log 222
sifat 1 dan sifat 2
= 322 2log8log sifat 4
b. 4
1log.32log8log.2 222
=
3
2222
4
1log2log8log
sifat 3
= 3222
1
2232 2log2log2log sifat 1 dan sifat 2
=
2
112
2)6(
2
16
2
6
2
1
62 2log2log
2
2.2log
sifat 4 dan sifat 1
= 2
1122log.
2
112 2
2. Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai dari :
a. 27log3
b. 343
1log7
42
Jawab :
a. 31.33log.33log27log 3333 sifat 3 dan sifat 10
b. 67log
2
1
37log
343
1log 7377 2
1
sifat 6
3. Jika diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka tentukan
a. log 12
b. Log 0,125
Jawab :
a. log 12 = log (2 . 2. 3)
= log 2 + log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,3010 + 0,4771 = 1,0791
b. log 0,125 =
32log8
1log
= -3 . log 2
= -3 . 0,3010 = -9,9030
4. Jika log5
4 = a dan ,3log4 btentukan nilai dari
.20log3
Jawab :
aa
4log5log
5log
4log4log5
4log.3log4log
3log3log4 bb
3log
5log4log
3log
5.4log
3log
20log20log3
43
=
ab
a
b
a
b
a 1
11
4log
4log4log
3. Tabel Logaritma dan Antilogaritma
Salah satu cara untuk menentukan nilai logaritma dan antilogaritma
suatu bilangan adalah dengan menggunakan bantuan tabel. Pada tabel
logaritma ini hanya diberikan nilai logaritma suatu bilangan dengan basis
10. Untuk nilai logaritma lainnya, kita dapat mengubahnya menjadi
berbasis 10.
Menentukan Nilai Logaritma Suatu Bilangan dengan Tabel
Logaritma
Tabel logaritma hanya memberikan nilai logaritma suatu bilangan
berbasis 10. Bagaimana menentukan logaritma dengan basis tertentu 3log
2, 2log 5 atau
5log 15? Kita dapat mengubah logaritma-logaritma bilangan
tersebut menjadi berbasis 10 dengan bantuan sifat-sifat logaritma.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh :
Ubahlah logaritma berikut menjadi bentuk logaritma berbasis 10.
a. 3log 2
b. 15log5
1
Jawab :
a. 3log
2log2log3
44
b. 5log
15log
5log
15log
5
1log
15log15log
15
1
Nilai logaritma suatu bilangan merupakan bilangan yang terdiri dari
dua bagian yaitu karakteristik atau indeks yang berupa bilangan bulat, dan
mantisa yaitu bagian desimal. Misalkan M sebuah bilangan yang dapat
ditulis dalam bentuk baku M = p . 10n dengan 1 ≤ p ≤ 10 dan n bilangan
bulat, maka nilai logaritma M ditulis sebagai berikut.
log M = log (p . 10n)
= log p + log 10n
= log p + n
= n + log p
karakteristik mantisa
Dari persamaan tersebut, dapat diketahui nilai karakteristik
logaritma suatu bilangan sebagai berikut.
- 1 ≤ a ≤ 10, maka karakteristik log a adalah 0.
- 10 ≤ a < 100, maka karakteristik log a adalah 1.
- 100 ≤ a < 1.000, maka karakteristik log a adalah 2. dan seterusnya.
Aturan yang sama juga berlaku untuk bilangan desimal.
Mantisa dapat dilihat pada tabel logaritma. Perhatikan sebagian
tabel logaritma berikut (tabel logaritma lengkap ada di bagian akhir buku
ini).
45
TABEL LOGARITMA log x
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.0 .0000 .0043 .0086 .0128 .0170 .0212 .0253 .0294 .0334 .0374
1.1 .0414 .0453 .0492 .0531 .0569 .0607 .0645 .0682 .0719 .0755
1.2 .792 .0828 .0864 .0899 .0934 .0969 .1004 .1038 .1072 .1106
1.3 .1139 .1173 .1206 .1239 .1271 .1303 .1335 .1367 .1399 .1430
1.4 .1461 .1492 .1523 .1553 .1584 .1614 .1644 .1673 .1703 .1732
1.5 .1761. .1790 .1818 .1847 .1875 .1903 .1931 .1959 .1987 .2014
1.6 .2041 .2068 .2095 .2122 .2148 .2175 .2201 .2227 .2253 .2279
1.7 .2304 .2330 .2355 .2380 .2405 .2430 .2455 .2480 .2504 .2529
1.8 .2553 .2577 .2601 .2625 .2648 .2672 .2695 .2718 .2742 .2765
1.9 .2788 .2810 .2833 .2856 .2878 .2900 .2923 .2945 .2967 .2989
2.0 .3010 .3032 .3054 .3075 .3096 .3118 .3139 .3160 .3181 .3201
2.1 .3222 .3243 .3263 .3284 .3304 .3224 .3345 .3365 .3385 .3404
2.2 .3424 .3444 .3464 .3453 .3502 .3522 .3541 .3560 .3579 .3598
2.3 .3617 .3636 .3655 .3674 .3692 .3711 .3729 .3747 .3766 .3784
Bilangan-bilangan pada kolom yang tidak diraster adalah mantisa
yang menunjukkan nilai logaritma suatu bilangan. Perhatikan cara
menentukan nilai logaritma suatu bilangan pada contoh berikut.
Contoh :
Dengan tabel logaritma, tentukan nilai dari :
a. log 1,76 c. 2log 30
b. log 2,38 d. 4log 0,57
Jawab :
a. Pilih 1,7 pada kolom pertama lalu pilih 6 pada baris pertama. Nilai
log 1,76 adalah perpotongan kolom dan baris tersebut.
46
log x
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.0 … … … … … … … … … …
1.1 … … … … … … … … … …
1.2 … … … … … … … … … …
1.3 … … … … … … … … … …
1.4 … … … … … … … … … …
1.5 … … … … … … … … … …
1.6 … … … … … … … … … …
1.7 … … … … … … .2455 … … …
Jadi, log 1,76 = 0,2455.
b. (Lihat tabel lengkap logaritma)
Pilih 2,3 pada kolom pertama lalu pilih 8 pada baris pertama. Nilai
log 2,38 adalah perpotongan kolom dan baris tersebut. Jadi, log 2,38
= 0,3766.
c. 2 log 30 = 2log
30log sifat 4
=
2log
10.33log
= 2log
10log3log sifat 1
= 2log
13log log 10 =1
= 3010,0
14771,0
dari tabel diperoleh log 3,00
= 0,4771 dan log 2,00 = 0,3010
= 907,4301,0
4771,1
47
d. 4log
57,0log57,0log4
=
4log
10.7,5log 1
= 4log
10log7,5log 1 sifat 1
= 6021,0
17559,0 log 10
-1 = -1, log 5,7 =
0,7559 dan log 4 =
0,6021
= 6021,0
2441,0
= 405,0
Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan dengan Tabel
Antilogaritma
Antilogaritma merupakan kebalikan dari logaritma. Misalkan
diketahui log x = 5,2, dapatkah kamu menyebutkan berapa nilai x?
Perhatikan cara menentukan antilogaritma suatu bilangan pada
contoh berikut.
48
Contoh :
Tentukan nilai x dari persamaan berikut dengan menggunakan tabel
antilogaritma.
a. log x = 0,056 d. log x = 0,32 6 –3
b. log x = 0,645 e. log x = –4,157
c. log x = 1,236
Jawab :
a. Pilih 0,05 pada kolom pertama lalu pilih 6 pada baris pertama. Nilai
antilog 0,056 adalah perpotongan kolom dan baris tersebut.
Antilog y
Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
.0
0
.0
1
.0
2
.0
3
.0
4
1.00
0
1.02
3
1.04
7
1.07
2
1.09
6
1.00
2
1.02
6
1.05
0
1.07
4
1.09
9
1.00
5
1.02
8
1.05
2
1.07
6
1.10
2
1.00
7
1.03
0
1.05
2
1.07
9
1.10
4
1.00
9
1.03
3
1.05
7
1.08
1
1.10
7
1.01
2
1.03
5
1.05
9
1.08
4
1.10
9
1.01
4
1.03
8
1.06
2
1.08
6
1.11
2
1.01
6
1.04
0
1.06
4
1.08
9
1.11
4
1.01
9
1.04
2
1.06
7
1.09
1
1.11
7
1.02
1
1.04
5
1.06
9
1.09
4
1.11
9
.0
5
.0
6
1.12
2
1.14
8
1.12
5
1.15
1
1.12
7
1.15
3
1.13
0
1.15
6
1.13
2
1.15
9
1.13
5
1.16
1
1.13
8
1.16
4
1.14
0
1.16
7
1.14
3
1.16
9
1.14
6
1.17
2
log x = 0,056
x = antilog 0,056
x = 1,138
Jadi, x = 1, 138.
b. Dengan cara serupa pada soal a, diperoleh antilog (0,645) = 4,416.
49
c. log x = 1,236
Cara I
log x = 1,236
x = 101,236
x = 101+0,236
x = 101 . 10
0,236
x = 10 . (antilog 0,236)
x = 10 . (1,722)
x = 17,22
Cara II
log x = 1,236
x = antilog (1,236)
antilog (0,236) = 1,722 Karakteristik = 1, maka x adalah
angka puluhan
antilog (0,236) = 1,722
antilog (1,236) = 17,22 1,722 x 10 = 17,22
d. log x= 0,326 –3
Bilangan –3 merupakan karakteristik sehingga x merupakan
bilangan seperseribuan sedangkan 0,326 merupakan mantisa.
log x = 0,326 –3
x = antilog (0,326 –3) antilog 0,326 = 2,718
x = 2,118 x000.1
1
x = 0,002118
Jadi, x = 0,002118.
50
e. log x = –4,157
log x = 0,843 –5
x = antilog (0,843 –5) antilog 0,843 = 6.966
x =0,00006966 6,966 x 10-5
= 0,00006966
Jadi, x = 0,00006966
Latihan :
1. Tentukan nilai tanpa menggunakan alat hitung
a. 2Log 4
b. 4Log 64
c. 36Log 216
d. Log 0,00001
2. Sederhanakanlah
a. 2Log 50 +
2log 8 –
2log 100
b. 2log√8 +
2log√2-
2log √16
3. Jika diketahui log 3 = 0,4771 dan log 5 = 0,6990, tentukan nilai dari
log 45 dan log 25
4. Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari :
a. Log 9,36
b. Log 304,5
c. Log 8,796
5. Tentukan x dalam setiap persamaan berikut ini dengan
menggunakan tabel logaritma
a. Log x = 0,4150
b. Log x = 0,527
c. Log x = 0,7466
d. Log x = -2, 6108
51
Rangkuman
Bilangan Real
- Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional.
- Sifat-sifat pada operasi penjumlahan bilangan real (untuk a, b R)
a. Komutatif : a + b = b + a
b. Asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
c. Memiliki elemen identitas (netral) penjumlahan, yaitu 0 : a +0 =0
+ a= a
d. Memiliki invers penjumlahan : invers penjumlahan dari a adalah
-a, sehingga a + (-a) = -a + a = 0
- Sifat-sifat pada operasi perkalian bilangan
a. Komutatif : a . b = b . a
b. Asosiatif : (a . b) . c = a . (b . c)
c. Memiliki unsur identitas, yaitu 1 sehingga a . 1 = 1 . a = a
d. Memiliki invers perkalian : invers perkalian dari a adalah a
1,
sehingga a 0.11
aaaa
Perbandingan dan Skala
- Suatu perbandingan disebut perbandingan senilai jika dua
perbandingan nilainya sama :
cbdaataud
c
b
a..
- Suatu perbandingan disebut perbandingan berbalik nilai jika dua
perbandingan nilainya saling berkebalikan :
52
cbdaataud
c
b
a..
- Skala ialah bentuk perbandingan senilai dari ukuran suatu besaran
nyata.
Bilangan Berpangkat
- Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat positif maka
pangkat n dari a ditulis an didefinisikan sebagai :
an dibaca a pangkat n. a merupakan bilangan pokok, sedangkan n
disebut pangkat atau eksponen.
- Sifat-sifat bilangan berpangkat :
a. an . a
n = a
m+n d.
mmm baba .).( g. m
m
aa
1
b. nm
n
m
aa
a e. m
mm
b
a
b
a
, h. n mn
m
aa
c. mnnm aa f. 10 a
Bentuk Akar
- Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya memuat
banyaknya angka desimal tak hingga. Contoh : ,50,3,2
dan lain-lain.
an = a . a . a . a . …. . a
sebanyak
53
- Operasi pada bentuk akar :
a. Penjumlahan dan pengurangan : bentuk akar dapat dijumlahkan
atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis.
b. Perkalian bilangan bulat dengan bentuk akar :
cabcba .
c. Perkalian bentuk akar dengan bentuk akar :
dfcefedcdanbaba ...
d. Pembagian bentuk akar :
bb
a
b
b
b
a
b
a .
ba
bak
ba
ba
ba
k
ba
k
2
.
ba
bak
ba
ba
ba
k
ba
k
.
Logaritma
- Logaritma merupakan invers dari eksponen :
cbba ac log
- Sifat-sifat logaritma :
a. baba ppp loglog).(log
b. bab
a ppp logloglog
c. ana pnp log.log
54
d. a
bb
p
pa
log
loglog
e. ab
b
alog
log
1
f. n
maman
log
g. an
ma bmbn log.log
h. ba ba
log
i.
j. 1log pp
k. bba pap loglog.log
01log p
Bab
2 TRIGONOMETRI
Kompetensi Dasar
Mengonversi Ukuran Sudut
Menentukan Perbandingan Trigonometri di berbagai
Kuadran, Panjang Sisi Segitiga Siku-Siku, dan Luas Segitiga
Menentukan Aturan Sinus dan Kosinus
56
A. Konversi Sudut
1. Ukuran Derajat
Ukuran derajat adalah ukuran yang dapat dibentuk pada bidang
datar dengan satuan (°) menggambarkan 1/360 dari putaran penuh.
Ada juga suku yang lebih kecil dari pada derajat, yaitu menit (‘) ,
detik (“) . Hubungan dari kedua ukuran tersebut adalah :
1 derajat = 60 menit atau 1° = 60′
1 menit = 60 detik atau 1′ = 60″
2. Ukuran Radian
Kita juga mengenal sebutan Ukuran Radian. Ukuran Radian adalah
satuan sudut dalam suatu bidang dengan lambang “rad”.
Satu radian atau 1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua
buah jari-jari lingkaran berjari-jari 1 meter dan membentuk busur
sepanjang juga 1 meter. Atau dalam gambar di sebuah ini r = b = 1 meter.
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan
mengalikan besarnya sudut dengan jari-jari lingkaran, apabila besarnya
sudut telah dalam satuan radian. Ilustrasi radian dengan derajat dan
sebaliknya :
radian dengan derajat
57
Contoh Soal dan Pembahasan
Luas Juring menggunakan perbandingan radian :
Mencari Luas AOB, dengan konsep radian.
L. AOB/ L. Lingkaran = panjang AB/Keliling Lingkaran
Dari konsep tersebut didapatkan :
Luas AOB/2πr2 = s/2πr
Luas AOB = ½ rs
karena s = rθ, maka
Luas AOB = ½ r2θ
Contoh Soal dan Penyelesaiannya
Contoh Soal 1
Nyatakan sudut 50° dan 89° ke dalam radian!
Penyelesaian :
50° = 50° x π/180°
50° = 0,277π
50° = 0,277 (3,14)
50° = 0,87 radian
58
89° = 89° x π/180°
89° = 0,494π
89° = 0,494 (3,14)
89° = 1,55 radian
Contoh Soal 2
Nyatakan sudut 0,45 radian dan 0,89 radian ke dalam satuan derajat!
Penyelesaian :
0,45 radian = 0,45 x 180°/π
0,45 radian = 25,80°
0,89 radian = 0,89 x 180°/π
0,89 radian = 51,02°
Contoh Soal 3
Sebuah kipas angin bagian dek mesin kapal berputar dengan kecepatan 36
putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke
dalam satuan radian per detik!
Penyelesaian :
36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik
36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik
Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.
Contoh Soal 4
Hitunglah jari-jari suatu lingkaran jika panjang busurnya 10 cm dan sudut
pusatnya 36°!
Penyelesaian :
θ = 36°, maka :
36° = 36°xπ/180°
36° = 0,2π
59
Diketahui bahwa :
r = s/θ
r = 10 cm/0,2π
r = 10 cm/0,628
r = 15,9 cm
Contoh Soal 5
Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan radian!
a. 30° 20′ 15”
b. 106° 20′
Penyelesaian :
a. kita ketahui bahwa :
1” = (1/3600)°
1′ = (1/60)°
1° = 0,0174 radian, maka :
30° 20′ 15”
= 30° + 20.(1/60)° + 15.(1/3600)°
= (108000/3600)° + (1200/3600)° + (15/3600)°
= (109215/3600)°
= (109215/3600).0,0174 radian
= 0,53 rad
b. Diketahui bahwa :
1′ = (1/60)°
1° = 0,0174 radian, maka :
106° 20′ = 106° + 20.(1/60)°
106° 20′ = (318/3)° + (1/3)°
106° 20′ = (319/3)°
106° 20′ = (319/3).0,0174 radian
106° 20′ = 1,85 rad.
60
B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
1. Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
a. Panjang sisi-sisi suatu segitiga
Panjang sisi di hadapan sudut dinamakan a
Panjang sisi di hadapan sudut dinamakan b
Panjang sisi di hadapan sudut
dinamakan c
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan
c2 = a
2 + b
2
b. Besar sudut pada segitiga
Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 0180
c. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga
a. sin = miring
depan
= c
b
b. cos c
a
miring
samping
c. tan a
b
samping
depan
d. cotg b
a
depan
samping
a
b
c
B C
61
e. sec a
c
samping
miring
f. csc b
c
depan
miring
Dari perbandingan tersebut diperoleh hubungan rumus :
Cotg
tan
1
Sec
cos
1
Csc
sin
1
Contoh :
Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a=4, b=3.
a. Tentukan panjang sisi c
b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut
A C
B
3
c 4
62
Jawab :
3
4tan
5
3cos
5
4sin
52534 2222
b
a
c
b
c
a
bac
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus
(00, 30
0, 45
0, 60
0, 90
0)
Berdasarkan gambar tersebut dapat ditentukan nilai perbandingan
trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut (lengkapi
nilai-nilai yang lainnya)
450
450
1
1
600
300
2
1
63
00 300 450 600 900
Sin 0 2
1
Cos 1 32
1
Tan 0 33
1
Csc t.t 2
Sec 1 33
2
Cotg t.t 3
Contoh :
0180
Tentukan nilai dari :
1. Sin 00 + Csc 45
0 = 0 + 22
2. 3
3
3
33
13
3
2
3tan
3cot
6sec
g
= 1
3. Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran
1. Dikuadran I
Titik A(x,Y) dikuadran I
Absis positif
Ordinat positif
A(x,y)
x
y
r
64
positifx
yTan
positifr
xCos
positifr
ySin
2. Dikuadran II
Titik A(-x,y) dikuadran II
Absis negatif
Ordinat positif
negatifx
yTan
negatifr
xCos
positifr
ySin
Diskusikan dengan temanmu, untuk tanda-tanda perbandingan
trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.
I II III IV
Sin + + - -
Cos + - - +
Tan + - + -
Csc + + - -
Sec + - - +
Cotg + - + -
A(-x,y)
-x
y r
65
Kuadran II
Sin & Csc +
Kuadran I
Semua +
Kuadran III
Tan & Cotg +
Kuadran IV
Cos & Csc +
Contoh :
Diketahui Sin = ,5
3 dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan
nilai CotgCscSec ,,
Jawab :
Sin 5
3 , y = 3, r = 5, x = 41692535 22
Karena dikuadran II, nilai x = -4
Sehingga : Sec = 4
5
, Csc
3
5 , Cotg
3
4
TUGAS I
1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut pada tiap
gambar berikut :
a.
b.
5
12
2
5
12
2
66
2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p
yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut
diketahui.
a. Cos p = 0,8
b. Cotg p = 2
3. Tentukan nilai dari :
a. Sin 60
0 cotg 60
0 + sec 45
0 cos 45
0
b. Tan 300 + cos 30
0
c. 2 sin 600 cos 45
0
4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohon
dengan sebuah perahu. Sudut pandang yang terbentuk 600, seperti
gambar berikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi perahu 250
cm)
4. Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua
kuadran
a. Rumus di kuadran I
CotgTan
Cos
Sin
)90(
sin)90(
cos)90(
Tinggi pohon
Tinggi perahu 10 m
600
67
b. Rumus di kuadran II
CotgTan
SinCos
CosSin
)90(
)90(
)90(
atau
TanTan
CosCos
SinSin
)180(
)180(
)180(
c. Rumus di kuadran III
CotgTan
SinCos
CosSin
)270(
)270(
)270(
atau
TanTan
CosCos
SinSin
)180(
)180(
)180(
d. Rumus di kuadran IV
CotgTan
SinCos
CosSin
)270(
)270(
)270(
atau
TanTan
CosCos
SinSin
)360(
)360(
)360(
e. Rumus sudut negatif
TanTan
CosCos
SinSin
)(
)(
)(
f. Rumus sudut lebih dari 3600
TankTan
CoskCos
SinkSin
)360.(
)360.(
)360.(
Contoh :
Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :
a. Sin 1200 = Sin (90
0 + 30
0)
= Sin 300
= 32
1
68
Atau
Sin 1200 = Sin (180
0 – 60
0)
= Sin 600
= 32
1
b. Cos 2250 = Cos (270
0 – 45
0)
= -Sin 450
= 22
1
Atau
Cos 2250 = Cos (180
0 + 45
0)
= -Cos 450
= 22
1
c. Sin 7500 = Sin (2.360
0 + 30
0)
= Sin 300
= 2
1
d. Sin (-2250) = - Sin 225
0
= - Sin(1800 + 45
0)
= - (-sin 450)
= 22
1
69
TUGAS II
1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya :
a. Cos 3300
b. Tan (-1200)
c. Sin 4500
2. Tentukan nilai dari :
a. Sin 3000 + Cos 545
0
b. Cos 3900 + Sec 570
0
c. Cotg 7500 + Tan (-60
0)
3. Sederhanakan
a. )360(
)270cos(
pSin
p
b. )180(
)90cos(
pSin
p
c. 00
000
300.210
240sec.225.120cos
SecCos
CoTan
4. Buktikan bahwa
a. 1)180().90(
)180().270(
pCospCos
pSinpSin
b. 1)90().180(
)360().180(
pCotgpCotg
pSecpCos
70
C. RUMUS SINUS DAN COSINUS
1. Aturan Sinus
Perhatikan segitiga ABC berikut.
Berdasarkan segitiga ABC tersebut, berlaku aturan sinus sebagai berikut :
Contoh :
1. Pada segitiga ABC, b = 1, 00 1,53,30 CB . Hitunglah c.
Jawab :
SinC
c
SinB
b
SinB
bSinCc
= 30
1,5312
Sin
Sin
= 5,0
8,0.12
= 5,0
6,9
= 2,19
A B
C
a
c
b
SinC
c
SinB
b
SinA
a
71
2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. 2,68B .
Hitunglah C
SinC
c
SinB
b
Sin C = 65
2,6846Sin
b
cSinB
= 65
928,046x
= 65
710,42
= 657,0
C = 41,1
2. Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga ABC berikut ini :
Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :
A B
C
a2 = b
2 + c
2 – 2bc cos
b2 = a
2 + c
2 – 2ac cos
c2 = a
2 + b
2 – 2ab cos
72
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, A = 600. Hitung
panjang BC
Jawab :
a2 = b
2 + c
2 – 2bc cos A
= 52 + 8
2 – 2.5.8. cos 60
= 25 + 64 – 80. ½
= 89 – 40
= 49
a = 7 cm
D. LUAS SEGITIGA
1. Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit
diketahui
A B
C
a b
c D
L = ½ b.c. sin A
L = ½ a.b. sin C
L = ½ a.c. sin B
73
2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak di
antara kedua sudut yang diketahui.
A
CBaL
sin2
sin.sin.2
B
CAbL
sin2
sin.sin.2
C
BAcL
sin2
sin.sin.2
3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui
s = ½ . Keliling Segitiga
= ½ (a + b + c)
Contoh :
1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450
Jawab :
L = ½ a.b.sin C
= ½ 5.8.sin 450
= 20. ½ 2
= 10 2
2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, 60,65 BA .
Tentukan luasnya.
)).().(.( csbsassL
74
Jawab :
556065180 C
C
BAcL
sin2
sin.sin.2
55sin2
60sin.65sin.52
L
82,0
87,0.425,0.25L
27,11L
3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5
cm.
Jawab :
s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6
)).().(.( csbsassL
)56).(46).(36.(6 L
1.2.3.6L
636 L cm2
TUGAS IV
1. Diketahui layar sebuah kapal berbentuk segitiga. Misal segitiga
tersebut adalah PQR, dengan p = 9 cm, r = 6 cm, 046P .
Hitunglah luas layar kapal tersebut!
2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm,
dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B.
75
3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang
bersamaan. Kapal pertama berlayar dengan arah 0400 dan kecepatan
80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 1000
dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua kapal tersebut
setelah berlayar selama 5 jam.
4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah
lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.
5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm,
BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.
Bab
3 BARISAN DAN DERET
Kompetensi Dasar
Menentukan Barisan Aritmetika dan Barisan Geometri
Ditentukan dengan Menggunakan Sifat-Sifatnya
77
A. Barisan dan Deret Aritmetika
Kadang-kadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada
barisan 1, 2, 3, 4, …, selisih antara unsur yang berurutan, yaitu : ke 1
dengan ke 2, ke 2 dengan ke 3, ke n dengan ke n + 1, dan seterusnya
adalah tetap, yaitu sama dengan 1. Barisan semacam ini disebut barisan
aritmetika. Secara matematik, pengertian barisan aritmetika dapat
dituliskan sebagai berikut.
Definisi
Barisan U1, U2, U3,..., U n,... disebut barisan aritmetika jika Un -
Un-1 = konstan, dengan n = 2, 3, 4,.... Konstanta pada barisan aritmetika
tersebut disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan b, dan
U1 sering dinotasikan dengan a.
Contoh 2.1
1. 1, 2, 3,... merupakan barisan aritmetika dengan beda, b = 1.
2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmetika dengan beda, b = 2.
3. 1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmetika sebab
U2 – U1 = -1 – 1 = -2 2 = 1 – (-1) = U3 – U2
Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmetika
Jika U1 = a, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan aritmetika, maka
unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.
78
U1 = a
U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 =
U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U 4
+ b = (a + 3b) + b = a + 4b
Un = a + (n -1)b
Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmetika dengan
unsur pertama a dan beda b adalah :
Contoh 2.2
Un = a + (n -1)b. Diketahui barisan aritmetika dengan unsur ke 2
adalah 10 dan beda = 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.
Penyelesaian :
Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n
-1)b, diperoleh
U2 = a + (2-1)b
U2 = a + b a
= U2 - b
= 10 - 2
= 8
U 7 = a + (7-1) b
= a + 6 b
= 8 + 6 (2)
= 8 + 12
= 20.
Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.
79
Contoh 2.3
Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai usaha kapal. Penghasilan
kapal. Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp6.000.000. Pak Arman
memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kapalnya naik
Rp500.000. Berapa perkiraan penghasilan kapal Pak Arman pada akhir
tahun 2005?
Penyelesaian :
Misalkan :
a = penghasilan kapal Pak Arman pada akhir tahun 2000.
b = perkiraan kenaikan penghasilan kapal Pak Arman setiap akhir
tahun.
P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.
Jadi
a = Rp6.000.000, b = Rp500.000, dan P2005 akan dicari.
Karena perkiraan kenaikan penghasilan Pak Arman setiap akhir
tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan Pak Arman pada
akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari barisan
aritmetika dengan :
U1 = a = a = Rp6.000.000, b = Rp500.000.
P2005 = U6 = a + 5b
= 6.000.000 + 5(500.000)
= 6.000.000 + 2.500.000
= 8.500.000.
Jadi perkiraan penghasilan kapal Pak Arman pada akhir tahun 2005
adalah Rp8.500.000.
80
Dengan adanya deret aritmetika, kita dapat membentuk barisan yang
terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmetika.
Definisi
Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmetika, maka
U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....
disebut deret aritmetika. Un disebut suku ke n dari deret itu.
Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmetika U1 +
U2 + U3 + ... + U n, ...., maka Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un dapat
diturunkan dengan cara sebagai berikut.
Sn = U n + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + a
Sn = a + (a - b) + (a + 2b) +..... + Un
+
2Sn = (a + U n) + (a + Un) + (a + Un) +... + (a + Un), sebanyak n suku.
2 Sn = n. (a + Un)
Sn = 1
2n(a U n )
Jadi Sn = 1
2n(a U n ) atau Sn =
1
2n(2a (n 1)b)
Rangkuman 2
Barisan U1, U2, U3, ..., U n, .... disebut barisan aritmetika jika Un -
Un-1 = konstan. Un disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut
disebut beda, yang dinotasikan dengan b.
Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmetika dengan
beda b dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari barisan itu
adalah Un = a + (n - 1)b
81
Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmetika, maka U1
+ U2 + U3 + ... + Un, ....disebut deret aritmetika. Un disebut suku ke n
dari deret itu.
Latihan 2
1. Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan
aritmetika?
a. - 1
2 , 3, -12, 48, .....
b. a, a + x , a + 2x , a + 3x , .....
2. Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.
a. 1, -1, -3, -5,....; n = 15.
b. 4, 8, 12,....; n = 50.
3. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan aritmetika yang
mempunyai :
a. U6 = 5; U 12 = -13.
b. U13 = 8; U17 = 48.
c. U7 = 14; U10 = 20.
4. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika berikut ini :
a. 3, 6, 9, 12, ...
b. 1, 6, 11, 16, ...
c. -15, -8, -1, 6, ...
5. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmetika berikut :
a. 1, 4, 7, 10, ..., suku ke-50
b. 25, 21, 17, 13, ..., suku ke-20
c. -10, -8, -1, 6, ..., suku ke-50
82
6. Tentukan nilai dari :
a. 2 + 7 + 12 +.... + 297
b. 30 + 26 + 22 + ... + 2.
7. Tentukan x jika :
a. 100 + 96 + 92 + … + x = 0.
b. 1 + 4 + 7 + … + x = 835.
B. Barisan Geometri dan Deret Geometri
1. Pengertian Barisan Geometri
Barisan Geometri adalah sederetan bilangan yang berupa suku
(satuan) atau unit (U) dan ditulis secara berurutan, di mana perbandingan
dua buah suku yang berurutan berharga konstan(tetap) dan dinamakan
rasio yang dilambangkan dengan “r”
Sehingga
r = Un
Un-1
Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan
geometri adalah :
a, ar, ar² , .......ar n-1
Suku ke-n Barisan Geometri
Misalkan a adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio, dan Un
adalah suku ke-n
r = Un maka Un = r . Un-1
Un-1
Sehingga Un = ar n-1
83
Dengan memandang rasionya maka diperoleh tiga jenis, seperti
berikut :
a. Jika rasio lebih besar (r >1), maka suku-suku barisan itu semakin
besar nilainya/ naik.
b. Jika rasionya 0 dan 1 (0<>1), maka suku-suku barisan itu semakin
kecil nilainya/ turun
c. Jika rasio <0, maka suku barisan berganti tanda disebut barisan naik
turun.
Nilai Tengah Barisan Geometri
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak
sukunya ganjil. Jika suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka
banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1)
atau U(2t – 1). sehingga diperoleh hubungan Ut2 = ( U1. U(2t – 1))
Karena U(2t -1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1
merupakan suku awal, maka : Utengah = √Uawal-Uakhir
2. Deret Geometri
Deret geometri adalah suku-suku dari suatu barisan geometri yang
dijumlahkan.
Pada deret geometri U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un, jika Un+1> Un
maka deretnya disebut deret geometri naik, dan jika Un+1 < Un , maka
deretnya disebut deret geometri turun. Jika Sn adalah jumlah n suku
pertama, r adalah rasio, dan a adalah suku pertama suatu deret geometri,
maka :
1) Sn =a(rn-1) digunakan jika r >1, r-1
2) Sn =a(1-rn) digunakan jika 0< r <1, 1-r
84
1. Suku Tengah Deret Geometri
Suku tengah suatu deret geometri (Ut) terletak di tengah-tengah
antara a dan Un dengan banyak suku ganjil. Suku tengah deret
geometri dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut :
Ut = √axUn
2. Deret Geometri Tak Hingga
Deret Geometri Tak Hingga adalah deret geometri yang
menyatakan banyaknya suku deret geometri itu tak hingga,
banyaknya yaitu apabila n menuju bilangan yang besar sekali.
Contoh :
a. 1 + 2 + 4 + 8 +......, r = 2
b. 9 + 3 + 1 + +......, r = 1/3
Keterangan :
a. Un menuju bilangan yang cukup besar, jika n menuju bilangan
yang besar maka dinamakan deret geometri naik tak terhingga,
Sn tak terhingga.
b. Un menuju atau mendekati nol maka dinamakan deret geometri
turun tak hingga
Jumlah deret geometri turun tak hingga :
Sn =a(1-rn) = a - arn , 0< r <1 1-r 1-r 1-r
Maka : Sn = a = 0→ Sn = a 1-r 1-r
Jenis Deret Geometri Tak Hingga
3. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Deret Geometri Tak Hingga Konvergen adalah suatu deret
dengan rasio |r| <1 atau -1< r <1 . Jumlah deret geometri tak hingga
yang konvergen dirumuskan dengan nilai pendekatan
85
Sn = a
1-r
Contoh :
1 + 1 + 1 + 1 +......
3 9 27
4. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (Menyebar)
Deret Geometri Tak Hingga Divergen adalah deret dengan rasio
|r| >1 atau r >1 atau r < -1. Jumlah deret geometri tak hingga yang
divergen tidak didefinisikan. Contoh : 1 + 3 + 9 + 27 +.......
C. Barisan Geometri
Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku
berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan
ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri adalah
suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku
sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan
yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan
r.
Perhatikan contoh barisan-barisan berikut.
a. 3, 6, 12, 24, ...
b. 2, 1, ½, 1/4, ...
c. 2, –4, 8, –16, ...
Barisan tersebut merupakan contoh barisan geometri. Untuk barisan
tersebut berturut-turut dapat dihitung rasionya sebagai berikut.
a. = ..... = 2. Jadi, r = 2.
86
b. = .... Jadi, r = ½
c. = –2. Jadi, r = –2.
Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U1, U2, ... Un barisan
geometri dengan Un adalah rumus ke-n, berlaku :
Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama
(U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.
U1 = A
U2 = U1 × r = ar
U3 = U2 × r = ar2
U4 = U3 × r = ar3
. .
. .
. .
Un = Un–1 × r = arn–2 × r = arn–1
Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar2, ..., ar
n–1, ...
Jadi, rumus umum suku ke-n (Un) barisan geometri adalah :
Un = arn–1
Keterangan :
a = suku pertama
r = rasio
n = banyak suku
Contoh Soal Barisan Geometri 11 :
87
Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan geometri
berikut.
a. 2, 6, 18, 54, ...
b. 9, –3, 1, -1/3 , ...
Jawaban :
a. 2, 6, 18, 54, ...
Dari barisan geometri tersebut, diperoleh :
1) suku pertama : a = 2;
2) rasio : r = ... = ... = 3.
Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah :
Un = arn–1
maka
U7 = 2(37–1
) = 2 × 729 = 1.458
b. 9, –3, 1, , ....
Dari barisan ini, diperoleh :
1) suku pertama : a = 9;
2) rasio : r = ;
3) suku ke-7 : U7 =
Contoh Soal 12 :
Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan
itu 21 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan itu.
Penyelesaian :
Pemisalan yang mudah untuk barisan geometri adalah , a, dan ar.
Jumlah ketiga bilangan itu adalah 21 maka + a + ar = 21.
88
Hasil kali ketiga bilangan adalah 216 maka × a × ar = 216 ↔ a3 = 216
Karena a3 = 216, diperoleh a = 6. Kemudian, substitusikan nilai a = 6 ke
persamaan + a + ar = 21 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
+ 6 + 6r = 21 ........... (kedua ruas dikalikan dengan r)
↔ 6 + 6r + 6r2 = 21r
↔ 6 – 15r + 6r2 = 0 ........................... (kedua ruas dibagi 3)
↔ 2r2 – 5r + 2 = 0
↔ (2r – 1)(r – 2) = 0
↔ 2r – 1 = 0 atau r – 2 = 0
↔ r = ½ atau r = 2
Dari persamaan tersebut, diperoleh r = ½ dan r = 2.
Untuk r = ½ dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 12, 6, dan 3.
Untuk r = 2 dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 3, 6, dan 12.
D. Deret Geometri
Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 +
U3 + ... + Un adalah deret geometri dengan Un = arn–1
. Rumus umum untuk
menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan
sebagai berikut.
Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.
Sn = U1 + U2 + ... + Un
Sn = a + ar + ... + arn–2
+ arn–1
......................................................... (1)
89
Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh :
rSn = ar + ar2 + ar
3 + ... + ar
n–1 + ar
n ............................................... (2)
Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :
rSn =
ar + ar2 + ar
3 + ... + ar
n–1 + ar
n
Sn = a + ar + ar
2 + ar
3 + ... + ar
n–1
- rSn - Sn = –a + ar
n
↔ (r – 1)Sn = a(rn–1
)
↔ Sn =
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah
sebagai berikut.
Sn = , untuk r > 1
Sn = , untuk r < 1
Keterangan :
Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
r = rasio
n = banyak suku
Apa yang terjadi jika r bernilai 1?
Contoh Soal Deret Geometri 13 :
Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.
90
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku)
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku)
Pembahasan :
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...
Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1).
Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.
Sn = ↔ S8 = = 2(256 – 1) = 510
Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...
Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r = (r < 1).
Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6.
Sn = ↔ S6 = = 24(1- ) =
Contoh Soal 14 :
Diketahui deret 3 + 32 + 3
3 + ... + 3
n = 363. Tentukan :
a. suku pertama;
b. rasio;
c. banyak suku.
Penyelesaian :
Deret 3 + 32 + 3
3 + ... + 3
n = 363
a. Suku pertama : a = 3
b. Rasio : r = ... = .... = 3
c. Untuk Sn = 363
Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus :
Sn =
91
↔ 363 =
↔ 726 = 3n+1
– 3
↔ 3n+1
= 729
↔ 3n+1
= 36
Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku
dari deret tersebut adalah 5.
Contoh Soal 15 :
Carilah n terkecil sehingga Sn > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 +
16 + 64 + ...
Kunci Jawaban :
Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah
n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.
Sn =
Nilai n yang mengakibatkan Sn > 1.000 adalah :
> 1.000 ↔ 4n > 3.001
Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh :
log 4n > log 3.001
↔ n log 4 > log 3.001
↔ n >
↔ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma)
Jadi, nilai n terkecil agar Sn > 1.000 adalah 6.
92
Contoh Soal 16 :
Tentukan rumus jumlah n dari deret 1 + 11 + 111 + 1.111 + ...
Penyelesaian :
Jika kalian perhatikan sekilas, deret ini bukan merupakan deret
aritmetika maupun geometri. Namun, coba perhatikan penjabaran berikut.
E. Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya
disebut deret geometri tak berhingga.
Perhatikan deret geometri berikut.
a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...
b. 1 + + + ....
c. 9 – 3 + 1 – + .....
93
Deret-deret tersebut merupakan contoh deret geometri tak
berhingga.
Dari contoh a dan b, rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2.
Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan
tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1.
Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio masing-masing deret 1/2 dan –1/3.
Dari contoh c dan d, dapat kita hitung pendekatan jumlahnya. Deret
tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen,
jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan
mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga
suku yang dinotasikan dengan S∞ . Nilai S∞ merupakan nilai pendekatan
(limit) jumlah seluruh suku (Sn) dengan n mendekati tak berhingga. Oleh
karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturunkan dari deret geometri
dengan suku pertama a, rasio r dan n → ∞ .
Karena deret konvergen (| r | < 1), untuk n → ∞ maka rn → 0
sehingga :
Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah :
, dengan | r | < 1
Contoh Soal Deret Geometri Tak Terhingga 17 :
Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.
a. 1 + + + + ...
b.
94
Pembahasan :
a. 1 + + + + ...
Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = ½ sehingga :
b.
Perhatikan deret 2 + 1 + + + + ....
Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = ½.
Jadi, = 24 = 16.
Contoh Soal 18 :
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak
berhingga adalah 4. Carilah rasionya.
Penyelesaian :
Dari soal tersebut, unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan S∞ = 4.
Kita substitusikan ke dalam rumus S∞ .
S = ↔ 4 =
↔ 1 – r = ½ .
↔ r = ½
Jadi, rasionya adalah ½.
95
Contoh Soal 19 :
Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali
dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan berlangsung
terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan
bola. (UMPTN 1995)
Jawaban :
U0 = 10 m; r = 3/4.
U1 = 3/4 x 10 m = 3/40 m
Sn = 10 + 2 S∞ = = 10 + (2 × ) = 10 + (2 × )
= 10 + (2 × 30) = 70.
Dengan cara lain :
Misalnya suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H0 secara vertikal
dan memantul ke atas dengan tinggi pantulan a/b kali dari ketinggian
semula maka panjang lintasan pantulan (H) hingga berhenti dirumuskan
dengan :
Dengan menggunakan cara ini, diketahui a = 3, b = 4, dan H0 = 10 m.
Jadi, H = = 7 × 10 = 70 m
96
Latihan 3
1. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri pada setiap soal
berikut :
a. 2, 4, 8, 16, ..., U12
b. 3, -9, 27, -81, ..., U10
c. √2, √3, 3√2, 3√6 , ..., U5
2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut :
a. 1, 2, 4, ...
b. 1
2,
1
4,
1
8, ....
c. 2, 2, 2 √ , √2
3. Diketahui deret geometri suku ke-3 adalah 16 dan suku ke-5 sama
dengan 64. Tentukan :
a. rasio
b. rumus jumlah n suku pertama
4. Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan
aritmetika?
a. 1,3,9,27,...
b. 1
4,
1
8,
1
16, ...
5. Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.
a. 2, -4, 8, ..., n = 10
b. √3,3, 3√33,...n 10
6. Hitunglah :
a. 2 – 6 + 18 .... sampai 10 suku
b. 3 + 1 + 1
3 +
1
9 ... sampai tak hingga
97
7. Dari ketinggian 1 m sebuah bola dijatuhkan ke lantai kapal. Setiap
kali memantul ketinggian bola tersebut tinggal 3/5 dari tinggi
sebelumnya. Berapakah jarak yang ditempuh bola selama 10 kali
pantulan
8. Diketahui jumlah n suku pertama deret geometri adalah
Sn = 5(2n-1)
Tentukan :
a. Suku pertama dan rasio
b. Rumus suku ke-n
Bab
4 PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
Kompetensi Dasar
Menentukan Himpunan Dasar Penyelesaian Persamaan dan
Pertidaksamaan Linear
Menentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan dan
Pertidaksamaan Kuadrat
Menerapkan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaiakan Sistem Persamaan
99
A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Perhatikan dua masalah berikut.
Kelas I SMK Teknik terdiri dari 2 kelas, yaitu kelas 1 A dan kelas 1
B. Banyak siswa kelas 1 A adalah 36 anak. Jika 3 orang siswa l B tidak
masuk, maka jumlah siswa kelas 1 B akan sama dengan jumlah siswa kelas
1 A. Berapa jumlah siswa kelas 1 B?
Agar tidak mengulang tes matematika, setiap siswa harus mendapat
nilai minimal 60. Perhitungan nilai adalah banyak soal pilihan ganda yang
benar ditambah dua kali banyak soal esai yang benar. Seorang siswa dapat
mengerjakan 40 soal pilihan ganda dengan benar. Berapa soal esai yang
harus benar, agar siswa tersebut tidak mengulang tes matematika?
Dua masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan
persamaan dan pertidaksamaan linear.
1. Persamaan Linear
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda ”sama
dengar.” atau ”=”. Sedangkan yang dimaksud kalimat terbuka adalah
kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya atau kalimat yang masih
memuat variabel.
- Persamaan linear satu variabel, misalnya
1. 2x + 10 = 0 variabel : x
2. 2t = 14 variabel : t
Persamaan linear adalah suatu persamaan yang variabelnya memiliki
pangkat tertinggi satu.
100
- Persamaan linear dua variabel, misalnya
1. x + 3y = 9 variabel :x dan y
2. 2m – 3n = 15 variabel :m dan n
- Persamaan linear tiga variabel, misalnya
1. 2x + y – 3z = 20 variabel :x, y, z
2. 2p – 5q + 2r = –3 variabel :p, q, r
Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah :
Ax + b = 0
dengan a ≠ 0, a adalah koefisien dan b adalah konstanta.
Beberapa sifat yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan
persamaan linear satu variabel yaitu :
Sifat 1 Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan
ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan negatif atau
bilangan positif yang sama.
Sifat 2 Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan
dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.
Berdasarkan dua sifat tersebut, maka persamaan linear satu variabel
dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
a. Kelompokkan variabel di ruas kiri (sebelah kiri tanda ”=”) dan
kelompokkan konstanta di ruas kanan (sebelah kanan tanda ”=”).
b. Jumlahkan atau kurangkan variabel dan konstanta yang telah
mengelompok, sehingga menjadi bentuk paling sederhana.
c. Bagilah konstanta dengan koefisien variabel pada langkah b.
101
Contoh :
Tentukan nilai variabel dari persamaan berikut.
a. 7x – 4 = 2x + 16 b. 5(2q – 1)= 2(q + 3)
Jawab :
a. 7x – 4 =2x + 16
7x – 2x = 16 + 4
5x = 20
5
20
5
5
x
x = 4
b. 5(2q – 1) = 2(q + 3)
10q – 5 = 2q + 6
10q – 2q = 6 + 5
8q = 11
8
11q
2. Pertidaksamaan Linear
- Pertidaksamaan linear satu variabel, misalnya :
1. 2x + 10 > 0 variabel : x
2. 2t ≤ 14 variabel : t
- Pertidaksamaan linear dua variabel, misalnya :
1. x + 3y ≤ 9 variabel :x dan y
2. 2p >3q + 15 variabel :p dan q
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda ”<, ≤, >, ≥
atau ≠” sedangkan pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan
yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi berpangkat.
102
Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel adalah :
0,0,0,0,0 baxataubaxbaxbaxbax
bilangan real.
Sifat 1 Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri
dan kanan ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan
negatif atau bilangan positif yang sama.
Sifat 2 Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan
kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.
Sifat 3 Tanda pertidaksamaan berubah atau dibalik jika pada ruas kiri
dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang
sama.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini (xR).
a. 3x – 4 ≥ 16 + 8x b. 2x – 4 ≤ 5x + 8 ≤ 2x + 14
Jawab :
a. 3x – 4 ≥ 16+8x
3x – 4– 8x ≥ 16 + 8x – 8x Kurangi kedua ruas dengan
1654 x Tambahkan 4 pada kedua ruas
-416544 x
205 x
5
20
5
5
x Bagi kedua ruas dengan -5, tanda pertidaksamaan
dibalik (sifat 3)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah },4{ Rxxx
103
b. 1428542 xxx
Kita ubah menjadi dua pertidaksamaan
I. 8542 xx
xxxx 585542 Kedua ruas dikurangi 5x
834 x
48434 x Kedua ruas ditambah 4
123 x
3
12
3
3
x
Kedua ruas dibagi -3, tanda
persamaan dibalik (sifat 3)
4x
II. 14285 xx
xxxx 2142285 Kedua ruas dikurangi 2x
1483 x
814883 x Kedua ruas dikurangi 8
63 x
3
6
3
3
x
Kedua ruas dibagi 3
2x
2
Himpunan penyelesaiannya adalah yang memenuhi kedua hasil
tersebut, yaitu },24{ Rxxx
-4 2
104
3. Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Beberapa masalah dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan
dengan konsep persamaan maupun pertidaksamaan linear. Langkah
pertama yang dilakukan adalah menerjemahkan masalah tersebut ke dalam
kalimat matematika. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh
berikut.
Contoh :
1. Ahli kesehatan mengatakan bahwa akibat menghisap satu batang
rokok waktu hidup seseorang akan berkurang selama 5,5 menit.
Berapa rokok yang dihisap Fahri tiap harinya jika ia merokok
selama 20 tahun dan waktu untuk hidupnya berkurang selama 275
hari (1 tahun = 360 hari)?
Jawab :
Misalkan banyaknya rokok yang dihisap tiap hari adalah x, maka
waktu hidup berkurang tiap harinya 5,5x menit.
Dalam setahun waktu hidup berkurang sebanyak 5,5x x 360 menit.
Dalam 20 tahun, waktu hidup berkurang sebanyak 5,5x x 360 x 20
menit.
Sehingga diperoleh persamaan :
5,5x x 360 x 20 = 275 x 60 x 24 275 hari (275 x 24 x 60) menit
39.6000x = 396.000
x = 10
600.39
000.396
Jadi, Fahri menghisap rokok 10 batang setiap hari.
105
2. Untuk dapat diterima sebagai karyawan di PT Teknik Sejahtera,
calon karyawan akan menjalani tes sebanyak 4 kali, yaitu tes
tertulis, psikotes, tes keterampilan, dan wawancara dengan
perbandingan hasil tes berturut-turut adalah 4 : 3 : 2 : 1. Total nilai
tes tidak boleh kurang dari 827. Azzam telah mengikuti tes dengan
hasil sebagai berikut. Psikotes = 80, tes keterampilan = 95, dan
wawancara = 85. Tentukan nilai terendah tes tertulisnya agar Azzam
dapat diterima menjadi karyawan.
Jawab :
Misalkan nilai tes tertulis adalah x, maka diperoleh pertidaksamaan :
85.195.280.34 x ≥ 827
851902404 x ≥ 827
x4 ≥ 827 – 24 – 85
x4 ≥ 312
x ≥ 78
Jadi, nilai terendah tes tertulis Azzam agar diterima sebagai
karyawan adalah 78.
Latihan
1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini :
a. 2x – 10 = 0
b. 8 – 2x = 3x – 17
c. x – 3 = x- 6
d. x + 5 = 27 – x
106
2. Tentukanlah nilai variabel dari persamaan –persamaan berikut ini :
a. 5(a + t) = 10
b. –(4n - 4) + 5n = 2n + 8
c. 20 ( 3x + 1 ) = -50 (5-x)
d. 3 (2z – 1) + 1 = -2(2z + 9)
3. Gilang mempunyai dua kotak pensil. Jika 5 pensil di antaranya
diberikan kepada adiknya dan ternyata sisa pensil Gilang sebanyak
19, tentukan :
a. Model matematika dalam bentuk persamaan linier untuk kasus
tersebut.
b. Banyaknya pensil dalam satu kotak.
4. Seorang ayah berumur 20 tahun ketika anaknya lahir. Berapakah
umur anak itu ketika jumlah umur mereka 48 tahun?
5. Ahli kesehatan mengatakan dengan mengisap satu batang rokok
waktu hidup seseorang akan berkurang selama 6 menit. Berapa
rokok yang dihisap Febri jika ia merokok selama 15 tahun dan
waktu untuk hidup berkurang selama 10 % dari waktu merokok a?
(1 tahun = 360 hari).
B. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Sebuah perusahaan konstruksi mendapat order pembuatan sebuah
gedung pusat perbelanjaan. Menurut rencana, gedung tersebut mempunyai
alas berbentuk persegi panjang. Pemesan meminta agar lebar gedung
mempunyai selisih 70 meter dengan panjangnya dan luas lantai dasar
adalah 12.000 meter persegi.
107
Berapa ukuran panjang dan lebar gedung tersebut? Untuk menjawab
pertanyaan ini, kita harus mengetahui terlebih dahulu rumus luas persegi
panjang dan definisi persamaan kuadrat.
1. Definisi Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
Perhatikan contoh persamaan kuadrat berikut ini.
- 1dan,4,20142 2 cbaxx
- 0,3,1032 cbaxx
- 9dan,0,1092 cbax
Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dalam x berarti
mencari nilai x sedemikian sehingga jika nilai x disubstitusikan pada
persamaan tersebut, maka persamaan akan bernilai benar. Penyelesaian
persamaan kuadrat disebut juga akar-akar persamaan kuadrat.
2. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar
atau menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan faktorisasi,
melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat (rumus abc).
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan di mana pangkat tertinggi
dari variabelnya adalah dua
Rcbaacbxax ,,,,0dengan02
108
Faktorisasi
Untuk menyelesaikan persamaan 02 cbxax dengan
faktorisasi, terlebih dahulu cari dua bilangan yang memenuhi syarat
sebagai berikut.
- Hasil kalinya adalah sama dengan ac
- Jumlahnya adalah sama dengan b
Misalkan dua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah x1 dan
x2 maka,
bxxdancaxx 2121 ..
Prinsip dasar yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan
kuadrat dengan faktorisasi adalah sifat perkalian, yaitu :
jika ab = 0,maka a = 0 atau b = 0.
Jadi kita akan mengubah atau memfaktorkan bentuk baku
persamaan kuadrat 02 cbxax
- Untuk a = 1
Kita faktorkan bentuk 02 cbxx
menjadi :
0)()( 21 xxxx (x + x1) = 0 atau (x + x2) = 0
- Untuk a ≠1
Kita faktorkan bentuk 02 cbxax
menjadi :
0)(0)(0 21
21
xaxatauxaxa
xaxxax
109
Agar lebih jelas, perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh :
Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut ini dengan faktorisasi.
a. 02832 xx
b. 0523 2 xx
Jawab :
a. 28dan,3,102832 cbaxx
Cari dua bilangan sehingga hasil kalinya = 28)28(.1 dan
jumlahnya = – 3.
Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah –7 dan 4, sehingga
2832 xx = 0
)7()4( xx = 0
x + 4 = 0 atau x – 7 = 0
x = –4 atau x = 7
b. 5dan,2,30523 2 cbaxx
Cari dua bilangan sehingga hasil kalinya = 3 . (–5) = –15 dan
jumlahnya = 2.
Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah –3 dan 5, sehingga
0523 2 xx
03
)53()33(
xx
053atau033 xx
110
53atau3 xx
x = 1 atau x = 3
5
Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
Persamaan kuadrat ,02 cbxax diubah menjadi bentuk
kuadrat sempurna dengan cara sebagai berikut.
a. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila belum bernilai 1 bagilah
dengan bilangan sedemikian hingga koefisiennya adalah 1.
b. Tambahkan ruas kiri dan kanan den-an setengah koefisien dari x
kemudian kuadratkan.
c. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, sedangkan ruas
kanan disederhanakan.
Contoh :
Dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, carilah akar-
akarnya.
a. 01662 xx
b. 032 xx
Jawab :
a. 01662 xx
1662 xx
Kedua ruas ditambah 16
22
2 )6(.2
116)6(.
2
16
xx
Kedua ruas ditambah
2
1(
x koefisien x)
2
111
222 )3(16)3(6 xx
916962 xx
25)3( 2 x
53 x
3535 21 xataux
28 21 xataux
b. 032 xx
22
2 )6(.2
1163.
2
16
xx
4
9
4
932 xx
4
9
2
32
x
4
9
2
3x
2
3
2
3x
2
3
2
3
2
3
2
321 xataux
30 21 xataux
112
Rumus abc
Dengan menggunakan aturan melengkapkan kuadrat sempurna yang
telah dipelajari sebelumnya, dapat dicari rumus untuk menyelesaikan
persamaan kuadrat.
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat
,02 cbxax maka :
a
acbbxdan
a
acbbx
2
4
2
4 2
2
2
1
Rumus tersebut disebut rumus abc.
Contoh :
Tentukan penyelesaian persamaan berikut dengan menggunakan
rumus abc.
a. 02422 xx
b. 082 2 x
Jawab :
a. Dari persamaan diperoleh a= 1, b = –2 , dan c = –24.
a
acbbx
2
42
2,1
)1(2
)24(.)1(.4)2()2( 2
2
102
2
9642
113
2
102atau
2
10221
xx
4atau6 21 xx
b. Dari persamaan diperoleh a = 2, b = 0,dan c = –8.
a
acbbx
2
42
2,1
)2(2
)8(.)2(.4)0(0 2
4
640
4
8
2atau2 21 xx
3. Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Jika diperhatikan cara mencari penyelesaian persamaan kuadrat
dengan menggunakan rumus, maka jenis akar-akar tersebut akan
bergantung pada nilai b2– 4 ac. Nilai dari b
2–4ac disebut diskriminan,
yaitu D = b2– 4ac.
Beberapa jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai D.
a. Jika D> 0,maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang
berbeda.
b. Jika D =0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang
sama atau sering disebut mempunyai akar kembar (sama).
c. Jika D < 0,maka persamaarn kuadrat mempunyai akar yang tidak
real (imajiner).
114
Contoh :
1. Selidiki jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut ini tanpa mencari
akarnya ' terlebih dahulu.
a. 025102 xx
b. 032 xx
c. 03522 xx
Jawab :
a. 25,10,1025102 cdanbaxx
acbD 42
)25()1(4102 D
0100100 D
Jadi, persamaan kuadrat 025102 xx
mempunyai dua
akar sama atau kembar.
b. .3dan,1,1032 cbaxx
)3()1(412 D
121D
011D
Jadi, persamaan kuadrat 032 xx
tidak mempunyai akar
real (akar imajiner).
c. .35,2,103522 cdanbaxx
)35()1(4)2( 2 D
1404 D
115
0144 D
Jadi, persamaan kuadrat 03522 x mempunyai dua akar
real yang berbeda.
4. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut :
Jika kedua akar tersebut dijumlahkan, maka didapatkan :
a
bxx 21
Jika kedua akar tersebut dikalikan, maka didapatkan :
a
cxx 21 .
Kedua bentuk tersebut disebut rumus jumlah dan hasil kali akar
persamaan kuadrat. Perhatikan contoh berikut.
Contoh :
1. Jika x1 dan x2akar-akar dari persamaan ,0142 xx
tentukanlah :
a. 21 xx c. 2
2
2
1 xx
b. 21 . xx
a
acbbxatau
a
acbbx
2
4
2
4 2
2
2
1
116
Jawab :
Dari persamaan x2+ 4x – 1 = 0 diperoleh : a =1, b =4, dan c = –1.
a. 41
421
c
bxx
b. 11
1. 21
a
cxx
c. 21
2
21
2
2
2
1 2 xxxxxx
1812161242
2. Hitunglah nilai k agar persamaan 01)2(3 2 kxkx
mempunyai akar-akar :
a. Berkebalikan
b. Berlawanan
Jawab :
a. .12,301)2(3 2 kcdankbakxkx
Misalkan akar-akarnya adalah x1 dan x2, jika akar-akar
berkebalikan maka :
1.1
21
2
1 xxataux
x
a
cxx 21 .
3
11
k
231 kk
117
b. Jika akar-akarnya berlawanan, maka x1 = –x2 atau x1 + x2 = 0
a
bxx 21
3
20
k
220 kk
5. Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang
mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk
notasi himpunan atau dengan garis bilangan. Langkah-langkah untuk
mencari himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat :
a. Nyatakan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat
(jadikan ruas kanan sama dengan 0).
b. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.
c. Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut, tentukan
tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara
menguji tanda pada masing-masing interval.
d. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi
pertidaksamaan tersebut.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.
a. 01452 xx
b. 09 2 x
118
Jawab :
a. 01452 xx
01452 xx Nyatakan dalam persamaan
kuadrat
0)2()7( xx Persamaan difaktorkan untuk
mencari akar
2atau7 xx
Garis bilangan yang memuat
(–7) dan 2 :
-7 2
Uji beberapa titik yang mewakili masing-masing interval, misalnya :
sebelah kiri –7, diambil –10 => (– 10)2
+ 5(–10) – 14 = 36 (positif)
antara –7 dan 2, diambil 0 => 02 + 5(0) – 14 = –14 (negatif)
sebelah kanan 2, diambil 3 => 33 + 5(3) – 14 = 10 (positif)
Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah “<” maka interval
yang bertanda negatif yang memenuhi pertidaksamaan.
Jadi, HP = }.,27{ Rxxx
Latihan
1. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan faktorisasi
a. X2 + x = 72
b. X2 – 16 = 0
c. X2 – 64 = 0
d. 2x2 – 3x = 0
e. 2x2 + 7x + 5 = 0
2. Selesaikan persamaan berikut ini dengan melengkapkan kuadrat
sempurna
119
a. 4x2 + 4X – 3 = 0
b. 3X2 – 8X – 3 = 0
c. X2 – 6X = 16
d. X2 + 2X + 1 = 0
3. Gunakan rumus abc untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
berikut ini :
a. X2 - 4x + 4 = 0
b. X2 – 4x – 12 = 0
c. X2 – 9x – 22 = 0
d. X2 + 7x – 8 = 0
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :
a. X2 + 8x – 9 < 0
b. X2 - x -20 > 0
c. 6x - X2> 1
d. -X2 + 11x + 26 ≥ 0
5. Perhatikan persamaan kuadrat berikut :
(i) X2 + x + 3 = 0
(ii) X2 = 2x + 5
Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan tersebut, tentukan x1 +
x2 dan x1 . x2
120
C. MENERAPKAN PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
1. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-Akarnya
Jika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, ada dua cara yang dapat
digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat yaitu :
a. Menggunakan rumus perkalian faktor dan menyelesaikan persamaan
kuadrat dengan faktorisasi. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar
persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
:
0)()( 21 xxxx
b. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar. Jika x1 dan x2
adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya
adalah :
0.)( 2121
2 xxxxxx
Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya :
a. –8 dan 3
b. 35dan35
Jawab :
a. Cara I Menggunakan rumus perkalian faktor.
Misalkan x1= –8 dan x2= 3, persamaan kuadratnya adalah :
0)3())8(( xx
0)3()8( xx
121
024832 xxx
02452 xx
Cara II Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar.
Misalkan x1 = –8 dan x2 = 3,
243.8.538 2121 xxdanxx
Persamaan kuadratnya adalah :
0.)( 2121
2 xxxxxx
0)24()5(2 xx
02452 xx
b. 3535 21 xdanx
10)35()35(21 xx
22325)35()35(. 21 xx
Persamaan kuadratnya adalah :
0).()( 2121
2 xxxxxx
022102 xx
2. Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar-Akar
Persamaan Kuadrat Lain
Untuk menentukan persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar
persamaan kuadrat lain, perhatikan contoh-contoh soal berikut.
122
Contoh :
1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya lima lebihnya dari
akar-akar persamaan kuadrat !0282 xx
Jawab :
.2dan8,1282 cbaxx
Misalkan akar-akar persamaan 0282 xx adalah x1 dan x2,
maka
21
2.atau8
1
82121
a
cxx
a
bxx
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah
α dan β Maka ,55 21 xdanx sehingga :
)5()5( 21 xx
10)( 21 xx
18108
)5()5(. 21 xx
5.555. 2121 xxxx
25)(5. 2121 xxxx
67258.52
3. Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat dapat digunakan untuk
memecahkan beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah dengan membuat
kalimat matematika dari permasalahan-permasalahan tersebut. Perhatikan
123
beberapa contoh berikut.
Contoh :
1. Sejumlah siswa akan patungan untuk membeli alat praktik seharga
Rp612.000,00. Setelah masing-masing membayar dengan jumlah
yang sama, ada 3 temannya yang ingin bergabung. Jika ketiga orang
itu ikut bergabung, maka masing-masing akan membayar
Rp34.000,00 kurangnya dari yang telah mereka bayar. Tentukan
jumlah siswa yang berencana akan membeli alat praktik tersebut.
Jawab :
Misalkan jumlah siswa : x
Masing-masing siswa membayar sebesar :x
000.612
Setelah 3 temannya bergabung, masing-masing siswa membayar :
)3(
000.612
x
Selisih pembayaran = pembayaran mula-mula – pembayaran setelah
3 temannya bergabung
3
000.612000.612000.34
xx Kedua ruas dibagi 34.000
3
18181
xx Kedua ruas kalikan x(x + 3)
xxxx 18)3(18)3(
xxxx 18541832
05432 xx
0)6()9( xx
124
6atau9 xx
Jadi, sebelum 3 temannya bergabung ada 6 siswa yang akan
patungan membeli alat praktik.
2. Sebuah pabrik lampu pijar menjual produknya seharga Rp6.000,00
per unit. Biaya pembuatan x lampu didapat menurut persamaan β =
x2 + l.000x. Berapa unit lampu harus terjual agar mendapatkan laba
tidak melebihi dari Rp6.000.000,00?
Jawab :
Laba ≤ Pendapatan – Biaya
Laba ≤ (Harga jual x jumlah yang diproduksi) – Biaya
6.000.000 ≤ 6.000x )000.1( 2 xx
000.000.6000.50 2 xx
Untuk menentukan nilai x, ubah pertidaksamaan tersebut ke bentuk
persamaan.
0000.000.6000.52 xx
0)000.2()000.3( xx
0)000.2atau0000.3 xx
000.2atau000.3 21 xx
Kemudian buat garis bilangan yang memuat nilai x1 dan x2.
Batas-batas nilai x : 2.000 ≤ x ≤ 3.000
Jadi, agar mendapatkan laba tidak lebih dari Rp6.000.000,00 banyak
lampu yang harus terjual antara 2.000 unit sampai 3.000 unit.
2.000 3.000
+ - +
125
Latihan
1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut :
a. 2 dan 1
b. -3 dan 3
c. 2
5 dan -5
d. 3 +√2 dan 3 - √2
2. Jika x1 dan x2 merupakan akar –akar persamaan x2 – 3x + 1 = 0,
susunlah persamaan kuadrat baru yang akar – akannya (α dan β)
diberikan berikut ini :
a. α= x1 – 1 dan β = x2 – 1
b. α=2 x1 dan β = 2x2
c. α= 1
x1 dan β =
1
x2
3. seorang perajin mainan anak- anak dapat menjual seluruh hasil
produksinya dengan harga p= (105 – x ) per buah. Biaya pembuatan
sebesar Rp55.000,00 per buah. Jika biaya tetap operasional per hari
sebesar Rp300.000,00, berapa banyak mainan anak-anak yang harus
diproduksi dan terjual per hari agar pengrajin tersebut mencapai titik
impas?
4. Sejumlah siswa akan patungan untuk alat praktik seharga
Rp450.000. setelah masing-masing membayar dengan jumlah yang
sama, ada 5 temannya yang akan ikut bergabung. Jika kelima
temannya ikut, maka masing-masing akan membayar Rp15.000
kurangnya yang dari yang telah mereka bayar. Tentukan banyak
siswa yang berencana akan membeli alat praktik tersebut?
5. Unit produksi SMK ABC memproduksi meja besi dengan biaya
produksi Rp9.00.000. Hasil produksi akan dipasarkan dan berhasil
126
terjual dengan sisa 2 meja. Jika hasil penjualan meja Rp1.026.000.
Dengan keuntungan tiap meja Rp12.000. Tentukan jumlah meja
yang diproduksi?
D. SISTEM PERSAMAAN
Rudi ingin makan siang di sebuah rumah makan. Namun ia hanya
mempunyai uang Rp15.000,00. Beberapa hari yang lalu ia bersama
temannya makan ditempat yang sama. Saat itu mereka memesan 2 porsi
makanan dan 3 gelas minuman seharga Rp33.000,00. Seorang bapak di
meja sebelahnya memesan 4 porsi makanan dan 1 gelas minuman seharga
Rp51.000,00. Dengan uang Rp15.000,00, dapatkah Rudi membeli 1 porsi
makanan dan 1 gelas minuman yang sama?
Permasalahan seperti tersebut dapat diselesaikan dengan sistem
persamaan.
1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah :
....111 cybxa 1
....222 cybxa 2
dengana1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real.
Persamaan (1) dan persamaan (2) merupakan suatu sistem
persamaan karena keduanya saling berkaitan.
Mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah
dengan cara mengganti nilai variabel atau peubah yang memenuhi sistem
persamaan tersebut, yaitu dapat dicari dengan menggunakan metode
eliminasi, substitusi, atau gabungan dari kedua metode tersebut.
127
Metode Eliminasi
Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan cara
eliminasi artinya mencari nilai variabel dengan menghilangkan variabel
yang lain. Prinsip yang digunakan untuk menghilangkan suatu variabel
adalah mengurangkan atau menjumlahkannya.
- Untuk menghilangkan suatu variabel, koefisien dari variabel
tersebut pada kedua persamaan harus sama. Jika belum sama,
masing-masing persamaan dikalikan dengan bilangan tertentu
sehingga variabel tersebut memiliki koefisien yang sama.
- Jika variabel yang akan dihilangkan bertanda sama, dua persamaan
dikurangi, dan jika memiliki tanda yang berbeda, dua persamaan
ditambah.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh :
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
)2(....234
)1(....1123
yx
yx
Jawab :
Untuk mencari variabel y berarti variabel x dieliminasi.
1123 yx x 4 44812 yx samakan koefisien
variabel yang akan di
eliminasi
+
234 yx x 3
6912 yx
x = 28
Untuk menentukan nilai variabel x, maka variabel y harus
dihilangkan.
128
1123 yx
x 3 3369 yx
samakan koefisien variabel
yang akan eliminasi
+
234 yx
x 2 468 yx
x = 29
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut
adalah {(29, 38) }.
Metode Substitusi
Substitusi artinya mengganti atau menyatakan salah satu variabel
dengan variabel lainnya. Untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan
dengan cara substitusi, perhatikan contoh berikut.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
443
252
yx
yx
Jawab :
)2(...443
)1(...252
yx
yx
Misalkan yang akan disubstitusi adalah variabel x pada persamaan
(2), maka persamaan (1) dinyatakan dalam bentuk :
252 yx
yx 522
)3(...2
52 yx
Substitusikan nilai x pada persamaan (3) tersebut ke persamaan (2)
129
443 yx
442
523
y
y Kedua ruas dikalikan 2
88)52(3 yy
88156 yy
687 y
147 y
2y
Untuk mendapatkan x, substitusikan y = 2 ke persamaan (3)
42
8
2
)2(52
2
52
yx
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 2)).
Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)
Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan terkadang lebih
mudah menggunakan gabungan dua metode sebelumnya yaitu
mengeliminasi terlebih dahulu baru dilakukan substitusi atau sebaliknya.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh :
1. Tentukan nilai x dan y dari
02
1
3
1
72
1
yx
yx
130
Jawab :
Langkah pertama yang kita lakukan adalah mengeliminasi variabel
y.
72
1 yx
x 1
72
1 yx
02
1
3
1 yx
x 2 03
1 yx
+
7
6
7X
6x
Substitusikan nilai x = –6
72
1 yx
762
1 y
37 y
4 y
4y
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–6, 4) }.
2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel yang
mempunyai variabel x, y, dan z adalah :
3332
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
131
dengan.dan,,,,,,,,,, 32121321321 Rdddccbbbaaa
Seperti sistem persamaan linear dua variabel, sistem persamaan
linear tiga variabel juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode
eliminasi, substitusi, atau gabungan keduanya. Untuk memahami cara
menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, perhatikan contoh
berikut.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.
2122
17323
1722
cba
cba
cba
Jawab :
Dari sistem persamaan linear dua variabel tersebut, diperolah :
)3(...2122
)2(...17323
)1(...1722
cba
cba
cba
Eliminasi variabel a dari (1) dan (2)
1722 cba x 3 51636 cba
17323 cba x 2 34646 cba
-
)4(....85127 cb
Eliminasi variabel a dari (1) dan (3).
2122
1722
cba
cba
-
)5(....4 cb
132
Eliminasi variabel b dari (4) dan (5)
85127 cb
x
1 85127 cb
4 cb
x
2 2877 cb
+
5719 c
3c
Untuk mencari nilai b, substitusikan c = -3 ke persamaan (5)
74)3(
4
bb
cb
Untuk menentukan nilai a, substitusikan c = –3dan b = 7ke
persamaan (1).
1722 cba
17)6(72 a
17132 a
2a
Jadi, HP = {(–2, 7, –3)} .
3. Sistem Persamaan Dua Variabel : Linear dan Kuadrat (SPLK)
Pada bagian ini kita akan mempelajari sistem persamaan dua
variabel. Namun berbeda dengan sebelumnya, komponen penyusun sistem
persamaan ini adalah persamaan linear dan persamaan kuadrat. Bentuk
umum persamaan linear dua variabel, yang terdiri dari persamaan linear
dan kuadrat adalah :
42 a
133
rqxpxy
baxy
2
dengan, b, p, q, dan r adalah bilangan real, x dan y adalah variabel. Untuk
mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan ini kita menggunakan
metode substitusi.
Contoh :
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan
205
72
yx
xxy
Jawab :
)1(...72 xxy
)2(...520205 xyyx
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1)
72 xxy
7520 2 xxx
Diubah ke bentuk baku persamaan kuadrat
020752 xxx
02762 xx
0)3()9( xx
0)3(atau)9( xx
3atau9 xx
134
Untuk menentukan nilai y, substitusikan nilai x yang sudah didapatkan ke
persamaan (2)
Untuk 654520)9(5209 yx
Untuk 51520)3(5203 yx
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–9, 65), (3, 5)}.
4. Aplikasi Sistem Persamaan
Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat
diselesaikan dengan menggunakan sistem persamaan. Tentu saja
sebelumnya kita harus mengubah persoalan tersebut dalam kalimat
matematika.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh :
1. Harga enam CD RW “A”dan 4 CD RW “B” harganya Rp41.000,00.
Diketahui CD RW “B” lebih mahal Rp1.500,00 dari CD RW “A”.
Tentukan biaya yang harus dibayarkan oleh Joko jika membeli 10
CD RW “A”dan 15 CD RW “B”.
Jawab :
Misalkan harga CD RW “A” adalah x dan harga CD RW “B” adalah
y, maka diperoleh sistem persamaan :
)2(...500.1
)1(...000.4146
xy
yx
000.4146 yx
Jika persamaan (2) disubstitusikan ke persamaan (1), diperoleh :
135
000.41)500.1(46 xx
000.41000.646 xx
000.6000.4110 x
500.3x
Substitusikan x = 3.500 ke (2)
500.1 xy
000.5500.1500.3 y
Harga 10 CD RW “A” dan 15 CD RW “B”
= 10 . Rp3.500,00) + (15 . Rp5.000,00
= Rp110.000,00.
Jadi, Joko harus membayar sebesar Rp110.000,00.
Latihan
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier
berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi.
a.
2x – y = 14
x + 3y = 0
b.
3x – y = 5
x + 3y = 5
c.
5x +y = 5
x + 3y = 5
2. Gunakan metode substitusi untuk mencari himpunan penyelesaian
sistem persamaan berikut.
a.
x +3y = 5
x + y = 13b.
x - 5y = -27
136
3. Gunakan metode campuran untuk mencari himpunan penyelesaian
sistem persamaan berikut.
a.
2x + y + z = 8
3x – y + 2z = 17
4x + 2y – z = 1
b.
x + y + 2z = 4
2x + 4y – z = -14
3x – 2y + z = -3
4. Sebuah pulpen harganya 4 kali harga sebuah pensil. Apabila
Bimbim membeli 1 pulpen dan 3 pensil, maka ia harus membayar
Rp4.900,00. Berapa yang harus dikembalikan toko tersebut kepada
Hendro jika ia membeli 2 pulpen dan 8 pensil. Dengan
menggunakan uang kertas dua puluh ribu?
5. Sebuah gedung kesenian memiliki kapasitas 250 orang. Harga karcis
untuk penonton kelas I Rp5.000,00 dan penonton kelas II
Rp3.000,00. Jika uang yang terkumpul adalah Rp900.000,00 berapa
banyak penonton tiap kelas?
Rangkuman
Persamaan linier dan pertidaksamaan linier satu variabel
adalah persamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat
terbesar dari variabel tersebut adalah satu.
adalah pertidaksamaan yang memuat satu variabel dan pangkat
terbesarnya adalah satu. Pertidaksamaan linear satu variabel
menggunakan tanda <, >, ≤, dan ≥.
137
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde
dua.
ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 a,b,c € R
untuk menentukan penyelesaian kuadrat dapat digunakan cara
faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna. Atau rumus abc.
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat bergantung pada deskriminan
(D)
a. jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real
yang berbeda.
b. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real
yang sama atau sering disebut mempunyai akar kembar.(sama)
c. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai akar yang tidak
real.
Jika x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat ax² + bx + c maka,
X1 + x2 = -b/a dan x1 .x2 = c/d
Jika x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat, persamaan kuadrat
yang dimaksud adalah (x – x1)(x – x2) = 0 atau x² - (x1 + x2)x + x1
. x2 = 0
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang
mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Langkah –
langkah menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat :
1. Nyatakan persamaan kuadrat kedalam bentuk persamaan kuadrat.
2. Tentukan akar-akar persamaan kuadratnya.
3. Buat garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut.
4. Pilih interval yang memenuhi pertidaksamaan.
138
Sistem Persamaan
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Bentuk umum dari persamaan linier dua variabel adalah : Dengan
a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah bilangan real.
Bentuk umum persamaan linier tiga variabel adalah
A1x + b1x + c1z = d1
A2x + b2x + c2z = d2
A3x + b3x + c3z = d3
Yang mempunyai variabel x, y, z.
Bentuk umum dari persamaan linier dua variabel, yang terdiri dari
persamaan linier dan kuadrat.
Y = ax + b
Y = px² + qx + r
Dengan a, b, p, q, r adalah bilangan real, x dan y adalah variabel.
System persamaan dapat diselesaikan dengan cara metode eliminasi,
substitusi, dan campuran (eliminasi dan substitusi).
139
DAFTAR PUSTAKA
Kasmina, Toali, Suhendra, dkk. 2008. Matematika SMK dan MAK.
Jakarta: Erlangga.
MGMP Matematika Kota Banda Aceh. 2012. LKS Matematika SMK/SMA.
Mulyati, Tita & Tandjungsari. 2008. Matematika SMK. Bandung: Gerbang
Ilmu.
Tim Matematika SMA. 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X. Jakarta:
PT. Galaxy Puspa Mega.
Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta:
Penerbit Erlangga.
_______. 2007. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Erlangga.
140
TENTANG PENULIS
Cut Maulina, M.Pd. lahir pada tanggal 30 Oktober 1987.
Lulus S-1 Program Studi Pendidikan Matematika tahun
2009 dari Universitas Syiah Kuala. Kemudian,
melanjutkan Program Magister Pendidikan Matematika di
Universitas Syiah Kuala dan lulus tahun 2019. Penulis
pernah bekerja sebagai sekretaris di Kantor Pekerjaan Umum Banda Aceh.
Penulis juga pernah mengikuti Seminar Nasional Pendidikan Matematika
Universitas Syiah Kuala Tahun 2016. Selain itu, penulis pernah menulis
artikel di IJSBAR (International Journal of Science: Basic and Applied
Research) Tahun 2019. Saat ini, menjadi instruktur Matematika di
Politeknik Pelayaran Malahayati sejak tahun 2013.
Eka Nurmala, S.E., M.Si., Ak. lahir pada tanggal 28 Mei
1977. Lulus S-1 Program Studi Ekonomi Akuntasi tahun
1999 dari Universitas Syiah Kuala. Kemudian,
melanjutkan Program Magister Ekonomi Akuntasi di
Universitas Sumatera Utara dan lulus tahun 2016. Penulis
pernah menjabat sebagai kepala urusan keuangan (2012-2015). Penulis
juga pernah menjabat sebagai Ketua PSI (2015-2020). Saat ini, menjabat
sebagai Kasubag Akademik Politeknik Pelayaran Malahayati.