20mtsil15pir20idis_eisigisi

7232019 20mtsil15pir20idis_eisigisi

httpslidepdfcomreaderfull20mtsil15pir20idiseisigisi 19

Αρσάκεια 991251 Τοσίτσεια Σχολεία Ημερίδα Θετικών Επιστημών 991251 Μάρτιος 2015

1

Η διαισθητική προσέγγιση του ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης 983142

M 983124σιλπιρίδης (983149983156983155983145983148983152983143983149a983145983148c983151983149)

Πειραματική διδασκαλία σε μαθητές Β΄ Λυκείου

Γνωστική περιοχή Διαφορικός λογισμός

Επισκόπηση του σεναρίου

Η έννοια της παραγώγου τιμής0f (x ) διδάσκεται στη Γ΄ Λυκείου τόσο στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης όσο

και στα 983211Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής983227 ως στιγμιαία ταχύτητα σε προβλήματα κίνησης με δεδο983085

μένη τη συνάρτηση θέσης x(t) ενός κινητού ως ο ρυθμός μεταβολής0x (t ) μια δεδομένη χρονική στιγμή

0t Στη συνέχεια συνδέεται η έννοια της κλίσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της 983142 στο α983085

ντίστοιχο σημείο




2

Είναι γνωστό ότι κατά τη διάρκεια της Γ΄ Λυκείου είναι εξαιρετικά στενά τα χρονικά περιθώρια ώστε να

οργανωθεί μια αντίστοιχη δραστηριότητα για τη δυναμική προβολή και διερεύνηση των παραπάνω

σύνθετων εννοιών Για το λόγο αυτό αποφασίσαμε να παρουσιάσουμε αυτή τη δραστηριότητα σε μια 10983085

μελή ομάδα μαθητών της Β΄ Λυκείου που μέχρι τη συγκεκριμένη περίοδο έχουν τις εξής γνώσεις τους

ορισμούς της μονοτονίας μιας συνάρτησης την κλίση λ μιας ευθείας και (εντελώς αφηρημένα) γνώσεις

για το ρυθμό μεταβολής κυρίως από τη Φυσική

Στη δραστηριότητα θα επιχειρήσουμε οι μαθητές να αντιληφθούν διαισθητικά ότι η μελέτη μονοτονίας

μιας μονότονης κατά διαστήματα συνάρτησης f πρέπει να περιοριστεί σε διαστήματα της μορφής

(xx h)+ με h πολύ μικρό προκειμένου το πρόσημο του λόγου μεταβολής να συμβαδίζει με το είδος της

μονοτονίας της 983142 Με αυτόν τον τρόπο επιχειρούμε να καταδείξουμε και την πρακτικήπλευρά αναζήτη983085

σης του (προσήμου του) ορίουh 0

f (x h) f (x)lim

hrarr

+ minus αφού είναι δυνατό να κατανοήσουν την αναγκαιότητα

του ορισμού της παραγώγου τιμής στην οριακή θέση της ταύτισης μιας τέμνουσας ΑΒ μιας καμπύλης ό983085

ταν το Α τείνει να ταυτιστεί με το Β

Σημαντικό επίσης είναι να αντιληφθούν ότι σε αυτή την περίπτωση ο λόγος μεταβολήςf (x h) f (x)

h

+ minus

παρότι έχει τη μορφή0

0 εν τούτοις η τιμή του προσεγγίζει την κλίση της εφαπτομένης ευθείας της γρα983085

φικής παράστασης της 983142 στο αντίστοιχο σημείο

Είναι σαφές ότι η κατανόηση της έννοιας απαιτεί σύνθετες νοητικές λειτουργίες καθώς απαιτείται 983211κίνη983085

ση983227 αλλά και 983211οριακή προσέγγιση983227 έννοιες από τη φύση τους μη στατικές

Προστιθέμενη αξία Μέσω της δυναμικής προσέγγισης του λογισμικού αναπαρίσταται με απλό και κατα983085

νοητό τρόπο η κίνηση της τέμνουσας ευθείας αποφεύγοντας με αυτό τον τρόπο τις δυσκολίες που υπάρ983085

χουν στο στατικό περιβάλλον του πίνακα Συνεπώς δίνεται η δυνατότητα στο μαθητή να επικεντρωθεί στο

μαθηματικό περιεχόμενο της οπτικοποίησης και της αναπαράστασης της έννοιας του ρυθμού μεταβολήςκαθώς και στην αναγκαιότητα εισαγωγής της νέας 991251γι αυτόν983085 έννοιας ανεξάρτητης από πλαίσιο αναφο983085

ράς

Αναμενόμενο ότι 983211991270 οι μαθητές που εργάζονται σε τέτοια περιβάλλοντα διαπιστώνουν ότι το 983211σύρσιμο983227

διαφωτίζει τη μαθηματική δομή μιας κατασκευής αποκαλύπτοντας τη γενική περίπτωση ως προκύπτον

σύνολο ενός ρεύματος συνεχών σχετικών απεικονίσεων που παράγονται ως αποτέλεσμα της κίνησης των

ποντικιών τους983227 (R983151983155c983144e983148983148e amp Jac983147983145e983159 (2000))




3

Είναι επίσης γνωστό ότι η χρήση του ΗΥ ως 991260εργαλείου δυναμικής θεώρησης της κίνησης991261 έχει επιφέρει

ανατροπές στον τρόπο που αναπαριστούμε τα Μαθηματικά και ως εκ τούτου επιβάλλεται μια ευρεία α983085

ναθεώρηση του τρόπου διδασκαλίας Η δυναμική αναπαράσταση των σχημάτων των μεταβλητών της

οριακής προσέγγισης μπορεί για το δάσκαλο των μαθηματικών να έχει προκύψει ως μέσο νοητικών επε983085

ξεργασιών και εικόνων αλλά για το μαθητή ο οποίος καλείται να αφομοιώσει νέες έννοιες σε σχετικά μι983085

κρή ηλικία 991251και ενδεχόμενα χωρίς μαθηματική παιδεία 991251 αυτό είναι αρκετά φιλόδοξο Για τον μαθητή εί983085

ναι σημαντικό 991260να πιάσει με τα χέρια του991261 την έννοια προκειμένου να την κατανοήσει Η γενίκευση και η

αποπλαισίωση έπονται

Βασική Επισήμανση

Επιλέξαμε ως κεντρικό πρόβλημα τη μελέτη μονοτονίας μιας συνάρτησης 983142 και όχι το σύνηθες που αφορά

στη μελέτη κάποιας συνάρτησης 983160(983156) (συνάρτηση θέσης ενός κινητού) όχι από μαθηματικό σωβινισμό αλ983085

λά γιατί αποσκοπούμε στο να καταστεί σαφές στους μαθητές η (μαθηματική) ανάγκη να επιλύουμε προ983085

βλήματα αμιγώς μαθηματικά και όχι άλλων επιστημονικών κλάδων

Κατά τη γνώμη μας μια τόσο σημαντική έννοια όπως αυτή του ρμ θα πρέπει να εισάγετε μέσα από την

ανάγκη ενός 991251επίσης σημαντικού983085 μαθηματικού προβλήματος όπως αυτό της μελέτης της μονοτονίας

Παρόλα τα προηγούμενα η συνάρτηση με την οποία ασχολούνται οι μαθητές είναι μια συνάρτηση 983160(983156)

προκειμένου να έχουμε πολλαπλά αποτελέσματα

το γεωμετρικό το αλγεβρικό και τέλος και το φυσικό ισοδύναμο του ρυθμού μεταβολής

Ως επίλογο κρίνουμε σκόπιμο να αναφερθούμε στον υπαρκτό κίνδυνο μερικής επιτυχίας που υπάρχει πά983085

ντα σε μια ζωντανή και πειραματική διδασκαλία (και μάλιστα στο ιδιαίτερο περιβάλλον της παρακολού983085

θησης από Καθηγητές Μαθηματικών) Συνυπολογιζόμενης και της τόσο ιδιαίτερης έννοιας του ρυθμού

μεταβολής θα θέλαμε να προκαταβάλουμε τη θετική στάση και κατανόηση των Συναδέλφων Μαθηματι983085

κών




4

Ερωτήματα 991251 Φύλλο εργασίας

Υπενθυμίσεις983085 Ορισμοί

Έτσι για παράδειγμα η παρακάτω συνάρτηση 983142(983156) είναι γνησίως 991270991270991270991270991270 για 0lt983156lt4 και γνησίως αύξουσα

για 983156isin991270991270991270

O συντελεστής διεύθυνσης (ή κλίση) λ μιας ευθείας με τύπο

y x= λ + β που διέρχεται από τα σημεία 1 1A(x y ) και

2 2B(x y ) με1 2x xne είναι 2 1

2 1

y y

x x

minusλ =

minus και εκφράζει την εφω




5

Β983089983086

Στη δραστηριότητα υπάρχουν

ένας δρομέας 983144 που καθορίζει το 991270991270991270991270991270 του διαστήματος μελέτης της μονοτονίας 1 2[ ] x x

Τα σημεία1 1

A(x f (x )) και2 2

B(x f (x )) μιας συνάρτησης 983142 η οποία αρχικά δεν απεικονίζεται

T983151 διάστημα1 2

[x x ] που μεταβάλλεται από το1

x

Β983090983086

Ι Για τις διάφορες τιμές του 983144 και του1x να πιθανολογήσετε το είδος της μονοτονίας της 983142 στο διά983085

στημα1 2

[ ] x x για τις τιμές 01α = και 01α = minus διαδοχικά Ανοίξτε στη συνέχεια το διακόπτη

983211δείξε τη συνάρτηση983227 για να επαληθεύσετε και γραφικά τις απαντήσεις σας

ΙΙ Το πλάτος του διαστήματος 1 2[ ] x x παίζει κάποιο ρόλο για το είδος της μονοτονίας της 983142 στο διά983085

στημα αυτό

Β983091983086 Ανοίξτε τους διακόπτες 983211λόγος μεταβολής983227 και 983211εξίσωση ΑΒ983227 Τι παρατηρείτε για τις τιμές του λό983085

γου μεταβολής 2 1

2 1

f (x ) f (x )f

x x x

minus∆=

∆ minus και της κλίσης της ευθείας ΑΒ που ενώνει τα σημεία ( )1 1A x f (x )

και ( )2 2B x f (x ) για τις διάφορες τιμές του1x και του 983144 (Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)

Β983092983086

Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τη σύνδεση του λόγου μεταβολής

f

x

∆

∆ και του είδους της μονοτονί983085

ας μιας γνήσιας μονότονης συνάρτησης 983142 σε ένα διάστημα

Στη δραστηριότητα έχουμε θέσει όπου 1x t= και 2x t h= + ενώ η καμπύλη παριστάνει τη μεταβολή της

μετατόπισης x(t) ενός κινητού συναρτήσει του χρόνου 983156 Ενεργοί διακόπτες 983211ΑΒ983227 983211Είδος μονοτονίας983227

Β983093983086

Ποιο γνωστό φυσικό μέγεθος εκφράζει σε αυτή την περίπτωση η κλίση της ευθείας ΑΒ δηλαδή ο

λόγοςx x(t h) x(t)

t h

∆ + minus=

∆

Β983094983086 Δώστε τώρα τις τιμές 017 1 0α = minus β = minus γ = και οδηγείστε το διάστημα μελέτης στο t 3= Ι983085

σχύουν τώρα ανάλογα συμπεράσματα από το Β4 για το είδος μονοτονίας αυτής της συνάρτησης

Α΄ Μέρος (αρχείο 9831599831519831549831479831351983143983143983138)

Β΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831351983143983143983138)




6

Β983095983086 Μεταβάλλοντας το 983156 επιλέξτε ένα διάστημα στο οποίο η συνάρτηση διατηρεί σταθερή τη μονοτο983085

νία της ώστε να έχετε τα ίδια ευρήματα με το Β4 ερώτημα

Β983096983086

Δώστε διαδοχικά τις τιμές του πίνακα και επαναλάβετε τον πειραματισμό για διάφορες τιμές του983144

α β γ 983156

983085017 9830851 98308502 3

983085017 9830851 98308502 35

983085017 9830851 98308502 36

Για ποιες τιμές του 983144 έχουμε ίδια αποτελέσματα με το ερώτημα Β4 για το είδος της μονοτονίας της

συνάρτησης σε κάθε διάστημα της μορφής (t t h)+

Β983097983086

Παρατηρείστε τις τιμές των Δ983156 και Δ983160 για τιμές του h 025le Πού τείνουν αυτές οι τιμές Με τι ι983085

σούται και πάλι ο λόγοςx

t

∆

∆

Β983089983088983086 Οδηγείστε το φύλλο εργασίας στα σημεία Α και Β και πειραματιστείτε για τιμές του 983144lt002 Τι φαί983085

νεται να ισχύει για τα σημεία Α και Β Ποια ιδιότητα φαίνεται να έχει η ευθεία ΑΒ ως προς τη γρα983085

φική παράσταση της καμπύλης x(t)

Β983089983089983086

Ανοίξτε το διακόπτη 983211Οριακή983227 και δώστε τιμές για το 983144lt002 Τι παρατηρείτε για τις τιμές του λό983085

γουx

t

∆

∆ και της κλίσης της εφαπτομένης στο σημείο Α

Β983089983090983086 Σύνοψη συμπερασμάτων ορισμός ρυθμού μεταβολής

Η οριακή τιμή του λόγουx x(t h) x(t)

t h

∆ + minus=

∆

για h 0rarr καλείται και ρυθμός μεταβολής της συ983085

νάρτησης 983160(983156) στη θέση 983156 και εκφράζει

Α Γεωμετρικά 991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270

Β Το φυσικό μέγεθος 991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270




7

Το πρόσημό του ρυθμού μεταβολής καθορίζει το είδος της 991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270 της συνάρτησης 983160(983156)

στο διάστημα [t t h]+ Αν είναι θετικό τότε η συνάρτηση θα είναι 991270991270991270991270991270991270991270991270 991270991270991270991270991270991270991270991270

στο διάστημα [t t h]+ διαφορετικά θα είναι 991270991270991270991270991270991270991270991270 991270991270991270991270991270991270991270991270

Β983089983091983086

Στο αρχείο αυτό έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων 983142 και 983143 που παριστάνουν τις

ταχύτητες υ(983156) δύο αυτοκινήτων με τα αντίστοιχα χρώματα και τα σημεία τους Δ και Ε αντίστοιχα

με την ίδια τετμημένηΕπομένως σε αυτή την περίπτωση ο ρυθμός μεταβολής σε κάθε χρονική στιγμή θα παριστάνει

την 991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270 κάθε αυτοκινήτου

Από το δρομέα b να μεταβάλλετε κατάλληλα την πράσινη καμπύλη ώστε να έχει μεγαλύτερο

ρυθμό μεταβολής από την πορτοκαλί καμπύλη για κάθε t 0ge στο πεδίο ορισμού τους

Γ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831352983143983143983138)




8

Β983089983092983086 Οδηγείστε το σημείο Γ στο σημείο Α του άξονα 983160983160΄ και ανοίξτε το διακόπτη 983211κλίσεις983227

Δώστε κίνηση από το διακόπτη 983211Κίνηση Γ983227 και επαληθεύστε τον πειραματισμό σας

Β983089983093983086

Συνδυάζοντας και το δρομέα c σχεδιάστε την πράσινη καμπύλη ώστε να έχει τον ίδιο ρυθμό μετα983085βολής με την πορτοκαλί για κάθε t 0ge Τι παρατηρείτε τότε για τις εφαπτόμενες των δύο γραφι983085

κών παραστάσεων (μπορείτε να δικαιολογήσετε την απάντησή σας) Τέλος τι παρατηρείτε για τις

γραφικές παραστάσεις των 983142 και 983143

Β983089983094983086

Είναι σωστός ή λάθος ο ισχυρισμός ότι αν για κάθε χρονική στιγμή 983156 ισχύει ότι f (t) g(t)gt τότε και

ο ρ μ της 983142 θα είναι υποχρεωτικά μεγαλύτερος από το ρμ της 983143 Πειραματιστείτε για διάφορες

τιμές των παραμέτρων a και b προκειμένου να απαντήσετε

Β983089983095983086 Στο αρχείο αυτό έχουμε ένα σημείο M(xf(x)) το οποίο μετακινείται από τον 3ο δρομέα ενώ από

τον 2ο δρομέα αυξάνουμε τις διαδοχικές θέσεις του σημείου Μ Για κάθε θέση του σημείου Μ

σχεδιάζεται η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 983142 στο Μ

Δ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831353983143983143983138)




9

Β983089983096983086 Πειραματιστείτε για διάφορες θέσεις του σημείου Μ μειώνοντας διαρκώς το βήμα αλλαγής Δη983085

μιουργείται με αυτό τον τρόπο ένα περίγραμμα

Σε τι κατά τη γνώμη σας μπορεί να προσομοιάζει το συγκεκριμένο περίγραμμα

Β983089983097983086 Ανοίξτε το διακόπτη 991260δείξε τη συνάρτηση 983142 991260 Σβήστε τα ίχνη και αλλάξτε τη συνάρτηση από τον

αντίστοιχο δρομέα Επαναλάβετε το πείραμα Τι παρατηρείτε

Β983090983088983086

Σε τι πέραν των προηγουμένων μπορεί να συμβάλλει η 983211χάραξη983227 όσο το δυνατόν περισσότερων

εφαπτομένων μιας συνάρτησης 983142 σε κάθε σημείο της Μ Μπορούμε συνεπώς να πιθανολογήσου983085

με γιατί οι αρχαίοι Έλληνες (Μέναιχμος Αρχιμήδης Απολλώνιος κά) απέδιδαν τόση σημασία

στην κατασκευή της εφαπτομένης σε κάθε σημείο οποιασδήποτε κωνικής τομής

Τέλος δραστηριότητας

Παράρτημα

Θερμές ευχαριστίες για τα εύστοχα σχόλια τους στη σύνταξη διαμόρφωση και αλληλουχία των ερωτημά983085

των του φύλλου εργασίας καθώς επίσης και για τη διάθεση τμημάτων τους για πειραματισμό στους

983085

Γιώργο Ψυχάρη (Παν Αθηνών 991251 Τμήμα Μαθηματικών) καθώς και στους μεταπτυχιακούς φοιτητές του

Β΄ έτους του Μαθηματικού Αθήνας

983085 Π Λιναρδάκη (Συντονιστή Μαθηματικών της ΦΕ)

983085 Μανόλη Νικολουδάκη (Σχολικό Σύμβουλο Μαθηματικών)

983085 Α Ζησόπουλο Α Παπαβασιλείου Γ Γκαγκάκη (Συναδέλφους Μαθηματικούς από τα σχολικά συ983085

γκροτήματα Ψυχικού amp Εκάλης)




2

Είναι γνωστό ότι κατά τη διάρκεια της Γ΄ Λυκείου είναι εξαιρετικά στενά τα χρονικά περιθώρια ώστε να

οργανωθεί μια αντίστοιχη δραστηριότητα για τη δυναμική προβολή και διερεύνηση των παραπάνω

σύνθετων εννοιών Για το λόγο αυτό αποφασίσαμε να παρουσιάσουμε αυτή τη δραστηριότητα σε μια 10983085

μελή ομάδα μαθητών της Β΄ Λυκείου που μέχρι τη συγκεκριμένη περίοδο έχουν τις εξής γνώσεις τους

ορισμούς της μονοτονίας μιας συνάρτησης την κλίση λ μιας ευθείας και (εντελώς αφηρημένα) γνώσεις

για το ρυθμό μεταβολής κυρίως από τη Φυσική

Στη δραστηριότητα θα επιχειρήσουμε οι μαθητές να αντιληφθούν διαισθητικά ότι η μελέτη μονοτονίας

μιας μονότονης κατά διαστήματα συνάρτησης f πρέπει να περιοριστεί σε διαστήματα της μορφής

(xx h)+ με h πολύ μικρό προκειμένου το πρόσημο του λόγου μεταβολής να συμβαδίζει με το είδος της

μονοτονίας της 983142 Με αυτόν τον τρόπο επιχειρούμε να καταδείξουμε και την πρακτικήπλευρά αναζήτη983085

σης του (προσήμου του) ορίουh 0

f (x h) f (x)lim

hrarr

+ minus αφού είναι δυνατό να κατανοήσουν την αναγκαιότητα

του ορισμού της παραγώγου τιμής στην οριακή θέση της ταύτισης μιας τέμνουσας ΑΒ μιας καμπύλης ό983085

ταν το Α τείνει να ταυτιστεί με το Β

Σημαντικό επίσης είναι να αντιληφθούν ότι σε αυτή την περίπτωση ο λόγος μεταβολήςf (x h) f (x)

h

+ minus

παρότι έχει τη μορφή0

0 εν τούτοις η τιμή του προσεγγίζει την κλίση της εφαπτομένης ευθείας της γρα983085

φικής παράστασης της 983142 στο αντίστοιχο σημείο

Είναι σαφές ότι η κατανόηση της έννοιας απαιτεί σύνθετες νοητικές λειτουργίες καθώς απαιτείται 983211κίνη983085

ση983227 αλλά και 983211οριακή προσέγγιση983227 έννοιες από τη φύση τους μη στατικές

Προστιθέμενη αξία Μέσω της δυναμικής προσέγγισης του λογισμικού αναπαρίσταται με απλό και κατα983085

νοητό τρόπο η κίνηση της τέμνουσας ευθείας αποφεύγοντας με αυτό τον τρόπο τις δυσκολίες που υπάρ983085

χουν στο στατικό περιβάλλον του πίνακα Συνεπώς δίνεται η δυνατότητα στο μαθητή να επικεντρωθεί στο

μαθηματικό περιεχόμενο της οπτικοποίησης και της αναπαράστασης της έννοιας του ρυθμού μεταβολήςκαθώς και στην αναγκαιότητα εισαγωγής της νέας 991251γι αυτόν983085 έννοιας ανεξάρτητης από πλαίσιο αναφο983085

ράς

Αναμενόμενο ότι 983211991270 οι μαθητές που εργάζονται σε τέτοια περιβάλλοντα διαπιστώνουν ότι το 983211σύρσιμο983227

διαφωτίζει τη μαθηματική δομή μιας κατασκευής αποκαλύπτοντας τη γενική περίπτωση ως προκύπτον

σύνολο ενός ρεύματος συνεχών σχετικών απεικονίσεων που παράγονται ως αποτέλεσμα της κίνησης των

ποντικιών τους983227 (R983151983155c983144e983148983148e amp Jac983147983145e983159 (2000))




3























κών




4




για 983156isin991270991270991270




2 1

y y

x x

minusλ =





5

Β983089983086




A(x f (x )) και2 2




x

Β983090983086


στημα1 2




στημα αυτό



2 1

f (x ) f (x )f

x x x

minus∆=



Β983092983086


f

x

∆





Β983093983086



t h

∆ + minus=

∆



Α΄ Μέρος (αρχείο 9831599831519831549831479831351983143983143983138)

Β΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831351983143983143983138)




6



Β983096983086


α β γ 983156

983085017 9830851 98308502 3

983085017 9830851 98308502 35

983085017 9830851 98308502 36



Β983097983086



t

∆

∆




Β983089983089983086


γουx

t

∆




t h

∆ + minus=

∆



Α Γεωμετρικά 991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270





7




Β983089983091983086







Γ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831352983143983143983138)




8



Β983089983093983086




Β983089983094983086







Δ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831353983143983143983138)




9






Β983090983088983086






Παράρτημα



983085










3























κών




4




για 983156isin991270991270991270




2 1

y y

x x

minusλ =





5

Β983089983086




A(x f (x )) και2 2




x

Β983090983086


στημα1 2




στημα αυτό



2 1

f (x ) f (x )f

x x x

minus∆=



Β983092983086


f

x

∆





Β983093983086



t h

∆ + minus=

∆



Α΄ Μέρος (αρχείο 9831599831519831549831479831351983143983143983138)

Β΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831351983143983143983138)




6



Β983096983086


α β γ 983156

983085017 9830851 98308502 3

983085017 9830851 98308502 35

983085017 9830851 98308502 36



Β983097983086



t

∆

∆




Β983089983089983086


γουx

t

∆




t h

∆ + minus=

∆



Α Γεωμετρικά 991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270





7




Β983089983091983086







Γ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831352983143983143983138)




8



Β983089983093983086




Β983089983094983086







Δ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831353983143983143983138)




9






Β983090983088983086






Παράρτημα



983085










4




για 983156isin991270991270991270




2 1

y y

x x

minusλ =





5

Β983089983086




A(x f (x )) και2 2




x

Β983090983086


στημα1 2




στημα αυτό



2 1

f (x ) f (x )f

x x x

minus∆=



Β983092983086


f

x

∆





Β983093983086



t h

∆ + minus=

∆



Α΄ Μέρος (αρχείο 9831599831519831549831479831351983143983143983138)

Β΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831351983143983143983138)




6



Β983096983086


α β γ 983156

983085017 9830851 98308502 3

983085017 9830851 98308502 35

983085017 9830851 98308502 36



Β983097983086



t

∆

∆




Β983089983089983086


γουx

t

∆




t h

∆ + minus=

∆



Α Γεωμετρικά 991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270





7




Β983089983091983086







Γ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831352983143983143983138)




8



Β983089983093983086




Β983089983094983086







Δ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831353983143983143983138)




9






Β983090983088983086






Παράρτημα



983085










5

Β983089983086




A(x f (x )) και2 2




x

Β983090983086


στημα1 2




στημα αυτό



2 1

f (x ) f (x )f

x x x

minus∆=



Β983092983086


f

x

∆





Β983093983086



t h

∆ + minus=

∆



Α΄ Μέρος (αρχείο 9831599831519831549831479831351983143983143983138)

Β΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831351983143983143983138)




6



Β983096983086


α β γ 983156

983085017 9830851 98308502 3

983085017 9830851 98308502 35

983085017 9830851 98308502 36



Β983097983086



t

∆

∆




Β983089983089983086


γουx

t

∆




t h

∆ + minus=

∆



Α Γεωμετρικά 991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270





7




Β983089983091983086







Γ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831352983143983143983138)




8



Β983089983093983086




Β983089983094983086







Δ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831353983143983143983138)




9






Β983090983088983086






Παράρτημα



983085










6



Β983096983086


α β γ 983156

983085017 9830851 98308502 3

983085017 9830851 98308502 35

983085017 9830851 98308502 36



Β983097983086



t

∆

∆




Β983089983089983086


γουx

t

∆




t h

∆ + minus=

∆



Α Γεωμετρικά 991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270991270





7




Β983089983091983086







Γ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831352983143983143983138)




8



Β983089983093983086




Β983089983094983086







Δ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831353983143983143983138)




9






Β983090983088983086






Παράρτημα



983085










7




Β983089983091983086







Γ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831352983143983143983138)




8



Β983089983093983086




Β983089983094983086







Δ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831353983143983143983138)




9






Β983090983088983086






Παράρτημα



983085










8



Β983089983093983086




Β983089983094983086







Δ΄ Μέρος (αρχείο 98315998315198315498314798313519831353983143983143983138)




9






Β983090983088983086






Παράρτημα



983085










9






Β983090983088983086






Παράρτημα



983085







20mtsil15pir20idis_eisigisi

Documents