21 pd non homogen
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
1/12
TKS 4003Matematika II
Persamaan DiferensialNon Homogen
Differential: Non Homogen)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Definisi
Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n R
sehingga berlaku F(kx,ky) = knF(x,y), dengan n disebut order
dari fungsi homogen F(x,y).
Jika syarat di atas tidak terpenuhi, maka disebut dengan PD non
Homogen yang mempunyai bentuk :
(ax+ by+ c)dx+ (px + qy+ r)dy= 0 (1)
dengan
a,b,c,p,q,radalah konstanta.
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
2/12
Untuk menyelesaikan PD non Homogen tersebut, terlebih dahulu
harus diperhatikan kondisi yang mungkin terjadi, yaitu :
1. Jika
atau
2. Jika
=
atau =
3. Jika
=
=
=
Definisi (lanjutan)
Kondisi 1
1. Jika
atau
= =
= =
= =
= =
=
akan diperoleh dx:
=
(2)
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
3/12
Kondisi 1 (lanjutan)
Dengan cara eleiminasi yang sama, akan diperoleh dy:
=
(3)
Kemudian substitusikan nilai u, vpada Pers. 2dan Pers. 3ke
Pers. 1 (bentuk PD semula) :
=
=
Kondisi 1 (lanjutan)
=
=
= (4)
PD Homogen
Setelah PD awal (Pers. 1) sudah terbentuk menjadi seperti
Pers. 4, maka penyelesaian selanjutnya dapat menggunakan
Penyelesaian PD Homogen.
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
4/12
Contoh Kondisi 1
Selesaikan PD berikut :
=
Penyelesaian :
=
=
,
=
, dan
=
karena
, maka dapat diselesaikan untuk Kondisi 1.
Contoh Kondisi 1 (lanjutan)
= =
= =
=
= +
=
akan diperoleh dy:
=+
=
= +
=
akan diperoleh dx:
=
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
5/12
Contoh Kondisi 1 (lanjutan)
=
+
=
=
= PD Homogen
Kemudian diselesaikan dengan Penyelesaian PD Homogen:
=
misal =
=
=
Contoh Kondisi 1 (lanjutan)
=
=
bagi dengan
+
=
+
=
+
= , dengan =
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
6/12
Contoh Kondisi 1 (lanjutan)
dengan menggunakan Integral Fungsi Rasional, diperoleh :
=
/ / =
/ / =
/ = /
=
Substitusi kembali = :
=
Kondisi 2
2. Jika
=
atau =
Misal
=
= , maka = dan = , sehingga
apabila disubstitusi ke Pers. 1akan diperoleh :
=
=
=
= (5)
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
7/12
Kondisi 2 (lanjutan)
ambil = =
=
Substitusi ke Pers. 5, diperoleh:
=
=
=
Kondisi 2 (lanjutan)
=
( ) = (6)
Pers. 6, adalah bentuk PD yang peubahnya dapat dipisah.
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
8/12
Contoh Kondisi 2
Selesaikan PD berikut :
=
Penyelesaian :
=
= PD non Homogen
=
= ,
=
= , dan
=
karena
=
, maka dapat diselesaikan untuk Kondisi 2.
Contoh Kondisi 2 (lanjutan)
( ) = (7)
ambil =
= = =
Substitusi ke Pers. 7:
=
=
=
PD di atas adalah PD dengan peubah yang mudah dipisahkan,
sehingga dapat dibagi dengan .
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
9/12
Contoh Kondisi 2 (lanjutan)
+
+ =
+
+ =
(+)
(+) =
+
+
+ =
+
(+)
=
( ) =
Contoh Kondisi 2 (lanjutan)
Substitusi kembali = , diperoleh :
=
=
( ) = , dengan =
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
10/12
Kondisi 3
3. Jika
=
=
= , sehingga :
= , = , dan = ,
dengan mensubstitusikan ke Pers. 1, diperoleh :
=
=
bagi dengan =
Kondisi 3 (lanjutan)
dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh :
=
Solusi: =
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
11/12
Contoh Kondisi 3
Selesaikan PD berikut :
=
Penyelesaian :
( ) =
dengan mengambil = dan membagi kedua ruas dengan
akan diperoleh :
=
=
=
Latihan
1. (y + 1)dx + (2x 3)dy = 0
2. (7y + 1)dx + (2x 3)dy = 0
3. (x + 2y 4)dx (2x 4y)dy = 0
4. (x + y + 1)dx + (3x + 2y + 2)dy = 0
5. (3x + 2y + 3)dx (x + 2y 1)dy = 0, y(0) = 1
6. (x + 7)dx + (2x + y + 3)dy = 0, y(0) = 17. (3x + 2y + 1)dx (3x + 2y 1)dy = 0
8. (x + y + 1)dx + (2x + 2y + 2)dy = 0
9. (2x y + 1)dx + (4x 2y + 3)dy = 0
10. (x + 3y +1)dx + (2x + 6y 1)dy = 0
11. (x + y)dx + (3x + 3y 4)dy = 0,y(1) = 0
12. (x + y + 2)dx (x y 4)dy = 0,y(1) = 0
-
7/26/2019 21 PD Non Homogen
12/12
Terima kasihdan
Semoga Lancar Studinya!