22 Глава 2. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛАliseev-ia.narod.ru/1_lectures/2_limits.pdfВысшая...

Глава 2. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА

Уважаемые студенты …

Сразу должен предупредить, что читать эту главу будет тяжело. Во-первых, материал этой

главы – понятие предела последовательности и функции – сложен для изучения и понимания. Во-

вторых, этот материал сложен и для изложения. Конечно, выписать конечные определения (6 опре-

делений предела последовательности и 36 определений предела функции) можно. И студентам-

математикам вполне доступно понимание этих определений без предварительного разжѐвывания.

Они некоторые из этих определений уже в школе освоили в своих математических (настоящих мате-

матических) классах. А вот обычным школьникам как быть?

Я советую: не торопясь, скрупулѐзно (тщательно), параграф за параграфом разберите матери-

ал этой методички. Тогда, может быть, вы поймѐте и сможете по памяти воспроизводить определе-

ния предела последовательности и предела функции. А это уже уровень оценки "хорошо" или "от-

лично".

Наш учебный процесс намечен так, что мы не будем основательно рассматривать задачи (такие, какие разобраны

в § 11) на анализ и использование строгих определений предела последовательности и функции. Мы ограничиваемся

только теоретическим разбором этих определений, чему и посвящена данная глава.

Уважаемые студенты, из теории в этом семестре понятие предела – самый трудный для по-

нимания материал. Не поленитесь сейчас, поработайте над ним. Остальной теоретический материал

в этом семестре уже будет полегче.

Надеюсь на ваше желание учиться и на ваше добросовестное отношение к учѐбе.

= = = = = = = = = = = = = = =

Редактирование 22 сентября 2011 г.

Кафедра высшей математики МИИГАиК. Лектор Лисеев И.А.

ГФ 1 – 1, 2, 3.

2∙45 мин. (надо успевать)

Печать 22 сентября 2011 г .

ГФ Первый курс Осень 2011 Высшая математика Лисеев И.А.

- 2 -

Оглавление

Глава 2. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА

§1. Примеры использования предельного перехода при определении

различных понятий ............................................................................................................... 3

1.Понятие предела в математике. .............................................................................. 3

1.Определение суммы бесконечного числа слагаемых. .......................................... 3

2. Определение мгновенной скорости ...................................................................... 4

3. Определение длины окружности ........................................................................... 4

4. Определение касательной к кривой. .................................................................. 5

5. Другие примеры..................................................................................................... 5

§2. Понятие полосы для элементов из R ............................................................... 5

1. Окрестности и полосы для конечных чисел. ........................................................ 5

2. Окрестности и полосы для бесконечностей. ........................................................ 6

§3. Общее представление о пределе. Предел переменной величины

z = z( t ) , меняющейся со временем ................................................................................ 7

1. Примеры меняющейся со временем переменной величины z. ........................ 7

2. Определение предела меняющейся со временем переменной величины

z = z( t ) с использованием понятия окрестностей. ......................................................... 9

§4. Предел последовательности .................................................................................. 11

1. Разные ситуации на рисунках. ............................................................................. 11

2. Определение с использованием понятия окрестности. ..................................... 12

3. Формализация понятия окрестности в определении предела для различных

ситуаций. ............................................................................................................................... 12

4.Практическое значение факта сходимости последовательности. ................... 14

§5. Понятие предела функции на примерах ............................................................. 14

1. Какие трудности? .................................................................................................. 14

2. Предел для независимой переменной величины. .............................................. 15

3. Упорядочение значений функции. ...................................................................... 15

4. Некоторые тонкости. .......................................................................................... 18

5.О различных определениях предела функции. ................................................... 19

§6. Первое определение предела функции ................................................................. 19

§7. Второе определение предела функции ................................................................. 20

1. Определение (без формализации понятия окрестности). ................................ 20

2. Формализация понятия окрестностей. ........................................................... 21

§8. О взаимосвязи пределов … … ............................................................................... 23

§9. Объяснение символов … …................................................................................... 23

§10. Заключение к главе “Понятие предела” .......................................................... 23

§11. Некоторые пределы … ......................................................................................... 24

Высшая математика (Ли… ) Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 2. Понятие предела.

- 3 -

Гл а в а 2 . П О Н Я Т И Е П Р Е Д Е Л А

Операция предельного перехода применялась давно, начиная с древних греков , но, конечно,

ни о каком обосновании действий и ни о какой теории речи тогда не было. И поэтому было много

неясностей и парадоксов (ошибок). Основательно за теорию пределов взялись во времена Ньютона,

и сам Ньютон пробовал что-то делать (1686г.). Понятие предела уже близкое к современному

сформулировал француз Даламбер в 1765г. В России тогда система образования только зарождалась, и кроме

поэта Ломоносова никаких учѐных ещѐ не было. Посетив Европу, Ломоносов и в естественных науках (химии, физике)

смог подняться на уровень мирового (европейского) учѐного.

Понятие предела – это основное, базовое понятие математического анализа. С помощью пре-

дела определяются другие фундаментальные понятия: непрерывность функций, производная, инте-

грал.

§1. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА

ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ПОНЯТИЙ

1 .Понят ие преде ла в математике .

В бытовом русском языке слово предел означает границу чего-либо. Напри-

мер, говорят: в пределах какой-то территории, в пределах какого-то промежутка вре-

мени, в пределах возможного.

Математический термин предел означает совсем другое. Для первоначального

представления можно так сказать …

Предел для переменной величины – это такое значение (число), к кото-

рому эта переменная величина в процессе своего изменения становится всѐ ближе и

ближе. Причѐм тут не важно, достигает или не достигает переменная величина этого

значения. 1

1 .Определение суммы бесконечного числа слагаемых .

В школе это было. Вспомните определение суммы членов бесконечно убывающей геометри-

ческой прогрессии.

u 1 + u 2 + u 3 + . . . . . . . . + un + . . . . . = ?

Каким же образом определяется (находится) сумма этого бесконечного числа

слагаемых?

Сначала составляются суммы конечного числа первых слагаемых (такие суммы

называются частичными суммами).

S 1 = u 1

S 2 = u 1 + u 2

S 3 = u 1 + u 2 + u 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sn = u1 + u 2 + u 3 + . . . . . . . . + u n

nn

SmilS

1 Это не определение предела, которое вам надо формулировать на экзамене. Это просто я начинаю вас готовить

к тому, чтобы потом вы поняли настоящее определение предела. Впрочем, их будет не одно …


- 4 -

Далее рассматривается предел этих сумм при n . Если этот предел име-

ет конечное значение, то это значение и называется суммой данного ряда. В этом

примере переменная величина – это Sn , изменение этой переменной величины опре-

деляется тем, что n , предел же этой переменной обозначен через S .

В школе, как вы помните, так определялась сумма бесконечно убывающей гео-

метрической прогрессии. Там было …

2 . Определение мгновенной скорост и

Помимо понятия средней скорости движения тела на некотором промежутке в

физике рассматривают и понятие мгновенной скорости движения в какой-то момент

времени. Определяется это понятие таким образом.

Пусть нас интересует скорость в момент времени t . Рассмотрим промежуток

времени от t до t + t длительностью t . Пусть за это время тело прошло рас-

стояние S . Средняя скорость движения тела на этом промежутке равна 𝑆

𝑡 (рас-

стояние делится на время). Если мы в такой конструкции устремим t к нулю,

t 0 , то в пределе получится (если получится) величина

t

Smil

t

tV

0

)( ,

которая и называется скоростью (мгновенной скоростью) движения рассматриваемого

тела в момент времени t .

3 . Определение длины окружност и

Это тоже из школьной программы. В окружность (радиус которой обозначим

через R) вписывается правильный треугольник. Его периметр Р3 равен ……

Затем в эту же окружность вписывается правильный четырѐхугольник (квадрат), пе-

риметр которого равен Р4 = …… . Потом пятиугольник, шестиугольник и так да-

лее.

Периметр правильного вписанного в нашу окружность n-угольника равен … .

𝑃𝑛 = 2 𝑅 𝑛 sin

𝑛 .

Понятно (интуитивно ясно)(хотя здесь есть некоторые нюансы, которые сейчас мы не будем затраги-

вать), что при неограниченном возрастании n (при n )2 многоугольники всѐ

ближе приближаются к окружности, а их периметр всѐ меньше отличается от длины

окружности. И вот: за длину окружности принимают предел периметров этих впи-

санных многоугольников при неограниченном возрастании количества их сторон.

2 Хотя в высшей математике символы и + имеют разный смысл, когда речь идѐт о пределе последователь-

ности, обычно пишут (n ) вместо (n + ). Потому, что для последовательности не может быть других ва-

риантов. Через n обозначен номер элемента последовательности, и он неограниченно возрастает.


- 5 -

𝐿 = lim𝑛 → 𝑃𝑛 = lim𝑛 → 2 𝑅 𝑛 sin

𝑛 = lim𝑛 → 2 𝑅 𝑛 ∙

𝑛 = 2R .

Использованная здесь идея (вписывание ломаной в кривую) используется для

определения длины произвольной кривой.

4 . Определение касательной к кривой .

Рассмотрим точки М и S на кривой р

и секущую МS . Пусть точка М фиксирована,

а точка S неограниченно приближается (по

кривой р) к точке М .

Касательной к кривой p в точке М называется предельное положе-

ние секущей МS при стремлении точки S р по кривой р к точке М .

5. Другие примеры.

Имеется ещѐ много других примеров использования понятия предела …

Определение площади фигуры, ограниченной кривой линией. Школьный пример: пло-

щадь круга.

С помощью предельного перехода даѐтся определение плотности вещества в точке.

Предельный переход используется в теории решения уравнений при анализе итераци-

онных методов их решения.

Через предел, как мы уже отметили в начале главы, определяются и основные

понятия математического анализа: непрерывность функций, производная, интеграл.

§ 2 . П О Н Я Т И Е П О Л О С Ы Д Л Я Э Л Е М Е Н Т О В И З R

Чтобы основательнее разобраться в понятии предела, введѐм в рассмотрение понятие полосы для ко-

нечных чисел и бесконечностей. Понятие полосы поможет нам давать геометрическую интерпретацию поня-

тия предела. Может быть, вообще без понятия полосы обойтись?

Для точек на оси ординат мы введѐм понятие -полосы.

1 . Окрест ности и полосы для конечных чисел.

Пусть имеется система координат хОу . Рассмотрим точку с на оси ординат.

Определение. Множество точек (х , у) в системе координат хОу, для которых

у U(c,) , то есть с – < y < c + , будем называть - полосой

точки с на оси ординат.

Мы будем рассматривать полосы только для точек на оси ординат.

M

S

p

K


- 6 -

Можно сказать, что определѐнной окрестности точки соответствует опреде-

лѐнная полоса этой точки. Каждой взятой окрестности точки соответствует своя поло-

са этой точки.

Попадание значений функции в не-

которую - окрестность точки с озна-

чает, что график этой функции находится в

- полосе этой точки.

Ради такой терминологии и рас-

сматривают понятие полосы.

Опред. - полосой точки с+

на оси ординат. … … …

Опред. - полосой точки с– на оси ординат. … … …

Рисунок для с- сделайте сами.

Для конечных чисел полосы могут быть полными двухсторонними, "расколотыми" двухсто-

ронними, но могут быть и односторонними. В зависимости от порождающих их окрестностей. "Рас-

колотая" полоса соответствует проколотой окрестности рассматриваемой точки.

2 . Окрест ности и полосы для бесконечностей.


у > M, будем называть M - полосой + для оси ординат.

Мы будем рассматривать полосы только для оси ординат.

!

Заштрихована

М -окрестность + М

Закрашена

М -полоса +

М

!


- 7 -

Попадание значений функции в некоторую M-окрестность + означает,

что график этой функции находится в M - полосе + .

Рисунок сделайте сами.

В о п р о с . Какая полоса меньше: 100 - полоса +оо или 1000 - полоса + ? Как

понимать: "больше" , "меньше" для бесконечных множеств?

Сами сформулируйте определение и сделайте рисунок для полосы – на

оси ординат.


|у| > M, будем называть M - полосой для оси ординат.

Что вы должны понять, запомнить из этого параграфа?

Пусть на оси ординат имеется некоторая окрестность какой-то конечной точки

или бесконечности. Этой окрестности соответствует определѐнная полоса (смотри ри-

сунки).

Попадание значения функции y = y(x) в какую-то окрестность некоторой ко-

нечной точки или бесконечности означает попадание графика этой функции в соот-

ветствующую полосу этой конечной точки или бесконечности.

Заметим, что бесконечности можно считать некими псевдоточками (как бы точками). Смотрите

изображение числовой оси в виде окружности и смотрите компьютерную интерпретацию пседочисел.

§ 3 . ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ПРЕДЕЛЕ.

ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ z = z(t) , МЕНЯЮЩЕЙСЯ СО ВРЕМЕНЕМ

1 . Примеры меняющейся со временем переменной величины z .

Рассмотрим величину z , которая зависит от времени t , а время, не останавли-

ваясь, идѐт и идѐт:

Символически это опишем так:

z = z ( t ) , t + .

!

Заштрихована

М -окрестность

М

– М

Закрашена

М -полоса

М

– М


- 8 -

Характер изменения величины z = z( t ) может быть различным.

Рассмотрим некоторые возможности.

На рисунке А значения переменной величины z со временем приближаются

к с , принимая значения то большие с , то меньшие с .

Напомним, что нахождение переменной z = z( t ) в -окрестности точки с

означает, что график функции z = z( t ) находится в -полосе точки с . На рисунке

изображена - полоса точки с . Начиная с момента t 1 , график находится в этой

полосе. А значения функции находятся в -окрестности точки с . Если мы возьмѐм

меньшую окрестность точки с , то несколько позже, но всѐ равно наступит момент,

после которого значения z будут находиться во взятой окрестности.

На рисунке Б переменная величина z cо временем приближается к с , остава-

ясь всѐ время больше с . Обратите внимание на то, что какую бы малую - полосу

с+ мы ни взяли, обязательно наступит момент, после которого график величины z

будет находиться во взятой -полосе. А значения функции будут находиться в

-окрестности точки с+ .

На рисунке В переменная z стремится к значению с , оставаясь всѐ время

меньше с .

Замечание. Ситуации z c+

и z c– являются частными случаями ситуа-

ции z c .

Это означает, что: 1) z c+

z c и 2) z c– z c .

z

t

c

t 1

c)t(zmilt

Р и с. В.

z

t

c

t 1

c)t(zmilt

c+

c–

Рис. А.

z

t

c

t 1

c)t(zmilt

c+

Рис. Б.


- 9 -

Но у ситуации есть ещѐ возможность, когда z , приближаясь к с принима-

ет значения то меньшие с , то бóльшие с (смотрите рисунок А).

На рисунке Г значения переменной величины z неограниченно возрастают.

В том смысле , что какое бы большое M мы ни взяли обязательно наступит момент ,

после которого величина z будет иметь значения большие, чем M . То есть ка-

кую бы М-окрестность + мы ни взяли, обязательно наступит момент, после кото-

рого значения z будут находиться в этой окрестности.

Сделайте сами ещѐ рисунок...... Д) z – .

Замечание. Ситуации z + и z – являются частными случаями ситуа-

ции z . Но ситуация z содержит и другую возможность (когда z при-

нимает то положительные, то отрицательные значения, но по модулю неограниченно

растѐт) . Эту возможность удобнее рассматривать на примере последовательности

z = z (n) . Сделайте соответствующий рисунок Е) z (или смотрите следую-

щий § о последовательностях).

2 . Определение предела меняющейся со временем переменной

величины z = z ( t ) с использованием понятия окрест ностей .

Пусть с - конечное ( просто с, с+ , с– ). Смотри рисунки А, Б. В.

Говорят, что z c , если какую бы (узкую) полосу около с мы ни взяли,

обязательно наступит момент, после которого график изменения переменной z вой-

дѐт в эту полосу и уже из неѐ не выйдет. Такая вот в этом случае геометрическая интерпретация

понятия предела …

Сами сформулируйте определения для случаев z c+

, z c–.

Теперь смотрите рисунки Г, Д, Е. Говорят, что z + , z – ,

z

t

M

t 1

)t(zmilt

z

t

c

t 1

c)t(zmilt

t

M

t 1

)t(zmilt

Рис. Г.

z


- 10 -

z , если какую бы полосу + , - , мы ни взяли, обязательно наступит

момент, после которого график изменения переменной z войдѐт в эту полосу и уже из

неѐ не выйдет. Такая вот в этом случае геометрическая интерпретация понятия предела …

Обобщим эти определения, используя вместо понятия полосы понятие окрестности и не раз-

деляя случаев конечных и бесконечных пределов.

Напомним, что через R мы обозначаем множество действительных чисел с добавленны-

ми к нему псевдочислами:

бесконечными (+ , - и ) и конечными (с+

и с–

, где с R ).

Пусть - произвольное ( R ). Говорят, что z = z( t ) стремится к

при t + , если для любой окрестности можно указать момент (для любой ок-

рестности наступит момент), после которого значения переменной z будут нахо-

диться в этой окрестности.

Пишут:

)(tzmilt

или z при t + .

Теперь формализуем слова "наступит момент" и "после которого".

Говорят, что z = z( t ) стремится к при t + , если для любой окрестно-

сти обязательно найдѐтся такое t 1 , что при всех t > t 1 значения переменной z

будут находиться в этой окрестности .

Как вы видите, "наступит момент" мы заменили на "найдѐтся такое t 1 ", а

"после которого" мы заменили на " при всех t > t 1 " .

"наступит момент" "найдѐтся такое t 1 "

"после которого" " при всех t > t 1 "

Ещѐ можно формализовать понятие окрестности. Сделаем это позже.

З а м е ч а н и я . 1) При стремлении z к последующие значения z не обязаны

быть ближе к , чем предыдущие (возможны "отскоки"). Тут важно, что z имеет

тенденцию приближаться к .

Вопрос: что ближе к – : –2 000 или –3 000 ?

Для конечных значений предела = с приведѐм ещѐ два замечания.

2) В процессе своего изменения переменная z , имеющая пределом = с мо-

жет приближаться к с по -разному :

а) она может оставаться всѐ время меньше с ,

б) может оставаться всѐ время больше с ,

в) может быть то больше, то меньше с .

3) Величина z приближается к своему предельному значению, но не обязана

стать равной ему .

! !


- 11 -

§ 4 . П Р Е Д Е Л П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т И

1 . Разные сит уации на рисунках .

Чтобы прочувствовать понятие предела на интуитивном уровне, рассмотрим разные ситуации на рисунках. Ри-

сунки, поясняющие понятие предела, вместе с пояснениями и являются геометрической интерпретацией понятия преде-

ла.

1. Случаи конечного предела.

x n → c–;

x n → c+

;

x n → c;

Не обязательно последующее значение члена последовательности должно быть ближе к пре-

делу, чем предыдущее. Тут существенна тенденция. Члены последовательности x n должны иметь

тенденцию приближаться к предельному значению c . Отдельные (один или несколько) члены по-

следовательности могут отходить от предельного значения дальше, чем предыдущие члены. Но тен-

денция приближения членов последовательности к предельному значению должна сохраняться.

Строгие определения смотрите ниже.

2. Случаи бесконечного предела.

x n → +;

x n → – ;

x n → ;

Как и в случаях конечного предела здесь тоже существенна именно тенденция. В первой си-

туации неограниченное увеличение членов последовательности. Во второй ситуации неограничен-

ное уменьшение членов последовательности. В третьей ситуации неограниченный рост членов по-

следовательности по модулю.

Во всех этих ситуациях допустимы отдельные отклонения от общей тенденции.

Строгие определения смотрите ниже.

Рисунки

сами нарисуйте

Рисунки

сами нарисуйте

xn

n


- 12 -

2 . Определение с использованием понят ия окрест ност и .

Определение предела меняющейся со временем переменной можно модифици-

ровать для предела последовательности. Это легко сделать потому, что последова-

тельность задаѐт упорядоченную переменную величину. При задании последователь-

ности ясно, какое значение переменная принимает раньше, а какое позже. Роль време-

ни при этом будет играть номер элемента последовательности.

Слова "наступит момент" заменим на "найдѐтся номер n 1 ".

Слова "после которого" заменим на "при n > n 1 " .

О п р е д е л е н и е . (Общее определение с использованием термина окрестность) Пусть R . Говорят, что

является пределом последовательности {an} , если для любой окрестности обя-

зательно найдется номер n 1 такой, что при всех n > n 1 значения an будут нахо-

диться в этой окрестности.

Пишут:

nn

amil или an .

О п р е д е л е н и е . Если последовательность имеет конечный предел =А R , то

она называется сходящейся . При этом говорят, что {an} сходится к А.

Если последовательность не имеет предела или еѐ предел – бесконечность (про-

сто бесконечность или бесконечность со знаком), то последовательность называется расхо-

дящейся .

3 . Формализация понят ия окрест ност и в определении предела

для различных ситуаций .

Для формализации понятия окрестности вместо термина окрестность надо ис-

пользовать величину, характеризующую размер окрестности (это будет или ,

или М ), а вместо слов о нахождении значений какой-то величины в этой окрестно-

сти надо писать неравенства, при выполнении которых данная величина действи-

тельно находится в этой окрестности. Так что формализация понятия окрестности оз-

начает описание окрестностей с помощью неравенств.

При формализации понятия окрестности выделяются следующие ситуации:

произвольное стремление к конечному числу из R : хn А ( = А R ),

стремление к конечному числу А справа (или, говорят ещѐ: стремление к А сверху)

!


- 13 -

(пишут хn А+

), стремление к конечному числу А слева (или, говорят ещѐ: стрем-

ление к А снизу) (пишут хn А–) , стремление к бесконечностям (хn + ,

хn – и хn ).

Какую бы окрестность мы

ни взяли...

Какое бы положительное число мы ни взяли....

Какое бы M мы ни взяли....

Значения а n будут находить-

ся в этой окрестности

Будут выполняться неравенства

– < а n < + или а n > M и т.п.

Запишем определения предела для различных ситуаций. И сразу отметим, что

именно в таком виде надо будет давать определения пределов последовательностей на

экзамене. Сделайте сами рисунки, поясняющие эти определения.

1 Aamil n

n

или an А

Число А R называется пределом последовательности {an} ,

если для любого (сколь угодно малого) числа > 0 обязательно

найдется номер n 1 такой, что при всех n > n 1 будет выполнять-

ся неравенство

A – < a n < A + или короче |A – a n | < .

2

Aamil nn

или a n А+

Говорят, что последовательность {a n } стремится к А справа (или сверху), ес-

ли для любого > 0 обязательно найдется номер n 1 такой, что при всех

n > n 1 будет выполняться неравенство

A < a n < A + .

3

Aamil nn

или a n А–

Говорят, что последовательность {a n } стремится к А слева (или снизу), если

для любого > 0 обязательно найдется номер n 1 такой, что при всех

n > n 1 будет выполняться неравенство

A – < a n < A .

4

nn

amil

или an +

Говорят, что последовательность {an} стремится к + (или, что

последовательность имеет пределом + ), если для любого (сколь

угодно большого) числа М обязательно найдется номер n 1 такой,

что при всех n > n 1 будет выполняться неравенство

a n > M.

5

nn

amil

или an –

Говорят, что последовательность {an} стремится к – (или, что

последовательность имеет пределом – ), если для любого числа

М обязательно найдется номер n 1 такой, что при всех n > n 1

будет выполняться неравенство

a n < M.

6

nn

amil

или an

Говорят, что последовательность {an} стремится к (или, что

последовательность имеет пределом ), если для любого (сколь

угодно большого) числа М обязательно найдется номер n 1 такой,

что при всех n > n 1 будет выполняться неравенство

|a n | > M.


- 14 -

З а м е ч а н и е . Приведѐнные определения объясняют смысл символов А+ , А–,

+ , – , в математическом анализе. Эти символы используются для обозначе-

ния предельных значений переменных величин (здесь мы поговорили о пределах по-

следовательностей, а далее ещѐ разберѐм пределы функций).

П р им ер дл я шест ой си т уац ии . 𝑎𝑛 = – 1 𝑛

· 𝑛 .

Повтор.

4 .Практ ическое значение факта сходимост и последовател ь-

ност и .

Обычно бывает нужно найти предел последовательности.

Если последовательность х1, х

2, х

3, . . . . , хn, . . . сходится,

то есть имеет конечный предел, который мы обозначим через А , то при достаточно

большом n можно считать, что еѐ предел А xn .

То есть в качестве значения предела можно взять значение какого-то члена по-

следовательности с достаточно большим номером n . При этом имеется в виду, что

члены последовательности xn с увеличением номера n всѐ ближе и ближе подходят

к пределу А .

Поэтому с практической точки зрения важно доказать именно факт сходимости.

Как мы увидим позже в математике очень много теорем, которые утверждают только

факт сходимости. Ответ на вопрос "при каком же n всѐ-таки можно считать, что

А xn", зависит от требования к точности.

Примеры. 1. Уточнение корня уравнения методом приближений.

ln x = 3 – x ~ x = 3 – ln x ;

x0 = 2; x8 = 2,207; 2,208 ; 2,208 ; Принимают 2 ,208 .

2. Нахождение чисел , е (см. "Как появилось число е?") .

§ 5 . П О Н Я Т И Е П Р Е Д Е Л А Ф У Н К Ц И И Н А П Р И М Е Р А Х

1 . Какие трудност и?

Как мы видели, определение предела естественно формулируется для упорядо-

ченной переменной величины: для меняющейся во времени переменной величины или

(даже) для последовательности.

Помните... Последовательность задаѐт упорядоченную переменную величину.

При задании последовательности ясно, какое значение переменная принимает раньше,

а какое позже. А при задании функции мы имеем только: область определения, множе-

ство еѐ значений и правило, ставящее каждому значению аргумента в соответствие не-


- 15 -

которое значение функции.

Значит, если мы хотим сконструировать меняющуюся переменную 3, надо дого-

вориться как-то упорядочивать значения функции .

2 . Предел для независимой переменной величины .

Если говорят, что независимая переменная стремится к (конечному или бес-

конечному) , то предполагают (представляют себе), что имеется (и что рассматрива-

ется) одна или даже бесчисленное множество последовательностей значений х

х 1 , х 2 , … , х n , … ,

имеющих пределом : lim𝑛→ 𝑥𝑛 = . При этом пишут: x .

Когда говорят: пусть х стремится к

x , где R ,

то можно представлять себе, что мы сами набираем какую-то последовательность зна-

чений переменной х такую, которая имеет пределом .

nn

xmil

При этом предполагается, что такая последовательность может быть набрана.

Более того, таких последовательностей, обычно, может быть набрано бесчисленное

множество. Определение предела последовательности смотри выше.

Запись x с+

означает, что x с , но остаѐтся при этом всѐ время > c . Говоря: "все время", мы нарушаем строгость, но для нас – это нюансы, не будем на них акцентировать внимание.

А что означают записи: x с–, x + , x – , x ?

(см определение предела последовательности)

3 . Упорядочение значений функции .

Значения функции упорядочиваются с помощью указания

того, как меняется аргумент (к чему стремится аргумент).

Поступают тут так. Назначают определѐнный порядок в изменении аргумента.

Например, берут последовательность значений аргумента: х 1 , х 2 , … . Причѐм берут

последовательность, имеющую определѐнный предел. Например, x n c или x n ∞ . Тогда полу-

чается упорядоченной и соответствующая последовательность значений функции:

у 1 , у 2 , … , где y i = f ( x i ) .

И теперь можно говорить о пределе этой последовательности значений функции.

Если x , то имеем последовательность х 1 , х 2 , … , х n , … ,

сходящуюся к . Элементам этой последовательности как значениям аргументов со-

ответствуют определѐнные значения функции, которые тоже образуют

последовательность f (х 1 ) , f (х 2 ) , … , f (х n ) , … . Эта последовательность зна-

3 Как мы увидим дальше, есть и другой путь. Можно говорить о пределе функции без всякого упорядочивания еѐ

значений (см. второе определение предела функции).


- 16 -

чений функции может иметь какой-то предел .

Рассмотрим примеры4. Мы хотим, чтобы вы на примерах по-

чувствовали, что такое предел функции. Для всех формул с пределами нужны

пояснения на рисунках …

1)

Равенство 1x

xnismil0x

называют первым замечательным пределом .

2) y = sin x. График …..

Предела сушествует неsin

xmilx

.5 Хотелось бы, чтобы вы почувствова-

ли, что это так. Чтобы предел существовал, надо, чтобы при стремлении х → +

значения s in x приближались к какому-то конечному значению, либо стремились

бы к бесконечности. А тут значения sin x колеблются между –1 и +1, не имея

тенденции приближаться к какому-нибудь числу.

3)

(1) Равенство e)x

11(mil x

x

называют вторым замечательным

пределом.

4 Примеры у нас будут с графиками. Современные студенты (будущие геодезисты) должны уметь строить гра-

фики на компьютере. Можете пользоваться, например, программой для математических расчѐтов M a t h C a d . Давайте,

не откладывая, установите себе эту программу. 5 Для доказательства этого факта надо построить отрицание определения предела.. Мы позже проведѐм это до-

казательство.

е 2,7128…


- 17 -

4) Сделаем во втором замечательном пределе замену переменной 1

𝑥 = 𝑡 .

При этом 𝑥 = 1

𝑡 . Когда х (растѐт по модулю), переменная t 0. По-

этому получаем такое равенство: lim𝑡 →0 1 + 𝑡 1

𝑡 = 𝑒 . Поскольку обозначение

переменной в формуле не важно, вместо t напишем х . В результате получаем та-

кую модификацию второго замечательного предела.

(2) lim𝑥 →0 1 + 𝑥 1

𝑥 = 𝑒 .

График функции … приведѐн на

рисунке справа.

5)

(3) Равенство 1x

)x1(nlmil

0x

является следствием второго замечательного предела6.

Его даже называют вторым замечательным пределом в логарифмической форме. В этом случае предыдущие

записи второго замечательного предела называют вторым замечательным пределом в показательной форме.

6) Рассмотрим функцию, которая называется сигнум (от лат. signum – знак).

Заметим, что предел .существует неxsgnmil0x

. Для того, чтобы предел был

6 Чтобы получить (3), надо прологарифмировать равенство (2).

0 -2 4 2 6 8 0

2

4 xxy /1)1(

0 -2 4 2 6 8 0

2

4

x

)x1(nly


- 18 -

(смотрите первое определение предела функции), необходимо, чтобы при любом стремлении

х к нулю, получалось одно и то же значение предела функции. А у нас при стремле-

нии к нулю слева получается –1, а при стремлении к нулю справа получается +1.

7)

4 . Некоторые тонкост и .

Об одной тонкости мы уже говорили. Функция может стремиться к своему пределу не

обязательно монотонно. Возможны "отскоки".

Другая тонкость (другой нюанс). Говоря о пределе функции в конечной точке (из

R+), мы будем считать (считаем), что функция определена в некоторой проколотой ок-

рестности этой точки. В самой точке функция может быть определена, а может быть и не

определена.

Значение предела характеризует поведение функции вблизи рассматриваемой

точки – в некоторой проколотой окрестности этой точки. О значении функции в самой

точке здесь речи вообще нет. Значение предела и само понятие предела функции никак не

связаны со значением функции в рассматриваемой точке.

Если A)x(fmil0xx

, то возможно, что:

1) f (x 0 ) вообще не определено, 2) f (x 0 ) не равно А, 3) f (x 0 ) равно А .

Приведѐм примеры .

Для функции f (x) = | sgn x | предел функции в точке х = 0 не равен значе-

xgt

2x

mil


- 19 -

нию функции в этой точке. В третьем случае (когда предел равен значению функции

в предельной точке) говорят, что функция f (x ) = e x непрерывна в точке х = 0 .

Это, как мы потом ещѐ будем говорить, самый хороший случай.

З а м е ч а н и е . В некоторых учебниках по высшей математике следуют другому подходу к определению

понятия предела функции. В этом другом подходе получается, что предел функции в какой-либо точке (если

он существует) равен значению функции в этой точке. Но мы принимаем и описываем подход, при котором

значение предела функции в точке и значение функции в этой точке – это совсем разные величины.

5 .О различных определениях предела функции .

Распространены два определения предела функции:

Первое определение предела функции (определение Гейне) основывается на определении пре-

дела последовательности. В этом определении понятие окрестности явно не фигурирует, оно скрыто

в понятии предела последовательности.

Второе определение (определение Коши) использует понятие предела окрестности не только

для предельного значения функции (что уже было раньше), но и для предельного значения аргумен-

та.

Оба эти определения эквивалентны.

Что значит эквивалентны?...Эквивалентность определений означает: если какая-то переменная

величина в какой-то ситуации удовлетворяет одному определению, то она удовлетворяет и другому;

и если она не удовлетворяет какому-то одному из этих определений, то она не удовлетворяет и дру-

гому.

Если в какой-то ситуации удовлетворяется одно определение, то в этой ситуации удовлетво-

ряется и другое определение.

За м еча ни е . Рассматривая понятие предела функции (первое и второе определения) в конечной точке или на

бесконечности, мы будем считать, что функция определена во всей проколотой окрестности этой точки или в окрестно-

сти бесконечности. Так считают во всех простых базовых курсах высшей математики. В курсах для студентов математи-

ческих специальностей рассматривают ещѐ понятие предела "по множеству". Там уже функция не обязана быть опреде-

лена во всей проколотой окрестности рассматриваемой точки.

§ 6 . П Е Р В О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е П Р Е Д Е Л А Ф У Н К Ц И И

Г. Гейне (1821-1881) - немецкий математик.

Г. Гейне (1797-1856) - немецкий поэт.

Напомним … Функция определена в точке х , если она имеет конечное значение из R в этой точке.

Первое определение предела функции.

Пусть , R . Пусть функция f (x) определена в некоторой проколотой

окрестности точки . Говорят, что является пределом функции f (x ) при х ,

если для любой последовательности значений аргумента из этой окрестности

х 1 , х 2 , х 3 , … … , x n , …

имеющей пределом , соответствующая последовательность значений функции

f (х 1 ) , f (х 2 ) , f (х 3 ) , … … , f (х n ) , . . .

имеет пределом .

Пишут:

)x(fmilx


- 20 -

Можно формулировать отдельные определения для и конечных и бесконечных..... Например....

§ 7 . В Т О Р О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е П Р Е Д Е Л А Ф У Н К Ц И И

Коши (1798-1857) - французский математик.

1 . Определение (без формализации понят ия окрест ност и).

?)x(fmilx

(С использованием термина "окрестность") Что значит наступит момент , если х ?

Момент можно определить расстоянием, на которое подойдут значения х к с ,

то есть момент можно сопоставить с окрестностью, в которую попадают значения х .

Чем момент позже, тем меньше окрестность точки с , в которой находятся значения х .

Получается, что вместо слов наступит момент можно говорить, что зна-

чения х попадут в такую -то окрестность или что найдѐтся такая

окрестность.

"наступит момент" з н а ч е н и я х п о п а д у т в та к у ю - то о к р е с тн о с ть

н айд ѐт ся та ка я ок р естн о сть

Обратите внимание, здесь у нас пропадает необходимость представлять функцию как меняю-

щуюся величину. Если в первом определении предела функции был сконструирован процесс изме-

нения переменной, то во втором определении у нас, вроде бы, всѐ будет статичным.

Дадим теперь точное определение.

Второе определение предела функции. (с использованием понятия окрестности)

Пусть , R . Пусть f (x) определена в некоторой проколотой окрестно-

сти точки . Говорят, что является пределом функции f (x) при х (или го-

ворят, что f (x) стремится к при х ), если для любой окрестности можно

указать такую проколотую окрестность , что для всех х из этой указанной окрест-

ности точки соответствующие значения функции будут находиться во взятой окре-

стности точки .

Пишут:

)x(fmilx

В символической записи это определение выглядит так.

)x(fmilx

Для U( ) U () : x U () f (x ) U( ) .

З а м е ч а н и е Знак в этой символической записи означает "существует". Двое-

точие означает: "такая, что".

З а м е ч а н и е . Утверждение о том, что при x U значения функции

f (x) U ( ) кратко записываются так: f ( U ) U ( ) .


- 21 -

2. Формализация понятия окрестност ей.

При формализации понятия окрестностей мы описываем их с помощью нера-

венств. Так что здесь мы рассмотрим определения пределов с использованием нера-

венств.

При формализации понятия окрестностей (с помощью неравенств) приходится

рассматривать большое количество ситуаций.

Предельные значения функции -

конечные бесконечные

А А+

А–

+ –

Ко

нечны

е

c

B)x(fmilcx

Пр

едел

ьны

е зн

ачен

ия а

ргу

мен

та

c+

)x(flimcx

x стремится к

с справа

c–

Беско

нечны

е

+

)x(flim

x

–

Для каждого из этих 36 случаев можно дать определение предела функции с описани-

ем окрестностей при помощи неравенств.

Перед формулировкой определений ещѐ раз обратим внимание вот на что.

Пишут, что функция стремятся к ∞, если не хотят или не могут уточнить, к бесконечности какого

знака стремится функция. Это, например, может быть, если функция растѐт по модулю, но в любой окрест-

ности предельной (для аргумента) точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значе-

ния. Смотрите пример: lim𝑥 01

𝑥 = ∞ . Здесь в любой окрестности нуля функция принимает как положи-

тельные, так и отрицательные значения. Точно так же пишут, что функция стремятся к А , если не хо-

тят или не могут уточнить, справа (сверху) или слева (снизу) подходит функция к А . Это, например, может

быть, если функция приближается к А , но в любой окрестности предельной (для аргумента) точки она прини-

мает значения, как бо́льшие А , так и ме́ньшие А .

Если пишут, что аргумент х ∞ , то тем самым подчѐркивают, что аргумент может стремиться как

к +∞ , так и к –∞ . Аргумент растѐт по модулю, а знак у него может быть любой. Точно так же, если

пишут, что аргумент х с , то тем самым подчѐркивают, что аргумент может стремиться к с , как справ,

так и слева. Но во всех случаях функция должна стремиться к одному и тому же своему пределу.

Теперь приведѐм определения предела функции в нескольких ситуациях. А вы сделайте

для них поясняющие рисунки.

В приводимых формулировках мы не стали повторять, что функция определена в некоторой

проколотой окрестности рассматриваемой точки. Но при ответе на экзамене вы не забывайте сказать

об этом.


- 22 -

1

A)x(fmilcx

Число А называется п р е д е л о м функции f ( x ) в т о ч к е х = с ,

если для произвольного числа > 0 существует число такое,

что при х, удовлетворяющих неравенству

0 < | x – с | < ,

выполняется неравенство для функции: | f ( x ) – A | < .

На рисунке изображена ситуация, ко-

гда в точке с функция не определе-

на. На самом деле функция может

быть и определена в точке с. При

этом она может иметь значение, как

равное А, так и отличное от А.

2 A)x(fmil

cx

Число А называется п р е д е л о м функции f ( x ) в точке х = с

с п р а в а , если для произвольного числа > 0 существует число

такое, что при х, удовлетворяющих неравенству

с < x < с + ,

выполняется неравенство для функции: | f ( x ) - A | < .

3 A)x(fmil

cx

Число А называется п р е д е л о м функции f ( x ) в точке х = с

с л е в а , если для произвольного числа > 0 существует число


с – < x < с,


4 A)x(fmil

x

Число А называется п р е д е л о м функции f ( x ) при х + ,

если для произвольного числа > 0 существует число M такое,

что при всех

х > M


5 A)x(fmil

x

Число А называется п р е д е л о м функции f ( x ) при х ,

если для произвольного числа > 0 существует число M такое,

что при всех х таких, что | х | > M ,


6

A)x(fmilcx

Говорят, что функция f ( x ) в точке с стремится к А сверху,

если для произвольного числа > 0 существует число такое,

что при х, удовлетворяющих неравенству

0 < | x – с | < ,

выполняется неравенство для функции: А < f ( x ) < A + .

7

)x(fmilcx

Говорят, что предел функции f ( x ) в точке с справа равен

бесконечности , если для произвольного числа M существует число


с < x < с + , выполняется неравенство для функции: | f ( x ) | > M .

!

!

x

A

A +

A –

c

c + c –

f ( x )


- 23 -

8

)x(fmilcx

Говорят, что предел функции f ( x ) в точке с равен беско-

нечности , если для произвольного числа M существует число


0 < | x – с | < ,

выполняется неравенство для функции: | f ( x ) | > M .

И так далее......

= = == = = = = = = = = = =

§ 8 … . О В З А И М О С В Я З И П Р Е Д Е Л О В … …

Пусть z – переменная величина (независимая, последовательность, функция).

1. Пределы lim 𝑧 = 𝑐+ и lim 𝑧 = 𝑐− являются частными случаями пре-

дела lim 𝑧 = 𝑐 .

Если lim 𝑧 = 𝑐+, то можно говорить, что lim 𝑧 = 𝑐.

Если lim 𝑧 = 𝑐−, то можно говорить, что lim 𝑧 = 𝑐.

2. Пределы lim 𝑧 = +∞ и lim 𝑧 = −∞ являются частными случаями

предела lim 𝑧 = ∞.

Если lim 𝑧 = +∞ то можно говорить, что lim 𝑧 = ∞.

Если lim 𝑧 = −∞, то можно говорить, что lim 𝑧 = ∞.

§ 9 . О Б Ъ Я С Н Е Н И Е С И М В О Л О В … …

Теперь мы можем дать точное объяснение символам

, + , – , с+

, с–.

Эти символы обозначают предельные значения переменных величин

(пределы последовательностей или функций), то есть они обозначают то, к

чему стремятся эти переменные величины (смотри соответствующие опре-

деления). И встречаются эти символы в таких записях, как

x c+

,

nn

amil или

A)x(fmil0xx

и тому подобных.7

Кроме этого, символы + и – используются ещѐ (это вы знае-

те со школы) в обозначениях бесконечных промежутков на числовой оси.

Мы давали ещѐ компьютерную интерпретацию этих символов.

§ 1 0 . З А К Л Ю Ч Е Н И Е К Г Л А В Е “ П О Н Я Т И Е П Р Е Д Е Л А ”

Подведѐм итог. Что мы разобрали?

1) Общее определение предела

)t(zmilt

для переменной величины, ме-

7 Поэтому можно сказать, что смысл этих символов раскрывается в соответствующих определениях пределов,

где эти символы фигурируют.


- 24 -

няющейся со временем (с использованием понятия окрестностей) .

Замечание. "Общее" – значит, без формализации понятия окрестностей.

2) Общее определение предела последовательности

nn

amil .

3) Определения пределов последовательностей с формализацией понятия окре-

стностей (6 случаев).

4) Первое (общее) определение предела функции.

5) Второе общее определение предела функции.

6) Второе определение предела функции с формализацией понятия окрестно-

стей для 36 случаев (правда, выписали определения только для шести случаев, но

сильные студенты должны уметь конструировать и все остальные определения).

Повторим ещѐ раз: а) более близкому к своему пределу значению аргумента не

обязательно соответствует более близкое к своему пределу значение функции; в)

значение предела функции в какой-то точке не обязано равняться значению функции

в этой точке. В самой этой предельной точке функция вообще может быть не опреде-

лена.

§ 1 1 . Н Е К О Т О Р Ы Е П Р Е Д Е Л Ы …

Доказать, используя определение предела функции

(эти пределы нам понадобятся в дальнейшем) .

① lim𝑥0 sin 𝑥 = 0 . Рис.

# Пусть х < /2 . При х > 0 будет sin x < x (смотрите вывод 1-го за-

мечательного предела).

Также будет | sin x | < | x | при х > 0 .

Поскольку при изменении знака у х неравенство остаѐтся тем же самым, а, зна-

чит, верным, то неравенство | sin x | < | x | верно для всех х ( |х| < /2).

Возьмѐм произвольное > 0 . Возьмѐм = min {/2, } . Для всех х таких,

что | x | < (нашлось такое ), что | sin x | < | x | < ,

т.е. | sin x | < . А это означает, что lim𝑥0 sin 𝑥 = 0 . #

② lim𝑥0 cos 𝑥 = 1 . Рис.

# Для х > 0 и x < /2 :

1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 | = 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥

2 < 2 𝑠𝑖𝑛

𝑥

2 | < 2 ·

𝑥

2 = |𝑥| ,

т.е. | 1 – cos x | < |x | .

Это неравенство верно и для x < 0 . Получается, что оно верно для −

2< 𝑥 <

2 .

Т.к. |x | 0 , то для > 0 найдѐтся окрестность точки х = 0 , в ко-


- 25 -

торой |x | < . Значит, в этой окрестности и | 1 – cos x | < .

А это означает, что lim𝑥0 cos 𝑥 = 1 . #

③ lim𝑡 𝑒 ln 𝑡 = 1 Рис.

# Для > 0 должна существовать окрестность точки t = e , в кото-

рой | ln t – 1 | < . Преобразуем последнее неравенство, используя только эк-

вивалентные преобразования.

| ln t – 1 | < ln𝑡

𝑒 < ln 𝑒 ………

e 1 –

– e < t – e < e 1 +

– e .

Искомой будет -окрестность точки e ,

где = max { | e 1 –

– e | , | e 1 +

– e | }. #

В задачах 4 и 5 надо доказать эквивалентность (равносильность) двух утверждений, т.е. до-

казать, что из справедливости одного из них следует справедливость другого. При этом автоматически бу-

дет … .

④ x 0 |x| 0 .

# Что означает левая часть? Что означает правая часть? Видим, что и то, и

другое – это одно и то же. #

⑤ x с x – с 0 .

# Что означает левая часть? Что означает правая часть? Видим, что и то, и

другое – это одно и то же. #

конец второй главы

Следующая глава: "Теоремы о пределах".

Может быть, ограничиться рассмотрением графического понимания предела и непрерывности? И

понятие предела изложить по Кудрявцеву?

(2011)

Так же, как при изучении дифференцирования сразу перейти к дифференцируемым функциям и для

них все результаты получать?

22 Глава 2. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛАliseev-ia.narod.ru/1_lectures/2_limits.pdfВысшая...

Documents