2.2. komplementtisääntö ja yhteenlaskusääntö

2.2.1. Mahdoton ja varma tapahtuma

Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys = 0: P() = 0

Varman tapahtuman todennäköisyys = 1: P(E) = 1

0 P(A) 1

2.2.2. Komplementtisääntö

Komplementtitapahtuma tapahtumalle A

= ”ei-A” = kaikkien niiden alkeistapausten joukko, jotka eivät kuulu tapahtumaan A: Ā

E

_

AA

E.1. Mikä on A:n komplementtitapahtuma, kuna) A = luku on positiivinen b) A = tehtäviä on vähintään 44 c) A = ainakin yksi oppilas myöhästyy

a) Ā = luku 0 tai negatiivinenb) Ā = tehtäviä on korkeintaan 43c) Ā = kukaan oppilaista ei myöhästy

)(1)(

)(1)(_

_

APAP

APAP

Komplementtisääntö

P(A ei satu) = 1 – P(A sattuu)

P(A sattuu) = 1 - P(A ei satu)A

E.2. Sateen todennäköisyys on 30%. Millä todennäköisyydellä ennusteen päivänä ei sada?

A ={sataa} P(A) = 0,3 Ā = {ei sada}

7,0)(1)(_

APAP

Komplementtisääntöä kannattaa käyttää:Kun vastatapahtumaan ” A ei satu ” kuuluu vähemmän alkeistapauksia kuin tapahtumaan ” A sattuu ”.

”Ainakin, vähintään, enintään, korkeintaan, …”

E.3. Heitetään kahta noppaa. Millä todennäköisyydellä silmälukujen summa on vähintään 3?

A = {silmälukujen summa vähintään 3}

Ā = {silmälukujen summa 2}

P(A) = 1 – P(Ā) = 1 - 1/36 = 35/36

2.2.3. YhteenlaskusääntöErillisten tapausten yhteenlaskusääntö

A B = eli A:n ja B:n leikkausjoukko on tyhjä

P(A tai B) = P(A) + P(B) tai joukko-opillisin merkinnöin P(A B) = P(A) + P(B)

Sana, joka viittaa yhteenlaskusäännön käyttöön: TAI

E.4. Luokan puheenjohtajaksi on ehdolla 5 oppilasta. Maijan valitsemisen todennäköisyys on 0,45 ja Matin 0,32.

Millä todennäköisyydellä a) Maija tai Matti tulee valituksi b) Maija ei tule valituksi c) ei Matti eikä Maija tule valituksi?

A={Maija tulee valituksi} B={Matti tulee valituksi}P(A) = 0,45 P(B) = 0,32

a) P(A tai B) = 0,45 + 0,32 = 0,77b) P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 0,45 = 0,55c) P(ei Matti eikä Maija tule valituksi) = 1 – (0,45 + 0,32) = 0,23

Yleinen yhteenlaskusääntö

Kun tapahtumat A ja B eivät ole erillisiä:

P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A ja B)

joukko-opin merkinnöin P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

E.5. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu positiivinen kokonaisluku on jaollinen 3:lla tai 5:lla?

A = ”jaollinen 3:lla” B = ”jaollinen 5:llä”

)()()( BAPBPAP

15

7

15

1

5

1

3

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18