KALKULUS I3 SKS

Pertemuan VIII

Turunan Aljabar

Materi: Pengertian Turunan Fungsi AljabarRumus Turunan Fungsi AljabarTurunan Berantai Fungsi Aljabar Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar Turunan ImplisitTurunan multivariabel

Turunan Aljabar

Tujuan Perkuliahan:

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep turunan, rumus-rumus, dan menghitung turunan fungsi aljabar.

Pengertian Turunan

Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi di bila fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut.

Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di setiap titik pada selang tersebut.

Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), laju pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), dll

0xx =

Konsep Limit

mengingat konsep limit karena konsep turunan dijelaskan lewat limit suatu fungsi

Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:

Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f

terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

−+=→

Secara Grafis

pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut:

Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi f. Titik lain pada gambar dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah

mPQh

afhaf )()( −+=

Secara Grafis

Secara Grafis

Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat a, maka kemiringan garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a)) adalah:

Dengan catatan limitnya ada.

h

afhafm

h

)()(lim

0

−+=→

Contoh

Diketahui fungsi f(x) = x2 dapatkan kemiringan garis singgung ke grafik f(x) pada titik P(a,a2)

Penyelesaian:Dengan menggunakan penjelasan di atas maka

Jadi turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi tersebut pada titik tertentu.

Contoh

1. Jika f(x) = 13x – 6, Carilah f’(4)

Penyelesaian:

[ ]

1313lim13

lim

]6)4(13[6)4(13lim

)4()4(lim)4('

00

00

===

−−−+=−+=

→→

→→

hh

hh

h

h

h

h

h

fhff

Contoh

2. Jika f(x)= x3 + 7x, Carilah f’(c)

Penyelesaian

[ ]

73 )733(lim

733lim

]7[)(7)(lim

)()(lim)('

222

0

322

0

33

0

0

+=+++=

+++=

+−+++=

−+=

→

→

→

→

chchc

h

hhchhc

h

cchchc

h

cfhcfcf

h

h

h

h

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)

Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta untuk sembarang x, f’(x)= 0.

Bukti:

Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0

00limlim)()(

lim)(000

' ==−=−+=→→→ hhh h

kk

h

xfhxfxf

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)

Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

Bukti:

1limlim)()(

lim)(000

' ==−+=−+=→→→ h

h

h

xhx

h

xfhxfxf

hhh

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)

Teorema III (Aturan Pangkat)

Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x) = nxn-1

Bukti:

h

hnxhhxnn

nxh

h

xhnxhhxnn

hnxx

h

xhx

h

xfhxfxf

nnnn

h

nnnnnn

h

nn

hh

+++−+

=

−+++−++=

−+=−+=

−−−−

→

−−−

→

→→

1221

0

1221

0

00

'

...2

)1(

lim

...2

)1(

lim

)(lim

)()(lim)(

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)

Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi

Contoh:

f(x)=x2 maka f’(x) = 2x

1)(' −= nnxxf

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)

Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf)’ (x). Bukti: Misalkan F(x) = k. f(x). Maka

Contoh:

F(x) =5x2 maka f’(x) =5(2x) =10x

)('.

)()(lim.

)()(lim

)(.)(.lim

)()(lim)(

00

00

xfkh

xfhxfk

h

xfhxfk

h

xfkhxfk

h

xfhxfxF

hh

hh

=

−+=−+=

−+=−+=

→→

→→

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)

Teorema V (Aturan Jumlah)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f+g)’(x) =

f’ (x) + g’ (x). Bukti:

Contoh:

F(x)=x2+3x maka f’(x)=2x+3

[ ] [ ]

)(')('

)()(lim

)()(lim

)()()()(lim

)()()()(lim)(

),()()(

00

0

0

xgxfh

xghxg

h

xfhxf

h

xghxg

h

xfhxfh

xgxfhxghxfxF

makaxgxfxFAndaikan

hh

h

h

+=

−++−+=

−++−+=

+−+−+=

+=

→→

→

→

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iv)

Teorema VI (Aturan Selisih)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x). Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x)

Contoh:

F(x) =3x2-x maka f’(x) = 6x – 1

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)

Teorema VII (Aturan Hasil Kali)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x). Bukti:

)(')()(')(

)()(lim).(lim

)()(lim).(lim

)()(

)()()(

)(lim

h

)()()()()()()()(lim

h

)()()()(lim

h

)()(lim)(

),().()(

0000

0

0

00

xfxgxgxfh

xfhxfxg

h

xghxghxf

h

xfhxfxg

h

xghxghxf

xgxfxghxfxghxfhxghxf

xgxfhxghxfxFhxFxF

makaxgxfxFAndaikan

hhhh

h

h

hh

+=

−++−++=

−++−++=

−+++−++=

−++=−+=

=

→→→→

→

→

→→

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)

Contoh :

F(x) = (x+2)(x-5)2

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, dengan g(x) = 0.

Maka

)(

)(')()(')()(

2

'

xg

xgxfxfxgx

g

f −=

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

[ ])()(

1)(')()(')(

)()(

1)()()(

)()()(lim

)()(

1)()()()()()()()(lim

)()(

1)()()()(lim

)()(

)()(

lim)()(

lim)(

,)()()(

0

0

0

00

xgxgxgxfxfxg

hxgxgh

xghxgxf

h

xfhxfxg

hxgxgh

hxgxfxgxfxfxghxfxg

hxgxgh

hxgxfhxfxgh

xgxf

hxghxf

h

xFhxFxF

makaxgxfxMisalkanF

h

h

h

hh

−=

+

−+−−+=

+

•+−+−+=

+•+−+=

−++

=−+=

=

→

→

→

→→

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

)(

)(')()(')()(

2

'

xg

xgxfxfxgx

g

f −=

Bedakan antara Turunan dan Diferensial !

Pada waktu anda menuliskan Dxy atau dy/dx = anda menuliskan lambang turunan

Jika dy = anda menyatakan lambang diferensial

Contoh:Cari dy jika y = x3 - 3x+1Jika kita mengetahui bagaimana menghitung

turunan, maka kita tahu bagaimana menghitung diferensial. Yaitu cukup menghitung turunan lalu mengalikannya dengan dx

Dy = (3x2-3) dxHal ini karena dy = f’ (x) dx

Turunan Berantai Fungsi Aljabar

dw

dx

dx

du

Jikadx

du

yJika

..du

dyy'

maka h(w), x g(x), u f(u), y

.du

dyy'

maka g(x) u dan (u)

=

===

=

==

Contoh:

y = (3x+1)10

Turunan Tingkat Tinggi Aljabar

Turunan tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke n. Jika f’ adalah turunan suatu fungsi f, maka f’ juga merupakan suatu fungsi, f’ adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari f’ ada, turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis f’’. Dengan cara yang sama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari f’’, jika turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis f’’’. Turunan ke-n dari fungsi f, di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f. Turunan ke n dinyatakan dengan f(n). Berikut ini adalah tabel cara penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n:

Turunan Tingkat Tinggi Aljabar

Contoh:Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini: 283)( 23 +−+= xxxxf

Soal-soal latihan (i)

Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:

52

25)()1

2 ++=x

xxf

3)2)(1()()2 ++= xxxf

( ) 53 4)()3 += xxxf

Soal-soal latihan (ii)

Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:

xxuuy 2 ,3)1 45 +=+=2 ),24( ,)2 xvvvuuy =−==

2 t dt

dy berapakah

,93tx 2 )3 22

=

+=−=

ketika

danxxyJika

Soal-soal latihan (iii)

Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:

243)()1 24 −+−= xxxxf

25)()2 += zzg

2/3)2()()3 += ttf

xxxf

4

2

1)()4

2+=