23.02.06. · 1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО...

1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Петербургский государственный университет путей сообщения

Императора Александра I» (ФГБОУ ВПО ПГУПС)

Санкт-Петербургский техникум железнодорожного транспорта –

структурное подразделение ФГБОУ ВПО ПГУПС

Рассмотрено на заседании УТВЕРЖДАЮ Цикловой комиссии Зам. Директора техникума

по учебной работе

Воронина С.А.

Методические указания и контрольные задания

для студентов заочной формы обучения отделений:

«Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог»

профессиональная образовательная программа «Электроподвижной состав»

23.02.06.

2015

2

Методические указания по математике для студентов заочного отделения/

учебно-методическое пособие/Автор Грищенко О.В.

2015 г.- 40с.

Методические рекомендации по математике предназначены для

использования, как студентов заочного отделения, так и для преподавателей

математики. Может применяться как на занятиях, так и во внеурочное время для

самостоятельной работы студентов. Практикум является хорошим подспорьем

для студентов заочного отделения.

3

Содержание

1. Введение………………………………………………………………………...4

2. Программа учебной дисциплины……………………………………………...6

3. Вопросы, выносимые на дифференцированный зачет……….……………..11

4. Правила оформления и выполнения контрольных работ………………......12

5. Задачи для контрольной работы№1………………………………………….14

6. Задачи для контрольной работы№2………………………………………….16

7. Решение типового варианта…………………………………………………..18

8. Литература……………………………………………………………………..37

9. Приложения…………………………………………………………………....38

4

Введение.

Математика является незаменимым и мощным оружием познания окружающего нас

мира. В тоже время она служит прекрасным методом воспитания полноты и точности

логических суждений, что сейчас представляет исключительную ценность не только для

представителей науки, но и для всех, кто соприкасается с вопросами эксплуатации сложных

производственных комплексов, передачей и обработкой информации, выработкой решений в

условиях нестандартных ситуаций. Наконец, без математики не обойтись при изучении

физики, химии, дисциплин, связанных с техникой и организацией производства.

Изучение математики вносит в умственное развитие человека. Объект ма-

тематических умозаключений и правила их конструирования развивают логическое

мышление.

Ведущая роль математики состоит в формировании алгоритмического мышления. В

ходе изучения математики, систематически формируются навыки умственного труда -

планирование своей работы, поиск рациональных путей её выполнения, критическая оценка

её результатов. В ходе решения задач, основной учебной деятельности на уроках математики,

развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Обучение математики способствует становлению и развитию нравственных черт

личности - настойчивости и целеустремленности, познавательной активности и

самостоятельности, дисциплины и критичности мышления, способности аргументировано

отстаивать свои убеждения.

Современное образование неотделимо от развития общества. Социально -

экономическая, духовно - нравственная сферы жизни предъявляют свои требования к

образованию, к формированию личности молодого специалиста, выпускника ССЮЗ.

Среднее специальное образование занимает важное место в подготовке кадров для

областей промышленности, строительства. От того насколько успешно будут подготовлены

специалисты, во многом зависит как научно - технический прогресс, так и культурный

прогресс нашей страны.

Работая в ССУЗе, принимая участие в формировании личности молодого поколения

страны, мы руководствуемся положением Концепции защиты прав ребенка, Законом об

образовании РФ, примерной программой для средних специальных учебных заведений на

базе основного общего образования (М. : Издательский отдел ИПР СПО, 2010г.)

Основной задачей курса математики в ССУЗе на базе основной школы является

прочное и сознательное овладение студентами математическими знаниями и умениями,

необходимыми для изучения общенаучных, общепрофессиональных и специальных

дисциплин, для продолжения образования в ВУЗах.

Подготовка специалистов должна ориентироваться на использование новых

компьютерных технологий, освоение которых невозможно без изучения математики.

Обучение по данной программе предполагает развитие у студентов следующих

личностных новообразований: конкурентоспособности, информационной культуры,

повышение уровня мотивации к обучению, самоопределения, нравственного

самосовершенствования, а также оперативного мышления, памяти, аналитического

мышления.

5

Предполагаются различные уровни усвоения содержания, это подтверждается

разноуровневыми проверочными работами, дифференцированным подходом в преподавании

предмета. Возможна рейтинговая система оценки результатов.

Учебная дисциплина «Математика» является учебной дисциплиной в цикле

математических и общих естественных дисциплин, которая обеспечивает об-

щеобразовательный уровень подготовки специалиста.

В результате обучения учебной дисциплины студент должен:

иметь представление:

- о роли математики в современном мире, общности ее понятий и представлений;

знать:

- основные математические формулы и понятия;

уметь:

- использовать математические методы при решении прикладных задач;

При изучении дисциплины необходимо обратить внимание студентов на ее

прикладной характер, на то, где и когда изучаемые теоретические положения и

практические навыки могут быть использованы в будущей практической деятельности.

Изучение материала необходимо вести в форме, доступной пониманию студентов.

Необходимо соблюдать преемственность в обучении, единство терминологии и

обозначений в соответствии с государственными стандартами.

При проведении занятий следует:

• использовать учебные пособия, технические и наглядные средства обучения;

• проводить несложные индуктивные и дедуктивные рассуждения;

• обосновывать шаги решения задач;

• формулировать определенные математические понятия;

• пользоваться математической терминологией и символикой;

• письменно оформлять решение задач;

• формулировать на математическом языке несложные прикладные задачи; • пользоваться калькулятором;

• самостоятельно изучать учебный материал.

В содержании учебной дисциплины по каждой теме приведены требования к

формируемым знаниям и умениям. Приведен перечень практических и

самостоятельных работ.

В списке основной литературы указаны учебники и учебные пособия, рекомендованные

Министерством образования Российской Федерации.

В конце изучения дисциплины проводится дифференцированный зачет.

6

Содержание учебной дисциплины

Раздел №1: Основы линейной алгебры.

Матрицы, их свойства, действия над матрицами. Определители. Обратная

матрица, матричные уравнения, и их решения. Решение систем линейных

уравнений методом Крамера, решение систем линейных уравнений методом

Гаусса.

Студент должен знать:

- понятия матрицы;

- действия над матрицами;

- понятие определителя;

- понятия обратной матрицы;

-способы решения систем линейных уравнений;

Студент должен уметь:

- выполнять действия над матрицами;

- находить значения определителя;

-решать системы линейных уравнений матричным способом, по формулам

Крамера, методом Гаусса.

Матрицы, их свойства, действия над матрицами.. Определители. Обратная

матрица, матричные уравнения, и их решения. Решение систем линейных

уравнений методом Крамера, решение систем линейных уравнений методом

Гаусса.

Практическая работа №1. Матрицы. Действия над матрицами. Вычисление

определителей.

Практическая работа №2. Решение систем трех линейных уравнений с тремя

неизвестными с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.

Практическая работа №3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Раздел 2:Теория пределов.

Тема 2.1 Предел функции в точке. Основные свойства предела. Теоремы о

пределах. Вычисление пределов функции в точке и на бесконечности.

Раскрытие неопределенностей вида

,0

0 .


- понятия предела функции в точке и на бесконечности;

- теоремы о пределах;

- понятие неопределенностей;

- способы вычисления пределов;


- вычислять предел функции в точке и на бесконечности;

- применять различные способы к вычислению пределов;

7

Функция одной независимой переменной. Пределы. Неопределенности при

вычислении пределов. Теоремы о пределах. Непрерывность функции.

Тема 2.2 Первый и второй замечательный пределы. Вычисление пределов.


- понятие первого и второго замечательных пределов;

- формулы для вычисления пределов;


- вычислять 1-ый и 2-ой замечательные пределы;

- применять к вычислению пределов 1-ый и 2-ой замечательные пределы;

Число е. Первый и второй замечательный предел.

Раздел №3:Дифференциальное исчисление.

Тема 3.1 Определение производной функции, ее геометрический смысл.

Формулы дифференцирования. Таблицы производных. Производная сложной

функции.


- определение производной, ее геометрический смысл;

- таблицу производных;

- формулы производных суммы, частного, произведения;

- производная сложной функции;


- вычислять производные элементарных функций;

- вычислять вторую производную;

- находить производную сложной функции;

Производная, ее геометрический смысл. Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования. Производная сложной функции.

Практическая работа №4: Нахождение пределов функции. Вычисление

производной сложной функции.

Тема 3.2 Исследование функции на монотонность. Точки экстремума.

Исследование функций на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

Асимптоты графика функции. Исследование функций, построение графиков.

8


- понятие промежутков монотонности функции;

- определение точек экстремума;

- определение второй производной;

- понятие точек перегиба функции;

- определение точек разрыва функции;

- асимптоты графика функции;


- находить промежутки убывания и возрастания функции с помощью

производной;

- исследовать функцию с помощью второй производной;

- находить точки разрыва функции;

- определять характер разрыва;

- находить асимптоты графика функции;

- строить эскиз графика функции;

Промежутки монотонности. Точки экстремума. Точки перегиба. Промежутки

выпуклости и вогнутости. Точки разрыва. Асимптоты графика функции. Эскиз

графика.

Тема 3.3 Наибольшее и наименьшее значение функции.


- определение наибольшего и наименьшего значений функций;

- алгоритм по нахождению наибольшего и наименьшего значений функций;


- вычислять наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке;

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Раздел №4:Интегральное исчисление.

Тема 4.1 Неопределенный интеграл, его свойства, таблица интегралов.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Методы

интегрирования (метод подстановки, интегрирование по частям).


- основные методы интегрирования;

- таблицу простейших интегралов;

9

- формулу Ньютона-Лейбница;

- свойства определенного и неопределенного интеграла;

- методы интегрирования: подстановка, интегрирования по частям;


- интегрировать простейшие определенные интегралы;

- применять для интегрирования методы подстановки и интегрирования по

частям;

Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена

переменной. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

Практическая работа №5. Различные методы вычисления интегралов.

Тема 4.2 Вычисление площадей плоских фигур.


- понятие криволинейной трапеции;

- геометрический смысл определенного интеграла;


- находить площадь криволинейной трапеции;

- вычислять площади различных фигур с помощью определенного интеграла;

Раздел №5:Основы дискретной математики.

Множества. Операции с множествами. Понятия графа. Применение графов.


- понятие множества;

- операции над множествами;

- понятие графа;

- где применяются графы;


- выполнять операции над множествами;

-применять теорию графов;

Множества. Операции с множествами. Понятия графа. Применение графов.

Раздел №6: Основы теории вероятности и математической статистики.

Основные понятия комбинаторики. Понятия события, вероятности

события. Классическое определение вероятностей. Случайная величина,

дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения

случайной величины. Математическое ожидание случайной величины.

Дисперсия случайной величины.


- основные понятия комбинаторики;

10

- понятие события, вероятности события;

- классическое определение вероятности;

- понятие случайной величины, закон распределения случайной величины;

-понятие математического ожидания;

-понятие дисперсия случайной величины;


Понятие комбинаторики;

-понятие события, вероятность события;

-классическое определение вероятности;

-понятие дискретной и непрерывной случайной величины;

- вычислять закон распределения случайной величины;

-находить математическое ожидание;

-находить дисперсию случайной величины;

Основные понятия комбинаторики. Понятия события, вероятности события,

Классическое определение вероятностей. Случайная величина, дискретная и

непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины. Дисперсия случайной величины.

11

Вопросы для подготовки к дифференцированному зачету:

1. Понятие матрицы. Виды матриц.

2. Определители, вычисление определителей второго и третьего порядков.

3. Действия над матрицами.

4. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

5. Матричный метод решения систем трёх линейных уравнений с тремя

неизвестными.

6. Метод Гаусса для решения систем трёх линейных уравнений с тремя


7. Формулы Крамера для решения систем трёх линейных уравнений с тремя


8. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.

9. Правила дифференцирования. Формулы дифференцирования.

10. Понятие сложной функции. Дифференцирование сложной функции.

11. Вторая производная, ее применение для исследования и построения графика

функции.

12. Алгоритм нахождения промежутков монотонности и точек экстремума

функции.

13. Алгоритм нахождения промежутков выпуклости и вогнутости графика

функции.

14. Неопределённый интеграл. Основные свойства интеграла.

15. Определённый интеграл Основные свойства интеграла.

16. Геометрический смысл определённого интеграла.

17. Формула Ньютона- Лейбница для вычисления определённого интеграла.

18. Основные формулы интегрирования. Примеры.

19. Приложения определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.

20. Вычисление площадей плоских фигур.

21. Виды функций. Область определения и множество значений функции.

22. Два замечательных предела.

23. Дифференциальные уравнения. Общие и частные решения дифференциальных

уравнений.

24. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

25. Множество и его элементы.

26. Способы задания множеств.

27. Пересечение множеств. Примеры.

28. Объединение множеств. Примеры.

29. Вычитание множеств. Примеры.

30. Случайные события. Совместные и несовместные события.

31. Классическое определение вероятности события.

32. Понятие факториала. Примеры.

12

Правила оформления и выполнения контрольной работы.

1. Выбор задач для контрольной работы осуществляется в соответствии со

следующей таблицей по варианту, число которого совпадает с последней

цифрой шифра студента по списку

2. Контрольная работа оформляется в тонкой тетради 18 листов в клетку

черными чернилами, оставляются поля для замечаний проверяющего. На

обложке тетради указать: фамилию, имя, отчество студента,

наименование дисциплины, номер группы и специальность, название

отделение.

3. Решение задач следует располагать в порядке следования номеров в

контрольной работе, записывая полностью условие задачи.

4. Перед началом выполнения работы необходимо изучить теоретический

материал, изложенный в пособии, внимательно прочитать подробные

решения типовых примеров и задач.

5. Решение задач контрольной работы оформить аккуратно, подробно

объясняя ход решения.

Вариант Номера задач, входящих в контрольную работу №1

1 1 11 21

2 2 12 22

3 3 13 23

4 4 14 24

5 5 15 25

6 6 16 26

7 7 17 27

8 8 18 28

9 9 19 29

0 10 20 30

Вариант Номера задач, входящих в контрольную работу №2

1 31 41 51

2 32 42 52

3 33 43 53

4 34 44 54

5 35 45 55

6 36 46 56

7 37 47 57

8 38 48 58

9 39 49 59

0 40 50 60

13

6. Сдать работу не позднее срока указанного преподавателем.

7. После получения проверенной работы следует исправить в ней

отмеченные ошибки и недочеты. Работа над ошибками выполняется в

этой же тетради.

14

Задания для выполнения контрольной работы №1:

1. Найдите обратную матрицу:

1)*.

333

721

232

; 2).

341

231

973

; 3)*.

621

952

242

;

4).

321

432

421

; 5)*.

732

451

232

; 6).

232

751

123

;

7).

391

321

273

; 8)*.

932

241

375

; 9).

723

351

532

;

10).

571

232

423

;

2. Решите систему трех уравнений с тремя неизвестными тремя

способами: а). Методом обратной матрицы; б). С помощью формул Крамера; в).

Методом Гаусса.

11.

8532

632

2524

321

321

321

ххх

ххх

ххх

12.

163

172

2445

321

321

321

ххх

ххх

ххх

13.

1323

923

3436

321

321

321

ххх

ххх

ххх

14.

11125

5722

2234

321

321

321

ххх

ххх

ххх

15.

562

845

93127

321

321

321

ххх

ххх

ххх

16.

357

4232

4423

321

321

321

ххх

ххх

ххх

15

17.

7723

135

4532

321

321

321

ххх

ххх

ххх

18.

1339

232

5273

321

321

321

ххх

ххх

ххх

19.

7932

524

8375

321

321

321

ххх

ххх

ххх

20.

2232

1175

923

321

321

321

ххх

ххх

ххх

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

с помощью производной :

21). а). f (х)=2х3+3х

2-36х, [-4;3], б). f (х)= xx cos2sin2 , [0;π],

22). а). f (х)= 2х3+3х

2-36х, [-2;1], б). f (х)=

21 х , [0;1],

23). а). f (х)=х4-8х

2+5, [-3;2], б). f (х)=2х - е

2х, [0;1],

24). а). f (х)=х3+

х

3,

2;

2

1, б). f (х)=lnx-x,

е

е;

1,

25). а). f (х)=х

х1

, [-2;4], б). f (х)=х+е-х

, [-1;1],

26). а). f (х)= х

х1

, [-2;-0,5], б). f (х)=

2;0,cossin

xx ,

27). а). f (х) = х3-6х, [-3,4], б). f (х)=х- х , [0;4],

28). а). f(x)=2х3-6х+5,

2

3;

2

5, б). f (х)=

2;

4,cossin

xx ,

29). а). f(x)=х5-5х

4+5х

3+3, [-1;2], б). f (х)= 5х , [-1;4],

30). а). f (х) = х

х2

3

2 3 ,

2;

2

1, б). f (х) =

хех 33 , [0;1].

16

Задания для выполнения контрольной работы №2:

1. Вычислите интегралы заданных функций:

31. а). dx346x4 23 xx , б).

2

1

0

241 x

xdx

32. а). dx123 2x , б).

4

22

2 73 dxxx

33. а). dxxx 5 , б).

1

0

)1( dxee xx

34. а). , б).

1

0

22 )1(x

xdx

35. а). dxcosx 34 , б).

3

1 ln1

e

xx

dx

36. а). 43

2

)21(

6

x

dxx, б).

1

0

243 )12( dxхх

37. а). 3)1( x

x

е

dxе, б). dxхх )935(

3

1

2

38. а). e

x

dx

1

3, б).

2

1

0

22 )41( x

xdx

39. а).

dx5x

4

3x

3

4 23 , б).

2

cos21

sin

x

xdx

40. а). 54

3

)35( x

dxx, б).

3

2

2 )823( dxxx

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

с помощью определенного интеграла:

41). у=х2+2х+1, у=1-х, Ох;

42). у=х2+1, у=3-х;

43). у= х , у=х;

44). у=3х2, у=0, х=-1, х=2;

45). у= х , у=х2;

46). у=4-х2, у=х+2, Ох;

dxx5

17

47). у=х2-4х+3, Ох;

48). у=2-х2, у=х+2;

49). у=-х2-2х+8, у=0;

50). у=2

2

1х , у=4-х;

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

51). а). ; б). ;

52). а). ; б). ;

53). а). ; б). ;

54). а). ; б). ;

55). а). ; б). ;

56). а). ; б). ;

57). а). ; б). ;

58). а). ; б). ;

59). а). ; б). ;

60). а). ; б). .

dyydx )34( 0)()1( 2 dxxxydyx

dyydx )15( 0)()( 22 dxxyxdyyxy

xdyydx 2 xyy cos2

xdyydx 4 01 yy

02 ydydxx 0 xdydxydx

02 dyyxdx 0222 2 xxyyxy

dxxdxdy 221

2x

dx

dy

dydxydy 2 0)1()1( dyxdxy

xdydxy 2)1( 02

x

dx

y

dy

xdydxy )15( 0)1( 2 xydx

dyx

18

Решение типового варианта.

1. Найдите обратную матрицу:

Пример 1:

Дано: матрица

34

12A

Найти: обратную матрицу А-1

.

Решение: А-1

(обратную матрицу) найдем по схеме

1. 10464)1(3234

12

AD

Т.к. 0D , то данная матрица является невырожденной и, следовательно,

существует обратная матрица

2. Найдем алгебраические дополнения каждого элемента:

33)1()1( 211

1111 MA ,

44)1()1( 312

2112 MA ,

1)1()1()1( 321

1221 MA ,

22)1()1( 422

2222 MA

21

43

3. Транспонируем эту матрицу, получим

24

13

4. Умножив полученную матрицу на число D

1, т.е. на

10

1, получим

2,04,0

1,03,0

10

2

10

410

1

10

3

24

13

10

11A

Можно выполнить проверку и убедиться, что EAA 1

Пример 2:

Дано:

703

210

321

A

19

Найти: матрицу, обратную данной.

Решение:

1.

149127

0217023)1(33003227)1(1

703

210

321

D

Т.к. 0D , матрица А невырожденная и, значит, можно найти А-1

.

2. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

770

21)1( 11

11 A , 6

73

20)1( 21

12 A , 303

10)1( 31

13

A ,

1470

32)1( 12

21 A , 273

31)1( 22

22 A , 603

21)1( 32

23 A ,

721

32)1( 13

31 A , 2

20

31)1( 23

32 A , 110

21)1( 33

33

A

Запишем новую матрицу

127

6214

367

3. Транспонируем полученную матрицу:

163

226

7147

4. Умножим полученную матрицу на 10

11

D

14

1

7

3

14

37

1

7

1

7

32

11

2

1

14

1

14

6

14

314

2

14

2

14

614

7

14

14

14

7

163

226

7147

14

11A

20

2. Решите систему трех уравнений с тремя неизвестными тремя

способами: а). Методом обратной матрицы; б). С помощью формул

Крамера; в). Методом Гаусса.

а). Дана система уравнений:

532

62

1123

321

321

321

ххх

ххх

ххх

,

Решить данную систему матричным способом.

Решение:

1). Найдем главный определитель системы:

321

112

213

= 3∙32

11

─(-1)∙

31

12

+2∙

21

12

= 3(-3+2)+6-1+2(4-1)=8

0.

Значит матрица невырожденная и для неё существует обратная.

2). Запишем систему уравнений в матричном виде: АХ=В.

321

112

213

∙

3

2

1

х

х

х

=

5

6

11

.

3). Вычислим алгебраические дополнения Аij и обратную матрицу А-1

по

формулам:

Аij = (-1)i+j

Мij и А-1

=

1∙А

υ, где Мij-определитель (минор), полученный путем

вычеркивания i-той строки и j-того столбца из главного определителя, а

Аυ=

332313

322212

312111

ААА

ААА

ААА

- присоединённая матрица, полученная из алгебраических

дополнений, путем транспонирования.

А11=(-1)1+1

32

11

=-3+2=-1; А21=(-1)1+2

32

21

=-(3+4)=-7; А31=(-1)3+1

11

21=

=-1-2= -3;

А12=(-1)1+2

31

12

=-6+1=-5; А22=(-1)2+2

31

23

=-9-2= -11; А32=(-1)3+2

12

23

=-(3+4)= -7;

А13=(-1)1+3

21

12

=4-1=3; А23=(-1)2+3

21

13

=-(-6+1)=5; А33=(-1)3+3

12

13

=3-2= 1;

21

А-1

=8

1∙

153

7115

371

;

3).Воспользуемся формулой Х=А-1

В:

3

2

1

х

х

х

= 8

1∙

153

7115

371

∙

5

6

11

,

х1=8

1∙(-1∙11-7∙(-6)-3∙5)=2,

х2=8

1∙(-5∙11-11∙(-6)-7∙5)= -3,

х3=8

1∙(3∙11+5∙(-6)+1∙5)=1,

Ответ: х1=2, х2=-3, х3=1.

б). Дана система уравнений:

532

62

1123

321

321

321

ххх

ххх

ххх

.

Решить данную систему с помощью формул Крамера.

Решение:

1). Найдем главный определитель системы:

= 3 + +2 = 3(-3+2)+6-1+2(4-1)=8 0.

2). Заменим в главном определителе 1-ый столбец на столбец свободных чисел,

получим:

=11 -(-1) +2 =11*(-1)+13+2*7=16,

3). Заменим в главном определителе 2-ой столбец на столбец свободных чисел,

получим:

=3 -11 +2 =3*13-11*5+2*(-4)=-24,

4). Заменим в главном определителе 3-ий столбец на столбец свободных чисел,

получим:

321

112

213

32

11

31

12

21

12

325

116

2111

1

32

11

35

16

25

16

351

162

2113

2

35

16

31

12

51

62

22

=3 + +11 =3*(-7)+(-4)+11*3=8,

5). Применим формулы Крамера:

х1= , х2= , х3= , тогда: х1= =2, х2= =-3, х3= =1.

Ответ: (2; -3; 1).

в). Дана система уравнений:

532

62

1123

321

321

321

ххх

ххх

ххх

Решим данную систему методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу системы:

5321

6112

11213~А .

Для удобства вычисления поменяем 1-ую и 3-ю строки местами:

11213

6112

5321~А

Умножим 1-ую строку на 2 и сложим со 2-ой:

11213

4530

5321~А .

Первую строку умножим на -3 и сложим с третьей:

41150

4530

5321~А .

Вторую строку умножим на 5, а третью строку умножим на 3:

1233150

2025150

5321~А .

Сложим 2-ую и 3-ю строки:

8800

2025150

5321~А .

Вторую строку разделим на 5, а третью строку на 8:

521

612

1113

3

52

61

51

62

21

12

1

2

3

8

16

8

24

8

8

23

1100

4530

5321~А

Мы привели расширенную матрицу к треугольному виду, перейдем к системе:

1

453

532

3

32

321

х

хх

ххх

Откуда: 2,3,1 123 ххх

Ответ: (2; -3; 1).

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке с

помощью производной :

Пример №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=5х3-60х+3

отрезке [-3,1].

Р е ш е н и е .

10. Найдем критические точки функции в промежутке (-3;1). Имеем

3605 3 хху ; решая уравнение 06015 3 х , получаем

2,2 21 хх . Точка )1;3(22 х .

Вычислим значения функции в критической точке 21 х :

833)2(60)2(5)2( 3 у

20. Находим значения функции на концах отрезка:

52316015)1(

483)3(60)3(5)3(

3

3

у

у

30. Сравнивая значения функции в критических точках и ее значения на концах

отрезка, заключаем, что у(1) =-52 является наименьшим, а у(-2)=83 - наибольшим

значением функции на указанном отрезке.

Пример №2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= на

отрезке [-3;1].

Решение:

10. а). Найдем производную :

.

б). Найдем критические точки (точки, в которых производная равна 0 или

не существует):

3х

у

32

1

)3(2

1)3(

2

1)3(

2

1)3(

2

12

11

2

1

2

1

хх

ххху

24

Значит х=-3- критическая точка.

х=-3 не принадлежит интервалу (-3;1).

20. Найдем значения функции на концах отрезка:

у(-3)= ,

у(1)= .

30. Выберем из полученных значений наибольшее и наименьшее:

у(-3)=0- наименьшее значение функции на заданном отрезке,

у(1)=2- наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Пример №3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = на

отрезке .

Решение:


б). Найдем критические точки (точки, в которых производная равна 0 или

не существует):

х=1- критическая точка.

в). Найдем значение функции в точке х=1:

.


,

.


- наименьшее значение функции на заданном отрезке,

- наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Пример №4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у = на отрезке .

.3

032

1

х

х

033

231

xxх ln

e

e;

1

у

xxx

xxxxxxxxху ln11ln11

ln1)(lnln)()()ln(

ee

x

x

ex

x

;1

1

1lnln

lnln

0ln

0

110111ln1)1( у

eeeeeee

eeeееу

2111)1(

11ln

111ln

11 1

01ln)( eeeeeeeey

eеу

21

0)( еу

xx cos5sin5 ;0

25

Решение:


,

б). Найдем критические точки (точки, в которых производная равна 0

или не существует):

- критическая точка.

в). Найдем значение функции в точке :

.


,

.




Пример №5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у = на отрезке .

Решение:


,

б). Найдем критические точки (точки, в которых производная равна 0

или не существует):

у

xxy sin5cos5

znnx

tgx

tgx

xx

xx

,4

1

01

0sincos

0sin5cos5

;04

,0 xn

4

x

252

210

2

25

2

25

2

25

2

25

4cos5

4sin5

4

y

515050cos50sin5)0( y

5)1(505cos5sin5)( y

5у

254

у

xx 2cossin2

2;0

у

xxy 2sin2cos2

26

- критические точки.

в). Найдем значение функции в точке :

.


,

.




4. Вычислите интегралы заданных функций:

Примеры:

1) Вычислить интеграл

dx

xxxx

1

4132cos5

2

2

Решение: Применяя свойства 2 и 3 интеграла, получим,

.2

;06

,0

,6

)1(

,2

1sin,1sin2

,0sin21

2;00,0

.,2

,0cos

0)sin21(cos

0cossin2cos

0cossin4cos2

02sin2cos2

xn

znnx

xx

x

xn

znnx

x

xx

xxx

xxx

xx

n

6,0 21

xx

62

x

2

11

2

11

3cos

2

12)

62cos(

6sin2

6

y

110)02cos(0sin2)0( y

112cos12)2

2cos(2

sin22

y

12

,10

уу

2

11

6

у

27

dxx

dxx

dxxdxx

dxxx

xx

1

14

132cos5

1

4132cos5

2

2

2

2

Cxxxxx

Cxxx

xx

arctg4ln2sin5

arctg4ln3

32sin5

3

3


dxe

x

4

Решение:

CeCedtedtedxdt

xt

dxe

x

ttt

x

44 4444

dt4dx

откуда

,4

1

,4


dxxx 3

Решение:

Ctt

dttdttdttdttdttt

dtttdtttt

tdtdtxdx

dxx

dt

tx

tx

tx

dxxx

36

52626262

3223

232

,32

1

,3

,3

тогда

,3

3

35242424

2232

2

CxxCxxCtt 2

3

2

53535 3235

2323

5

22

5

2

4) Вычислить интеграл dxx3cos

Решение:

28

CxCttdtdtt

dtdx

dxdt

tx

dxx

3sin3

1sin

3

1cos

3

1

3

1cos

3

,3

,3

3cos

5).

Cx

Ct

Ct

dttdt

tdt

xdxdtxdxtxхdxх

10

)1(

10142

1

2

1

22,2,1)1(

52

51444242

6).

Cx

Ct

Ct

dtt

t

dtdt

t

dtxdxdtxdxtx

x

xdx

222

133

33

2

32

)5(4

1

4

1

132

1

2

1

2

1

2

1

2,2,5

)5(.

7). Найти

dxxx100

2

Решение:

C

xxC

ttdttdtt

dtttdttt

dxdt

tx

tx

dxxx

101

22

102

2

1012

1022

22,2

,2

2

101102101102100101

100101100100

8).

2

1

4 )825( dxxx =

=

26)12(8

)12()12(882

*25

*5825 2255

1

2

1

2

2

1

2

5

1

2

1

22

1

22

1

2

1

2

1

54

xxxxxx

dxxdxdxx

9) Вычислить

3

2

xdx

Решение:

29

2

5

2

4

2

9

2

2

2

3

2

223

2

23

2

x

xdx


1

1

12 dxx

Решение:

20211112

21222

1

1

21

1

1

1

2

xxxx

dxx


2

1

4 825 dxxx

Решение:

266208111643218112822

882

25

5825

2525

2

1

25

2

1

252

1

4

xxxx

xxdxxx


2

1

312 dxx

Решение:

68816258

135

8

1112122

8

1

128

1

8

1

42

1

2

1

2

1

2

1

,2

,12

12

4444

2

1

4

2

1

4

2

1

42

1

3

2

1

3

2

1

3

xtt

dttdtt

dtdx

dxdt

xt

dxx


4

0

)2cos(

dxx

30

Решение:

2

101

2

10sin

2sin

2

102sin

42sin

2

1

2sin2

1sin

2

1cos

2

1

2

1cos

2

1

,2

,2

)2cos(4

0

4

0

4

0

4

0

4

0

xttdtdtt

dtdx

dxdt

tx

dxx

14). Найти:

2

2)cos1(

sin2

x

xdx.

Решение: Воспользуемся подстановкой u= xcos1 , откуда xdxdu sin . Затем

найдем новые пределы интегрирования; подставляя в равенство u= xcos1

значения 2

1

x и 2x , соответственно получим 1

2cos11

u и 2cos12 u .

Запись решения выглядит так:

2

2)cos1(

sin2

x

xdx=

=

1212222cos1;sin

12cos1,cos1 2

1

2

1 1

2

12

22

1

u

u

u

u

uduuu

du

uxdxdu

uxu

.

15). Найти:

1

0

253 )14( dxxx .

Решение:

1

0

253 )14( dxxx =511*4

;12

1

,12

110*4,14

3

22

2

3

1

3

tdtdxx

dxxdt

txt

= =

217)15(72

1

6*

12

1

12

1 66

1

565

1

5 t

dtt .

16) Найти:

1

0

4

3

15x

dxx.

Решение:

31

1

0

4

3

15x

dxx=

;20

1

11*5,20

110*5,15

3

4

2

3

4

1

4

dtdxx

tdxxdt

txt

= 6ln20

1)1ln6(ln

20

1ln

20

1

20

1

1

66

1

tt

dt.

17). Найти: e

x

xdx

1

2ln3.

Решение: e

x

xdx

1

2ln3=

1ln,

01ln,ln

2

1

etdtx

dx

ttx

= 13

1

0 0

1

32 tdtt .

5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями с

помощью определенного интеграла:

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Решение: Построим данную фигуру

Найдем точки пересечения параболы с :

,

,

, .

Найдем координаты вершины параболы , ,

. Итак, – вершина.

(кв.ед.)

22 xxy 0y

OX

02 2 xx

02 xx

0x 2x

00; yx

112

2

20

a

bx

1112 20 y 1;1

3

00

3

22

33222

32

32

2

0

32

2

0

2

0

322 x

xxx

dxxxS

3

11

3

2240

3

84

у

О 1 х

32

Ответ: (кв.ед.)

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение: Построим сначала график функции с вершиной в точке

и ветвями параболы, направленными вверх.

Затем построим график функции .

Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого решим уравнение

,

,

Из рассмотренных четырех типов задач на нахождение площадей плоских

фигур, данная задача относится к третьему типу, следовательно

(кв.ед.)

Ответ: (кв.ед.)

3

11S

12 2 xy 2xy

2xy

0;0

12 2 xy

22 12 xx

12 x1x

b

a

dxxgxfS )()(

3

11

3

11

3

11

3

11

3

11

3

11

3

111212

331

1

3

1

1

21

1

21

1

221

1

22

xx

dxxdxxdxxxdxxxS

3

11

3

22

3

11S

у

–1 1 х

33

3). у = х2, у=0, х = 2 и х = 3.

В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции,

ограниченной параболой .у=х2, прямыми х=2 и х = 3 и осью Ох . По формуле

находим

4). у=-х2+4 и у=0.

Выполним построение фигуры . Искомая площадь заключена между параболой

у=-х2+4и осью Ох.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у=0, найдем х=±2. Так

как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры,

расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим:

.).(3

210

3

1522

.);.(3

154

3)4(

1

2

0

2

0

32

1

едквSS

едквxx

dxxS

6.Найдите общее решение дифференциального уравнения:

1). -

общее решение в неявной форме.

- решение в явном виде.

2). - общее решение в неявной форме.


3). -общее решение в

неявной форме.


4). Найти частное решение дифференциального уравнения:

, если у=4 при х=1.

Решение:

- общее решение.

.).(3

16

3

3

2

3

2

32 едкв

xdxxS

2222

2,22

),(,,0 xCyCyx

ydyxdxydyxdxydyxdx

22 xCy

Cxydxxydydxxydy 3222 ,32,32

Cxy 3

Cxxydxxydydxxydy 3222 ,)31(2,)31(2

Cxxy 3

dxxdy )1( 2

Cxx

ydxxdy 3,)1(

32

34

Подставим 3

14,1

3

14 СС ,тогда - частное решение.

5). .

5).

1. Производная выражена через дифференциалы.

2. .

3. .

4.

Пусть , тогда

6). .

1. Заменим на , получим:

.

2. .

3. .

4. Cx

yCx

yxdx

y

dy

2

2

2

2,

2

1,

7).


2. .

3

14

3

3

xx

y

)1(1

,ln1ln1ln,1ln1ln,11

,11

xCy

CxyCxyx

dx

y

dy

x

dx

y

dy

0)1()1( 22 dyxydxyx

dyxydxyx )1()1( 22

11 22

y

ydy

x

xdx

11 22 y

ydy

x

xdx

1

22

21ln

2

1ln

2

1

22,2,1

1CxCt

t

dtdtxdxdtxdxtx

x

xdx

2

22

21ln

2

1ln

2

1

22,2,1

1CyCt

t

dtdtydydtydyty

y

xdx

CCC ln2

121

Cyx

Cyx

)1)(1(

,ln2

11ln

2

11ln

2

1

22

22

2xyy

ydx

dy

2xydx

dy

dxxydy 2

xdxy

dy

2

02)1( 2 xydxdyx

xydxdyx 2)1( 2

35

3. .

4.

,

Пусть , тогда

8). .

1. Заменим на , получим:

.

2. Умножим все уравнение на :

.

Сгруппируем: .

Запишем полученные выражения в разных частях:

3. Разделим переменные:

.

4. Интегрируем обе части: .

.

9). , если у=4, х=1.


2.

3. .

4. ,

21

2

x

xdx

y

dy

21

2

x

xdx

y

dy

1

2

1

2

21lnln2,1

1

2CxCt

t

dtdtxdxtx

x

xdx

2ln Cyy

dy

CCC ln21

C

xy

Cyx

Cyx

1

,)1(

,lnln1ln

2

2

2

01 yxyy

ydx

dy

01 dx

dyxy

dx

dy

dx

0 xdyydxdydx

0)1()1( dxydyx

dxydyx )1()1(

x

dx

y

dy

11

x

dx

y

dy

11

11

,1

1,ln1ln1ln,11

x

Cy

x

CyCxy

x

dx

y

dy

dyxydx )1(2

dyxydx )1(2

y

dy

x

dx

1

2

CyxCyxCyxy

dy

x

dx

22

)1(,lnln1ln,ln1ln2,1

2

36

5. Так как у=4 и х=1, то (1+1)2=С∙4, С=1

Значит частное решение при С=1 имеет вид: .

10). , если у=2, х=0


2. .

3. .

4.

5. Так как у=2, х=0, то: 2=С(1+03), С=2

Значит частное решение при С=2 имеет вид: .

2)1( xy

ydxxdyx 23 3)1(

ydxxdyx 23 3)1(

3

2

1

3

x

dxx

y

dy

3

2

1

3

x

dxx

y

dy

)1(,ln1lnln,ln

,1lnln3,11

3

33

2

1

3

1

23

3

2

xCyCxyCyy

dy

CxCtt

dtdtdxxtx

x

dxx

)1(2 3xy

37

Литература.

Основная:

1. В.Т. Лисичкин «Математика». Москва «Высшая школа» 2009г.

2. В.П. Омельченко «Математика». Ростов-на-Дону. «Феникс» 2010г.

3. С.Г. Григорьев «Математика». Москва «ACАDEMA» 2010г.

Дополнительная:

1. И.Л. Зайцев «Элементы высшей математики». Москва «Наука» 1987г.

2. Н.В. Богомолов «Практические занятия по высшей математике».

Москва «Высшая школа» 2012г.

38

Приложение 1. Правила и формулы дифференцирования

1. С/=0, С – постоянная 4. 1

x

2. /wvuwvu 5. // uvvuuv

3. /CuCu , С – постоянная

6. 2

//

u

uv-vu

v

u

Формулы дифференцирования

Основные элементарные функции Сложные функции

1. 1. /uu

1lnu

2. 2. /

a ualnu

1uglo

3. 3. /1nn uunu

4. 4. /uu2

1u

5. 5. /uu ualnaa

6. 6. /uu uee

7. 7. /ucosunusi

8. 8.

9. 9. /

2u

ucos

1xtg

10. 10.

11. 11.

12. 12.

13. 13.

14. 14. /

2u

u1

1arcctgu

x

x1

ln

ax

xaln

1log

1 nn xnx

x

x2

1

aaa xx ln

xx ee

xx cossin

xx sincos /usinusuco

x

x2cos

1tg

x

x2sin

1ctg

/

2u

uins

1xctg

21

1arcsin

xx

/

2u

u1

1arcsinu

21

1arccos

xx

/

2u

u1

1arccosu

21

1arctg

xx

/

2u

u1

1arctgu

21

1arcctg

xx

39

Приложение 2. Таблица основных неопределенных интегралов

1.

Cn

xdxx

nn

1

1

1n ,

2. Cxdx ,

3. Cxx

dxln ,

4. Ca

adxa

xx

ln,

5. Cedxe xx ,

6. Cxxdx cossin ,

7. Cxxdx sincos ,

8. Cxxdx coslntg ,

9. Cxxdx sinlnctg ,

10. Cxx

dxtg

cos2,

11. Cxx

dxctg

sin2,

12.

Ca

x

xa

dxarcsin

22,

13.

Ca

x

aax

dxarctg

122

.

40

Приложение 3. Основные формулы для нахождения площадей плоских

фигур:

О

y

x

y = f(x)

a b

1.

О

y

x

y = f(x)

a b

2.

О

y

y = f(x)

a b

3.

y = g(x)

О

y

y = f(x)

a b

4.

y = g(x)

c

23.02.06. · 1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО...

Documents