Trabajo Colaborativo 1

Calculo Diferencial

Grupo: 45

Presentado a:

Joan Sebastián Bustos

Presentado por:

Michael Yesid Martínez

Código: 94482269

Universidad Nacional abierta y a distancia – UNADEscuela de ciencias básicas, tecnología e ingeniería

Julio de 2014

1) Determine si la sucesión {3n (−1 )n

n+1 }es convergente o

divergente.

Para establecer la convergencia de la sucesión evaluamos el límite para comprobar la existencia o no del mismo.

limn→∞

3n (−1 )n

n+1

Por propiedades de los límites la constante sale del límite

3 limn→∞

n (−1 )n

n+1

3 limn→∞

nn+1

. (−1 )n

Por propiedades de los límites el límite de un producto es el producto de los límites.

3 limn→∞

nn+1

. limn→∞

(−1 )n

*limn→∞

n

n+1 = 1 Por regla de Hopital. Tipo (infinito/infinito)

*limn→∞

(−1 )n = NE por ser una función alternante

Por tanto:

3 [(1). (NE)] = NE

R/ La sucesión es divergente.

2) Sucesiones monótonas. Demostrar que W n={ nn+1 } es

estrictamente creciente o decreciente.

W n={ nn+1 }

W n+1={ (n+1)(n+1)+1 } ¿ (n+1)(n+2)

Por definición

Sucesión estrictamente Creciente ¿ an+1> an

Sucesión Decreciente ¿ an+1⩽ an

Desarrollando la desigualdad tenemos:

an ( ¿ ) an+1

nn+1 ( ¿ )

(n+1)(n+2)

n (n+2) ( ¿ ) (n+1)(n+1)

n2 + 2n ( ¿ ) n2 + 2n + 1

Restando n2 + 2n a los dos lados de la desigualdad

0 ( ¿ ) 1

Con esta expresión podemos definir que:

0 ( < ) 1

Concluimos que la sucesión es estrictamente creciente ya que an < an+1.

3) Hallar el termino general de las siguientes progresiones, manifieste si son aritméticas o geométricas.

c0 ¿ { 12 , 34,1 ,54

, 32,…}

Identificamos que la diferencia entre números es:

D¿ 14

{ 12+ n−14

}, Desde n=1

Realizando la suma de fraccionarios

{ 4+2n−2

4 }, Desde n=1

Reduciendo la expresión

{ 2(n+1)8

}, Desde n=1

Simplificando concluimos que:

c0=¿ { (n+1)4

}, Desde n=1 Es una progresión aritmética.

4) Hallar el termino general de las siguientes progresiones, manifieste si son aritméticas o geométricas.

c0 ¿ {1,−12,13,−14,15,…}

c1=11 , positivo

c2= - 12 , negativo

c3 = 13 , positivo

c4 = −14

, negativo

c5 = 15 , positivo

.

.

.

.

.

cn = 1n

(−1 )n+1 , desde n=1

Tenemos un producto de la función alternante que modifica el signo de la sucesión, con una función de cociente simple. La Progresión es Aritmética.

5) Hallar el termino general de las siguientes progresiones, manifieste si son aritméticas o geométricas.

c0 ¿ { 2,2√33

, 23 2√39

}

c1=2

Multiplicando por la razón

c2=c1 .(√33 )1

c3=c1 .(√33 )1

. (√33 ) = c1 .(√33 )2

c4=c1 .(√33 )2

. (√33 ) = c1 .(√33 )3

.

.

.

.

.

cn=c1 .(√33 )n−1

Progresión Geométrica con razón r = (√33 )

6) Cuál es la suma de los números múltiplos de 9 menores o iguales a 2304. Cuantos términos hay?.

an=3,6,9,12,15……2304.

Para hallar el número de términos:

an=a1+(n−1 )d

2304=3+(n−1 )3

2304−3=(n−1 )3

23013

=(n−1 )

767=(n−1 )

767+1=n

n=768

La suma de los términos corresponde a:

sn=n (3+an )2

sn=768 (3+2304 )

2

sn=885.888

7. La suma de los números pares de cuatro cifras. ¿Cuántos términos hay?

an{1000;1002 ;1004 ;……9998 }

Sabemos que es una sucesión aritmética, bien ahora decimos

an=a+(n−1)d

Sabemos que la diferencia equivale a 2, d=2

an=1000+(n−1)2

an=1000+2n−2

an=2n+998

Para hallar cuantos n, para realizar esta fórmula usamos

Sn=n2(a1+an)

Entonces

9998=2n+8

9998−8=2n

9990=2n

n=99902

n=4995

Ahora,

S4995=49952

(1000+9998)

S4995=49952

(10998)

S4995=27467505

8) En una progresión aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66. Hallar el primer término y la diferencia común de la progresión.

a3=24 a10=66 a1=? d= ?

an=a1+(n−1 )d a10=a1+(n−1 )d

a3=a1+(3−1 )d 66¿a1+(10−1 )d

24=a1+ (2 )d 66¿a1+(9 )d

−a1=2d−24 1. a1=−9d +66 2.

Igualando tenemos

−a1=2d−24 Multiplicamos por 9.

a1=−9d +66 multiplicamos por 2.

−9a1=18d−216

2a1=−18 d + 132

−7a1=−84

a1=−84−7

a1=12

Reemplazando tenemos

−a1=2d−24

−12=2d−24

−12+24=2d

d=122

d=6

9) El caracol gigante africano (GAS en inglés) fue encontrado por primera vez en el sur de Florida en la década de los 60. La erradicación de esta plaga llevó diez años y costó un millón de

dólares. Se reproduce rápidamente y produce alrededor de 1200 huevos en un solo año. Si no se le controla, si de cada huevo resulta un caracol, sabiendo que en una granja del Meta se encontraron inicialmente 5000 caracoles. ¿Cuántos caracoles gigantes africanos existirían dentro de 10 años? No olvide usar los conceptos y fórmulas de las sucesiones y progresiones.

Si por cada caracol anualmente se producen 1200 huevos que a su vez generan un caracol, el término general de la progresión será:

Co=[5000∗(1200n )]

Por lo que,

n₁₀=5000∗(120010)

n₁₀=5000∗(6191736422400000000000000000000)

n₁₀=3095868211200000000000000000000000

Al cabo de 10 años existirán 3095868211,2∗1025 caracoles

10) En la granja de la UNAD en Acacias se quiere saber cuál es el ingreso por la venta de un lote de 1.850 cerdos, cuyo peso promedio es de 20 kg, los cuales tendrán un tiempo de engorde de 120 días. Durante los primeros 30 días los animales aumentarán de peso en promedio 1 kg por día y en los otros 90 días su aumento será de 450 g por día.

El precio del kg de cerdo en pie es de $2.950

Co= n≤30=1kg30<n≥90=450g

Co=1850 [n₃₀+n₉₀] $2980

Co=1850∗[30∗1Kg+90∗450g ]∗2980

Co=1850∗[30Kg+40,5Kg ]∗2980

Co=1850∗[70,5Kg ]∗2980

Co=1850∗[70,5Kg ]∗2980

Co=130425∗2980

Co=388666500