99

2.4. Alıştırmalar(Monoton Diziler)

1) e1=0 ve n>1 içinn

n ne

-

÷øö

çèæ -=

11 şeklinde tanımlanan (en) dizisinin yakınsak olduğunu

gösteriniz ve limitini bulunuz.

Çözüm. 1,01 ³= ne için1

111

+

+ ÷øö

çèæ +=

n

n ne şeklinde yazabiliriz. Çünkü 2³n için,

nn

n

n

n

nn

nn

n nnn

nn

nn

nnn

nn

e ÷øö

çèæ

-+=÷

øö

çèæ

-=

-=

-=

÷øö

çèæ -

=÷øö

çèæ -

=÷øö

çèæ -=

--

111

1)1()1(1

11111

şeklinde yazılabilir. Burada n yerine n+1 yazılırsa1

111

+

+ ÷øö

çèæ +=

n

n ne elde edilir. Ayrıca

÷øö

çèæ +×÷

øö

çèæ +=÷

øö

çèæ +=

¥®¥®

+

¥®+¥® nnne

n

n

n

n

nnn

11lim11lim11limlim1

1

eenn n

n

n=×=÷

øö

çèæ +×÷

øö

çèæ +=

¥®¥®111lim11lim

dir. Diğer taraftan nnnnee

¥®+¥®= limlim 1 olduğundan,

en

en

nnn=÷

øö

çèæ +=

-

¥®¥®

11limlim elde edilir.

2)n

n na

211 ÷øö

çèæ += genel terimi ile verilen (a n ) dizisinin limitini bulunuz.

Çözüm.nn

n

n

nnn nnna ÷

øö

çèæ +×÷

øö

çèæ +=÷

øö

çèæ +=

¥®¥®¥®

1111lim11limlim2

211lim11lim eeenn

n

n

n

n=×=÷

øö

çèæ +×÷

øö

çèæ +=

¥®¥®

3) aann=

¥®lim ise her INrÎ için rr

naa

n=

¥®lim olduğunu gösteriniz

Çözüm. r=1 için aşikar.

r=2 için nnnnnaaa .limlim 2

¥®¥®=

2lim.lim aaaaa nnnn=×==

¥®¥®

olup doğrudur.

r için doğru olduğunda r+1 için doğru olduğunu gösterelim. r için doğru olması demekrr

nnaa =

¥®lim eşitliğinin doğru olması demektir. Çarpımın limiti limitler çarpımına eşit olduğundan,

MatematikNet.Com

100

11 limlimlimlim +

¥®¥®¥®

+

¥®=×=×=×= rr

nn

rnnn

rnn

rnn

aaaaaaaa

bulunur ki r+1 için de eşitliğin doğruluğu elde edilir. O halde tümevarım prensibinden dolayı

aann=

¥®lim olduğunda her INrÎ için rr

nnaa =

¥®lim eşitliği doğrudur.

4) Her INnÎ için 0¹na ve 0¹a olmak üzere aann=

¥®lim ise her ZÎr için

rrnn

aa =¥®

lim olduğunu gösteriniz.

Çözüm. Her INrÎ için eşitliğin doğruluğunu göstermiştik. r=0 için 10 =na olduğunda

00 11limlim aannn

===¥®¥®

olup eşitlik doğrudur. Şimdi de her negatif tamsayı için eşitliğin doğru

olduğunu gösterelim. p herhangi bir negatif tamsayı olsun. INrÎ olmak üzere p=-r şeklinde

yazabiliriz. Bu takdirde prrr

nnrn

nr

nnpn aaaa ====== -

¥®¥®

-¥®¥® aaa

1lim

11limlimlim n

elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.

5) Her INnÎ için 0>na ve 0¹a olmak üzere aalim nn =¥® ise her Qr Î için

rrnn aalim =¥® olduğunu gösteriniz. Çözüm. Herhangi bir Qr Î verilsin. ZpÎ ve

INqÎ olmak üzereqpr = şeklinde yazılabilir. ( )na yakınsak dolayısıyla Cauchy şartını

sağlar. Bundan dolayı ( )q/na1 dizisi de Cauchy şartını sağlar ve dolayısıyla yakınsaktır. Diğer

taraftan,

( ) ( )qq/nn

qq/nnnn alimalimalima 11

¥®¥®¥® ===

olduğundan q/q/nn aalim 11 =¥® dur. Buradan,

( )pqnn

qpnn

rnn aaa /1/ limlimlim ¥®¥®¥® ==

( ) rpq aaaqp

===//1

dir. Bu da ispatı tamamlar.

6)n

n na ÷

øö

çèæ +=

311 genel terimi ile verilen ( )na dizisinin limitini bulunuz.

Çözüm.

313

311

311

/n

n

n

nnn nlim

nlimalim

úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ +=÷

øö

çèæ += ¥®¥®¥®

= 31313

311 /

/n

n en

lim =úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ +¥®

101

bulunur. Çünkü ÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷øö

çèæ +

n

n

3

311 dizisi ÷

÷

ø

ö

çç

è

æ÷øö

çèæ +

n

n11 dizisinin bir alt dizisi olduğundan,

en

limn

limn

n

n

n =÷øö

çèæ +=÷

øö

çèæ + ¥®¥®

11311

3 dir.

7) ¥®n iken +¥®np oluyorsa ep

limnp

nn =÷÷

ø

öççè

æ+¥®

11 olduğunu gösteriniz.

Çözüm. Her INnÎ için np den küçük ya da eşit en büyük tamsayıyı [ ]np ile gösterelim.

[ ] nn kp = yazalım. +¥=¥® nn plim olduğundan mn ³ olduğunda 1³np olacak şekilde bir

INmÎ vardır. Ayrıca her INnÎ için 1+<£ nnn kpk dir. Buna göre mn ³ olduğunda

nnn kpk1111

111 +£+<+

+ ve dolayısıyla

11111

111

+

÷÷ø

öççè

æ+£÷÷

ø

öççè

æ+<÷÷

ø

öççè

æ+

+nk

n

np

n

nk

n kpk olur.

( )÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ÷÷ø

öççè

æ+=

nk

nn p

b 11 , ( )1

11+

÷÷ø

öççè

æ+=

nk

nn k

c ve ( )np

nn p

a ÷÷ø

öççè

æ+=

11 yazalım. Bu taktirde

mn ³ için nnn cab £< eşitsizliği sağlanır ve

111

111.

111

lim1

11limlim

++

÷÷ø

öççè

æ+

+÷÷ø

öççè

æ+

+=÷÷

ø

öççè

æ+

+= ¥®¥®¥®

n

n

k

nn

k

nnnn

k

kkk

b

n

n

)1

11(lim

111lim

111

111

lim

11

++

÷÷ø

öççè

æ+

+

=

++

÷÷ø

öççè

æ+

+

=

¥®

+

¥®

+

¥®

nn

k

nn

n

k

nn

k

k

k

k

nn

ee==

1

÷÷ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ+=÷÷

ø

öççè

æ+= ¥®

+

¥®¥®n

nk

nn

nk

nnnn kk

limk

limclim 1111111

eekk n

n

k

nn

n

==÷÷ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ+= ¥®¥® 1.11lim.11lim

102

olur ki sıkıştırma teoreminden dolayınp

nn k

lim ÷÷ø

öççè

æ+¥®

11 =e elde edilir.

8) Reel terimli monoton azalan ve alttan sınırlı her dizinin yakınsak olduğunu ispatlayınız.

Çözüm. ( )na reel terimli monoton azalan ve alttan sınırlı herhangi bir dizi olsun. ( )na dizisi alttan

sınırlı olduğundan infimumu vardır. inf ( ) b=na diyelim. Şimdi her INnÎ için nn ab -=

yazalım. Bu taktirde ( )na monoton azalan olduğundan, her INnÎ için nn aa £+1 dir. Buradan

her INnÎ için 1+-£- nn aa olur. O halde ( )nb dizisi monoton artandır. b=nainf

olduğundan her INnÎ için b³na dır. Buradan her INnÎ için b-£- na olur. Dolayısıyla

( )nb dizisi üstten sınırlı olur. Monoton artan ve üstten sınırlı her dizi yakınsak olduğundan ( )nb

dizisi yakınsaktır.

bblim nn =¥®

diyelim. Bu taktirde

( ) nnnnnn blimalimalim -=--= ¥®¥®¥®

bblim nn -=-= ¥®

elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.

9) 10 << a olduğuna göre )()a( nn a= dizisinin monoton azalan ve alttan sınırlı olduğunu

gösteriniz. (Yol Gösterme: Her nÎIN için n1

1n a.a == <= ++

nnn aaaa ve dolayısıyla

n1n aa <+ olduğundan )a( n dizisi monoton azalan olur. Her nÎIN için 0a n > olduğundan

)a( n dizisi alttan sınırlıdır. )a( n dizisi monoton azalan ve alttan sınırlı olduğundan yakınsaktır.

Diğer taraftannnanananannn aa limlimlimlim .1

1 ¥®=¥®=+¥®=

+¥® eşitliği

sağlandığından ve her zamannnnn aa limlim

1 ¥®=+¥® olacağından 0alim =¥® nn

bulunur.).

10) 1<a ise )()a( nn a= dizisi yakınsaktır. İspat ediniz.

Çözüm. a=0 ise sonuç aşikar. 0¹a kabul edelim. Bu taktirde 10 << a olur. Buradan

11>

a elde edilir. Buna göre 0>a olmak üzere a+= 11

a şeklinde yazılabilir. Buradan

a+=

11a elde ederiz. Buna göre,

( ) nn

nn

nnnn

aaaaaa÷÷ø

öççè

æ++÷÷

ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ+

=+

==...

211

11

1

2

103

bulunur. Binom katsayıları ve a pozitif olduğundan binom katsayısı ile a nın çarpımı da pozitiftir.

Pozitif ifade bir kesrin paydasından atılırsa kesir büyüyeceğinden

21

1

1

a=

a÷÷ø

öççè

æ<

nnan

bulunur. Buradan,

21a

<n

an

yazılır. Sıkıştırma teoreminden dolayı, 0=¥®n

n alim ve dolayısıyla 0lim =¥®n

n a elde edilir.

11) ( )na monoton artan bir diziyse ÷ø

öçè

æ +++n

a,,,aa n21 dizisinin de

monoton artan olduğunu gösteriniz.(Yol Gösterme:n

aaant

n+++=

,,,21 yazalım.

nnnananannnannanana

nnaaa

nnanaaa

ntnt )1(

)1(...2)1(1)1(1...21...211

1...211 +

+--+-+-+

++++=

+++-

++

++++=-

+

)1(

)(...)2()1(

)1(1...21 111

+

-++-+-=

++

+-+--=

+++

nnnaaaaaa

nnnnanaaa nnn

>0

bulunur.).

12) +¥=¥® nn alim ise +¥=÷ø

öçè

æ +++¥® n

a,,,aalim n

n21 olduğunu gösteriniz.

13) ( )na monoton azalan bir diziyse ÷ø

öçè

æ +++n

a,,,aa n21 dizisinin de monoton azalan olduğunu

gösteriniz.

14) -¥=¥® nn alim ise -¥=÷ø

öçè

æ +++¥® n

a,,,aalim n

n21 olduğunu gösteriniz.

15) ( )na alttan sınırlı bir dizi olduğuna göre ( )nn asupainf --=

olduğunu gösteriniz.

16) ( )na üstten sınırlı bir dizi olduğuna göre ( )nn ainfasup --=

olduğunu gösteriniz.

17) ( )na v e ( )nb sınırlı diziler olmak üzere,

( ) ( ) nnnnnnnn bsupasupbasupbainfbinfainf +£+£+£+

eşitsizliğinin sağlandığını ispatlayınız.

104

18) ( ))n()n(.........

n.........an 221264232753++

+= genel terimi ile verilen ( )na dizisinin monoton azalan

olduğunu ispatlayınız.

19) n

n

na31

3+

= genel terimi ile verilen )( na dizisinin monoton artan olup olmadığını gösteriniz.

Nedenini açıklayınız.

20)1425

+-

=nnan genel terimi ile verilen )( na dizisinin monoton artan olup olmadığını gösteriniz.

Nedenini açıklayınız.

21) 0lim =¥® nn a , 0lim =¥® nn b ve )( nb dizisi monoton azalan olsun. Eğer

1

1lim+

+¥® -

-

nn

nnn bb

aa mevcutsa

n

nn b

a¥®lim limiti de mevcuttur ve

1

1limlim+

+¥®¥® -

-=

nn

nnn

n

nn bb

aaba

dir. İspat ediniz. (Yol Gösterme: a=--

+

+¥®

1

1limkk

kkk bb

aa

yazalım. Bu takdirde her Î pozitif sayısı için 0kk ³ olduğunda <Î---

+

+ a1

1

kk

kk

bbaa

olacak

şekilde Î sayısına bağlı bir 0k sayısı vardır. Buradan 0kk ³ olduğunda

Î+<--

Î<-+

+ aa1

1

kk

kk

bbaa

elde edilir. )( nb dizisi monoton azalan olduğundan her kÎIN için

kk bb <+1 dir. Buradan her kÎIN için 01 >- +kk bb dır. Yukarıdaki eşitsizliğin her üç yanını

1+- kk bb ile çarparsak, 0kk ³ olduğunda ))(())(( 111 +++ -Î+<-<Î-- kkkkkk bbaabb aa

elde edilir. 0knm ³> olmak üzere k=n den k=m ye kadar her üç terimin toplamı alınırsa,

ååå-

=+

-

=+

-

=+ -Î+<-<-Î-

1

1

1

1

1

1 )()()()()(m

nkkk

m

nkkk

m

nkkk bbaabb aa bulunur.

))(()())(( mnmnmn bbaabb -Î+<-<-Î- aa Bu son eşitsizliğin her üç yanını nb ile

bölersek,n

mn

n

mn

n

mn

bbb

baa

bbb -

Î+<-

<-

Î- )()( aa Buradan da

)1)(()1)((n

m

n

m

n

n

n

m

bb

ba

ba

bb

-Î+<-<-Î- aa bulunur. n yi sabit tutup ¥®m iken limit

alınırsa Î+<Î<- aan

n

ba

bulunur. Böylece 0kn ³ olduğunda Î+<Î<- aan

n

ba

elde

etmiş olduk. O halde a=¥®

n

nn b

alim elde ettik. Bu da çözümü tamamlar.

105

22) +¥®¥® nbikenn ve )( nb dizisi monoton artan olsun. Eğernn

nnn bb

aa--

+

+¥®

1

1lim

mevcutsan

nn b

a¥®lim limiti de mevcuttur ve

nn

nnn

n

nn bb

aaba

--

=+

+¥®¥®

1

1limlim dir. İspat ediniz.

(Yol Gösterme: b=--

+

+¥®

kk

kkk bb

aa

1

1lim diyelim. b=¥®

n

nn b

alim olduğunu göstereceğiz. Bunu

yapmak için herhangi bir Î pozitif sayısı alalım. +¥®¥® kbikenk olduğundan 1kk >

olduğunda 0>kb olacak şekilde bir 1k sayısı vardır. Diğer taraftan, b=--

+

+¥®

kk

kkk bb

aa

1

1lim

olduğundan dolayı 2kk > olduğunda <Î---

+

+ bkk

kk

bbaa

1

1 olacak şekilde bir 2k sayısı vardır.

Şimdi 0},max{ 21 kkk = yazalım. Bu takdirde 0kk > olduğunda <Î---

+

+ bkk

kk

bbaa

1

1 olur.

Buradan 0kk > olduğunda Î+<--

Î<-+

+ bbkk

kk

bbaa

1

1 olur. )( kb dizisi monoton artan

olduğundan, her INk Î için 01 >-+ kk bb dır. Bunu dikkate aldığımızda 0kk > olduğunda

))(())(( 111 kkkkkk bbaabb -Î+<-<-Î- +++ bb elde edilir. 0kn > olmak üzere k=n den

k=m-1 e kadar toplam alındığında

ååå -=

=

-=

=

-=

= -Î+<-<-Î- +++

111)()()()()( 111

mknk

mknk

mknk kkkkkk bbaabb bb

elde edilir. Bu ise ))(())(( nmnmnm bbaabb -Î+<-<-Î- bb demektir. Bu eşitsizlikte her yanı

pozitif mb ile bölersek,

m

nm

m

nm

m

nm

bbb

baa

bbb -

Î+<-

<-

Î- )()( bb

elde edilir. Buradan da )1)(()1)((m

n

m

n

m

m

m

n

bb

ba

ba

bb

-Î+<-<-Î- bb bulunur. n yi sabit tutup m

sonsuza giderken limite geçersek,

)(lim)( Î+<<Î- ¥® bbm

m

ba

m

bulunur ki buradan da b=¥®m

m

ba

mlim bulunur. Bu da ispatı tamamlar.).

MatematikNet.Com