95

2.4. Monoton DizilerBu kesimde terimleri ardışık olarak hep büyüyerek devam eden ya da terimleri ardışık

olarak hep küçülerek devam ederek değerler alan dizileri inceleyeceğiz.

2.4.1.Tanım (Monotonluk) Her INnÎ için 1+£ nn aa oluyorsa )( na dizisine

monoton artan dizi denir. Eğer her INnÎ için 1+³ nn aa oluyorsa )( na dizisine monoton

azalan (yada eksilen) dizi denir. Eğer her INnÎ için 1+< nn aa oluyorsa )( na kesin

olarak monoton artan dizi eğer her INnÎ için 1+> nn aa oluyorsa )( na dizisine kesin

olarak monoton azalan (veya eksilen) dizi denir.

Eğer )( na dizisi monoton azalan bir dizi ise her INnÎ için 1aan £ dir ve

)( na dizisi monoton artan bir dizi ise her INnÎ için naa £1 dir.

Örnek 1. ÷øö

çèæ=

nan

1)( dizisi monoton azalandır.

Gerçekten; her INnÎ için n<n+1 olduğundan,nn1

11

<+

dir, dolayısıyla her INnÎ

için nn aa <+1 elde edilir.

Örnek 2. )()( 2nan = dizisi monoton artandır. Çünkü her INnÎ için 22 )1( +< nn dir

2.4.2.Teorem. Monoton artan ve üstten sınırlı her dizi yakınsaktır.

İspat. Monoton artan ve üstten sınırlı herhangi bir dizi )( na olsun. )( na dizisi üstten sınırlı

olduğundan supremumu vardır. a=nasup diyelim. Şimdi )( na dizisinin a sayısına

yakınsadığını ispat edeceğiz.

Bunu yapmak için herhangi bir 0>e alalım. a=nasup olduğundan0na<-ea

olacak şekilde bir n 0 sayısı vardır. Ayrıca her INnÎ için 1+£ nn aa olduğu hipotezde

verildiğinden n>n 0 olduğunda nn aa £0

dir. Böylece n>n 0 olduğunda

nn aa £<-0

ea özelliği sağlanır. Üstelik a sayısı )( na dizisinin bir üst sınırı

olduğundan her INnÎ için a£na dır. Bunu da göz önüne aldığımızda n>n 0

olduğunda eaea +<<- na elde edilir. O halde a=¥® nn

alim elde edilmiş olur. Bu da

teoremin ispatını tamamlar.

2.4.3.Sonuç. Monoton artan ve alttan sınırlı her dizi yakınsaktır.

İspat. Bu sonucun ispatı yukarıdaki teoreme benzer şekilde bir yol izleyerek

yapılabileceğinden okuyucuya bırakılmıştır.

MatematikNet.Com

96

Örnek 1.n

n ne ÷

øö

çèæ +=

11 genel terimi ile verilen )( ne dizisinin yakınsak olduğunu

gösterelim. Bunu göstermek için )( ne dizisinin monoton artan ve üstten sınırlı olduğunu

ispat edeceğiz. Önce monoton artan olduğunu gösterelim.

Bunun için de her INnÎ için 1+< nn ee veya 11 >+

n

n

ee

olduğunu göstermeliyiz. Şimdi

n

n

n

n

n

ne

e

÷øö

çèæ +

÷øö

çèæ

++

=

+

+

11

111

1

1 ifadesini göz önüne alalım. Bu ifadenin paydasının11+ ile

çarparsak kesirli ifadenin hem payı hem de paydası aynı kuvvetten olacaktır. Bu durumda ,

1

11

1

11

1

112

112

11

111

11

111

1111

111

11

+

++

+

++

+úû

ùêë

é÷øö

çèæ

+×÷øö

çèæ

++

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

+++

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

+

++

=

÷øö

çèæ +

÷øö

çèæ

++

=

÷øö

çèæ +×÷

øö

çèæ +

÷øö

çèæ

++

=÷øö

çèæ +

n

nn

n

n

n

n

n

n

nn

nn

nnnn

n

n

n

n

nn

n

ne

e

111

)1(11

)1(1)1(

)1(2

)1()2(

1

2

1

2

21

2

21

2 +-³ú

û

ùêë

é+

-=úû

ùêë

é+

-+=ú

û

ùêë

é++

=úû

ùêë

é++

=++++

nnnn

nnn

nnn

nnnn

(Bernoulli eşitsizliğinden).

nnnn

nn

nn

ne

e

n

n

11

11

111

111

1111

1

+=

+=

+=

+-+

=+

->÷øö

çèæ +

Þ +

111

111

11 ñÞ÷øö

çèæ +

ñ÷øö

çèæ +

Þ ++

n

n

n

n

ee

nne

e

elde edilir. O halde ( )ne monoton artan bir dizidir. ( )ne dizisinin üstten sınırlı olduğunu da

şöyle gösterebiliriz:

n

n

nn

n

n

nnnnn

n nnnnnne 1111111 11332210

÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ++÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ=÷

øö

çèæ += --

K

[ ]nn nn

nnnnnn

nnnnn

nnnn

nnn

n!

)1()1()!1(

1)1()1(!3

)2)(1(!2

)1(11 132+--

+-

+---++

--+

-+×+= -

KKK

[ ]n

nnn

nnn

nnn

nn

nn

nn

nn 1)1()1(

)!1(1)2()1(

!31)1(

!2111 +---××

-++-×-××+-××++= LK

97

1111)!1(

1111!3

111!2

111)1()1()!1(

1LKL ×××

-++×××+××++<

+--××

-+

nnnn

nn

nn

n

3131111 <-=-++=nn

dür. O halde her INnÎ için 3<ne dür. Yani ( )ne dizisi üstten 3 sayısı ile sınırlıdır.

Monoton artan ve üstten sınırlı her dizi yakınsak olacağından, ( )ne dizisi yakınsaktır. Budizinin yakınsadığı sayı e ile gösterilir.

en

en

nnn=÷

øö

çèæ +=

¥®¥®

11limlim

dir. Bu e sayısı logaritmada kullanılan taban sayısıdır.

Örnek 2.nn

an1

11

41

31

211 +

-+++++= K genel terimi ile verilen dizi monoton artandır.

Fakat üstten sınırlı olmadığından yakınsak değildir. Gerçekten; her INnÎ için,

01

1>

+n olduğundan ve

11

111

11

41

31

2111 +

+=+

++-

+++++=+ na

nnna nn K

olduğu için nn aa >+1 dir. O halde (a n ) dizisi monoton artandır. Ancak (a n ) dizisi üstten

sınırlı değildir. Gerçekten herhangi bir K sayısı verilsin. 2([K]+1)=m diyelim. Bu takdirde,

n 0 =2 m için,

mmn nnaa m

21

121

31

2111

11

31

211

0020

+-

++++=+-

++++== KK

++++

++

+++++++++= --- )2

122

112

1()81

71

61

51()

41

31()

211( 122 mmm LK

[ ] [ ] KKKmmmm >+=+××=×=++++>+++

++ -- 1)1(2

21

21

21

21

21

21)

21

221

121( 11 KL

elde edilir. O halde (a n ) dizisi üstten sınırlı değildir. Dolayısıyla yakınsak değildir.

Örnek 3.!

1!3

1!2

1!1

11n

an +++++= K genel terimi ile verilen (a n ) dizisi monoton artan ve

üstten sınırlıdır.

Çözüm. (a n ) dizisinin monoton artan olduğu her INnÎ için 0)!1(

1>

+n ve dolayısıyla

nnn an

ann

a >+

+=+

++++++=+ )!1(1

)!1(1

!1

!31

!21

!1111 K

yani nn aa >+1 olmasından elde edilir.

98

Şimdi de (a n ) dizisinin üstten sınırlı olduğunu gösterelim. Her INnÎ için

nnnan )1(

14.3

13.2

12.1

111!

1!3

1!2

1!1

11-

++++++<+++++= KK

)11

1()41

31()

31

21()

211(11

nn-

-++-+-+-++= K

313 <-=n

olduğundan (a n ) dizisi üstten sınırlıdır. (a n ) dizisi monoton artan ve üstten sınırlı

olduğundan yakınsaktır.

2.4.3.Sonuç. Monoton azalan ve alttan sınırlı her dizi yakınsaktır.

İspat yukarıdaki teorem kullanılarak kolayca yapılabilir.

MatematikNet.Com