24620816-zbirka-rješenih-zadataka-c.pdf
DESCRIPTION
programiranje c++TRANSCRIPT
SVEU^ILI[TE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
Kajetan [eper redoviti profesor
Gra|evinskog fakulteta u Osijeku
Zlatko Pavi} asistent
Strojarskog fakulteta u Slavonskom Brodu
VEKTORSKA ANALIZA
SKALARNA I VEKTORSKA POLJA
VODI^ I ZADACI
Osijek 1997.
Gra|evinski fakultet u Osijeku
Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu
III
Predgovor
Vektorska analiza je naziv za diferencijalni i integralni ra~un skalarnih i vektorskih polja. To je matemati~ko podru~je izraslo iz primjena i potrebno je svakom fizi~aru i in`enjeru bilo koje struke: strojaru, elektrotehni~aru, gra|evinaru,..., jer mnogi tehni~ki nastavni predmeti pretpostavljaju osnovno znanje o poljima.
Na{a se knjigica sastoji od Vodi~a i Zadataka. Vodi~ predstavlja priru~na skripta za upoznavanje, prisje}anje, ponavljanje i zapam}ivanje pojmova, naziva i oznaka, pravila, pou~aka i formula vektorske analize. Moglo bi se re}i da je Vodi~ pro{ireni {alabahter. Zadaci predstavljaju zbirku ura|enih primjera i odabranih zadataka s rje{enjima i uputama za uvje`bavanje tog nastavnog sadr`aja. Vodi~ i Zadaci pretpostavljaju osnovno poznavanje realne aritmetike i vektorske algebre, diferencijalnog i integralnog ra~una realnih funkcija vi{e realnih argumenata te teorije obi~nih i djelomi~nih diferencijalnih jednad`bi.
Vodi~ je podijeljen na poglavlja I - XII. koja sa`eto predo~avaju nastavne cjeline. Jedino su poglavlja IV. Nabla i V. Delta opse`nija jer se u njima obja{njavaju razlozi uvo|enja ∇-izraza, odabira ∇-pravila i valjanosti rezultata ∇-ra~una. Poglavlje XII. Polja u ravnini pomo}no je sredstvo primjenljivo u posebnim istra`ivanjima.
Svako je poglavlje snabdjeveno primjerima P1, P2, ... , a to su rije{eni zadaci s uratkom u kojem se neposredno primjenjuju prethodne odredbe, pou~ci i formule, te zadacima Z1, Z2, ... za uvje`bavanje sa zavr{nim rje{enjima i mjestimice uputama danim pri kraju knjige.
Sa`etke je napisao i snabdio ih ~etirima slikama prvi autor, zadatke je pripremio i rije{io drugi autor, a primjere su zajedni~ki uradila oba autora
Vodi~ je napisan na temelju dugogodi{njeg nastavnog djelovanja i bilje`aka za predavanja iz vektorske analize koja je prvi autor dr`ao na Fakultetu strojarstva i brodogradnje Sveu~ili{ta u Zagrebu i Strojarskom fakultetu u Slavonskom Brodu Sveu~ili{ta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. Zadaci su ve}inom izvorni, a sastavljeni su tako|er iz Literature
IV
i bilje`aka za vje`be koje je drugi autor godinama dr`ao na Strojarskom fakultetu u Slavonskom Brodu.
Zahvaljujemo se mr. sc. Gizelli Gyarmati-Pavli} na provjeri ve}eg broja primjera i korisnim primjedbama. Na ulo`enom trudu i sugestijama zahvaljujemo se tako|er recezentima prof. dr. sc. Luki Krni} (Fakultet Strojarstva i Brodogradnje Zagreb), doc. dr. sc. Zdravku Virag (Fakultet Strojarstva i Brodogradnje Zagreb) te prof. dr. sc. Radoslavu Gali} (Elektrotehni~ki fakultet Osijek). Slavonski Brod, listopada 1996. K. [. i Z. P.
Minimalni program
Smatramo da student treba obvezatno prou~iti, nau~iti i uvje`bati rje{avati zadatke sljede}ih poglavlja:
I; II; III.1, 2; VI - XI. i barem IV. 1, 2, 4 te V. 3.
Za taj minimalni program potrebno je po prilici tridesetak sati predavanja i isto toliko sati vje`bi, a tako|er samostalno uraditi stotinjak zadataka. Pri tome se student mo`e posavjetovati s nastavnikom, asistentima i demonstratorima Katedre za matematiku.
Obi~no pak, a osobito do sada nakon mnogih “reformi” koje su smanjivale broj sati nastave matematike, a zahtijevale isti sadr`aj, broj sati predavanja i vje`bi za vektorsku analizu bio je premalen, a nastava prenapeta te tako i za nastavnike i za studente prete{ka.
V
Sadr`aj
Predgovor III
Minimalni program IV
Uvod 1
I. Polje 5
DIFERENCIJALNI VEKTORSKI RA^UN
II. Usmjerena derivacija 31
III. Usmjerena derivacija i gradijent
Divergencija i rotor
47
IV. Nabla 63
V. Delta 79
INTEGRALNI VEKTORSKI RA^UN
VI. Krivuljni integral 93
VII. Usmjerena gusto}a ophoda i rotor 117
VIII. Povr{inski integral 127
IX. Gusto}a optoka i divergencija 155
X. Integralne formule 165
XI. Potencijali 183
DODATAK
XII. Polja u ravnini 199
Rje{enja i upute 223
Literatura 243
Summary 245
Contents 249
1
Uvod
@elimo istaknuti da smo u Vodi~u dosljedno razlikovali invarijantna i analiti~ka razmatranja daju}i prednost invarijantnim. Izuzetak su analiti~ke odredbe divergencije i rotora sadr`ane ve} u Diferencijalnom vektorskom ra~unu, u poglavlju III.3, a koja se tek u Integralnom vektorskom ra~unu, u poglavljima VII i IX prirodno name}u i gdje su tada polja diva
r i rot a
r invarijantno odredljiva.
Invarijantna razmatranja neovisna su o koordinatnom sustavu
odabranom po volji te tako pokrivaju pojmovnu stranu vektorske analize i osnova su njezina razumijevanja i in`enjerskog primjenjivanja. Analiti~ka razmatranja pretpostavljaju koordinatni sustav pomo}u kojeg se sve tvorevine vektorske analize, po~etni podaci i odredbene veli~ine, odredbe, pravila i formule, izra`avaju koordinatama i analiti~kim jednad`bama te na taj na~in nose ra~unsku stranu i matemati~ku to~nost.
Treba tako|er istaknuti da se Vodi~ i Zadaci oslanjaju na op}u pretpostavku da su promatrana polja, posebice njihova podru~ja, te krivulje i povr{ine u podru~ju polja dovoljno pravilne tvorevine. Mjestimice se, osobito u Vodi~u, navode zna~ajke te pravilnosti.
U vektorskoj analizi se primjenjuju diferencijalna i integralna
metoda uvo|enja pojmova i dokazivanja pou~aka, pravila i formula. Nove se veli~ine, skalarna i vektorska polja, odre|uju na osnovu ve} poznatih veli~ina i pomo}nih podataka. Jednostavni se slu~aj poop}uje slu`e}i promi{ljanju o slo`enom slu~aju. Bitna je crta pri tome ispreplitanje obiju metoda koje se zajedni~ki nazivaju infinitezimalna metoda. Osniva~i infinitezimalnog ra~una bili su Newton (1643-1727), engleski fizi~ar i matemati~ar, i Leibniz (1646-1716), njema~ki filozof, matemati~ar i dr`avnik. Taj je ra~un pro`eo ponajprije teorijsku fiziku i tehniku, a kasnije gotovo sva znanstvena podru~ja i polja ne samo prirodnih nego i dru{tveno-humanisti~kih znanosti. Sve se to razvijalo pod latinskom krilaticom “Natura non facit saltus” {to u slobodnom prijevodu zna~i “U prirodi nema skokovitih promjena” ili “Prirodne su pojave neprekinute”.
Uvod 2
Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz
Primjena diferencijalne metode se odvija u dva koraka. U prvom se koraku proizvodi srednja vrijednost promatrane veli~ine na kona~nom komadu (kona~nom elementu): du`ini, luku krivulje, svodu povr{ine ili elementu prostornog podru~ja, koja je samo njezina pribli`na vrijednost. U drugom se zavr{nom koraku, pomo}u grani~nog prijelaza, proizvodi to~na (prava) vrijednost na “beskona~no malom komadu (infinitezimalnom elementu)”, skra}eno re~eno u to~ki, i tako se tra`ena veli~ina izra`ava derivacijom odre|enog tipa. Nastavak je analiti~ka pretvorba, na osnovu analiti~ki zadanih podataka, koja proizvodi ekvivalentnu analiti~ku formulu.
^etiri su osnovna diferencijalna operatora vektorske analize:
∂
∂ s :
ra
r
aa
s
∂
∂ tipa vektor → vektor,
grad : ϕ ϕa grad tipa skalar → vektor,
div : ra
ra diva tipa vektor → skalar,
rot : ra
ra rot a tipa vektor → vektor.
(Operator ∂∂ s
: ϕ ∂ ϕ
∂a
s tipa sklalar → skalar odredljiv je
pomo}u operatora grad : ∂ϕ
∂ϕ
ss grad= ⋅r0 .)
Uvod 3
Primjena integralne metode pone{to je slo`enija, a mo`e se
podijeliti u tri koraka. U prvom se koraku pomo}na tvorevina: krivulja,
povr{ina ili prostorno podru~je, rastavlja na kona~no mnogo manjih
komada (kona~nih elemenata) i promatrana se veli~ina pribli`no izra`ava
na svakom komadu. U drugom se koraku zbrajanjem promatrana
veli~ina jo{ uvijek pribli`no izra`ava. U tre}em se zavr{nom koraku,
grani~nim prijelazom (druga~ije slo`ene vrste od prije spomenute),
promatrana veli~ina izra`ava to~no, i to integralom odre|ene vrste.
Nakon toga i ovdje se mo`e govoriti o infinitezimalnom elementu
promatrane veli~ine. Skra}eno, promatrana se veli~ina pribli`no izra`ava
na kona~nom po volji odabranom elementu te se na temelju tog
pribli`nog kona~nog elementa promatrane veli~ine odmah zaklju~uje na
to~ni integralni izraz.
Tri su osnovna integralna operatora vektorske analize:
(...):
⋅∫ dstCr0
: [ ]ra
r rra a ds W a
C t⋅ =∫ :
0 tipa vektor → skalar
(hod u polju ra du` orijentirane krivulje C :
rt 0 ),
(... ):
⋅∫∫ dSnSr0
: [ ]ra
r rr
a a dS an
⋅ =∫∫ ΦS :
0 tipa vektor → skalar
(tok u polju ra kroz orijentiranu povr{inu S :
rn0 ),
(...)V∫∫∫ dV : [ ]q qdV Q qa =∫∫∫V tipa skalar → skalar
(koli~ina skalarne veli~ine gusto}e q u prostornom podru~ju V ).
Obje se metode isprepli}u pri odre|ivanju dvaju osnovnih opera-
tora tipa vektor → skalar : gusto}e ophoda
gophn : [ ]r
ar
rr r
a goph adW a
d Sn rot an = = ⋅0 ,
gdje je
[ ]W a a dsr r= ⋅∫C
(ophod ili cirkulacija u polju ra du` jednostavno zatvorene krivulje C
Uvod 4
oko to~ke T, u ravnini ili na povr{ini, pozitivno orijentirane prema
normalnom vektoru rn0 ) i gusto}e optoka
gopt : [ ]r
ar
rr
a gopt ad a
dVdiva= =
Φ,
gdje je
[ ]Φr ra a dS= ⋅∫∫S
(optok ili totalni fluks u polju ra kroz pozitivno orijentiranu jednostavno
zatvorenu povr{inu S oko to~ke T),
te pri dokazivanju triju osnovnih formula vektorske analize:
formule gradijenta (Newton-Leibnizove)
ϕ ϕ( , )( , )
A BA Bgrad ds= ⋅∫ C ,
formule rotora (Stokesove)
r rr a ds rot a dSt o
⋅ = ⋅∫∫∫ S CC ( ): ,
formule divergencije (Gaussove)
r ra dS diva dV⋅ = ∫∫∫∫∫ V SS ( )
Dvije su osnovne relacije me|u poljima:
ra grad= ϕ i
r ra rot= Φ .
Prvom se odre|uje potencijalno polje ra s pridru`enim sklalarnim
potencijalom ϕ, a drugom solenoidalno polje ra s pridru`enim
vektorskim potencijalom rΦ .
Za dovoljno pravilna polja gornje su relacije ekvivalentne uvjetima
rot ar r= 0 i diva
r= 0 ,
kojima se odre|uju bezvrtlo`no i bezizvorno polje ra .
f, Polj e
1. Pojam polja
2. Osnovne vrste polja
3. Jednadlba polja
4. Razinske povr5ine
5. Vektorske krivulj.
6. Primjeri
7. Zadaci
Znanstveni pojam polia uveo je irski astronom i matematidar
Hamilton (1805 - 1865). Otada je tai pojam postao vaLna okvirna
sastojnica i teorijsko polaziSte u mnogim prirodnoslovno - matematidkim
disciplinama, ponajvi5e u fizici i tehnici.
U vektorskoj anal:zi se proudavaju
samo skalarna i vektorska polja, i to samo
stacionarna polja ovisna jedino o promje-
nljivoj todki u promatranom prostornom
podrudju. Tenzorska polja se proudavaju u
tenzorskoj' an ahzr. Opda polja su ovisna i o
promjenljivom dasu promatranog vremenskog
intenrala i proudavaju se u posebnim viSim
disciplinama kao Sto su teorija polja,
mehanika fluida i mehanika kontinuuma.\
U ovom se paragrafu odreduju osno-
vni pojmovi, standardno nazivlje i znakovlje,
a u sljede6im se paragrafima s tim u svezi
integralni radun.
Posebice, istide se invarijantnost pojma
neovisnost o nabranom koordinatnom sustavu u
se polje analitiiki predodava jednadibom. u
William Rowan Hamilton
primjenjuje diferencrjalni i
polja, toprostorunastavku
jest njegova
pomodu kojeg
se dosljedno
I. Polje
raspravlja o toj bitnoj razlici u svezi s ostalim pojmovima vektorskeanalue.
Razinske povr5ine skalarnog polja i vektorske krivulje vektorskogpolja pomodno su sredstvo proudavanja polja.
1. Pojam polja. Polje promjenljive fizikalno - tehnidke vetidinep je zadano prostorno podrudje // u kojemu je u svakoj todki r, usvaki das t zadanog vremenskog inten'ala, pridruZena vrijednost p(7, t)velidine p. Podrudj e // se naziva podruije polja p.
2. osnovne vrste polja. prema naravi veridine p, polje moZebiti skalarno, ako je p skalarna velidina: e, v , ; vektorsko, ako je pvektorska vel id ina: d-8, . . . ; i tenznrsko, ako je p tenzorska vel id ina: , ,4,B,
Polje se naziva stacionarno ako ne zavisiSkalarno polje se desto skraieno naziva
vektor.
od vremena: p(7).skalar, a vektorsko polje
rzulavat 6emo samo skalarna i vektorska polja, i to samostacionarna.
3. JednadZba polja. u prostoru snabdjevenom izabrernimkoordinatnim sustavom (O;7 , j , E) jednadZba potja p(I) je p _ p(i) ==p(x, ! ,2) , gdje je r=fr-* l+1, j+rE vektor poroZaja i l i radius,vektor promjenljive todke T, a x, y i z koordinate radius-vektora rodnosno todke T.
JednadZba skalarnog polja q (7) j"
g=g(/)=g(x,y,z) , (1)
d =d(V)=d(x,y,z) ,
jednadZba vektorskog polja AQ) je
(2)
gdj. je q (r) skalarna, a
promjenljive todke Z Dalje
4. Razinske povr5ine
A (V\ vektorska tunkcija radius-vektora
ie
r
d (x,) , ,2) - P(xl , , r ) l + Q(x,) , ,2) l - + R(x-t , -z)E (3)
gdje suP(x, y, z) , Q(x, y, z) i R(x, -v, z)
realne funkcije koordinata promjenljive todke L
(4)
4. RazinSke povr5ine. Razinske povrline (niveau-povr5ine,
ditaj nivo-povriine) skalarnog polja A Q) su povrline u podrudju polja
sa stalnom vrijedno5iu polja u svim todkama svake povr5ine.
Suolrtua razinskih povr5ina prorzlaze is svojstava funkcije A ) a
proudavaju se opienito u diferencijalnom radunu implicitnih tunkcija
x0, z), y(x, z) ili z(,x, y) zadanih jednadZbom F(4, y. z) : 0 koja je
takocler jednadZba povrline u implicitnom obliku. IstraZuju se dovoljni
uvjeti jednoznadnog postojanja tih funkcija te, ako ti uvjeti nisu
zadovoljeni, istraZuju se moguii singulariteti raznih vrsta, a u sludaju
povriina degenerirani oblici tako zadanih povr5ina.
Svaka se razinska povr5ina obidno joS kotira, tj. razinskoj se
povr5ini kroz todku Z6 jo5 pridruZuje kota C -- I Q'i .
g (x, ),. z) : (p (xq, yo, zo)
p:.f(r)
JednadZba obitelji razinskih povrSina polja q(D j,
e (x, y, z):C ,
gdje je C bilo koja realna
vrijednosti polja AQ) ,toiku To(xo, yo. zi je
konstanta (tn. realni
a jednadZba razinske
(s)
parametar) iz podrudja
povrline hroz zadanu
(6)
Razinske povrline sfernog skalarnog polja
(7)
I. Polje
su koncentridne sfere sa sredi5tem u ishodi5tu O. Ovdje je, i nadalje,
xT+yj+tE todke1)
+t- +z- duljina radius-vektora 7 -
funkcija realnog argumenta.T(x, y. z), ^ ./'(t)
realna
5. Vektorske krivulje. vektorske krivulje vektorskog poliaA Q) su krivulje u podrudju polja s vektorom tangente kolinearnim svrijednoS6u polja u svim todkama svake krivulje.
Vektorske krivulje polia brzine strujanja tekuiine zovu sestrujnice, a polja sile silnice.
Neutralne toike polja A(n su todke Su kojima je a(,t:0. Kr-ozneutralnu todku polja ne prolazi nijedna vektorska krivulja.
Predodi li se vektorska krivulja (ili njezin luk) polja d -d(x,y,z)=
= P(x.y,z) i +Q@-y,r)J- *R(x.y.z)E jednadZbom f =F(t)=re) l +
+y@j + zQ)E, zbog zaht jeva da je i '1t1*6 i Ae)*0 u svim
njezinim todkama T = T(t) = T(r,y,z) , u uvjetu kolinearnosti 7'(t) - 1s6
faktor proporcionalnosti mora biti k:k(t)+0 odatle stijedi, pruo, dasu uvjeti x '(t) *0 i P (x, jt. z) +0 ekvivalentni a takode r y ,(t)+0 iQ(x,y,z)*0 te z ' ( t )*0 i R(r ,1, , z)*0; i drugo, da vr i jedi 1. x,( t )+Oi P(x,11, z)+0 i l i 2. y ' ( t )+0 i Q@,y, z)+0 i l i 3. z,( t )*0 iR'(x,y,z)+O. Zato treba prouditi svaki od ta tri sludaja posebice.
u 1. sludaju se krivulja (ili njezin luk) kroz todku T mozeanalitidki predoditi jednadZbom
f =xl+y@)j+z@)E ,tj. jednadlbama
gdje su -v(x)
vrijednosti tzvaljkastih
z(x) jo5 nepoznate
nekog intervala, a
funkcije a x
geometrijski
parametar koji primadakle presjednicom
f l ' = r ' (x)
\ ', -",1',1 '
povrsina, kaLe se valjaka, ,Y'=Y(x)kolinearnosti slijede diferencijalne
y=),(x) i z=z(x), obitelj i vektorskih
obliku
i z :z(x) ,jednadZbe, z&
krivulja polja
5. Vektorske krivulie
tako da v uvjeta
nepoznate funkcije
A(T) u normalnom
U 2. i 3. sludaju slijede, na isti nadin, slidne
nepoznate funkcije r(y) i z(y) odnosno x(z) i y(z).
Zbog tih je okolnosti pogodan diferencijalni sustav
obliku
koji je neovisan o opisanim
ili z, a iz kojeg slijede svasludajevima, tj. o izboru
tri promatrana sustava u
(8)
jednadZbe z
u simetriinom
(e)
parametra: x ili y
normalnom obliku.
JednadZbe obitelji vektorskih krivulja polja AQ) koje protzlaze, u
1. sludaju,'iz sustava (8), op6e je rjelenje tog sustava:
| - f ( r ,y,Cr,Cr.) = o1
lg(r , z,C.,C.) = 0 )
a jeclnadZbe vektorske krivulje kroz zadanu toiku To(xo,
sebno je rjeienje sustava (8), uz zadane podetne uvjete
ly (xo) = yo
1'('o ) = 'o
koje pro:zlazi iz op6eg rje5enja (10)
nepoznanice C1 i Cz:
rjelavanjem obidnog
(10)
!0, zo) Po-
(11)
(n
l , utv
l "P1I , Rt -P
dx dy dz-=L3-,
POR
sustava za
10 I . Polje
f f@0,!o,Ct,cr)=oIfS ( to,z,) ,Ct 'C,)=0
(12)
Postupak u 2. i 3. sludaju je isti kao u opisanom 1. sludaju.
UdruZivanjem op6ih rjelenja u sva tri sludaja prouTaze sve traZenevektorske krivulje (vidi P11.).
TraLi li se samo vektorska krivulja kroz zadanu. todku T,,(xo, !0, zo),odabire se onaj sludaj koji joj pogoduje: npr. 1. slucaj ako je Po(ro, )'o.zd *+ 0 (vidi P16.).
Opisanim smo pomoinim postupkom problem pronalaskavektorskih krivulja sveli na problem rjeiavanja sustava dvijudif'erencijalnih jednadZbi s dvije nepoznate tunkcije jednog argumentaopienito ovisno o tri sludaja. Op6e rje5enje svakog sustava predodavaop6enito ipak szrmo lukove traZenih krivulja, stoga udruZivanjem op6ihrjeSenja su.stava proizlazi opie rjeienje lukova, ali opienito ne i traZenihkrivulja. Naime, po dva takva jednostavna luka tz dva opia rjelenjasustava mogu se preklapati pa se medusobno proiiruju tvoreii noviopseiniji luk koji se opet moZe preklapati s nekim jednostavnim lukomproizvodedi joS opseZnrji luk itd. Tek se ovim postupkom pro5irivanjarje5ava izvorni problem. Vektorske su krivulje najopseZniji tirko pro5irenilukovi (vidi P17.).
Svojstva vektorskih krivulja prozlaze iz svojstava tunkcija P, a iR, a proudavaju se opienito u teoriji sustava
ly ' = J '(x,y, t)(*) { 'l r ' = g(x-) , ,2)
obidnih dit'erencijalnih jednadZbi u normalnom obliku. IstraZuju sedovoljni uvjeti jednoznadnog postojanja rje5enja (integralne krivulje)sustava (x) za zadane podetne uvjete (11) ili pak, akc'r ti dovoljni uvjetinisu zadovoljeni, istraZuju se moguie singularne toike raznih vrsta krozkoje prolazi vi5e rjeienja ili ne prolazi nijedno.
5. Vektorske krivul ie 11
U primjeni, pri proudavanju fizikalnih i tehnidkih polja: gra-
vitacijskih, elektrostatidkih, hidromehanidkih itd., svaka se vektorska
krivufja kroz todku 7..,, jo( ori jentira vektorom tangente AQ)*0.
Vektorske krivulje sfernog (sferno-radijalnog, centralnog, simetri-
dnog, centralno-simetridnog) vektorskog polja
su zrake s vrhom u
ako je . f ( r ) +0, za
. f ( r ) :0 , .sve todke
todke tog polja.
ishodi5tu O, koje je
sve r)0, a inade,sfere sa sredi5tem u
jedina neutralnaza svaki r>0
O polumjera r
(13)
todka polja
za koji je
neutralne su
6. Primjeri
P1. Odredi podrudje skalarnog polja q(x,t ',2)=
XII . Pl .
Uradak. Funkcija arcus-sinus detjnirana je na
korijen na intervalu [0. rc>. ali zbog toga
0 treba iskljuditi. Zato je podrudje polja
rp(x, y,z) odrecleno sustavom nejednadZbi:
- l<y-r '<1. 9-x2-y '>0.
Ove se nejednadZbe mogu zapisati uobliku
x'-1<y<x2+1, , t+y ' .9,
a podrudje polja q(x,y,z) je skup
Promatrano geometrijski, podrudje
je omedeno dijelovima parabolidnih
' / -{(t,!,2)lx' -t1y<r' +\ x' +),t <g}-
i l j "
arcsin(y - x'\vidi i
intervalu [-1, l], a drugi
Sto se nalazi u nazivniku
ct - f (r) i
Slika uz Pl.
12 I. Polje
val jaka y-x2-I i y-xz+l koj i se nalaze
valjka x' + y? =9 . Pri tome rubne povr5ine -ftvaljka ne pripadaju podrudju t/ (vidi sliku).
P2. Odredi podrudje vektorskog poua
d (x-Y -z) =l,\ilu i - ln(Y * 2z - Di +
Uradak. Za svaku koordinatnu funkciiu:
unutar kruZnog
i SZ kruZnog
treba odrediti podrudje detinicije.
Presjek ta tri podrudja je podrudje
polja A . Funkcija P (x, y, z) je
definirana u ditavom prostoru.
Funkci ja QG,y,z) je def in i rana u
podrudju odredenom nejednadZbom
y+22-2> 0.
Funkcija R (r, y, z) je definirana u
podrudju odredenom nejednadZbomX
Slika uz P2.4-x2 -y ' -z >0.
Podrudje 'l/ polja A odredeno je
y+22)2, s1
drugim rijedima,
' / = {(*,r,r)l l + 2z > 2- z < 4- t ' - l ' t}-
Geometrijski gledano, podrudje '/ je dio prostora omeden
ravninom y*22=2 i paraboloidom z=4-t t -yt , a l i koje nesadrZava todke ravnine (vidi sliku).
P(x,y,z) -dyr.Ax,y,r) --ln0+22-2) , R(x,y,z) -1;-; -ri -
dakle sustavom nejednadZbi:
4-*t -yt ;
'-'ti,"-'-il::'*i-tl:"i| / ' - - \ \ -
-Ja------ :
P3. Odredi podrudje skalarnog i vektorskog sfernog polja:
a) q-
6. Primjeri
v12 -r -6
b) a-
gdje je r - x'+y' *r ' , a 7-xl+1, j+tE.
p odrecleno je sustavom nejednadZbi:
r>0 , r ' - r -6+0
Uradak. a) Podrudje polja
Rje5enja kvadratne jednadZbe r ' - r -6=0 SU /1=J i 12- -2. Jerje r > 0 , naS se sustav moLe zapisati jednostavnije:
r*0 - r*3 ,
a to znadi da je podrudje polja p prostor bez ishodi5ta (r = 0 ) ibez sf-ere sa srediStem u ishodiStu polumjera 3 (r=3).
b) Podrudje polja A odredeno je nejednadZbom
12-r-6>0.
Kvadratna funkcija g(r)- 12 -r-6 je pozitivna za re[-Z- 3].Bududi da je r > 0 , podrudje polja A zapravo je odredenonejednadZbom
r>3
koja predodava dio pro.stora iman kugle sa sredi5tem u ishodistupolumjera 3(r<3).
P4. Je li duljina I a I sfernog polja fi -.f (r)i sferno potje?
Uradak. Neka je ,nl a l . Budui i da je
la l=l f@ / l= l f Olr = s(r) ,gdje je funkciia g(r) ovisna samo o r, polje
P5. U prostoru su dvrsto oclabrane todke A iudaljenost d(A, B)=2. Kako glase jednadZbepolja,
q (O - cl ' (A,T) - t t ' (B,T\ i
13
lnr
q =l a I j. ,f".no.
B dija je meclusobna
skalarnog i vektorskog
---> +aQ)=AT+BT ,
14 I . Pol je
u pravokutnom koordinatnom sustavu (O; X, Y, Q dije je ishodi5te
O polovi5te duZine AB, a baza Q ,j,E) odabrana tako da je---->
i _OA?
Uradak. U odabranom pravokutnom koordinatnom sustavu (O ;X, Y, Z)
koordinate promjenljive todke T oznadimo s (x, ),, z). Tada je
g (x,J, , z) - (x- l ) t + y= + z ' - f t r + l ; : + ) ,2 + z2l= -+t,L 'J
I
d(x.y.z)=(r- t ) i +y + zE +(r+l) l +fr + zE -2xl *2yt- +Zzk =27 .
P6. U pravokutnom koordinatnom sustavu (O; X, Y, Z) zadana su polja
q(x, . r , , z) -x1 +yz i d(x.y-z)-(x+))+z-4) i + lE .
Odredi njihove jednadZbe u sustavu (Or:Xt,Y,-Z) koji nastaje:
a) usporednim pomakom (translacijom) polaznog sustava za
vektor i -2-i -3j +5Eb) vrtnjom (rotacijom) polaznog sustava oko osi Z za kut
a= 45"
Uradak. a) Iz vektorskih jednakosti
7=i+7t , 7- t7+yj+tE )r l t=xt l+ l r j+zrE
ulaze vezne formule r=.r1 t -2, y=! t -3 i z=z 1*5 pomo6u koj ih
proizlazi
9 (xr , . i l r ,zt) = (rr + 2)t + (Y, -3) '
i
' a(x1, !1,2) = (rr * l t * z) l +78
jer je:i t= i i kr-11
b) Odito je z=21 i k, - ls . Odredimo vezne fbrmule za pve
dvije koordinate i prva dva vektora baze.
6. Plimjeri 15
Iz
slijedi
Posebice, za
a odatle
i
l ", -nt ( r , * ) , , )- )
. - :- Slflo( /1 ,
.:+ coscr ./1 .
* r=,) ,
i f i - . l r ' i=coscx, ,
; - : - :T1,. | =- l , . l = SII IG
| . , . r l
+x-or i=(r , , '
/ -! =OT ' / = ( t r t t
i =( I h) [ +f i , ) / - ,=cosa{
i =( i , , ) r , *( /= i ' ) i '=sincx i
-: Jt ,-/ =;( ': Jt,-
'= t l t "
+,,-rJt)tl -,,-, )+tE,(
d(xr,yt ,zr)=l r ,*\
SLika uz P6.b
-: \ :+ ! t j r ) . , - . r r coscx, - ; f " s in0. ,
- : \ -* )'t.it l . i = rr slncx' +J'r coscx'
a = 45" slijedi
t;\ "
x = *(x, - . / r ) ,)
- / t ) ,
e (r,,.)zr ,Zr) = *? + y?
Odredi obitelj razinskih povrlina polja g(x-y-z)-7-
i pronadi razinsku povr5inu koja prolazi todkom
Vidi i XII.P3.
, t2-J|.X-X -))P7.
re2,o,8).
16 I. Polje
Uradak. JedniidZba obitelji razinskih povr5ina zadanog polja Q (x, y, z)
ie
z-
Ovom je jednadZbom predodena jednoparametarska obitef
polusfera izbodenih u pozitivnom smjeru osi Z sa sredi5tem
(-2 .0, C ) polumjera 2.
Uvrstimo li koordinate zadane todke T u jednadZbu obitelji,
dobit cemoC=6
i tako, nakon sredivanja, jednadZbu traZene razinske povriine koja
prolazi todkom Z.
z -6=
P8. Koje su povrSine sastojnice razinske povr(ine polja:
a) 9= z3 - z kroz todkt A(5,5, 1)
b) v = ,o -5r ' kroz todku B(o- 1,0)
Uradak. a) JednadLba je obitelji razinskih povr5ina polja A
z'-z-C.
Uvrstimo li u ovu jednadZbu koordinate todke A, dobit 6emo
C = 0 . JednadZba je razinske povrline polja I kroz todku ,4 dakle
z3 -z=0
Iz prikaza lijeve strane jednadZbe u obliku umno5ka,
z(z - l ) (z+ 1) = 0,
zakljudujemo da se razinska povrKina polja rp kroz todku ,4 sastoji
od tr iju ravninaz=0, z-- I I z=-1.
b) Ako u jednadZbu obitelji razinskih povr5ina polja V/:
- (x +2)2
,o -5r ' = D,
P9. Mogu litangirati?
6. Primjeri l7
uvrstimo koordinate todke B. dobiti iemo D -- - 4 . Razinska
povr5ina polja V kroz todku B predodena je dakle jednadZbom:
a odatle
ro -5rt * l=(r t -D?t -4)=0,
slijedi da se ta razinska povriina sastoji od dviju sfera
r- l i r -2.
se dvrje razinske povrline skalarnog polja sje6i ili
vidi i x\.25.
tih povrlina:
)atojeu
mogu se niti
Uradak. Neka je zadano skalarno polje A(f). Ako bi se njegove dvije
razlidite razinske povriine:
Q(T)= C, j qQ)= C2, s uvjetom C1* C,
sjekle ili tangirale, postojala bi zajednidka todka To
A(T o) = Cr 1 q(T o)= Cz,
u kojoj bi polje A(n imalo istu vri jednost Ct= Cz
protuslovlju s pretpostavljenim uvjetom Ct+ C2.
Prema tome, dvije razinske povriine polja A(f) ne
sje6i niti tangirati.
P10. Odredi podrudje 'll sfernog polja pflr) i pokaZi
razinske povrline sfere sa sredi5tem u ishodi5tu.
Uradak. Neka je D podrudje definicije tunkcije /(t),Tada je
da su njegove
a E-Dr-t [0.*>.
Pot
tt -
^ (p.
\l - ( -l -v
)
1/=
ske
I
/ l r
'liku
]
iku
insk
=fl' l
rbli
+y
tazl
z)=
razlmo I
q (r,.Y,
predoditi
Njihova se jednadZba
, Ce f(E)
moze
_R
tj.
')+z- R.f- ' (c)er,
18 I. Polje
x'+) ' '+22=R2.
odatle je odito da je svaka razinska povrSina polja (r) sfera sasrediitem u ishodiStu (u graniinom sludaju, ako je R=0, i samoishodi5te) ili viie takvih sf'era. (Ako je /'srrogo monotona funkc-ijana E, tada je ./'-t njezina inverzna funkcija te je svaka razinska
povr5ina jeclna jedina sf'era.)
P11. Pronadi sve vektorske krivulie
a) d=V b) 7 s konstantom t*0
polja:
d=k
Uradak. a) Ishodi5te O je ovdje odito jedina neutralnatraZimo vektorske krivulje kroz todke T (x, y , z)
7=xi*y j* tE+O,t j .x*0 i l i y /0 i l i z*0.
tocka. Zatoza koje je
(8) u tom jeProudimo 1. sludaj: x *0 . Diferencijalni sustavsludaju
Ri je5imo ga. Za y(x)*O zaslijedi:
x*0, n pwe jednadZbe sustava
tn l" i , l= ln lx l+hK=tn,(r l . K>o| | , r l I
lY l=^lr l
!=Krx, Kr+0.
Provjerom se uvjeravamo da je i y(r)=S za .sve x*0 takoderrje5enje prve jednadLbe, dakle da je
!=Ctxop6e rjesenje prve jednadZbe s konstantom C t po volji odaberivom.Na isti se nadin rjeSava druga jednadZba sustava tako da iesustav
vx7
=-x
SVC
t,,T: .
),' __ |
yx
(n
| ) '= L 'i "l - - ( -lL-v)
sustava
.r
x
6. Primjeri t9
Slika uz P[l.a
op6e rjelenje diferencijalnog u 1. slud.aju.
Op6e je t 2. sludaju: y /0 ,
Cz )'
cr! '
a u 3. sludaju:
- f o
- , -6.
rJesenJe
f " -1 ""1
l ! -
lxIY
0,
Tek sada Se, udruZivanjem svih rjelenja u sva tri proudena
sludaja, moZe zakljuditi da su vektorske krivulje zadanog polja sve
zrake v ishodi5ta, orijentirane pripadnim vektorom l0 (vidi
sliku).
b) Uradak je isti kao u a). Za k> 0 zrake su orijentirane
kao u a). a za k<.0 suprotno.
Napomena. U tim se jednostavnim primjerima mole odmah
zakljuditi da su vektorske krivulje opisana oblika. SloZeni analitidki
postupak primrjenjen je ovdje da upozori rjeiavatelja na oprez pri
odredivanju vektorskih krivulja, j.r bi inade mogao dobiti samo
neke vektorske krivulje ili pak krivulje koje nisu vektorske.
P1,2. Odredi sve vektorske kr ivul je pol ja d =(r- l ) / i i =( l - r )7 .
Uradak. Ovdje je odito osim ishodi5ta O i .svaka todka st'ere sa
sredi5tem O polumjera I takoder neutralna todka. Pripadni
dif'erencijalni sustavi isti su kao u Pl1, tako da su vektorske
krivulje polja A jedinidne duZine OT bez rubnih todaka O i T,
orijentirane vektorom -7' , i zrake rz T orijentirane vektorom
7" , a polja b iste samo suprotno orijentirane.
I . Polje
o
Vekrotske kriwtje pofa A Vektor.gke kriwlje polja b
Slika uz P12.
P13. Odredi obitelj vektorskih krivulja polja d =i +(y - z)j +(:,+32)k .
Uradak. Polje A nema neutralnih todaka jer koordinat a P =1 nemanultodaka. Rijeiimo diferencijalni sustav
l r '=9=r- ,l "P
1
l r '=L=y+32
s nepoznatim funkcijama y-y(x) i z-z(x). Deriviranjem prve
. jednadZbe po r, dobivamo
)" '=y ' -z ' .
Ako u pwe jednadZbe sustava urazimo z i uvrstimo u drugujednadZbu sustava, dobit 6emo z '= 4),-3y ' . Uvr5tavanjem ovoguraza za z' u posljednju jednadZbu dolazimo do linearnedif'erencijalne jednadZbe drugog reda s konstantnim koeticijentima
y" -4y '* 4v-0.
Op6e je rje5enje ove homogene jednadZbe
!=(Ctx+Cr)r t ' ,
a u njega izlazi i
z = y - y ' = -(Crx+ q + Cr1e2' .
. Dvoparametarska obitelj vektorskih krivulja poua a
ly=Grx+C.)e2'1'
lz--(Crr+Cr +C.)e2'
6. Primjeri 21
s po volji odaberivim konstantama - parametrima C1 i C2, moZe
se predoditi i vektorsko - parametarskom jednadZbom argumenta-
parametra .r:
7 -V(x;Cr,C.)=t f + (Crx+C.)e2' i -Qrx+Ci+C")e2* E '
P1,4. Odredi jednadZbe obitelji vektorskih krivulja polja
d -2(23 +)T +t ' j +( t t + l ) t
6 -2x(23 +z) i +xz2 j +xQ2 +l)k
u vektorsko-parametarskom obliku. Za oba polja pronadi
vektorsku krivulju koja prolazi todkom T (- 4, 3 , 0 ) -
Uradak. Polja a i b su kolinearna j.r je b - xd. Polje a nema
neutralnih todaka, dok su sve todke ravnine r =0 neutralne todke
polja b . Za r>0 vekrorske krivulje polja i podudaraju se s
vektorskim krivuljama polja A , a za r<0 poklapaju se ali su
suprotno orijentirane.
Odredimo vektorske krivulje polja A . Buduii da je
R-22 + | *0, ri ielimo diferencijalni 'sustav
Pt^
R2
'Vzl t - -' R z-* l
s nepoznat im funkci jama x-x(z) i v-v(z) argumenta - parame-
tra z. Jednostavnom integracijom,2
,= [2zdz i y-14-a' ,J " Jz '+l
22 I. Polje
slijede parametarske jednadZbe obitelji vektorskih krivulja polja d :/^
)x-z '+Cr ,lY-t-arctanz*C,
odnosno vektorsko-parametarska jednadLba:
7 -7(z; C1,C,) - ( r t +C)i +(z -arctan z *C,1j + zE .
PotraZimo krivulju obitelji koja prolazi zadanom todkom T.Uvrst imo l i x--4, )=3 i z=0 u parametarske jednadZbe
obitelji, proizlaze vrijednosti
C t=-4 i Ct=3.
Dakle, parametarske su jednadZbe vektorske krivulje polja A kojaprolazi todkom T
a njena je vektorsko - parametarska jednadZba
7 -7(z) - (22 - 4) i + (z -arctan z +3) 7: + ,E .
Vektorsko-parametarska jednadZba obitelji vektorskih krivulja' polja h je
7 - | (z;Cr,Cr)-(22 +Cr); +Q -arctanz +C)j +zE . z2 +Cr+0.
Uvjet z2+Cr*0 je nuZdan jer za x=22*C,=Q imamo
neutralne todke polja.
Vektorsko-parametarska jednadZba vektorske krivulje polja;b koja prolazi todkom T je
7 -V(z)=(zz - 4) i +(z -arctan z +r j + zE. z **2.
Todnije govoreii, radi se o orijentiranom luku krivulje 7 -V(z)
od todke za koju je z -2 do todke za koju je z --2 , takojemu sve todke imaju x<0.
l , - r t -4tI t
ly- t -arctanz+3
6. Primieri 23
polja sile .f = -ti + .1 + xE kroz todku (R. 0. 0 ),P15. Odredi silnicu
R*0
Uradak. Iz sustziva(9), zbog Q: I + 0 , slijedi da treba rijeliti sustav
Pyt =L=-g
a,R
L - - .1as nepoznatim funkcijama x=x(y) i z=20,). Deriviranjem druge
jednadZbe po y slijedi z" = x' , a uvr5tavanjem z" u prvujednadZbu umjesto x' dobiva se jednadZba
z"+z=0.
Op6e je rje5enje posljednje jednadZbe
z=Crcos;r+Csin1'
Deriviranjem ovog rjeSenja nlazi
x = -C, siny + C, cosy.
-:J predodene su dakle jednadZbama
lx=-Crsiny+ CrcosyI t
lz - Crcos/ + C, sin,rr
da su jednadZbe silnice kroz zadanu todku, jer je
R.
ili u parametarskom
cosl
sinir
Silnice polja
a odatle slijediCr =0 i C==
ir =
^ cosy
[z = R sin;r
obliku:
[x=RI7t -rt -lz-R
24 I. Polje
f 1R,o,o
R>0 1t<L)
Slika uz P15.
P16. Odredi si lnicu pol ja si le j =- l , l +(x- z) 7- +yE , u podrudju
J, > 0, koja prolazi kroz todku ( I ,2 , l ) .
Uradak. Iz sustava cliferencijalnih jednadZbi obitelji silnica polja .f ,
Z4j+nE
. 0 x-zv-
-P-t)^,
RvtJ1
z =- =-=- lP -r lZf
sli jedi
tj.
z - -x * Ct (iz druge jednadZbe)
, 2x-C, , ,y' = ' (iz prv'e jednadZbe)-v
Z-YY'=2x-Cr,
a odatle integracijom
!2 = -2x2 +2C.rx -2Cr.
Iz podetnih uvjeta
z( l ) -1 i t 0) =2 sl i -
jedi Ct=2 i Cr--1.
Dakle traLena je silnica
luk presjednice ravnine i
eliptidkog valjka
f 1t,z,t1= -zf +28
(1,2, l )
Y
(:i"qA
f1n,o,o; : . j+Rk
X Slika uz P16.
P17. Odredi strujnice pol ja brzine i -eo xV gdje je d =CE i C*0.
Uradak. Iz
=Ek, t=sgnC
x*z=2, g+ *L24
koji se nalazi u podrudju polja s y > 0.
vektorom .f (1,2,1) = -21 + 2E .
slijedi
/ -y =t K xr =e k X|rxr
Treba promotriti dva sludaja:
y *0
-y ' (x)=-tv
= z'(r) - 0
H:H,:H,R__-Rr--R2
Y
_o e ckC" =A=--=SgnCf
FI ICI
6. Primjeri 25
-1
Silnica je orijentirana
* ri)
x*0
- x '( !) - - !x
= z ' (y) =0r,rlv 'j "lor[ '
Z
Slika uz P17.
26 I . Polje
oba ova sludaja polukruZnica
- R" >0
a u nalem sludaju kruZnice
R>0
P18. Mogu li se dvije vektorske krivulje vektorskog polja u nekoj todki
sje6i (s razliditim tangentama u toj tocki).
Uradak. Neka je zadano vektorsko polje A i njegove dvije vektorske
krivulje. Pretpostavimo da te krivulje imaju zajednidku todku T o i
da su pripadni tangentni vektori u toj todki i , i 7 =nekolinearni.
Tada po detiniciji vektorskih krivulja vrijedi:
I r=kra(T) i \ r - -kza(T), s f r ,*o i k.*0,
a odatle, sliiedi kolinearnost tangentnih vektora 7t i 7", Sto
proturjedi pretpostavci da su oni nekolinearni.
Zato se vektorske krivulje u todki To ne mogu sjeii (s
razliditim tangentama u toj todki).
Pro5irivanjem jednostavnih lukova, ubez rubnih todaka,
l r t*yt-Ri ,R, >o f
lz-H, t
pro:^zlaze najopseZniji proiireni lukovi,
t '^
l t '+r , l=Rl-
lz-H
x'+yt - P}
z=Hz
7. Zadact
21. Odredi podrudje skalarnih polja:
Ia) q(r ,_y. z)-arcsinr- - - b) g(x,J ' -z)=
" lx+Y
7. Zadaci 27
22. Odredi podrudje vektorskih polja:
t i (x,y,)-111(t-x ' -y '
d(x,), , z) - *,1 x2 - Y' - , t
23. Odredipodrudje sfernih polja:
g =Jr - lnr+e' .
+ ln (1r '- ,) J-
- rarccos J;+zE t
a)
b)
a)
gdje je , =^lr t +y '+ z=
b) 9 =arcslnr+arctanr
sustavu (O ,X, Y.Z)
T(x,y,z) u prostoru
24. Odredi podrudje sfernih Polja:
a) ;=(s inr+cosr+r- : ) / b) a
gcl je je 7-xl*y i+tE.
25. Jesu li sljede6a polja sferna:
a) e =cosJtt * y '+r ' - r ' -Y'- ,
b) g=x?-\ l r t+y2+22
c) g =2x2ln2+ ) ,2\n4+ z2ln4
26. Jesu
27. U zadanom pravokutnom koordinatnom
odredi jednadZbu polja koje svakoj todki
pridruZuje:
) -
) '
a)
b)
c)
li sljede6a polja sferna:
( , , , . ) - t_ ( x= , r ) - t _ ( , , . J, . ) - ' ,o =[ '+/- . ; )
' +[ ty * ; . ;
) , * [ , * ; . ;
) k
d=9*t .3) , '+"-r ' (x i+ 1, j +,Ey
A = G+ l ) i + (1,+ l ) ; + G +l)E
28 I. potje
a) obujam tetraedra s vrhovima O, A(-2,2,1).8(0,3,4) i Tb) vektor teZi5nice tetraedra OABT s krajem u todki T
ZB. Kcrordinatni sustav (O lXt,Yt,Z) nastaje translacijom pravokutnogkoordinatnog sustava (O ;X,Y, Z) za vektor .r= = 3f - 4E . Kakoglasi jednadZba polja e (h, !t, zr): )izt u sustavu (O ,X, y, Z) ?
29. Koordinatni sustav (O 1X;,Y,Z) nastaje rotacijom pravokutnogkoordinatnog sustava (O;X,Y.Z) oko osi Z za kut ., =30o. Kakoglasi jednadZba polja d(xr,yr,zt) =2xri +2(!r - zr)J=, u sustavu(O;X, Y, Z)1
210. Kcrordinartni sustav (OlXt,Yt,Z) dobiven jepravokutnog koordinatnog sustava (0;X,Y.Z)
oc:90o, a potom translacijom za vektor f = i +jednadZba polja:
najprije
oko osi^-: ^;lJ -3K.
rotacijom
Z za kut
Kako glasi
a) 9(r ,y,z)=x-22 u sustaw (Otxt , \ ,Z)
b) d(xr,yr ,zr)=r,4 + rr j r - f i E, u susravu (O;X,y,Z)
21,1. Izradunaj ekstremne vrijednosti sljededih polja:
a) 9(x,) , .2)= 4x - 4y + xy - x2
b) q (r , - ] r , z)= x3 +y' - z ' -3x ' +3yt +622 -92
212. Postoji li todka u podrudju polja
J#y--=j* .n& +2y-yu kojoj ono ima najveiu duljinu? Izradunaj vrijednost polja A utoj todki.
213. U kojim je todkama polje
a -(" ' -J,) t+(zr - ' -3) j
usporedno s:
a) ravninom XY
+ln(r2 +y2 + z'?)E
b) osi Z
7. Zadaci
214. U kojim je todkama vrijednost polja
d-zl+0-z ' )J=+$2+)E
kolinearna s vektorom e --T +li -ZEl Postoje li todke u kojima
je vrijeclnost polja a istosmjerna s vektorom c ?
275. Odrecli jednadZbu obitelji razinskih povr5ina sljedeiih polja:
a) rQ(x,y.z) - 1s3 b) q(r ,J, ,z)-z-Y3
c) q(x,Y,z) = )c2 + Y' - t '
Jesu li to poznate Povr5ine? Koje?
276. Za polja n prethodnog zadatka izdvoji razinsku povr5inu koja
prolazi todkom:a) r(3.50.50) b) r(100- -2,2\ c) T(3'2 '1)
277 . Odredi jednadZbu razinske povrline polja Q = ln (u- + t ') koja
prolazi todkom Z(0, 1, 0). Skiciraj njenu sliku.
ZlB. Od kojih se povrsina sastoji razinska povrsina polja
g = x2 + 222 -3x - xzz koja prolazi todkom 7-(2- 4- l) ' !
29
219. Prolazi Ii todkom T(1- 2- 0) neka rzrzinska
g = arcsin(r' -t),
220. Jes'tt, li sfere sa sredi5tem u ishodi5tu polumjera
222. Za stalne vektore A i b odredi razinske
a) ,p - r(u"o)' b) ,p = (a x r).tt c)
povr5ine polja I = Jr -2 ?
221. Odredi razinske povrSine skalarnog polja I -c'V . U kojem su
one odnosu prema zaclanom stalnom vektoru e ?
povr5ina polja
1 i 2 razinske
polja:
30 I. Polje
223. oclredi jednaclZbe obitelji vektorskih krivulja sljededih polja:a) d(r,y,t)= * ' . l - c) d(t ,y,t)= i + (tZr + t) . i + ayE
b) d(x,y,z)=x2l -2xzE d) o@,!, , t ) - t l +(r+ y)z i +E
224. Za polja iz prethodnog zadatka odaberi vektorsku krivulju kojaprolazi todkom :
a) re3. -7 , 5) c) fQ. 4_ 6)b) T(-2. r. e) d) T(2. -3.0)
225. Pronadi i nacrtaj strujnicu polja brzine strujanja teku6ined=-i +2xj -e-*E koja prolazi todkom r(0. l , l ) . dest ica koja jepro5la tom todkom stigla je u todku Tr(xt, !t, zt). Koliki su x1 i ;
IZt, ako je - / r :10 ?
226. Odredi vektorsko-pararmetarsku jednadZbu obitelj i vektorskihkrivulja polja:
a) d=zcos/ l+r j+yrE b) d-3y' i+7*LE)o
227. Odredi vektorske krivulje polja:
a) d-V. e +O b) d-V-C
U kojem su one odnosu spram stalnog vektora e ?
Z2B. odredi obitelj vektorskih krivulja polja d -E x7 i jednaclZbuobitelji zapi5i u vektorsko-parametarskom obliku. Gctje suneutralne todke?
229. Pronadi i orijentiraj sve vektorske krivulje polja
a) a-(r '+pr+q), b) E -( , r=+hr+c)v. a+o
gdje su parametri p i q, odnosno a*0, b i c po volji odaberivi.
. Razvrstaj rje5enja po tipovima.
31
DIFERENCIJALNI VEKTORSKI RA^UN
II. Usmjerena derivacija
1. Pojam usmjerene derivacije 2. Analiti~ka formula 3. Ra~unska pravila 4. Primjeri 5. Zadaci
Temelj je diferencijalnog vektorskog ra~una invarijantni pojam derivacije polja u zadanom smjeru. Analiti~ka formula kojom se usmjerena derivacija izra`ava, ako su promatrano polje, to~ka u njegovu podru~ju i smjer analiti~ki zadani, upu}uje na analiti~ku odredbu va`nog pojma vektora gradijenta skalarnog polja i istovremeno osigurava invarijantnost pojma gradijenta (vidi III).
1. Pojam usmjerene derivacijePojam usmjerene derivacijePojam usmjerene derivacijePojam usmjerene derivacije. Derivacija ∂∂p
sT( )0 skalarnog ili
vektorskog polja p(T) u smjeru jedini~nog vektora rs 0 u to~ki T0
podru~ja polja je brzina prirasta ∆p polja p(T) u smjeru rs 0 u to~ki
T0, tj. ∂∂p
sT
p
sS( ): lim0
0=
→∆
∆∆
, (1)
gdje je taj prirast
∆ p p T p T: ( ) ( )= −1 0 , (2)
pri prijelazu od ~vrste to~ke T0 do promjenljive to~ke T1 na pravcu
smjera rs 0 kroz to~ku T0, ovisan o to~ki T1 odnosno o orijentiranoj
duljini ∆s vektora T0T1
∆ sT T T T s
T T T T s:
,
,=
↑↑
− ↑↓
0 1 0 10
0 1 0 10
ako je
ako je
r
r. (3)
II. Usmjerena derivacija
32
Operator ∂∂ s
usmjerenog deriviranja je tipa “skalar → skalar” ili
tipa “vektor → vektor”.
2. Analiti~ka formula.2. Analiti~ka formula.2. Analiti~ka formula.2. Analiti~ka formula. Ako su polje p(T), smjer rs 0 i to~ka T0
analiti~ki zadani: p = p ( x , y , z ) , r r r rs s i s j s kx y z0 0 0 0= + + i T0(x0, y0, z0),
tada vrijedi osnovni pou~ak
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
p
sT
p
xT s
p
yT s
p
zT sx y z( ) ( ) ( ) ( )0 0
00
00
0= + + . (4)
Bilo za koju to~ku T(x, y, z) skalara ϕ ϕ= ( , , )x y z vrijedi
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂s x
sys
zsx y z= + +0 0 0 . (5)
Bilo za koju to~ku T(x, y, z) vektora r r r r ra a x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= = + +( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) vrijedi
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
r r r ra
s
a
xs
a
ys
a
zsx y z= + +0 0 0 (6)
= + +∂∂
∂∂
∂∂
P
si
Q
sj
R
sk
r r r . (7)
3. Ra~unska pravila.3. Ra~unska pravila.3. Ra~unska pravila.3. Ra~unska pravila. Isti~emo najva`nija pravila ∂∂ s
-ra~una.
Operator ∂∂ s
je linearan, tj. linearnu kombinaciju C1 p+ C2 q
istovrsnih polja p i q s realnim konstantama C1 i C2 preslikava u
linearnu kombinaciju C1∂∂p
s+ C2
∂∂q
s njihovih slika
∂∂p
s i
∂∂q
s s istim
konstantama:
( )∂∂
∂∂
∂∂s
C p C q Cp
sC
q
s1 2 1 2+ = + . (8) (L)
4. Primjeri
33
Operator ∂∂ s
djeluje na umno`ak p qo polja p i q :
ϕψ ϕ, ,r r ra a b⋅ ili
r ra b× ,
na isti na~in kao {to operator ∂ deriviranja ili diferenciranja (obi~nog ili djelomi~nog) djeluje na umno`ak fg realnih funkcija f i g (jednog ili vi{e realnih argumenata):
∂ ∂ ∂( ) ( ) ( )f g f g f g= + , (10)
tj. ovako
∂∂
∂∂
∂∂s
p qp
sq p
q
s( )o o o= + . (11)
Tako|er vrijedi lan~ano pravilo djelovanja operatora ∂∂ s
na polje
f (ϕ) slo`eno od realne funkcije f (t) realnog argumenta t i polja ϕ:
∂∂
ϕ ϕ∂ϕ∂s
f fs
( ) ( )= ′ (12)
4. Primjeri4. Primjeri4. Primjeri4. Primjeri
P1. Izra~unaj derivaciju polja ϕ = +lny z
x2 u smjeru vektora
r r rs i k= −3 4
u to~ki T(3, 3, 1). Zna~enje broja ∂ϕ∂ s
T( ) objasni rije~ima.
Uradak. Izra~unajmo vrijednosti djelomi~nih derivacija polja ϕ u to~ki T:
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
x x y y z z
xT
yT
zT
= − = =
= − = =
1 1 1
1
3
1
31
, ,
( ) , ( ) , ( ) .
Odredimo jedini~ni vektor rs 0 vektora
rs :
r r rs i k0 3
5
4
5= − .
(UD)
(LUD)
II. Usmjerena derivacija 34
Izra~unajmo po formuli (5) derivaciju polja ϕ u to~ki T:
∂ϕ∂ s
T( ) = −
⋅ + ⋅ + ⋅ −
= −
1
3
3
5
1
30 1
4
51 .
Predznak minus broja ∂ϕ∂s
T( ) govori da vrijednosti polja ϕ u
okolini to~ke T u smjeru vektora rs padaju, dok apsolutna
vrijednost tog broja kazuje koliko brzo padaju.
P2. Ispitaj koja se koordinata polja r r r ra x z i x y j y z k= + +2 3 23 u
smjeru r r r rs i j k= + +2 2 u to~ki T(2,−1,4) po apsolutnoj
vrijednosti najbr`e mijenja. Izra~unaj derivaciju polja ra u smjeru
vektora rs u to~ki T.
Uradak. Izra~unajmo vrijednosti djelomi~nih derivacija koordinata polja ra
u to~ki T:
P x z Q x y R y z
P
xT
Q
xT
R
xT
P
yT
Q
yT
R
yT
P
zT
Q
zT
R
zT
= = =
= = − =
= = = −
= = =
2 3 23
8 36 0
0 24 8
1 0 1
, , ;
( ) , ( ) , ( ) ;
( ) , ( ) , ( ) ;
( ) , ( ) , ( ) .
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
Budu}i da je
r r r rs i j k0 2
3
2
3
1
3= + + ,
ra~unaju}i po formuli (5) dobivamo derivacije koordinata P, Q i
R u smjeru rs u to~ki T:
∂∂
∂∂
∂∂
P
sT
Q
sT
R
sT( ) , ( ) , ( )= = − = −
17
38 5 .
4. Primjeri 35
Usporedimo li apsolutne vrijednosti brojeva ∂∂P
sT( ) ,
∂∂Q
sT( ) i
∂∂R
sT( ) , zaklju~ujemo da se po apsolutnoj vrijednosti najbr`e
mijenja koordinata Q.
Primjenom formule (7) nalazimo i derivaciju polja ra u
smjeru vektora rs u to~ki T:
∂∂
rr r ra
sT i j k( ) = − −
17
38 5 .
P3. Za po volji odabrani smjer rs izra~unaj:
a) ∂ϕ∂ s
, ako je ϕ =C stalno skalarno polje
b) ∂∂
ra
s, ako je
r ra c= stalno vektorsko polje
Uradak. a) Djelomi~ne derivacije stalnog polja ϕ = C jednake su nuli:
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂x y z
= = = 0 ,
pa je prema tome ∂ϕ∂ s
=0 .
b) Djelomi~ne derivacije stalnog polja r ra c= jednake su
nulvektoru:
∂∂
∂∂
∂∂
r r rra
x
a
y
a
z= = = 0 ,
pa je zato po formuli (6)
∂∂
rra
s= 0 .
P4. Izra~unaj: a) ∂∂x
s b)
( )∂
∂
x i
s
r
II. Usmjerena derivacija 36
Uradak. Neka je r r r rs s i s j s kx y z0 0 0 0= + + . Tada je:
a) ∂∂x
ssx= 0 jer je
∂∂x
x=1 ,
∂∂
∂∂
x
y
x
z= = 0
b) ( )∂
∂
x i
ss ix
rr
= 0 jer je ( ) ( ) ( )∂
∂
∂
∂
∂
∂
x i
xi
x i
y
x i
z
rr
r rr
= = =, 0
P5. Jesu li usmjerene derivacije poop}enja djelomi~nih derivacija?
Uradak. Za skalarno ili vektorsko polje p=p (x, y, z) vrijedi :
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
p
x
p
i
p
y
p
j
p
z
p
k= = =, , ,
odakle je o~ito da su usmjerene derivacije poop}enja djelomi~nih
derivacija.
P6. Doka`i da suprotnim poljima pripadaju suprotne usmjerene deriva-
cije u istom smjeru.
Uradak. Neka je p skalarno ili vektorsko polje i neka je rs zadani
smjer.
Za q = − p , primjenom formule (1), slijedi:
∂∂
∂∂
p
sT
p T p T
s
p T p T
s
q T q T
s
q
sT
s s
s
( ) lim( ) ( )
lim( ) ( )
lim( ) ( )
( ).
=−
= −− +
=
= −−
= −
→ →
→
∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
0
1
0
1
0
1
P7. Doka`i da suprotnim smjerovima pripadaju suprotne usmjerene
derivacije istog polja.
Uradak. Neka je p skalarno ili vektorsko polje i neka je rs smjer. Za
r rl s= − , iz odredbene formule (1), slijedi:
∂∂p
sT
p T p T
s
p T p T
ss s( ) lim
( ) ( )lim
( ) ( )=
−= −
−−
=→ →∆ ∆∆ ∆0
1
0
1
4. Primjeri 37
= −−
= −→lim
( ) ( )( ) .
∆ ∆l
p T p T
l
p
lT
0
1 ∂∂
P8. Odredi, po definiciji usmjerene derivacije, derivaciju sfernih polja
ϕ = r i r ra r r= u smjeru vektora
rs .
Uradak. Imaju}i u vidu odredbu (2), treba odrediti grani~ne vrijednosti:
∂ϕ∂
∂ϕ∂
ϕ ϕs s
TT T
ss= =
−→
( ) lim( ) ( )
∆ ∆0
1
i ∂∂
∂∂
r r r ra
s
a
sT
a T a T
ss= =
−→
( ) lim( ) ( )
∆ ∆0
1 ,
gdje je odnos izme|u T, T1 i ∆s kao na slici.
Slika uz P8.
Odredimo najprije grani~ne vrijednosti u slu~aju kad ∆s te`i k nuli s pozitivne strane (slika a), {to }emo ozna~avati s ∆s→0+ . Slijedi:
lim( ) ( )
lim lim( )( )
( )∆ ∆s T T T T
T T
s
r r
r r
r r r r
r r r r→ + → →
−=
−−
=− +− +
=0
1 1
1
1 1
1 11 1
ϕ ϕr r r r
=− ⋅ +
− +=
−
−⋅
+
+
= ⋅
→ →lim
( ) ( )
( )lim
T T T T
r r r r
r r r r
r r
r r
r r
r rs r
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
0 0
r r r r
r r
r r
r r
r rr r
,
jer je ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r r r r r r r r1 1 12 2
12 2
1 1− + = − = − = − +r r r r r r
,
i
lim( ) ( )
lim lim∆ ∆s T T T T
a T a T
s
r r r r
r r
r r r r r r r r
r r→ + → →
−=
−−
=− + −
−=
0
1 1 1
1
1 1 1 1
11 1
r r r r
r r
r r r r
r r
II. Usmjerena derivacija 38
=− + −
−=
−
−+
−
−
= + ⋅
→ →lim
( ) ( )lim ( ) .
T T T T
r r r r r r
r rrr r
r r
r r
r rr rs s r r
1 1
1 1 1
1
11
1
1
1
0 0 0
r r r
r r
r r
r r r rr r r r r
Do istih grani~nih vrijednosti dolazimo i u slu~aju kad ∆s te`i nuli s negativne strane (slika b), tj. kad ∆s→0− . Zato je
∂∂r
ss r= ⋅r r0 0 i
( ) ( )∂
∂
r r
sr s s r r
rr r r r
= + ⋅0 0 0 .
P9. Odredi po definiciji derivaciju polja ϕ = y 2 + z u smjeru vektora r r rs i j= −3 4 .
Uradak. Primjenom odredbene formule (1), slijedi:
∂ϕ∂
∂ϕ∂
ϕ ϕs s
x y zx y z x y z
ss= =
−=
→( , , ) lim
( , , ) ( , , )
∆ ∆0
1 1 1
=+ − +
± − + − + −=
→lim
( )
( ) ( ) ( )( , , ) ( , , )x y z x y z
y z y z
x x y y z z1 1 1
12
12
12
12
12
(a dalje, zbog r r r r rr r s s r t s1 = + = +∆ 0 , tj. x 1 = x + 3 t , y 1 = y − 4 t ,
z 1 = z )
( ) ( )=
− + − +
± +=
− += −
→ →lim limt t
y t z y z
t t
t y t
t
y
0
2 2
2 2 0
24
9 16
8 16
5
8
5 .
P10. Izra~unaj po definiciji derivaciju polja r r r ra xz i j y z k= + −3 u
smjeru vektora r r r rs i j k= − −2 2 u to~ki T(0, −4, 1).
Uradak. Ra~unaju}i po formuli (1), dobivamo:
∂∂
r r ra
s
a x y z a
x y zx y z
( , , ) lim( , , ) ( , , )
( ) ( )( , , ) ( , , )
0 4 10 4 1
4 11 1 1 0 4 1
1 1 1
12
12
12
− =− −
± + + + −=
→ −
=+ − −
± + + + −=
→ −lim
( )
( ) ( )( , , ) ( , , )x y z
x z i y z k
x y z1 1 1 0 4 1
1 1 1 1
12
12
12
4
4 1
r r
4. Primjeri 39
(x1=2 t, y1=−4−2t, z1=1− t)
[ ]=
− + + − −
± + +=
→lim
( ) (4 )
t
t t i t t k
t t t0 2 2 2
2 1 2 1 4
4 4
r r
[ ]=
− + − + − −=
→lim
( ) ( )
t
t t i t t t k
t0
2 1 2 1 4 1 1
3
r r
= − + − +− −
=
→lim ( )t
t i tt
tk
0
2
31 1 2
1 1r r
lim lim limt t t
t
t
t
t
t
t t→ → →
− −=
− − − +
− +=
−
− += −
0 0 0
1 1 1 1 1 1
1 1
1
1 1
1
2
= ( )[ ]2
31 1
2
3
r r ri k i+ − = .
P11. Izvedi pravilo (12) i njegov poseban slu~aj:
a) ∂ ϕ∂
ϕ∂ϕ∂
f
sf
s
( )( )= ′ b)
∂∂f r
sf r r s
( )( )= ′ ⋅r r0 0
Uradak. a) Primjenom formule (5), slijedi:
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
f
s
f
xs
f
ys
f
zsx y z
( ) ( ) ( ) ( )= + + =0 0 0
= + + =df
d xs
df
d ys
df
d zsx y z
( ) ( ) ( )ϕϕ
∂ϕ∂
ϕϕ
∂ϕ∂
ϕϕ
∂ϕ∂
0 0 0
= + +
= ′
df
d xs
ys
zs f
sx y z
( )( )
ϕϕ
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
ϕ∂ϕ∂
0 0 0 .
b) Uporabom upravo izvedene formule, izlazi
II. Usmjerena derivacija 40
( ) ( )∂
∂∂∂
f r
sf r
r
s= ′ ,
a kako je
∂∂
∂∂
r
s
x y z
s x y zxs ys zsx y z=
+ +=
+ ++ + =
2 2 2
2 2 2
0 0 01( )
= ⋅ = ⋅ = ⋅1 0 0 0 0
rr s
r
rs r s( )
r rrr r r
,
proizlazi
( ) ( )∂
∂
f r
sf r r s= ′ ⋅
r r0 0 .
P12. Izra~unaj usmjerene derivacije: a) ∂ ϕ∂f
s
( ) b)
∂∂f r
s
( )
za f t t t x y z y x( ) cos , ( , , )= − =2 ϕ i r r r rs i j k= + −6 3 2 .
Uradak. Iskoristimo formule izvedene u prethodnom primjeru. U oba
slu~aja trebat }e nam
′ = +f t t t( ) sin2 i r r r rs i j k0 6
7
3
7
2
7= + − .
a) Pomno`imo li
′ = + = +f y x y x( ) sin sinϕ ϕ ϕ2 2
i
∂ϕ∂ s
y
xx
xx y= + = +
2
6
7
3
7
3
7( ) ,
dobit }emo
∂ ϕ∂f
s xx y y x y x
( )( )( sin )= + +
3
72 .
b) Sli~no, mno`imo li
′ = +f r r r( ) sin2
4. Primjeri 41
i
r rr r
r rs r
s
s
r
r srs r
rx y z0 0 1 1
76 3 2⋅ = ⋅ = ⋅ = + −( ) ,
dobivamo
( )∂∂f r
s
r r
rx y z
( ) sin=
++ −
2
76 3 2 ,
imaju}i na umu da je r x y z= + +2 2 2 .
P13. Doka`i pravilo (11) za umno{ke ϕra i
r ra b× , tj. doka`i formule:
a) ∂ ϕ∂
∂ϕ∂
ϕ∂∂
( )r
rr
a
s sa
a
s= + b)
∂∂
∂∂
∂∂
( )r r r
r rr
a b
s
a
sb a
b
s
×= × + ×
Pogledaj kako se to radi u nabla-ra~unu (vidi IV.Z23).
Uradak. a) Neka je r r r ra P i Q j R k= + + . Derivirajmo ϕ
ra , npr. po x:
∂ ϕ∂
∂∂
ϕ ϕ ϕ∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
( )( )
( ) ( ) ( )r
r r r r r ra
x xPi Q j R k
P
xi
Q
xj
R
xk= + + = + + =
= +
+ +
+ +
=
∂ϕ∂
ϕ∂∂
∂ϕ∂
ϕ∂∂
∂ϕ∂
ϕ∂∂x
PP
xi
xQ
Q
xj
xR
R
xk
r r r
= +∂ϕ∂
ϕ∂∂x
aa
x
rr
.
Dalje je
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
( ) ( ) ( ) ( )r r r ra
s
a
xs
a
ys
a
zsx y z= + + =0 0 0
= +
+ +
+ +
=
∂ϕ∂
ϕ∂∂
∂ϕ∂
ϕ∂∂
∂ϕ∂
ϕ∂∂x
aa
xs
ya
a
ys
za
a
zsx y z
rr
rr
rr
0 0 0
= +∂ϕ∂
ϕ∂∂s
aa
s
rr
.
b) Za r r r ra P i Q j R k= + + i
r r r rb U i V j W k= + + , slijedi:
II. Usmjerena derivacija 42
( ) ( ) ( )kQUPVjPWRUiRVQW
WVU
RQP
kji
barrr
rrr
rr−+−+−==×
,
( ) ( ) ( )∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂( )r r
r r ra b
s
QW RV
si
RU PW
sj
PV QU
sk
×=
−+
−+
−=
(nakon dugog i zamornog ra~una)
= × + ×∂∂
∂∂
rr r
ra
sb a
b
s.
P14. Izra~unaj derivaciju polja ϕ = +x yz u smjeru vektora rs u to~ka-
ma presje~nice paraboloida z x y= +2 2 i ravnine y=2 , ako je rs
tangentni vektor presje~nice orijentirane padom promjenljive x (vidi
VI). U kojim to~kama presje~nice ta usmjerena derivacija iznosi 1?
Uradak. Najprije odredimo vektorsko-parametarsku jednad`bu presje~nice.
Za parametar t najzgodnije je uzeti promjenljivu x. Iz parametar-
skih jednad`bi presje~nice:
x = t , y = 2 , z = t 2 + 4
slijedi njena vektorsko-parametarska jednad`ba
r r r r rr r t t i j t k= = + + +( ) ( )2 42 .
Sada mo`emo vektor rs predo~iti analiti~ki:
r rr
r r rr r
s s tdr
dti t k s
i t k
t= = − = − − =
− −
+( ) ,2
2
1 4
0
2 .
Izra~unajmo i vrijednosti djelomi~nih derivacija polja ϕ u to~kama
presje~nice:
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂x y
zz
y= = =1 , , ;
4. Primjeri 43
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂x
tyt t
zt( ) , ( ) , ( )= = + =1 4 22 .
Tra`ena usmjerena derivacija iznosi:
∂ϕ∂s
tt
t
t
t
t( ) = −
+−
+= −
+
+
1
1 4
4
1 4
1 4
1 42 2 2.
Potra`imo to~ke T(x, y, z) presje~nice r rr r t= ( ) za koje
vrijedi
∂ϕ∂s
T( ) =1 .
Ako jednad`bu
−+
+=
1 4
1 41
2
t
t
kvadriramo i sredimo, dobit }emo kvadratnu jednad`bu
( )3 2 3 2 02t t t t+ = + =
~ija su rje{enja t = 0 i t = −2
3. Polaznu jednad`bu zadovoljava
samo t = −2
3 pa je to~ka T −
2
3240
9, , jedina to~ka presje~nice
za koju je ∂ϕ∂s
T( ) =1 .
5. Zadaci.5. Zadaci.5. Zadaci.5. Zadaci.
Z1. Izra~unaj derivaciju polja ϕ = −3 2x z ycos u smjeru vektora:
a) r r r rs i j k= − +6 3 2 b)
r r r rs i j k= − + −6 3 2
Z2. Izra~unaj i rije~ima objasni ( )∂ϕ∂sT , ako je:
a) ϕ = −2e ex z , r r r rs i j k= + +2 2 , T(0, 1, 0)
II. Usmjerena derivacija 44
b) ϕ = + +x y z 3 , r r rs j k= − , T(1, 0, −1)
c)c)c)c) ϕ = −x yz2 3 , r r rs i j= +3 4 , T(2, 2, 1)
Z3. Izra~unaj derivaciju polja r r r ra x y i z j xz k= − +2 u smjeru vektora:
a) r r r rs i j k= − −2 2 b)
r r r rs i j k= − + +4 2 4
Z4. Koja se koordinata polja r r r ra xyz i y j x k= − + +ln 2 2 u smjeru
r r rs j k= −3 4 u to~ki T(5, 6, −2) najbr`e, a koja najsporije
mijenja?
Z5. Izra~unaj derivaciju polja r r r ra i xz j y k= − +4 u to~ki T(−2, 9, 3) u
smjeru rs koji s vektorima
ri , −
rj i
rk tvori jednake o{tre kutove.
Z6. Izra~unaj derivaciju polja r r r ra xz i xy j yz k= − +2 3 u smjeru
rs koji
s vektorima r r r rc i j k= + +2 2 i
r rd k= − tvori jednake o{tre kutove.
Z7. Odredi po definiciji derivaciju sfernih polja ϕ=r2 i r ra r= u
smjeru vektora rs .
Z8. Odredi po definiciji derivaciju sfernog polja ϕ= f(r) u smjeru rs .
Z9. Primjenom formule ∂∂f r
sf r r s
( )( )= ′ ⋅r r0 0 izra~unaj derivaciju polja
ϕ =cos r2 u to~ki T(5, 2, 1) u smjeru rs =TA, gdje je A(6, 5, 0).
Z10. Primjenom pravila (12) izra~unaj ∂ ϕ∂f
s
( ) za
f t t t x y zz
xy( ) ln , ( , , )= − =2 ϕ i
r r rs j k= +3 4 .
Z11. Primjenom pravila (11) izra~unaj: a)a)a)a) ∂ ϕψ∂( )
s b)b)b)b)
∂∂( )r ra b
s
⋅
4. Primjeri 45
Z12. Primjenom pravila (11) i rje{enja zadataka Z7 i Z8, izvedi for-
mulu za usmjerenu derivaciju sfernog polja:
( )[ ] [ ]∂∂ s
f r r f r r s r f r sr r r r r= ′ ⋅ +( ) ( )0 0 0 .
Z13. Primjenom formule iz prethodnog zadatka izra~unaj derivaciju polja r ra r r r= − +( )3 6 5 u smjeru
r r r rs i j k= − +3 2 6 u to~ki T(2, 2, −1).
Z14. Izra~unaj po definiciji derivaciju polja ϕ=xyz u smjeru vektora r r r rs i j k= + +2 2 u to~ki T(1, 1, 1).
Z15. Odredi po definiciji derivaciju polja ϕ = x − y2z u smjeru rs =AB,
gdje je A(1, −1, 3) i B(4, 1, −3).
Z16. Odredi po definiciji derivaciju polja r r r ra y i
y
xjz
yk= + +
2
u smjeru
vektora r r rs i k= +4 3 .
Z17. Za koju je vrijednost parametra c derivacija polja
ϕ = − − +22
32
xx
y zx u smjeru vektora r r r rs i j c k= − +2 u to~ki
T(0, 1, −3) jednaka −2
3?
Z18. Izra~unaj derivaciju polja ϕ = +x z y3 2 u smjeru vektora
r r rs z j x k= − .
Z19. Koliko iznosi ∂ϕ∂s
, ako polja ϕ i r r r rs P i Q j R k= + + zadovoljavaju
jednad`bu: PxQ
yRz
P Q R∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
+ + = + +2 2 2 ?
Z20. Izra~unaj derivaciju polja ϕ = 2z xy u smjeru vektora rs u
to~kama parabole r r r rr t t i t j t k( ) = + + 2 , ako je
rs tangentni vektor
II. Usmjerena derivacija 46
parabole orijentirane porastom parametra t. Kolika je vrijednost te
usmjerene derivacije u to~ki T(−1, −1, 1)?
Z21. Izra~unaj derivaciju polja ϕ=x2+yz u smjeru vektora rs u to-
~kama jedini~ne kru`nice u ravnini XY, ako je rs tangentni vektor
negativno orijentrane kru`nice. Koliko je ∂ϕ∂s
1
2
3
20, ,
?
Z22. Izra~unaj derivaciju polja ϕ =1−y2z u smjeru vektora rs u to~kama
presje~nice ravnine x −z = 1 i valjka x + (y − 1)2=1, ako je rs
tangentni vektor presje~nice orijentirane padom promjenljive y.
Prona|i jo{ to~ke presje~nice u kojima je ta usmjerena derivacija
jednaka nuli.
Z23. U kojim je to~kama derivacija polja ϕ = − −z y x3 3 3 u smjeru r r r rs i j k= + + jednaka 3 ?
Z24. Prona|i stacionarne to~ke (to su one to~ke u kojima je derivacija
u bilo kojem smjeru jednaka nuli) polja:
a)a)a)a) ϕ = − − +xy yz x x z2 3 2 2 bbbb)))) ϕ = −x yz2 3
Z25. Prona|i to~ke u kojima je derivacija polja ( )r r ra x y i yz k= − +2 u
smjeru r r rs i k= −4 3 jednaka
rs .
Z26. Prona|i to~ke u kojima je derivacija polja r r r ra x i z j y k= + +3 2 u
smjeru r r r rs i j k= + −3 6 2 usporedna s ravninom 4x + 3y + 2z = 1.
Z27. U kojim je to~kama derivacija polja r r r ra y z i x y j z k= − + + +( ) ( )3 2 3 2
u smjeru r r r rs i j k= + +4 2 3 kolinearna s vektorom
r r r rc i j k= + +2 4 ?
Postoje li to~ke u kojima je ∂∂
ra
s protusmjerna s
rc ?
47
III. Usmjerena derivacija i gradijent.
Divergencija i rotor
1. Pojam gradijenta
2. Invarijantna svojstva
3. Pojmovi divergencije i rotora
4. Ra~unska pravila
5. Primjeri
6. Zadaci
U ovom se paragrafu analiti~ki odre|uju tri osnovna pojma
diferencijalnog vektorskog ra~una: vektor gradijent skalarnog polja, skalar
divergencija vektorskog polja i vektor rotor vektorskog polja. Ti se
pojmovi ~esto upotrebljavaju u integralnom vektorskom ra~unu i ~ine
bitni sastojak vektorske analize i njezinih primjena u fizici i tehnici.
Gradijent vektorskog polja je tenzor drugog reda i ne prou~ava se
u vektorskoj analizi.
Analiti~ka formula invarijantno odre|ene usmjerene derivacije ovdje
upu}uje na analiti~ku odredbu gradijenta. Ista formula omogu}ava
invarijantnu odredbu gradijenta.
U integralnom vektorskom ra~unu }e analiti~ka formula
invarijantno odre|ene usmjerene gusto}e ophoda (vidi VII) uputiti na
analiti~ku odredbu rotora, a analiti~ka formula invarijantno odre|ene
gusto}e optoka (vidi IX) na analiti~ku odredbu divergencije. Iste }e
formule omogu}iti invarijantne odredbe rotora i divergencije.
Analiti~ke odredbe divergencije i rotora navedene su ve} ovdje
zbog dva razloga. Prvo, da osnovni diferencijalni operatori grad, div i
rot vektorske analize budu sakupljeni na jednom mjestu. Drugo, da se
ve} u sljede}em poglavlju formalni mnemotehni~ki ra~un simboli~kog
diferencijalnog operatora-vektora nabla mo`e matemati~ki opravdati i na
tom temelju dalje sigurno primjenjivati.
III. Usmjerena derivacija i gradijent. Divergencija i rotor 48
1. Pojam gradijenta. 1. Pojam gradijenta. 1. Pojam gradijenta. 1. Pojam gradijenta. Osnovni pou~ak o usmjerenoj derivaciji
∂ϕ∂ s
skalarnog polja upu}uje na odredbu vektora gradijenta gradϕ
polja ϕ :
gradxi
yj
zkϕ ∂ϕ
∂∂ϕ∂
∂ϕ∂
: = + +r r r
, (1)
pomo}u kojeg se usmjerena derivacija jednostavno izra`ava in-produktom:
∂ϕ∂
ϕ ϕ ϕs
grad s s grad grads= ⋅ = ⋅ =r r0 0 . (2)
Zbog toga se operator ∂∂ s
tipa “skalar→skalar” ne smatra
osnovnim.
Operator grad je tipa “skalar→vektor”.
2. Invarijantna svojstva.2. Invarijantna svojstva.2. Invarijantna svojstva.2. Invarijantna svojstva. Iz formule (2) slijede svojstva
smjera i duljine vektora grad ϕ koja ga odre|uju:
(ig1) Smjer grad 0ϕ vektora grad ϕ je smjer rm0 u kojemu
usmjerena derivacija ima najve}u vrijednost.
(ig2) Duljina grad ϕ vektora grad ϕ je najve}a vrijednost
usmjerene derivacije ∂ϕ∂ s
, tj. jednaka je vrijednosti ∂ϕ∂m
.
Formula (1) je analiti~ka odredba vektora grad ϕ , tj. ovisna o
izabranom koordinatnom sustavu (O;r r ri j k, , ), i to neposredno preko baze
(r r ri j k, , ) sustava i posredno preko jednad`be ϕ= ϕ ( x , y , z ) polja od
koje zavise djelomi~ne derivacije ∂ϕ∂ x
, ∂ϕ∂ y
i ∂ϕ∂ z
.
Zbog te ovisnosti, treba prou~iti mijenja li se vektor grad ϕ pri
promjeni koordinatnog sustava. Op}enito se analiti~ki odre|eni skalari
i vektori mijenjaju pri prijelazu na novi koordinatni sustav te tako
3. Pojmovi divergencije i rotora 49
predstavljaju slo`enije veli~ine od pravih skalara i vektora, koji su
neovisni o izboru koordinatnog sustava. Koordinate pravog vektora se
dakako mijenjaju pri prijelazu na novi koordinatni sustav izuzev{i slu~aj
usporednog pomaka sustava. Stoga treba prou~iti na~in pretvorbe starih
koordinatnih u nove ovisno o vrsti prijelaza.
Svojstva (g1) i (g2) su invarijantna odredbena svojstva vektora
grad ϕ, tj. neovisna o koordinatnom sustavu, jer je usmjerena derivacija
invarijantno odre|ena (vidi II (1-3)). Zato je grad ϕ pravi vektor, a
to~no re~eno grad ϕ je vektorsko polje pridru`eno skalarnom polju ϕ .
3. Pojmovi divergencije i rotora.3. Pojmovi divergencije i rotora.3. Pojmovi divergencije i rotora.3. Pojmovi divergencije i rotora. Pored operatora usmjere-
nog deriviranja tipa “vektor→vektor” i gradijenta, u vektorskoj analizi
~esto se pojavljuju jo{ dva osnovna diferencijalna operatora: divergencija
i rotor.
Divergencija je operator koji vektorskom polju pridru`uje skalarno
polje, skra}eno operator div je tipa “vektor→skalar”:
divaP
x
Q
y
R
z
r: = + +
∂∂
∂∂
∂∂
. (3)
Rotor je operator koji djeluje na vektorsko polje proizvode}i
vektorsko polje, skra}eno operator rot je tipa “vektor→vektor”:
rot aR
y
Q
zi
P
z
R
xj
Q
x
P
yk
r r r r: = −
+ −
+ −
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
(4)
=
r r ri j k
x y z
P Q R
∂∂
∂∂
∂∂
. (5)
U formuli (5) rotra je izra`en simboli~kom mnemotehni~kom determi-
nantom tre}eg reda.
Ovdje su divra i rot
ra odre|eni analiti~ki, a kasnije, u
integralnom vektorskom ra~unu, prou~it }e se mogu}nost njihovog
invarijantnog odre|enja (vidi VII i IX).
III. Usmjerena derivacija i gradijent. Divergencija i rotor 50
4. Ra~unska pravila.4. Ra~unska pravila.4. Ra~unska pravila.4. Ra~unska pravila. Isti~emo najva`nija pravila (∂∂ s
, grad,
div, rot) -ra~una. Vidi (2), II(8,11).
Svaki je osnovni diferencijalni operator op: grad, div i rot, tako-
|er linearan.
Posebice, vrijede pravila:
grad (C ϕ )= C grad ϕ (6)
div (Cra )= C div
ra (7)
rot (Cra )= C rot
ra (8)
div (ϕ rc )= grad ϕ ⋅ rc (9)
rot (ϕ rc )= grad ϕ × r
c (10)
grad a ca
cc c rot a( )
r rr
rr r
⋅ = + ×∂∂
(11)
div a c rot a c( )r r r r× = ⋅ (12)
rot a ca
cc c diva( )
r rr
r r× = −
∂∂
(13)
Na tim se posebnim (grad, div, rot)-pravilima djelovanja operatora
op na umno`ak sa stalnim faktorom C odnosno rc temelje op}enitija
(grad, div, rot) -pravila djelovanja na umno`ak p qo po volji odabranih
polja p i q. Naime, djelovanje svakog operatora op mo`e se rastaviti na
zbroj njegovog djelovanja na pomo}ne umno{ke p o q i p o q s
podcrtanim poljem ozna~avaju}i time da se pri djelovanju operatora
podcrtano polje smatra stalnim:
op (p o q)=op (p o q)+op (p o q) (14)
=op (p o q)+op (p o q) (15)
na isti na~in kao pri deriviranju umno{ka f g funkcija f i g:
(g 1)
(d 1.1)
(r 1.1)
(d 1.2)
(r 1.2)
(g 2)
(d 2)
(r 2)
(OP)
4. Ra~unska pravila 51
∂ (f g) = ∂ (f g) + ∂ (f g) (16)
= ∂ (f g) + ∂ ( f g) . (17)
Pravila djelovanja operatora grad, div i rot na umno`ak p o q
polja p i q jesu:
(G1) grad (ϕ ψ) = ϕ grad ψ + ψ grad ϕ (18)
(D1) div a diva grad a( )ϕ ϕ ϕr r r= + ⋅ (19)
(R1) rot a rot a grad a( )ϕ ϕ ϕr r r= + × (20)
(G2) grad a ba
bb b rot a
b
aa a rot b( )
r rr
r rr
r r⋅ = + × + + ×
∂∂
∂∂
(21)
(D2) div a b rot a b a rot b( )r r r r r r× = ⋅ − ⋅ (22)
(R2) rot a ba
bb b diva
b
aa a divb( )
r rr
r rr
r r× = − − +
∂∂
∂∂
(23)
Tako|er vrijedi lan~ano pravilo (vidi II (12)):
(LG) grad f f grad( ) ( )ϕ ϕ ϕ= ′ (24)
te pravila djelovanja na sferna polja:
gs) grad r r=r 0 (25)
Gs) grad f r f r r( ) ( )= ′r 0 (26)
ds) div rr= 3 (27)
Ds) (r) div f r r f r r f r( ) ( ) ( )r= ′ + 3 (28)
rs) rot rr r= 0 (29)
Rs) rot f r r( )r r= 0 (30)
III. Usmjerena derivacija i gradijent. Divergencija i rotor 52
5. Primjeri5. Primjeri5. Primjeri5. Primjeri
P1. Izra~unaj gradijent skalarnog polja ϕ = +z xy , i derivaciju istog
polja u smjeru vektora s i j k= − +2 2r r r
.
Uradak. Izra~unajmo po formuli (1) gradijent polja ϕ :
gradxi
yj
zk
y
xi
x
yj kϕ
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
= + + = + +r r r r r r1
2
1
2.
Jedini~ni vektor rs 0 u smjeru vektora
rs iznosi
r r r rs i j k0 2
3
1
3
2
3= − + ,
pa primjenom formule (2)1 dobivamo usmjerenu derivaciju polja ϕ :
∂ϕ∂
ϕs
grad sy
x
x
y= ⋅ = − +
r 0 1
3
1
6
2
3.
P2. Odredi smjer rm0 najve}e brzine rasta polja ϕ = xy2− z3 u to~ki
T0(x0, y0, z0) i izra~unaj tu najve}u brzinu rasta u to~ki T0.
Koliko iznosi najve}a brzina rasta polja ϕ u to~ki a(−2, 1, 2)?
Uradak. Izra~unajmo najprije gradijent polja ϕ :
grad y i xy j z kϕ = + −2 22 3r r r
.
rot x y z y i x y j z kϕ ( , , )0 0 0 02
0 0 02
02 3= + −r r r
Usmjerena derivacija polja ϕ ima najve}u vrijednost u smjeru
gradijenta polja ϕ (ig1):
rr r r
m grad x y zy i x y j z k
y x y zy z0 0
0 0 002
0 0 02
04
0202
04
0 0
2 3
4 90 0= =
+ −
+ +≠ ≠ϕ ( , , ) , ili
Ta najve}a vrijednost usmjerene derivacije polja ϕ jednaka je
duljini gradijenta polja ϕ (ig2):
∂ϕ∂
ϕmT grad x y z y x y z( ) ( , , )0 0 0 0 0
40202
044 9= = + + .
Najve}a usmjerena derivacija polja ϕ u to~ki a(−2, 1, 2) iznosi
5. Primjeri 53
1 4 2 1 9 2 1614 2 2 4+ ⋅ − ⋅ + ⋅ =( ) .
P3. Poka`i da za vektor rn = grad ϕ (T) ≠
r0 vrijedi:
(ig3) Vektor rn je okomit na razinsku povr{inu polja ϕ koja
prolazi to~kom T.
(ig4) Usmjerena derivacija ∂ϕ∂ n
T( ) je pozitivna, tj. gradijent
polja je usmjeren u smjeru rasta polja.
(Invarijantna svojstva (ig3) i (ig4) mogu se uzeti kao odredbena
svojstva smjera vektora gradijenta. Vidi i XII.P5)
Uradak. (ig3) Jednad`ba tangentne ravnine na razinsku povr{inu u to~ki
T(x0, y0, z0), ϕ(x, y, z) = ϕ (x0, y0, z0), glasi:
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂x
T x xyT y y
zT z z( )( ) ( )( ) ( )( )− + − + − =0 0 0 0
odakle se vidi da je
grad TxT i
yT j
zT kϕ
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
( ) ( ) ( ) ( )= + +r r r
njen normalni vektor.
(ig4) Iz formule (2)2 i pretpostavke grad ϕ (T) ≠ r0 , slijedi:
∂ϕ∂
ϕϕϕ
ϕ ϕnT n grad T
grad T
grad Tgrad T grad T( ) ( )
( )
( )( ) ( )= ⋅ = ⋅ = >
r0 0 .
P4. Je li vektor r r r rc i j k= + −6 2 6 okomit na povr{inu x
2−yz3=7 u
to~ki T(3, 2, 1)?
Uradak. Imaju}i na umu prethodni primjer treba provjeriti je li vektor rc kolinearan s vektorom grad ϕ (T) za ϕ =x2− yz3. Kako je
grad x i z j yz kϕ = − −2 33 2r r r
i grad T i j kϕ( ) = − −6 6r r r
, vektor rc
nije kolinearan s vektorom grad ϕ (T). Zato rc nije okomit na
zadanu povr{inu u to~ki T.
III. Usmjerena derivacija i gradijent. Divergencija i rotor 54
P5. U kojim je to~kama gradijent polja ϕ=xyz+y2 kolinearan s
vektorom r r r rc i j k= − +2 2 i razli~it od
r0 ?
Uradak. Izra~unajmo gradijent polja ϕ :
grad yz i xz y j xy kϕ = + + +r r r( )2 .
Iz grad ϕ = αrc , α ≠ 0 dobivamo sustav od tri jednad`be s nepo-
znanicama x, y, z i parametrom α:
yz
xz y
xy
=
+ =
=
2
2 2
αα
α .
Pomno`imo li tre}u jednad`bu sustava s 2, i to usporedimo s
prvom jednad`bom, dobit }emo
yz = 2 xy,
pa nakon kra}enja s y ≠ 0 (za y = 0 iz prve jednad`be izlazi α =0) izlazi
z = 2x.
Ako u drugu jednad`bu umjesto z uvrstimo 2x, a umjesto α
uvrstimo xy, dobit }emo x xy y2 0+ + = i odatle (budu}i da x ne
mo`e biti −1)
yx
x= −
+
2
1.
Rje{enje sustava su to~ke krivulje s vektorsko-parametarskom je-
dnad`bom
r r r r rr r x x i
x
xj x k x x= = −
++ ≠ − ≠( ) , ,
2
12 1 0 .
P6. Izra~unaj derivaciju polja ϕ = xy − sin z u smjeru vektora rn u
to~kama sto`aste zavojnice r r r rr t t t i t t j t k( ) cos sin= + + , ako je
rn
vanjski normalni vektor sto{ca x y z2 2 2+ = . Koliko iznosi vrije-
dnost te usmjerne derivacije u to~ki A(π, 0, −π)? Vidi i XII.P6.
5. Primjeri 55
Uradak. Odredimo analiti~ki prikaz vektora rn . Neka je ψ=x2+y2−z2 .
Treba odlu~iti je li rn =grad ψ ili
rn =− grad ψ. Budu}i da je grad
ψ usmjeren na jednu stranu povr{ine ψ(x, y, z)=0 ({to slijedi iz
(ig4)-vidi P3), dovoljno je zato izra~unati grad ψ u jednoj
to~ki, npr. u to~ki T 02 2, ,π π
za gornji dio - vidi sliku.
Jer je
grad T x i y j z kψ ( ) = + −2 2 2r r r
,
dakle
grad T j k nψ π π( ) = − ↑↑r r r
,
stoga je
rn grad= ψ .
sli~no je za donji dio rn grad= − ψ
Izrazimo vrijednosti vektora rn i
rn0 u to~kama zavojnice
rr (t):
r r r rn t t t i t j k( ) (cos sin= ± + −2 ) ,
r r r rn t t i t j k0 2
2( ) (cos sin )= ± + − ,
gdje je predznak plus za gornji dio, tj. pozitivne t, a minus za
donji dio, tj. negativne t.
Izra~unajmo i gradijent polja ϕ u to~kama zavojnice rr (t):
grad y i x j z kϕ = + −r r r
cos ,
grad t t t i t t j t kϕ( ) sin cos cos= + −r r r
.
Tra`ena usmjerena derivacija za rn (t) ≠
r0 , tj. za t ≠0, iznosi
∂ϕ∂
ϕnt n t grad t t t t( ) ( ) ( ) ( sin cos )= ⋅ = ± +
r0 2
22 ,
dakle
Slika uz P6.
III. Usmjerena derivacija i gradijent. Divergencija i rotor 56
∂ϕ∂
∂ϕ∂
πnA
n( ) ( )= − =
2
2.
P7. Izra~unaj divergenciju i rotor vektorskog polja r r ra x y i yz k= −3 3 u
to~ki T(−5, 3, 4).
Uradak. Istaknimo koordinate P, Q i R polja ra :
P = x3y , Q = 0 , R = − yz3 .
Divergenciju mo`emo izra~unati po odredbenoj formuli (3):
divaP
x
Q
y
R
zx y yz y x z
r= + + = − = −∂∂
∂∂
∂∂
3 3 32 2 2 2( ) ,
divra (−5, 3, 4)=81 .
Rotor }emo izra~unati pomo}u simboli~ke determinante (5):
rot a
i j k
x y z
x y yz
z i x kr
r r r
r r=
−
= − −∂∂
∂∂
∂∂
3 3
3 3
0
,
rotra (−5, 3, 4) = −64
ri + 125
rk .
P8. Izra~unaj div grad ϕ za ϕ =x3z2− yz i rot rot ra za
r r r ra y z i xy j x z k= + −2 2 3 .
Uradak. Izra~unajmo najprije gradijent polja ϕ po formuli (1), a zatim
divergenciju polja grad ϕ po formuli (3):
grad x z i z j x z y kϕ = − + −3 22 2 3r r r
( ) ,
div (grad ϕ )=6xz2+2x3.
Izra~unajmo rotore polja ra i rot
ra pomo}u simboli~ke determi-
nante (5):
5. Primjeri 57
rot a
i j k
x y z
y z xy x z
x z y j y yz kr
r r r
r r=
−
= + + −∂
∂∂
∂∂
∂2 2 3
2 2 23 2( ) ( ) ,
rot rot a
i j k
x y z
x z y y yz
y z x i xz k( ) ( )r
r r r
r r=
+ −
= − − +∂
∂∂
∂∂
∂0 3 2
2 2 3 6
2 2 2
2 .
P9. Izra~unaj: a) grad ( sin )ϕ ϕ2 − b) div( r 3 + ln r)rr
Uradak. a) Gradijent polja f (ϕ ) = ϕ 2 − sin ϕ mo`emo izra~unati po lan~anom pravilu (24):
grad(ϕ 2 − sin ϕ ) = ( ϕ 2 − sin ϕ ) ′ grad ϕ = ( 2 ϕ − cos ϕ ) grad ϕ .
b) Divergenciju polja f (r)rr , f (r)=r3 + ln r, mo`emo izra~unati
po pravilu (28):
div(r3+ln r)
rr =(r3+ln r)′r +3(r3+ln r)=6r3+3ln r + 1 .
P10. Izvedi formulu (13): rot a ca
cc c diva( )
r rr
r r× = −
∂∂
.
Uradak. Neka je r r r r r r r ra P i Q j R k c c i c j c kx y z= + + = + +i .
Izvedimo najprije formulu (13) za polje Pri i vektor
rc :
rot P i c rot
i j k
P
c c c
i j k
x y z
c P c Px y zz y
( )r r
r r r r r r
× = =
−
=0 0
0
∂∂
∂∂
∂∂
= +
− − =c
P
yc
P
zi c
P
xj c
P
xky z y z
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
r r r
( )= + +
− + + =c
P
xc
P
yc
P
zi c i c j c k
P
xx y z x y z
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
r r r r
III. Usmjerena derivacija i gradijent. Divergencija i rotor 58
= ⋅ − = ⋅ − =( ) ( ) ( ) ( )r r r r r r r rc grad P i c div Pi cc grad P i c div Pi0
= − = −cP
ci c div Pi
Pi
cc c div Pi
∂∂
∂∂
r r rr
r r( )
( )( ) .
Na isti se na~in formula (13) izvede za polja Qrj i R
rk . Iz ta
tri pojedina~na izvoda, i ~injenice da su operatori usmjerenog
deriviranja, divergencije i rotora linearni, proizlazi formula (13) za
polje ra .
P11. Izvedi formulu (19): div (ϕ ra )=ϕ div
ra +grad ϕ ⋅
ra .
Pogledaj kako se to radi u nabla-ra~unu (vidi IV. P9).
Uradak. @elimo li ra~unati divergenciju polja ϕra po odredbenoj for-
muli (3), najprije moramo zapisati njegove koordinate. Ako je r r r ra P i Q j R k= + + , onda je ϕ ϕ ϕ ϕ
r r r ra P i Q j R k= + + . Tako slijedi
div aP
x
Q
y
R
z( )
( ) ( ) ( )ϕ
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
r= + + ,
i nakon djelomi~nog deriviranja umno`aka ϕ P, ϕ Q i ϕ R po
promjenljivim x, y i z, izlazi:
div aP
xP
x
Q
yQ
y
R
zR
z
P
x
Q
y
R
zP
xQ
yR
z
diva a grad diva grad a
( )
.
ϕ ϕ∂∂
∂ ϕ∂
ϕ∂∂
∂ ϕ∂
ϕ∂∂
∂ ϕ∂
ϕ∂∂
∂∂
∂∂
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
ϕ ϕ ϕ ϕ
r
r r r r
= + + + + + =
= + +
+ + + =
= + ⋅ = + ⋅
P12. Izvedi formulu (24): grad f f grad( ) ( )ϕ ϕ ϕ= ′ . Uradak. Razvojem gradijenta polja f (ϕ ) po odredbenoj formuli (1) i
djelomi~nim deriviranjem funkcije f (ϕ ), dobivamo:
grad ff
xi
f
yj
f
zk( )
( ) ( ) ( )ϕ
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
= + + =r r r
6. Zadaci 59
= + + = ′d f
d xid f
d yjd f
d zk f grad
( ) ( ) ( )( )
ϕϕ
∂ ϕ∂
ϕϕ
∂ ϕ∂
ϕϕ
∂ ϕ∂
ϕ ϕr r r
.
P13. Pomo}u formula (20), (26) i (29) doka`i formulu (30):
rot f (r)rr =
r0 .
Uradak. Razvojem rotora sfernog polja f (r)rr po formuli (20), slijedi:
rot f (r)rr = f (r) rot
rr + grad f (r) ×
rr =
(rot rr =
r0 po (29) i grad f ′ (r) = f (r)
rr 0 po (26))
=f (r) r0 + f ′ (r)
rr 0 ×
rr = f r f r r r f( ) ( ) ( )
r r r r0 1 0 00+ ′ × = ′ = .
6. Zadaci6. Zadaci6. Zadaci6. Zadaci
Z1. Izra~unaj gradijent skalarnog polja ϕ = −x y z2 2 i njegovu vrije-
dnost u to~ki T(−2, 4, 0).
Z2. Koliki je kut gradijenata polja ϕ = −z x y3 u to~kama A(0, 3, 1)
i B(1, 0, 4) ?
Z3. Odredi smjer najve}e brzine rasta polja ϕ = +x
yz
3
25 u to~ki
T(6, −2, 3) i izra~unaj tu najve}u brzinu rasta.
Z4. Odredi smjer najve}e brzine pada polja ϕ = − −x yz 4 u to~ki
T(6, −2, 3) i izra~unaj tu najve}u brzinu pada.
Z5. Prona|i jedini~ne normalne vektore povr{ine xy2 − 2yz3= −4 u to~ki
T(0, 2, 1). Vidi i XII. Z17.
Z6. S koje se strane paraboloida z = x2 + y2 nalaze gradijenti polja
ϕ=z−x2−y2 u to~kama A(0, 1, 1) i B(0, 2, 4)?
Z7. Prona|i to~ke povr{ine x2y−z2=0 u kojima je vrijednost vektorskog
III. Usmjerena derivacija i gradijent. Divergencija i rotor 60
polja r r r ra x i
z
yj
y
yk= + +
−2
6 22
okomita na povr{inu.
Z8. Izra~unaj gradijent polja ϕ = ⋅r rc r , gdje je
rc stalni vektor. Vidi i
I.Z21.
Z9. Izvedi formulu za gradijent koli~nika skalarnih polja ϕ i ψ :
gradgrad gradϕ
ψψ ϕ ϕ ψ
ψ=
−2
.
Z10. Izrazi gradijent polja f (ϕ, ψ)=f (ϕ(x, y, z), ψ (x, y, z)) preko gradi-jenata polja ϕ i ψ.
Z11. Doka`i stavak: Ako je vektor r rs ≠ 0 kolinearan s gradijentom polja
ϕ u to~ki T, tada je grad TsT sϕ
∂ϕ∂
( ) ( )=r0 .
Z12. Izra~unaj derivaciju polja ϕ=x−z2 u smjeru vektora rn u to~kama
presje~nice paraboloida y=x2+(z+2)2 i valjka x=(z+2)2, ako je rn
unutarnji normalni vektor paraboloida. Prona|i i to~ke u kojima je
ta usmjerena derivacija jednaka nuli.
Z13. Izra~unaj divergenciju i rotor vektorskih polja:
a) r r r ra z i x y j yz k= − −ln 2 b)
r r ra yz j
x
yzk= −
Z14. Jesu li divergencija i rotor polja r r ra x i z j= − stalna polja?
Z15. Izra~unaj:
a) ( )grad div i xz j y z kr r r
− +2 3 b) ( )rot rot z y j x z kcos lnr r
+
Z16. Uvjeri se da za svako skalarno polje ϕ i svako vektorsko polje ra
vrijedi: rot gradϕ =r0 i div rot
ra =0.
Z17. Je li polje rot grad div ra stalno?
Z18. Je li polje ψ = div rot grad ϕ − div rot rot ra neovisno o poljima ϕ
i ra ?
6. Zadaci 61
Z19. U kakvoj su vezi: a) rotra i rot
rb , ako je
r ra b grad= + ϕ
b) divra i div
rb , ako je
r r ra b rot v= +
Z20. Koriste}i se formulama (18-20) doka`i sljede}e formule:
a) grad (divra )
2=2 divra grad div
ra
b) div (divra rot 6
rb )=6 grad div
ra ⋅rot
rb
c) rot (a div ra grad ϕ)=grad (a div
ra ) × grad ϕ
Z21. Pomo}u formula (21-23) doka`i ove formule :
a) grad a rot aa
rot arot a
rot a
aa a rot rot a( )
r rr
rr
rr r
⋅ = + + ×∂
∂∂
∂
b) ( )div grad gradϕ ψ× = 0
c) ( )rot rot a rot brot a
rot brot b
rot b
rot arot a
r rr
r
rr
rr
× = −∂
∂
∂∂
Z22. Doka`i: [ ]grad a b grad rot a b grad( ) ( )r r r r r
⋅ × − ⋅ =ϕ ϕ 0 .
Z23. Doka`i: [ ]ϕ ϕ ϕr r r r r r r ra rot rota div a rota rota rot a a rota grad⋅ + × = ⋅ − × ⋅( ) ( ) .
Z24. Izra~unaj: a) grad 5r b) div 5rr c) rot 5
rr
Z25. Primjenom formula (25-30) izra~unaj :
a) grad ln r 2 b) div sin r
2 rr c) rot sin r
2 rr
Z26. Izra~unaj :
a) gradr
r
( )4 31+ b)
∂∂
arc tan r
c
−1 c) ( )div r r rcos 2 0+
r
Z27. Izra~unaj divergenciju polja r r ra f r c r= ×( ) na dva na~ina :
r r ra f r c r= ×( )( ) i [ ]r r r
a f r c r= ×( ) .
Z28. Izra~unaj divergenciju i rotor polja ( )r r r ra c r r= ⋅ .
Z29. Odredi : a) div grad f (r) b) rot grad f (r) c) grad div f (r) rr
III. Usmjerena derivacija i gradijent. Divergencija i rotor 62
Z30. Je li [ ] [ ]rot f r x i z k rot f r y j( )( ) ( )r r r
+ = − ?
Z31. Za koje funkcije f (r) vrijedi [ ]rot f r x i y j z k( )( )2 2 2 0r r r r
+ + = ?
Z32. Odredi f (r), ako je :
a) grad f rr
rr( ) =
−1 2 r b) div f r r r
r( )
r= +2
2
1
Z33. Izrazi f r( ) pomo}u g r( ) , ako je :
a) grad f (r) = g(r)rr 0 b) div f (r)
rr =g (r)
Z34. Slu`e}i se rje{enjima iz prethodnog zadatka odredi f (r), ako je :
a) grad f (r)=r0 b) div f (r)
rr =0
Z35. Odredi f (y) tako da divergencija polja r r r ra xy i f y j z f y k= + −( ) ( )
bude nula.
Z36. Odredi f (x) i g(z) tako da rotor polja
r r r ra z i y g z j f x z
y
zk= + + −
2
33 22
( ) ( ) bude nulvektor.
Z37. U kojim je to~kama divergencija polja r r r ra x i yz j y z k= − −2 2 22 6
nula?
Z38. U kojim je to~kama rotor polja r r r ra y z i x j xz k= + +3 2 2 nulvektor?
Z39. U kojim to~kama polje ( )r r r ra x i y yz j y z k= − + −4 2 42 2 2 ima naj-
ve}u divergenciju i koliko ona iznosi?
Z40. U kojim to~kama polje r r r ra z x x i z y y j z k= − − − +2 4 42 2 3 ima
najve}u duljinu rotora? Izra~unaj vrijednost polja rotra u tim
to~kama.
63
IV. Nabla
1. Diferencijalni operator - vektor nabla
2. Polja oblika ∇ o p
3. Operatori oblika p∗∇
4. Djelovanje nable na umno`ak polja
5. Primjeri
6. Zadaci
U tehni~koj je literaturi simbol ∇ (obrnuto napisano gr~ko slovo
delta) zvan nabla (po imenu starogr~kog glazbala trokutasta oblika) ili
atled (obrnuto ~itano ime gr~kog slova delta) ili del (prvi slog rije~i
delta), prisutan je uvijek gotovo u svim in`enjerskim djelima o poljima
gdje je u slu`bi izgradnje ∇-izraza, kojima se predo~avaju raznovrsna
slo`ena polja i operatori, i ra~unanja s tim izrazima po ∇-pravilima,
kojima se proizvode valjane jednakosti me|u slo`enim poljima ili
operatorima.
∇-izrazi i ∇-pravila su po obliku sli~na dobro poznatim izrazima i
pravilima vektorske algebre i diferencijalnog ra~una, stoga se ti izrazi
~esto upotrebljavaju, a pravila lako pamte i rado primjenjuju.
In`enjeri se ∇-ra~unom obi~no koriste samo na heuristi~ki i
mnemotehni~ki na~in, bez matemati~kog opravdavanja odredbenih pravila
i valjanosti proizvedenih rezultata.
S matemati~kog gledi{ta, ∇-ra~un je samo pogodno mnemotehni~ko
sredstvo kojim se proizvode matemati~ki ve} dokazane formule na kojima
se upravo temelji opravdanje valjanosti rezultata ∇-ra~una. Ipak, ∇-ra~un
i matemati~arima mo`e slu`iti kao sugestivna heuristika i mnemotehnika.
Nablu je u vektorsku analizu uveo Hamilton i ra~unaju}i s njom,
kao s vektorom, po pravilima vektorske algebre, i kao s diferencijalnim
operatorom, po pravilima diferencijalnog ra~una, razvio tako invarijantni
∇-ra~un vektorske analize.
1. Diferencijalni operator1. Diferencijalni operator1. Diferencijalni operator1. Diferencijalni operator-vektor nabla.vektor nabla.vektor nabla.vektor nabla. Analiti~ke odredbe
gradijenata, divergencije i rotora navele su Hamiltona da simboli~ki
IV. Nabla 64
diferencijalno-vektorski izraz
∂
∂
∂
∂
∂
∂xi
yj
zk
r r r+ + , (1)
sastavljen kao vektor u bazi (ri ,
rj ,
rk ), s operatorima
∂
∂ x,
∂
∂ y i
∂
∂ z
djelomi~nog deriviranja, po koordinatama x, y i z promjenljive to~ke u
prostoru, u ulozi koordinata, uvede u obliku
r r rix
jy
kz
∂
∂
∂
∂
∂
∂+ + , (2)
kao mnemotehni~ki simboli~ki diferencijalni operator-vektor nabla, ozna~a-
vaju}i ga simbolom ∇:
∇ : =r r rix
jy
kz
∂
∂
∂
∂
∂
∂+ + , (3)
te da s njim izgra|uje ∇----izraze i da s njima ra~una po posebnim ∇----
pravilima....
2. Polja oblika2. Polja oblika2. Polja oblika2. Polja oblika ∇ o p . Najjednostavniji ∇-izrazi su umno{ci
vektorske algebre oblika ∇ o p , s poljem p zdesna od ∇, kojima se
predo~avaju polja po sljede}im odredbenim pravilima pretvorbe:
(∇A1) ∇ϕ : =gradϕ (4)
(∇A2) ∇ ⋅r ra diva: = (5)
(∇A3) ∇ ×r ra rot a: = (6)
Pravila (∇A) povezuju umno{ke ∇ o p s osnovnim poljima grad ϕ,
div a i rot a diferencijalnog vektorskog ra~una, stoga se za ∇ u ∇ o p
mo`e re}i da djeluje na polje p zdesna preko znaka mno`enja o
proizvode}i polje ∇ o p , a pravila se mogu nazvati pravila djelovanja ∇
na polje p. Pravila (∇A) su izlazna pravila iz ∇ -ra~una u (grad, div,
rot)-ra~un, (∇A→), a ~itaju}i ih obrnuto zdesna ulijevo, to su ulazna
pravila u ∇ ----ra~un iz (grad, div, rot)-ra~una, (∇A←).
3. Operatori oblika 65
3. Operatori oblika3. Operatori oblika3. Operatori oblika3. Operatori oblika p∗∇ .... Najjednostavniji ∇ -izrazi druge
vrste su umno{ci oblika p∗∇ , s poljem p slijeva od ∇ , kojima se
predo~avaju operatori. Operator p∗∇ djeluje preko znaka mno`enja o
na polje q zdesna i proizvodi polje ( )p q∗∇ o po sljede}im odredbenim
pravilima pretvorbe.
Osnovni pou~ak o usmjerenoj derivaciji ∂
∂
p
s skalarnog ili
vektorskog polja p (vidi II(5,6)) upu}uje na odredbu operatora-skalara ra ⋅∇:
(ra ⋅∇ )p: = a
p
a
∂
∂; (7)
posebice, za ra0 umjesto
ra , iz (7) slijedi
( )ra p
p
a
0 ⋅∇ =∂
∂ , (8)
a za rb umjesto p, iz (7) i (8) slijede ulazno-izlazna pravila pretvorbe:
(ra ⋅∇ )
rb = a
b
a
∂
∂
r
, (9)
(ra0 ⋅∇ )
rb =
∂
∂
rb
a. (10)
Operatori-vektori ϕ∇ i ra × ∇ odre|uju se po op}em pravilu
vektorske algebre o pomaku zagrada u tro~lanom umno{ku, smatraju}i
∇ pravim vektorom:
( ) : ( )ϕ ψ ϕ ψ∇ = ∇ (11)
( ) : ( )ϕ ϕ∇⋅ = ∇ ⋅r ra a (12)
( ) : ( )ϕ ϕ∇ × = ∇ ×r ra a (13)
( ) : ( )r ra a×∇ = × ∇ϕ ϕ (14)
( ) : ( )r r r ra b a b×∇ ⋅ = ⋅ ∇ × (15)
( ) : ( ) ( ) ( )r r r r r r r ra b a b a b a b×∇ × = × ∇ × + ⋅∇ − ∇ ⋅ (16)
(∇A4)
IV. Nabla 66
Operator-skalar ra ⋅∇ odre|en ve} po (7), ako djeluje na skalarno
polje, odredljiv je u istom zna~enju i po op}em pravilu pomaka zagrada:
( ) : ( )r ra a⋅∇ = ⋅ ∇ϕ ϕ . (17)
Operator vektor ra × ∇ odre|en ve} po (16) odredljiv je tako|er,
u istom zna~enju, sljede}im postupkom. Slijedi obja{njenje i opis postupka.
Pravilo pomaka zagrada u ex-ex-produktu:
( ) ( ) ( ) ( ),r r r r r r r r r r r ra c b a c b a c b a c b× × = × × + ⋅ − ⋅ (18)
primijenjeno u (16), proizlazi iz dva jednostavnija pravila ex-ex-produkta:
(×(×)) r r r r r r r r ra c b c a b b a c× × = ⋅ − ⋅( ) ( ) ( ) , (19)
((×)×) ( ) ( ) ( )r r r r r r r r ra c b a b c c b a× × = ⋅ − ⋅ , (20)
isklju~ivanjem jednakih ~lanova r r r r r rc a b a b c( )⋅ ⋅ ( )i .
Iz III(11) slijedi formula
r r r r
r
a rot b grad a b ab
a× = ⋅ −( )
∂
∂, (21)
a njezin je prijevod u ∇ -jezik ∇ -formula
r r r r r ra b a b a b× ∇ × = ∇ ⋅ − ⋅∇( ) ( ) ( ) . (22)
Usporedimo li prvo pravilo o ex-ex produktu (×(×)) s prijevodom
(22), zaklju~ujemo da se to pravilo mo`e primijeniti i u slu~ju da se
pravi vektor rc zamijeni s ∇ , ali uz dodatni zahtjev uskla|enosti
djelovanja ∇ na polje u lijevoj strani pravila s djelovanjem na to polje
u desnoj strani :
Ako u lijevoj strani pravila ∇ ne djeluje na polje, tada na njega
ne smije djelovati niti u desnoj strani; u svrhu zabrane djelovanja, ako
je potrebno, polje se podcrta.
Ako u lijevoj strani pravila ∇ djeluje na polje, tada na njega
mora djelovati i u desnoj strani; u svrhu prisile djelovanja, ako je
potrebno, ∇ se spoji s poljem.
4. Djelovanje nable na umno`ak polja 67
Primjena tako pro{irenog prvog pravila (×(×)) proizvodi ∇ -formulu
r r r r r ra b a b b a× ∇ × = ∇ ⋅ − ⋅∇( ) ( ) ( ) (23)
s pomo}nim ∇ -izrazima: ∇ ⋅( )r ra b s podcrtanim
ra , i
r rb a( )⋅∇ sa spoje-
nim rb i ∇ . Pri tome se pomo}ni ∇ -izraz sa spojnicom mora jo{
pretvoriti, po pravilu vektorske algebre, u ~isti ∇ -izraz po odredbi
r r r rb a a b( ) : ( )⋅∇ = ⋅∇ . (24)
Primjena tako pro{irenog drugog pravila ((×)×) proizvodi tada
∇ - formulu
( ) ( ) )r r r r r ra b a b b a× ∇ × = ⋅ ∇ − ∇ ⋅ (25)
s pomo}nim ∇ -izrazom ( ) ,r ra b⋅ ∇ sa spojenim
rb i ∇ na drugi na~in,
koji se jo{ mora pretvoriti, po istom pravilu vektorse algebre ali
po{tivaju}i dodatni zahtjev uskla|enosti, u pomo}ni ∇ -izraz ∇ ⋅( )r ra b s
podcrtanim samo ra , po odredbi
( ) : ( )r r r ra b a b⋅ ∇ = ∇ ⋅ . (26)
Isklju~ivanjem zajedni~kog izraza ∇ ⋅( )r ra b iz tako proizvedenih
dviju ∇ -formula proizlazi (16). Time je zavr{en opis postupka.
4. Djelovanje nable na umno`ak polja4. Djelovanje nable na umno`ak polja4. Djelovanje nable na umno`ak polja4. Djelovanje nable na umno`ak polja.... Isti~emo glavna
pravila djelovanja ∇ preko znaka mno`enja ∗ na umno`ak p qo polja
p i q, te pomo}na pravila djelovanja na umno{ke p qo i p qo s
podcrtanim poljem. Obje vrste pravila pretvorbe : glavna pravila
pretvaraju ~isti ∇ -umno`ak ∇∗( )p qo u zbroj dva pomo}na ∇ -umno{ka
∇∗( )p qo i ∇∗( )p qo , a pomo}na pravila pretvaraju svaki pribrojnik u
~isti ∇ -umno`ak ili zbroj dva ~ista ∇ -umno{ka gdje ∇ djeluje samo
na jedan mno`itelj. Obje se vrste pravila temelje na pravilima djelovanja
operatora op: grad, div i rot, na umno`ak polja; glavna se pravila
temelje na pravilima (OP) (vidi III(14,15)), a pomo}na pravila na (grad,
div, rot)-pravilima (vidi III(6-13)). Naime, izrazi li se po pravilima (∇A)
operator op nablom, iz (OP) proizlaze glavna pravila pretvorbe, a iz
IV. Nabla 68
(grad, div, rot)-pravila pomo}na. Pretvorba se u glavnim pravilima ostva-
ruje po pravilu derivacije umno{ka diferencijalnog ra~una, a u pomo}nim
pravilima po pravilima vektorske algebre: po pravilu prolaza skalara kroz
umno`ak ili pomaka zagrada, komutativnosti ili antikomutativnosti, ex-ex-
-produkta.
Glavna se pravila mogu predo~iti u sa`etu obliku:
∇∗ = ∇ + ∇∗( ) ( ) ( )p q p q p qo o o (27)
= (∇ +∇p q p qo o) ( ) (28)
Pomo}na pravila su:
∇ = ∇( ) ( )ϕ ψ ϕ ψ (29)
∇ = ∇( ) ( )ϕψ ψ ϕ (30)
∇⋅ = ∇ ⋅( ) ( )ϕ ϕ r ra a (31)
∇⋅ ∇ ⋅( )ϕ ϕr ra a) = ( (32)
∇× = ∇ ×( ) ( )ϕ ϕ r ra a (33)
∇× = ∇ ×( ) ( )ϕ ϕr ra a (34)
∇ ⋅ = ⋅∇ + × ∇ ×( ) ( ) ( )r r r r r ra b b a b a [ iz
r rb a× ∇ ×( ) (35)
∇ ⋅ = ∇ ⋅( ) ( )r r r ra b b a ili iz ]
r ra b× ∇ ×( ) (36)
∇⋅ × = ∇ × ⋅( ) ( )r r r ra b a b (37)
∇ ⋅ × = −∇ ⋅ ×( ) ( )r r r ra b b a (38)
∇× × = ∇ ⋅ − ∇ ⋅( ) ( ) ( )r r r r r ra b a b b a gdje je (39)
r r r r r ra b a b b a( ) ( ) ( )∇⋅ = ⋅∇ = ⋅∇ (40)
∇ × × = −∇ × ×( ) ( )r r r ra b b a (41)
Na~in na koji smo uveli ∇ -izraze i ∇ -pravila, bilo da su izrazi-
-polja ili izrazi-operatori bilo odredbena pravila ili pravila postupka,
opravdava ∇ -ra~un, a posebice ga opravdava primjena pravila (∇ A) - (∇ C )
(∇ B)
(∇C1)
(∇C2)
(∇C3)
(∇C4)
(∇C5)
(∇C6)
5. Primjeri 69
kojom se proizvode (G, D, R)-pravila (vidi III(18-23)) po sljede}oj shemi:
op p q p q( ) ( )o o= ∇∗ [iz (∇A←)]
= ∇∗ + ∇∗( ) ( )p q p qo o [ iz (∇B)]
= + + + +N N N N N N1 2 11 12 21 22ili [ iz (∇C)]
= + + + +O O O O O O1 2 11 12 21 22ili [iz (∇A→)] Ovdje su Ni i Nij ~isti tro~lani ∇ -umno{ci u kojima ∇ djeluje samo
na jedno polje, a O Oi ij i su (∂∂ s
, grad, div, rot)-izrazi u kojima ∂∂ s
,
ako nastupa u izrazu, djeluje samo na vektorsko polje.
5. Primjeri5. Primjeri5. Primjeri5. Primjeri
P1. Prevedi u ∂∂ s
grad div rot, , ,
-izraze :
a) ∇ +∇ ⋅ − −∇ ×( ) ( ) (ϕ ψ ϕ ψ b)r r ra b b) ( ) ( )
r r ra a b×∇ + ×∇ ×ϕ
Uradak. a) Iz odredbenih pravila (4-6) slijedi:
∇ +∇ ⋅ − − ∇ ×
− −
( ) (ϕψ ϕ ψ
ϕψ ϕ ψ
) ( ) =
= ( ) + ( ) ( ).
r r r
r r r
a b b
grad div a b rot b
b) Operator-vektor ra × ∇ po odredbenom pravilu (14) djeluje
na skalarno polje,
( ) ( ) ,r ra a×∇ = × ∇ϕ ϕ
a po odredbenom pravilu (16) djeluje, preko ex-produkta, na vektorsko polje,
( ) ( ) ( ) ( )r r r r r r r ra b a b a b a b×∇ × = × ∇ × + ⋅∇ − ∇ ⋅ .
Iz pravila pretvorbe (4-6, 9) izlazi :
IV. Nabla 70
( ) ( )
( )
r r r
r r rr
r r
r rr
r r
a a b
a grad a rot b ab
aa div b
a grad rot b ab
aa div b
×∇ + ×∇ × =
= × + × + − =
= × + −
ϕ
ϕ∂∂
ϕ∂∂
+
.
P2. Prevedi u ∇ -izraze :
a) ( )ϕ ϕ ϕ + rot a a grad grad div ar r r− ⋅
b) grad div a b rot rot grad ( + ( )r r
)− ϕ ψ
Uradak. a) Primjenjuju}i odredbena pravila pretvorbe (4-6) zdesna
ulijevo, tj. primjenjuju}i ulazna pravila u ∇ -ra~un, dobivamo :
( )( ) ( ) ( )[ ]
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
rot a a grad grad div a
a a a
r r r
r r r
− ⋅ + =
= ∇ × − ⋅ ∇ + ∇ ∇ ⋅ .
b) Po istim pravilima pretvorbe polja grad div v rot rot v r r
i
mo`emo prevesti u ∇ -izraze :
( ) ( )grad div v v rot rot v v = i = . r r r r
∇ ∇⋅ ∇ × ∇ ×
Zato je
[ ] [ ]{ }grad div a b rot rot grad
a b
+
= +
( ) ( )
( ) ( ) .
r r
r r
− =
∇ ∇⋅ − ∇ × ∇ × ∇
ϕ ψ
ϕ ψ
P3. Je li ∇× + = ∇ × + ∇ × ∇ × = ∇ ×( ) ( ) ( )r r r r r ra b a b C a C a i ? Za{to ?
Uradak. Operator rot je linearan (vidi III.(4) i II(8)). To zna~i da
vrijedi
rot a b rot a +rot b( )r r r r+ = i ( ) ,rot Ca C rot a
r r=
s C1=C2=1 odnosno s C1=C i C2=0, dakle u ∇ -ra~unu
∇× + = ∇ × + ∇ × ∇ × = ∇ ×( ) ( ) ( ).r r r r r ra b a b C a C a i
5. Primjeri 71
P4. ^isti ∇ -izraz [ ]( ) ( )ϕ ψr ra b×∇ × pretvori u pomo}ne ∇ -izraze sa
spojnicama i crticama.
Uradak. Po formulama (25) i (26), slijedi :
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ
ϕ ψ ϕ ψ
b
b
r r r r r r
r r r r
a a b b a
a b a
× ∇ × = ⋅ ∇ − ∇ ⋅ =
= ∇ ⋅ − ∇ ⋅
P5. Pretvori u ~iste ∇ -izraze :
a) ( )[ ]∇⋅ +ϕr ra b b) ( )∇× ϕ ψ +
r ra b c) ( )[ ]r r
a b∇⋅ ϕ
Uradak. a) Primijenimo li pomo}no pravilo (32) na izraz
( )[ ] ( )[ ]∇⋅ = ∇ ⋅ϕ ϕ + + r r r ra b a b ,
dobit }emo
( )[ ] ( ) ( )∇⋅ = ∇ ⋅ϕ ϕ + + r r r ra b a b .
b) Zbog linearnosti operatora rot vrijedi :
( ) ( ) ( )∇× + = ∇ × +∇ ×ϕ ψ ϕ ψ r r r ra b a b ,
a dalje iz pomo}nih pravila (33) i (34) izlazi
( ) ( ) ( ) ( )∇× = ∇ × ∇ × = ∇ ×ϕ ϕ ψ ψr r r ra a b b i .
Tako je
( ) ( ) ( )∇× = ∇ × + ∇ ×ϕ ψ ϕ ψ + r r r ra b a b .
c) Iz pomo}nog pravila (40) slijedi :
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]r r r r r ra b a b b a∇⋅ = ⋅∇ = ⋅∇ϕ ϕ ϕ .
P6. Doka`i: ( ) ( ) ( )∇⋅ × = ∇ × ⋅ − ∇ × ⋅r r r r r ra b a b b a .
IV. Nabla 72
Uradak. Primijenimo glavno pravilo pretvorbe (27) na izraz ( )∇ ⋅ ×r ra b :
( ) ( ) ( )∇ ⋅ × = ∇ ⋅ × + ∇ ⋅ ×r r r r r ra b a b a b . (∗ )
Pomo}na pravila (38) i (37) daju :
( ) ( ) ( )∇⋅ × = −∇ ⋅ × = − ∇ × ⋅r r r r r ra b b a b a ,
( ) ( )∇⋅ × = ∇ × ⋅r r r ra b a b ,
Odatle iz (*) slijedi tra`ena jednakost.
P7. Doka`i pravilo (32): ( ) ( )∇⋅ = ∇ ⋅ϕ ϕ
r ra a .
Uradak. Prevedimo izraz ( )∇⋅ ϕ
ra u (grad, div, rot) - ra~un po
odredbenom pravilu (5) :
( ) ( )∇⋅ =ϕ ϕ r ra div a .
Sada na polje div ( )ϕ ra primijenimo formulu III(9) smatraju}i
podcrtano polje ra stalnim, tj. smatraju}i
r ra c= :
( )div a grad aϕ ϕ r r= ⋅ .
Kako je zbog odredbenog pravila (4)
( )grad a a =ϕ ϕ⋅ ∇ ⋅r r
,
iz dobivenih jednakosti proizlazi pravilo (32).
P8. Doka`i pravilo (39): ∇× × = ⋅∇ − ∇ ⋅( ) ( ) ( )
r r r r r ra b b a b a .
Uradak. Prevo|enjem izraza ∇ × ×( )r ra b u
∂∂
, , sgrad div rot,
- ra~un
po pravilu (6), i njegovim raspisivanjem po formuli III(13)
smatraju}i r rb c= , dobivamo:
5. Primjeri 73
( ) ( )∇× × = × = −r r r r
rr r
a b rot a ba
bb b div a
∂∂
.
Primjenom pravila (9) i (5), izlazi :
( ) ( )r r r r
rr r
b a b a ba
bb diva⋅∇ − ∇ ⋅ = −
∂∂
.
P9. Koriste}i se pravilma ∇ -ra~un izvedi formulu III(19) :
( )div a div a grad a ϕ ϕ ϕr r r= + ⋅ .
Uradak. Prevedimo polje ( )div aϕ
r u ∇ -ra~una po pravilu (5) :
( ) ( )div a aϕ ϕ r r= ∇ ⋅ .
Predo~imo izraz ( )∇ ⋅ ϕ ar
po pravilu (27) :
( ) ( ) ( )∇⋅ = ∇⋅ + ∇ ⋅ϕ ϕ ϕ r r ra a a ;
a pribrojnike ( ) ( )∇⋅ ∇ ⋅ϕ ϕ ir ra a po pravilima (31) i (32) :
( ) ( ) ( ) ( )∇⋅ = ∇ ⋅ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ϕ ϕ ϕ ϕ ir r r ra a a a .
Tako je
( ) ( ) ( )div a a a ϕ ϕ ϕr r r= ∇ ⋅ + ∇ ⋅ .
Prevedemo li sada izraz ( ) ( )ϕ ϕ ∇⋅ + ∇ ⋅r ra a u (grad, div, rot)-
-ra~un po pravilima (5) i (4) :
( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ + ∇⋅ + ∇ ⋅ = ⋅r r r ra a div a grad a ,
izveli smo tra`enu formulu.
P10. Slu`e}i se pravilima ∇ -ra~una izvedi formulu III(23) :
( )rot a ba
bb b div a
b
aa a div b
r rr
r rr
r r× = − − +
∂∂
∂∂
.
Uradak. Iznosimo kratak izvod formule bez posebnog pozivanja na
IV. Nabla 74
ulazno-izlazna pretvorbena pravila, ostavljaju}i ~itatelju da ih sam prona|e.
Slijedi :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
rot a b a b a b a b
b a b a a b a b
a
bb b div a
b
aa a div b
r r r r r r r r
r r r r r r r r
rr r
rr r
× = ∇ × × = ∇ × × + ∇ × × =
⋅∇ − ∇ ⋅ − ⋅∇ + ∇ ⋅ =
− − +
=
=
.
∂∂
∂∂
P11. Primjenom pravila ∇ -ra~una izvedi poseban slu~aj pravila II(11);
( )∂∂
∂∂
∂∂
sa b
a
sb a
b
s
r rr
r rr
⋅ = ⋅ + ⋅ .
Uradak. Primjenjuju}i ∇ -pravila slijedi
( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ]
∂∂
∂∂
∂∂
=
=
=
sa b s a b
s a b s a b
s a b a s b
a
sb a
b
s
r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
r r rr
⋅ = ⋅∇ ⋅ =
⋅∇ ⋅ + ⋅∇ ⋅ =
⋅∇ ⋅ + ⋅ ⋅∇ =
⋅ + ⋅
0
0 0
0 0
.
6. Zadaci6. Zadaci6. Zadaci6. Zadaci Z1. Prevedi sljede}a polja u (grad, div, rot)-izraze :
a) ( ) ( )∇ −∇ + ∇ ×ϕ ϕ ψ ϕ ra b) ( ) ( ) ( )∇⋅ + ∇ ⋅ − ⋅ ∇ϕ ψ ψ a
r r ra a
c) ( ) ( ) ( )∇× × − ∇ ∇ ⋅ − ∇ × ∇ ×r r r ra b a b
Z2. Prevedi sljede}a polja u ∇ -izraze :
6. Zadaci 75
a) r r r r ra grad a div a a rot a× + − × ϕ
b) ( )ϕ ψ ϕ + grad grad div a rot rot rot ar r−
c) ( ) ( )div grad a b b grad a rot b r r r r r⋅ + ⋅ ⋅
Z3. Prevedi u ∂∂
, , sgrad div rot,
- jezik:
a) ( ) ( ) ( )ϕ ψ ϕ∇ + ⋅∇ + ×∇r r ra b a
b) ( ) ( ) ( )[ ]r r r r ra a b a b⋅∇ + ×∇ ⋅ − + ⋅∇ϕ ϕ
Z4. Prevedi u ∇ - jezik:
a) ( )ϕ ϕ∂∂
ϕ +
grad
a
ba b grad
rr r
− × × b) ∂ ϕ∂
aa rot a a rot b+ ⋅ − ⋅r r r r
Z5. Je li ( ) ( ) ( )∇⋅ + = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ∇ ⋅ = ∇ ⋅r r r r r ra b a b C a C a i ? Za{to?
Z6. Je li ( )[ ] ( )[ ]ϕ ϕ r r r ra b a b⋅∇ = ⋅∇ ?
Z7. Na koju vrstu polja mogu djelovati operatori: r ra a⋅∇ ∇ ×∇, iϕ ?
Na koji na~in djeluju?
Z8. Pomo}u operatora djelomi~nog deriviranja izrazi :
a) ( )ra ⋅ ∇ ϕ b) ( )r r
a b⋅ ∇
Je li operator ra ⋅ ∇ u oba ova slu~aja operator istog tipa?
Z9.... Prevedi u (grad, div, rot)-ra~un:
a) ( )ϕ ψ∇ b) ( )ϕ ∇ ⋅ra c) ( )ϕ∇ ×
ra
Je li operator ϕ∇ u svakom od ova tri slu~aja linearan operator?
IV. Nabla 76
Z10. Prevedi u ∂∂
, , sgrad div rot,
-ra~un:
a) ( )ra × ∇ ϕ b) ( )r r
a b× ∇ ⋅ c) ( )r ra b× ∇ ×
Je li operator ra × ∇ u svakom od ova tri slu~aja linearan
operator?
Z11. Pretvori u (grad, div, rot)-izraze:
a) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ∇ × ∇ ⋅ + ∇ × ⋅r r r rb a b a b) ( )[ ] ( )r r r r
a b a b⋅ ∇ ⋅ ×
Z12. Na koja polja operator ∇ djeluje, a na koja ne djeluje, u izrazu
( ) ( )r r ra b v+ × ∇ × ? Primjenom ex-ex-pravila pretvori ga u pomo}ni
∇ -izraz s crticama i spojnicama.
Z13. Pretvori u ~iste ∇ -izraze:
a) ( )r ra b⋅ ∇ b) ( )r r
a b∇ ⋅
Z14. Pretvori u ~iste ∇ -izraze:
a) ( )∇⋅ ϕ ψ + r ra b b) ( )[ ]∇⋅ +ϕ ψ
r ra b c) ( )[ ]∇× +ϕ ψ
ra
Z15. Doka`i: ( ) ( ) ( ) ( )∇× × + ∇ ⋅ − ⋅∇ = ∇ × ×r r r r r r r ra b b a b a a b .
Z16. Doka`i: ( )[ ] ( ) ( )[ ]∇ ∇⋅ = ∇ ⋅ ∇ ∇ ⋅r r ra a a2
2 .
Z17. Prevedi u ∂∂
, , sgrad div rot,
- izraze:
a) ( )∇ ⋅r ra r b) ( )∇ × ×
r ra r c) ( )[ ]∇⋅ ×
r ra f r r
6. Zadaci 77
Z18. Izra~unaj: a) ( )∇ ⋅r ra r b) ( )∇ × ×
r ra r c) ( )[ ]∇⋅ ×
r ra f r r
Z19. Doka`i pravila (29) i (33):
a) ∇ = ∇( ) ( )ϕψ ϕ ψ b) ∇× = ∇ ×( ) ( )ϕ ϕ r ra a
Z20. Doka`i pravila (34) i (37):
a) ∇× = ∇ ×( ) ( )ϕ ϕ r ra a b) ∇⋅ × = ∇ × ⋅( ) ( )
r r r ra b a b
Z21. Koriste}i se pravilima ∇ -ra~una izvedi formulu III(20) :
( )rot a rot a grad aϕ ϕ ϕ + .r r r= ×
Z22. Slu`e}i se pravilima ∇ -ra~una izvedi formulu III(21):
( )grad a ba
bb b rot a
b
aa a rot b
r rr
r rr
r r⋅ = + × + ×
∂∂
∂∂
+
.
Z23. Pravilima ∇ -ra~una izvedi posebne slu~ajeve pravila II(11):
a) ( )∂ ϕ ψ
∂∂ ϕ∂
ψ ϕ∂ ψ∂
s
s
s= + b)
( )∂ ϕ
∂∂ ϕ∂
ϕ∂∂
rr
ra
s sa
a
s= +
c) ( )∂
∂∂∂
∂∂
r rr
r rr
a b
s
a
sb a
b
s
×= × + ×
Z24. Primjenom pravila ∇ -ra~una izvedi formulu:
( )[ ] ( )[ ] ( )∂
∂
f r r
sf r r s r f r s
rr r r r
= ′ ⋅ +0 0 0 .
155
IX. Gusto}a optoka i divergencija
1. Pojam gusto}e optoka
2. Analiti~ka formula. Divergencija.
Invarijantna svojstva
3. Bezizvorno polje
4. Primjeri
5. Zadaci
1. Pojam gusto}e optoka.1. Pojam gusto}e optoka.1. Pojam gusto}e optoka.1. Pojam gusto}e optoka. Guto}a optoka u vektorskom polju ra u to~ki T je skalar
gopt a TVV
r( ) : lim=
→∆
∆Φ
∆0, (1)
gdje je
∆Φ = ⋅∫∫ra dSS
optok u polju ra kroz malu jednostavno zatvorenu
pozitivno orijentiranu povr{inu S oko to~ke T,
∆V obujam podru~ja V(S) obrubljenog povr{inom S, i
∆∆
VV
→→
00
u lim oznaka stezanja podru~ja V(S) u sve tri dimenzije
k to~ki T.
Gusto}a optoka se katkada ozna~ava
d
dV
Φ. (2)
Operator g opt gusto}e optoka je tipa “vektor → skalar”.
2.2.2.2. AAAAnaliti~ka formula. Divergencija. Invarijantna svojstva.naliti~ka formula. Divergencija. Invarijantna svojstva.naliti~ka formula. Divergencija. Invarijantna svojstva.naliti~ka formula. Divergencija. Invarijantna svojstva.
Ako je polje ra analiti~ki zadano
r r r r ra a x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= = + +( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , (3)
IX. Gusto}a optoka i divergencija
156
tada se gusto}a optoka ra~una po formuli
gopt aP
x
Q
y
R
z
r= + +∂
∂
∂
∂
∂
∂. (4)
Ta formula upu}uje na odredbu skalara divergencije danu ve} u
III(3), a ujedno pokazuje invarijantnost divergencije i ukazuje na mogu-
}nost invarijantne odredbe divergencije:
gopt a divar r= . (5)
3. Bezizvorno polje.3. Bezizvorno polje.3. Bezizvorno polje.3. Bezizvorno polje. Vektorsko polje ra se zove bezizvorno
ako je u svakoj to~ki T njegovog podru~ja
diva Tr( ) = 0 . (6)
Ako je diva Tr( ) ≠ 0 , ka`e se da polje
ra ima izvor u to~ki T.
Ako je diva Tr( ) > 0 , ka`e se da polje
ra ima pozitivan izvor
(izvor u u`em smislu), a ako je diva Tr( ) < 0 , ka`e se da polje
ra ima
negativan izvor (ponor, utok) u to~ki T.
4. Primjeri4. Primjeri4. Primjeri4. Primjeri
P1. Izra~unaj gusto}u optoka polja r r r ra yz i xy j x z k= + − 2 2 . Koliko
ona iznosi u to~ki T(1,9,3)?
Uradak. Po formuli (4) ili (5)
gopt a div aP
x
Q
y
R
z
x
xyx z
r r= = + + = −
∂
∂
∂
∂
∂
∂ 22 2 .
Za to~ku T je posebno
gopt a Tr( ) = −
35
6.
P2. Izra~unaj gusto}u optoka polja r ra r
rr= −
3 6 u to~ki T(−2,−2,1).
4. Primjeri 157
Uradak. Polje ra je sferno pa prema (5) i uz pomo} III(28) slijedi:
gopt a diva rrr r
rr
r
r r= = −
′+ −
= −3 3 36
36
612
,
i kako je r(T)=3, izlazi
gopt a Tr( ) =158 .
P3. Izra~unaj po odredbi (1) gusto}u optoka radius-vektora rr u
ishodi{tu O. Kao poop}enje primjera vidi Z5.
Uradak. Primijenimo odredbenu formulu (1)
gopt a OV
r dS
RV R
rr
( ) lim lim= =⋅
→ →
∫∫∆
∆Φ∆0 0 34
3
S
π,
gdje je S=S(R) sfera sa sredi{tem u ishodi{tu O polumjera R.
Izra~unajmo najprije optok polja rr kroz sferu S:
r r rr dS r r dS rdS R dS R⋅ = ⋅ = = =∫∫∫∫∫∫∫∫ 0 34
SSSS
π ,
a zatim grani~nu vrijednost
lim limR R
r dS
R
R
R→ →
⋅= =
∫∫0 3 0
3
34
3
4
4
3
3
r
S
π
π
π.
Tako je
gopt r Or( ) = 3 .
P4. Izra~unaj po odredbi (1) gusto}u optoka radius-vektora rr .
Uradak. Neka je T po volji odabrana to~ka i u njoj ra~unajmo gusto}u
optoka polja rr . Primijenimo formulu (1)
gopt r Tr dS
RR
r
r
( ) lim=⋅
→
∫∫0 34
3
S
π
IX. Gusto}a optoka i divergencija 158
tako da za S=ST (R) odaberemo sferu sa sredi{tem u to~ki T polu-
mjera R.
Ra~unajmo optok polja rr kroz
sferu S. Prema slici je
r r rr r r= +0 1 ,
odakle slijedi:
r r r
r r
r dS r r dS
r dS r dS R R
⋅ = + ⋅ =
= ⋅ + ⋅ = + =
∫∫∫∫
∫∫∫∫
( )
,
0 1
0 13 30 4 4
SS
SS
π π
jer je rr0 stalni vektor (vidi VIII.P12), a
rr1 radius-vektor s obzi-
rom na to~ku T (vidi P3).
Ra~unajmo zatim grani~nu vrijednost. Tako je vektorskom
polju rr pridru`eno stalno skalarno polje
gopt r Tr( ) = 3 .
P5. Izra~unaj po odredbi (1) gusto}u optoka polja r ra x i= 2 u to~ki
T(3,2,5).
Uradak. Primijenimo formulu (1)
gopt a Ta dS
RR
r
r
( ) lim=⋅
→
∫∫0 34
3
S
π
tako da za S=ST(R) odaberemo sferu sa
sredi{tem u to~ki T polumjera R (vidi sliku).
Izra~unajmo prvo optok polja ra kroz
pozitivno orijentiranu sferu S :rn koriste}i se
ra~unima iz VIII. P10 :
r rr R i= + +
≤ ≤ ≤ ≤
( cos sin ) . . .
,
ϕ ϑ
ϕ π ϑ π
3
0 2 0
Slika uz P4.
Slika uz P5.
4. Primjeri 159
r ra R i= +( cos sin )ϕ ϑ 3 2
r r r rr r R i nϕ ϑ ϕ ϑ× = − + ↑↓2 2
cos sin . . .
r r ra r r R R⋅ × = − +( ) ( cos sin ) cos sinϕ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ2 2 2
3
ra dS R d R d
d
R d d R
S
m
⋅ = + =
=
= =
∫ ∫∫∫
∫
∫∫
+
2
0
2
2 2
0
2 1
0
2
3 2 3 3
00
2
3
0
6 8
cos ( cos sin ) sin
cos
cos sin
ϕ ϕ ϕ ϑ ϑ ϑ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϑ ϑ π
π π
π
ππ
Izra~unajmo zatim grani~nu vrijednost:
gopt a TR
RR
r( ) lim= =
→0
3
3
8
4
3
6π
π.
P6. Izra~unaj po odredbi (1) gusto}u optoka polja r ra xyz j= .
Uradak. Ozna~imo s T(x0, y0, z0) po volji odabranu to~ku i u njoj ra~u-
najmo gusto}u optoka polja ra :
gopt a Ta dS
RR
r
r
( ) lim=⋅
→
∫∫0 32
S
π,
gdje je za S=ST(R) odabran omota~
valjka oko to~ke T kojeg ~ine dvije
osnovice polumjera R usporedne s
ravninom XY i pla{t visine 2R uspo-
redan s osi Z (vidi sliku).
Ra~unajmo optok Φ polja ra kroz
pozitivno orijentirani omota~ S :rn ,
Φ Φ Φ Φ= + +1 2 3 . Slika uz P6.
IX. Gusto}a optoka i divergencija 160
Polje ra je usporedno s osnovicama S1 i S3 pa je
Φ Φ1 3 0= = .
Tok polja ra kroz pla{t S2 :
rn2
r r r rr R x i R y j z k= + + + +( cos ) ( sin )ϕ ϕ0 0
0 2 0 0≤ ≤ − ≤ ≤ +ϕ π , z R z z R
r ra R x R y z j= + +( cos )( sin )ϕ ϕ0 0
r r r r rr r R i R j nzϕ ϕ ϕ× = + ↑↑cos sin 2
r r ra r r R R x R y zz⋅ × = + +( ) sin ( cos )( sin )ϕ ϕ ϕ ϕ0 0
Φ 2 0 030 0
0
2
2
0
0
= + + =−
+
∫∫R R x R y d z dz R x z
z R
z R
sin ( cos )( sin )ϕ ϕ ϕ ϕ ππ
Odatle je kona~no
gopt a x y zR x z
Rx z
R
r( , , ) lim0 0 0
0
30 0
3 0 0
2
2= =
→
ππ
.
Tako je zadanom vektorskom polju ra pridru`eno skalarno
polje
gopt a xzr= .
P7. Koriste}i se odredbom (1) polju r ra z k= ln pridru`i polje gopt a
r.
Uradak. Neka je T(x0, y0, z0) po volji odabrana to~ka. Ra~unajmo gusto}u
optoka
gopt a Ta dS
RR
r
r
( ) lim=⋅
→
∫∫0 38
S ,
gdje je S=ST(R) omota~ kocke oko to~ke T brida 2R ~ije su stra-
ne usporedne s koordinatnim ravninama (vidi sliku).
Potra`imo optok Φ polja ra kroz pozitivno orijentirani
omota~ S :rn ,
Φ Φ Φ Φ= + + +1 2 6. . . .
4. Primjeri 161
Polje ra je usporedno sa stranama S2, S3, S4 i S5 pa je
Φ Φ Φ Φ2 3 4 5 0= = = = .
( )
( )
Φ1
0
0
20
1 1
1
1
4
= ⋅ =
= + ⋅ =
= + =
= +
∫∫
∫∫
∫∫
r
r r
ra dS
z R k k dS
z R dS
R z R
nS
S
S
:
ln( )
ln
ln
Φ 22
04= − −R z Rln( )
Φ =+−
4 2 0
0
Rz R
z Rln
Tako je
gopt a x y z
Rz R
z R
R
z R z R
RR R
r( , , ) lim
ln
limln( ) ln( )
0 0 00
2 0
0
3 0
0 0
4
8
1
2=
+−
=+ − −
→ →,
a primjenom L′Hospitalovog pravila izlazi
1
2
1 1
1
1
0
0 0
0
limR
z R z R
z→
++
−= .
Tako je odre|eno tra`eno pridru`eno polje
gopt az
r=1
.
P8. Prona|i to~ke u kojima polje r ra r r r= −( )2 5 nema izvora.
Uradak. Treba prona}i to~ke T za koje je divra (T)=0 . Polje
ra je
sferno pa primjenjujemo formulu III(28)
div r r r r r r r r r r( ) ( ) ( ) ( )2 2 25 5 3 5 5 4− = − ′ + − = −r
.
Odatle zaklju~ujemo da izvora nema u ishodi{tu (r = 0 ) i u
to~kama sfere sa sredi{tem u ishodi{tu polumjera 4 (r = 4 ).
Slika uz P7.
IX. Gusto}a optoka i divergencija 162
P9. Odredi ordinatu Q(x,y,z) polja r r r ra x y i Q x y z j z k= + −2 2( , , ) tako
da ono bude bezizvorno.
Uradak. Iz uvjeta divra (T)=0 proizlazi djelomi~na diferencijalna jedna-
d`ba s nepoznatom funkcijom Q(x,y,z) ,
2 2 0xyyQ x y z z+ − =
∂∂
( , , ) ,
koju mo`emo rije{iti neposrednim integriranjem:
Q x y z z xy dy f x z yz xy f x z( , , ) ( ) ( , ) ( , )= − + = − +∫ 2 2 2 2 ,
gdje je funkcija f x z( , ) po volji odaberiva.
P10. Za polje r r r ra xy z i yz j x z k= − −2 3 2 2 prona|i: povr{ine na kojima
ono nema izvora, podru~je u kojem su izvori pozitivni i podru~je
u kojem su izvori negativni.
Uradak. Potrebno je izdvojiti to~ke podru~ja polja ra (to je cijeli
prostor) za koje je divergencija nula, to~ke za koje je divergencija
pozitivna i to~ke za koje je divergencija negativna. Iz
diva z y x zr= − −( )2 2 22 ,
slijedi:
divra =0 za z = 0 ili y
2 = 2 x 2 + z 2 ,
divra >0 za
z
y x z
>
> +
0
22 2 2 ili
z
y x z
<
< +
0
22 2 2,
divra >0 za
z
y x z
>
< +
0
22 2 2 ili
z
y x z
<
> +
0
22 2 2.
Izvora nema na ravnini z = 0 niti na sto{cu y2=2x2+z2 . Izvori su
pozitivni u vanjskim to~kama sto{ca gornjeg otvorenog poluprostora
i unutarnjim to~kama sto{ca donjeg otvorenog poluprostora. Izvori
su negativni u preostalim to~kama prostora.
5. Zadaci 163
5. Zadaci5. Zadaci5. Zadaci5. Zadaci
Z1. Izra~unaj gusto}u optoka polja r r ra xy i yz j xz k= − +3 3 u to~ki
T(−2, 2, 4).
Z2. Izra~unaj gusto}u optoka sfernog polja r ra
r rr= +
1 12
u to~ki
T(2, −3, 6).
Z3. Doka`i da je operator g opt gusto}e optoka linearan.
Z4. Pripadaju li suprotnim poljima suprotne gusto}e optoka?
Z5. Izra~unaj po odredbenoj formuli gusto}u optoka sfernog polja r ra f r r= ( ) u ishodi{tu O.
Z6. Koriste}i se rje{enjem prethodnog zadatka izra~unaj gusto}u optoka
u ishodi{tu za sljede}a polja:
a) r ra r r r= − +( )3 2 5 b)
r r ra r r r= −( )4 0 c)
r ra r r= sin 0
Z7. Izra~unaj po odredbi gusto}u optoka polja r ra r= po uzoru na P5.
Z8. Izra~unaj po odredbi gusto}u optoka polja r ra z k= 2 po uzoru na P5.
Z9. Izra~unaj po odredbi gusto}u optoka polja r r r ra x i y j z k= + +2 2 u
to~ki T(3, 3, 0) po uzoru na P6.
Z10. Izra~unaj po odredbi gusto}u optoka polja r r r ra x i y j z k= + +2 2 po
uzoru na P6.
Z11. Izra~unaj po odredbi gusto}u optoka polja r r r ra e i e j e kx y z= + + u
ishodi{tu O po uzoru na P7.
Z12. Izra~unaj po odredbi gusto}u optoka polja r r r ra e i e j e kx y z= + + po
uzoru na P7.
IX. Gusto}a optoka i divergencija 164
Z13. Izra~unaj po odredbi gusto}u optoka polja r ra f x i= ( ) po uzoru na
P7.
Z14. Odredi funkciju f (z) tako da polje r r r ra xz i y f z j f z k= + +( ) ( )
bude bezizvorno.
Z15. Prona|i povr{ine na kojima polje r r r ra x z i xy j x z k= − +2 2 3 2 nema
izvora.
Z16. Gdje se nalaze pozitivni, a gdje negativni izvori polja r r r ra xy i xz j z k= + −3 4 ?
Z17. Za polje r r r ra xz i x y j x z k= + −2 4 2 2 prona|i: povr{ine na kojima ono
nema izvora, podru~je u kojem su izvori pozitivni i podru~je u
kojem su izvori negativni.
Z18. Navedi primjere bezizvornih polja.
Z19. Gdje se nalaze pozitivni, a gdje negativni izvori sfernih polja:
a) r ra r r r= + −( )2 5 102 b)
r ra r r r= − +( )4 25 402
Z20. Za koje vrijednosti parametra c polje r ra c cr r r= + −( )4 2 ima ne-
gativan izvor u svakoj to~ki?
Z21. Na kojim povr{inama sferno polje r ra f r r= ( ) nema izvora?
Z22. Koriste}i se rje{enjem III.Z33b odredi funkciju f (r) tako da sferno
polje r ra f r r= ( ) bude: a) bezizvorno
b) samo s pozitivnim izvorima c) samo s negativnim izvorima
Z23. Je li bezopto~no polje bezizvorno? Je li bezizvorno polje bezopto-
~no? Kakvo je polje r ra
c
rr=
3 (vidi VIII.Z19)?
79
V. Delta
1. Laplaceovo polje
2. Nulpolja
3. Kompozicija osnovnih operatora
4. Operatori oblika ∇∗∇
5. Djelovanje delte na umno`ak polja
6. Primjeri
7. Zadaci
1. Laplaceovo polje.1. Laplaceovo polje.1. Laplaceovo polje.1. Laplaceovo polje. U teoriji polja i mnogobrojnim
primjenama ~esto se pojavljuje Laplaceovo polje
∆ :=2
pp
x
p
y
p
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂2
2
2
2
2+ + (1)
pridru`eno analiti~ki zadanom skalarnom ili vektorskom polju
p p x y z= ( , , ) . Pri tome se ∆ zove Laplaceov operator delta.
Operator ∆ je drugog reda i tipa
“skalar→ skalar” ili “vektor → vektor”.
Naziv polja i operatora je nastao u
teoriji djelomi~nih diferencijalnih jednad`bi
gdje se jednad`ba
∆ ff
x
f
y
f
z:= + + =
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
20 , (2)
s nepoznatom funkcijom f x y z( , , ) , zove
Laplaceova, a operator ∆ Laplaceov po
francuskom matemati~aru i fizi~aru Laplaceu
(1749-1827).
Pierre Simon Laplace
V. Delta 80
2. Nulpolja.2. Nulpolja.2. Nulpolja.2. Nulpolja. U vektorskoj analizi va`na su tako|er degenerirana
stalna nulpolja,,,, i to skalarno
nulskalar ( ):T = 0 (3)
i vektorsko
nulvektor ( ):T =r0 . (4)
U svezi s njima su nuloperatori o koji skalarnim ili vektorskim
poljima pridru`uju nulpolje :
os v→ = ( ):ϕr0 (5)
=r0ϕ (6)
o av→s ( ):= 0r
(7)
= ⋅r r0 a (8)
o av v→ ( ):= 0r r
(9)
= × =r r r0 0a a (10)
( )ο ϕs s→ =: 0 (11)
= 0ϕ (12)
U (6), (8) i (10)1 nulpolja smo izrazili umno{kom ro0 p
nulvektora r0 i polja p.
3. Kompozicija osnovnih operatora3. Kompozicija osnovnih operatora3. Kompozicija osnovnih operatora3. Kompozicija osnovnih operatora. Kompozicije dvaju
osnovnih diferencijalnih operatora (grad, div i rot) su operatori drugog
reda (povezani s operatorom ∆) ili su nuloperatori:
div grad = ϕ ϕ∆ (13)
grad div a rot rot a a = r r r− ∆ (14)
rot grad = 0 ϕr
(15)
div rot a =r0 (16)
Iz (13) i (14) slijedi da je Laplaceovo polje ∆ϕ invarijantno odre-
dljivo pomo}u polja div grad ϕ , a ∆ ra pomo}u grad div
ra i rot rot
ra ,
a tako|er da je operator ∆ linearan.
(∆v)
(∆s)
(v→ 0 )
( s→r0 )
4. Operatori oblika 81
Iz (15) i (16) slijedi da je rot grad os v = → i div rot ov s = → .
Djelovanje delte na sferno polje:
a) ∆ =rr
2 (17)
b) ( ) ( ) ( )∆f r f rrf r= ′′ + ′
2 (18)
( )[ ]= ′′1
2
2
rf r r (19)
4. Operatori oblika4. Operatori oblika4. Operatori oblika4. Operatori oblika ∇∗∇ .... U ∇ -ra~unu se osim ∇ ---- izraza
∇∗ ∗∇p i p promatraju i najjednostavniji ∇ - izrazi tre}e vrste ∇∗∇
koji predo~avaju operatore drugog reda ili nuloperatore, a odre|uju se
po na~elu primjene pravila pomaka zagrada vektorske algebre (ili pravila
kompozicije operatora) ili pro{irenog ex-ex-pravila (uz po{tivanje zahtjeva
uskla|enosti).
Operator-skalar ∇ ⋅∇ :
( ) ( )∇⋅∇ = ∇⋅ ∇ϕ ϕ: (20)
= div grad ϕ [po IV (∇A)] (21)
= ∆ ϕ [po (13)] (22)
( ) ( ) ( )∇⋅∇ = ∇ ∇ ⋅ − ∇ × ∇ ×r r ra a a: [po (26)] (23)
= grad div a rot rot ar r− [po IV (∇A)] (24)
= ∆ ra [po (14)] (25)
( ) ( ) ( )∇× ∇ × = ∇ ∇ ⋅ − ∇ ⋅∇r r ra a a [po IV (×(×))] (26)
( ) ( )= ∇ ∇ ⋅ − ∇ ⋅∇r ra a [po (28)] (27)
( ) ( )r ra a∇⋅∇ = ∇ ⋅∇: (28)
Iz (1), (22) i (25) slijedi da se simboli~ki operator-skalar ∇ ⋅∇
pona{a kao Laplaceov operator ∆ , stoga je
V. Delta 82
(∇ A5) ( )∇⋅∇ =p p∆ (29)
ulazno-izlazno pravilo pretvorbe te se u ∇ - ra~unu izraz ∇ ⋅∇ ozna~ava
jednostavno tako|er s ∆ , a ~esto i s ∇ 2 :
∆ : := ∇ = ∇ ⋅∇2 . (30)
Operator-vektor ∇ × ∇ :
( ) ( )∇×∇ = ∇ × ∇ϕ ϕ: (31)
= rot grad ϕ [po IV (∇A)] (32)
=r0 [po (15)] (33)
=r0 ϕ (34)
( ) ( )∇×∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ ×r ra a: (35)
= div rot a r [po IV (∇A)] (36)
= 0 [po (16)] (37)
= ⋅r r0 a (38)
( ) ( ) ( )∇×∇ × = ∇ ⋅ ∇ − ∇⋅ ∇r r ra a a: [po IV ((×)×)] (39)
( ) ( )= ∇ ∇ ⋅ − ∇ ∇ ⋅
r ra a [po (44)] (40)
= −grad div a grad div a r r
[po IV (∇A)] (41)
=r0 (42)
= ×r r0 a (43)
( ) ( )∇⋅ ∇ = ∇ ∇ ⋅r ra a: (44)
Iz (34), (38) i (43) slijedi da se simboli~ki operator-vektor ∇ × ∇
vlada kao nulvektor r0 , stoga je
( ) ( )∇×∇ =oro
r rp p0 0 = 0 0 ili ili (45)
pravilo pretvorbe te se u ∇ -ra~unu izraz ∇ × ∇ ozna~ava jednostavno
5. Djelovanje delte na umno`ak polja 83
tako|er s r0 :
r0:= ∇ ×∇ . (46)
5. Djelovanje delte na umno`ak polja.5. Djelovanje delte na umno`ak polja.5. Djelovanje delte na umno`ak polja.5. Djelovanje delte na umno`ak polja. Iz (∆ s) primjenom
III(18), linearnosti i III(19) proizlazi pravilo
(∆ 1) ( )∆ ∆ψ ∆ + 2 + , ϕψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ= ⋅grad grad (47)
a primjenom III(21), linearnosti, III(19) i III(22) proizlazi pravilo
( )∆ ∆ ∆r r r r
rr r
rr r
a b a b grad ab
arot a rot b grad b
a
bb a⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
+
∂∂
∂∂
2 . (48)
Primjenom III(19), linearnosti, III(18) i III(21) proizlazi pravilo
(GD1)
( )grad div a grad div a div a grad
agrad
agrad
a
gradgrad rot a
+ +
+
,
ϕ ϕ ϕ
∂ ϕ∂
ϕ∂
∂ ϕϕ
r r r
rr
=
+ + × (49)
a primjenom III(20), linearnosti, ponovo III(20) i III(23) proizlazi pravilo
( )rot rot a rot rot a grad rot a agrad
a
div a grad a div grad grada
grad
+ +
+
ϕ ϕ ϕ∂ ϕ∂
ϕ ϕ ϕ∂
∂ ϕ
r r r
r rr
= × +
− − .
(50)
Tada iz (∆ v), (GD1) i (RR1) slijedi pravilo
( )∆ ∆ ∆ϕ ϕ ϕ∂
∂ ϕϕ +
r rr
ra a grad
a
grada= +2 . (51)
Djelovanje delte na sferno polje:
a) ∆ r rr = 0 (52)
b) ( )[ ] ( ) ( )∆ f r r f rrf r r
r r= ′′ + ′
4
(53)
[ ]= ′′1
4
4
rf r r r( )
r (54)
(RR1)
(∆3)
(∆2)
V. Delta 84
Na sli~an na~in primjenom pravila III(18-23) proizlaze pravila:
( )grad div a b brot a
bb rot rot a rot a
b
rot a
rot a rot b arot b
aa rot rot b rot b
a
rot b
+
r rr
r r rr
r
r rr
r r rr
r
× = + × +
+ × − − × −
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂2 ,
(55)
(RR2)
( )rot rot a b b rota
bgrad b
a
bdiv b rot a grad div b a
a rotb
agrad a
b
adiv a rot b grad div a b
+
;
r rr r
r r r r
r rr r r r
× = + × + × −
− − × − − ×
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
(56)
a odatle, iz (∆ v) proizlazi pravilo
(∆ 4) ( ) [ ] [ ]∆ ∆ ∆r r r r r r r r r r r ra b a b L a b rot a rot b L b a b a× = × + × − − × + , , ,2 (57)
gdje je
[ ]L a b grad ab
arot a
b
rot adiv a rot b
r rr
rr
rr r
, = × + +
.
∂∂
∂∂
(58)
Na drugi se na~in sva ova (GD, RR, ∆ )-pravila mogu izvesti u
∇ -ra~unu primjenom ulazno-izlaznih pravila pretvorbe IV(∇ A) i (∇ A5)
te primjenom pravila pretvorbe IV(∇ B, ∇ C).
6. Primjeri6. Primjeri6. Primjeri6. Primjeri
P1. Za ϕ = −z x y3 4 izra~unaj ∆ ϕ pomo}u
a) definicije (1) b) pravila (13).
Uradak.
a) ( ) ( ) ( )∆ =
ϕ∂∂
∂∂
∂∂
2
2
32
2
32
2
34 4 4
xz x y
yz x y
zz x y− + − + − =
( ) =
∂∂
∂∂
∂∂x
y
x y
y
x zz−
+ −
+ =2 2 3
2
(GD2)
6. Primjeri 85
=y
x
x
yz
3 36+ +
b) ( )∆ϕ = div grad z x y3 4− =
= +divy
xi
x
yj z k− −
=2 2 3
2r r r
= y
x
x
yz
3 36+ +
P2. Za r r ra x z i y z j= +2 2 cos izra~unaj ∆
ra pomo}u:
a) definicije (1) b) pravila (14).
Uradak.
a) ( ) ( ) ( )∆ =
z
r r r r r r r
axx z i y zj
yx z i y zj x z i y zj
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2 22
2
2 22
2
2 2+ + + + + =cos cos cos
( ) ( ) ( ) =
∂∂
∂∂
∂∂x
xz iy
z jzx z i y z j2 22 2
r r r r+ + − =cos sin
( ) = 2 2 2x z i y z j+ −r r
cos
b) ( ) ( )∆ = r r r r ra grad div x z i y z j rot rot x z i y z j2 2 2 2+ − + =cos cos
( ) ( ) = + + grad x z z rot y z i x z j2 22 2cos sin− =r r
( ) = 2 2 2x z i y z j+ −r r
cos
P3. Pretvori u (grad, div rot)- izraze:
a) ( )∆ ∆ϕ ψ− b) ( )∆ra + ∇ϕ c) ( )∇⋅ ∇ × +
r ra a∆
Uradak. Koriste}i se pravilima (13-16), IV(4-6) i linearno{}u osnovnih
operatora, slijedi:
a) ( ) ( )∆ ∆ϕ ψ ϕ ψ− = − div grad div grad
= −div grad div grad div gradϕ ψ
V. Delta 86
b) ( ) ( ) ( )∆r r ra grad div a grad rot rot a grad+ ∇ = −ϕ ϕ ϕ + + =
= grad div a grad div grad rot rot ar r+ −ϕ
c) ( ) ( )∇⋅ ∇ × + = − =r r r ra a div rot a grad div a rot rot a∆ +
= div grad div ar
P4. Pretvori u ∇-izraze:
a) ( )div rot a rot b grad + r r
− ϕ
b) ( ) ( )grad div a div b rot rot a rot b r r r r− − −
c) ( ) ( )rot rot grad a grad div a b ϕ − + −r r r
Uradak. Zbog linearnosti diferencijalnih operatora, pravila (13-16, 29) i IV(4,5), slijedi:
a) ( )div rot a rot b grad div rot a div rot b div grad + + =r r r r
− = −ϕ ϕ
( )= = =− − − ∇ ⋅∇div grad ϕ ϕ ϕ∆
b) ( ) ( ) ( ) ( )grad div a div b rot rot a rot b grad div a b rot rot a b r r r r r r r r− − − = − − − =
( ) ( )( )= − = ∇⋅∇ −∆r r r ra b a b
c) ( ) ( )rot rot grad a grad div a b ϕ − + − =r r r
= − −rot rot grad rot rot a grad div a grad div b + =ϕr r r
( ) ( ) ( )= ∆r r r ra b a b− ∇ ∇ ⋅ = ∇ ⋅∇ − ∇ ∇ ⋅
P5.... Jesu li polja ( ) ( )∆ ∆∇ × ∇ ×r ra a i jednaka ?
Uradak. Prevo|enjem zadanih polja u (grad, div, rot)-izraze, slijedi:
( )∆ ∇ × = − −r r r ra grad div rot a rot rot rot a rot rot rot a =
i
( ) ( )∇× = − = −∆ ,r r r ra rot grad div a rot rot a rot rot rot a
dakle zadana su polja jednaka.
6. Primjeri 87
P6.... Poka`i da je polje ( ) ( )p a a a= ∇ × ∇ ∇× −∇ ∇⋅∆ + + r r r
ϕ vektorsko
nulpolje, iako prividno ovisi o poljima ra i ϕ .
Uradak. Primjenom pravila ∇-ra~una, posebice pravila (31, 27, 45, 29),
ra~un pokazuje:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
p a a a
a a a
a a a a
a a
= ∇ × ∇ + ∇ × − ∇ ∇ ⋅ =
∇ × ∇ + ∇ × ∇ × − ∇ ∇ ⋅ =
∇ × ∇ + ∇ ∇ ⋅ − ∇ ⋅∇ − ∇ ∇ ⋅ =
−
∆
∆
∆
∆ ∆
+
= +
= +
= = 0 .
r r r
r r r
r r r r
r r r
ϕ
ϕ
ϕ
P7.... Doka`i: ( )[ ] ( )[ ]∇ ⋅ ∇ + + ∇ ⋅ ∇ × + =ϕ ψ ϕ ψr ra b ∆ ∆ + .
Uradak. Ra~unajmo:
( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
∇⋅ ∇ + +∇⋅ ∇ × + = ∇⋅∇ + + ∇ ×∇ ⋅ + =
+ ⋅ + =
ϕ ψ ϕ ψ
ϕ ψ ϕ ψ
r r r r
r r r
a b a b
a b= + + .∆ ∆ ∆0
P8. Primjenom formula (18) i (53), izra~unaj:
a) ( )∆ sin ln r b) ( )∆ rrr0
Uradak. a) Po formuli (18) izlazi
( ) ( ) ( )∆ sinln sinln sinln
cosln sinln,
=
r rr
r
r r
r
=″+
′=
−
2
2
jer je
( ) ( )sincosln
, sinlnsin ln cosln
ln
+ r
r
rr
r r
r
′=
″= −
2.
b) Po formuli (53) izlazi
( )∆ ∆rrrr
r r rr
r r r0 1 1 4 1=
=
″+
′
=
V. Delta 88
=5
4 2− = −r r
rr r
rr r5
4
0 ,
jer je
1 1
2
3
4
3
2
5
2r
rr
r
′= −
″=
1, .
P9. Odredi funkciju ( )f r , ako je ( )[ ]r f r r r2∆
r r= .
Uradak. Iz formule (54) i zadanog uvjeta slijedi
( )[ ] ( )[ ]r f r rr
f r r r r2
2
41∆
r r r= ′
′= ,
a odatle
( )[ ]′′=f r r r4 2 .
Sada prvom integracijom slijedi
( )′ = = +∫f r r r drr
C4 23
13
,
a drugom integracijom slijedi rje{enje
( )f rr
C
rdr
r C
rC= +
= − +∫1
3 3 3
1
4
1
3 2
ln .
P10.... Izvedi formulu (18): ( ) ( ) ( )∆ f r f rrf r= ′′ + ′
2.
Uradak. Po formuli (13) je
( ) ( )∆ f r div grad f r= ,
po formuli III(26) slijedi
( ) ( ) ( )grad f r f r r
f r
rr = ′ =
′r r0 ,
i po formuli III(28) proizlazi
7. Zadaci 89
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
divf r
rr
f r
rr
f r
r
f r r f r
rr
f r
rf r
rf r
′=
′
′
+′
=
=′′ − ′
+′
= ′′ + ′
r3
32
2 .
7. Zadaci7. Zadaci7. Zadaci7. Zadaci
Z1. Za polje ϕ = +z
xye x y z+ + izra~unaj ∆ϕ po formulama
a) ∆ϕ = + +∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
∂ ϕ∂
2
2
2
2
2
2x y z i b)∆ϕ ϕ= div grad .
Z2. Za polje r r r ra xz i x y j y z k= + −3 2 2 izra~unaj ∆
ra po formulama
a) ∆ = r
r r r
aa
x
a
y
a
z
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
2+ + i b) ∆ =
r r ra grad div a rot rot a− .
Z3. Izra~unaj vrijednost ( )∆ϕ T polja ∆ϕ u to~ki T za
ϕ = − +1
2
152 3x y
z i T ( )−2 21, , .
Z4. Izra~unaj vrijednost ( )∆ Tra polja ∆
ra u to~ki T za
r r r ra y z x y j x z k= + i + 3 ln i T(1,−2,4).
Z5. Prona|i to~ke u kojima polje ∆ϕ ima minimum , ako je:
a) ( ) ( )ϕ = − + +x y z1 24 2 2
b) ϕ = − +1
123
9
2
4 2 2y x y z
Z6. Prona|i to~ke u kojima je polje ∆ ra nulvektor, ako je:
a) ( )r r ra x y i z xz k= + −2 3 2 b) ( )r r
a x y x z y z j= + − −4 4 2 2
V. Delta 90
Z7. Prevedi u (grad , div , rot)-izraze:
a) ( )∇ ϕ + ∆ψ b) ( )∆ ∇ +∇ ×ϕ ra c) ( )∇× ∇ × +
r ra b∆
Z8. Prevedi u ∇ -izraze:
a) ( )div grad grad rot a + ϕ ψ −r
b) ( ) ( )rot grad rot a grad div a + ϕ ϕr r− −
c) ( ) ( )grad div rot a b rot a rot b + r r r r
− +
Z9. Je li ( )∆ ∆ ∆ψϕ ψ ϕ+ = + i ( ) ( )∆ ∆C Cϕ ϕ= ? Vrijede li te
jednakosti , ako se skalarna polja zamijene vektorskim?
Z10. Je li polje ra =gradϕ bezizvorno ( diva
r= 0 ) ili bezvrtlo`no
( rot ar r= 0 ), ako polje ϕ zadovoljava Laplaceovu jednad`bu
∆ϕ = 0 ?
Z11. Poka`i da vektorsko polje ra , koje je istovremeno bezizvorno i
bezvrtlo`no, zadovoljava Laplaceovu jednad`bu ∆ = 0r ra .
Z12. Polja ( )∆ ∆ϕ i ( )∆ ∆ ra pretvori u (grad , div , rot)-izraze.
Z13. Jesu li polja ( )∇ ∆ϕ i ( )∆ ∇ϕ jednaka ?
Z14. Jesu li polja ( )∇⋅ ∆ ra i ( )∆ ∇⋅
ra jednaka ?
Z15. Poka`i da je skalarno polje ( )p a= ∇ ⋅ ∇ + ∇ × −ϕ r
∆ϕ nulpolje.
Z16. Doka`i: ( )[ ] ( ) ( ) ( )∇⋅ ∇ = + ∇ ⋅ ∇ϕ ψ ϕ ϕ ψ∆ψ .
Z17. Doka`i: ( ) ( )∇ +∇⋅ + ∇ × ∇ −∇ × = ∇ +ϕ ϕ ϕr r ra a a ∆ .
Z18. Doka`i: ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )∇× ⋅ = ⋅ ∇ × + ∇ ⋅ ×r r r r r r r r ra b v a b v a b v∆ ∆ ∆ .
7. Zadaci 91
Z19. Pomo}u formula (18) i (53) izra~unaj:
a) ( )∆ r r− 2 b) ( )∆r rr r r0 2+
Z20. Primjenom formula (18) i (53) izra~unaj:
a) ( )∆ x y z x y z2 2 24 2 2 22
+ + − + +
b) ( )∆ ln x y z x i y j z k2 2 2+ + + +
r r r
Z21. Odredi funkciju f r( ) ako je:
a)∆ ( ) =f r r r b) ( )[ ]∆ f r rr r= 0
Z22. Odredi integralni izraz funkcije ( )f r ovisno o ( )g r ako je:
a) ( ) ( )∆ f r g r= b) ( )[ ] ( )∆ f r r g r rr r=
Z23. Izvedi formulu (53): ( )[ ] ( ) ( )∆ f r r f rrf r r
r r= ′′ + ′
4
.
93
INTEGRALNI VEKTORSKI RA^UN
VI. Krivuljni integral
1. Krivulja 2. Pojam krivuljnog intagrala 3. Analiti~ka formula 4. Ra~unska pravila 5. Bezophodno i konzervativno polje 6. Primjeri 7. Zadaci
Temelj su integralnog vektorskog ra~una dvije vrste integrala pomo}u kojih se neposredno ili posredno odre|uju va`ni pojmovi vektorske analize. Integralom po orijentiranoj krivulji izra`ava se npr. rad u polju sile na putu du` krivulje u podru~ju polja, a pomo}u njega se odre|uje usmjerena gusto}a ophoda koja osigurava invarijantnost rotora (vidi VII). Integralom po orijentiranoj povr{ini izra`ava se npr. obujam teku}ine koja prote~e u jedinici vremena kroz povr{inu u podru~ju polja brzine strujanja teku}ine, a pomo}u njega se odre|uje gusto}a optoka koja osigurava invarijantnost divergencije (vidi IX). U VI-IX odre|uju se va`ne posebne vrste polja, a u X izla`u se tri izuzetno va`ne integralne formule vektorske analize: formula gradijenta, rotora i divergencije. U XI odre|uju se dvije istaknute i za primjenu zna~ajne vrste polja: potencijalno i solenoidalno polje, te se u svrhu istra`ivanja nu`nih i dovoljnih uvjeta primjenjuju integralne formule. U XII daje se sa`eti pregled vektorske analize polja u ravnini.
1. Krivulja1. Krivulja1. Krivulja1. Krivulja.... 1.1. Jednad`ba krivulje. Krivulja se analiti~ki zadaje jednad`bom
( ) ( ) ( ) ( )r r r r rr r t x t i y t j z t k= = + + , (1)
gdje je radius-vektor ( )rr t promjenljive to~ke T(t) na krivulji funkcija
realnog argumenta-parametra t odre|ena na zadanom kona~nom intervalu
VI. Krivuljni integral 94
[ ]t t t∈ 01, , (2)
a funkcije ( ) ( ) ( )x t y t i z t, , su koordinate radius-vektora ( )rr t odnosno
to~ke ( )T t . (Parametre s vrijednostima iz ostalih vrsta intervala ne}emo
promatrati.)
1.2. Vrste krivulja i vektor tangente. Pretpostavljamo da su
promatrane krivulje dovoljno pravilne, posebice da je funkcija ( )rr t ne
samo neprekinuta nego i derivabilna te da ima neprekinutu derivaciju
( ) ( ) ( ) ( )r r r r r′ = ′ = ′ + ′ + ′r r t x t i y t j z t k . (3)
Za takvu se funkciju ( )rr t ka`e da je klase C
1 . Posljedi~no, i funkci-
je ( )x t , ( ) ( )y t i z t su klase C1 . Mo`e se pretpostaviti, izuzimaju}i kona~an
broj to~aka, op}enitiji uvjet da su sve te funkcije po dijelovima klase
C1 , a u nekim se va`nim razmatranjima taj uvjet ~ak mora pretpostaviti.
Va`na je i dodatna pretpostavka o pravilnosti krivulje da je
( )r r′ ≠r t 0 , (4)
tj. da krivulja ima tangentu u svim to~kama ( )T t , s mogu}im izuzecima
u kona~no mnogo to~aka. Tada je ( ) ( )r rt T r T= ′ vektor tangente u to~ki
( )T t , a jedini~ni vektor tangente je r rt t0 0 ili − .
Krivulja nema samopresjeci{ta ako su razli~itim vrijednostima parametra pridru`ene razli~ite to~ke krivulje.
Ako su to~ke ( ) ( )A t B t01 i razli~ite, zovu se rubne to~ke krivulje,
a za krivulju se ka`e da ima rub ili da je obrubljena. Ako su pak
to~ke ( ) ( )A t B t01 i jednake, za krivulju se ka`e da je zatvorena.
Krivulja je jednostavna ako je obrubljena i nema samopresjeci{ta.
^esto se razmatra samo dio (komad) krivulje, tzv. luk krivulje, te se naziva jednostavan ako je krivulja jednostavna, ali koji mo`e biti jednostavan iako krivulja nije jednostavna. (Du`ina je tipi~an primjer
2. Pojam krivuljnog integrala 95
jednostavnog luka. Zamislite ravnu `icu - savijajte je i izvijajte. Proizvedeni oblik je tako|er jednostavan luk krivulje.)
Krivulja je jednostavno zatvorena ako je zatvorena i nema samopresjeci{ta. (Kru`nica je tipi~an primjer jednostavno zatvorene krivulje. Zamislite kru`nu `icu - savijajte je i izvijajte. Proizvedeni oblik ponovo je jednostavno zatvorena krivulja.)
1.3. Orijentacija krivulje. U mnogim je istra`ivanjima potrebno razlikovati jedan smjer puta du` krivulje od drugog suprotnog i jedan od ta dva smjera ista}i. U tu se svrhu krivulja orijentira. Orijentacija krivulje mo`e biti parametarska, tangentna i rubna.
Pri parametarskoj orijentaciji krivulje odredbeni podatak je porast vrijednosti parametra kojim je krivulja pozitivno orijentirana i tako odre|en pozitivan, i suprotan negativan, smjer puta du` krivulje.
Pri tangentnoj orijentaciji krivulje odredbeni podatak je po volji
odabrani, od dva mogu}a, jedini~ni vektor tangente ( )rt T0 bilo u kojoj
odabranoj to~ki ( )T t krivulje, kojim je krivulja pozitivno orijentirana.
Tangentni se vektor mo`e prenijeti neprekinutim pomicanjem po krivulji bilo u koju to~ku krivulje.
@elimo li da obje vrste orijentacija odre|uju isti smjer puta du` krivulje, da orijentacije budu, kako se ka`e, koherentne, mora biti
( ) ( )r rt T r T0 0= ' u nekoj, dakle i svakoj to~ki ( )T t krivulje.
Ima li krivulja rub, mo`emo je orijentirati rubno. Pri tome je odredbeni podatak po volji odabrani, od dva mogu}a, raspored rubnih to~aka, kojim je krivulja pozitivno orijentirana.
@elimo li da i ovaj na~in orijentacije bude koherentan s
prija{njim, raspored rubnih to~aka mora biti ( ) ( )( )A t B t01, .
2. Pojam krivuljnog integrala2. Pojam krivuljnog integrala2. Pojam krivuljnog integrala2. Pojam krivuljnog integrala.... Integral rr a dst
⋅∫C: 0 vektorskog
polja ( )ra T po orijentiranoj krivulji C:
rt 0 u podru~ju polja je rad W u
polju sile ( )ra T na putu du` krivulje C u pozitivnom smjeru, (Vidi
sliku 1) tj.
VI. Krivuljni integral 96
r rr a ds a st n
s
i i
i
n
⋅ = ⋅∫ ∑→∞→ =
−
C: 0
0 0
1
: lim∆
∆ , (5)
gdje je
( )r ra a Ti i:= , (6)
( )r rt t Ti i
0 0: = , (7)
∆ s T Ti i i := +duljina luka 1 , (8)
∆ ∆ := ,s t si i i
r0 (9)
{ }∆ ∆ := ... , .s s i nimax , ,= −0 1 1 (10)
Za luk krivulje C orijentiran rubnim to~kama A i B, krivuljni integral se ozna~ava
( )
r ra ds a ds
A BA
B
⋅ ⋅∫ ∫C , ili . (11)
Krivuljni integral odnosno opisani rad naziva se tako|er hod u
polju ra du` krivulje C , a ako je krivulja C jednostavno zatvorena,
naziva se ophod (kru`enje, cirkulacija) i ozna~ava
rr a ds
C t⋅∫ : 0
. (12)
Za svaku orijentiranu krivulju C: rt 0 u podru~ju vektorskog polja,
integralni operator (...):
⋅∫ dstC r0
je tipa “vektor→skalar”.
3. Analiti~ka formula.3. Analiti~ka formula.3. Analiti~ka formula.3. Analiti~ka formula. Ako su polje ra i krivulja C ( )A B,
analiti~ki zadani, tada se krivuljni integral ra~una po formuli
r r r r ra ds a r dt a dr
t
t
t
t
A
B
A
B
A
B
⋅ = ⋅ ′ = ⋅∫ ∫∫ , (13)
C
C
4. Ra~unska pravila 97
gdje je na desnoj strani
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]r r r r r ra a r t P x t y t z t i Q j R k= = + +, , ... ... , (14)
( ) ( ) ( )r r r r′ = ′ + ′ + ′r x t i y t j z t k , (15)
dr r dt dx i dy j dz kr r r r r= ′ = + + , (16)
( ) ( )r rr t OA r t OBA B= = , . (17)
4. Ra~unska pravila4. Ra~unska pravila4. Ra~unska pravila4. Ra~unska pravila.... Isti~emo najva`nija pravila krivuljnog
integrala: pravilo promjene predznaka, aditivnosti (po luku krivulje) i linearnosti.
Promjena orijentacije krivulje integracije u suprotnu proizvodi promjenu predznaka integrala:
( ) ( )... ...
⋅ = − ⋅∫∫ −ds ds
tt.
:: CCrr00
(18)
Rastavi li se krivulja integracije C:rt 0 na dva lukaC C1 i 2 , slijedi
( ) ( ) ( )... ... ... .⋅ + ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ds ds dsC C C1 2
(19)
Jo{ op}enitije, za tri po volji odabrane to~ke A, T i B krivulje integracije
C:rt 0 vrijedi
( ) ( ) ( )... ... ...
⋅ + ⋅ = ⋅∫ ∫∫ds ds ds
A
T
A
B
T
B
C CC
. (20)
Operator ( )... ⋅∫ dsC
je linearan (vidi II(8)).
98
Hod W u polju ra du` orijentirane krivulje C :
rt 0
Na slici je interval I pozitivno orijentiran, i to koherentno s
krivuljom C:rt 0 , tj. tako da je
r rt r0 0= ′ .
∆ ∆∆
=
-
W a si i i
i
n
sn
≈ ⋅ ∑ →∞→
r
0
1
0
lim
W a ds a r dt a dr
t
t
t
t
t
A
B
A
B
o= ⋅ ⋅ ′ = ⋅∫∫∫
r r r r rr = C:
Oznake t tA B i upu}uju na koherentnost orijentacije intervala s
krivuljom: ( ) ( )r rr t OA r t OBA B= =, .
Ophod ili cirkulacija
W a ds rot a dSt
= ⋅ = ⋅∫ ∫∫r r
r rC S(C): n
0: Stokes
0
Slika 1. Hod u vektorskom polju - Krivuljni integral
6. Primjeri 99
5. Bezophodno i konzervativno polje.5. Bezophodno i konzervativno polje.5. Bezophodno i konzervativno polje.5. Bezophodno i konzervativno polje. Vektorsko polje ra
se zove bezophodno ako je za svaku jednostavno zatvorenu krivulju C u njegovom podru~ju ophod du` krivulje C jednak nuli:
ra ds⋅ =∫ 0
C
. (21)
Vektorsko polje ra se zove konzervativno ako za svake dvije to~ke
A i B u podru~ju polja hod du` jednostavnog luka AB u podru~ju polja, tzv. spojnice C(A,B) to~aka A i B, ne ovisi o spojnici C(A,B), tj.
ako su hodovi du` svake dvije spojnice C1(A,B) i C2(A,B) jednaki:
( ) ( )
r ra ds a ds
A B A B⋅ = ⋅∫ ∫
C C1 2, ,. (22)
Skra}eno re~eno, konzerativno polje je polje u ~ijem podru~ju hod ne zavisi od krivulje integracije. Ovdje se dakako pretpostavlja jednostavna povezanost podru~ja polja (vidi X.1). Uz taj uvjet vrijedi pou~ak o identi~nosti obje vrste polja, tj. o ekvivalentnosti pojmova bezophodnog i konzervativnog polja:
(E1) Vektorsko polje je bezophodno ako i samo ako je konzervativno.
6. Primjeri6. Primjeri6. Primjeri6. Primjeri
P1. Izra~unaj integral vektorskog polja ( )r r r ra x y z z i x j x y k, , = + − po
orijentiranoj krivulji C : .r r r rr t i j t k
t= − + − →2 4 2 3 ,
Uradak. Po analiti~koj formuli (13) treba izra~unati
r r rr a ds a r dtt
⋅ = ⋅ ′∫ ∫−
C: 0
2
3
,
gdje je
( )r r r r ra a t t t i t j t k= − = + +2 2 24 4, , ,
r r r r r r′ = ′ + − ′ + ′ = +r t i j t k t i k( ) ( ) ( )2 4 2 .
Tada je r ra r t t t⋅ ′ = + =2 4 62 2 2
VI. Krivuljni integral 100
i
6 702
2
3
t dt
−∫ = .
P2. Koliko iznosi rad polja sile ( ) ( )r ra x y z y z k, , = + na putu du`
orijentirane krivulje C : sin ,r r rr t i t k
t= + → −3 2 1 ?
Uradak. Jer su polje ra i krivulja C zadani analiti~ki, rad W se mo`e
izra~unati po formuli (13):
W a ds a r dtt
= ⋅ = ⋅ ′∫ ∫−
r r r
rC: 0
2
1
,
( )r r ra a t t t k= =sin , ,0 3 3 ,
r r r′ = +r t i t kcos 3 2 .
Budu}i da je r ra r t⋅ ′ = 3 5 ,
izlazi
W t dt= = −−
∫ 363
2
5
2
1
.
P3. Izra~unaj rad polja sile r r ra y i z k= −2 du` pravca od to~ke
A( , , )3 1 4 do to~ke ( )B 5 1 5, ,− .
Uradak.... Vektorsko-parametarska jednad`ba pravca koji prolazi to~kama A i B je
( )r r r r r r r rr r t AB i j k t i j kA= + = + + + − + =3 4 2 2
( ) ( ) ( )= + + − + +3 2 1 2 4t i t j t kr r r
.
U toj jednad`bi to~ki A odgovara vrijednost parametra t = 0 , a to~ki B vrijednost t =1 . Zato se du`ina AB orijentirana od A prema B predo~ava gornjom jednad`bom pri ~emu parametar t poprima vrijednosti od 0 do 1:
( ) ( ) ( )C : ,r r r rr t i t j t k
t= + + − + + →3 2 1 2 4 0 1 .
Iz
6. Primjeri 101
( ) ( )r r ra t i t k= − − +1 2 4
2,
r r r r′ = − +r i j k2 2 ,
slijedi r ra r t t⋅ ′ = − −8 9 22
te
( )ra ds t t dt
A
B
⋅ = − − = −∫ ∫ 8 9 223
6
2
0
1
.
P4.... Izra~unaj hod polja
r r ra x j z k= + du` luka presje~nice paraboloida
4 4 2 2z x y= + i ravnine y x= 2 , od to~ke A(1,2,2) do to~ke
B(2,4,8). Uradak. Skicirajmo luk presje~nice C i
odredimo njegovu vektorsko-pa-rametarsku jednad`bu. Odabere-mo li za parametar promjenljivu x, slijedi y x= 2 , a potom iz
jednad`be paraboloida z x= 2 2 , dakle:
C: ,r r r rr x i x j x k
x= + + →2 2 1 22
( )r r r ra a x x x xj x k= = +, ,2 2 22 2
r r r r′ = + +r i j x k2 4 r ra r x x⋅ ′ = +2 8 3
( )W x x dx= + =∫ 2 8 333
1
2
P5. Izra~unaj ophod polja r r rv y i x j= − −2 du` elipse
x
a
y
b
2
2
2
21+ = u
ravnini XY, orijentirane tangentnim vektorom r rt j0 = u tjemenu
( )T a− , 0 .
C
Slika uz P4.
VI. Krivuljni integral 102
Uradak. @elimo odrediti {to jednostavnije parametarske jednad`be elipse. Nacrtajmo elipsu zajedno s kru`nicama polumjera a i b (vidi sliku). Izaberemo li kut ϕ za parametar, za bilo koju to~ku (x, y)
elipse vrijedi:
sinϕ =y
b
(iz manjeg trokuta)
i
cosϕ =x
a
(iz ve}eg trokuta).
Odatle slijede parametarske jednad`be pozitivno orijenti-rane elipse (u smjeru supro-tnom od kretanja kazaljki na satu):
x a y b= = → , ; cos sinϕ ϕ πϕ0 2 .
Zadana je elipsa orijentirana suprotno parametarskoj orijenta-ciji. Zato je njena vektorsko-parametarska jednad`ba
C : cos sinr r rr a i b j= + → , ϕ ϕ π ϕ
2 0 .
Prema tome, treba izra~unati ophod
r r rrv ds v r dt⋅ = ⋅ ′∫ ∫
C: 0
2
0
ϕπ
za r r rv b i a j= − −2 2 ,sin cosϕ ϕ r r r′ = − +r a i b j sin cosϕ ϕ , r rv r ab ab⋅ ′ = −2 2 sin 3ϕ ϕcos .
Stoga je ophod
( sin cos ) sin cosab ab d ab b d d2 3 2 3
2
0
2
2
0
2
0
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕπ ππ
− = −
=∫ ∫∫
Slika uz P5.
6. Primjeri 103
= =∫ab d abcos2
0
2
ϕ ϕ ππ
.
P6.... Izra~unaj hod polja r rv xyi= du` luka hiperbole
x
a
y
b
2
2
2
21− = u
ravnini XY, od to~ke ( )A a b− −5 2, do to~ke ( )B a b − 2, .
Uradak. Odredimo pogodne parametarske jednad`be hiperbole. Iz jednad`be hiperbole slijedi
x
a
y
b= ± +1
2
2 ,
pa je pogodno staviti
y
bt= sh ,
tako da je
x
at t= ± + = ±1 2sh ch .
Parametarske su jednad`be pozitivno orijentirane hiperbole (u smje-ru porasta t ) dakle:
x a t y b tt= ± = − ∞→ ∞ch sh, ; ,
gdje je pozitivan predznak
za desnu, a negativan za
lijevu granu (vidi sliku).
To~ke A i B se nalaze
na lijevoj grani hiperbole.
Vektorsko-parametarska je-
dnad`ba orijentiranog luka
AB je
C : ,r r rr a t i b t j
t= − + − →ch sh ar sh ar sh2 1
jer je
ty
bt
y
bA
AB
B= = − = =ar sh ar sh ar sh ar sh2 1i .
Slika uz P6.
VI. Krivuljni integral 104
Treba izra~unati hod
r r rv ds v r dt
A
B
⋅ = ⋅ ′−∫∫ar
ar
sh
sh
2
1
za r r
r r r
r r
v ab t t i
r a t i b t j
v r a b t t
= −
′ = − +
⋅ ′ =
ch sh
sh ch
sh ch
,
,
.2 2
Slijedi,
a b t t dta b
t a b2 22
3
2
12
2
1
33sh ch sh
ar sh
ar sh
ar sh
ar sh
= =−−
∫ .
P7. Izra~unaj ophod polja r r ra yi x k= + 2 du` presje~nice paraboloida
z x y= − −4 2 2 s koordinatnim ravninama u prvom oktantu, negativno orjentirane ako se gleda iz ishodi{ta.
Uradak.... Presje~nica C :rt 0 je jednostavno zatvorena krivulja sastavljena
od lukova C(A ,B), C(B ,C) i C(C ,A). Zato po pravilu (19) slijedi:
r r r r
r a ds a ds a ds a ds
A Bt
B C C A
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∫∫ ∫ ∫′C
C
C C( , ):
( , ) ( , )
,
pa treba dakle izra~unati svaki hod na desnoj strani.
Hod polja ra du` orijentiranog luka C(A ,B):
r r rr i j= + →2 2 0
2cos sin ,ϕ ϕ
πϕ
r r ra i k= +2 4 2sin cosϕ ϕ r r r′ = − +r i j2 2sin cosϕ ϕ r ra r⋅ ′ = −4 2sin ϕ
( )W a ds dA B
12
0
2
4= ⋅ = − = −∫ ∫r
C ( , )sin ϕ ϕ π
π
C
6. Primjeri 105
Hod polja
ra du` orijentiranog luka C(B, C):
( )r r r
r r
r r r
r r
r
r y j y k
a y i
r j y k
a r
W a ds
y
B C
= + − →
=
′ = −
⋅ ′ =
= ⋅ =∫
4 2 0
2
0
0
2
2
,
( , )C
Hod polja ra du` orijentira-
nog luka C(C, A):
( )
( )
r r r
r r
r r r
r r
r
r x i x k
a x k
r i x k
a r x
W a ds x dx
x
C A
= + − →
=
′ = −
⋅ ′ = −
= ⋅ = − = −∫ ∫
4 0 2
2
2
2 8
2
2
3
33
0
2
,
( , )C
Zbrajanjem ova tri hoda, dobivamo ophod
W a ds W W Wt
= ⋅ = + + = − −∫rr
C: 01 2 3 8π .
P8. Doka`i pou~ak: Vektorsko polje je bezophodno ako i samo ako je
konzervativno. Uradak.... Pretpostavimo da je polje
ra bezophodno. Neka su A i B bilo
koje dvije to~ke u podru~ju polja ra . Neka su C1 (A,B) i C2 (A,B)
bilo koje njihove spojnice koje su tako|er u podru~ju polja ra
(vidi sliku).
Slika uz P7.
VI. Krivuljni integral 106
Slika uz P8.
Treba pokazati da su hodovi polja ra du` ovih spojnica jednaki:
r ra ds a dsC C1 2∫ ∫⋅ = ⋅ . (∗ )
Neka je C :rt 0 zatvorena orijentirana krivulja sastavljena od
spojnica C 1 (A, B) i C 2 (B, A). Krivulja C ne mora biti jednostavno
zatvorena (vidi sliku b).
Za slu~aj a) iz pravila (18) i (19), te pretpostavke da je polje ra bezophodno, slijedi:
r r r
ra ds a ds a dsA B A B t⋅ − ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫
C C C1 20
0( , ) ( , ) :
,
odakle izlazi tra`ena jednakost (∗ ) koja kazuje da je polje ra
konzervativno.
Za slu~aj b) uvedimo u podru~ju polja ra novu spojnicu C3
to~aka A i B koja ne sije~e ni C1 niti C2. Tada kao u slu~aju a)
slijede jednakosti:
r r r ra ds a ds a ds a dsA B A B A B A B⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫
C C C C1 3 2 3
0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )
i
~ijim uspore|ivanjem tako|er proizlazi (∗ ).
Obrnuta se implikacija dokazuje na isti na~in jo{ jedostavnije, samo obrnutim redoslijedom: pretpostavi se da je polje
ra kon-
zervativno, jednostavno zatvorena orijentirana krivulja C :rt 0 u
podru~ju polja ra se rastavi na dva dijela, ... .
6. Primjeri 107
P9. Doka`i da je stalno polje r ra c= konzervativno.
Uradak.... Za bilo koje dvije to~ke A i B i bilo koju spojnicu C(A, B)
ra~unajmo hod du` C(A, B). Neka je r r r rc c i c j c k= + +1 2 3 , a
jednad`ba spojnice ( ) ( ) ( ) ( )r r r r rr r t x t i y t j z t k= = + + . Tada je
( )
[ ][ ]
r r r
r r r
c ds c r dt c x c y c z dt
c x dt
c x t x t
c r t r t
A Bt
t
t
t
t
t
B A
B A
A
B
A
B
A
B
⋅ = ⋅ ′ = ′ + ′ + ′ =
= ′ + ⋅⋅ ⋅ =
= − + ⋅⋅ ⋅ =
= ⋅ −
∫ ∫∫
∫
C ( , )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3
1
1
Rezultat ra~una pokazuje da hod ne ovisi o spojnici, dakle da je stalno polje konzervativno.
P10. Doka`i da je sferno polje ( )r ra r r r= −4 32 konzervativno. Koliko
iznosi hod polja ra od to~ke ( )A x y zA A A, , do to~ke ( )B x y zB B B, , ,
ako je x y zA A A2 2 2 1+ + = i x y zB B B
2 2 2 4+ + = ? Kao poop}enje pri-
mjera vidi Z15.
Uradak. Neka su A i B po volji izabrane dvije to~ke i C(A, B) bilo
koja njihova spojnica, te ( )r rr r t= . Tada je
( ) ( )r r ra ds r r r r dt r r rr dtA B
t
t
t
t
A
B
A
B
⋅ = − ⋅ ′ = − ′∫ ∫∫C( , )
4 3 4 32 2
jer je r rr r r r⋅ ′ = ′ zbog jednakosti
( )r r r rr r r r⋅ ′ = ⋅ ′2 i ( ) ( )
r rr r r r r⋅ ′ = ′ = ′2 2 .
Za ( )u r du r dt= = ′ dalje slijedi
( ) ( )4 3 4 32 2r r rr dt u u u du
u
u
t
t
A
B
A
B
− ′ = − =∫∫
VI. Krivuljni integral 108
( )= − = − − +∫ 4 33 2 4 3 4 3u u du r r r rB B A A
r
r
A
B
,
{to govori da hod polja ra ne ovisi o spojnici C(A, B) pa je ono
konzervativno.
[to se ti~e drugog dijela primjera , to~ke A i B le`e na sferama sa sredi{tem u ishodi{tu polumjera 1 i 2. Zato je rA =1
i rB = 2 , pa tra`eni hod iznosi
2 2 1 1 84 3 4 3− − + = .
P11. Izra~unaj hod polja r r ra z j x k= + du` luka presje~nice ravnine
x y− =2 3 i valjka z y2 1− = , od to~ke A( , , )3 0 1 do to~ke
B( , , )9 3 2 .
Uradak. Za vektorsko-parametarsku jednad`bu presje~nice
x y
z y
− =
− =
2 3
12
najzgodnije je odabrati parametar t=z . Tada je jednad`ba orijenti-
ranog luka AB
( ) ( ) ( )C: , ,r r r r rr r z z i z j z k
z= = + + − + →2 1 1 1 22 2
integrand r ra r z⋅ ′ = +4 12 ,
a integral
( )ra ds z dz
A
B
⋅ = + =∫∫ 4 131
3
2
1
2
.
P12. Izra`unaj ophod polja r r ra z i x j= + du` presje~nice valjka
x y2 2 4+ = i ravnine y z+ = 3 , orijentirane tangentnim vektorom r rt i= − u to~ki T(0,2,1) .
Uradak. Nacrtajmo zadanu orijentiranu presje~nicu i odaberimo kut ϕ za
C
6. Primjeri 109
parametar (vidi sliku). Tada je vektorsko-parametarska jednad`ba presje~nice
( )C : cos sin sin ,r r r rr i j k= + + − →2 2 3 2 0 2ϕ ϕ ϕ πϕ .
Ra~un:
( )r r r
r r r r
r r
rr
a i j
r i j k
a r
a ds dt
= − +
′ = − + −
⋅ ′ = −
⋅ = − =∫ ∫
3 2 2
2 2 2
4 6
4 6 80
0
2
sin cos
sin cos cos
sin
( sin ):
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ππ
C
P13. Izra~unaj hod polja
r ra x k= du` onog luka presje~nice dva
paraboloida ( )y x z y x z= + + = − −2 2 3 40 2 62 2 2 2i ,koji se nalazi
iznad ravnine XY, i koji je orijentiran porastom apscise x.
Uradak. Zadani podaci upu}uju na promatranje projekcije presje~nice na
ravninu XZ :
( )2 2 3 40 2 62 2 2 2x z x z+ + = − − ,
tj. nakon sre|ivanja,
( )x z++ =
1
9 41
22
.
Zbog toga {to je projekcija elipsa, parametarske su jednad`be presje~nice
xx
= −+
=
3 11
3cos cos ,ϕ ϕ
zz
= =
22
sin sin ,ϕ ϕ
Slika uz P12.
Slika uz P13.
VI. Krivuljni integral 110
( )y y x z= + − = − −20 12 6 40 2 62 2 2cos sin ,ϕ ϕ
te je vektorsko-parametarska jednad`ba zadanog orijentiranog luka (njegova projekcija na ravninu XZ prikazana je na slici) :
( ) ( )C : cos cos sin sin , .r r r rr i j k= − + + − + →3 1 20 12 6 2 02ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ
Tada iz r ra r⋅ ′ = −6 22cos cos ,ϕ ϕ
izlazi
( )rr a ds dt
⋅ = − = −∫∫ 6 2 32
0
0cos cos .
:ϕ ϕ ϕ π
πC
P14. Izra~unaj hod polja r r ra xi zj= + du` luka presje~nice hiperboloida
( )x y z2 2 21 9+ − − = i valjka ( )z y= −12 od to~ke A(3,0,1) do
to~ke B(3,2,1).
Uradak.... Ako izaberemo y−1 za parametar t , y−1= t , tada parametarske jednad`be presje~nice zadanog hiperboloida i valjka jesu:
x t t y t z t= ± − + = + =9 12 4 2, , .
Presje~nica ima dakle dvije grane: jedna grana ima pozitivnu apscisu, a druga negativnu. To~ke A i B pripadaju grani koja ima pozitivnu apscisu jer je x xA B= = 3.
Vektorsko-parametarska jednad`ba orijentiranog luka AB je
( )C : , ,r r r rr t t i t j t k
t= − + + + + − →9 1 1 12 4 2
jer vrijednostima yA = 0 i yB = 2 odgovaraju vrijednosti tA = −1 i
tB =1.
Sada je lako izra~unati skalarni umno`ak r ra r t t t⋅ ′ = + −2 3 2
i integral
( )ra ds t t t dt t dt
A
B
⋅ = + − = =∫∫∫−
2 22
3
3 2 2
0
1
1
1
. C
6. Primjeri 111
P15. Izra~unaj rad u polju sile r r ra
y
xjxk= −3
du` onog dijela presje-
~nice valjka y x= ln i ravnine 2 3 0y z+ = koji se nalazi u petom
oktantu i koji je orijentiran padom aplikate z.
Uradak. Izaberimo x za parametar. Tada je vektorsko-parametarska jednad`ba zadane orijentirane krivulje
C: ln ln , ,r r r rr x i x j x k
x= + − → ∞2
31
jer opadanjem aplikate z raste apscisa x (vidi sliku).
Zbog
r ra r
x
x⋅ ′ =
+ln 22
i
ra ds
x
xdx⋅ =
+∫ ∫
∞
C
ln 22
1
,
zadatak se svodi na ra~u-nanje vrijednosti nepravog integrala
lnlim
lnx
xdx
x
xdx
+=
+→∞
∞
∫∫2 2
2 2
11β
β
.
Metodom djelomi~nog integriranja nalazimo
ln ln,
x
xdx
x
x
+= −
+∫
2 32
a tada je
ln lnx
xdx
+= −
+∫
23
32
1
ββ
β
.
Slika uz P15.
VI. Krivuljni integral 112
limln
limln
,β β
ββ
ββ→∞ →∞
−+
= −
+=3
33
33
dakle nepravi integral konvergira k broju 3.
Tako smo izra~unali tra`eni rad.
7.7.7.7. ZadaciZadaciZadaciZadaci
Z1. Izra~unaj rad u polju sile r r r ra i x z j y k= − − +3 2 du` luka
presje~nice paraboloida z x y= +1
2
1
4
2 2 i ravnine y = −2 , od to~ke
A(2,−2,3) do to~ke B(−3,−2,11
2).
Z2. Izra~unaj rad u polju sile r r ra x i z k= − 2 du` luka presje~nice
paraboloida x y z= +2 32 2 i ravnine y=1, od to~ke A ~ija je
aplikata zA =1 do to~ke B ~ija je aplikata zB = −1 .
Z3. Izra~unaj hod polja r r ra y i k= + 5 du` luka presje~nice sto{ca
z x y= +2 23 i ravnine y=2, od to~ke A za koju je xA = 2 do
to~ke B za koju je xB = −2 .
Z4. Izra~unaj hod polja r r ra x j yzk= +2 du` luka presje~nice
paraboloida z x y= −1
2
1
8
2 2 i ravnine z=2, od to~ke ( )A 2 0 2, , do
to~ke ( )B 2 2 4 2, , .
Z5. Izra~unaj rad u polju r r r ra z i x y j x k= − + du` dijela presje~nice
ravnine x+z=5 i valjka z y= 2 , od to~ke A s ordinatom yA = −3
do to~ke B s ordinatom yB = 2 .
Z6. Izra~unaj ophod polja r r ra i x j= + du` negativno orijentirane zatvo-
7. Zadaci 113
rene krivulje u ravnini XY, sastavljene od dijelova pravca y=x−1 i parabole x y= −2 1 .
Z7. Izra~unaj ophod polja r r ra y i j= + du` pozitivno orijentirane
zatvorene krivulje u ravnini XY, sastavljene od dijelova pravaca
y=8 i x=0, te kubne parabole y x= 3 .
Z8.... Izra~unaj rad u polju ( )r r rv yi x j= − − 2 du` krivulje
xa
bb y= − −2 2 2 ( )a b, >0 u ravnini XY, orijentirane padom
ordinate y.
Z9. Izra~unaj ophod polja r ra x j= du` negativno orijentiranog ruba
“mjeseca” u ravnini XY, ome|enog lukovima kru`nica x y R2 2 2+ =
i ( )x y R R2 2 22+ + = za y ≥ 0.
Z10. Izra~unaj ophod polja ( )r ra z j= −2 1 du` kru`nice sa sredi{tem u
ishodi{tu polumjera 3 koja le`i u ravnini x=y, orijentirane
vektorom r r rt i j= + u to~ki T(0,0,3) .
Z11. Izra~unaj hod polja ( )( )r r ra y i x z k= + − +2 4 2 du` du`ine od to~ke
A(4,1,−2) do to~ke B(1,−3,2).
Z12. Postupkom kao u P10 izra~unaj hod sfernog polja ( )r ra r r= +2 1
du` du`ine od to~ke A do to~ke B, gdje se A i B nalaze na
sferama sa sredi{tem u ishodi{tu polumjera 1 i 2.
Z13. Koliko iznosi ophod sfernog polja ( )r ra f r r= du` bilo koje
kru`nice sa sredi{tem u ishodi{tu?
Z14. Doka`i da je stalno polje r ra c= bezophodno.
Z15. Doka`i da je sferno polje ( )r ra f r r= konzervativno. Koliko iznosi
hod polja ra du` spojnice C(A ,B) , ako su to~ke A i B na sferi
sa sredi{tem u ishodi{tu?
VI. Krivuljni integral 114
Z16. Izra~unaj ophod polja r ra x y k= du` presje~nice ravnine z y= −3 2
i paraboloida z x y= +2 2 , orijentirane vektorom r rt i= u to~ki
T(0,1,1) .
Z17. Izra~unaj ophod polja r r r ra i z j z k= − + 8 du` presje~nice valjka
y z2 2 4+ = i paraboloida x y z= − −7 32 2 , orijentirane vektorom r rt k= u to~ki T(3,2,0).
Z18.... Izra~unaj ophod polja r r r ra z i j x k= + −2 du` presje~nice valjka
x z2 2 9+ = i ravnine y z+ = 5 , orijentirane vektorom r r rt j k= −
u to~ki T(3,5,0) .
Z19. Izra~unaj ophod polja r ra y i= 5 du` presje~nice povr{ina
z x y= + −2 12 2 i x z+ = 2, orijentirane vektorom r rt j= − u
to~ki T(−5,0,7) .
Z20. Koliko iznosi rad u polju sile r r r ra x z i x z j x z k= − + +15 9 6 du` bilo
koje krivulje koja le`i u ravnini 5 3 2 15x y z− − = ?
Z21. Izra~unaj hod polja r ra e kx= du` luka presje~nice ravnine
2 3 6 2x y z x+ = =i valjka koji se nalazi u prvom oktantu,
orijentiranog porastom promjenljive x.
Z22. Izra~unaj hod polja r r r ra y z i j x k= + + du` luka presje~nice valjka
x y2 2 4+ = i sto{ca z x y= +3 2 2 koji se nalazi u prvom i
drugom oktantu, orijentiranog padom promjenljive x.
Z23. Izra~unaj hod polja r ra xy i= du` luka presje~nice povr{ina
x y y y z− = + + + =9 0 10 24 02 2i koji se nalazi u tre}em oktantu,
orijentiranog padom promjenljive y.
Z24.... Izra~unaj hod polja r r r ra z i y j x k= + − du` luka presje~nice valjka
x y2 2 1+ = i ravnine x+z=1 koji se nalazi u prvom oktantu,
orijentiranog porastom promjenljive z.
7. Zadaci 115
Z25. Izra~unaj hod polja r r ra x j z k= + du` luka presje~nice povr{ina
y x z= +2 2 i x y z2 2 2 6+ + = koji se nalazi u prvom oktantu,
orijentiranog porastom apscise x.
Z26. Du` kojeg je luka:
C C C1 2 3
2 2 2 24 9: , : , : ;
r r r r r r r r rr
ti t j r t i
tj r
ti
tj
t= + = + = − →
rad u polju r r ra x y i y j= −2 2 najve}i? Objasni rje{enje (usporedi
duljine lukova i prona|i vektorske krivulje polja ra ).
Z27.... Izra~unaj hod polja r r ra z j y k= +
13
2
2 du` luka presje~nice povr{ina
y+2z=6 i x y z= +2 24 , od to~ke za koju je y=−2 do to~ke za
koju je z =5
2.
Z28. Izra~unaj hod polja r r ra z i z j= − 3 du` luka presje~nice hiperboloida
x y z2 2 2 2+ − = i ravnine x=y, od to~ke A(−1,−1,0) do to~ke
B(−2,−2, 6 ).
Z29.... Izra~unaj ophod polja r r ra y i z j= + du` presje~nice valjaka
x y c x cz2 2 2 2+ = =i , pozitivno orijentirane kada se gleda s
dovoljno visoke to~ke na osi Z.
Z30. Izra~unaj ophod polja r r ra z i x k= − du` presje~nice paraboloida
z x y= +4 2 2 i ravnine z y= +2 3 , negativno orijentirane ako se
gleda iz ishodi{ta.
Z31. Izra~unaj hod polja r ra z j= 2 du` luka presje~nice povr{ina
x y2 2 1+ = i z x y= koji se nalazi u tre}em oktantu, negativno
orijentiranog ako se gleda iz to~ke T(0,0,10).
VI. Krivuljni integral 116
Z32. Izra~unaj ophod polja ( )r ra x y k= + 2 du` krivulje sastavljene od
presje~nica ravnine 2 4x y z− + = s ravninom ( )y x z= ≥0 0, i
valjkom y=2x−x2 ( )x y, ≥ 0 , pozitivno orijentirane kada se gleda
iz ishodi{ta.
Z33.... Konvergira li hod polja r ra z e jx= − du` presje~nice valjka
( )2 02y x x= ≥ i ravnine z=x, orijentirane porastom apscise x?
Z34. Te`i li hod polja r ra
xyk= −
1
5 2 du` luka presje~nice paraboloida
z x y= − −5 2 2 i ravnine x=2y koji se nalazi u prvom oktantu,
orijentiranog porastom ordinate y?
Z35.... Rije{i P15 tako da pri parametrizaciji presje~nice parametar bude ordinata y.
117
VII. Usmjerena gusto}a ophoda i rotor
1. Pojam usmjerene gusto}e ophoda
2. Analiti~ka formula. Rotor.
Invarijantna svojstva.
3. Bezvrtlo`no polje
4. Primjeri
5. Zadaci
1. Pojam usmjerene gusto}e ophoda.1. Pojam usmjerene gusto}e ophoda.1. Pojam usmjerene gusto}e ophoda.1. Pojam usmjerene gusto}e ophoda. Gusto}a ophoda u
vektorskom polju ra u smjeru jedini~nog vektora
rn0 u to~ki T je skalar
( )goph a TW
Sn
S
r: lim ,=
→∆
∆∆0
(1)
gdje je
∆W a ds= ⋅∫r
C ophod u polju
ra du` male jednostavno zatvorene
krivulje C oko to~ke T u ravnini Π kroz T okomitoj na rn0 i pozitivno
orijentirane pomo}u rn0 (u pretpostavljenom orijentiranom prostoru),
∆S plo{tina podru~ja S(C) u ravnini Π obrubljenog krivuljom C,
i
∆∆
SS
→→
00
u lim oznaka stezanja podru~ja S(C) u obje dimenzije k
to~ki T.
Usmjerena gusto}a ophoda se katkada ozna~ava
dW
dS. (2)
Za svaki vektor rn0 operator gophn usmjerene gusto}e ophoda je
tipa “vektor→ skalar”. (Vidi primjedbu na kraju sljede}e to~ke.)
2. Analiti~ka formula. Rotor. Invarijantna svojstva.2. Analiti~ka formula. Rotor. Invarijantna svojstva.2. Analiti~ka formula. Rotor. Invarijantna svojstva.2. Analiti~ka formula. Rotor. Invarijantna svojstva. Ako
su polje ra i vektor
rn0 analiti~ki zadani, tada se usmjerena gusto}a
VII. Usmjerena gusto}a ophoda i rotor 118
ophoda ra~una po formuli
g oph aR
y
Q
zn
P
z
R
xn
Q
x
P
ynn x y z
r= −
+ −
+ −
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
0 0 0, (3)
gdje je
( ) ( ) ( ) ( )r r r r ra a x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= = + +, , , , , , , , , (4)
r r r rn n i n j n kx y z0 0 0 0= + + . (5)
Ta formula upu}uje na odredbu vektora rotora danu ve} u III (4)
pomo}u kojeg se usmjerena gusto}a ophoda izra`ava:
goph a rot a n n rot a rot an n
r r r r r r= ⋅ = ⋅ =0 0
. (6)
Odatle slijede na isti na~in kao za vektor gradijent u III.2
invarijantna svojstva rotora pomo}u kojih se rotor mo`e invarijantno
odrediti.
Treba ipak ista}i da su i skalar g oph anr i vektor rot a
r neovisni
o izboru koordinatnog sustava samo me|u jednako orijentiranim
sustavima , a da pri promjeni orijentacije sustava promijene predznak,
prelaze u suprotni skalar odnosno suprotni vektor. Zato se pri
promatranju koordinatnih sustava obiju orijentacija goph anr zove
pseudoskalar, a rot ar pseudovektor.
3. Bezvrtlo`no polje.3. Bezvrtlo`no polje.3. Bezvrtlo`no polje.3. Bezvrtlo`no polje. Vektorsko polje ra se zove bezvrtlo`no
ako je u svakoj to~ki T njegovog podru~ja
( )rot a Tr r
= 0. (7)
Ako je ( )rot a Tr r
≠ 0, za polje ra se ka`e da ima vrtlog u to~ki T.
4. Primjeri4. Primjeri4. Primjeri4. Primjeri
P1. Izra~unaj gusto}u ophoda u polju r r r ra yz i x j y k= + +2 3 3 u smjeru
vektora:
4. Primjeri 119
a) b)r r r r r r r rn i j k n i j k= − + = − + −2 3 6 2 3 6
Uradak. Ra~unajmo usmjerenu gusto}u ophoda po formuli (6):
g oph a n rot an
r r r= ⋅0 .
Iz
( )rot a
i j k
x y z
yz x y
y i yzj x z kr
r r r
r r r= = + + −∂∂
∂∂
∂∂
2 3 3
2 2 23 2 3
i
( ) ( )a) b)r r r r r r r rn i j k n i j k0 01
72 3 6
1
72 3 6= − + = − − +
slijedi:
( ) ( )a) b)g oph a x y z yz g oph a x y z yzn n
r r= + − − = − + − −6
73
6
732 2 2 2 2 2
P2. Izra~unaj gusto}u ophoda u polju r r ra xyi x z k= − 2 2 u smjeru
vektora r r rn i j= +3 4 u to~ki ( )T 4 21, , .−
Uradak. Tra`enu usmjerenu gusto}u ophoda mo`emo ra~unati po formuli
(6):
( ) ( )g oph a T n rot a Tn
r r r= ⋅0 .
Iz
rot a
i j k
x y z
x y x z
x z j x kr
r r r
r r=
−
= −∂∂
∂∂
∂∂
0
2
2 2
2 ,
rot a T j k n i jr r r r r r( ) = − = +8 2
3
5
4
5
0i ,
izlazi
g oph a Tn
r( ) =
32
5.
VII. Usmjerena gusto}a ophoda i rotor 120
P3. Koja su invarijantna svojstva rotora s obzirom na usmjerenu
gusto}u ophoda?
Uradak: Iz formule (6),
g oph a n rot an
r r r= ⋅0 ,
slijede odredbena svojstva smjera i duljine vektora rot ar
:
(r1) Smjer rot aor
vektora rot ar
je smjer u kojem usmjerena
gusto}a ophoda g oph anr
ima najve}u vrijednost.
(r2) Duljina rot ar
vektora rot ar
je najve}a vrijednost usmjerene
gusto}e ophoda g oph anr
.
P4. Odredi smjer najve}e gusto}e ophoda u polju r r r ra y z i x j k= − +2 3
u to~ki T(1, 2, 3) i izra~unaj vrijednost te najve}e gusto}e ophoda.
Uradak: Iz invarijantnih svojstava rotora (r1) i (r2), slijedi:
r r r rn rot a T g oph a T rot a Tn0 0= =( ) ( ) ( )i .
Budu}i da je
rot a y j x y z kr r r= − +2 23 2( ) ,
tra`eni smjer i vrijednost su
rot a T j k rot a T0 1
2414 15 241
r r r r( ) ( ) ( )= − =i .
P5. Doka`i da je operator g ophn usmjerene gusto}e ophoda linearan.
Uradak: Koriste}i se svojstvima linearnosti krivuljnog integrala i grani~ne
vrijednosti, primjenom formule (1) slijedi:
( )goph a b
a b ds
S
a ds b ds
Sn
S Sα
α αr r
r r r r
+ =+ ⋅
=⋅ + ⋅
=→ →
∫ ∫ ∫lim
)
lim∆ ∆∆ ∆0 0
(C C C
4. Primjeri 121
=⋅
+⋅
=
⋅+
⋅=
= +
→ → →
∫ ∫ ∫ ∫lim lim lim
.
∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆S S S
n n
a ds
S
b ds
S
a ds
S
b ds
S
g oph a g oph b
0 0 0α α
α
r r r r
r r
C C C C
P6. Izra~unaj po odredbi (1) gusto}u ophoda u polju r r ra z j x y k= − 2 3
u pozitivnom smjeru osi Y.
Uradak. Ozna~imo s T x y z0 0 0 0( , , ) po volji odabranu to~ku i u njoj
ra~unajmo gusto}u ophoda polja ra u smjeru
r rn j0 = . Primijenimo
odredbenu formulu (1):
( )goph a x y zW
S
a ds
Rj
S R
r
r
0 0 00 0 2
, , lim lim= =⋅
→ →
∫∆
∆∆
C
π ,
gdje je C C= ( )R kru`nica u ravnini y y= 0 sa sredi{tem u
T x y z0 0 0 0( , , ) polumjera R, pozitivno orijentirana s obzirom na
vektor rj :
rr OT OT T T= = +1 0 0 1 ,
gdje je T1 promjenljiva to~ka na
kru`nici.
Iz vektorsko-parametarske jedna-
d`be orijentirane kru`nice C C= ( )R :
r r r rr x R t i y j z R t k= + + + +( sin ) ( cos )0 0 0
0 2t→ π
slijedi r ra r x y R t x y R t y R t⋅ ′ = + +0
203
0 03 2 2
03 3 32sin sin sin .
Sada se ra~una
lim lim
( sin sin sin )
R R
a ds
R
x y R t x y R t y R t dt
R→ →
⋅=
+ +
=∫ ∫
0 2 0
02
03
0
2
0 03 2 2
03 3 3
2
2r
C
π π
π
Slika uz P6.
VII. Usmjerena gusto}a ophoda i rotor 122
= =∫2
20 03
20 0
3
0
2x y
t dt x yπ
π
sin .
Tako je zadanom vektorskom polju ra i smjeru
rn0
pridru`eno skalarno polje
g oph a xyn
r= 2 3 .
P7. Izra~unaj po odredbi (1) gusto}u ophoda u polju r r ra i z j= − 2 u
smjeru vektora r r rn i k= + u to~ki T(3,3,3) .
Uradak. Primijenimo odredbenu formulu (1),
g ophW
S
a ds
Ri k S R
r r
r
+ → →= =
⋅∫( , , ) lim lim3 3 3
20 0 2∆
∆∆
C
π ,
gdje je C C= ( )R presje~nica ravnine
x z+ = 6 i valjka ( ) ( ) ,x y R− + − =32
32 2
pozitivno orijentirana pomo}u vektora r r rn i k= + . Plo{tinu ∆ S R= 2 2π iz-
ra~unamo povr{inskim integralom prve
vrste.
Iz vektorsko-parametarske jednad`be
orijentirane krivulje C C= ( )R :
r r r rr R t i R t j R t k= + + + + −( cos ) ( sin ) ( cos )3 3 3
0 2t→ π
slijedi : r ra r R t R t R t R t⋅ ′ = − − + −sin cos cos cos9 6 2 2 3 3 .
Nadalje se ra~una
lim lim
( sin cos cos cos )
R R
a ds
R
R t R t R t R t dt
R→ →
⋅=
− − + −
=∫ ∫
0 2 0
2 2 3 3
0
2
22
9 6
2
r
C
π π
π
Slika uz P7.
4. Primjeri 123
= =∫3 2
3 22
0
2
π
π
cos .t dt
P8. Izra~unaj: a) g oph an ( )ϕr
b) g oph a bn ( )r r×
Uradak. a) Iz (6) i III(20), slijedi:
g oph a n rot a n rota grad a
n rota n grad a goph a n grad a
n
n
( ) ( ) ( )
( ) ( ) .
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
r r r r r r
r r r r r r r
= ⋅ = ⋅ + × =
= ⋅ + ⋅ × = + × ⋅
0 0
0 0 0
b) Iz (6) i III(23), slijedi:
g oph a b n rot a b na
bb b diva
b
aa adivb
a
bb b diva
b
aa a divb
n
n
n
n
n
( ) ( )
( ) ( ) .
r r r r r rr
r rr
r r
rr r
rr r
× = ⋅ × = ⋅ − − +
=
=
− −
+
0 0 ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
P9. Za me|usobno okomite vektore r rn mi , izra~unaj:
a) goph an mr r
r
+ b) goph an m2r r
r
−
Uradak. a) Budu}i da je
( )r r
r rr r
n mn m
n m
n
n mn
m
n mm+ =
+
+=
++
+
0
2 2 2 2
0
2 2
0 ,
slijedi:
goph a n m rotan
n mn rota
m
n mm rota
n
n mgoph a
m
n mgoph a
n m
n m
r rr r r r r r r r
r r
+ = + ⋅ =+
⋅ ++
⋅ =
=+
++
( )
.
0
2 2
0
2 2
0
2 2 2 2
b) Vektori 2r rn mi − su tako|er okomiti tako da na isti na~in
izlazi:
goph an
n mgoph a
m
n mgoph a
n m n m22 2 2 2
2
4 4
r rr r r
− =+
−+
.
VII. Usmjerena gusto}a ophoda i rotor 124
P10. Doka`i da za bilo koje skalarno polje ϕ vrijedi:
g oph nn ( )ϕr= 0
Uradak. Prema (6) i III(10), slijedi:
g oph n n rot nn ( ) ( )ϕ ϕr r r= ⋅ =0
= ⋅ × =r rn grad n0 0( )ϕ ,
jer je rn0 okomit na grad nϕ ×
r.
5. Zadaci5. Zadaci5. Zadaci5. Zadaci
Z1. Izra~unaj gusto}u ophoda u polju r r r ra y x i z j x k= + −ln 2 u smjeru
vektora:
a) r r r rn i j k= − +2 2 b)
r r r rn i j k= − −3 4 5 c)
r r r rn i j k= − + +3 4 5
Z2. Izra~unaj gusto}u ophoda u polju r r r ra y zi x e j xz kx= − +3 2 3 2 u
smjeru vektora r r r rn i j k= + −3 2 6 u to~ki T(0, 2, 3).
Z3. Izra~unaj goph a T ay
zi
x
zj
a Tr
r r r r
( )( ) za = + i T(9, 2, 1).
Z4. Zavisi li gusto}a ophoda u polju ra grad= ϕ o smjeru?
Z5. U kakvoj su vezi goph a i g oph bn n
r r, ako je
r ra b grad= + ϕ ?
Z6. Za po volji odabrani smjer rn0 izra~unaj goph an
r, ako je:
a) r ra c= stalno polje b)
r ra f r r= ( ) sferno polje
Z7. Odredi smjer najve}e gusto}e ophoda u polju r r r ra x y i z j x k= − −2 3 2cos
u to~ki T(4,0,−2) i izra~unaj tu najve}u gusto}u ophoda.
Z8. Odredi smjer najmanje gusto}e ophoda u polju r r r ra
x
yix
zjy
zk= + +
5. Zadaci 125
u to~ki T(−6,3,1) i izra~unaj tu najmanju gusto}u ophoda.
Z9. Izra~unaj najve}u usmjerenu gusto}u ophoda u polju r ra c= ϕ .
Z10. Je li goph a rot bn
r r≤ , ako je rot a goph bn
r r≤ ?
Z11. Za{to suprotnim poljima pripadaju suprotne usmjerene gusto}e
ophoda u istom smjeru?
Z12. Za{to suprotnim smjerovima pripadaju suprotne usmjerene gusto}e
ophoda istog polja?
Z13. Odredi po definiciji gusto}u ophoda u polju r r ra x y i x z j= + u
negativnom smjeru osi Z.
Z14. Izra~unaj po definiciji gusto}u ophoda u polju r r r ra y i x j z k= − +2
u pozitivnom smjeru osi Z u to~ki: a) T(0,0,0) b) T(2,1,3)
Z15. Izra~unaj po definiciji gusto}u ophoda u polju r ra x y k= 2 u smjeru
vektora r r r rn i j k= + + u to~ki T(1,1,1).
Z16. Za koju je vrijednost parametra c gusto}a ophoda u polju r r r ra y z i x j x k= + +2 3 arcsin u smjeru vektora
r r rn i c j= +4 u to~ki
T(1
2, 3, 2− ) jednaka 21?
Z17. U kojim je to~kama gusto}a ophoda u polju r r ra y z i x y k= +2 2 u
smjeru r r r rn i j k= − +2 jednaka nuli?
Z18. Doka`i: Ako je vektor r rn ≠ 0 kolinearan s rotorom polja
ra u
to~ki T, onda je rot a T n goph a Tn
r r r( ) ( )= 0 . Vrijedi li obrat tako|er?
Z19. Doka`i: a) goph na n rot an ( )r r r= ⋅ b) goph n a ndiva n
a
nn ( )r r r r
r
× = − ⋅∂∂
VII. Usmjerena gusto}a ophoda i rotor 126
Z20. Doka`i:
a) goph r a r g oph a n r an n( ) ( )2 2 02r r r r r= + × ⋅
b) goph grad n grad gradn ( ) ( )ϕ ψ ϕ ψ= ⋅ ×r0
Z21. Doka`i:
goph rot a rot b nrot a
rot brot b
rot b
rot arot a
rot a
rot brot b
rot b
rot arot a
n
nn
( )
.
r r rr
r
rr
rr
r
r
rr
rr
× = ⋅ −
=
=
−
0 ∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
Z22. Navedi primjere bezvrtlo`nih polja.
Z23. U kojim to~kama polje r r r ra x z i z j x y k= + +2 3 nema vrtloga?
Z24. Odredi funkciju P(x,y,z) tako da polje r r r ra P x y z i x j x z k= + +( , , ) 2
bude bezvrtlo`no.
127
VIII. Povr{inski integral
1. Povr{ina 2. Pojam povr{inskog integrala 3. Analiti~ka formula 4. Ra~unska pravila 5. Bezopto~no polje i polje u kojem tok ne ovisi o povr{ini integracije 6. Primjeri 7. Zadaci
1. Povr{ina.1. Povr{ina.1. Povr{ina.1. Povr{ina. 1.1. Jednad`ba povr{ine. Povr{ina se analiti~ki zadaje jednad`bom
r r r r rr r u v x u v i y u v j z u v k= = + +( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , (1)
gdje je radius-vektor rr (u, v) promjenljive to~ke T(u, v) na povr{ini funk-
cija realnih argumenata-parametara u i v odre|ena na zadanom jednosta-vnom kona~nom podru~ju
(u, v) ∈ D. (2)
Podru~je D mo`e biti pravokutnik
[uo, u1] × [vo, v1] :={(u, v) ∈ R2 uo ≤ u ≤ u1 i vo ≤ v ≤ v1},
skra}eno ozna~eno { uo ≤ u ≤ u1 , vo ≤ v ≤ v1}, ili op}enitije pseudotrapez oblika { uo ≤ u ≤ u1 , vo (u)≤ v ≤ v1(u)} ili oblika { uo(v) ≤ u ≤ u1(v) , vo ≤ ≤ v ≤ v1}. Funkcije x(u, v), y(u, v) i z (u, v) su koordinate radius-vektora rr (u, v) odnosno to~ke T(u, v). (Podru~je D funkcije
rr (u, v) mo`e biti
jo{ op}enitijeg oblika; primjerice, mo`e biti rastavljivo na kona~no mnogo podru~ja opisanog jednostavnog oblika. Op}a pak podru~ja ne}emo upotrebljavati.)
1.2. Vrste povr{ina i vektor normale. Pretpostavljamo da su promatrane povr{ine dovoljno pravilne; posebice, da je funkcija
rr (u, v)
ne samo neprekinuta nego da ima i neprekinute djelomi~ne derivacije
VIII. Povr{inski integral 128
r r r r rr r u v x u v i y u v j z u v ku u u u u= = + +( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , (3) r r r r rr r u v x u v i y u v j z u v kv v v v v= = + +( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , (4)
u svim to~kama T(u, v) na povr{ini, s mogu}im izuzecima na nekim krivuljama na povr{ini.
Dodatno pretpostavljamo da je
r r rr ru v× ≠ 0 , (5)
tj. da povr{ina ima normalu u svim svojim to~kama T(u, v) sa spome-nutim mogu}im izuzecima. Tada je
r r rn T r T r Tu v( ) ( ) ( )= × vektor normale
u to~ki T(u, v), a jedini~ni vektor normale je rn0 ili − r
n0 .
Nadalje pretpostavljamo da povr{ina nema samopresjeci{ta i da rub podru~ja D odre|uje jednostavno zatvoreni rub povr{ine kojim je
obrubljena. Takve se povr{ine zovu jednostavne. (Tipi~an primjer jednostavne povr{ine je hemisfera obrubljena kru`nicom. Neprekinute deformacije hemisfere proizvode jednostavne povr{ine obrubljene deformiranom kru`nicom.)
^esto se razmatra samo dio (komad) povr{ine, tzv. svod povr{ine, koji je tako|er jednostavan ako je povr{ina jednostavna, ali koji mo`e biti jednostavan iako povr{ina nije jednostavna.
Osim jednostavnih povr{ina i svodova povr{ine promatraju se i jednostavno zatvorene povr{ine: to su sfere ili neprekinute deformacije sfera.
1.3. Orijentacija povr{ine. ^esto je potrebno razlikovati jedan smjer prolaza kroz povr{inu od drugog suprotnog i jedan od ta dva smjera ista}i. Tom je razlikovanju i isticanju ekvivalentno razlikovanje dviju strana povr{ine i isticanje jedne od tih dviju strana. Razlikovanje dvaju smjerova prolaza kroz povr{inu odnosno dviju strana povr{ine mogu}e je ostvariti samo za orijentabilne (dvostrane) povr{ine. Naime, postoje i neorijentabilne (jednostrane) povr{ine kod kojih se razlikovanje ne mo`e ostvariti. Jednu takvu povr{inu prona{ao je njema~ki matemati-~ar Möbius (1790 - 1868) koja se po njemu naziva Möbiusova vrpca.
1. Povr{ina 129
Ako je mogu}e, razlikovanje se posti`e orijentacijom povr{ine. Orijentacija povr{ine mo`e biti parametarska, normalna i rubna.
Pri parametarskoj orijentaciji povr{ine odredbeni podatak je raspored parametara, (u, v) ili (v, u), kojim je povr{ina pozitivno
orijentirana, npr. u slu~aju rasporeda (v, u), pomo}u vektora normale r r rn r ru v= × ili jedini~nog vektora normale
r r rn r ru v0 0= ×( ) bilo u kojoj
odabranoj to~ki T(u, v) povr{ine, i tako odre|en pozitivni smjer prolaza kroz povr{inu, u smjeru normalnog vektora, i negativni, u suprotnom smjeru. (Ovdje se, zbog nastupa ex-produkta, pretpostavlja da je prostor
orijentiran koordinarnim sustavom, tj. njegovom bazom (ri ,
rj ,
rk ). Ina~e,
rasporedom parametara odre|ena je samo orijentacija male zatvorene krivulje, oko bilo koje odabrane to~ke povr{ine, ome|ene orijentiranim lukom u-krivulje (vi=const), v-krivulje (ui+1=const), suprotno orijentira-nim lukom u-krivulje (vi+1=const) i v-krivulje (ui=const) (vidi Sliku 2). Vidi dalje ~etvrti na~in orijentacije povr{ine.) Normalni vektor se mo`e neprekinutim pomicanjem po povr{ini prenijeti bilo u koju to~ku povr{ine.
Pri normalnoj orijentaciji povr{ine odredbeni podatak je po volji
odabrani, od dva mogu}a, jedini~ni vektor normale rn0 (T) bilo u kojoj
odabranoj to~ki T(u, v) povr{ine kojom je povr{ina pozitivno orijentirana.
Obje vrste orijentacija su koherentne ako i samo ako je r r rn r ru v0 0= ×( ) u nekoj to~ki T(u, v), za odabrani vektor
rn0 i raspored
parametara (u, v).
Ima li povr{ina rub, mo`emo je orijentirati rubno. Pri tome je odredbeni podatak po volji odabrana, od dvije mogu}e, orijentacija rubne krivulje, kojom je povr{ina pozitivno orijentirana. Orijentirana rubna krivulja se mo`e neprekinutim pomicanjem po povr{ini, koje ne dovodi do samopresijecanja krivulje, prenijeti bilo oko koje to~ke
povr{ine. Svaka takva pridru`ena mala orijentirana zatvorena krivulja
novi je ~etvrti na~in orijentacije povr{ine, koherentne s rubnom orijentacijom, a neovisno o postanku mo`e poslu`iti kao odredbeni podatak orijentacije povr{ine bez obzira ima li povr{ina rub ili ga nema.
Rubna orijentacija je koherentna prethodnim dvjema vrstama orijentacija ako i samo ako je pridru`ena mala krivulja s njima koherentno orijentirana, tj. ako i samo ako je orijentacija pridru`ene
VIII. Povr{inski integral 130
male krivulje oko neke to~ke povr{ine pozitivna prema normalnom
vektoru r r rn r ru v0 0= ×( ) u istoj to~ki kojim su prethodne vrste orijentacija
odre|ene. (Ovdje se tako|er pretpostavlja odre|ena orijentacija prostora.)
Ako je povr{ina jednostavno zatvorena, tada se mogu}a dva jedini~na normalna vektora u nekoj to~ki povr{ine mogu ne samo razlikovati jedan od drugog nego se svaki mo`e pojedina~no odrediti.
Vanjski ili pozitivan rn+0 ima smjer od unutarnjih to~aka prostornog
podru~ja kojeg povr{ina obrubljuje k vanjskim to~kama, a unutarnji ili
negativan rn−0 ima suprotan smjer. Povr{ina S :
rn+0 orijentirana vektorom
rn+0 naziva se pozitivno orijentirana, a suprotna orijentacija je negativna.
2. Pojam povr2. Pojam povr2. Pojam povr2. Pojam povr{inskog integrala.{inskog integrala.{inskog integrala.{inskog integrala. Integral rra dSn⋅∫∫S : 0
vektorskog
polja ra (T) po orijentiranoj povr{ini S :
rn0 u podru~ju polja je obujam
Φ teku}ine u polju brzine strujanja ra (T) koja prostruji u jedinici
vremena kroz povr{inu S u pozitivnom smjeru, tj.
r rra dS a Sn
i i
i
n
oS
⋅ = ⋅∫∫ ∑→
=S :
: lim∆
∆0
1
, (6)
gdje je r ra a Ti i: ( )= , (7) r rn n Ti i0 0: ( )= , (8)
∆Si : = plo{tina svoda Si , (9)
∆ ∆S n Si i i: =r 0 , (10)
a ∆S→0 (kasnije ∆V→0) jednostavni je na~in izra`avanja da ne samo plo{tina (kasnije obujam) svakog komada Si (kasnije Vi) te`i k nuli nego
da se pri tom i svaki taj komad ste`e k to~ki (vidi sliku 2).
Da se izbjegne dvozna~nost oznake te`enja i istakne stezanje komada k to~ki mogao bi se uporabiti za te`enje u ja~em smislu, tj. te`enje k to~ki, posebni znak te`enja ili, kako je ve} uobi~ajeno u matemati~koj literaturi, umjesto ∆ uporabiti δ (promjer ili dijametar), ali
3. Analiti~ka formula 131
u tehni~koj literaturi nije uobi~ajeno isticati tu razliku nego se ona isti~e samo u tekstu.
Za svod povr{ine S orijentiran rubnom krivuljom C, povr{inski se
integral ozna~ava
ra dS⋅∫∫ S C:
. (11)
Povr{inski integral odnosno opisani obujam naziva se tako|er tok (fluks) u polju
ra kroz povr{inu S, a ako je povr{ina S jednostavno
zatvorena, naziva se optok (potpuni tok, totalni fluks) i ozna~ava
rra dSn⋅∫∫ S : 0
, (12)
a ako je uz to povr{ina S pozitivno orijentirana, integral se ozna~ava
ra dS⋅∫∫S . (13)
Za svaku orijentiranu povr{inu S : rn0 u podru~ju vektorskog polja,
integralni operator (. . .):
⋅∫∫ dSnSr0
je tipa “vektor→skalar” .
3. Analiti~ka formula.3. Analiti~ka formula.3. Analiti~ka formula.3. Analiti~ka formula. Ako su polje ra i povr{ina S :
rn0
analiti~ki zadani, tada se povr{inski integral ra~una po formuli
r r r r r r rra dS a r r du dv a r ru v u v
n⋅ = ⋅ × = ⋅ ×∫∫∫∫∫∫ ( ) ( )
:∂ ∂
DDS0
, (14)
gdje je na desnoj strani
[ ][ ] [ ] [ ]
r r r
r r r
a a r u v
P x u v y u v z u v i Q j R k
=
= + +
( , )
( , ), ( , ), ( , ) . . . . . . , (15)
r rr x u v iu u= +( , ) . . . , (16)
r rr x u v iv v= +( , ) . . . , (17)
∂ ∂u u ur r du x u v ir r r= = +( , ) . . . , (18)
∂ ∂v v vr r dv x u v ir r r= = +( , ) . . . , (19)
VIII. Povr{inski integral 132
a podru~je D koherentno orijentirano s rubnom krivuljom povr{ine S (tj. tako da obilazak du` ruba podru~ja D proizvodi pozitivni obilazak du` ruba povr{ine S).
4. Ra~unska pravila.4. Ra~unska pravila.4. Ra~unska pravila.4. Ra~unska pravila. Najva`nija su pravila povr{inskog integrala: Pravilo promjene predznaka integrala pri promjeni orijentacije po-vr{ine integracije:
( . . .) (. . .)::
⋅ = − ⋅∫∫∫∫ −dS dS
nn SSrr 00
. (20)
Pravilo aditivnosti (po svodu povr{ine):
( . . .) ( . . . ) ( . . . )⋅ + ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫dS dS dSS S S1 2
, (21)
gdje je povr{ina integracije S:rn0 rastavljena na svodove S1 i S2.
Pravilo linearnosti:
Operator (. . .):
⋅∫∫ dSnSr0
je linearan (vidi II(8)).
5. Bezopto~no polje i polje u kojem tok ne ovisi o 5. Bezopto~no polje i polje u kojem tok ne ovisi o 5. Bezopto~no polje i polje u kojem tok ne ovisi o 5. Bezopto~no polje i polje u kojem tok ne ovisi o povr{ini integracije.povr{ini integracije.povr{ini integracije.povr{ini integracije. Vektorsko polje
ra se zove bezopto~no ako je za
svaku jednostavno zatvorenu povr{inu S u njegovom podru~ju optok kroz povr{inu S jednak nuli:
ra dS⋅ =∫∫S 0 . (22)
Vektorsko polje je bezopto~no ako i samo ako za svaku jednosta-vno zatvorenu krivulju C u podru~ju polja tok kroz svod u podru~ju
polja obrubljen krivuljom C, tzv. nataknicu S(C) na krivulju C, ne ovisi
o nataknici S(C), tj. ako i samo ako su tokovi kroz svake dvije natak-
nice S1(C) i S2(C) jednaki: r ra dS a dS
CC⋅ = ⋅∫∫∫∫ SS 21 ( )( )
. (23)
Ovdje se dakako pretpostavlja povr{inski jednostavna povezanost podru~ja polja (vidi X.2). Uz taj uvjet vrijedi pou~ak:
(F1) Vektorsko polje je bezopto~no ako i samo ako tok u njegovom podru~ju ne ovisi o povr{ini integracije.
133
Na slici je podru~je D pozitivno orijentirano, i to koherentno s
povr{inom S :rn0 , tj. tako da je
r r rn r ru v0 0= ×( ) .
∆Φ ∆∆i i i
i
n
Sa S≈ ⋅
=→∑r
10
lim
Φ = ⋅ = ⋅ × = ⋅ ×±± ∫∫∫∫∫∫
r r r r r r rra dS a r r du dv a r ru v u v
n( ) ( )
:∂ ∂
DDS0
Oznaka D± upu}uje da podru~je D mora biti orijentirano koherentno s
povr{inom S :rn0 .
Φ = ⋅ ∫∫∫∫∫r ra dS diva dV
V SS ( )
Slika 2. Tok u vektorskom polju - Povr{inski integral
Gauss
Optok ili totalni fluks
Tok ili fluks Φ u polju ra kroz orijentiranu povr{inu S :
rn0
VIII. Povr{inski integral 134
6. Primjeri6. Primjeri6. Primjeri6. Primjeri
P1. Izra~unaj integral vektorskog polja
v r ra x y z x j k( , , ) = + 2 po
orijentiranoj povr{ini S : r r rn r ru v= × ,
r r r rr vi uvj u k= + − 2 ; 1 ≤ u ≤ 2 ,
1 − u ≤ v ≤ 0 .
Uradak. Prema analiti~koj formuli (14) treba izra~unati
r r r rr a dS du a r r dvu v
un
⋅ = ⋅ ×−∫∫∫∫ ( )
:1
0
1
2
0S
,
gdje je r r r ra a v uv u v j k= − = +( , , )2 2 , r r r r rr v j u k r i u ju v= − = +2 , , r r r r rr r u i u j v ku v× = − −2 22 .
Tada je r r ra r r u vu v⋅ × = − +( ) ( )2 1
i
− + =−∫∫2 1
11
121
0
1
2
( )u du vdv
u
.
P2. Koliko iznosi tok polja brzine strujanja teku}ine r
a x y z( , , ) =
= − + +( )z y i x j y k2r r r
kroz pravokutnik s vrhovma A(2, 0, 0),
B(2, 3, 0), C(2, 3, 2) i D(2, 0, 2), orijentiran vektorom r rn i= − ?
Odredi skup to~aka S0 pravokutnika S u kojima je polje ra
okomito na vektor rn . Razdvaja li S0 pravokutnik S na dva dijela
S1 i S2 tako da je tok Φ 1 kroz S1 pozitivan, a tok Φ 2 kroz S2
negativan? Provjeri je li Φ Φ Φ= +1 2 .
Uradak. Odredimo vektorsko - parametarsku jednad`bu zadanog pravokut-
nika. Odaberemo li y i z za parametre, ta je jednad`ba:
6. Primjeri 135
S :r rn i= − ,
r r r rr i y j z k= + +2 ; (y, z) ∈ D.
Podru~je D je pravokutnik u ravnini YZ odre|en nejednad`bama
D:0 3
0 2
≤ ≤
≤ ≤
y
z.
Imamo analiti~ke prikaze polja ra i pravokutnika S pa tok Φ
mo`emo izra~unati po formuli (14):
Φ = ⋅ = ± ⋅ ×∫∫∫∫ −
r r r rra dS a r r dy dzy zi
( ): DS
,
s negativnim predznakom jer je ( )r r r rr r i ny z× = = −0 (vidi slijede}i
ra~un).
Iz r r r r r
r r r r r r r
a a y z z y i j y k
r j r k r r iy z y z
= = − + +
= = × =
( , , ) ( ) ,
, , ,
2 22
slijedi r r ra r r z yy z⋅ × = −( )
2
i
Φ = − − =∫∫ dy z y dz( ) .2
0
2
0
3
12
Primijetimo da koordinate Q=x i R=y polja
ra ne
doprinose toku kroz pravokut-
nik S jer su vektori rj i
rk
okomiti na rn .
Skup S0(S1, S2) sadr`i
to~ke (x, y, z) pravokutnika S
za koje vrijedi r ra x y z n( , , ) ( , )⋅ = > <0 0 0 .
Stoga iz
Slika uz P2.
VIII. Povr{inski integral 136
r ra x y z n y z( , , ) ( , , )⋅ = − = < <2 0 0 0
slijedi
S0
2
2:z y
x
=
=
,
S S1
2
2
2
2 2: , :z y
x
z y
x
<
=
>
=
.
Tada je
Φ 1
0
2
2
3
1216 2
15= − = +∫ ∫dz y z dy
z
( )
i
Φ 2
0
2
2
0
16 2
15= − = −∫ ∫dz y z dy
z
( )
dakle jest Φ Φ Φ= +1 2 .
P3. Razvij desnu stranu formule (14) ako je povr{ina S zadana
eksplicitno jednad`bom z = f(x,y) i ako su parametri u=x i v=y .
Uradak. Iz vektorsko - parametarske jednad`be orijentirane povr{ine
S : r r rn r rx y= × ,
r r r rr x i y j f x y k= + + ( , ) ,
slijedi:
[ ] [ ] [ ] [ ]r r r r ra a x y f x y P x y f x y i Q j R k= = + +, , ( , ) , , ( , ) . . . . . . ,
r r r r r rr i f x y k r j f x y kx x y y= + = +( , ) , ( , ) ,
r r r r rr r f x y i f x y j kx y x y× = − − +( , ) ( , ) .
Sada je
[ ] [ ] [ ]r r ra r r P f x y Q f x y Rx y x y⋅ × = − − +( ) . . . ( , ) . . . ( , ) . . . ,
i skra}eno zapisano,
rra dS P f Q f R dx dyn
x y⋅ = − − +∫∫ ∫∫S D:
( )0
.
6. Primjeri 137
P4. Izra~unaj tok polja r r r ra x i z j k= + −2 kroz svod ravnine
2x+3y+ +6z=6 koji se nalazi u prvom oktantu, orijentiran
vektorom r r r rn i j k= + +2 3 6 .
Uradak. Uzmemo li za parametre x i y, lako dobivamo jednad`bu zada-
nog svoda
S : rn ,
r r r rr x i y j
x yk= + + − −
13 2
; (x, y) ∈ D.
Na slici se vidi da je podru~je D odre|eno nejednad`bama
D:
0 3
0 22
3
≤ ≤
≤ ≤ −
x
yx .
Za ra~unanje toka mo`emo
iskoristiti gotove formule iz pretho-
dnog primjera za
f x yx y
f x y f x yx y( , ) , ( , ) , ( , )= − − = − = −13 2
1
3
1
2.
Najprije izra~unamo
r r r r r rr r i j k nx y× = + + =
1
3
1
2
1
6,
odatle zaklju~uju}i da je ispred integrala predznak plus, a zatim
− − + = − −
− − −
−
− = −P f Q f R xx y y
x y
1
32 1
3 2
1
21
2
i
rr a dS
ydx dy dx y dy
x
n⋅ = −
= − = −
−
∫∫∫∫∫∫ 2
1
21
0
22
3
0
3
0DS :
.
Slika uz P4.
VIII. Povr{inski integral 138
P5. Izra~unaj tok polja r r ra j xz k= + kroz svod paraboloida z = y2 − 4x2,
odre|en nejednad`bama 0≤y≤1 i z≥0 , a orijentiran vektorom
r r rn j k= −3 2 u to~ki T ( , , )0
3
4
9
16.
Uradak. Neka su promjenljive x i y parametri u jednad`bi zadanog
svoda hipreboli~nog paraboloida
S : rn ,
r r r rr x i y j y x k= + + −( ) ;2 24 (x, y) ∈ D.
Podru~je D je trokut u
ravnini XY odre|en neje-
dnad`bama
D :
0 1
2 2
≤ ≤
− ≤ ≤
y
yx
y .
Primijenit }emo gotove
formule iz P3 za
f = y2 − 4x2, fx = −8x , fy = 2y.
Za odre|ivanje predznaka ispred integrala, ra~unamo: r r r r r r r r r rr i x k r j y k r r x i y j kx y x y= − = + × = − +8 2 8 2, , ,
( )( )r r r r rr r T j k nx y× = − + = −
3
2
1
2.
Ispred integrala treba staviti predznak minus. Dalje je
−P f x−Q f y+R=xy2−4x3−2y i
rra dS xy x y dx dy
n⋅ = − − − =∫∫∫∫ ( )
:
2 34 20
DS
= − − − = − − =∫∫∫∫−
dy xy x y dx dy y dx
y
y
y
( ) ( )2 3
0
2
0
1
2
2
0
1
4 2 2 22
3.
Slika uz P5.
6. Primjeri 139
P6. Izra~unaj tok polja r r ra j z k= − +3 kroz svod valjka y=x2 koji se
nalazi u prvom i drugom oktantu ispod ravnine y+z=4 , orijentiran rubnom krivuljom koja je pozitivno orijentirana ako se gleda iz to~ke A(0, 4, 0).
Uradak. Izjedna~avanjem ordinata y zadanog valjka i ravnine, dobivamo jednad`bu projekcije presje~nice valjka i ravnine na ravninu XZ,
z=4−x2 , iz koje slijedi
z=4 za x=0 i z=0 za x=±2.
[to se ti~e normalnog vektora rn u to~ki T na osi Z, on je
usmjeren tako da nam s
njegovog kraja orijentacija rubne
krivulje ste-gnute oko to~ke T
izgleda pozitivna - suprotna od
kretanja kazaljki na satu.
Uzmemo li za parametre
x i z, dobivamo jednad`bu
zadanog svoda
S : rn ,
r r r rr x i x j z k= + +2 ; (x, z) ∈ D.
Podru~je D je lik u ravnni XZ odre|en nejednad`bama
D :− ≤ ≤
≤ ≤ −
2 2
0 4 2
x
z x.
Dalje slijedi: r r r ra a x x z j z k= = − +( , , )2 3 ,
r r r r r r r r rr i x j r k r r x i jx z x z= + = × = −2 2, , ,
( )( )r r r rr r T j nx z× = − ↑ ↓ ,
Slika uz P6.
VIII. Povr{inski integral 140
r r ra r rx z⋅ × =( ) 3 .
Tako je
rr a dS dx dz dx dz
x
n⋅ = − = − = −
−
−∫∫∫∫∫∫ 3 3 32
0
4
2
2 2
0DS :
.
P7. Izra~unaj tok polja r ra x z k= −( ) kroz svod paraboloida z=x2+y2 ,
odre|en nejednad`bama x ≥ 0 i z ≤ 9 , a orijentiran rubnom
krivuljom koja je orijentirana tangentnim vektorom r rt j= − u to~ki
T(3, 0, 9). Uradak. Nacrtajmo zadani svod i uz pomo} slike odredimo njegovu
orijentaciju normalnim vektorom rn (vidi sliku). Projekcija svoda
na ravninu XY je polukrug. Zato je za parametre najpogodnije uzeti polarne koordinate: ϕ (kut s pozitivnim smjerom osi X) i
ρ (udaljenost od ishodi{ta).
Vektorsko-parametarska jednad`ba svoda glasi:
S : rn ,
r r r rr i j k= + +
∈
ρ ϕ ρ ϕ ρ
ϕ ρ
cos sin ;
( , ) .
2
D
Podru~je D, polukrug {x2+y2≤9 , x≥0} u ravnini XY, je s obzirom na parametre ϕ i ρ odre|eno
nejednad`bama
D :− ≤ ≤
≤ ≤
πϕ
π
ρ2 2
0 3
.
Slijedi ra~unanje:
r r ra a k= = −( cos , sin , ) ( cos )ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ϕ ρ2 , r r rr i jϕ ρ ϕ ρ ϕ= − +sin cos ,
Slika uz P7.
6. Primjeri 141
r r r rr i j kρ ϕ ϕ ρ= + +cos sin 2 ,
r r r r rr r i j kϕ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ× = + −2 2
2 2cos sin ,
r r ra r r⋅ × = −( ) ( cos )ϕ ρ ρ ϕ2
1 .
Provjerimo u to~ki A, za koju je ϕ =0 i ρ =1, podudara li
se parametarska orijentacija sa zadanom. Kako je
( )( )r r r r rr r A i k nϕ ρ× = − ↑ ↑2 ,
ispred integrala }e biti predznak plus, pa imamo
rr a dS d dn
⋅ = − = −∫∫∫∫−
( cos ):
1 9 182
0
3
2
2
0ϕ ϕ ρ ρ π
π
π
S
.
P8. Izra~unaj optok polja r r ra x i x k= + kroz vanjsku stranu zatvorene
povr{ine, sastavljene od svodova sto{ca x2=9y2+4z2 i ravnine x=6.
Uradak. Rastavimo zadanu pozitivno orijentiranu povr{inu S na orijenti-
ranu osnovicu S1 : rn1 i orijentirani pla{t S2 :
rn2 (vidi sliku). Tada
po pravilu (21), vrijedi:
r r rrr
a dS a dS a dSnn
⋅ = ⋅ + ⋅∫∫∫∫∫∫SSS 2 21 1 ::
,
pa je potrebno izra~unati ova dva toka na desnoj strani.
Trag sto{ca x 2 = 9 y 2 + 4 z 2 u ravnini x = 6 je elipsa
y z2 2
4 91+ =
koja obrubljuje osnovicu S1.
Projekcije osnovice S1 i pla{ta
S2 na ravninu YZ se poklapaju.
Tok polja
ra kroz S1 :
rn1
Slika uz P8.
VIII. Povr{inski integral 142
r r r rr i j k= + + ≤ ≤ ≤ ≤6 2 3 0 2 0 1ρ ϕ ρ ϕ ϕ π ρcos sin ; , r r ra i k= +6 6 r r r rr r i nϕ ρ ρ× = − ↑ ↓6 1 r r ra r r⋅ × = −( )ϕ ρ ρ36
Φ1
0
1
0
2
36 36= − − =∫∫ d dϕ ρ ρ ππ
( )
Tok polja ra kroz S2 :
rn2
r r r rr i j k= + + ≤ ≤ ≤ ≤6 2 3 0 2 0 1ρ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π ρcos sin ; , r r ra i k= +6 6ρ ρ r r r r r rr r i j k nϕ ρ ρ ρ ϕ ρ ϕ× = − + + ↑ ↑6 18 12 2cos sin
r r ra r r⋅ × = −( ) sinϕ ρ ρ ϕ ρ72 36
2 2
Φ 22 2
0
1
0
2
72 36 24= − = −∫∫ d dϕ ρ ϕ ρ ρ ππ
( sin )
Tako je tra`eni optok
Φ Φ Φ= ⋅ = + =∫∫ra dSS
1 2 12π .
Napomena. U sredi{tu osnovice S1, to~ki T ( 6 , 0 , 0 ) , je
( )( )r r rr r Tϕ ρ× = 0 jer je ρ =0. Za odabrane parametre ϕ i ρ
to~ka T predstavlja singularitet (tzv. parametarski singularitet).
Ukoliko `elimo biti potpuno dosljedni, treba ra~unati
Φ 10
0
2 1
36= − −
→ + ∫ ∫lim ( )
ε
π
ε
ϕ ρ ρd d ,
ili prije}i na druge parametre. Isti bi postupak trebalo primijeniti i na Φ 2 glede vrha pla{ta S2 tj. ishodi{ta O(0,0,0) . Ovdje je vrh
bitni singularitet pa se prijelazom na nove parametre taj singularitet ne mo`e ukloniti.
6. Primjeri 143
P9. Izra~unaj optok polja r r ra y i y j= − kroz unutarnju stranu zatvorene
povr{ine, sastavljene od dijelova valjka x2+z2=4 za z ≥ 0 i ravnina
y = 0 , z = 0 i y + z = 5 .
Uradak. Zadanu negativno orijentiranu povr{inu S treba rastaviti na
orijentirane svodove S1 : rn1 , S2 :
rn2 , S3 :
rn3 i S4 :
rn4 (vidi sliku);
primjeniti pravilo (21):
r r r r rrr r r
a dS a dS a dS a dS a dSnn n n
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫SSS S S2 21 1 3 3 4 4:: : :
;
i zatim izra~unati svaki od tokova na desnoj strani.
Tok polja ra kroz S1 :
rn1 .
U to~kama svoda S1 je ra =
r0 , stoga je
Φ1 0= .
Tok polja ra kroz S2 :
rn2
Mo`e se naslutiti da je Φ 2 0= jer je
Φ Φ Φ Φ Φ2 21 22 21 21 0= + = − = ,
gdje je Φ 21 (Φ 22 ) tok
polja ra kroz S21 (S22),
dio svoda S2 koji se
nalazi u prvom (drugom)
oktantu. Uvjerimo se
neposrednim ra~unanjem
da je Φ 2=0:
r r r rr i y j k y= + + ≤ ≤ ≤ ≤ −2 2 0 0 5 2cos sin ; , sinϕ ϕ ϕ π ϕ
r r ra y i y j= −
r r r r rr r i k nyϕ ϕ ϕ× = − − ↑↑2 2 2cos sin
r r ra r r yy⋅ × = −( ) cosϕ ϕ2
Slika uz P9.
VIII. Povr{inski integral 144
Φ 2
0
5 2
0
2 0= − =−
∫∫ d y dyϕ ϕϕπ
( cos )
sin
Tok polja ra kroz S3 :
rn3
Polje ra je usporedno sa svodom S3 pa je
Φ 3 0= .
Tok polja ra kroz S4 :
rn4
r r r rr i j k= + − + ≤ ≤ ≤ ≤ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ π ρcos ( sin ) sin ; ,5 0 0 2 r r ra i j= − − −( sin ) ( sin )5 5ρ ϕ ρ ϕ r r r r rr r j k nϕ ρ ρ ρ× = + ↑↓ 4
r r ra r r⋅ × = −( ) sinϕ ρ ρ ϕ ρ2
5
Φ 42
0
2
0
5 1016
3= − − = −∫∫ d dϕ ρ ϕ ρ ρ π
π
( sin )
Zbrajanjem ova ~etiri toka dobivamo optok
Φ Φ Φ Φ Φ= + + + = −1 2 3 4 1016
3π .
P10. Izra~unaj optok polja r ra z k= kroz unutarnju stranu sfere
x2+y2+z2=R2 .
Uradak. Odredimo {to jednostavnije parametarske jednad`be sfere.
Uzmemo li za parametre kuteve
ϕ i ϑ (vidi sliku), za po volji
odabranu to~ku (x, y, z) sfere,
vrijedi:
cos ,ϑ =z
R
sinsin
,ϕϑ
=y
R
cossin
.ϕϑ
=x
R
Slika uz P10.
6. Primjeri 145
Tada vektorsko - parametarska jednad`ba sfere glasi:
r r r rr R i R j R k= + +cos sin sin sin cosϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ;
0 2 0≤ ≤ ≤ ≤ϕ π ϑ π, .
Slijedi ra~unanje:
r ra R k= cosϑ
r r r r r rr r R i R j R k nϕ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ× = − − − ↑↑2 2 2 2 2
cos sin sin sin sin cos
r r ra r r R⋅ × = −( ) sin cosϕ ϑ ϑ ϑ3 2
ra dS R d d⋅ = − =∫∫∫∫ ( sin cos )3 2ϑ ϑ ϕ ϑ
DS
= − = −∫∫R d d R3 2
0
3
0
24
3ϕ ϑ ϑ ϑ πππ
sin cos
P11. Izra~unaj optok sfernog polja r ra r
rr= −
13
kroz vanjsku stranu
sfere sa sredi{tem u ishodi{tu polumjera R. Kao poop}enje pri-
mjera vidi Z18.
Uradak. Za vanjski normalni vektor rn sfere S sa sredi{tem u ishodi{tu,
vrijedi r rn r0 0= , pa je
dS n dS r dS= =r r0 0 .
Ako je sfera S polumjera R, tada je
r r ra dS r
rr r dS r
rr dS⋅ = −
⋅ = −
=∫∫ ∫∫∫∫S SS
1 13
0
3
= −
= −
= −∫∫RR
dS RR
R R2
2
2
2
2 41 14 4 1
S
π π ( )
jer za to~ke sfere vrijedi r=R i jer plo{tina sfere iznosi 4πR2.
VIII. Povr{inski integral 146
P12. Doka`i da je optok stalnog polja ra =
rc kroz bilo koju sferu
jednak nuli. (Bezopto~nost stalnog polja mo`e se lako dokazati
primjenom formule divergencije - vidi X.)
Uradak. Poka`imo najprije da je optok polja ra =
rc kroz bilo koju sferu
sa sredi{tem u ishodi{tu jednak nuli. Neka je dakle S : rn+
pozitivno orijentirana sfera sa sredi{tem u ishodi{tu polumjera R i
neka je
r r r rc c i c j c kx y z= + + .
Tada iz
r r rr
c r cr
r rc x c y c zx y z⋅ = ⋅ = + +0 1( ) ,
slijedi:
r r ra dS c r dS
rc x c y c z dSx y z⋅ = ⋅ = + + =∫∫ ∫∫ ∫∫
S S S
0 1( )
= + + =∫∫ ∫∫ ∫∫c
Rx dS
c
Ry dS
c
Rz dSx y z
S S S
0
jer su sva tri posljednja integrala jednaka nuli.
Poka`imo, npr. da je integral funkcije f (x, y, z)=x po sferi S
jednak nuli. Rastavimo sferu S na polusfere S1 za x ≥ 0 i S2 za
x≤0 . Onda je
xdS xdS xdS x dS x dS= + = −∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫∫S S SSS1 212
=0.
Ka`imo i za{to je optok stalnog polja r ra x y z c( , , ) = kroz
bilo koju sferu, (x−x0)2+(y−y0)
2+(z−z0)2=R2
, jednak nuli. Prije-
lazom na nove koordinate, x1=x−x0 , y1=y−y0 i z1=z−z0 ,
dobivamo sferu sa sredi{tem u ishodi{tu, x y z R12
12
12 2+ + = , dok
polje r ra x y z c( , , )1 1 1 = ostaje stalno.
Optok stalnog polja kroz bilo koju sferu mo`emo i neposre-
dno izra~unati koriste}i se parametarskim jednad`bama sfere.
6. Primjeri 147
P13. Izra~unaj tok polja r r ra z i x k= + +( )1 kroz svod hiperboloida
x2+y2−z2=1 koji se nalazi u prvom oktantu unutar valjka
(x−2)2+(y−2)2=8, orijentiran negativno orijentiranom rubnom krivu-
ljom ako se gleda iz ishodi{ta.
Uradak. Izrazimo jednad`bu zadanog svoda jednokrilnog hiperboloida
preko polarnih koordinata ϕ i ρ :
S : rn ,
r r r rr i j k= + + −ρ ϕ ρ ϕ ρcos sin 2 1 ; (ϕ , ρ )∈D.
Nejednad`be podru~ja D su
D :
(cos sin )
02
1 4
≤ ≤
≤ ≤ +
ϕπ
ρ ϕ ϕ
jer je
ρ ϕ ϕ= +4(cos sin )
jednad`ba ve}e kru`nice u
polarnim koordinatama.
Slijedi:
r r ra i k= − + +ρ ρ ϕ2 1 1( cos )
r r r r r rr r i j k nϕ ρ
ρ ϕ
ρ
ρ ϕ
ρρ× =
−+
−− ↑↑
2
2
2
21 1
cos sin
r r ra r r⋅ × = −( )ϕ ρ ρ
Φ = − = −+
+
∫∫ d dϕ ρ ρπ
ϕ ϕπ
( )
(cos sin )15 32
41
4
0
2
P14. Izra~unaj tok polja r r ra j x k= + kroz svod valjka x
2+y2=2y koji se
nalazi u prvom i drugom oktantu unutar paraboloida z=4−x2−y2 ,
orijentiran vektorom r rn j= u to~ki T(0, 0, 3).
Slika uz P13.
VIII. Povr{inski integral 148
Uradak. Zapi{imo jednad`bu valjka u kanonskom obliku
x2+(y−1)2=1.
Pomaknemo li ishodi{te koordinatnog sustava u sredi{te osnovice
valjka i za parametre uzmemo kut ϕ i aplikatu z, dobivamo
jednad`bu svoda
S : rn ,
r r r rr i j z k z= + + + ∈cos ( sin ) ; ( , )ϕ ϕ ϕ1 D
jer za to~ke valjka vrijedi
x=cosϕ i y=1+sinϕ .
Nejednad`be podru~ja D su
D :sin
0 2
0 2 2
≤ ≤
≤ ≤ −
ϕ πϕz
jer je gornja granica za para-
metar z presje~nica paraboloida i
valjka,
z=4−x2−y2=2−2sinϕ .
Slijedi:
r r ra j k= + cosϕ
r r r r rr r i j nzϕ ϕ ϕ× = + ↑↓cos sin
(nakon pomaka ishodi{ta za to~ku T je ϕπ
=3
2 i z = 3 ,
( )( )r r r rr r T j nzϕ × = − = − )
r r ra r rz⋅ × =( ) sinϕ ϕ
Φ = − =−
∫∫ sinsin
ϕ ϕ πϕπ
d dz 2
0
2 2
0
2
Slika uz P14.
7. Zadaci
149
7. Zadaci7. Zadaci7. Zadaci7. Zadaci
Z1. Izra~unaj integral vektorskog polja a x i yz j= +r r
po ~etverokutu s
vrhovima A(3,1,1), B(0,1,4), C(5,1,4) i D(4,1,1), orijentiran
vektorom r rn j= .
Z2. Izra~unaj integral polja r r ra y j x k= + po trokutu s vrhovima
A(6,0,0), B(−3,0,3) i C(−3,−3,3), orijentiranom vektorom rn AB AC= × .
Z3. Izra~unaj tok polja brzine strujanja teku}ine r r ra xy i y k= − 4 kroz
svod ravnine 2x+2y−z+4=0 koji se nalazi u tre}em oktantu, ori-
jentiran vektorom r r r rn i j k= + −2 2 . Postoji li dio zadanog trokuta
kroz koji je tok polja ra pozitivan?
Z4. Izra~unaj tok polja brzine strujanja teku}ine r r ra y i z k= − kroz
unutarnju stranu svoda paraboloida z=x2+y2 ispod ravnine z = 4 .
Mo`e li se izdvojiti dio zadanog svoda kroz koji je tok polja ra
negativan?
Z5. Izra~unaj tok polja r ra z i= kroz vanjsku stranu svoda parabolo-
ida z=x2+y2 izme|u ravnina z = x i z = 2x.
Z6. Izra~unaj tok polja r r r ra y i x j k= − − kroz svod paraboloida
z = 4 − x 2 − y 2 isje~en valjkom x 2 + y 2 = 2 x , orijentiran pozitivno
orijentiranom rubnom krivuljom gleda li se iz ishodi{ta.
Z7. Izra~unaj tok polja r ra x j= 3
kroz svod paraboloida y=36−4x2−9z2
koji se nalazi u prvom oktantu, orijentiran vektorom
r r r rn i j k= + +4 3 6 u to~ki T
3
232
1
3, ,
.
VIII. Povr{inski integral
150
Z8. Izra~unaj tok polja r r ra z i y k= + 2
kroz svod:
a) povr{ine z=xy koji se nalazi u prvom oktantu do ravnine
x+y=1, orijentiran vektorom r r r rn i j k= − − +2 3 6 u to~ki T ( , , )
1
2
1
3
1
6
b) ravnine x + y = 1 koji se nalazi u prvom oktantu ispod
povr{ine z=xy , orijentiran vektorom r r rn i j= +
Z9. Izra~unaj tok polja r r ra y i z k= +2
kroz svod ravnine 2y+z=3
isje~en paraboloidom z=x2+y2, orijentiran vektorom r r rn j k= − −2 .
Z10. Izra~unaj tok polja brzine strujanja teku}ine r r ra x j y k= − +2 2 kroz
svod povr{ine z=xy isje~en valjcima x y y x= =i , orijentiran
vektorom r r r rn i j k= + − 2 u to~ki T
1
2
1
2
1
4, ,
.
Z11. Koliki je tok polja r r r ra e i e j e ky y y= + −3 3 kroz bilo koju povr{inu
koja le`i u ravnini 2x−3y+z=7?
Z12. Izra~unaj tok polja r r ra x z i k= +2
kroz unutarnju stranu svoda
hiperboloida z2=x2+y2−9 za 0 ≤ z ≤ 4 .
Z13. Izra~unaj tok polja r r ra xi y j= + kroz vanjsku stranu svoda hiperbo-
loida x2+y2−z2=3 koji se nalazi unutar paraboloida 4z = x2+y2 .
Z14. Konvergira li tok sfernog polja r ra r= kroz vanjsku stranu svoda
hiperboloida z2=x2+y2−1 izme|u ravnina z = 0 i z = 2 ?
Z15. Izra~unaj optok polja brzine strujanja teku}ine r ra x i= kroz unu-
tarnju stranu sfere x2+y2+z2=9 .
7. Zadaci
151
Z16. Izra~unaj optok polja r ra x i= 2
kroz vanjsku stranu sfere
x2+ y2+ +z2=R2 . Koliki je optok polja
r r r rb x i y j z k= + +2 2 2
kroz
istu sferu?
Z17. Izra~unaj tok polja r rv y j= kroz vanjsku stranu svoda elipsoida
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
21+ + = koji se nalazi u prvom oktantu.
Z18. Koliko iznosi optok sfernog polja r ra f r r= ( ) kroz vanjsku stranu
sfere sa sredi{tem u ishodi{tu polumjera R?
Z19. Koliko iznosi optok sfernog polja r
r
ac r
r=
3 kroz vanjsku stranu bilo
koje sfere sa sredi{tem u ishodi{tu?
Z20. Izra~unaj tok polja r r ra z i k= − kroz svod valjka z = y2 koji se
nalazi u prvom i ~etvrtom oktantu ispod ravnine x+2y+2z=4 ,
orijentiran negativno orijentiranom rubnom krivuljom ako se gleda
iz to~ke T ( 0 , 0 , 5 ) .
Z21. Izra~unaj tok polja r r ra j x k= − 3 2
kroz svod valjka z=x3 koji se
nalazi u prvom oktantu unutar paraboloida y=2−x2−z2 , orijentiran
rubnom krivuljom koja je orijentirana tangentnim vektorom r rt j= −
u to~ke T ( 0 , 1 , 0 ) .
Z22. Izra~unaj tok polja r r ra
zi y k=
−+
1
9 2 kroz svod valjka x z=
1
2
3
koji se nalazi u prvom oktantu unutar valjka x+z2=8 do ravnine
y=3 , orijentiran vektorom r r rn i k= − +2 3 u to~ki T ( , , )
1
21 1 .
VIII. Povr{inski integral
152
Z23. Izra~unaj tok polja brzine strujanja teku}ine r r ra z i y j= + kroz
vanjsku stranu svoda valjka x2+y2=9 koji se nalazi u prvom
oktantu izme|u ravnina z = 0 i z = 5 .
Z24. Izra~unaj optok polja r r r ra x i y j z k= + +2 2 2
kroz unutarnju stranu
zatvorene povr{ine, sastavljene od dijelova povr{ina: z2=x2+y2 ,
z=1 i z=3 .
Z25. Izra~unaj optok polja r r ra z i j= + kroz vanjsku stranu zatvorene
povr{ine, sastavljene od dijelova povr{ina: x2+y2=4 , z=0 i
y−2z+6=0 .
Z26. Izra~unaj optok polja r ra x z k= +( )2 2
kroz unutarnju stranu
zatvorene povr{ine, sastavljene od svodova povr{ina z x= −5 2 i
z x y2 2 2 1= + + .
Z27. Doka`i pou~ak: Vektorsko polje je bezopto~no ako i samo ako
njegov tok ne ovisi o povr{ini integracije.
Z28. Odredi tok stalnog polja r ra i= − kroz vanjsku stranu svoda pa-
raboloida y2+z2=2cx (c > 0 ) koji se nalazi u prvom i petom
oktantu izvan valjka y2=cx do ravnine x = c .
Z29. Izra~unaj tok polja r r ra x j y k= + +2 1 kroz svod paraboloida
z=4y2−x2 koji se nalazi u prvom i drugom oktantu do ravnine
y=3 , orijentiran vektorom r r r rn i j k= − +2 8 u to~ki T(1 , 1 , 3 ).
Z30. Izra~unaj tok polja r ra z k= − kroz svod valjka y=ln z koji se nalazi
u prvom oktantu ispod ravnine (e+1)x+y+z=e+1, orijentiran
pozitivno orijentiranom rubnom krivuljom ako se gleda iz to~ke
T(0,2,0) .
7. Zadaci
153
Z31. Izra~unaj tok polja a y k= 2r kroz svod valjka z=(x−1)2(4−x2) koji
je isje~en ravninama x+y=2 , x−y=−2 i y=0 , a orijentiran
vektorom r r rn i k= +10 u to~ki T(0 ,1 ,4).
Z32. Izra~unaj tok polja r r ra xz i y k= + kroz svod sto{ca z x y= +2 2
izrezan valjkom z2=2cy (c>0) , orijentiran vektorom
r r rn j k= − u
to~ki T(0, c, c).
Z33. Izra~unaj tok polja r r ra xi y j= + kroz svod polusfere z R x y= − −2 2 2
isje~en valjkom x2+y2=Ry , orijentiran radius-vektorom.
Z34. Izra~unaj tok polja r r ra x j x k= + +( )3 2 kroz svod povr{ine z=x2+y
koji se nalazi u prvom i drugom oktantu ispod ravnine y+z=6 ,
orijentiran vektorom r r r rn i j k= + −2 u to~ki T(1 ,1 ,2).
Z35. Izra~unaj tok polja r ra yk= kroz svod hiperboloida z x y= + +2 25 4
do ravnine y+z=4 , orijentiran vektorom r rn k= − u to~ki T(0 ,0 ,2).
Z36. Izra~unaj tok polja r ra
xy
x yk=
+( )2 2 3
kroz svod hiperboloida
x2+y2−z2=5 koji se nalazi u prvom oktantu ispod valjka 4y=z2 ,
orijentiran negativno orijentiranom rubnom krivuljom gleda li se iz
ishodi{ta.
Z37. Izra~unaj tok polja r ra
y
x yk=
+2 2 kroz svod “mjeseca” u ravnini
XY, odre|en lukovima kru`nica x2+y2=R2 i x2+(y+R)2=2R2 za
y≥ 0 , orijentiran vektorom r rn k= .
165
X. Integralne formule
1. Formula gradijenta
2. Formula rotora
3. Formula divergencije
4. Obujamski integral
5. Primjeri
6. Zadaci
1. Formula gradijenta.1. Formula gradijenta.1. Formula gradijenta.1. Formula gradijenta. Prirast skalaranog polja ϕ pri prijelazu od to~ke A do to~ke B u podru~ju polja jednak je hodu u polju
gradϕ bilo du` koje jednostavne krivulje C(A, B), spojnice to~aka A i
B, sadr`ane u podru~ju polja i orijentirane rasporedom (A,B) rubnih
to~aka od A k B :
(N-L) ϕ ϕ= ⋅∫ grad ds
A
B
. (1)
Oznaka ϕ je uobi~ajena oznaka prirasta
ϕ ϕ ϕ( , )
: ( ) ( )A B
B A= − . (2)
Formula (1) se primjenjuje i u obliku
(N-L←) grad ds A Bt
ϕ ϕ⋅ =∫ ( , )( ):
CCr0
. (3)
Zbog nastupa gradϕ u (1), ta se formula naziva formula
gradijenta, a zbog sli~nosti s poznatom Newton-Leibnizovom formulom
diferencijalnog i integralnog ra~una
f f dx
a
b
= ′∫ , (4)
B
A
B
A C
b
a
X. Integralne formule
166
naziva se tako|er Newton-Leibnizova formula.
Formula (N-L) pretpostavlja da se to~ke A i B u podru~ju polja
mogu spojiti krivuljom C koja tako|er le`i u podru~ju polja. Ako je
podru~je polja sastavljeno od dvije kugle koje se ne sijeku, tada npr.
sredi{ta kugala nemaju to svojstvo.
Posebnu vrstu prostornih podru~ja ~ine povezana podru~ja u
kojima se svake dvije to~ke mogu spojiti jednostavnom krivuljom koja
le`i u podru~ju.
Za polje ϕ s povezanim podru~jem, iz (N-L←) neposredno slijedi
da je, za svake dvije to~ke A i B, hod u polju grad ϕ neovisan o krivu-lji integracije C(A, B). Drugim rije~ima,
(*) polje grad ϕ je konzervativno, tj. po VI.5(E1) bezophodno.
2. Formula rotora.2. Formula rotora.2. Formula rotora.2. Formula rotora. Ophod u vektorskom polju ra du` orijenti-
rane jednostavno zatvorene krivulje C :rt 0 u podru~ju polja jednak je
toku u polju rot ra bilo kroz koju povr{inu S(C), nataknicu na krivulju
C, sadr`anu u podru~ju polja i orijentiranu rubnom krivuljom C :rt 0 :
r r
r a ds rot a dSt
⋅ = ⋅∫ ∫∫C S C: ( )0
. (5)
Formula (5) se primjenjuje i u obliku
rot a dS a dsn
r rr
S C S: ( )0∫∫ ∫⋅ = ⋅ . (6)
Zbog nastupa rot ra u (5), ta se formula naziva formula rotora, a
zbog podrijetla, zove se tako|er Stokesova formula po engleskom fizi~aru
i matemati~aru Stokesu (1819-1903).
Formula (S) pretpostavlja da se na krivulju C u podru~ju polja
mo`e nataknuti povr{ina S koja tako|er le`i u podru~ju polja. Ako je
podru~je polja torus, tada npr. sredi{nja kru`nica torusa, koja nastaje
rotacijom sredi{ta kruga oko osi u ravnini kruga na udaljenosti od
sredi{ta ve}oj od polumjera kruga, ne posjeduje to svojstvo.
(S)
(S←)
3. Formula divergencije 167
Posebnu vrstu prostornih podru~ja ~ine
povr{inski jednostavno povezana podru~ja u
kojima se na svaku jednostavno zatvorenu
krivulju mo`e nataknuti jednostavna povr{ina
koja le`i u podru~ju.
Ako je podru~je polja ra povr{inski je-
dnostavno povezano, tada iz (S←) neposredno
slijedi da je, za svaku jednostavno zatvorenu
krivulju C,
(**) tok u polju rotra neovisan o povr{ini
integracije S(C), tj. po VII.5(F1) da je polje
rotra bezopto~no.
3. Formula divergencije.3. Formula divergencije.3. Formula divergencije.3. Formula divergencije. Optok u vektorskom polju ra kroz
pozitivno orijentiranu jednostavno zatvorenu povr{inu S:rn+0 u podru~ju
polja jednak je obujamskom integralu polja divra po prostornom po-
dru~ju V(S) obrubljenom povr{inom S:
r ra dS diva dV⋅ = ∫∫∫∫∫ V SS ( )
. (7)
Obujamski integral skalarnog polja q diva=r po prostornom
podru~ju V=V(S) odre|uje se grani~nim prijelazom, a ra~una pomo}u
obi~nog trostrukog integrala (vidi sljede}u to~ku a posebice (11) i (12)).
Formula (7) se primjenjuje i u obliku
diva dV a dSr r
= ⋅∫∫∫∫∫ S VV ( ). (8)
Zbog nastupa divra u (7) ta se formula naziva formula
divergencije, a zbog podrijetla, u nas se gotovo uvijek zove Gaussova
formula po njema~kom matemati~aru, fizi~aru i astronomu Gaussu (1777-
1855), a ina~e i po engleskom matemati~aru i fizi~aru Greenu (1793-
1841) te ruskom matemati~aru Ostrogradskom (1801-1861).
George Gabriel Stokes
(G)
(G←)
X. Integralne formule 168
Carl Friedrich Gauss Mihail Vasiljevi~ Ostrogradski
Formula (G) pretpostavlja da povr{ina S u podru~ju polja
obrubljuje prostorno podru~je V koje tako|er le`i u podru~ju polja. Ako
je podru~je polja kugla bez koncentri~ne kugle manjeg polumjera, tada
npr. sfera u podru~ju polja koja sadr`ava manju kuglu ne posjeduje to
svojstvo. Za manju se kuglu slikovito ka`e da je “rupa” u podru~ju
polja.
Posebnu vrstu prostornih podru~ja ~ine prostorno jednostavno
povezana podru~ja V u kojima svaka jednostavno zatvorena povr{ina S
obrubljuje podru~je V(S) koje tako|er le`i u V. Slikovito re~eno, to su
podru~ja “bez rupa”.
4. Obujamski integral.4. Obujamski integral.4. Obujamski integral.4. Obujamski integral. Ako se promatra skalarna veli~ina, kao
{to je masa, naboj, toplina, vjerojatnost, ..., neprekinuto raspodijeljena u
prostornom podru~ju V,
tada se primjenom integralne metode njezina cjelokupna koli~ina Q u
podru~ju V izra`ava obujamskim (volumenskim) integralom gusto-}e q(T)
po podru~ju V:
q TQ
VV( ) : lim=
→∆
∆
∆0, (9)
gdje je ∆Q koli~ina u malom komadu (kona~nom elementu) VT podru~ja
V, oko to~ke T, obujma ∆V (vidi Sliku 3).
3. Formula divergencije
169
Koli~ina Q skalarne veli~ine u polju gusto}e q
u prostornom podru~ju V
∆ ∆∆
Q q Vi i i
i
n
V≈
=∑ →1
0lim
( ) ( )Q qdV q r r r du dv dw q r r ru v w u v w= = × ⋅ = × ⋅′ ′∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫VV V
r r r r r r∂ ∂ ∂
Slika 3. Koli~ina skalarne veli~ine - Obujamski integral
X. Integralne formule
170
Naime, pretpostavljaju}i da je gusto}a poznata, iz (9) slijedi
∆ ∆Q q T V≈ ( ) , (10)
a odatle
Q q T dV q VV
i i
i
n
= =→
=∑∫∫∫ ( ) : lim
∆∆
01
V
. (11)
Ako je podru~je V analiti~ki zadano parametarski
r r r r rr r u v w x u v w i y j z k= = + +( , , ) ( , , ) (. . .) (. . .) ,
s (u, v, w) iz podru~ja V ′, tada se obujamski integral (11) ra~una
pomo}u obi~nog trostrukog integrala:
q T dV q u v w r r r du dv dw
q u v w r r r
u v w
u v w
( ) ( , , ) ( )
( , , ) ( ) .
= × ⋅
= × ⋅
′
′
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
r r r
r r r
VV
V
∂ ∂ ∂ (12)
5. Primjeri5. Primjeri5. Primjeri5. Primjeri
P1. Koliko iznosi hod polja ra grad x y z= od to~ke A(−4, −4, 1) do
to~ke B(−5, −5, 9) du` bilo koje spojnice C(A, B) u njegovom
podru~ju?
Uradak. Primijenimo formulu gradijenta (3) :
grad x y z dsA BC( , )
( )( ) ( )( )∫ ⋅ = − − − − − =5 5 9 4 4 1 11 .
P2. Formulom gradijenta izra~unaj rad W polja r r r ra y i x j z k= + − 2 od
to~ke A(3, 2, 1) do to~ke B(1, 2, 1) du` bilo koje njihove spojnice.
Uradak. Najprije treba prona}i polje ϕ ϕ= ( , , )x y z tako da vrijedi
5. Primjeri 171
r r r ra grad
xi
yj
zk= = + +ϕ
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
.
Ra~un :
∂ϕ∂
ϕ
∂ϕ∂
∂∂
∂ϕ∂
xy y dx xy f y z
yx
f
yf g z
zz
d g
d zz g z C
= = = +
= = =
= − = − = − +
∫, ( , )
, , ( )
, ,
a odatle
dakle a odatle
dakle a odatle
0
2 22
Iz provedenog ra~una slijedi
ϕ = − +xy z C2 ,
a tada je lako po formuli gradijenta izra~unati rad
W B A= − = −ϕ ϕ( ) ( ) 4 .
P3. Formulom gradijenta izra~unaj rad sfernog polja r ra r r= −( )3 2 od
to~ke A(2, −2, 1) do to~ke B(3, 0, −4) du` bilo koje njihove spoj-nice.
Uradak. Na|imo polje ϕ = f r( ) tako da bude
r ra grad f r f r r= = ′( ) ( ) 0 .
Jer je r ra r r r= −( )3 22 0 , slijedi :
′ = −f r r r( ) 3 22 ,
f r r r dr r r C( ) ( )= − = − +∫ 3 22 3 2 .
Po formuli gradijenta izlazi
W f r f r r r r rB A B B A A= − = − − − =( ) ( ) ( )3 2 3 2 82 .
P4. Formulom rotora izra~unaj ophod polja r r ra yz i x k= + 4 du` ruba
trokuta s vrhovima A(3, 2, 0), B(0, 5, 0) i C(0, 5, 3), negativno
orijentiranog kada se gleda iz ishodi{ta.
X. Integralne formule 172
Uradak. Prema formuli rotora (5),
W a ds rot a dSt n
= ⋅ = ⋅∫ ∫∫r rr r
C S C: ( ) :0 0,
ra~unat }emo tok polja rotra kroz orijentiranu povr{inu S(C) :
rn
trokuta ABC (vidi sliku).
Uz pripomo} slike, slijedi :
S(C) : rn ,
r r r rr x i x j z k= + − +( )5
( , ) :x zx
z x∈
≤ ≤
≤ ≤ −
D
0 3
0 3
rot a y j z k
x j z k
r r r
r r
= − − =
= − −
( )
( )
4
1
r r r r rr r i j nx z× = − − ↑↓
rot a r r xx z
r r r⋅ × = −( ) 1
W rot a dS x dx dz x dx dzn
x
= ⋅ = − = − − =∫∫ ∫ ∫∫∫−
rr
S C D( ) :( ) ( )
01 1 0
0
3
0
3
P5. Formulom rotora izra~unaj ophod polja
r r ra x y i z j= +2 2 du`
presje~nice paraboloida z=8−x2−y2 , sa z≥0 , s ravninama x=±2 i
y=±2 . Svod paraboloida je orijentiran normalnim vektorom r rn k0 = u tjemenu, a presje~nica koherentno.
Uradak. Primijenimo formulu rotora (5) ra~unaju}i tok polja rotra kroz
orijentirani svod paraboloida S(C) : rn0 (vidi sliku).
Slika uz P4.
5. Primjeri 173
Slijedi :
S C( ) : , ( )r r r rn r x i y j x y k0 2 28= + + − −
( , ) :x yx
y∈
− ≤ ≤
− ≤ ≤
D2 2
2 2
rot a z i x k
x y i x k
r r r
r r
= − − =
= + − −
2
2 2 16
2
2 2 2( )
r r r r r rr r x i y j k nx y× = + + ↑↑2 2
rot a r r x x xy xx y
r r r⋅ × = − + −( ) 4 4 32
3 2 2
rot a dS x x xy x dx dyn
rr
S C D( ) :( )
04 4 323 2 2∫∫ ∫∫⋅ = − + − =
= − + − = − = −− −∫ ∫ ∫ ∫dx x x xy x dy x dx dy
2
2
3 2 2
2
2
2
0
2
0
2
4 4 32 464
3( )
P6. Izra~unaj hod polja r r ra x i yz j= − du` presje~nice hiperboloida
x2=3(y2+z2−1) s koordinatnim ravninama u prvom oktantu za 0 ≤ x ≤ 3 , orijentirane padom aplikate z ili porastom ordinate y.
Uradak. Zatvorimo zadanu presje~nicu
C1=C11 ∪ C12 ∪ C13 lukom C2,
presje~nice hiperboloida i ravnine
x=3 , tako da dobijemo zatvorenu krivulju C=C1 ∪ C2 (vidi sliku).
Hodove polja ra du` orijentiranih
lukova C1 : rt1 , C2 :
rt2 i C :
rt
ozna~imo redom s W1, W2 i W.
Tada je W1=W−W2 .
Slika uz P5.
Slika uz P6.
X. Integralne formule 174
Formulom rotora (5) izra~unajmo ophod W :
S C( ) : , cos sinr r r r rn r i j k= − + +3 32ρ ρ ϕ ρ ϕ
( , ) :ϕ ρϕ
π
ρ∈
≤ ≤
≤ ≤
D0
2
1 2
rot a y i ir r r= = ρ ϕcos
r r r rr r i nϕ ρ ρ× = − + ↑↓. . .
rot a r rr r r⋅ × = −( ) cosϕ ρ ρ ϕ2
W a ds rot a dSt n
= ⋅ = ⋅ =∫ ∫∫r rr r
C S C: ( ) :0 0
= − − = =∫ ∫∫∫ ( cos ) cosρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρ ρ
π
2
0
22
1
27
3d d d d
D
Izra~unajmo hod W2 :
C2 2 3 2 2 02
: , cos sin ,r r r r rt r i j k= + + →ϕ ϕ
πϕ
r r r r ra x i yz j i j= − = −3 4cos sinϕ ϕ
r r r′ = − +r j k2 2sin cosϕ ϕ
r ra r⋅ ′ = 8 2sin cosϕ ϕ
W a ds dt
22
0
2
88
32 20
= ⋅ = =∫∫r
r sin cos:
ϕ ϕ ϕ
π
C
Tra`eni je hod
W W W1 2
1
3= − = − .
P7. Formulom rotora izra~unaj tok polja r r r rv rot xz i x j y k= + +( )2 kroz
svod sto{ca (z−4)2=4(x+1)2+4y2 od njegovog vrha do ravnine XY, orijentiran vektorom
r r rn i k= +2 u probodi{tu s osi Z.
5. Primjeri 175
Uradak. Za r r r ra xz i x j y k= + + 2 preko formule rotora (6),
Φ = ⋅ = ⋅∫∫∫ rot a dS a dstn
r rrr
C SS ( ) :: 00,
ra~unat }emo ophod polja ra po orijentiranom rubu C(S) :
rt
svoda S (vidi sliku).
Slijedi:
C S( ) : , ( cos ) sin
( cos ) sin
sin cos
cos cos
r r r r
r r r
r r r
r r
t r i j
a j k
r i j
a r
= − +
→
= − +
′ = − +
⋅ ′ = −
2 1 2
0 2
2 1 4
2 2
4 2
2
2
ϕ ϕ
π
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
Φ = ⋅ = − =∫∫r
r a ds dt
( cos cos )( ) :
4 2 42
0
2
0ϕ ϕ ϕ π
π
C S
P8. Formulom divergencije izra~unaj optok polja r r ra y j yz k= + kroz
vanjsku stranu zatvorene povr{ine, sastavljene od dijelova valjka
z=y2 i ravnina 2x+z=4 te x=0 .
Uradak. Po formuli divergencije (7),
Φ = ⋅ = ∫∫∫∫∫r ra dS diva dV
V SS ( ),
ra~unajmo obujamski integral polja
divra = y+1 po prostornom podru-
~ju V(S) obrubljenom povr{inom S
(vidi sliku).
Sude}i prema slici, slijedi
Φ = =∫∫∫ diva dVr
V S( )
Slika uz P7.
Slika uz P8.
X. Integralne formule 176
= + =−
−
∫ ∫ ∫( ) .y dy dz dx
y
z
1128
152
2 4
0
4
2
2
P9. Formulom divergencije izra~unaj optok polja r r rv x y i z k= − +( )
kroz unutarnju stranu zatvorene povr{ine, sastavljene od svodova
paraboloida zx
a
y
b= +
2
2
2
2, valjka
x
a
y b
b
2
2
2
21+
−=
( ) i ravnine z=0 .
Uradak. Prema formuli divergencije (7),
r rv dS divv dV⋅ = −∫∫∫∫∫ V SS ( )
,
ra~unat }emo integral polja div vr po prostornom podru~ju V(S)
obrubljenom povr{inom S (vidi sliku).
Izra~unajmo obujamski integral pomo}u uop}enih valj~anih ko-
ordinata ϕ, ρ i h. Iz formula
x a= ρ ϕcos ,
y b= ρ ϕsin
i z h=
slijede jednad`be:
paraboloida h=ρ2
valjka ρ= 2 sinϕ
ravnine h= 0
Budu}i da je
div vr=2
i jakobijan J=abρ , slijedi :
div v dV ab d d dh abr
= =∫∫∫∫ ∫ ∫2 3
0 0
2
0
2
ϕ ρ ρ ππ ϕ ρ
V S( )
sin
.
Tra`eni je optok rv dS ab⋅ = −∫∫ 3π
S.
Slika uz P9.
5. Primjeri 177
P10. Izra~unaj tok polja r r r rv xz i j y k= + −2 kroz svod elipsoida
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
21+ + = , s y≤0 , orijentiran vektorom −
rj u tjemenu
T ( 0 , − b , 0 ) .
Uradak. Zatvorimo zadani svod S1 svodom S2 u ravnini y=0 tako da
dobijemo zatvorenu pov{inu S (vidi sliku). Tokove polja rv kroz
orijentirane svodove S1 : rn1 , S2 :
rn2 i S :
rn+ ozna~imo redom s Φ 1 ,
Φ 2 i Φ. Tada je Φ 1=Φ −Φ 2 .
Izra~unajmo optok Φ formulom divergencije (7),
Φ = ⋅ = ∫∫∫∫∫r rv dS div v dV
V SS ( ).
Ra~unajmo obujamski integral preko uop}enih sfernih koordinata
ϕ, ϑ i ρ. Iz formula
x a= ρ ϕ ϑcos sin ,
y b= ρ ϕ ϑsin sin ,
z c= ρ ϑcos
dobivamo jednad`bu eli-
psoida : ρ=1 . Kako je div v
r= z 2= c 2ρ 2 cos2ϑ i
jakobijan J= ab cρ 2 sinϑ , slijedi :
Φ = =
= =
∫∫∫
∫ ∫ ∫
div v dV
abc d d dabc
r
V S( )
sin cos .3
2
2
0
4
0
1 32
15ϕ ϑ ϑ ϑ ρ ρ
π
π
π π
Jer je
Φ 22 22 2
= ⋅ = ⋅ = =∫∫ ∫∫∫∫r r r
rv dS v j dS dS ac
n S SS :π ,
izlazi
Φ Φ Φ1 2
22 15
15= − =
−π ac bc( ).
Slika uz P10.
X. Integralne formule 178
P11. Formulom divergencije izra~unaj integral polja ψ = +div xy j xz k( )r r
po prostornom podru~ju ome|enom valjkom y2+z
2=2 i ravninama
x = 0 te x = 5 .
Uradak. Za r r ra xy j xz k= + pomo}u formule divergencije (8)
I diva dV a dS= = ⋅∫∫∫∫∫r r
S VV ( ),
ra~unat }emo optok polja ra
kroz pozitivno orijentirani omo-
ta~ S(V) : rn+ zadanog prostor-
nog podru~ja V (vidi sliku).
Omota~ S(V) se sastoji od
pla{ta S1 te osnovica S2 i S3.
Optok polja ra kroz S(V) :
rn+
jednak je njegovom toku kroz
S1 : rn1 jer je ono usporedno s
osnovicama S2 i S3. Treba dakle, izra~unati tok polja ra kroz
orijentirani pla{t S1 : rn1 .
Slijedi :
S n r x i j k1 1 2 2: , cos sinr r r r r
= + +ϕ ϕ
( , ) :ϕϕ π
xx
∈≤ ≤
≤ ≤
D0 2
0 5
r r ra x j x k= +2 2cos sinϕ ϕ
r r r r rr r j k nxϕ ϕ ϕ× = + ↑↑2 2 1cos sin
r r ra r r xx⋅ × =( )ϕ 2
I a dS a dSn
= ⋅ = ⋅ =∫∫∫∫r r
rSS V 1 1:( )
Slika uz P11.
6. Zadaci 179
= = =∫ ∫∫∫ 2 2 50
0
2
0
5
x d dx d x dxϕ ϕ ππ
D
P12. Utvrdi kako je povezano prostorno podru~je V:
a) ~itav prostor b) prostor bez jedne to~ke c) prostor bez jednog pravca d) prostor bez jedne ravnine
Uradak. a) ^itav prostor je povezan, povr{inski jednostavno i prostorno jednostavno povezan.
b) prostor bez to~ke T je povezan i povr{inski jednostavno povezan, ali nije prostorno jednostavno povezan zato {to npr. sfera sa sredi{tem u to~ki T obrubljuje kuglu koja ne le`i cijela u V.
c) Prostor bez pravca p je povezan i prostorno jednostavno povezan, ali nije povr{inski jednostavno povezan zato {to se npr. na kru`nicu iz V koja ima sredi{te na pravcu p ne mo`e nataknuti niti jedna jednostavna pov{ina koja cijela le`i u V.
d) Prostor bez ravnine Π nije povezan zato {to to~ke A i B po-dru~ja V koje razdvaja ravnina Π nije mogu}e spojiti jednosta-vnom krivljom koja cijela le`i u V. Svaki je poluprostor odre|en ravninom Π povezan te povr{inski i prostorno jednostavno povezan.
6. Zadaci6. Zadaci6. Zadaci6. Zadaci
Z1. Formulom gradijenta izra~unaj hod polja ra grad x z= −2 od
to~ke A(2,3,1) do to~ke B(−3,3,5) , a rje{enje neposredno provjeri odabrav{i po volji jednu spojnicu to~aka A i B. Mo`e li se odabrati du`ina AB ?
Z2. Neposredno izra~unaj hod polja r r r ra x i y j k= + −3 2 22 od to~ke
A(0,1,4) do to~ke B(2,5,0) :
a) du` pravca od to~ke A do to~ke B
b) du` krivulje sastavljene od du`ine AC, C (0,1,0) , i luka
CB parabole y = x 2 + 1 u ravnini XY
X. Integralne formule 180
c) du` presje~nice valjka y=1−x2+4x i ravnine y+z=5
Prona|i zatim skalarno polje ϕ za koje vrijedi ra grad= ϕ i hod
izra~unaj formulom gradijenta.
Z3. Formulom gradijenta izra~unaj rad polja r ra
rr= −
21
od to~ke
Z4. Koliko iznosi rad polja r
r r r
ax i y j z k
x y z=
+ +
+ +2 2 2 od to~ke A(4,0,−3) do
Z5. Mo`e li se formulom gradijenta izra~unati hod polja ra grad
x=
1
od to~ke A(1,0,0) do to~ke B(−1,0,0)? Konvergira li taj hod?
Z6. Formulom rotora izra~unaj ophod polja r r r ra z i x j z k= + +2 2sin du`
stranica trokuta s vrhovima A(1,1,0) , B(1,5,0) i C(4,4,2) , pozi-tivno orijentiranog ako se gleda iz to~ke T(0, 3, 0).
Z7. Formulom rotora izra~unaj ophod polja r r ra xy i x j= + du` pozi-
tivno orijentirane zatvorene krivulje u ravnini XY, sastavljene od lukova parabole y=x2 i pravca y=1 .
Z8. Formulom rotora izra~unaj ophod polja r r r ra y i yz j xz k= + + du`
negativno orijentirane zatvorene krivulje u ravnini XY, sastavljene od luka kru`nice x2+y2=R2 za koji je x≤y i du`ine AB rubnih to~aka tog luka.
Z9. Formulom rotora izra~unaj ophod polja r r r ra x i y j y k= + + +ln( )3 32
du` jedini~ne kru`nice u ravnini x=2 , negativno orijentirane ako se gleda iz ishodi{ta.
Z10. Izra~unaj ophod polja r r r ra x i x j z k= + −2 3 du` zatvorene krivulje,
odre|ene lukovima presje~nica valjaka x=y3 i y=3x−2x2 s povr{i-
nom z=x3y, orijentirane vektorom r r r rt i j k= + +8 8 7 u to~ki T
1
211
8, ,
.
Z11. Koliko iznosi ophod polja r r r ra z i y j xz k= − +2 23 2 du` po volji
odabrane zatvorene krivulje?
A(9,0,3) do to~ke B(6,8,0) .
to~ke B(−1,2,2)?
6. Zadaci 181
Z12. Mo`e li se formulom rotora izra~unati ophod polja r ra
x yi=
+
12 2
Z13. Formulom rotora izra~unaj tok polja r rv rot xz j= ( ) kroz svod
paraboloida z x y= −1
4
2 2 isje~en valjkom z=1−2y2 , orijentiran
vektorom r rn k= − u ishodi{tu O.
Z14. Formulom rotora izra~unaj tok polja r rv rot y x k= ( cos )2 kroz unu-
tarnju stranu svoda paraboloida z = 10− (x + 1 )2−(y − 3 )2 koji se nalazi u prvom oktantu.
Z15. Izra~unaj tok polja ( )[ ]r rv rot y z i= +2 3 kroz vanjsku stranu svoda
polusfere sa sredi{tem u ishodi{tu polumjera R , koji se nalazi s one strane ravnine x+y=0 za koju je x+y≥0 .
Z16. Formulom divergencije izra~unaj optok polja r r ra x j yz k= +2 kroz
unutarnju stranu zatvorene povr{ine, sastavljene od dijelova paraboloida z = 4y2−x2 te ravnina z = 0 i y = 3 .
Z17. Formulom divergencije izra~unaj optok polja r r r ra xz i xy j yz k= + +
kroz vanjsku stranu rubne povr{ine tijela ome|enog valjkom x2+y2=1 te ravninama z = 0 i z = c .
Z18. Formulom divergencije izra~unaj optok polja r r ra x i y j= +3 3 kroz
vanjsku stranu sfere x2+y2+z2=R2 .
Z19. Izra~unaj optok polja r ra xy z i= −1 4 kroz unutarnju stranu rubne
povr{ine tijela ome|enog hiperboloidom x2+y2−2z2=2 i valjkom y=z2+1 .
Z20. Izra~unaj optok polja r r r ra x i xy j z k= − +2 2 5 kroz unutarnju stranu
zatvorene povr{ine koja je sastavljena od svodova paraboloida z=x2+y2−4 (z ≤ 0 ) i z=8−2x2−2y2 (z ≥ 0 ) .
Z21. Izra~unaj optok polja r r r ra xy i z j z k= + + 2 kroz vanjsku stranu
zatvorene povr{ine, sastavljene od paraboloida z=(x−1)2+y2 i ravnine 2x+ z = 10.
du` kru`nice sa sredi{tem u ishodi{tu?
X. Integralne formule 182
Z22. Izra~unaj optok polja r r ra xz i y k= + 2 kroz vanjsku stranu zatvorene
povr{ine, sastavljene od poluelipsoida z x y= − −36 9 42 2 i ravnine z=0 .
Z23. Izra~unaj optok polja r r ra y i yz j= −cos kroz unutarnju stranu
zatvorene povr{ine, sastavljene od dijelova povr{ina z x y= +2 2 i
z cy2 2= .
Z24. Izra~unaj optok polja r r r ra x y i yz j z k= − +2 2 kroz vanjsku stranu
zatvorene povr{ine, sastavljene od dijelova paraboloida y=36−4x2−−9z2 i ravnine y=0 .
Z25. Izra~unaj optok polja r r ra x i z k= −2 kroz vanjsku stranu zatvore-
ne povr{ine koja je sastavljena od svodova povr{ina: y cx= ,
y cx z= −2 2 i x=c (c>0).
Z26. Koliko iznosi optok polja r r r ra xz i x j z k= − −2 31
3cos kroz bilo koju
Z27. Mo`e li se formulom divergencije izra~unati optok polja r
r
ar
r=
3
kroz sferu sa sredi{tem u ishodi{tu? Vidi i VIII.Z19.
Z28. Formulom divergencije izra~unaj integral polja ψ =−
div
x z
zi
2 1 r
po prostornom podru~ju ome|enom hiperboloidom z x y= + +2 2 1
i ravninom z=2 .
Z29. Izra~unaj integral polja ( )ψ = − − +
div z x y x y k2 2r
po prostor-
nom podru~ju ome|enom povr{inom z = x + y 2 i ravninama y=0 , z=0 te x+4y=4 .
Z30. Kako je povezano podru~je polja ϕ =− −
12 2z x y
?
Z31. Navedi nekoliko primjera povezanog prostornog podru~ja koje nije ni povr{inski niti prostorno jednostavno povezano.
zatvorenu povr{inu?
183
XI. Potencijali
1. Potencijalno polje i skalarni potencijal
2. Solenoidalno polje i vektorski potencijal
3. Primjeri
4. Zadaci
1. Potencijalno polje i skalarni potencijal.1. Potencijalno polje i skalarni potencijal.1. Potencijalno polje i skalarni potencijal.1. Potencijalno polje i skalarni potencijal. Ako vektorsko
polje ra i skalarno polje ϕ zadovoljavaju uvjet
ra grad= ϕ , (1)
tada se ra naziva potencijalno polje pridru`eno polju ϕ , a ϕ skalarni
potencijal ili jednostavno potencijal pridru`en polju ra .
Pri tome se obi~no pretpostavlja da je podru~je polja ra i ϕ
povezano.
Za zadano polje ra , svako je rje{enje jadnad`be (1) s nepoznatim
poljem ϕ , potencijal pridru`en polju ra . Op}e rje{enje jednad`be (1) je
skup grad a−1r svih potencijala pridru`enih polju ra , a mo`e se predo~iti,
uz uvjet povezanosti podru~ja Π polja ra i ϕ , pomo}u po volji
odabranog potencijala ϕ 0 iz grad a−1r i bilo kojeg stalnog polja
ϕ ϕC C T C: ( ) = u istom podru~ju, u obliku
(SP) ϕ 0 +C . (2)
To slijedi iz ekvivalencije
ϕ ϕ ϕ= ⇔ =C gradr0 , (3)
koja se dokazuje putem dvije implikacije. Pri tome se ⇒ dokazuje
neposredno, a ⇐ primjenom X.1(N-L).
Va`na je sljede}a ekvivalencija :
(E2) Vektorsko polje je potencijalno ako i samo ako je konzervativno.
Pri tome je ⇒ pomo}ni pou~ak X.1(*), a ⇐ slijedi iz dokaza,
primjenjuju}i X.1(N-L←) i na~elo neprekinutosti, da je
XI. Potencijali
184
(SP0) ϕ 00
( )T a ds
T
= ⋅∫r
, (4)
s ~vrstom to~kom O (npr. ishodi{tem) i promjenljivom to~kom T (za
integral po volji odabranom), pridru`eni potencijal.
Napomena. Na~elo neprekinutosti za neprekinutu funkciju f x( )
odre|enu na intervalu I :
Ako je f x dx
a
b
( ) =∫ 0 za svaki interval [a,b] iz I, tada je
f x( ) = 0 za sve x iz I.
Dokaz je indirektan. To je na~elo primjenljivo i u slu~aju ostalih
integrala slo`enijih vrsta.
Va`ni su tako|er sljede}i pou~ci:
(E3a) Svako je potencijalno polje ra bezvrtlo`no.
Uz uvjet da podru~je polja ra nije samo povezano nego i
povr{inski jednostavno povezano, vrijedi i obrat.
Pri tome se (E3a) dokazuje neposredno, a (E3b) primjenom X.2(S),
VI.5(E1) i (E2). Odatle slijedi:
Za polje ra s povezanim i povr{inski jednostavno povezanim
podru~jem, uvjet
rot ar r= 0 (5)
nu`dan je i dovoljan uvjet potencijalnosti polja ra . To drugim
rije~ima zna~i da su u tom slu~aju pojmovi potencijalnosti i
bezvrtlo`nosti polja ra ekvivalentni.
Iz pou~ka VI.5(E1) te (E2) i (E3c) slijedi ovaj posljedak :
(E) Za vektorsko polje s povezanim i povr{inski jednostavno po-
vezanim podru~jem pojmovi bezophodnosti, konzervativnosti,
potencijalnosti i bezvrtlo`nosti me|usobno su ekvivalentni.
Napomena. Ponekad se, umjesto potencijala ϕ u (1) i (4), −ϕ
naziva potencijal.
(E3b)
(E3c)
2. Solenoidalno polje i vektorski potencijal
185
2. Solenoidalno polje i vektorski potencijal.2. Solenoidalno polje i vektorski potencijal.2. Solenoidalno polje i vektorski potencijal.2. Solenoidalno polje i vektorski potencijal. Ako
vektorska polja ra i
rΦ zadovoljavaju uvjet
r ra rot= Φ , (6)
tada se ra zove solenoidalno (cjevasto) polje pridru`eno polju
rΦ , a
rΦ
vektorski potencijal pridru`en polju ra .
Za zadano polje ra svako je rje{enje jednad`be (6) s nepoznatim
poljem rΦ , vektorski potencijal pridru`en polju
ra . Op}e rje{enje
jednad`be (6) je skup rot a−1r svih vektorskih potencijala pridru`enih
polju ra , a mo`e se predo~iti, uz uvjet ne samo povezanosti nego i
povr{inski jednostavne povezanosti podru~ja polja ra i
rΦ , pomo}u po
volji odabranog vektorskog potencijala rΦ 0 iz rot a−1r i gradijenta
gradϕ bilo kojeg skalarnog polja ϕ u istom podru~ju, u obliku
rΦ 0 + gradϕ . (7)
To slijedi iz (E3c), s rΦ umjesto
ra , tj. iz ekvivalencije
za neko ϕ ϕ,r r rΦ Φ= ⇔ =grad rot 0 . (8)
Va`ni su sljede}i pou~ci:
(F2a) Svako je solenoidalno polje bezizvorno.
Uz uvjet da je podru~je polja npr. ~itav prostor, kvadar ili
neprekinuta deformacija kvadra, dakle svakako prostorno
jednostavno povezano, obrat tako|er vrijedi.
Pri tome se (F2a) dokazuje neposredno, a obrat (F2b) se obi~no
dokazuje rje{avanjem jednad`be
rot ar rΦ = (9)
sa zadanim bezizvornim poljem r r r ra P x y z i Q x y z j R x y z k= + +( , , ) ( , , ) ( , , ) i
nepoznatim poljem r r r rΦ = + +X x y z i Y x y z j Z x y z k( , , ) ( , , ) ( , , ) , tj. rje{ava-
njem sustava djelomi~nih diferencijalnih jednad`bi
(VP)
(F2b)
XI. Potencijali
186
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
Z
y
Y
zP
X
z
Z
xQ
Y
x
X
yR
− =
− =
− =
(10)
uz uvjet
∂∂
∂∂
∂∂
P
x
Q
y
R
z+ + = 0 . (11)
Pri tome je dovoljno prona}i bilo koje posebno rje{enje sustava (10):
r r r rΦ 0 0 0 0= + +X i Y j Z k . (12)
(Za stvarni postupak vidi P9.) Odatle slijedi:
(F2c) Za polje ra s prostorno jednostavno povezanim podru~jem, uvjet
divar= 0 (13)
nu`dan je i dovoljan uvjet solenoidalnosti polja ra , tj. u tom
su slu~aju pojmovi solenoidalnosti i bezizvornosti polja ra
ekvivalentni. Iz X.3(G,G←) te na~ela neprekinutosti slijedi
pou~ak :
Za polja s prostorno jednostavno povezanim podru~jem, pojmovi
bezopto~nosti i bezizvornosti su ekvivalentni.
Iz pou~aka X.5(F1), (F2c) i (F3) slijedi ovaj posljedak:
Za vektorsko polje s povr{inski i prostorno jednostavno
povezanim podru~jem pojmovi bezopto~nosti, nezavisnosti toka o
povr{ini integracije, solenoidalnosti i bezizvornosti me|usobno su
ekvivalentni.
3. Primjeri3. Primjeri3. Primjeri3. Primjeri
P1. Poka`i da je polje r r r ra z i y j x z k= − +2 23 2 potencijalno i odredi sve
pridru`ene skalarne potencijale.
(VP0)
(F3)
(F)
3. Primjeri 187
Uradak. Podru~je polja ra je ~itav prostor, dakle svakako povezano i
povr{inski jednostavno povezano, a rotor polja ra
rot a
i j k
x y z
z y xz
r
r r r
r=
−
=∂∂
∂∂
∂∂
2 23 2
0 ,
stoga je polje ra potencijalno.
Jedan skalarni potencijal ϕ 0 polja ra mo`emo odrediti po
formuli (4),
ϕ 00
( )T a ds
T
= ⋅∫r
,
tako da pripadni krivuljni integral ra~unamo po du`ini od ishodi{ta
O(0 ,0 ,0) do po volji odabrane to~ke T(x1,y1,z1). Iz vektorsko-
-parametarske jednad`be orijentirane du`ine
OT r x t i y t j z t kt
: ,r r r r= + + →1 1 1 0 1
slijedi: r r r r
r r r r
r r
a z t i y t j x z t k
r x i y j z k
a r x z y t
= − +
′ = + +
⋅ ′ = −
12 2
12 2
1 12
1 1 1
1 12
13 2
3 2
3( )
ϕ 0 1 1 1 1 12
13 2
0
1
1 12
13
3( , , ) ( )x y z x z y t dt x z y= − = −∫
Svi se skalarni potencijali polja ra dakle mogu predo~iti u
obliku
ϕ ϕ= = − +( , , ) .x y z xz y C2 3
P2. Poka`i da je polje r r ra
z
yj y k=
−+ −
12 1 potencijalno i odredi
sve pridru`ene skalarne potencijale.
Uradak. Podru~je polja ra , odre|eno nejednad`bom y > 1 , jest povezano
XI. Potencijali 188
i povr{inski jednostavno povezano. Zbog toga {to je i
rot ar r= 0 ,
polje ra je potencijalno.
Odredimo jedan njegov potencijal ϕ 0 formulom (4),
ϕ 00
( )T a ds
T
T
= ⋅∫r
,
ra~unaju}i krivuljni integral po du`ini od ~vrste to~ke T0(0,2,0) do
po volji odabrane to~ke T1(x1 ,y1 ,z1) . Slijedi:
[ ]T T r x t i y t j z t kt
0 1 1 12 2 0 1: ( ) ,r r r r= + − + + →
r r r
r r r r
r r
az t
y tj y t k
r x i y j z k
a ry z t
y tz y t
=− +
+ − +
′ = + − +
⋅ ′ =−
− ++ − +
1
1
1
1 1 1
1 1
1
1 1
2 12 2 1
2
2
2 12 2 1
( )( )
( )
( )
( )( )
ϕ 0 1 1 11 1
1
1 1
1
10
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
2
2 12 2 1
2 1
2
2
2
3
2
1
2
2
21 2 1
11
( , , )( )
( )( ) :
( )
( )
( )
x y zy z t
y tz y t dt
l y t
dl y dt
z
y
l
ldl
z
yl l z y
yy
=−
− ++ − +
= − +
= −
=−
−
=
−− = −
∫
∫− −
Tako su svi potencijali polja ra :
ϕ ϕ= = − +( , , )x y z z y C2 1 .
P3. Poka`i da je sferno polje r ra
rr r= +
1 potencijalno i odredi mu
potencijal. Kao poop}enje primjera vidi Z5.
Uradak. Podru~je polja ra je prostor bez ishodi{ta tako da je povezano
i povr{inski jednostavno povezano. Budu}i da je jo{ rotor sfernog
polja nulvektor, polje ra je potencijalno.
Odredimo jedan potencijal polja ra po formuli (4):
3. Primjeri 189
ϕ0
3 30 0
3
0 0
1
1
0
1
0
1
1
0 0
0
1 1
1
3
1
3
1
3
( )
.
T a ds a ds a ds
a dr a dr a dr
rr r dr
rr rdr
r r r r r r
T
T
T
T
T
T
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
T T
T
T T
T
= ⋅ = ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅ = ⋅
= +
⋅ = +
=
= + = + − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫
∫ ∫
r r r
r r r
r
Dakle svi su potencijali polja ra :
ϕ = + +r r C1
3
3 .
P4. Provjeri da je polje r r r ra
xi z j y k= + +
12
bezvrtlo`no i neposredno
prona|i njegov potencijal.
Uradak. Podru~je polja ra razdvojeno je ravninom YZ na dva dijela. To
podru~je (prostor bez ravnine YZ) je povr{inski jednostavno
povezano, ali nije povezano. Svaki pak dio, poluprostor x>0 i
poluprostor x<0 , jest povezano podru~je, a jer je
rot ar r= 0
ima smisla tra`iti skalarni potencijal polja ra u svakom
poluprostoru.
Jednad`ba grad aϕ =r s nepoznatim potencijalom ϕ u
skalarnom obliku predstavlja sustav djelomi~nih diferencijalnih
jednad`bi:
∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕ∂
x x
yz
zy
=
=
=
12
.
Slika uz P3.
XI. Potencijali 190
Iz jednad`bi sustava slijedi:
ϕ = − +1
xf y z( , ) (iz prve)
∂∂f
yz f yz g z= = +, ( )a odatle (iz druge)
dg
dzg C= =0 , a odatle (iz tre}e)
ϕ = − + +1
xyz C
P5. Postoji li funkcija f z( ) za koju je polje r r r ra y f z i x f z j xy z k= + + −( ) ( ) ( )3 12 potencijalno?
Uradak. Najprije treba provjeriti postoji li funkcija f z( ) za koju je za-
dano polje ra bezvrtlo`no. Iz
[ ] [ ]
rot a
i j k
x y z
y f z x f z xy z
x z x f z i y f z y z j
r
r r r
r r
=
−
=
= − − ′ + ′ − −
∂∂
∂∂
∂∂
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 1
3 1 3 1
2
2 2
i zahtjeva
rot ar r= 0
izlazi diferencijalna jednad`ba
′ = −f z z( ) 3 12
~ije je rje{enje
f z z dz z z C( ) ( )= − = − +∫2 3 12 3 .
Podru~je bezvrtlo`nog polja
r r r ra y z z C i x z z C j xy z k= − + + − + + −( ) ( ) ( )3 3 23 1
je ~itav prostor, dakle je polje ra potencijalno.
3. Primjeri 191
P6. Provjeri je li polje r r r ra
x zy z i z j x y k=
+− −
12 2( )
( ) solenoidalno.
Uradak. Podru~je polja ra je prostor bez osi Y, dakle prostorno
jednostavno povezano. Jer je i
divar= 0 ,
polje ra je solenoidalno.
P7. Poka`i da je polje r r ra r r c r= − ×( )4 2 , gdje je
rc stalni vektor,
solenoidalno. Kao poop}enje primjera vidi Z17.
Uradak. Podru~je polja ra je ~itav prostor. Slu`e}i se formulama
III(12, 30) poka`imo da je polje ra i bezizvorno:
[ ][ ]
diva div r r r c
rot r r r c c
r r r
r r r r
= − − × =
= − − ⋅ = − ⋅ =
( )
( ) .
4
4
2
2 0 0
P8. Poka`i da je polje r r r ra
zizj k= + +
1 12
u podru~ju z > 0
solenoidalno i odredi njegov vektorski potencijal.
Uradak. Budu}i da je podru~je polja ra gornji poluprostor bez ravnine
XY, dakle prostorno jednostavno povezano, i
divar= 0 ,
polje ra je solenoidalno.
Potra`imo jedan vektorski potencijal r r r rΦ 0 = + +Xi Yj Zk polja
ra . Odaberimo X=0 i rije{imo jednad`bu rot a
r rΦ 0 = , odnosno u
skalarnom obliku sustav djelomi~nih diferencijalnih jednad`bi (10):
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
Z
y
Y
z z
Z
x zY
x
− =
− =
=
1
1
1
2 .
XI. Potencijali 192
Rje{enje je tre}e jednad`be
Y x f y z= + ( , ) ,
a rje{enje druge
Zx
zg y z= − +
2( , ) ,
gdje su f y z g y z( , ) ( , )i po volji odabrane funkcije. Odaberemo li
f y z( , ) = 0 , iz prve jednad`be izlazi
∂∂g
y zg
y
z= =1, a odatle .
Tako je r r rΦ 0 2
= +−
x jyz x
zk .
Sve vektorske potencijale polja ra mo`emo predo~iti u obliku (7):
r r rΦ = +
−+xj
yz x
zk grad
2ϕ .
gdje je polje ϕ po volji odaberivo.
P9. Odredi koordinate jednog vektorskog potencijala zadanog bezizvor-
nog polja r r r ra P x y z i Q x y z j R x y z k= + +( , , ) ( , , ) ( , , ) pomo}u kojeg je
primjerice kvadar.
Uradak. Potra`imo jedno rje{enje rΦ 0 jednad`be rot a
r rΦ = . Neka je
r r r rΦ 0 = + +X x y z i Y x y z j Z x y z k( , , ) ( , , ) ( , , ) .
Pretpostavimo da je jedna koordinata potencijala rΦ 0 jednaka nuli,
npr.
X = 0 .
To je mogu}e zbog (7), jer ϕ mo`emo odabrati tako da bude
∂ϕ∂ x
X= − , npr. ϕ = −∫ X dxx
x
0
.
3. Primjeri 193
Tada iz jednad`bi sustava (10),
∂∂
∂∂∂∂∂∂
Z
y
Y
zP
Z
xQ
Y
xR
− =
− =
=
,
slijedi:
Y Rdx f y z= +∫ ( , ) (iz tre}e)
Z Qdx g y z= − +∫ ( , ) (iz druge)
gdje su funkcije f i g povezane jedino prvom jednad`bom, stoga
se jedna od njih mo`e odabrati po volji, npr. f y z( , ) = 0 , tako da
prva jednad`ba postaje
∂∂
∂∂
∂∂y
Qdxg
y zRdx P
x
x
x
x
0 0
∫ ∫+ − = .
Odatle slijedi, po Leibnizovom pravilu deriviranja pod znakom
integrala,
− −
+ =∫
∂∂
∂∂
∂∂
Q
y
R
zdx
g
yP
x
x
0
,
i dalje, zbog pretpostavke o bezizvornosti polja ra ,
divaP
x
Q
y
R
z
r= + + =∂∂
∂∂
∂∂
0 tj. ∂∂
∂∂
∂∂
P
x
Q
y
R
z= − − ,
∂∂
∂∂
P
xdx
g
yP
x
x
0
∫ + =
Primjenom Newton-Leibnizovog pravila izlazi
P P x y zg
yP− + =( , , )0
∂∂
,
dakle
XI. Potencijali 194
∂∂g
yP x y z= ( , , )0
i kona~no
g P x y z dy g z
y
y
= +∫ ( , , ) ( )0 0
0
gdje je funkcija g0 po volji odaberiva, npr. g z0 0( ) = .
Koordinate vektorskog potencijala rΦ 0 su :
X = 0
Y Rdx
x
x
= ∫0
Z P x y z dy Qdx
y
y
x
x
= −∫ ∫( , , )0
0 0
Parametri x0 i y0 su apscisa i ordinata po volji odaberive ~vrste
to~ke u podru~ju polja.
P10. Koriste}i se formulama iz prethodnog primjera odredi vektorski
potencijal bezizvornog polja r r ra y
x
zi
x
zk= + +( )3
222
2 u podru~ju
z< 0 .
Uradak. Odredimo najprije jedan vektorski potencijal r r r rΦ 0 = + +Xi Yj Rk
polja ra po formulama iz P9. Za
P yx
zQ R
x
zx y= + = = = =3 0
202
2
2 0 0, , i
slijedi:
X = 0
Yx
zdx
x
z
x
= =∫2
2
0
Z y dy dx y
y x
= − =∫ ∫3 02
0 0
3
4. Zadaci 195
r r rΦ 0
23
= +x
zj y k
Svi vektorski potencijali polja ra su
r r rΦ = + +
x
zj y k grad
23 ϕ .
4. Zadaci.4. Zadaci.4. Zadaci.4. Zadaci.
Z1. Je li polje ϕ =− −
1
1 2 2x y skalarni potencijal polja
rr r
axi yj
x y=
+
+ −
2 2
12 2 2( )?
Z2. Jesu li sljede}a polja potencijalna:
a) r r r ra x i zj yk= − −3 2 2 b)
r r r ra yzi xj z k= + +
3
c) r r r ra
xi
yjzk= + −
1 1 12 2 2
Z3. Provjeri da su sljede}a polja potencijalna i za svako polje odredi
pridru`ene skalarne potencijale:
a) r r r ra x zi yj x k= − +3 22 3
b) r r r ra
y
xi x j zk= + +ln 6
c) r
r r r
axi yj k
x y z=
+ −
+ −2 2 2
Z4. Prona|i skalarni potencijal bezvrtlo`nih polja:
a) r r r ra
yzi
x
y zj
x
yzk= − −
12 2
b) r
r r
axi zk
x z=
+
+ −( )2 2 24
Z5. Prona|i izraz za skalarni potencijal sfernog polja r ra f r r= ( ) .
XI. Potencijali 196
Z6. Odredi skalarni potencijal sfernih polja:
a) r
r
ar
r r r=
−2 23 2
b) r ra r r= ln 0
c) r ra r r= sh
Z7. Odredi potencijal ϕ sfenog polja r
r
acr
r=
3 i poka`i da on zado-
voljava Laplaceovu jednad`bu ∆ϕ = 0 .
Z8. Odredi potencijal stalnih polja: a) r r ra i k= −5 3 b)
r ra c=
Z9. Postoji li funkcija f(y) za koju je polje r r r ra xi f y j yk= + +( )
potencijalno?
Z10. Odredi funkciju f(x,y) tako da polje r r r ra xzi y zj f x y k= + +
2 ( , ) bude
potencijalno.
Z11. Je li potencijalno polje bezophodno ako je njegovo podru~je
povezano?
Z12. Je li polje r rΦ = + + −x y z i2 2 2 1 vektorski potencijal polja
rr r
az j yk
x y z=
−
+ + −2 2 2 1
?
Z13. Jesu li sljede}a polja solenoidalna:
a)r r r ra
yz
x yi
xz
x yj xyk=
+ −−
+ −+
2 2 2 21 1
b)r r r ra x z i z y j y z k= + −ln ln ln
c)r r ra
z
x y zj
y
x y zk= −
+ ++
+ +
2 22 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )
4. Zadaci 197
Z14. Provjeri da su sljede}a polja solenoidalna i za svako polje odredi
pridru`ene vektorske potencijale:
a) r r r ra x yz i xzj xyz k= + −3 22 2 3
b) r r ra
z
yi y k= +
2cos
c) r r r ra
x yizj
z
x yk= − +
1 1 22 2 3
Z15. Prona|i vektorski potencijal bezizvornih polja:
a) r
r r
ayi xj
x y z=
−
+ + −2 2 2 1
b) r r ra
z
x y zi
x
x y zk= −
+ ++
+ +2 2 2 2 2 2
Z16. Odredi vektorski potencijal stalnih polja: a) r r ra i k= −5 3 b)
r ra c=
Z17. Poka`i da je polje r r ra f r c r= ×( )( ) solenoidalno ako je podru~je
polja f (r) prostorno jednostavno povezano.
Z18. Je li polje r
r r
ac r
r=
×
−1 solenoidalno?
Z19. Je li solenoidalno polje bezopto~no ako je njegovo podru~je
povr{inski jednostavno povezano?
Z20. Je li sferno polje r
r
acr
r=
3 za c ≠ 0 solenoidalno?
Z21. Postoji li netrivijalno sferno polje r ra f r r= ( ) koje je solenoidalno?
Z22. Odredi funkciju f (z) tako da polje r r r ra xi f z yj f z k= + −
2( ) ( ) bude
solenoidalno.
XI. Potencijali 198
Z23. Odredi funkciju f (x) tako da polje r r r ra f x yi xy j
x f x
xyzk= + +
+( )
( )22
bude solenoidalno.
Z24. Odredi funkcije f (x , y ) i g (x , z ) tako da polje r r r ra f x y i g x z j yzk= + +( , ) ( , ) bude i potencijalno i solenoidalno.
199
DODATAK
XII. Polja u ravnini
1. Vektori u ravnini
2. Polja u ravnini - diferencijalni vektorski ra~un
3. Polja u ravnini - integralni vektorski ra~un
4. Integralne formule
5. Potencijali
6. Primjeri
7. Zadaci
1. Vektori u ravnini.1. Vektori u ravnini.1. Vektori u ravnini.1. Vektori u ravnini. Pojam vektora u ravnini te pojmovi
jednakosti zbrajanja, mno`enja skalarom i skalarnog mno`enja, a tako|er
i ra~unski zakoni isti su kao za vektore u prostoru. Jedina je razlika u
tome {to je sada koordinatni sustav ( ; , )O i jr r
s dvo~lanom bazom
( , )r ri j , dakle analiti~ko predo~enje vektora
r r ra xi yj= + , i {to se umjesto
vektorskog mno`enja uvodi linearni operator ex ovisno o orijentaciji
ravnine:
exa rot a yi xji j
x y
r r r rr r
:,
= = − + = −02
π . (1)
Operator ex zadovoljava, osim zakona linearnosti, ra~unske zakone:
ex exa ar r= − , (2)
exa b a exbr r r r⋅ = − ⋅ , (3)
i odatle izvedeni zakon
exa exb a br r r r⋅ = ⋅ , (4)
te zakon
exa b exc b a c c a br r r r r r r r r( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ − ⋅ . (5)
2. Polja u ravnini 2. Polja u ravnini 2. Polja u ravnini 2. Polja u ravnini ---- diferencijalni vektorski ra~un. diferencijalni vektorski ra~un. diferencijalni vektorski ra~un. diferencijalni vektorski ra~un. Polje u ravnini p=p (T) analiti~ki je predo~eno jednad`bom p=p (x,y); skalarno
XII. Polja u ravnini 200
polje ima jednad`bu ϕ ϕ= ( , )x y , a vektorsko polje jednad`bu r r r ra a x y P x y i Q x y j= = +( , ) ( , ) ( , ) .
Umjesto razinskih povr{ina prostornog skalarnog polja sada se
razmatraju razinske krivulje (niveau-krivulje, ~itaj nivo-krivulje)
ϕ ( , )x y C= , (6)
a vektorske krivulje vektorskog polja se i sada odre|uju na isti na~in
rje{avaju}i diferencijalnu jednad`bu
dx
P
dy
Qy
Q
Px
P
Q= ′ = ′ =tj. ili . (7)
Usmjerena derivacija se odre|uje na isti na~in kao u prostornom
polju, a polja grad diva rot aϕ ,r r
i te mnemotehni~ki simboli~ki
diferencijalni operator-vektor ∇ na sli~an na~in. Pri tome vrijede iste ili
sli~ne formule:
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
ϕ ϕs x
sys s grad sx y= + = ⋅ = ⋅∇0 0 0 0r r
( ) (8)
∂∂
∂∂
∂∂
r r rr ra
s
a
xs
a
ys s ax y= + = ⋅∇0 0 0( ) (9)
ab
aa b
∂∂
rr r
= ⋅∇( ) (10)
gradxi
yjϕ
∂ϕ∂
∂ϕ∂
ϕ:= + = ∇r r
(11)
divaP
x
Q
ya
r r:= + = ∇ ⋅
∂∂
∂∂
(12)
rot aQ
x
P
yx y
P Q
ex ar r:= − = = ∇ ⋅∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ (13)
∇ = +:r rix
jy
∂∂
∂∂
(14)
Jedino je sada operator rot tipa “vektor→skalar”, a polje rot ar se
izra`ava in-produktom novog slo`enog operatora ex∇ i polja ra .
3. Polja u ravnini - integralni vektorski ra~un 201
Tako|er, pojavljuju se novi operatori ex grad, div ex i rot ex te pripadna
polja
ex grad ex exϕ ϕ ϕ= ∇ = ∇( ) ( ) , (15)
div exa exa ex a rot ar r r r= ∇⋅ = − ∇ ⋅ = − , (16)
rot exa ex exa a div ar r r r= ∇⋅ = ∇ ⋅ = . (17)
Mnemotehni~kim ∇ -ra~unom opisanim u IV proizlaze formule
djelovanja osnovnih operatora grad, div i rot na umno`ak polja:
grad grad grad( )ϕψ ϕ ψ ψ ϕ= + (18)
div a diva a grad( )ϕ ϕ ϕr r r= + ⋅ (19)
rot a rot a a ex grad( )ϕ ϕ ϕr r r= + ⋅ (20)
grad a b ab
aexa rot b b
a
bexb rot a( )
r rr
r rr
r r⋅ = − + −
∂∂
∂∂
(21)
Nadalje, u svezi s poglavljem V, ∆ se odre|uje na isti na~in,
∆:= ∇ ⋅∇ , (22)
te se opisanom ra~unskom tehnikom izvode formule
∆ϕ = div gradϕ (23)
i
∆r r ra grad diva ex grad rot a= + , (24)
a tako|er
rot grad div ex gradϕ ϕ= =0 . (25)
3. Polja u ravnini 3. Polja u ravnini 3. Polja u ravnini 3. Polja u ravnini ---- integralni vektorski ra~un. integralni vektorski ra~un. integralni vektorski ra~un. integralni vektorski ra~un. Krivulje
se u ravnini zadaju, razvrstavaju i orijentiraju na isti na~in kao prostorne
krivulje.
Glede orijentacije, sada je tako|er primjenljiva, kao kod povr{ina,
orijentacija normalnim vektorom koji omogu}ava razlikovanje pozitivnog i
negativnog smjera prolaza kroz krivulju te razlikovanje pozitivne i
negativne strane krivulje.
XII. Polja u ravnini 202
Osim toga, jednostavno zatvorena krivulja u ravnini mo`e se
pozitivno , ili suprotno negativno, orijentirati pomo}u koordinatnog
sustava (tj. njegove baze). U tom slu~aju baza odre|uje pozitivan, ili
suprotan negativan, smjer obilaska du` jedini~ne kru`nice, od vrha
vektora ri do vrha vektora
rj du` manjeg kru`nog luka, a time
pozitivan, odnosno suprotan negativan, smjer obilaska bilo du` koje
jednostavno zatvorene krivulje ili oko podru~ja kojeg obrubljuje. Za
vektor tangente, uskla|en s pozitivnom orijentacijom, ka`e se da je
pozitivan :rt+0 , a za suprotni vektor da je negativan:
r rt t− +=−0 0 .
Pored toga, jednostavno zatvorena krivulja u ravnini mo`e se, kao
kod jednostavno zatvorenih povr{ina, pozitivno orijentirati vanjskim ili
pozitivnim normalnim vektorom :rn+0 , ili suprotno negativno, unutarnjim
ili negativnim normalnim vektorom :r rn n− +=−0 0 .
Za jedini~nu kru`nicu je o~ito, npr. u to~ki ( 1 , 0 ) : r r r r r rn i t j ex i ex n+ + += = = =0 0 0i , a bilo za koju jednostavno zatvorenu
krivulju i po volji odabranu to~ku
r rt ex n+ +=0 0 . (26)
Hod u polju ra du` krivulje C:
rt 0 u podru~ju polja odre|uje se i
ra~una na isti na~in kao u prostornom polju (vidi sliku 4):
∆ ∆s t s: =r0 , (27)
∆ ∆W a s≈ ⋅r
, (28)
W a dst
::
= ⋅∫r
rC
0. (29)
Ophod du` pozitivno orijentirane jednostavno zatvorene krivulje
C:rt +0 ozna~ava se oznakom .
C∫
Gusto}a ophoda u polju ra u to~ki T podru~ja polja odre|uje se
sli~no kao u prostornom polju i vrijedi sli~na analiti~ka formula:
gopha TW
SS
r( ): lim=
→∆
∆∆0
(30)
= rot ar, (31)
4. Integralne formule 203
gdje je
∆W a ds:= ⋅∫r
C, (32)
a C mala jednostavno zatvorena pozitivno orijentirana krivulja oko to~ke
T koja obrubljuje podru~je plo{tine ∆ S .
Tok [ ]Φra u polju
ra kroz krivulju C:
rn0 odre|uje se na sli~an
na~in kao u prostornom polju kroz povr{inu S :rn0, a izra`ava se
krivuljnim integralom posebne vrste koji je pak jednak, uz uvjet
r rt ex n0 0= , (33)
obi~nom krivuljnom integralu polja exar, tj. hodu [ ]W exa
r (vidi sliku 4):
∆ ∆s n sn :=r0 , (34)
[ ]∆Φ ∆r ra a sn≈ ⋅ (35)
= ⋅exa sr∆ , (36)
[ ]Φr r
ra a dsn
n:
:= ⋅∫C 0
(37)
= ⋅∫ exa dst
rr
C: 0 (38)
[ ]=W exar
. (39)
Gusto}a optoka u polju ra u to~ki T podru~ja polja odre|uje se
sli~no kao u prostornom polju i vrijedi sli~na analiti~ka formula:
gopha TSS
r( ): lim=
→∆
∆Φ∆0
(40)
= divar, (41)
gdje je
∆Φ : = ⋅∫ra dsn
C, (42)
a C i ∆ S kao u (32).
4. Integralne formule.4. Integralne formule.4. Integralne formule.4. Integralne formule. U vektorskoj analizi ravninskih polja
umjesto tri integralne formule vektorske analize prostornih polja pojavljuju
XII. Polja u ravnini 204
se samo dvije: Newton-Leibnizova formula gradijenta
ϕ ϕ( , ):( , )
A BA Bgrad ds= ⋅∫C tj. ϕ ϕ
∂∂
∂∂
( ) ( ):( , )
B AP
xdx
Q
ydy
A B− = +∫C (43)
i Greenova formula, i to u obliku formule rotora
r ra ds rota dS⋅ =∫ ∫∫C S(C)
tj. Pdx QdyQ
x
P
ydxdy
C S(C)∫ ∫∫+ = −
∂∂
∂∂
(44)
ili u obliku formule divergencije
r ra ds divadSn⋅ = ∫∫∫ S(C)C
tj. Pdy QdxP
x
Q
ydxdy
C S(C)∫ ∫∫− = +
∂∂
∂∂
. (45)
Formula (G-S) proizlazi iz Stokesove formule, (G-G) iz Gaussove,
me|usobno jedna iz druge. Greenova se formula tako|er naziva Green-
-Gaussova.
5. Potencijali.5. Potencijali.5. Potencijali.5. Potencijali. Potencijalno polje i skalarni potencijal odre|uju
se na isti na~in kao za prostorno polje, a pripadni uvjet
rot ar= 0 (46)
je nu`dan i, ako je podru~je polja ra ne samo povezano nego i
jednostavno povezano (tj. “bez rupa”), dovoljan za potencijalnost polja ra .
Ako je za vektorsko polje ra i skalarno polje ϕ
ra ex grad= ϕ , (47)
tada se ra naziva solenoidalno polje, a gradϕ pridru`eni vektorski
potencijal.
Uvjet
divar= 0 (48)
je nu`dan i , ako je podru~je polja ra jednostavno povezano, dovoljan
za solenoidalnost polja ra .
(N-L)
(G-S)
(G-G)
205
Hod W u polju ra du` orijentirane krivulje C :
rt 0
Slika 4. Polje u ravnini
XII. Polja u ravnini 206
6. Primjeri6. Primjeri6. Primjeri6. Primjeri
P1. Odredi podru~je skalarnog polja ϕ( , )sin( )
x yy x
x y=
−
− −
arc 2
2 29.
Uradak. Funkcija arcus-sinus definirana je na intervalu [−1,1], a drugi
korijen na intervalu ⟨0,∝⟩ jer
se nalazi u nazivniku. Zato je
podru~je polja ϕ (x,y) odre-
|eno sustavom nejednad`bi:
− ≤ − ≤ − − >1 1 9 02 2 2y x x y, .
Ove se nejednad`be mogu
zapisati u obliku
x y x x y2 2 2 21 1 9− ≤ ≤ + + <, ,
a podru~je polja ϕ ( , )x y je
skup
{ }V = − ≤ ≤ + + <( , ) ,x y x y x x y2 2 2 21 1 9 .
Promatrano geometrijski, podru~je V je ome|eno lukovima
parabola y x= −2 1 i y x= +2 1 koji se nalaze unutar kru`nice
x y2 2 9+ = i lukovima s1 i s2 te kru`nice. Pri tome rubni lukovi
obje parabole pripadaju, a rubni lukovi kru`nice ne pripadaju
podru~ju V (na slici je to podru~je tamnije osjen~eno).
P2. Odredi podru~je vektorskog polja r r ra x y
x
yi x y j( , ) ln ln=
−+ −
1.
Uradak. Najprije treba odrediti podru~ja definicije koordinatnih funkcija
P x yx
y( , ) ln=
−1 i Q x y x y( , ) ln= − ,
a zatim odrediti njihov presjek. Podru~je definicije V1 funkcije
Slika uz P1.
6. Primjeri 207
P ( x , y ) odre|eno je uvjetom x
y
−>10 koji je ekvivalentan slo`e-
nom uvjetu
x y x y− > > − < <1 0 0 1 0 0, ,ili .
Zato se V1 treba odrediti udru`ivanjem skupova
{ } { }V V11 121 0 1 0= > > = < <( , ) , ( , ) , ,x y x y x y x yi
tj.
{ }V V V1 11 121 0 1 0= > > < < = ∪( , ) , , ,x y x y x yili
(na slici je to osjen~eno podru~je
iznad osi X ili lijevo od pravca
x=1). Podru~je definicije V2
funkcije Q(x,y) odre|eno je
uvjetom
ln x y− ≥ 0
(na slici je to osjen~eno podru~je
ispod krivulje y = ln x ). Tako je
podru~je polja ra x y( , ) skup
{ }V V V= > > < < ≤ = ∩( , ) , , ; lnx y x y x y y x1 0 1 0 1 2ili
(na slici je to podru~je tamnije osjen~eno).
P3. Odredi obitelj razinskih krivulja skalarnog polja ϕ ( , )x y =
= + −3 20 5 2x y y i prona|i razinsku krivulju koja prolazi to~kom
T ( 0 , 2 ) .
Uradak. Jednad`ba obitelji razinskih krivulja zadanog polja ϕ ( , )x y je
3 20 5 2x y y C+ − = .
Ovom je jednad`bom predo~ena jednoparametarska obitelj parabola
xC
y−−
= −20
3
5
32 2( )
Slika uz P2.
XII. Polja u ravnini 208
izbo~enih u smjeru osi X s tjemenom C −
20
32, .
Uvrstimo li koordinate zadane to~ke T u jednad`bu obitelji,
dobit }emo
C = 20
i tako jednad`bu tra`ene razinske krivulje
x y= −5
32 2( ) .
P4. Odredi obitelj vektorskih krivulja polja r r ra x y y i x j( , ) = −3 22 .
Nacrtaj nekoliko vektorskih krivulja i na njima strelicama ozna~i
smjer djelovanja polja.
Uradak. Jedina neutralna to~ka polja ra je ishodi{te O. Zato tra`imo
vektorske krivulje kroz to~ke T(x ,y) za koje je r r r ra x y y i x j( , ) = − ≠3 2 02 tj. y≠0 ili x≠0 .
Slu~aj y≠0 : Slu~aj x≠0 :
′ =−
yx
y
2
3 2 ′ =
−x
y
x
3
2
2
3 22y dy x dx= − 2 3 2x dx y dy= −
y x C3 21= − + x y C2 3
2= − +
Vektorske krivulje polja
ra
mogu se dakle predo~iti jedna-
d`bom
x2+y
3=C
uz uvjet x≠0 ili y≠0 .
Slika uz P4.
6. Primjeri 209
P5. Odredi jedini~ne tangencijalne i normalne vektore elipse x
a
y
b
2
2
2
21+ = .
Uradak. Iz vektorsko-parametarske jednad`be zadane elipse
r r rr a t i b t j= +cos sin
i derivacije
dr
dta t i b t j
rr r
= − +sin cos
slijedi da su jedini~ni tangencijalni vektori zadane elipse
r
r
r
r r
t
dr
dt
dr
dt
a t i b t j
a t b t
0
2 2 2 2= ± = ±
− +
+
sin cos
sin cos.
Kanonsku jednad`bu x
a
y
b
2
2
2
21+ = mo`emo shvatiti kao
jednad`bu razinske krivulje polja
ψ = + −x
a
y
b
2
2
2
21
s C = 0 . Tada iz
( )grada b
b x i a y jψ = +22 2
2 2r r
slijedi da su jedini~ni normalni vektori zadane elipse
rr r r r
ngrad
grad
b x i a y j
b x a y
b t i a t j
b t a t
02 2
4 2 4 2 2 2 2 2= ± = ±
+
+= ±
+
+
ψψ
cos sin
cos sin.
Jednostavnije : r rn ex t0 0= − .
Slika uz P5.
XII. Polja u ravnini 210
P6. Izra~unaj derivaciju polja ϕ = −x y 2 u smjeru vektora rn u
to~kama kru`nice ( )x y− + =2 92 2 , ako je rn unutarnji normalni
vektor kru`nice. Kolika je vrijednost te usmjerene derivacije u
to~ki T ( 2 , 3 ) ?
Uradak. Vektorsko-parametarska jednad`ba zadane kru`nice je
r r rr t t i t j
t( ) ( cos ) sin ,= + + →2 3 3 0 2π .
Ra~unajmo :
r r r
r r r r
r r r
′ = − +
= ′ = − −
= − −
r t i t j
n ex r t i t j
n t i t j
3 3
3 3
0
sin cos
cos sin
cos sin
Izra~unajmo i gradijent polja
ϕ u to~kama kru`nice :
grad i y j i t jϕ = − = −r r r r2 6sin .
Tra`ena usmjerena derivacija tako iznosi
∂ϕ∂
ϕn
n grad t t= ⋅ = − +r0 26cos sin ,
a vrijednost je u to~ki T
∂ϕ∂
∂ϕ∂
πnT
n( ) =
=
26 .
P7. Izra~unaj divergenciju i rotor polja r r ra
y
xi
x
yj= +
2
2 u to~ki T(1,2) .
Uradak. Djelomi~ne derivacije funkcija-koordinata Py
x= i Q
x
y=
2
2 su:
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
P
x
y
x
P
y x
Q
x
x
y
Q
y
x
y= − = = = −
2 2
2
3
1 2 2, ,i .
Divergencija i rotor polja ra ra~unaju se formulama (12) i (13):
Slika uz P6.
6. Primjeri 211
divaP
x
Q
y
y
x
x
y
r= + = − −∂∂
∂∂ 2
2
3
2,
rot aQ
x
P
y
x
y x
r= − = −∂∂
∂∂
2 12
,
a u to~ki T su
diva Tr( ) = −
9
4,
rot a Tr( ) = −
1
2.
P8. Doka`i formulu (20): rot a rot a a ex grad( )ϕ ϕ ϕr r r= + ⋅ .
Uradak. Iz formule (13) i (15) te op}eg pravila III(14), izlazi :
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] [ ]
rot a ex a ex a ex a
ex a ex a rot a ex grad a
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
r r r r
r r r
= ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =
= ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = + ⋅ .
P9. Izra~unaj hod polja r r ra x i y j= +2 du` luka krivulje y x x= −3
koji se nalazi u drugom kvadrantu, orijentiranog porastom
promjenljive x.
Uradak. U svrhu parametrizacije zadanog luka krivulje y = x3− x = =x (x−1)(x+1) odaberimo promjenljivu x za parametar i po
formuli (29) izra~unajmo tra`eni hod:
( )r r rr x i x x j
x= + − − →3 1 0,
( ) ( )r r r ra a x x x x i x x j= − = + −, 3 2 3
( )r r r′ = + −r i x j3 12
r ra r x x x x⋅ ′ = − + +3 45 3 2
( )W x x x x dx= − + + =−∫ 3 4
1
3
5 3 2
1
0
Slika uz P9.
XII. Polja u ravnini 212
P10. Izra~unaj tok polja r r ra x i y j= + 2 kroz luk parabole x = 3 + 2 y − y 2
koji se nalazi u prvom kvadrantu, orijentiran normalnim vektorom r rn i= u to~ki T ( 4 , 1 ) .
Uradak. U svrhu parametrizacije za-
danog luka parabole
x = 3+ 2 y− y2 = − ( y+1 ) ( y− 3 )
odaberimo promjenljivu y za
parametar i po formuli (38)
izra~unajmo tra`eni tok :
( )r r rr y y i y j
y= + − + →3 2 0 32 ,
( )exa y i x j y i y y jr r r r r= − + = − + + −2 2 23 2
r r r′ = − +r y i j( )2 2
exa r y y yr r⋅ ′ = − + +2 3 2 33 2
( )Φ = − + + =∫ 2 3 2 363
2
3 2
0
3
y y y dy
P11. Koliko iznosi rad polja sile ra grad
xy
x y=
− od to~ke A ( 3 , 1 ) do
to~ke B ( 5 , 2 ) du` bilo koje spojnice C (A ,B ) u njegovom
podru~ju? Vidi i Z30.
Uradak. Primijenimo formulu gradijenta (43) :
gradxy
x yds
A B −⋅ =
⋅−
−⋅−
=∫5 2
5 2
3 1
3 1
11
6C ( , ).
P12. Greenovom formulom izra~unaj ophod polja r ra xy j= du` pozitivno
orijentirane zatvorene krivulje, sastavljene od dijela pravca y=4x i
luka parabole 4x=9y−y2 (vidi sliku).
Slika uz P10.
6. Primjeri 213
Uradak. Prema Greenovoj formuli (44),
W a ds rot a dS= ⋅ = ∫∫∫r r
S CC ( ),
ra~unat }emo integral polja rot a yr=
po podru~ju S(C) obrubljenom
zadanom krivuljom C :
W rot a dS
y dy dx
y
y y
= =
= =
∫∫
∫ ∫
−
r
S C( )
.
0
8
4
9
4
2
256
3
P13. Greenovom formulom izra~unaj optok polja r r ra x i y j= +3 3 kroz
unutarnju stranu kru`nice x2+y2=R2 .
Uradak. Prema Greenovoj formuli (45),
Φ = ⋅ = −∫∫∫r ra ds diva dSn
S CC ( ),
treba ra~unati integral polja
diva x yr= +3 2 2( ) po sredi{njem
krugu S(C) polumjera R.
Prije|imo na polarne koor-
dinate ϕ i ρ :
x y dS d d= = =ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρcos , sin ,
divar= 3 2ρ
Φ = − = − = −∫∫ ∫ ∫diva dS d dR
Rr
S C( )3
3
20
2
3
0
4
ϕ ρ ρπ
π
P14. Poka`i da Iz Greenove formule (44) slijedi Greenova formula (45).
Slika uz P12.
Slika uz P13.
XII. Polja u ravnini 214
Uradak. Vrijede jednakosti :
r r r ra ds exa ds rot exa dS diva dSn⋅ = ⋅ = =∫ ∫ ∫∫ ∫∫C C S C S C( ) ( )
P15. Doka`i da Greenova formula (44) vrijedi za podru~je nalik
kru`nom vijencu, gdje je ve}a krivulja pozitivno orijentirana, a
manja negativno.
Uradak. Neka je zadano podru~je S obrubljeno pozitivno orijentiranom
krivuljom C1 i negativno orijentiranom krivuljom C2. Treba poka-
zati da je
r r ra ds a ds rot a dS⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫∫C C S1 2
.
Rastavimo podru~je S
na jednostavno povezana
podru~ja S1 i S2 (vidi sliku)
za koja vrijedi formula (44):
r ra ds rot a dS⋅ =∫ ∫∫C S S( )1 1
, r ra ds rot a dS⋅ =∫ ∫∫C S S( )2 2
.
Zbrajanjem ovih dviju formula dobivamo
r r ra ds a ds rot a dS⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫∫C S C S S( ) ( )1 2
,
a odatle slijedi i tra`ena jednakost jer zbrajanjem
C S C C( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 2 1∫ ∫ ∫ ∫ ∫= + + +
A B B C C D D A
i
C S C C( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2 1 2∫ ∫ ∫ ∫ ∫= + + +
B A A D D C C B,
izlazi
C S C S C C( ) ( )1 2 1 2∫ ∫ ∫ ∫+ = + .
(38) (44) (17)
Slika uz P15.
6. Primjeri 215
P16. Provjeri potencijalnost i odredi skalarni potencijal polja r r ra x i j= +3 u podru~ju x> 0 .
Uradak. Podru~je polja ra je poluravnina, dakle jednostavno povezano.
Budu}i da je i
rot a x y
x
r= =
∂∂
∂∂
3 1
0 ,
polje ra je potencijalno.
Jedan skalarni potencijal ϕ0 polja ra odre|ujemo po formuli
XI(4) kao u XI.P1:
( )ϕ 00
1 1 1
0
1
1 1 13 2( )T a ds x x t y dt x x y
T
= ⋅ = + = +∫ ∫r
,
a tada sve potencijale polja ra predo~avamo u obliku
ϕ ϕ= = + +( , )x y x x y C2 .
P17. Provjeri da je polje r r ra
y
xi
xy
xj= − +
+2
2 1 bezvrtlo`no ( rot a
r= 0 ) i
neposredno prona|i njegov potencijal.
Uradak. Podru~je polja ra (ravnina bez osi Y) nije povezano. Budu}i da
je
rot ar= 0 ,
mo`e se tra`iti skalarni potencijal polja ra u svakoj jednostavno
povezanoj poluravnini x > 0 i x < 0 .
Jednad`ba grad aϕ =r
s nepoznatim potencijalom ϕ u
koordinatnom obliku predstavlja sustav djelomi~nih diferencijalnih
jednad`bi:
∂ϕ∂
∂ϕ∂
x
y
x
y
xy
x
= −
=+
2
2 1 .
XII. Polja u ravnini 216
Iz prve jednad`be sustava slijedi
ϕ = − = +∫y
xdx
y
xf y
2( ) ,
a odatle djelomi~nim deriviranjem po y i uvr{tavanjem ∂ϕ∂ y
u
drugu jednad`bu slijedi
′ =f y y( ) 2 dakle f y y C( ) = +2 .
Skalarni potencijali polja ra su
ϕ = + +y
xy C2 .
P18. Provjeri solenoidalnost i odredi vektorski potencijal polja
rr r
ai x j
x y=
+
−
2
2.
Uradak. Podru~je polja ra je dio ravnine za koji je y<x
2, dakle
jednostavno povezano. Zadovoljen je i uvjet
divaP
x
Q
y
r= + =∂∂
∂∂
0 ,
pa je polje ra solenoidalno.
Djelujemo li operatorom −ex na formulu (47),
ex grad aϕ =r
,
dobit }emo vektorski potencijal rΦ polja
ra :
r rr r
Φ = = − =−
−grad exa
x i j
x yϕ
2
2.
P19. Uvjeri se da je polje r
r r
ay i x j
x y=
− +
+ −2 2 1 bezizvorno ( diva
r= 0 ) i
neposredno prona|i njegov vektorski potencijal.
7. Zadaci 217
Uradak. Podru~je polja ra (ravnina bez jedini~nog kruga) nije
jednostavno povezano. No, kako je
divar= 0 ,
ima smisla potra`iti vektorski potencijal polja ra .
Jednad`ba ex grad aϕ =r
s nepoznatim poljem ϕ u
koordinatnom obliku jest sustav djelomi~nih diferencijalnih
jednad`bi :
∂ϕ∂
∂ϕ∂
y
y
x y
x
x
x y
=+ −
=+ −
2 2
2 2
1
1
.
Iz prve jednad`be sustava slijedi
ϕ =+ −
= + − +∫y
x ydy x y f x
2 2
2 2
11 ( ) ,
a odatle djelomi~nim deriviranjem po x i uvr{tavanjem ∂ϕ∂ x
u
drugu jednad`bu slijedi
f(x)=C .
Vektorski potencijal polja ra je
rΦ = + −grad x y2 2 1 .
7. Zadaci7. Zadaci7. Zadaci7. Zadaci
Z1. Odredi i nacrtaj podru~je sljede}ih polja :
a) ϕ ( , ) sinx y xx y
= −+
arc1
b) ϕ ( , )x yxy
x y=
− 23
c) r r ra x y x y i y x j( , ) ln( )= − − + −16 2 2 2
d) r r ra x y x y i x y j( , ) cos= − + +2 24 arc
XII. Polja u ravnini 218
Z2. Prona|i razinske krivulje sljede}ih polja:
a) ϕ ( , )x y x= 3 b) ϕ ( , )x y x y= +2 24 c) ϕ ( , )x yx y
= −2 2
9 4
Jesu li ti poznate krivulje? Koje?
Z3. Za polja iz prethodnog zadatka izdvoji razinsku krivulju koja prolazi to~kom: a) T(−3, 50) b) T(0, 3) c) T(0, −2)
Z4. Koje su krivulje sastojnice razinske krivulje polja
ϕ=y3−x2y+ +3x2−3y2+y koja prolazi to~kom T ( , )10 3 ?
Z5. Mogu li se dvije razinske krivulje skalarnog polja sje}i ili tangirati?
Z6. Odredi vektorske krivulje sljede}ih polja:
a) r ra x y x j( , ) = 3 b)
r r ra x y xy i y j( , ) = −2 2
c) r r ra x y i y j( , ) ( )= + +2 6 d)
r r ra x y y i x j( , ) = +
Z7. Za polja iz prethodnog zadatka odaberi vektorsku krivulju koja prolazi to~kom : a) T(−3, −7) b) T(9, −2) c) T(0, 4) d) T(2,−3)
Z8. Odredi kanonsku jednad`bu obitelji vektorskih krivulja polja r r ra xy i y x j= + −2 2 2( ) .
Z9. Izra~unaj usmjerenu derivaciju polja ϕ = −x xyln u to~ki T(2, −3)
u smjeru vektora rs koji s vektorom
ri tvori dvostruko ve}i o{tri
kut nego s vektorom rj .
Z10. Izra~unaj usmjerenu derivaciju polja r r ra x y i y j= − 2 u to~ki
T(24, 4) u smjeru vektora rs koji s vektorima
ri i
rj tvori
jednake tupe kutove. Koja se koordinata polja ra u smjeru
rs u
to~ki T po apsolutnoj vrijednosti br`e mijenja?
Z11. Odredi razinske krivulje derivacije polja ϕ =x
y u smjeru
r r rs i j= +5 2 . Prolazi li koja od njih ishodi{tem?
7. Zadaci 219
Z12. Izra~unaj po odredbi derivaciju polja r r ra i x y j= − 3 u smjeru TA u
to~ki T(−2, 2), gdje je A(1, 6).
Z13. Izra~unaj po odredbi derivaciju polja ϕ = x u smjeru vektora rs
koji s vektorima 3ri i −2
rj tvori jednake o{tre kutove. Je li
∂ ϕ∂ s
dy
dx= za y x= ? Zbog ~ega?
Z14. Odredi smjerove najve}e brzine promjene polja ϕ = xy 2 u to~ki
T(−1, 2) i izra~unaj te najve}e brzine promjene.
Z15. Prona|i to~ke u kojima je derivacija poljar r ra x y i x y j= − +( )2 2 u
smjeru vektora r r rs i j= −2
a) kolinearna s vektorom rs b) okomita na vektor
rs
Z16. Je li vektor r r rc i j= −2 okomit na krivulju xy y x2 4 2+ = cos u
to~ki T(0, 2)?
Z17. Odredi jedini~ne tangentne i normalne vektore kubne parabole y=x3 . Nacrtaj sliku.
Z18. Izra~unaj derivaciju polja ϕ = −1 2x y u smjeru vektora rn u
to~kama kru`nice x2+y2=4 , ako je
rn vanjski normalni vektor
kru`nice. Koliko iznosi ( )∂ ϕ∂ n
3 1,− ?
Z19. Izra~unaj derivaciju polja ϕ=xy u smjeru rs u to~kama elipse
x
a
y
b
2
2
2
21+ = , ako je
rs tangentni vektor pozitivno orijentirane
elipse. Izra~unaj ∂ ϕ∂ s
a( , )− 0 .
Z20. Za polje ( )r r ra xy i x y j= − +3 2 2 i to~ku T(−1, 3) izra~unaj exa
r i
exa Tr( ) .
Z21. Doka`i formulu (5) : ( ) ( ) ( )exa b ex c b a c c a br r r r r r r r r
⋅ = ⋅ − ⋅ .
XII. Polja u ravnini 220
Z22. Za polje r r ra xy i x y j= +3 3 i to~ku T(1, 3), izra~unaj :
diva T rot a T grad diva T grad rot a Tr r r r( ), ( ), ( ) ( )i .
Z23. Doka`i formulu (24) : ∆r r ra grad diva ex grad rot a= + .
Z24. Izra~unaj hod polja r ra x j= du` luka krivulje y=1−x+x3 od to~ke
A(2, 7) do to~ke B(1, 1).
Z25. Izra~unaj ophod polja r ra y i= du` negativno orijentirane zatvorene
krivulje, sastavljene od lukova kubnih parabola y=x3 i x=y3 za 0≤x≤1 .
Z26. Izra~unaj tok polja r ra x j= 2 kroz luk hiperbole y
2−x2=1 odsje~en
pravcem y = 2 , orijentoran normalnim vektorom r rn j= u vrhu
T(0, 1).
Z27. Izra~unaj optok polja r ra y i= kroz unutarnju stranu zatvorene
krivulje, sastavljene od lukova kubnih parabola y=x3 i x=y3 za −1≤x≤0 .
Z28. Koliko iznosi [ ] [ ]W a exar r
+ Φ za bilo koje polje ra i bilo koju
orijentiranu krivulju?
Z29. Koliko iznosi rad polja ra grad
y=
1 du` pravca od to~ke A(10, 4)
do to~ke B(11, 5)? Koliki je rad polja ra du` bilo koje spojnice
C(A , B) u njegovom podru~ju?
Z30. Mo`e li se formulom gradijenta izra~unati rad polja ra grad
xy
x y=
− od to~ke A(3, 1) do to~ke B(1, 3)?
Z31. Provjeri valjanost Greenove formule (44) za sljede}a polja i pozi-tivno orijentirane zatvorene krivulje :
a) r r ra x y i x j= −2 3 , C je rub trokuta odre|enog s x = 1 , y = 0 i
x+y=4 b)
r ra y i= , C je kru`nica x
2 + y 2 = 9
7. Zadaci 221
Z32. Provjeri valjanost Greenove formule (45) za sljede}a polja i pozitivno orijentirane zatvorene krivulje :
a) r ra y j= 2 , C je sastavljena od lukova parabola y=x2 i x=y2
b) r ra r= , C je sastavljena od lukova krivulja y=x2+2 i y=x4
Z33. Provjeri valjanost Greenovih formula za polje r ra x y i= 2 i kru`ni
vijenac odre|en kru`nicama x2 + y 2 = 4 i x 2 + y 2 = 1 , gdje je ve}a
kru`nica pozitivno orijentirana, a manja negativno.
Z34. Greenovom formulom izra~unaj rad polja sile r r ra y i x j= +2 7 du`
pozitivno orijentirane kru`nice x2 + y 2 = R 2 .
Z35. Greenovom formulom izra~unaj ophod polja r r ra y x i x y j= +
du` negativno orijentiranog ruba pravokutnika s vrhovima A(1, 1),
B(4, 1), C(4, 3) i D(1, 3).
Z36. Greenovom formulom izra~unaj ophod polja r ra x j= 2 du` pozitivno
orijentirane zatvorene krivulje, sastavljene od lukova krivulja
y = ln x , y=0 i x=e .
Z37. Greenovom formulom izra~unaj ophod polja r r rv x i xy j= −3 du`
negativno orijentirane prve latice “ru`e s ~etiri latice” koja ima
jednad`bu u polarnim koordinatama ρ ϕ= asin 2 .
Z38. Greenovom formulom izra~unaj optok polja
r r ra
x
y
x
yi
yy j= −
− +
2
2
7ln kroz negativno orijentiranu zatvorenu
krivulju, sastavljenu od lukova krivulja x y = 1 i 2 x + 3 y = 7 .
Z39. Poka`i da je optok polja r rv r= kroz pozitivno orijentiranu
jednostavno zatvorenu krivulju C jednak dvostrukoj plo{tini lika
S(C) ome|enog krivuljom C.
Z40. Izra~unaj optok polja r rv r= kroz pozitivno orijentiranu srcoliku
krivulju (kardioidu) ~ija jednad`ba u polarnim koordinatama glasi
ρ ϕ= +a ( cos )1 .
XII. Polja u ravnini 222
Z41. Izra~unaj plo{tinu elipse s poluosima a i b.
Z42. Poka`i da Greenove formule (45) slijedi Greenova formula (44).
Z43. Doka`i da Greenova formula (45) vrijedi za podru~je s dvije rupe, gdje je ve}a krivulja pozitivno orijentirana, a dvije manje
negativno.
Z44. Ispuni to~kice rije~ima tako da proizvedena re~enica bude poznati
pou~ak: Za podru~je S vrijedi formula (44) onda i ... .
Z45. Provjeri potencijalnost i odredi skalarni potencijal sljede}ih polja :
a) r r ra y i x y j= + −( )2 b)
rr r
ai j
x y=
+
+ c)
rr r
ay i x j
x y=
+
−1 2 2
Z46. Provjeri solenoidalnost i odredi vektorski potencijal sljede}ih polja :
a) ( )r r ra xy i x y j= + −3 22 3 b)
rr r
ax i y j
x y=
− +
− 2 c)
rr r
ai j
y x=
+−
Z47. Odredi skalarni potencijal bezvrtlo`nih polja :
a) r r ra
yi
x
yj= −
12 b)
rr r
ax i y j
x y=
+
+ −2 2 4
c) r r ra y i y x y j= + −cos (cos sin )
Z48. Odredi vektorski potencijal bezizvornih polja :
a)
( )r
r r
ay i x j
x y
=−
+
2 2
2 22 b)
rr r
ay i x j
x y= −
+
−
cos cos
(sin sin )2
c) ( )r r ra y xe i y e jxy xy= − +2
223
Rje{enja i upute
I.
1. a) {(x, y, z)−1≤ x ≤ 1 , y> −x} b) {(x, y, z)z ≠ x2+ y
2}
2. a) {(x, y, z)x 2 + y2 ≤16, x<y
2} b) {(x, y, z)x 2 ≥y 2 +z2, 0≤y+z≤1}
3. a) R3 \{(0, 0, 0)} b) {(x, y, z)x 2 + y2 + z
2 ≤1}
4. a) R3 \{(0, 0, 0)} b) {(x, y, z)4≤x 2 + y2 + z
2 ≤9}
5. a) Jest: ϕ=cos r−r2 b) Nije, zato {to x2 nije sferno polje:
kad bi bilo x f r f x y z2 2 2 2= = + +
( ) , tada bi za sve to~ke
sfere x2+y2+z2=R2 vrijedilo x
2= f(R) c) Jest: ϕ=r2 ln4
6. a) Jest: r ra
rr=
12
b) Jest: r ra rr= 3
2
c) Nije, zato {to r r ri j k+ + nije sferno polje: kad bi bilo
r r ri j k+ + =
( )= = + +
+ +f r r f x y z x i y j z k( )
r r r r2 2 2 , tada bi slijedilo da su
x, y i z sferna polja x y zf r
= = =
1
( )
7. a) ϕ ( , , )x y zx y z
=+ −5 8 6
6
b) r r r ra x y z x i y j z k( , , ) = +
+ −
+ −
2
3
5
3
5
3
8. ϕ ( , , )x y z y z= + + 4
9. r r ra x y z x z i y z j( , , ) ( ) ( )= + + −2 2 3 Uputa: Vidi P6.b
( x x y y x y z z1 1 1= + = − + =cos sin , sin cos ,α α α α )
10. a) ϕ ( , , ) ( )x y z y z1 1 1 1 122 3= − − − −
b) r r r ra x y z z i y j x k( , , ) ( ) ( ) ( )= − + + − − +3 1 2 2
11. a) Nema ekstrema b) ϕ (2, 0, 1)=−8 minimum
ϕ (0, −2, 3)=4 maksimum
12. T(1, 2, 0), r r r ra T i j k( ) = − +2 2
Rje{enja i upute 224
13. a) x2+y2+z2=1 b) y=x2 , z=2x−3
14. x t y t t z t t= − = − = − <, , ,3 03 ; Ne postoje Uputa: r ra tc=
15. a) x=C (ravnine okomite na os X)
b) z=y3+C (valjci okomiti na ravninu YZ)
c) x2+y2−z2=C (jednokrilni hiperboloidi za C>0 , dvokrilni za C<0 ,
sto`ac za C=0
16. a) x=3 b) z=y3+10 c) x2+y2−z2=12 17. e x+e z=2
18. Ravnina x=2 i valjak x=z2+1 19. T nije u podru~ju polja ϕ
20. r=1 nije, r=2 jest 21. Ravnine okomite na vektor rc
22. a), b) Ravnine okomite na vektor r r rc a b= ×
c) Ravnine okomite na vektor r r rc a b= × koje prolaze to~kama zrake
odre|ene radius-vektorom vektora rc :
r rc r C C⋅ = ≥, 0
23. a) x C
z C
=
=
1
2
, C1 0≠ b)
y C
zC
x
=
=
1
2
2
, x≠0
c) y C e C e
z C e C e x
x x
x x
= + −
= − −
−
−
12
22
12
22
3
2 2 12 d)
xz
C
y C ez
C
z
= + −
= − −
2
1
22
2
1
21
2
2,
24. a) x
z
= −
=
3
5 b)
y
zx
=
=
1
362
c) y e e
z e e x
x x
x x
= + −
= − −
−
−
5 2 3
10 4 12
2 2
2 2 d)
xz
yz
= +
= − −
2
2
22
23
25. ( )r r r rr x i x j e k x z ex= + + + = =− −2
1 131 3; ,
26. a) ( )r r r rr y C i y j
yC k= + + + +
sin 1
2
22
, y
C2
22
0+ ≠
Rje{enja i upute 225
b) ( ) ( )r r r rr z C C i z C j z k= + +
+ + +22
3
12
2 , z ≠ 0
27. a) Pravci usporedni s vektorom rc b) Zrake iz neutralne to~ke T(
rc )
28. r r r rr R t i R t j H k= + +cos sin , R>0 , t m≠ π ili t m≠ +π π
2 za m ∈ Z; Na
osi Z
29. a)
p2−4q<0 ; p
2−4q=0, p<0; p2−4q>0, r1≤0, r2>0 ; p2−4q >0, r1,2>0
p2−4q=0, p≥0 Nulto~ke funkcije f (r)=r2+pr+q
p2−4q>0, r1,2≤0 ozna~ene su s r1 i r2
b) Uputa: Promatraj vektorske krivulje polja 1
abr
, stavi pb
a= i q
c
a=
II.
1. a) ( )∂ ϕ∂ s
x xz y= + −3
72 122 sin b) ( )∂ ϕ
∂ sx xz y= − + −
3
72 122 sin
2. Vrijednost polja ϕ u okolini to~ke T u smjeru rs :
a) rastu jer je ∂ ϕ∂ s
T( ) = >2
30 b) padaju jer je
∂ ϕ∂ s
T( ) = − <2 0
c) rastu, a u suprotnom smjeru padaju jer je ∂ϕ∂ s
t t t( , , )2 3 2 4 118
5+ + =
3. a) ∂∂
rr r ra
s
y x
yi
zj
z xk=
−+ +
−4
6
4
3
2
3
( )
b) ∂∂
rr r ra
s
x y
yi
zj
x zk=
−− +
−4
6
4
3
2
3
( )
Rje{enja i upute 226
4. ∂∂
rr ra
sT i j( ) = +30
1
5: najbr`e se mijenja P=−xyz , a najsporije R=x2
5. ( )r r r rr
r rs i j k
a
sT j k= − + = − +, ( )
∂∂
3
186
6. ( )r r r r r rr
r r rs c d i j k
a
s
z xzi
x yj
z yzk= + = + − =
−−
++
−0 02 3 21
32
2 2
6
2
6
3
6,
∂∂
7. ∂∂
∂∂
r
sr s r
r
ss
20 0 02= ⋅ =
r rr
r, Uputa: Vidi P8
8. ∂
∂f r
sf r s r
( )( )= ′ ⋅
r r0 0 Uputa: Pro{iri s (r1−r) (r1+r)
9. ∂ ϕ∂ s
T( )sin
,= − =20 11 30
115 96 Pazi: sin 30 = sin 30 rad = − 0,99
10. ∂ ϕ
∂f
s
y z
xy
xy
z
xy
z
( )=
−−
4 3
5 2
11. a)∂ ϕψ
∂∂ ϕ∂
ψ ϕ ∂ψ∂
( )
s s s= + b)
( )∂
∂∂∂
∂∂
r rr
r rr
a b
s
a
sb a
b
s
⋅= ⋅ + ⋅
13. ∂∂
rr r ra
sT i j k( ) = − − +2 12 16 14. Uputa: Vidi P9
17. c=−2 18. ∂ ϕ∂ s
yz x
x z=
−
+
2 4
2 2 19.
∂ ϕ∂ s
P Q R s= + + =2 2 2
20. r
rr r r
sdr
dti j t k
st
t t t
t s= = + + =
+
+− = −2
2 4
4 21
2
3
2
2, ( ) , ( )
∂ϕ∂
∂ϕ∂
Uputa: Vidi P14
21. r r r r
rr r
r T t i t j sdr
dtt i t j
st t( ) cos sin , sin cos , ( ) sin ,= + = − = − =
∂ϕ∂
2 ∂ϕ∂
πs 3
3
2
=
22. t y r t t i t j t k= − = − + − −1 1 12 2: ( ) ( ) ( )r r r r
, r
rr r r
sd r
d tt i j t k= = − − −2 2
∂ ϕ∂ s
tt t t
t( )
( )( )=
− −
+
2 1 1 2
8 12
; A B C( , , ), ( , , ), , ,1 1 0 0 0 13
4
1
2
1
4− −
Rje{enja i upute 227
23. x2+y2−z2=−1 24. a) A B( , , ) , , ,0 0 0 3
27
2
3
2
b) Os Y
25. x y= =5
25, 26. 3x2−z+1=0 Uputa:
∂∂
rra
sn⋅ = 0
27. 3 3 12 2x y y z+ = − =, ; Ne postoje Uputa: ∂∂
αr
ra
sc= ; α = >
3
290
III.
1. grad y z ixy
y zj
xz
y zkϕ = − +
−−
−2 2
2 2 2 2
r r r, grad T i jϕ( ) = −4 2
r r
2. arccos17
17= 1,33rad
3. ( )r r r rs grad T i j k
sT grad T= = − + − = =ϕ ∂ ϕ
∂ϕ( ) , ( ) ( )6 3 3 2 6 22
4. ( )r r r rs grad T i j k
sT grad T= − = − − + = − = −ϕ ∂ ϕ
∂ϕ( ) , ( ) ( )
3
123 2
42
12
5. ( )ϕ ϕϕ
= − = ± = ± − −xy yz ngrad T
grad Ti j k2 3 02
41
412 6,
( )
( )
r r r r
6. S unutarnje 7. A(2, 1, −2), B(−2, 1, −2)
Uputa : ϕ ϕ α= − = ≠x y z grad a2 0,r
8. ( )grad c r cr r r
⋅ = 10. grad ffgrad
fgrad( , )ϕ ψ ∂
∂ ϕϕ ∂
∂ ψψ= +
12. ( ) ( )t z r t t i t t j t k= + = + + + −2 22 4 2: ( )r r r r
, r r r rn t i j t k= − + −2 22
∂ ϕ∂ n
tt t
t( )
( )=
−+
2 4
2 12, A(0, 0, −2), B (16, 272, 2)
13. a) divax
yyz
r= − − 2 b) diva
z
y
x
yz
r= +1
2 2
Rje{enja i upute 228
rot a z i j y kr r r r
= − + −2 ln rot ax
y z
y
zi
yzj
r r r= −
+
2
1
2
1
14. Jesu : diva rota ir r r
= =1 , 15. a) 3 2y jr
b) 1
zi y kr r
− sin
17. Jest 18. Jest 19. a) rot a rot br r
= b) diva divbr r
=
24. a) 5 0rr b) 15 c) r0 25. a)
2 0
rrr
b) 2 32 2 2r r rcos sin+ c) r0
26. a) ( ) ( )r r
rr
42
4
2
01 11 1+ − r
b)
r rc r
r r
0 0
2 1
⋅
−
c) 2 22 2 2cos( ) ( )sin ( )r r r r r r
r
+ − + +
28. diva c r rot a c rr r r r r r
= ⋅ = ×4 , 29. a) ′′ + ′f rrf r( ) ( )
2 b)
r0
30. Jest, zato {to je rot f r r( )r r
= 0 c) ′′ + ′
f rrf r r( ) ( )
4 r
31. Za konstante 32. a) f r C r r( ) = + − 2 b) f rC
r r
r( ) = + +
3 2
21
5
33. a) f r g r d r( ) ( )= ∫ b) f rr
r g r d r( ) ( )= ∫13
2
34. a) f r C( ) = b) f rC
r( ) =
3 35. f y C e yy( ) = + +1
36. f x C x g z D z( ) , ( ) ln= + = −6 6 37. x=3y2+z2
38. r r r rr z i z j z k= + +
3
2
7
3
2
3 39. x y z
diva x1
1
0 01 0 5=
+= − =, ( , , )
r
40. x y z
rot a z i j−
=−
= = +2
0
2
0 12 2 2 4, ( , , )
r r r
IV.
1. a) grad grad rot aϕ ϕψ ϕ− +( )r
b) div a diva a grad( )ϕ ψ ψr r r+ − ⋅
Rje{enja i upute 229
c) rot a b grad diva rot rot b( )r r r r
× − −
2. a) r r r r ra a a a a× ∇ + ∇ ⋅ − × ∇ ×( ) ( ) ( )ϕ
b) ( )[ ] ( )[ ]ϕ ψ ϕ( )∇ + ∇ ∇ ⋅ − ∇ × ∇ × ∇ ×r ra a
c) ( )[ ] ( )[ ]{ }∇ ⋅ ∇ ⋅ + ⋅ ∇ ⋅ ∇ ×r r r r ra b b a b
3. a) ϕ ψ ∂∂
ϕgrad ab
aa grad+ + ×
rr
b) r r ra rot b b grad⋅ − ⋅ ϕ
4. a) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ ϕ ϕ∇ +⋅∇
− × × ∇
r r
r rb a
ba b b)
( ) ( ) ( )r
r r ra
aa a b
⋅∇+ × ∇ ⋅ −
ϕ
5. Jest, zato {to je operator div linearan 6. ( )[ ] ( )[ ]ϕ ϕr r r ra b a b⋅∇ = ⋅∇
7. ra ⋅∇ djeluje na skalarna i vektorska polja; ϕ ∇ i
ra × ∇ djeluju na
skalarna polja, a preko in i ex-produkta na vektorska
8. a) aa
∂ ϕ∂
b) ab
a
∂∂
r
9. a) ϕ ψgrad b) ϕ divar
c) ϕ rot ar
10. a) ra grad× ϕ b)
r ra rot b⋅ c)
r rr
r ra rot b a
b
aa divb× + −
∂∂
11. a) ( )ϕ grad b rot a a rot br r r r
⋅ + ⋅ b) ( )r r r ra b div a b⋅ ×
12. ∇ djeluje na rv , a ne djeluje na
r ra bi ; ( )[ ] ( )[ ]∇ + ⋅ − + ⋅∇
r r r r r ra b v v a b
13. a) ( ) ( )r r r rb a b a⋅∇ + × ∇ × b) ( )r r
b a⋅∇
14. a) ( ) ( )ϕ ψ∇ ⋅ + ∇ ⋅r ra b b) ( ) ( )ϕ ϕ ψ∇ ⋅ + ⋅ ∇
r ra b c) ( )( )ϕ ψ+ ∇ ×
ra
15. Uputa : ( )∇ × ×r ra b rastavi po pravilu (27)
17. a) ra
rr rot a
∂∂
rr r
+ × b) ra
rr diva
∂∂
rr r
− c) f r r rot a( )r r
⋅
18. a) ra b) 2
ra c) 0
23. Uputa : ( )( ) ( )[ ] ( )[ ]ro
ro o
rs p q s p q p s q0 0 0⋅∇ = ⋅∇ + ⋅∇
Rje{enja i upute 230
V.
1. ( )
∆ϕ =+
+ + +2
3
2 2
3 3
x y z
x ye x y z 2. ( )∆ r r r
a x xy j z k= + −2 6 23 2
3. ∆ϕ ( )T = 30 4. ∆r r r ra T i j k( ) = − −
1
1612
1
16
5. a) T( 1, 0, −2) b) y=3 6. a) x=3z , y=0 b) z=3x2+3y
2
7. a) grad grad div gradϕ ψ+ b) grad div grad rot rot rot aϕ +r
c) rot rot a rot rot rot br r
−
8. a) ∆ ( ) ( )( )ϕ ψ ϕ ψ+ = ∇ ⋅∇ + b) ∇ − = ∇ − ∇ ⋅∇ϕ ϕ∆ r ra a( )
c) ∆r r r rb a b a− ∇ × = ∇ ⋅∇ − ∇ ×( )
9. Jest, zato {to je operator div grad linearan 10. Bezizvorno i bezvrtlo`no
12. ∆ ∆( )ϕ ϕ= divgraddivgrad , ( )∆ ∆r r ra graddivgraddiva rot rot rot rota= +
13. Jesu 14. Jesu 18. Uputa : ( )[ ]∇× ⋅r r ra b v∆ rastavi po pravilu IV(∇B)
19. a) ( )21 2 2 2 22
r
r r− −ln ln b) 1023
−
rrr
20. a) ( )∆ r rr r
r− = −4 23
420 b) ( )∆ ln r r
rr
r r=32
21. a) f rr r C
rC( ) = + +
4
63
31
2 b) f rC
rC( ) = +1
3 2
22. a) f rr
r g r dr dr( ) ( )=
∫∫
12
2 b) f rr
r g r dr dr( ) ( )=
∫∫
14
4
VI.
1. W x dx= − =−
∫ ( )4 3 25
2
3
2. W z z z dz= − + =−
∫ ( )18 122
3
3 2
1
1
3. −8 4. 64
3 Uputa:
r r r rr t i t j k= + +2 4 2ch sh , 0 1
t → ar sh 5. 145
4
Rje{enja i upute 231
6. W W W= + = − + = −1 2
15
23
9
2 7. W W W W= + + = − − + = −1 2 3 16 8 12 12
8. −πab Uputa : r r rr a i b j= + + →( cos ) sin ,ϕ ϕ
π πϕ2
2
3
2
9. W W WR R
R= + = − +−
= −1 2
2 22
2
2
2
π π( )
10. 9 2 π Uputa : r r r rr i j k= + +
3 2
2
3 2
23sin sin cosϑ ϑ ϑ , 0 2
ϑ π →
11. 9 12. 21
4 13. f r r ds f r r t ds
t( ) ( )
:
r r r
r ⋅ = ⋅ =∫∫ 0 00
CC
jer su rr i
rt me|usobno okomiti
14. r r r
r c ds c t dst⋅ = ⋅ =∫∫ 0 0
0CC :
jer za bilo koji s obzirom na sredi{te
simetri~an par T1 i T2 to~aka kru`nice C, vrijedi : r r r rt c t c10
20⋅ = − ⋅
15. f r r ds f r r dr
r
r
A
B
A
B
( ) ( ) ;r⋅ = ∫∫ 0 16. −8π 17. 4π 18. 18π
19. −45π Uputa: r r r rr i j k= − + + −( cos ) sin ( cos )3 2 3 4 3ϕ ϕ ϕ , 0 2
ϕ π →
20. 0 21. 4 23e + 22. −12π 23. −270
24. −1
2 25. −
3
2 26. C2 27. 0
28. 2 6 2 2 3+ −ln( ) Uputa : r r r rr x i x j x k
x= + + − − → −2 1 1 22 ,
2 6 2 3− ar sh r r r rr t i t j t k= − − +ch ch sh2 , 0 3
t→ ar sh
29. −πc2
30. −8π Uputa : r r r rr i j k= + + + +cos ( sin ) ( sin )ϕ ϕ ϕ2 1 4 5 , 0 2
ϕ π →
31. 2
15 32. 4
32
3
20
3− = − Uputa : C1 :
r r rr x i x k
x= + − →( ) ,4 2 2 0
C2 : ( ) ( )r r r rr x i x x j x k
x= + − + − →2 4 0 22 2 ,
C
Rje{enja i upute 232
33. W x e dx x e dxe
x x= = = −+ +
=−
→∞
∞−
→∞∫ ∫2
0
22
0
22 2
2lim limβ β β
ββ β
34. Wydy
ydy= = = −
= ∞
→ + → +∫∫1 1 1
12 0 2
1
00
1
lim limα
αα α
35. Uputa : x e y=
VII.
1. a) − + +1
31 4 2( ln )z x b) − + −
2
101 6 5( ln )z x c)
2
104 6 5( ln )+ −z x
2. 214
7 3. −
3 13
13 4. 0 5. goph a goph bn n
r r= 6. 0
7. ( )r r r r r rn rot a T i j goph a T rot a Tn= = + = =( ) , ( ) ( )4 3 2 4 13
8. r r r r r rn rot a T i k g oph a T rot a Tn= − = − = − = −( ) , ( ) ( )5
1
3
226
3
9. grad cϕ ×r
10. Jest Uputa : goph a rot an
r r≤
11. Zato {to suprotnim poljima pripadaju suprotni krivuljni integrali du`
iste krivulje
12. Zato {to suprotno orijentiranim krivuljama pripadaju suprotni
krivuljni integrali istog polja
13. goph a x y zn ( , , )0 0 0 =
[ ]=
+ − + +
= −→
∫lim
cos ( cos ) sin ( cos )( sin )
R
z R t x R t R t x R t y R t dt
Rx z
0
0 0 0 0
2
0
2 0 0π
π
15. goph a
R t R t R t R t dt
Rn
R
r( , , ) lim
( sin cos )( cos ) ( sin )
1 1 1
1 1
3
3
30
2
0
2
2=
− + +
= −→
∫π
π
Rje{enja i upute 233
16. c=3 17. U ravninama x−z=0 i x+4y+z=0
22. ra grad C= +ϕ 23.
r r r rr z i z j z k= + +3 92 4
24. P x y z xz y f x( , , ) ( )= + +2
VIII.
1. Φ = =∫ ∫−
+
z dz dx
z
z
1
4
4
11
351
2 2. Φ = − =
− −∫ ∫9 2 0
3
0 3
dy z dz
y
( )
3. Φ = + = −− − −∫ ∫2 2 4
2
0
2
0
( )x dx y dy
x
4. Φ = − + = −∫ ∫( sin cos )2 1 8
0
2
3
0
2
ϕ ϕ ϕ ρ ρ ππ
d d
Mo`e
Uputa: r ra n⋅ = − + <ρ ϕ3 2 1 0(sin )
za ρ > 0 i ϕπ
≠3
4
5. 8 Uputa : r r r rr i j k= + +ρ ϕ ρ ϕ ρcos sin 2 ; − ≤ ≤ ≤ ≤
πϕ
πϕ ρ ϕ
2 22, cos cos
6. π 7. 108
5 8. a)
1
15 b)
1
60 9. −20π
10. −16
45 11. 0 12. 16π 13.
88
3
π
14. Φ =−
=−
=∫ ∫ ∫ ∫→ +d d d dϕ
ρ
ρρ ϕ
ρ
ρρ π
π
α
π
α0
2
2 11
5
0
2
2
5
1 14lim
15. −36π 16. 0 17. π6abc 18. 4 3π R f R( )
19. 4 π c Uputa : Primijeni rje{enje 18 na sferu polumjera R 20. 9
Ne postoji
Uputa: r ra n x y⋅ = + ≤2 2 0( )
za − ≤ ≤2 0x i y ≤ 0
Rje{enja i upute 234
21. −16
15 Uputa :
r r r rr z i y j z k= + +3 ; 0 1 0 2 2 23≤ ≤ ≤ ≤ − −z y z z,
22. 18 32
3− arcsin Uputa :
r r r rr z i y j z k y z= + + ≤ ≤ ≤ ≤1
20 3 0 23 ; ,
23. 150 45
4
+ π Uputa :
r r r rr i j z k= + +3 3cos sinϕ ϕ ; 0
20 5≤ ≤ ≤ ≤ϕ
π, z
24. Φ Φ Φ Φ= + + = + − = −1 2 3 40 81 40π π π π
25. Φ Φ Φ Φ= + + = + − =1 2 3 2 0 2 0π π
26. Φ Φ Φ= + = − + = −1 2 10 2 6 2 4 2π π π 27. Uputa : Vidi VI.P8
28. π c2
2
Uputa : r x i cx z j z k c z cz
cx c= + − + − ≤ ≤ ≤ ≤
r r r2 2
2
; ,
29. ( )4
310 10 1− Uputa :
r r r rr xi y j y x k= + + −( )4 2 2 ; 0 3 2 2≤ ≤ − ≤ ≤y y x y,
30. e
e
2 3
2 1
−+( )
Uputa : r r r rr x i z j z k z e x
z z
e= + + ≤ ≤ ≤ ≤ −
++
ln ; ,ln
1 0 11
31. 8
3 32. ( )Φ = − − = −
∫ ∫d c d c c
c
ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ ππ
0
2
3 2 2 4 3
0
1
4cos sin
33. Φ =−
=−
∫ ∫dR
d R
R
ϕρ
ρρ
ππ ϕ
0
3
2 20
36 14
9
sin
Pazi : 1 2− = ±sin cosϕ ϕ
34. −8 6 35. 8π 36. Φ = − =−
∫ ∫+ +
sin cos
sin sin
ϕ ϕ ϕ ρ
πϕ ϕ
d d
0
2
5
2 4 52
11 5 35
12
37. Φ = =∫ ∫+ −
sin
sin sin
ϕ ϕ ρπ
ϕ ϕ
d d R
R R
R
0 12
IX.
1. 3
2 2.
15
49 3. Uputa : Vidi VII.P5
Rje{enja i upute 235
5. 3 3 00
lim ( ) ( )R
f R f→
= 6. a) 15 b) −12 c) 3
7. gopt a x y zr( , , )0 0 0 =
[ ]=
+ + +
=→
∫ ∫lim
sin ( cos sin sin sin sin cos )
R
d R R x y z d
R0
0
2
3 20
20
20
0
34
3
ϕ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ ϑ
π
π π
=∫ ∫d dϕ ϑ ϑ
π
π π
0
2
0
4
3
sin
=3
9. goptar( , , )3 3 0 =
[ ]=
+ + + +
=→
−∫ ∫ ∫∫
lim
( cos ) cos ( sin ) sin
R
R
RR
d R d d R R R R dz
R0
0
2
0
2
2 2
0
3
2 3 3
2
ϕ ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π
π π
=
+
=→
−∫ ∫ ∫ ∫
limR
R
R
R
R d d R d dz
R0
0
2
0
2
0
2
3
2 6
213
ϕ ρ ρ ϕ
π
π π
11. gopt a
du e dv du e dv
RR
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
r( , , ) lim0 0 0
3 3
80 3=
−
=→
− − −
−
−∫ ∫ ∫ ∫
3
2 0limR
R Re e
R→
−−=
( )= + =→
−3
23
0limR
R Re e
14. f z z C e z( ) = − + −1 15. x=0; x=3y2−2z2
16. Pozitivni izvori su ispod, a negativni iznad valjka y=4z3
17. Izvora nema na valjku z=x2 , pozitivni izvori su izvan valjka z=x2 , a negativnih izvora nema
18. r r ra rot v c= + 19. a) r r> <1 1; b) r < 2 ili r > 3 ; 2 < r < 3
Rje{enja i upute 236
20. −15<c<0 21. Uputa : div f r r( )r je sferno polje, vidi I.P10
22. a) f rc
r( ) =
3 b) f r
c
rd( ) = +
3
2 c) f rc
rd( ) = −
3
2
23. Bezopto~no polje je bezizvorno, dok obrat ne vrijedi jer je npr. polje
r ra
c
rr=
3 bezizvorno, ali za c≠0 nije bezopto~no
X.
1. 2 3− ; Ne mo`e 2. 40 ; ϕ = + − +x y z C3 2 2
3. 3 10 Uputa : r ra r r grad r r= − = −( ) ( )2 1 0 2
4. −2 Uputa : r ra r grad r= =0
5. Ne mo`e jer nijedna spojnica C(A, B) nije u podru~ju polja ra ; Ne
konvergira
6. rot a dS dx dyn
x
x
rr ⋅ = =∫∫ ∫ ∫
−
S C( ) : 0
1
4
16
3
6 7. 4
3 8.
π R2
2
9. 3
4
π 10. −
1
12
11. Polje ra je bezvrtlo`no i njegovo je podru~je povr{inski jednostavno
povezano pa je po formuli rotora ono bezophodno
12. Ne mo`e jer nijedna nataknica S(C) nije u podru~ju polja ra
13. r
ra ds dt
⋅ = − = −∫ ∫C S( ) :cos ( sin )
02 1 2
2 2
2
0
ϕ ϕ ϕ ππ
14. −36 Uputa : C(S)=C1(S) ∪ C2(S)
15. 3 2
8
4πR Uputa :
r r r rr
Ri
Rj R k= − + →
2
2
2
20 2sin sin cos ,ϑ ϑ ϑ πϑ
Rje{enja i upute 237
16. diva dV y dy dx dz
y
y y xr
V S( )∫∫∫ ∫ ∫ ∫= − = −−
−
0
3
2
2
0
4 2 2
2592
5
17. π πc
cc
c2 2
20
20za za> − <, 18. 3
8
50
2
3
0
4
0
5
d d dR
R
ϕ ϑ ϑ ρ ρπ
π π
∫ ∫ ∫ =sin
19. − − = −− +
+
− + −
+ −
∫ ∫ ∫1128
135
4
1
1
1
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
z dz y dy dx
z
z
z y
z y
20. −120π 21. 81π
22. 54π 23. π c 4
4 24. 6
1728
50
2
0
1
0
36 1 2
d d h dhϕ ρ ρπ
π ρ
∫ ∫ ∫−
=( )
25. dx dy dzc
c
cx
cx
cx y
cx y
0
2
2
2 3
2
2
2
4∫ ∫ ∫− −
−
=−( )π
26. Polje ra je bezizvorno i njegovo je podru~je prostorno jednostavno
povezano pa je po formuli divergencije ono bezopto~no
27. Ne mo`e jer kugla V(S) nije u podru~ju polja ra
28. r r r
r ra dS a dS a dS d dn n
⋅ = ⋅ + ⋅ =+
+ =∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫S V S S( ) : :cos
1 1 2 2
2
0
2 4
2
0
3 2
10
3ϕ ϕ
ρρ
ρπ
π
29. −64
15
30. Ono je povr{inski i prostorno jednostavno povezano, a nije povezano
31. Prostor bez to~ke T i pravca p koji ne prolazi to~kom T
XI.
1. Jest jer je ra grad= ϕ
ra
b) Nije zato {to poljera nije bez-
vrtlo`no
2. a) Jest jer je polje ra bezvr-
tlo`no i jer je njegovo po-
dru~je povezano i povr{inski
jednostavno povezano
Rje{enja i upute 238
c) Jest jer je ra grad
z y x= − −
1 1 1
3. a) ϕ = − +x z y C3 2 b) ϕ = + +y x z Cln 3 2 c) ϕ = + − +x y z C2 2 2
4. a) ϕ = +x
yzC b) ϕ =
− −+
1
2 4 2 2( )x zC 5. ϕ = ∫ r f r dr( )
6. a) ϕ = − +32
rC b) ϕ = − +r r r Cln c) ϕ = − +r r r Cch sh
7. ϕ = − +c
rC 8. a) ϕ = − +5 3x z C b) ϕ = ⋅ +
r rc r C
9. Ne postoji 10. f x yx y
C( , ) = + +2 2
2 3
11. Jest Uputa : Vidi X.1(*) 12. Jest jer je r ra rot= Φ
b) Nije zato {to polje ra nije bez-
izvorno
c) Jest jer je rr
a roti
x y z=
+ +2 2 2
14. a) r r rΦ = − − +x yz j x z k grad2 3 21
2ϕ b)
r r rΦ = + −
+x y j zz
yk gradcos ϕ
c) r r rΦ = −
+ +−
+1
1 12 2x
z
yj y
x
zk gradln ϕ
15. a) r rΦ = + + − +
1
212 2 2ln x y z k gradϕ b)
r rΦ = + + +x y z j grad2 2 2 ϕ
16. a) r r rΦ = − + +3 5x j y k gradϕ b)
rr r
Φ =×+
c rgrad
2ϕ
18. Jest 19. Jest Uputa : Vidi X.2(**)
20. Nije Uputa : Po VIII.Z19 polje ra nije bezopto~no te po Z19 ne
mo`e biti solenoidalno
13. a) Jest jer je polje ra bez-
izvorno i jer je njegovo
podru~je prostorno jedno-
stavno povezano
Rje{enja i upute 239
21. Ne postoji 22. f z z C( ) tan( )= + 23. f xC
xx( ) = − 2
24. f x y xy C y C( , ) = − + +1 2 , g x zz x
C x C( , ) =−
+ +2 2
1 32
XII.
1. a) { }( , ) ,x y x x y− ≤ ≤ > −1 1 b) { }( , )x y x y≠ 2
c) { }( , ) ,x y x y x y2 2 216+ ≤ < d) { }( , )x y y x y≤ ≤ −1
2. a) x=C (pravci okomiti na os X) b) x2+4y2=C2 (elipse)
c) 4x2−9y2=C (hiperbole za C≠0, pravci 2x±3y=0 za C=0)
3. a) x=−3 b) x y2 2
36 91+ = c)
y x2 2
4 91− =
4. Hiperbola x2−y2=1 i pravac y=3 5. Ne mogu
6. a) x=C, C≠0 b) xy2=C, y≠0 c) y=Ce2 x−3 d) x2−y2=C , x≠0 ili y≠0
7. a) x=−3 b)xy2=36 c) y=7e2 x−3 d) y2−x2=5
8. (x−C)2+y2=C2 , x≠0 ili y≠0
9. r r r r rs i j i j
sT0 60 60
1
2
3
2
3 2 3
12= + = + =
+cos sin , ( )O O ∂ϕ
∂
10. r r r r r
rr r
s i j i ja
sT i j0 225 225
2
2
2
24 2 4 2= + = − − = − +cos sin , ( )O O ∂
∂
Obje se koordinate po apsolutnoj vrijednosti jednako brzo mijenjaju, prva pada dok druga raste
11. x Cy y= +25
2; Ishodi{te nije u podru~ju polja
∂ϕ∂ s
12. ∂∂
rr r ra
s
x y
x yj
t t
tj j
x y t( , ) lim
( ) ( )lim
( ) ( )
( , ) ( )− =
− −
± + + −=
− − + −=−
→ − →2 2
16
2 2
3 2 4 2 16
58
1 1 2,2
131
12
12 0
3
(x1=−2+3 t , y1=2+4 t)
Rje{enja i upute 240
13. r r rs i j
s x= − =;
∂ϕ∂
1
8 Uputa : Vidi II.P9; Nije, zbog smjera
14. r r rs grad T i j= ± = ± −ϕ( ) ( )4 ,
∂ϕ∂
ϕsT grad T( ) ( )= ± = ±4 2
15. a) yx
x=
−+
2 1
4 1 b) y
x
x=
+−
2 4
4 4
16. Jest Uputa : ϕ ϕ= − + = −xy y x grad T c2 2 4 2cos , ( )r
17. r
rr
r r
ti x j
xn
x i j
x
02
4
02
4
3
9 1
3
9 1= ±
+
+= ±
−
+,
18. ( )∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
πnt t t
n n( ) cos sin , ,= − − =
=12 3 1
5
6
9
2
2
19. ∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
πst
ab t t
a t b t sa
sa( )
(cos sin )
sin cos, ( , ) ( )=
−
+− = =
2 2
2 2 2 20
20. exa x y i xy j exa T i jr r r r r r= + + = −( ) , ( )2 23 4 27
21. Uputa : Vektore r r ra b c, i predo~i analiti~ki te posebno izra~unaj
svaku stranu formule
22. 28, −18, 3 27 9 15r r r ri j i j+ − −, 24. −
39
4 25.
1
2
26. 2
3 27. 0 28. 0 29. −
1
20 30. Ne mo`e
34. 5πR2 35. 34
36 3− 36.
e 2 1
2
+
37. y dx dy d da
a
= =∫ ∫∫∫ sin
sin
( )ϕ ϕ ρ ρ
πϕ
0
22
0
2 316
105S C 38. −
125
24
39. ex r ds dSr⋅ = ∫∫∫ 2
S CC ( ) 40. 2 2 3
0
2
0
1
2dS d d a
a
S C( )
( cos )
∫∫ ∫ ∫= =+
ϕ ρ ρ ππ ϕ
Rje{enja i upute 241
41. 1
2
1
20
2
exr ds ab dt ab r a t i b t jr r r r⋅ = = = +∫ ∫C
π
π , cos sin 43. Uputa : Vidi P15
44. samo onda ako za podru~je S vrijedi formula (45)
45. a) ϕ = − +xy y C2 b) ϕ = + +2 x y C c) ϕ = +arcsin xy C
46. a) r r rΦ = − −( )2 33 2x y i xy j b)
rr r
Φ =+
−
y i x j
x y 2 c)
rr r
Φ =−−
i j
y x
47. a) ϕ = +x
yC b) ϕ = + − +x y C2 2 4 c) ϕ = + +x y y Ccos sin
48. a) rΦ =
+grad
x y
12 2
b) rΦ =
−grad
x y
1
sin sin c)
rΦ = −grad e yxy( )2
243
Literatura
1.
Antunac-Majcen, M. i dr.: Rije{eni zadaci iz vi{e matemetike s kratkim repetitorijem definicija i teorema, IV, [kolska knjiga, Zagreb, 1990.
2.
Borzan, A. i dr.: Rije{eni zadaci iz vi{e matematike s kratkim repetitorijem definicija i teorema, III, [kolska knjiga, Zagreb, 1991.
3.
Bron{tejn, I. N.; Semendajev, K. A.: Matemati~ki priru~nik za in`enjere i studente, Tehni~ka knjiga, Zagreb, 1975.
4.
Collinson, C. D.: Introductory Vector Analysis, Arnold, London, 1974.
5.
Demidovi~, B. P. i dr.: Zadaci i rije{eni primjeri iz vi{e matematike s primjenom na tehni~ke nauke, Tehni~ka knjiga, Zagreb, 1990.
6.
Devidé, V.: Vektorski ra~un, Sveu~ili{te u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje - Zagreb, Zagreb, 1987.
7.
Krasnov, M. L.; Kiselev, A. I.; Makarenko, G. I.: Vektornyi analiz, “Nauka”, Moskva, 1978.
8.
Kurepa, S.: Matemati~ka analiza, III, Funkcije vi{e varijabli, Tehni~ka knjiga, Zagreb, 1985.
9.
My{kis, A. D.: Introductory Mathematics for Engineers, Lectures in Higher Mathematics, Mir, Moskva, 1978. (Prijevod s 2. ruskog popravljenog izdanja iz 1969.)
10.
Spiegel, M. R.: Advanced Mathematics for Engineers and Scientists, McGraw-Hill, New York, 1971.
245
Summary The book is entitled Vector Analysis - A Guide and Problems. It
is designed for undergraduate engineering students taking various
elementary and advanced engineering courses to help them to memorize
and understand basic parts of vector analysis and so to improve their
ability to apply both the differential and integral methods to scalar and
vector fields. For this reason special attention is given to invariant
properties of field quantities being independent of an arbitrarily chosen
coordinate system of the kind under consideration. However analytic
treatment has not been neglected. By means of the given analytic data
involving coordinates, an invariantly defined quantity is expressed
analytically, too. Thus, the more or less intuitive notions get
mathematically precise and prepared for computational processing.
It is generally supposed that the studied fields are sufficiently
regular and especially that their domains in space are such, the same as
the considered curves and surfaces in the domains. The characteristic
features of the regularity are in some places indicated.
The guide-book part is not just a list of definitions, theorems,
rules, formulae, or terminological and notational conventions, but it also
provides information concerning the corresponding engineering and
mathematical motivation as well as interrelation between notions and
statements, and it indicates in some places how theorems, rules and
formulae are, or might be, deduced. Nevertheless, the guide-book is not
a text-book proper. However it can easily be extended by additional
exploration, proofs, notes etc. In fact, Chapters IV and V are such
extended texts where the ∇-calculus is systematically expounded.
The other part of the book is a collection of completely solved
examples (P1, P2, ...) and exercises (Z1, Z2, ...) mostly provided with
final results and occasionally with hints.
Summary 246
The students are supposed to be familiar to some extent with
vector algebra, differential and integral calculus of real functions of
several arguments, and with basic theory of ordinary and partial
differential equations from the introductory engineering mathematics
courses.
In vector anylsis one applies the differential and integral methods
to define notions and to prove theorems, rules and formulae. A new
magnitude, scalar or vector field, is defined by means of previously
known data and supporting auxiliary ones. One considers the simplest
case and then generalizes it so as to capture the corresponding complex
one. The process often involves both methods which are then called the
infinitesimal method.
Any application of the differential method is realised in two steps.
First, one produces an average value of the magnitude under
consideration related to a finite element: segment of a straight line, arc
of a curve, part of a surface, or part of a space domain. The average
value is just an approximate value of the magnitude. Second, by a limit
process, one produces the exact value of the magnitude related to an
“infinitesimal element” i. e. to a point in short. Thus, the magnitude is
expressed by a kind of derivative. Then, if all the data are given
analytically, one transforms the defining expression into the
corresponding equivalent analytic formula.
In this way one obtains the directional derivative ∂∂p
s of the
scalar or vector field p in the direction of the unit vector rs 0 . For the
scalar field ϕ ϕ= ( , , )x y z , one obtains
∂ϕ∂
ϕs
s grad= ⋅r0 ,
where
gradxi
yj
zkϕ
∂ϕ∂
∂ϕ∂
∂ϕ∂
ϕ: = + + = ∇r r r
.
Summary 247
Any application of the integral method may be explained to run
through three phases as follows. First, the magnitude under consideration
depending on a given curve, surface or space domain is expressed
approximatelly over each of the finitely many small parts (finite
elements) of the kind as mentioned. Second, by summing up all these
approximate values, the magnitude is still expressed approximately.
Third, by a limit process (of a more complex kind than the previous
one), the magnitude is eventually expressed exactly by a kind of
integral. Therefore one may also speak of an “infinitesimal element” of
the magnitude. The procedure is often abbreviated. From the
approximate expression for an arbitrarily chosen finite element one
immediately infers the exact integral expression.
In this way one obtains the line integral [ ]W a a dst
r rr= ⋅∫C : 0
of the
vector field ra along the oriented curve C :
rt 0 , the surface integral
[ ]Φr r
ra a dS
n= ⋅∫∫S : 0
of the vector field ra through the oriented surface
S : rn0 , and the volume integral [ ]Q q qdV= ∫∫∫V of the scalar field q
over the space domain V.
More complicated are considerations of the directional circulation
density goph anr
, denoted also by [ ]dW a
dS
r
, and the total flux density
gopt ar
, denoted also by [ ]d a
dV
Φr
.
For the vector field
r r r ra P x y z i Q x y z j R x y z k= + +( , , ) ( , , ) ( , , ) and
r r r rn n i n j n kx y z0 0 0 0= + + , one obtains
[ ] [ ]dW a
d Sn rot a
d a
dVdiva
rr r
rr
= ⋅ =0 ,Φ
,
where
Summary 248
rot a
i j k
x y z
P Q R
ar
r r r
r= = ∇ ×
∂∂
∂∂
∂∂
,
divaP
x
Q
y
R
za
r r= + + = ∇ ⋅∂∂
∂∂
∂∂
.
Then the famous three integral formulae of the vector analysis follow :
ϕ ϕ= ⋅∫ grad dsA BC( , )
,
r r
r a ds rot a dSt
⋅ = ⋅∫∫∫ S CC ( ): 0,
r ra dS diva dV⋅ = ∫∫∫∫∫ V SS ( )
.
The most relevant items are rectangularly framed. There are eight portraits, in order of appearance: Newton, Leibniz, Hamilton, Laplace, Stokes, Gauss and Ostrogradski; and four figures:
Fig. 1. Path (work) W in the vector field ra along the
oriented curve C : rt 0 - Line integral
Fig. 2. Flux Φ in the vector field ra through the oriented
surface S : rn0 - Surface integral
Fig. 3. Quantity Q of the scalar magnitude of density q over the space domain V - Volume integral
Fig. 4. Plane field For more details see the following table of contents.
(N-L)
(S)
(G)
A
B
Summary 249
Contents
Preface Minimal Program Introduction I. Field: 1. Notion of Field 2. Basic Sorts of Field 3. Field
Equation 4. Level Surfaces 5. Streamlines 6. Examples 7. Exercises
DIFFERENTIAL VECTOR CALCULUS
II. Directional Derivative : 1. Notion of Directional Derivative 2. Analytic Formula 3. Operative Rules 4. Examples 5. Exercises
III. Directional Derivative and Gradient. Divergence and Curl : 1. Notion of Gradient 2. Invariant Properties 3. Notions of Divergence and Curl 4. Operative Rules 5. Examples 6. Exercises
IV. Nabla : 1. Differential Operator-Vector Nabla 2. Fields of Form ∇ o p 3. Operators of Form p∗∇ 4. Nabla Acting
over Product of Fields 5. Examples 6. Exercises
V. Delta : 1. Laplacean Field 2. Zero Fields 3. Composing Basic Operators 4. Operators of form ∇∗∇ 5. Delta Acting over Product of Fields 6. Examples 7. Exercises
INTEGRAL VECTOR CALCULUS
VI. Line Integral : 1. Curve 2. Notion of Line Integral 3. Analytic Formula 4. Operative Rules 5. Circulation-free and Conservative Fields 6. Examples 7. Exercises
Contents 250
VII. Directional Circulation Density and Curl : 1. Notion of Circulation Density 2. Analytic Formula. Curl. Invariant Properties 3. Vartex-free (Irrotional) Field 4. Examples 5. Exercises
VIII. Surface Integral : 1. Surface 2. Notion of Surface Integral 3. Analytic Formula 4. Operative Rules 5. Total- -Flux-free Field and Field Having Flux Independent of Integration Surface 6. Examples 7. Exercises
IX. Total Flux Density and Divergence: 1. Notion of Total Flux Density 2. Analytic Formula. Divergence. Invariant Properties 3. Source-free Field 4. Examples 5. Exercises
X. Integral formulae: 1. Gradient Formula 2. Curl Formula 3. Divergence Formula 4. Volume Integral 5. Examples 6. Exercises
XI. Potentials: 1. Potential Field and Scalar Potential 2. Solenoidal Field and Vector Potential 3. Examples 4. Exercises
ADDENDUM
XII. Plane Fields: 1. Plane Vectors 2. Plane Fields- -Differential Vector Calculus 3. Plane Fields - Integral Vector Calculus 4. Integral Formulae 5. Examples 6. Exercises
Solutions and Hints References Summary Contents