EJERCICIOS EN CLASE

GRÁFICAR LAS DESIGUALDADES

EJERCICIO 1

a) Convertir la desigualdad en igualdad

2X1 + 4X2 = 12

b) Graficar una recta Recta.- representa una ecuación de 1°

Curva.- representa una ecuación de 2°

c) Escojo un punto de ensayo: P(0,0)

d) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad

2(0)+4(0) ≤ 12

0 < 12 VERDADERO

Si escojo otro punto de ensayo: P (6,4)

2(6)+4(4) ≤ 12

2X1 + 4X2 ≤ 12

X1 X20 36 0

28 ≤ 12 FALSO

EJERCICIO 2

3X1 + 6X2 = 17

X1 X20 2.85.7 0

P (0,0)

3(0)+6(0) ≥17

0 ≥ 17 FALSO

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO

EJERCICIO 3

Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión.

3X1 + 6X2 ≥ 17

Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones mensuales disponible es de 60.

ESTRUCTURA DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

F.O

S. a 8X1+40X2 ≤ 800

5X1+10X2 ≤ 320

X1 ≤ 60

X1, X2 ≥ 0

8X1+40X2 = 800

X1 X20 20

100 0

8(0)+40(0) ≤ 800

0 ≤ 800 VERDADERO

LIQUIDACIONES AUDITORÍAS DISPONGO DE :

X1 X2HORAS DE TRABAJO 8 40 800HORAS DE REVISIÓN 5 10 320

UTILIDAD 100 300

MAXIMIZAR:

Z= 100(X1) +300(X2)

5X1+10X2 = 320

X1 X20 32

64 05(0)+10(0) ≤ 320

0 ≤ 320 VERDADERO

X1 = 60

PUNTO X1 X2 ZA 0 0 0B 0 20 6000C 40 12 7600D 60 2 6600E 60 0 6000

Para calcular los puntos C y D

8X1+40X2 = 8005X1+10X2 = 320 (-4)

8X1 +40X2 = 800-20X1-400X2 = -1280

-12X1 = - 480 X1 = 40

8(40) + 40X2 = 800 40X2 = 800 -320

X2 = 12

X1 = 60

5(60) + 10X2 = 320

10X2 = 320 – 300

X2 = 2

Solución Óptima (SO): Z =7600 Restricciones Activas (RA): 1,2

Variables Óptimas (VO): X1 = 40 Restricciones Inactivas: (RI): 3 X2 = 12

COMPROBACIÓN

8 X1 + 40 X2 ≤ 800

8(40)+40(12) ≤ 800320 + 480 ≤ 800 800 ≤ 800 Equilibrio 8 X1 + 40 X2 + h1 = 800

8(40) + 40 (12) + h1 = 800 800 + h1 = 800 h1 = 05 X1 + 10 X2 ≤ 320

5(40) + 10(12) ≤ 320 200 + 120 ≤ 320

320 ≤ 320 Equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320 5(40) + 10(12) + h2 = 320

200 + 120 + h2 = 320 h2 = 0X1 ≤ 60

40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60 40 + h3 = 60 h3 = 20

Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de $7600.Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de liquidaciones posibles en el mes.

EJERCICIO 4

Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánicos.¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio, y cuál es este?

F.O.

VARIABLES: X1= número de mecánicosX2= número de electricistas

S.a

X1≥ X2X1≤ 2X2X2≤ 30X1≤ 20X1, X2 ≥ 0

X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20

0 ≥ 0 0 ≤ 2(0) 0 ≤ 30 0 ≤ 20V V V V

MAXIMIZAR: Z= 200(X1) +250(X2)

X1 X20 05 510 1015 1520 20

X1 X20 010 520 1030 1540 20

PUNTOS X1 X2 ZB 20 10 6500C 20 20 9000

S O. Z= 9000

V.O. RA=1, 4

X1= 20 RI= 2, 3

X2=20

COMPROBACIÓN

1) X1≥ X220≥20 Equilibrio

2) X1≤ 2X220 ≤ 2(20)

3) 20 ≤ 40 Holgura X1 + H1 = 2X2 20 + H1 = 2(20) 20 + H1 = 40 H1 = 20

4) X2≤ 30 20 ≤ 30 Holgura X2 + H2 = 30

20 + H2 = 30H2 = 10

5) X1≤2020 ≤ 20 Equilibrio

PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE

MECÁNICOS 20

ELECTRICISTAS 30 10

EJERCICIO 5

SOLUCIÓN ÚNICA

Función objetivo: Minimizar

-3x+2y <=6

Sujeto A

X +y<=10.5-x+2y>=4X,Y >=0

1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4

X Y

0 3-2 0

0<=6 0<=105 0>=4V V F

X Y

0 2-4 0

X Y

0 10.510.5 0

PUNTO A= (0; 2)

COMPROBACIÓN

-3x+2y <=6 -3(0)+2(2) <=64<=6

HOLGURA -3(0)+2(2)=64+H1=6 H1=3

X +y<=10.5 0+2<=10.52<=10.5

HOLGURA (0)+2=10.5 2+H2=10.5 H2=8.5

-x+2y>=4 -0+2(2)>=4 4>=4

HOLGURA -0+2(2)+H3=4 H3=0

SOZ=6V.OX =0

Y= 2RA=3RI=1; 2

EJERCICIO No. 6

SOLUCIÓN MÚLTIPLE

Función objetivo: Maximizar

3x1+5x2 <=15Sujeto a

5X1 +2x2<=10X1;x2>=0

1) 3x1+5x2 <=15 2)5X1 +2x2<=10

0<=15 0<=10 V V

Punto c

3x1+5x2 =15 (-2)5X1 +2x2=10(5)

-6x1-10x2 =-30 25X1 +10x2=50 19x1 0 =20

X1=20/19

3(20/19)+5x2 =15 60/19+5x2 =15 X2 =45/19

PUNTO c= (20/19; 45/19)

X1 X20 35 0

X1 X20 52 0

X2

Comprobación:3x1+5x2 <=15 3(20/19)+5(45/19) <=15

15<=15 HOLGURA 3(20/19)+2(45/19)=15

15+H1=15 H1=0

5X1 +2x2<=10 5(20/19)+2(45/19) <=10

10<=10

HOLGURA 5(20/19)+2(45/19)=1010+H2=10

H2=0

SO Z=5V.O X1 =20/19 X2= 45/19 RA=1;2

Posibles soluciones optimas

X1 DESDE 20/19 HASTA 45/19 20/19 <= X1 <=2X2 0 <= X2 <= 45/19 DONDE Z=5

EJERCICIO No. 7

NO ACOTADO PERO TIENE SOLUCIÓNUn frutero necesita 16 cajas de naranja, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos.

El mayorista A envía cada contenedor 8 cajas de naranja, 1 de plátanos t 2 de manzana.

El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas.

Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150km de distancia y el mayorista B se encuentra a 300km. Calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.

MAYORISTA A X1

MAYORISTA B X2

NECESITA

NARANJA 8 2 16

PLÁTANO 1 1 5

MANAZANA 2 7 20

DISTANCIA 150km 300km

F.O Minimizar

Variables: X1= Mayorista A X2=Mayorista B

Z= 150X1+300X2Sujeto a

Condición Técnica X1, X2 ≥ 0

1) 8X1+2X2≥16 2) 1X1+1X2 ≥5 3) 2X1+7X2 ≥20 8X1+2X2=16 1X1+1X2=5 2X1+7X2 =20

0≥16 0≥5 0≥20 FALSO FALSO FALSO

GRÁFICA

NO ACOTADO PERO TIENE SOLUCIÓN

8X1+2X2≥161X1+1X2 ≥52X1+7X2 ≥20

X1 X20 3

10 0

X1 X20 82 0

X1 X20 55 0

La solución óptima es Z = 1050X1 = 3X2 = 2

S.O Z= 1050V.O X1= 3 ; X2= 2

COMPROBACIÓN: HOLGURAS-EXCEDENTES

1) 8X1+2X2≥16 2) 1X1+1X2 ≥5 3) 2X1+7X2 ≥208(3)+2( 2) ≥ 16 1(3 )+1( 2) ≥ 5 2( 3)+7(2 ) ≥20

28 ≥ 16 5 ≥ 5 20 ≥20

EXCEDENTE 8X1+2X2=16

8(3)+2(2)-H1 =16 28-H1 =16

H1=12

XI X2 DISPONIBLE HOLGURA EXCEDENTE

NARANJA 8 2 16 12

PLÁTANO 1 1 5

MANZANA 2 7 20

EJERCICIO No.8PROBLEMAS NO FACTIBLES

F.O Maximizar

Variables: E F

Z= 3000X1+4000X2

Condición Técnica E, F≥ 0

1) E + F ≤ 5 2) E-3F ≤0 3) 10E+15F ≤150 4) 20E+10F≤160 5) 30E+10F≥150E + F = 5 E=3F 10E+15F =150 20E+10F=160 30E+10F=150

0≤ 5 0 ≤0 0≤150 0≤160 0≥150

Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Falso

NO HAY SOLUCIÓN

E+ F ≤ 5 E-3F ≤0

10E+15F ≤15020E+10F≤16030E+10F ≥150

E F0 55 0

E F6 23 1

E F

0 168 0

E F0 155 0

E F

0 1015 0