2つ以上の箱の作れる展開図
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今日は, 箱(直方体)を作る話
• 各グループで, 様々な大きさの直方体を作って, 色々な展開図を確認してみよう.
• 直方体毎に次のことを記録• 一辺の長さの組, • 頂点の数, • 辺の数, • 面の数, • 体積, • 表面積
直方体の情報
長さの組 頂点の数 辺の数 面の数 体積 表面積
(1,1,2) 8 12 6 2 10
….
これらの情報を使い, • 1つの展開図から
• 2つ以上の直方体を
作るには何が必要か考えてみよう.
1つの展開図で2つの直方体を作るのに必要なことは
• 同じ表面積 (同じ数のパネルを使う)• 頂点の数、辺の数、面の数はどれも同じ
• 同じ表面積でも体積は違う
• 辺の長さと体積の関係は? 長さの積 = 体積
….….….
• 辺の長さと表面積は?⇒ 2つの辺の組で作った立体の表面積が等しい
1つの展開図で2つの直方体を作るのに必要な条件(必要条件)直方体の辺の長さを(a,b,c), (a’, b’, c’)とする.ab+bc+ca = a’b’+b’c’+c’a’ が成り立つことが必要条件
問題が成り立つために絶対に必要な条件
b
c
aa’
b’
c’
[問題] 直方体で,
• 2通りの辺の整数の長さの組を持つ表面積Sを見つけなさい,
• 表面積Sを決め, 2通りの辺の整数の長さの組を持つかどうか調べなさい.
表面積 6 ⇒ (1,1,1) しかない
表面積 7 ⇒ ???表面積 8 ⇒ ???
1
1
1
表面積と長さの組
表面積 長さの組 表面積 長さの組
6 (1,1,1) 26 (1,1,6)
10 (1,1,2) 28 (1,2,4)
14 (1,1,3) 30 (1,1,7), (1,3,3)
16 (1,2,2) 34 (1,1,8), (1,2,5)
18 (1,1,4) 38 (1,1,9), (1,3,4)
22 (1,1,5), (1,2,3) 46 (1,1,11), (1,2,7), (1,3,5)
表面積22, (1,1,5), (1,2,3)の展開図
• 2263通り(Abel, Demaine, Demaine,Matsui, Rote, Uehara, 2011)
• 先ほど以外の展開図を考えてみよう. • 先ほどのものを変えればできるかも?
表面積30, (1,1,7), (1,3,3)の展開図
• 1076通り (Xu, Horiyama, Shirakawa, Uehara, 2015)• スパコンを2ヶ月使って, 全探索
• 7通り (Xu, Horiyama, Shirakawa, Uehara, 2015)• (1,1,7), (1,3,3), (√5, √5, √5)
• 表面積30, (1,1,7), (1,3,3)の展開図を探してみよう