26 ． 2 ． 2 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与性质（ 5 ）

1 、函数 的顶点坐标是 ，

当 x= 时， y 有最 值 ；

2 、函数 的顶点坐标是 ，

当 x= 时， y 有最 值 ；

1)4( 2 xy

542 xxy

3 、已知抛物线 的图象如

图所示，当 1≤x≤2 时， y 有最小值 ；

当 2≤x≤4 时， y 有最小值 ；

322 xxy

O

x

y

1 2 3 4-1·· · · ·

例题 1 、求下列函数的最大值或最小值．

（ 1 ） ；

（ 2 ） ．

562 xxy

572 2 xxy

例题 2: 公园在点 A 处安装水龙头 OA ，已知 AO=2 米，在水平距离 OD=0.5 米时达到最高CD=3 米，建立如图所示的直角坐标系中， A点的坐标是（ ， ）、 D 点的坐标是（ ， ）、 C 点的坐标是（ ， ）。顶点是 ，此抛物线的解析式为 。

C

A

B

y

xO D

例题 3 、某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：

若日销售量 y是销售价 x的一次函数 .（ 1 ）求出日销售量 y（件）与销售价 x( 元 ) 的函数关系式； （ 2 ）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

x(元 ) 15 20 30 …

y(件 ) 25 20 10 …

例题 4 、如图在 Rt ABC⊿ 中∠ C=90°BC=6 ，AC=8 ，点 D 在斜边 AB 上，分别作 DE AC⊥ ，DF BC⊥ ，垂足分别为 E 、 F ，得四边形 DECF ，设 DE=x ， DF=y ．（ 1 ）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x的取值范围；（ 2 ）设四边形 DECF 的面积为 S ，求 S 与x 之间的函数关系，并求出 S 的最大值．

F

A

BC

DE

随堂演练 :1. 已知用一根长 100 米的钢管制成

如图所示的防盗窗，设 AD=x ，矩形 ABCD 的

面积为 y ，（ 1 ）求 y 关于 x 的函数关系式；

（ 2 ） x 为何值时 , 矩形 ABCD 的面积 y 最大？

BA

CD

2. 、如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽 AB为 6 米，最高点离地面的距离 OC为 5 米．以最高点 O为坐标原点，抛物线的对称轴为 y轴， 1 米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求（ 1 ）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出 x的取值范围；（ 2 ） 有一辆宽 2.8 米，高 1 米的农用货车（货物最高处与地面 AB 的距离）能否通过此隧道？

Ox

y

A BC

例题 1 、如图一位运动员推铅球，铅球行进

高度 y （ m ）与水平距离 x （ m ）之间的关系

是 ，

问此运动员把铅球推出多远？

3

5

3

2

12

1 2 xxy

例题 2 、如图，足球比赛中，一球员从球门正前方 10 米处将球射向球门，当球飞行的水平距离为 6 米时，球达到最高点，此时球高3 米，若球运动的路线为一条抛物线，球门AB 高 2.44 米，（ 1 ）求足球飞行的抛物线解析式；（ 2 ）问能否射中球门？

3 米

10 米 B

A

例题 3 、如图公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个高 0.8m 的柱子OA ，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 1 ． 8m ．（ 1 ）求水流抛落过程中的抛物线解析式。（ 2 ）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

例题 4: 某施工队修建一个抛物线形的水泥门洞 , 其高度 OM 为 8 米 , 地面宽度 AB 为 12米 , 在门洞中搭一个“三角架” CDE. 使 C 点在门洞的左侧 ,D 为 OB 的中点 ,CE AB⊥ 于 E,以 AB 所在直线为 x 轴 ,AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 ( 如图所示 ) (1) 请你直接写出 A 、 B 、 M 三点的坐标； (2) 现测得 DE=7 米 , 求“三角架”的高 CE 。

E D

C

BA

M

1. 如图，一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2 ． 5m 时，达到最大高度 3 ． 5m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3 ． 05m ．（ 1 ）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（ 2 ）该运动员身高 1 ． 8m ，在这次跳投中，球在头顶上方0 ． 25m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

2. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s （万元）与销售时间 t （月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s与 t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（ 1 ）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s （万元）与时间 t （月）之间的函数关系式；（ 2 ）求截止到几月末公司累积利润可达到 30万元；（ 3 ）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？

3. 某公司草坪的护栏是由 100 段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0 ． 4m加设不锈钢管（如图 a ）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图 b 所示的坐标系进行计算．（ 1 ）求该抛物线的函数关系式；（ 2 ）计算所需不锈钢管立柱的总长度．

4. 某商场购进一批单价为 16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件 24元的价格销售时，每月能卖 240件，若按每件30元的价格销售时，每月能卖 60件。若每月销售件数 y（件）与价格 x（元 /件）满足 y=kx+b，

（ 1）确定 k与 b的值，并指出 x的取值范围；

（ 2）为了使每月获得利润为 1440元，问商品应定价为每件多少元？

（ 3）为了获得最大的利润，商品应定为每件多少元？

4.某公司生产 A种产品，它的成本是 2元，售价是 3元，年销售量为 100万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。每年投入的广告费是 x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y是x的二次函数，它们的关系如表。

X （ 十 万元）

0 1 2 …

y 1 1.5 1.8 …

（ 1）求 y与 x的函数关系式；

（ 2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（十万元）与广告费（十万元）的函数关系式；

（ 3）如果投入的年广告费为 10 ～ 30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大。

5. 行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过 140 千米 /时﹚，对这种汽车进行测试，数据如下表：刹车时车速（千米 /

时） 0 10 20 30 40 50 60

刹车距离 0 0．3

1．0

2．1

3．6

5．5

7．8

﹙1﹚以车速为 x轴，以刹车距离为 y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；

﹙2﹚观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；

﹙3﹚该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为 46． 5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？

实践与探索（ 2）例题 1、方程

的两个实数根为 X1 ， X2 ．问：当m取什么

值时，函数 有最大值及最小

值，并求这个最大值及最小值。

0129542 22 mmmxx

22

21 xxy

例题 1、 已知抛物线 y=x2+2x+m

（ 1）若与 x轴交于 A、 B两点，求m的取值范围；

（ 2）若与 x轴的两交点在原点的同侧，求m的取值范围；

（ 3）若与 x轴的两交点在原点的两侧，求m的取值范围；

（ 4）若与 x轴的两交点的横坐标的平方和为 10，求m的值。

例题 2、已知抛物线 y=x2+mx+m-5

（ 1）求证：不论m为任何实数，抛物线与 x轴都有两个不同的交点；

（ 2 ）设抛物线与 x 轴的负半轴交于点 A（ x1 ， 0），与 x轴的正半轴交于

点 B（ x2 ， 0）：

①若 OB-OA=1，求m的值；

②若 OB∶OA=3∶2，求m的值；

③若 OB+OA=5 ，求 m 的值

3. 求 函数

的最大值

2

333 2 xxy

4. 已知抛物线 y=x2+2x+m-1。

（ 1）若抛物线与 x轴只有一个交点，求m的值；

（ 2 ）若抛物线与直线 y=x+2m只有一个交点，求 m 的值。

5. 已知：抛物线与 x轴交于 A(x1 ， 0)、 B（ x2 ，0）两点，且 x1<0， x2>0，抛物线与 y轴交于点 C，OB=2OA.

（ 1）求抛物线的解析式；

（ 2）在 x轴上，点 A的左侧，求一点 E，使△ ECO与

△CAO相似，并说明直线 EC 经过（ 1）中抛物线的顶点 D；

（ 3）过（ 2）中的点 E的直线 y=x+b与（ 1）中的抛

物线相交于 M、 N 两点，分别过 M、 N作 x轴的垂线，垂

足为 M'、 N'，点 P为线段 MN上一点，点 P的横坐标为 t，

过点 P作平行于 y轴的直线交（ 1）中所求抛物线于点 Q

.是否存在 t值，使 S 梯形 MM'N'N ： S△QMN=35： 12，若存在，

求出满足条件的 t值；若不存在，请说明理由 .

6. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（ x1 ， 0 ）、 B （ x2 ， 0 ）两点。利用一元二次方程

根与系数的关系，求证： AB= ||

42

a

acb

7. 已知抛物线 y=ax2+bx+c，当 x=1时， y有最小值 -8。若方程 ax2+bx+c=0的两根 x1 、x2满足 ，

（ 1）求抛物线解析式；

（ 2）若一直线经过点（ 3， 0），且与抛物线只有一个交点，求直线解析式。

6221

221 xxxx

例题 1、已知△ ABC中， AD为高，内接矩形EFGH的顶点 F、 G在 BC上， E、 H分别在AB上，且BC=8， AD=12，设 EH=x，

（ 1）求面积 y关于 x的函数解析式，并求自变量 x的取值范围；

（ 2）求矩形 EFGH的面积 y的最大值；

（ 3）是否存在两个矩形的面积之和等于△ ABC的面积。 A

B C

E

F

H

GD

例题 2、已知 y=x2+px+q与 x轴交于 A、 B 两点（ A左、 B右）与 y轴交于 C点，

（ 1）若△ ABC为直角三角形，且 OA-OB=1 ，求 p、 q的值；

（ 2）若△ ABC为直角三角形，且 tan∠CAB-tan∠CBA=2，求 p、 q的值；

（ 3）若∠ CAB、∠ CBA 均为锐角，且 tan∠CAB=， tan∠OBC=2，求 p、 q的值；

（ 4）若锐角∠ CAB= α∠ 、∠ CBA=β ， tanα=，且方程 x2-mx+m-2=0 的一个根为 sinβ ，求 m 、p、 q的值。

例题 3、已知抛物线 y=x2+5x+m与 x轴交于 A、 B两点， P是抛物线的顶点，

（ 1）当△ PAB的面积为 时，求抛物线的解析式，

（ 2）是否存在实数m，使△ PAB是等边三角形，若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由。

8

1