Malo prave matematike...Definicija Pod elipsom podrazumevamo skup svih tačaka u ravni takvih da je za svaku od njih zbir rastojanja od dveju datih tačaka konstantan.

Date tačke nazivamo žižama ili fokusima elipse.

1( ,0)A a 2 ( ,0)A a

x

y

( , )M x y2 (0, )B b

1(0, )B b

0

1r 2r

1( , )F e o 2 ( , )F e o

1( , )F e o 2 ( , )F e oi - žiže ili fokusi elipse- rastojanje između žiža je 2e, to je žižno rastojanje elipse- označimo sa 2a (a>0) zbir rastojanja proizvoljne tačke elipse od žiža, koji je prema definiciji elipse konstantan

- neka je M proizvoljna tačka elipse

1 2Kako je 2 , po pravilu o odnosu stranica trou l :g aFM F M a

1 2 1 22 2 , pa je . Neka je .a FM F M FF e a e a e

ekscentritetom eliOdnos nazivamo ; taj broj je uvek manji od se .p 1e

a

Za 0, tj. u slučaju kružnice, dobija se da je 0. e

ea

2 22 21 1 2 2Uočimo i ,MF r x e y MF r x e y

2 22 2 2 (rastojanje između dve tačke).x e y x e y a

Ovaj oblik jednačine elipse može se uprostiti sledećim

transformacijama:

2 22 2 2

2 2 22 2 2 2

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

22 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

2

2 /

4 4

2 4 4 2

/

2

2 2

2 2

x e y a x e y

x e y a a x e y x e y

x xe e a a x e y x xe e

a x e y a xe

a x e a y a a xe x e

a x xe e a y a a xe x e

a x a xe a e a y a a xe x e

x a

2 2 2 2 2 2 2 ;e a y a a e

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

2 2

0, uvodimo smenu ,

, , .1

a e a e b a e

x b a y a b by

ax

a be

Ovo je kanonski oblik jednačine elipse.

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2

Posmatrajmo jednačinu: i rešimo je po y:

za 0, ; 0, ; 0, ;

b x a y a b

a b b x ba y a b b x y y a x

a ab

x y a b x y b x y ba

1 2

1 2 1 2

0, i 0, su tačke na elipsi, a takođe i na osi ;

znači elipsa seče osu u tačkama B 0, i B 0, .

Tačke i su temena elipse, a 2 je

elip

manja osa

se.

y

y

b b O

O b b

B B B B b

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2

2

1 2

1 2

Rešimo jednačinu elipse po , dobijamo

temena na osi :

;

za 0, ,

elipsa seče x-osu u tačkama ,0 i ,0

2 je elipse.veća osa

x

b x a y a b x

O

a b a y ax x b y

b ba

y x b ab

A a A a

A A a

1(0, )B b

2 (0, )B b

1( ,0)A a2 ( ,0)A a0

x

y

-a i b su poluose elipse, a veza koja postoji između veće poluose, polovine žižnog rastojanja i manje poluose elipse je

2 2 2.a e b

Elipsa je simetrična u odnosu na obe koordinatneose.

Ako su poluose elipse jednake, ona je onda krug.

Zadaci:

2 2 2 2 2 2

1 2

1. Pokazati da su rastojanja proizvoljne tačke ( , ) koja

pripada elipsi od žiža date elipse jednaka:

, .

M x y

b x a y a b

e er a x r a x

a a

2 22 21 1 2 2

22 2 2 2 21 2

22 2 2 2 21 2

221 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

,

( ) ,

( )

( )

2 2

24 2 4 ;

2 ,

MF r x e y MF r x e y

r x e y r x e y

r r x e y x e y

r r r r x e x e

r r r r x ex e x ex e

exr r r r ex r r a ex r r

aex

r r r ra

1

2 2

1

2

22 2 2 , ;

2 2

.

exa r a

ae

er a x

aee

a x r a r a a xa

raa

a x

2 22. Odrediti koordinate one tačke elipse 9 25 225, čije

je rastojanje od desnog fokusa četiri puta veće od rastojanja od

levog fokusa.

x y

2 2

2 2 2 2

Poluose su: 9 3 i 25 5.

25 9 4.

b b a a

a e b e e

2 (5,0)A1( 5,0)A

2 (0,3)B

1(0, 3)B

1( 4,0)F 2 (4,0)F

( , )M x y

2r1r

0 x

y

2 1

1 2 1 2

2 2

4 - uslov zadatka

4 4 , 5 5

5 54 4 4 16

5 4 5 , 5 205 5 5 5

2015 4 15 .

515

Drugu koordinatu tačke dobijamo zamenom u4

9x 25 225

15

4

.

r r

e er a x r a x r x r x

a a

x x x x

x x x

M x

y

22 2

2 2

15 2259 25 225 9 25 225

4 16

3600 2025 6325 , .

16 16

63

4

y y

y y y

2 23. U elipsi 4 4 upisan je jednakostraničan trougao.

Jedno teme tog trougla pripada desnom temenu na velikoj

osi elipse. Odrediti koordinate ostala dva temena trougla.

x y

2

2

1

4

b

a

1( 2,0)A 2 (2,0)A

2 (0,1)B

1(0, 1)B

y

x0 30

D

C

30

1l

2

1

1 2

Trougao je jednakostraničan. Teme se nalazi u

preseku prave i elipse, pa moramo odrediti jednačinu

prave . Ona prolazi kroz tačku 2,0 i gradi ugao od

150 sa pozitivnim smerom ose .x

A CD C

l

l A

O

1 1 1: ( );l y y k x x 3150 ;

3k tg

1

2 2

2

2

3 3 2 3: 0 2

3 3 3

3 2 34 4

3 3

3 2 34 4;

3 3

l y x y x

x y y x

x x

2 2

1 2

2 2 2 2

21,2

22

3 2 3 2 3 4 34 4

9 3 3 9

1 4 4 4 16 164 4 4 / 3

3 3 3 3 3 3

16 256 1127 16 4 0 , ;

14

4 48, ;

4 4

2, 2

7

4 3

9 7

x x x

x x x x x x

x x x

xy y

x x

2 4 3, ,

7 7C

2 4 3, .

7 7D

Koordinate temena su:

Zadaci za vežbu:

1 2

1. Odrediti jednačinu elipse u kanonskom obliku ako elipsa

prolazi kroz tačke (1,3) i (4,1).M M

2 2

2. Odrediti dužinu tetive, koja sadrži žižu i normalna je na

veću osu elipse 1.64 16

x y

2 2

3. Na pravoj 5 odrediti tačku podjednako udaljenu od

leve žiže i temena koje pripada pozitivnom delu ordinatne

ose elipse 5 20.

x

x y

2 2

4. Na elipsi 1 odrediti tačku čiji su radijus vektori20 4

uzajamno normalni.

x y

Hvala na pažnji