26_strutture reticolari isostatiche piane,osservazioni ed esempi

7/25/2019 26_Strutture Reticolari Isostatiche Piane,Osservazioni Ed Esempi

1/20

2007 Universit degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 [email protected]

Pagina 1/20

Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 26Titolo: Strutture reticolari isostatiche piane

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 26 Strutture reticolari isostatiche piane: osservazioni

ed esempi

Nucleotematico

Lez. Contenuto

7 26 Strutture reticolari isostatiche piane: osservazioni ed esempi.

Si propongono nel seguito alcune osservazioni relative alle strutturereticolari.

Osservazione 1

Le strutture reticolari sono frequentemente utilizzate nellecostruzioni specie nei casi in cui necessario coprire notevoli luci construtture leggere. Frequenti sono i ponti ferroviari e le coperture digrande luce (palazzi dello sport, palestre, capannoni industriali,pensiline) realizzati con strutture reticolari metalliche piane (figura26.1)o spaziali.

figura26.1.

In figura 26.2 sono mostrate alcune tipologie di strutture reticolarifrequentemente utilizzate per la realizzazione di coperture. Questestrutture, dette anche travature reticolario capriatesono costituite daaste longitudinali disposte allintradosso ed allestradosso, detterispettivamente corrente inferiore e corrente superioree da aste checonnettono i due correnti, dette aste di parete; di queste aste quelle

verticali sono dette montantie quelle inclinate sono dette diagonali.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/20


Pagina 2/20



figura26.2.

Strutture geometricamente simili a quelle di figura 26.2 eranofrequentemente e sono tuttora talvolta realizzate in legno (figura 26.3);tuttavia in questo caso il comportamento strutturale si discosta peralcuni aspetti da quanto visto in quanto i carichi non sono applicatisolo in corrispondenza dei nodi ma anche lungo gli assi dei correntisuperiori. Pertanto questi elementi sono soggetti, oltre che a sforzonormale (compressi), anche a sollecitazioni di momento flettente (sidice che sono inflessi) e taglio. Non sono infine infrequenti casi in cuiqueste strutture sono realizzate con gli elementi compressi (edinflessi) in legno e con gli elementi tesi costituiti da cavi di acciaio(figura 26.4).

Capriata Polonceau

Capriata Warren

Capriata Mohnie

Capriata Howe

Capriata inglese


3/20


Pagina 3/20



figura26.3.

figura26.4.

Osservazione 2La peculiarit delle strutture reticolari, e cio la presenza di solo

sforzo normale nelle aste, deriva dal fatto che le aste che lecostituiscono sono connesse da cerniere e che i carichi sono applicatinei nodi. Nelle strutture reali questi requisiti geometrici non sono, ingenerale, soddisfatti. Infatti, con riferimento in particolare alle strutturemetalliche:

- i correnti superiori ed inferiori sono nella maggior parte dei casicontinui: due aste adiacenti che costituiscono uno dei due correntinon sono connesse da una cerniera e quindi possono essere

soggette a momento flettente e taglio;

- le aste di parete sono frequentemente connesse ai correntimediante bullonature (figura 26.5); questo tipo di collegamento puassimilarsi ad una cerniera (cio ad una collegamento checonsente le rotazioni relative tra le aste) solo relativamente allerotazioni consentite dai giochi tra i gambi dei bulloni ed i fori etrascurando gli attriti tra le lamiere a contatto;

- non tutti i carichi possono essere applicati in corrispondenza deinodi; infatti, con riferimento ad una capriata, i carichi derivanti dallestrutture sovrastanti (copertura, neve) possono essereeffettivamente applicati ai nodi per mezzo di travi disposteallestradosso sul piano ortogonale a quello della struttura


4/20


Pagina 4/20



reticolare, dette arcarecci, mentre il peso proprio delle aste

necessariamente applicato lungo gli assi delle aste.

figura26.5.

Quindi i vincoli interni tra le aste di una capriata ed i carichi ad essaapplicati sono pi verosimilmente schematizzabili come infigura 26.6a(correnti continui ed aste di parete considerate incernierate ai correnti)o in figura 26.6b (correnti continui ed aste di parete considerateincastrate ai correnti).

figura26.6.

F F F F F F F F F F F F/2F/2

qc1

qc2

qmqd

F F F F F F F F F F F F/2F/2

qc1

qc2

qm

qd

(a)

(b)

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q/2Q/2

F: carichi trasmessi dalla coperturaqc1: peso proprio del corrente superiore

qc2: peso proprio del corrente inferiore

qm: peso proprio dei montantiqd: peso proprio dei diagonali

Q Q Q Q Q Q Q C

Q Q Q Q/2Q/2

F: carichi trasmessi dalla copertura

F

Arcareccio


5/20


Pagina 5/20



In questi casi la struttura iperstatica e le aste non sono

effettivamente soggette solo a sforzo normale. Tuttavia:

- le sollecitazioni di momento flettente e taglio dovute al peso propriodelle aste sono, in generale, modeste in quanto questi elementimetallici sono leggeri e le luci tra gli appoggi costituiti dalle aste diparete sono modeste, tanto che, nella pratica, il peso proprio deglidelle aste viene spesso considerato anchesso concentrato neinodi;

- anche considerando tutte le forze applicate nei nodi la soluzione diuna delle strutture iperstatiche difigura 26.6 (figura 26.6a efigura26.6b) prevede la presenza nelle aste di sollecitazioni di sforzo

normale, momento flettente e taglio; tuttavia ci si pu rendereconto che gli effetti delle sollecitazioni di taglio e momento flettentesono, in genere, trascurabili rispetto a quelli delle sollecitazioni disforzo normale e che gli sforzi normali nelle aste sonosostanzialmente gli stessi nel caso delle strutture iperstatiche difigura 26.6a e di figura 26.6b e nella struttura isostatica di figura26.6c, con le cerniere in tutti i nodi; queste affermazionirisulteranno pi chiare nel prosieguo del corso, allorch siaffronter lo studio delle strutture iperstatiche.

Conseguentemente la soluzione della reticolare pensata con le

cerniere in tutti i nodi e con i carichi applicati solo in corrispondenza diquesti quasi coincidente con la soluzione della struttura effettiva equindi tecnicamente accettabile.

Questa osservazione non vale in molti casi di capriate lignee inquanto i carichi trasmessi dalla copertura sono applicati lungo gli assidelle aste (figura 26.3) e possono produrre elevate sollecitazioni diflessione e taglio nei correnti superiori.


6/20


Pagina 6/20



LEZIONE 26 Sessione di studio 1

Strutture reticolari isostatiche piane: osservazioni ed esempi

Si descrive nel seguito una importate osservazione nella quale vieneconfrontata la condizione di equilibrio di una travatura reticolare con lacondizione di equilibrio di una analoga trave a sezione costante.Questa osservazione chiarisce il comportamento strutturale di unatravatura reticolare.

Osservazione 3

Si consideri una travatura reticolare come ad esempio la terzadi figura 26.2 e si consideri una trave avente la stessa luce (cio lastessa distanza tra i vincoli A e B) e soggetta agli stessi carichi (figura26.7). Si consideri unascissa z come riferimento; ad ogni valore di zrestano associate una sezione della trave ed una sezione (tiposezione di Ritter) della travatura reticolare, come mostrato in figura26.7. Sia nz il numero di forze applicate che precedono la genericaascissa z ed mzil numero di forze applicate che seguono la genericaascissa z. Naturalmente comunque si scelga unascissa z risulta

Tzz nmn =+ (26.1)

essendoTn il numero totale delle forze applicate (ad esempio, per le

travi difigura 26.7 11nT= e per il valore di z rappresentato 4nz= ed 7mz = ).

Relativamente alla trave il momento flettente ed il taglio nellasezione identificata dalla generica ascissa z sono

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )=

=

==

=

z

z

n

1i

iA

n21A

zA

zzFzR

zzF...zzFzzFzRzM

FnRzT

(26.2)

avendo indicato con e zilascissa alla quale applicata li-esima forza.Nella (26.2) il taglio ed il momento flettente nella sezione z sonocalcolati in funzione delle forze applicate tra la sezione A e la sezionez. Analogamente queste caratteristiche di sollecitazione posonocalcolarsi considerando le forze applicate tra la sezione z e la sezioneB:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )+=

++

=

==

=

T

z

Tzz

n

1ni

iB

n22n1nB

Bz

zzFzLR

zzF..zzFzzFzLRzM

RFmzT

(26.3)

essendo L la luce, cio la distanza tra i vincoli A e B.


7/20


Pagina 7/20



figura26.7.

Queste caratteristiche di sollecitazione sono, per definizione, lacomponente verticale (ortogonale alla trave) della risultante delle forzeche precedono la sezione z ed il momento risultante di tali forzerispetto al baricentro della sezione z e rappresentano il sistema diforze che le due parti in cui la trave resta suddivisa dalla sezione z siscambiano attraverso la sezione z stessa (figura 26.8b).

Relativamente alla travatura reticolare le stesse caratteristichedi sollecitazione rappresentano evidentemente il sistema di forze chele due parti in cui la struttura resta suddivisa dalla sezione z siscambiano attraverso le aste tagliate dalla sezione z stessa (figura

26.8a). Con riferimento allo schema difigura 26.8c si indichino con Ns,Ni ed Nd gli sforzi normali nelle aste tagliate dalla sezione zconsiderata. Lo sforzo normale nel corrente superiore pudeterminarsi con lequazione di equilibrio alla rotazione rispetto al poloD della parte sinistra della travatura:

( ) 0zzFzRhNDn

1i

iDDAs =+

=

(26.4)

ed

( )

= =D

n

1i

iDDAs zzFzRh

1

N (26.5)

zz = 0

F F F F F F F F F F F



A B

RA RB

A B

RA RB

A B

RA

RBz2 z3 z4z1

L

L - zz


8/20


Pagina 8/20



essendo nD il numero di forze esterne che precedono il nodo D (in

figura 26.8 nD = 4), zD lascissa del nodo D ed h laltezza dellatravatura reticolare (figura 26.8).

figura26.8.

Lo sforzo normale nel corrente inferiore pu determinarsi conlequilibrio alla rotazione rispetto al polo E della parte destra dellatravatura:

( ) ( ) 0zzFzLRhNT

E

n

1ni

EiEBi =+

+=

(26.6)

ed

zz = 0

F F F F

F F F F

F F F F

A

RA

A

RA

A

RA

T

M

N

T

M

N

T

M

N

F F F F F F F

F F F F F F F

F F F F F F F

B

RB

B

RB

B

RB

N

M

T

N

M

N

M

T

T

F F F F

RA

(a)

(b)

(c)

Ns

Ni

Nd

D

zz = 0

z1 z2 z3 z4 zD

h

F F F F F F F

B

RB

Ns

Ni

Nd

E

RA

zz = 0

z1 z2 z3 z4 zE z6 z7L - zE


9/20


Pagina 9/20



( ) ( )

= +=

T

E

n

1ni

EiEBi zzFzLRh1N (26.7)

essendo nE il numero di forze esterne che precedono il nodo E (infigura 26.8 nE= 4) e zElascissa del nodo E.Lo sforzo normale nellasta diagonale pu infine determinarsi conlequazione di equilibrio alla traslazione verticale della parte sinistradella travatura reticolare:

0FnRsinN DAd =+ (26.8)

ed

=

sin

FnRN

DA

d (26.9)

Si consideri ora, relativamente alla trave dellafigura 26.8b la sezioneidentificata da z = zD, cio la sezione la cui traccia passa per il nodoD. Le caratteristiche di sollecitazione in questa sezione si determinanocon la(26.2) nella quale deve porsi z = zDe sono

( )

( ) ( )= =

=

Dn

1i

iDDAD

DAD

zzFzRzM

FnRzT

(26.10)

Sempre relativamente alla trave ella figura 26.8b il momento flettentenella sezione identificata da z = zE, cio nalla sezione la cui tracciapassa per il nodo E pu valutarsi con la(26.3) ed

( ) ( ) ( )+=

=T

E

n

1ni

EiEBE zzFzLRzM (26.11)

A questo punto confrontando le (26.10) con la (26.5) e con la (26.9)pu scriversi:

( )h

zMN

D

s =

( )

=sin

zTN

D

d (26.12)

mentre confrontando la(26.11) con la(26.7) si ha

( )h

zMN

E

i= (26.13)

Quindi gli sforzi normali nei correnti dipendono dal momento flettentedella travatura reticolare considerata come una trave omogeneamentre gli sforzi normali nelle aste di parete dipendono dal taglio della

travatura reticolare considerata come una trave omogenea. Questacircostanza viene talvolta informalmente espressa affermando che icorrenti portano il momento flettente, nel senso che il momento della


10/20


Pagina 10/20



coppia costituita dagli sforzi normali nei correnti il momento flettente

mentre le aste di parete portano il taglio, nel senso che lacomponente trasversale degli sforzi normali nelle aste diagonali parial taglio.

Attraverso lequilibrio dei nodi poi facile verificare che lavariazione di momento flettente che si ha nei correnti incorrispondenza dei nodi dipende dallo sforzo normale nelle astediagonali; questa circostanza ha un certo legame con la terzaequazione indefinita di equilibrio (17.37): in una trave omogenea iltaglio in una sezione produce una variazione del momento flettente trala sezione ed una a questa vicina; in una travatura reticolare il taglio

produce sforzo normale nelle aste di parete al quale corrisponde unavariazione di sforzo normale nei correnti a sua volta legata allavariazione del momento flettente.

Si osserva infine che gli sforzi normali nei correnti hannoeffettivamente il verso rappresentato in figura 26.9 (il correntesuperiore compresso mentre il corrente inferiore teso). Se poi siconsidera una sezione z0nella quale il taglio nullo lo sforzo normalenellasta diagonale nullo per la (26.12) e gli sforzi normali nei duecorrenti sono uguali in modulo, hanno rette di azione parallele distantih ed hanno verso opposto, come si pu verificare con unequazione diequilibrio alla traslazione orizzontale. Costituiscono quindi una coppiadi momento

( )0is

zMhNhNM === (26.14)

figura26.9.

Osservazione 4

Nella lezione 25 si visto come il procedimento delle sezioni diRitter non sia applicabile ad ogni struttura reticolare ma solo a quellerelativamente alle quali possono identificarsi piani che suddividono lastruttura in due parti tagliando tre aste non convergenti allo stessonodo. Si osserva che questo procedimento applicabile a molte delletipologie di strutture reticolari utilizzate nelle costruzioni. In particolare

applicabile a quasi tutte le capriate della figura 26.2. Per alcune diqueste lafigura 26.10 mostra che con successive sezioni di Ritter che

RA

Ns

NiD

hM(z0)


11/20


Pagina 11/20



tagliano le aste delle diverse maglie possibile determinare gli sforzi

normali in tutte le aste.

figura26.10.


12/20


Pagina 12/20





Sono descritte nel seguito le soluzioni di alcuni esempi riassuntivirelativi alle strutture reticolari piane.

Esempio 26.1

Si determini con il procedimento dellequilibrio dei nodi lo sforzonormale nelle aste della struttura difigura 26.11.

figura26.11.

La struttura la stessa dellesempio 25.3. Le reazioni deivincoli esterni (figura 26.12)sono

FRA =

3

FR

B =

3

FR

C= (e.1.1)

figura26.12.

Le funzioni trigonometriche dellangolo indicato infigura 26.11 sono

13

2

a2

3a

asin

2

2

=

+

=

13

3

a2

3a

a2

3

cos 22

=

+

= (e.1.2)

1

2

3

F

a

a

3a/2 3a/2

A

B

C

RA

RB

RC

1

F

a

a

3a/2 3a/2

A

B

C


13/20


Pagina 13/20



La soluzione con il metodo dellequilibrio dei nodi pu iniziarsi dal

nodo B o dal nodo C ai quali convergono due sole aste. Considerandoil nodo B si ha (figura 26.13a):

=

=+

0cosN

3

FsinNN

2

27 quindi

=

=

0N3

FN

2

7 (e.1.3)

Considerando il nodo C si ha (figura 26.13b):

=

=+

3

FsinN

0cosNN

5

56

quindi

=

=

F6

13N

2

FN

5

6

(e.1.4)

figura26.13.

Determinati gli sforzi normali N2, N5, N6ed N7ad ognuno dei nodi A Ded E convergono non pi di due aste delle quali ancora incognito losforzo normale. Tenendo conto dei risultati gi trovati le equazioni diequilibrio del nodo A sono (figura 26.14)

=

=+

3

FsinN

FcosNN

3

31

quindi

=

=

F6

13N

2

FN

3

1

(e.1.5)

figura26.14.

1

F

A

B

C

2

3

4

5

D

E

F

F/3

F/37

6F/3

AF

N3

N1

1

F

A

B

C

2

3

4

5

D

E

F

F/3

F/3

(b)7

6

B

F/3

N2N7

F/3

N6

N5C

(a)

(b)


14/20


Pagina 14/20



Infine, tenendo conto dei risultati trovati e considerando il nodo D

(figura 26.15a) si deduce che lasta 4 scarica.

figura26.15.

A questo punto sono stati determinati gli sforzi normali di tutte le aste.Come verifica della correttezza dei risultati trovati pu controllarsilequilibrio del nodo E. La figura 26.15b mostra che detto nodo inequilibrio.

Esempio 26.2

Si determinino gli sforzi normali nelle aste della struttura difigura 26.16a.

figura26.16.

La struttura esternamente isostatica (ha vincoli esterni dimolteplicit totale pari a 3), costituita da 9 aste ed ha 6 nodi.Soddisfa quindi la condizione necessaria (24.3) per lisostacitit.Siccome i vincoli sono disposti in modo da impedire qualunque motorigido, la struttura isostatica.

Ogni maglia della struttura un triangolo equilatero pertantolangolo difigura 26.16

3

= (e.2.1)

e le sue funzioni trigonometriche sono

F

F

F

a a

a

a

a

a

F

F

F

1 2

3 4 5 6

9

7 8

AB

C

D

E

G

YB

XB

YA

(a) (b)

1

F

A

B

C

2

3

4

5

D

E

F

F/3

F/37

6D

N4

F/2 F/2

(a)

F E

13F/613F/6

(b)


15/20


Pagina 15/20



2

3sin = 2

1cos = (e.2.2)

Con riferimento allafigura 26.16b la reazione verticale del carrello A siottiene con unequazione di equilibrio alla rotazione assumendo Bcome polo:

032

a2F3

2

aFaFaY

A = (e.2.3)

ed

F6.3F598.332

3

1FYA =

+= (e.2.4)

Con le equazioni di equilibrio alla traslazione si trovano poi le altrecomponenti delle reazioni vincolari esterne che sono

F2X

F6.4F598.432

32FYFY

B

AB

=

=

+=+=

(e.2.5)

Relativamente alle reazioni dei vincoli esterni si ha quindi ildiagramma di corpo libero difigura 26.17.

figura26.17.

Come gi osservato (osservazione 3 della lezione 25) non possibileseparare la struttura in due parti tagliando tre aste non concorrenti adun nodo. Non quindi applicabile il metodo delle sezioni di Ritter. Glisforzi normali vengono quindi determinati con il metodo dellequilibriodei nodi; il procedimento pu iniziare dai nodi G A e C, ai qualiconvergono due sole aste. Le equazioni di equilibrio del nodo G(figura 26.18a) sono

F

F

F

1 2

3 4 5 6

9

7 8

AB

C

D

E

G

2F

+ 3

2

31F

+ 3

2

32F


16/20


Pagina 16/20



=+=+

0sinNsinN

FcosNcosN

87

87 quindi

=

=

==

Fcos2

FN

Fcos2

F

N

8

7

(e.2.6)

Le equazioni di equilibrio del nodo C (figura 26.18b) sono

==+

FsinN

0cosNN

6

62 quindi

=

=

=

=

F16.13

F2

sin

FN

F57.03

F

sin

cosFN

6

2

(e.2.7)

Le equazioni di equilibrio del nodo A (figura 26.18c) sono

+=

=+

32

31FsinN

0cosNN

3

31

(e.2.8)

quindi

+=

+

=

+=

+=

F16.432

31

3

F23

2

31

sin

FN

F08.232

31

3

F

sin

cos3

2

31FN

3

1

(e.2.9)

figura26.18.

A questo punto le equazioni di equilibrio dei nodi B, D ed Econsentono la determinazione degli sforzi normali in tutte le aste.Relativamente al nodo D si ha (figura 26.19a)

=

++

=

+++

0sin32

313

F2sinFsinN

0cos32

31

3

F2cosFNcosN

4

94

(e.2.10)

F

F

F

1 2

3 4 5 6

9

7 8

AB

C

D

E

G

2F

F

N8N7

G

F

N6

N2

CN3

N1

(a)

(c)(b)

+ 3

2

31F

+ 32

3

2F

+ 32

3

1F


17/20


Pagina 17/20



quindi

+=

+=

F16.33

11F2N

F16.33

11F2N

4

9

(e.2.11)

Avendo gi determinato N9 sufficiente una equazione di equilibriodel nodo E per determinare N5; considerando lequazione di equilibrioalla traslazione orizzontale si ha:

0cos3

F2cosFFcosNN

59

=+++ (e.2.12)

quindi, tenendo conto della(e.2.11)

F16.23

21FN

5

+= (e.2.13)

figura26.19.

Lequazione di equilibrio alla traslazione verticale del nodo E soddisfatta, essendo

02

3

3

F2

2

3

3

21F

2

3F

sin3

F2sinNsinF

5

=

++=

=

(e.2.14)

Come controllo dei risultati ottenuti pu verificarsi il soddisfacimentodelle equazioni di equilibrio del nodo B (figura 26.20). Si ha

F

F

F

1 2

3 4 5 6

9

7 8

AB

C

D

E

G

2F

N4

N9D

+ 3

2

31

3

F2

FN9

F

N5

3

F2E

F(a) (b)

+ 3

2

31F

+ 3

2

32F


18/20


Pagina 18/20



01231

2323

232F

sin3

21Fsin

3

11F23

2

32F

03

1

2

1

3

112

3

1

2

3

3

1F

cos3

21F

cos3

11F2F2

3

F3

2

31

3

F

=

+=

=

+

+

+

=

+++=

=

+

+

++ +

(e.2.15)

figura26.20.

Lafigura 26.21 riassume gli sforzi normali determinati.

figura26.21.

F

F

F

D

2F3.6F4.6F

-2.08F

+4.16F

-0.57F

+1.16F

+3.16F

-3.16F

-2.16F

F -F

F

F

F

1 2

3 4 5 6

9

7 8

AB

C

D

E

G

2F

+ 32

3

1F

+ 3

2

32F

2F

+ 3

2

32F

+

3

11F2

+

3

21F

+ 3

2

31

3

F

B 3

F


19/20


Pagina 19/20





Sono proposti nel seguito alcuni esercizi di riepilogo la cui soluzione lasciata al lettore.

Esercizio 26.1

Si determinino le reazioni dei vincoli esterni e gli sforzi normalidelle aste della struttura difigura 26.22.

figura26.22.

Esercizio 26.2


figura26.23.

Esercizio 26.3


figura26.24.

L

L L

L

L/2F F

F

L L

L/2/2

L

L/2

L/2

F


20/20

Pagina 20/20



Esercizio 26.4


figura26.25.

F F F F

F/2 F/2

L/2 L/2 L L L/2 L/2

L/2

26_strutture reticolari isostatiche piane,osservazioni ed esempi

Documents